BAB IPENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Populasi adalah keseluruhan elemen atau unsur yang akan kita teliti.
Penelitian yang dilakukan atas seluruh elemen dinamakan sensus. Idealnya, agar
hasil penelitiannya lebih bisa dipercaya, seorang peneliti harus melakukan sensus.
Namun karena sesuatu hal peneliti bisa tidak meneliti keseluruhan elemen tadi,
maka yang bisa dilakukannya adalah meneliti sebagian dari keseluruhan elemen
atau unsur tadi.
Berbagai alasan yang masuk akal mengapa peneliti tidak melakukan sensus antara
lain adalah, populasi demikian banyaknya sehingga dalam prakteknya tidak
mungkin seluruh elemen diteliti; dan keterbatasan waktu penelitian, biaya, dan
sumber daya manusia, membuat peneliti harus telah puas jika meneliti sebagian
dari elemen penelitian;
Agar hasil penelitian yang dilakukan terhadap sampel masih tetap bisa
dipercaya dalam artian masih bisa mewakili karakteristik populasi, maka cara
penarikan sampelnya harus dilakukan secara seksama. Cara pemilihan sampel
dikenal dengan nama teknik sampling atau teknik pengambilan sampel .
B. Rumusan Masalah
1. Bagaimana teknik mengambil sampel dalam populasi?
2. Bagaimana teknik penyebaran rerata pada data?
C. Tujuan
1. Untuk mengetahui teknik pengambilan sampel dalam populasi.
2. Untuk mengetahui teknik penyebaran rerata pada data.
D. Manfaat
Dengan adanya makalah ini maka dapat menjadi acuan atau bahan referensi
bagi para pembaca yang ingin mengetahui salah satu pembahasan pada mata
kuliah statistika matematika yaitu sebaraan penyampelan dan sebaran rerata.
1
BAB IIPEMBAHASAN
A. Populasi
Populasi atau universe adalah sekelompok orang, kejadian, atau benda, yang
dijadikan obyek penelitian. Jika yang ingin diteliti adalah sikap konsumen
terhadap satu produk tertentu, maka populasinya adalah seluruh konsumen produk
tersebut. Jika yang diteliti adalah laporan keuangan perusahaan “X”, maka
populasinya adalah keseluruhan laporan keuangan perusahaan “X” tersebut,.
Elemen/unsur adalah setiap satuan populasi. Kalau dalam populasi terdapat 30
laporan keuangan, maka setiap laporan keuangan tersebut adalah unsur atau
elemen penelitian. Artinya dalam populasi tersebut terdapat 30 elemen penelitian.
Ditinjau dari banyaknya anggota populasi, maka populasi terdiri atas :
Populasi terbatas (terhingga)
Populasi tak terbatas (tak terhingga)
Namun dalam kenyataannya populasi terhingga selalu menjadi populasi yang tak
terhingga.
Ditinjau dari sudut sifatnya, maka populasi dapat bersifat :
Homogen ,dan
Heterogen
Penelitian yang menggunakan seluruh anggota populasinya disebut sampel total
atau sensus. Penggunaan ini berlaku jika anggota populasi relatif kecil. Untuk
anggota populasi yang relatif besar, maka diperlukan mengambil sebagian
anggota populasi yang dijadikan sampel. Pengambilan anggota sampel yang
merupakan sebagian dari anggota populasi tadi harus dilakukan dengan teknik
tertentu yang disebut teknik sampling. Demikian pula untuk menentukan
banyaknya anggota sampel haruslah menggunakan rumus,grafik atau tabel
tertentu.
2
B. Sampling
1. Teknik Sampling
Sampel (contoh) ialah sebagian anggota populasi yang diambil dengan
menggunakan teknik tertentu yang disebut dengan teknik sampling. teknik
sampling berguna agar :
1) Mereduksi anggota populasi menjadi anggota sampel yang mewakili
populasinya (refresentatif),sehingga kesimpulan terhadap populasi dapat
dipertanggungjawabkan.
2) Lebih teliti menghitung yang sedikit daripada yang banyak
3) Menghemat waktu,tenaga,biaya,menghemat benda coba yang merusak.
Beberapa kriteria yang perlu diperhatikan dalam mengambil sampel adalah
sebagai berikut :
1) Tentukan dulu daerah generalisasinya.
2) Berilah batas – batas yang tegas tentang sifat – sifat populasi.
3) Tentukan sumber – sumber informasi tentang populasi.
4) Pilihlah teknik sampling dan hitung besar anggota sampel yang sesuai
dengan tujuan penelitiannya
5) Rumusan persoalan yang akan diteliti
6) Tentukan atau dari keterangan mengenai populasi yang akan diteliti
7) Defenisikan unit – unit,istilah yang diperlukan
8) Tentukan unit sampling yang diperlukan.
9) Tentukan skala pengukuran yang akan dipergunakan
10) Cari keterangan yang ada kaitannya dengan permasalahan yang akan
dibahas
11) Tentukan ukuran sampel yang akan dianalisis
12) Tentukan prosedur sampling apa yang akan dipergunakan
13) Tentukan teknik pengumpulan data yang akan dipergunakan
14) Tentukan metode analisi apa yang akan digunakan
15) Sediakan dan prasarana yang diperlukan untuk penelitian
3
2. Cara melakukan sampling
Teknik pengambilan sampel dapat dilakukan dengan dua cara yaitu :
1. Sampling random ( probability sampling ), yaitu pengambilan contoh secara
acak ( random ) yang dilakukan dengan cara undian, ordinal atau table
bilangan random atau dengan computer.
2. Sampling nonrandom ( nonprobality sampling) atau disebut juga sebagai
incidental sampling, yaitu pengambilan contoh tidak secara acak
1. Teknik sampling random
Teknik sampling random terdiri atas lima macam yaitu :
a. Sampling random sederhana (simple random sampling )
Ciri utama sampling ini ialah setiap unsur dari keseluruhan populasi
mempunyai kesempatan yang sama untuk dipilih. Caranya ialah dengan
menggunakan undian,ordinal,table bilangan random,atau computer.
Keuntungannya ialah anggota sampel mudah dan cepat diperoleh.
Kelemahannya ialah kadang – kadang tidak mendapatkan data yang
lengkap dari populasinya.
b. Teknik sampling bertingkat ( stratified sampling )
Teknik sampling ini disebut juga dengan istilah teknik sampling berlapis,
berjenjang,dan petala. Teknik ini digunakan apabila populasinya
heterogen atau terdiri atas kelompok – kelompok yang bertingkat.
Penentuan bertingkat berdasarkan karakteristik tertentu. Misalnya :
menurut usia,pendidikan,golongan / pangkat,dan sebagainya.
Keuntungan menggunakan cara ini ialah anggota sampel yang diambil
lebih representative. Kelemahannya ialah lebih banyak memerlukan
usaha pengenalan terhadap karakteristik populasinya.
c. Teknik sampling kluster (cluster sampling )
Teknik sampling ini disebut juga sebagai teknik sampling
daerah,conditional sampling, (restricted sampling ). Teknik ini
digunakan apabila populasi terbesar dalam beberapa
daerah,propinsi,kabupaten,kecamatan, dan seterusnya. Pada peta daerah
4
diberi petak - petak dan setiap petak diberi nomor. Nomor - nomor itu
kemudian ditarik secara acak untuk dijadikan anggota sampelnya.
d. Teknik sampling Sistematis ( Systematical Sampling )
Teknik ini sebenarnya adalah teknik random sampling sederhana yang
dilakukan secara ordinal. Artinya anggota sampel dipilih berdasarkan
urutan tertentu. Misalnya setiap kelipatan 5 atau 10 dari daftar pegawai di
suatu kantor.
e. Teknik sampling proporsional ( proportional sampling )
Teknik sampling proporsional yaitu sampel yang dihitung berdasarkan
perbandingan. Misalnya populasi untuk A = 20, B = 50, C= 30. Jadi,
jumlah anggota populasi = 100. Sedangkan besar anggota sampel = 80
sehingga besar masing - masing sampel untuk A, B, dan C dapat dihitung
sebagai berikut:
A= 20100
×80=16
B= 50100
× 80=40
C= 30100
× 80=24
+
Jumlah = 80
2. Teknik sampling Nonrandom
Teknik sampling nonrandom terdiri atas tiga macam dengan uraian sebagai
berikut ;
a. Teknik sampling kebetulan (Accidental sampling )
Teknik sampling kebetulan dilakukan apabila pemilihan anggota
sampelnya dilakukan terhadap benda atau orang yang kebetulan ada atau
dijumpai.
b. Teknik Sampling Bertujuan ( Porpusive sampling )
Teknik ini digunakan apabila anggota sampel yang dipilih secara khusus
berdasarkan tujuan penelitiannya. Sebagai contoh : untuk meneliti
5
tentang peraturan lalu lintas, maka hanya mereka yang memiliki SIM
atau yang tidak memiliki SIM saja yang dijadikan anggota sampel.
c. Teknik sampling Kuota (Quota sampling )
Teknik ini digunakan apabila anggota sampel pada suatu tingkat dipilih
dengan jumlah tertentu (kuota ) dengan cirri - cirri tertentu.
3. Penentuan Besarnya Anggota Sampel
Besar anggota sampel harus dihitung berdasarkan teknik - teknik tertentu
agar kesimpulan yang berlaku untuk populasi dapat dipertanggungjawabkan.
Disamping itu harus pula memenuhi teknik sampling seperti yang diuraikan
tadi diatas.
Anggota sampel yang secara ideal mewakili populasinya (representative)
Besarnya Anggota sampel yang dipilih berdasarkan pertimbangan -
pertimbangan :
a. Praktis
b. Ketepatan
c. Non respon
d. Analisis data
4. Teknik Menghitung Besarnya Anggota Sampel
Teknik untuk menghitung besarnya anggota sampel secara umum dapat
dilakukan dengan dua cara yaitu :
1. Proporsi
Perhitungan besarnya anggota sampel dengan menggunakan cara
proporsi dapat menggunakan sejumlah rumus - rumus, namun pada
kesempatan ini dikenalkan tiga buah rumus untuk menghitung besarnya
anggota sampel. Rumus - rumus dan contoh penggunaannya seperti
berikut :
n ≥ pq ( z1 /2 α
α )Dimana :
n = jumlah anggota sampel minimal
p = proposi kelompok pertama
6
q = proporsi kelompok kedua = (1-p)
α = taraf signifikansi
z 12 α
= nilai z table, dan
jika α = 0,01, maka rumus tadi akan menjadi
n ≥ pq ( 2,580,01 )
2
dan jika α = 0,05, maka rumus tadi akan menjadi ;
n ≥ pq ( 1,980,05 )
2
Contoh soal
Suatu daerahdiketahui anggota populasi penduduknya yang berstatus
sebagai PNS 400.000 orang. Di antaranya 100.000 orang belum
menjalankan KB secara efektif. Berapa besar anggota sampel yang perlu
diteliti dalam rangka mengungkapkan partisipasi terhadap program KB?
Jawab:
Misalkan digunakan α = 0,05 , maka didapatkan :
P = 100.000400.000
= 0,25
n = 0,25 (1-0,25)( 1,980,05 )
2
= 294 ( dibulatkan )
Karena manusia bukan dalam bilangan pecahan,maka dibulatkan menjadi
294 orang.
s=X2 NP(1−p)
d2 ( N−1 )−x2 p(1−p)
Dimana :
S = banyaknya anggota sampel
N = banyaknya anggota populasi
P = proporsi dalam populasi
d = derajat ketelitian = 1,96
7
x2=¿harga table chi -kuadrat untuk tertentu.
Jika rumus tersebut di atas, digunakan untuk populasi tertentu yang sudah
diketahui jumlah anggotanya dan dengan α=0,05, maka Krejcie dan
Morgan telah memberikan tabelnya yang dikenal dengan sebutan table
krejcie dan morgan.
SE = p (1−p)(n−1)
(N−n)N
Dimana :
SE = Standar Estimasi
P = Proporsi
N = jumlah anggotsa populasi
n = jumlah anggota sampel
penggunaan rumus di atas,telah disederhanakan oleh Harry King dengan
nomogramnya, yang terkenal dengan sebutan nomogram Harry King.
2. Ketelitian Estimasi
a) Ketelitian Estimasi
N = ( sSEx )
2
Dimana ;
n = banyaknya sampel
s = standar deviasi ( diketahui )
SE x = standar error
b) Rumus dasar confidensi interval
w =2 z1 /2 α σ
√n
Dimana :
w = interval estimasi
z1/2 α = standar skor untuk tertentu
α = simpangan baku populasi ( diketahui )
n=¿besarnya anggota sampel atau banyaknya sampel
8
Contoh soal
Diketahui σ 2=100 w=5 α=0,05
Berapa banyaknya sampel (n) ?
Jawab :
w=2 z1/2 ασ
√n
z 12 α
=z0,025=1,96
5=2.1,96 .10
√n
√n=2.1,96 .105
n=61.
5. Kesalahan-Kesalahan Umum Dalam Menentukan Besar Anggota Sampel
Kesalahan - kesalahan umum yang sering dijumpai dalam menentukan
besarnya anggota sampel adalah sebagai berikut :
1. Peneliti gagal dalam menetapkan jumlah anggota populasi yang dapat
dipercaya.
2. Peneliti menggunakan anggota sampel yang terlalu kecil untuk setiap
subgrupnya,sehingga analisis statistika parameter tidak berlaku, pada
populasi sebenarnya cukup besar.
3. Peneliti tidak menggunakan teknik sampling startified yang disyaratkan
untuk menetukan anggota sampel subgrupnya.
4. Peneliti mengubah prosedur tenik sampling
5. Peneliti mengubah rumus untuk menghitung besarnya anggota sampel
6. Peneliti memilih anggota sampel yang tidak sesuai dengan tujuan
penelitiaannya
7. Peneliti mengurangi anggota sampel yang telah ditentukan oleh
perhitungannya
8. Peneliti memilih grup eksperimen dan grup kontrol dari populasi yang
berbeda
9
9. Peneliti yang memakain grup sukarela,lupa atau sengajatidak
membedakannya dengan grup wajib,akibatnya peneliti gagal dalam
menginterpretasikan hasil penelitiannya
10. Peneliti tidak memberikan alasan – alasan mengapa rumus dan teknik
sampling tertentu yang ia gunakan di dalam penelitiannya itu
C. Distribusi Rata-Rata
Kita akan membicarakan distribusi sampel yang diambil dari sebuah populasi,
sehingga topik khusus tentang distribusi penyampelan sebuah rata-rata akan
mengawali bagian ini. Selanjutnya kita akan membicarakan distribusi dua rata-
rata dalam hal kita mengambil dua sampel dari sebuah populasi atau masing-
masing dari sebuah populasi yang berbeda.
1. Distribusi Sebuah Rata-rata
Jika kita mengambil sebuah sampel acak berukuran n dari sebuah populasi
yang berukuran N, maka terdapat (Nn ) banyaknya sampel berbeda yang
mungkin terjadi. Misalnya ukuran populasi N = 10 dan ukuran sampel n = 3,
terdapat (103 ) = 120 sampel berbeda yang mungkin. Untuk semua sampel ini,
masing-masing memiliki rata-rata, dan setiap nilai rata-rata itu dapat dinggap
sebagai data baru. Distribusi rata-rata ini memiliki rata-rata dan simpangan
baku dan diberi simbol berturut-turutμx
−¿¿ dan σx
−¿ ¿.
Misalkan parameter populasi untuk rata-rata adalah π dan simpangan
bakunya σ , dengan mudah dapat dibuktikan bahwa
μx
−¿=μ¿ dan σ
x−¿= σ
√n √ N−nN−1
.¿
Untuk N cukup besar dibandingkan dengan n(ukuran sampel tidak melebihi
5% ukuran populasi, yaitu n/N ≤ 5%) atau populasi memiliki ukuran tak
hingga, kita dapat gunakan rumus
μx
−¿= μ¿ dan σx
−¿= σ√n
¿
10
Perhatikan bahwa untuk N cukup besar dibandingkan dengan n, hasil bagi
N−nN−1
mendekati satu, sehingga rumus pendekatan ini memudahkan
perhitungan dan memberikan hasil yang tidak berbeda. Nilai σx
−¿ ¿ disebut
Simpangan baku rata-rata dan merupakan ukuran variasi rata-rata yang
diharapkan dari sampel ke sampel.
Contoh 1.1
Misalkan sebuah populasi berukuran N = 5 terdiri dari data 1, 2, 3 ,4 dan 5.
Sampel acak berukuran n = 2akan diambil.
a. Berapa banyak sampel berbeda yang mungkin terambil?
b. Tunjukkn sampel-sampel tersebut dan hitung rata-ratanya masing-
masing!
c. Buatlah distribusi penympelan rata-rata tersebut dan tunjukkan bahwa
rumus
μx
−¿= μ¿ dan σ
x−¿= σ
√n √ N−nN−1
¿ berlaku!
Jawaban :
a. Banyak sampel yang bisa terjadi adalah (52) = 10
b. Sampel-sampel yang bisa terjadi dapat ditunjukkan sabagai berikut
Tabel 1.1 Sampa-sampel Berukuran dua dan Nilai Rata-ratanya
Sampe
l
(1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (2,3) (2,4) (2,5)
(3,4) (3,5) (3,6)
Rata-
rata
1,5 2,0 2,5 3,0 2,5 3,0 3,5
3,5 4,0 4,5
c. Distribusi penyampelan rata-rata dapat dibuat seperti pada tabel 1.1 .
kalau dari distribusi peluang ini dihitung nilai harapan dan variansinya,
diperoleh
H( ¿x−¿=( 1,5) (0,1 )+( 2,0) (0,1 )+( 3,0) ( 0,2)+( 3,5) ( 02)+( 4,0) (0,1 )+( 4,5 )( 0,1)=3,0¿
V( ¿x−¿=( 1,5−3) 2 (0,1 )+(2,0−3) 2 (0,1 )+(2,5−3 ) 2 (0,2 )+(3,0−3 ) 2 (0,2 )+(3,5−3 )2 ( 0,2) +(4,0−3 ) 2 (0,1 )+(4,5−3 ) 2 (0,1 )=0,75¿ , atau
σ ( ¿x−¿=0,8660. ¿
11
Tabel 1.2 Distribusi Peluang Rata-rata
x−¿¿ Frekuensi P( ¿x
−¿¿
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
1
1
2
2
2
1
1
0,1
0,1
0,2
0,2
0,2
0,1
0,1
Variansi itu dalam konsep peluang, sama dengan menghitung variansi dengan
rumus yang menggunakan pembagi 10(n), bukan 9(n-1). Ingat rumus variansi
s2=∑i=1
n
¿¿¿¿.
Jika kita hitung rata-rata dan simpangan baku dari populasi 1,2,3,4, dan 5,
diperoleh μ=3 dan σ=1,5811. Apabila sepuluh nilai rata-rata tersebut
dihitung nilai rata-rata dan simpangan bakunya diperoleh μx
−¿=3,0¿ dan
σx
−¿=0,9129¿¿rumus ini menggunkan pembagi 9).
σ√n √ N−n
N−1=1,5811
√2 √ 5−25−1
=¿0,9682¿
Sedikit yang berbeda dengan σx
−¿=0,9129¿ akibat pembulatan.
2. Teorema Limit Pusat
Teorema limit pusat yang memberikan dasar pendekatan dalam berbagai teori
dan aplikasi statistik dapat dinyatakan sebagai berikut:
“Jika sebuah populasi mempunyai rata-rata μdan simpangan bakuσ yang
besarnya terhingga, maka untuk ukuran sampel acak n mendekati tak hingga,
distribusi rata-rata sampel mendekati distribusi normal dengan rata-rata μx
−¿=μ¿
dan simpangan baku σx
−¿= σ√n
¿ ”
Teorema ini tentunya berlaku untuk populasi yang berukuran tak hingga.
Namun demikian, kaum praktisi menggunakan teorema ini dengan mengganti
pernyataan “n mendekati tak hingga” menjadi “n cukup besar”. Pengertian n
12
cukup besar dalam praktek digunakan n ≥ 30. Dalam hal ini, ukuran populasi
pun dapat terhingga asalkan cukup lebih besar, yang tentunya jauh lebih besar
dari 30.
Perhatikan bahwa pendekatan ini berlaku untuk sebarang distribusi X yang
mempunyai simpangan baku terhingga. Pendekatan ini bisanya digunakan
untuk n ≥ 30, dan tentunya pendekatan akan lebih baik untuk ukuran sampel
yang lebih besar. Namun perlu diingat bahwa kalau populasi berdistribusi
normal, maka rata-rata sampel akan tetap dapat menggunakan teori normal
walaupun ukuran sampel kecil.
Distribusi normal yang didapat dari distribusi rata-rata perlu dibakukan
agar tabel distribusi normal baku yang sudah ada dapat digunakan.
Pembakuan ini menggunakan rumus :
z= x−¿−μ
σx
−¿¿¿
Apabila dari populasi diketahui variansinya dan perbedaan antara rata-
rata dari sampel ke sampel diharapakan tidak lebih dari sebuah nilai d yang
ditentukan, maka berlaku hubungan
σx
−¿ ≤d¿
Sehingga ukuran sampel yang paling kecil sehubungan dengan distribusi rata-
rata dapat ditentukan.
Contoh 1.2
Skor mahasiswa dalam mata kuliah statistika matematika II mempunyai rata-
rata 85 dengan simpangan baku7,3.
1. Sebuah sampel acak berukuran n = 35 diambil dari populasi skor mahasiswa
tersebut. Berapa peluang rata-rata skor ke-35 mahasiswa tersebut:
a. Terletak antara 83 dan 90?
b. Paling sedikit 86?
2. Jika nilai rata-rata dari sampel yang satu dengan sampel lainnya dari populasi
tersebut , perbedaannya diharapkan tidak lebih dari1,5. Tentukan ukuran
sampel minimal yang harus diambil!
Jawaban:
13
a. Karena ukuran populasi tidak diberitahukan, kita dapat menganggap cukup
besar untuk berlakunya teori distribusi normal. Ukuran sampel n = 35 cukup
besar sehingga teorema limit pusat dapat digunakan. Dengan demikian, rata-
rata x−¿¿
untuk skor staistika matematika mahasiswa mendekati distribusi
normal dengan rata-rataμx
−¿¿ dan simpangan bakuσx
−¿= 7,3√3,5
=1,23¿
b. Untuk x−¿=83 ¿diperolehz1=
90−851,23
=−1,63 dan untuk x−¿90 ¿diperoleh
z2=90−85
1,23=4,07. Dengan demikian, kita merujuk ke tabel distribusi normal
baku dan mendapatkan P(−1,63<Z<4,07 )=0,4484+0,5=0,9484.Jadi,
peluang rata-rata skor statistika mahasiswa antara 83 dan 90 adalah 0,9484.
c. Rata-rata skor 86 memberika nilai z=86−85
1,23=0,81dan
P (0<Z<0,81 )=0,2910 ,sehinggaP (Z ≥ 86 )=0,5−0,2910=0,2090.Dengan
demikian, peluang rata-rata skor mahasiswa paling sedikit 86 adalah 0,2090.
Kita sudah menganggap ukuran populasi cukup besar, supaya nilai rata-rata
dari satu sampel ke sampel lainnya tidak lebih dari d = 1,5, ukuran sampel
minimal n yang harus diambil memenuhi
σx
−¿ ≤d¿
Jadi,7,3
√n≤ 1,5atau n ≥ 23,72, sehingga ukuran sampel minimal yang harus
diambil adalah n = 24.
D. Distribusi Selisih Dua Rata-rata
Misalkan kita mempunyai dua populasi masing-masing berukuran N1 dan N2.
Populasi kesatu mempunyai rata-rata μ1dan simpangan baku σ 1,sedangkan
populasi kedua mempunyai rata-rata μ2dan simpangan bakuσ 2 Dari setiap
populasi secara bebas dimbil sampel acak berukurann1 dari populasi kesatu
dan berukurann2dari populasi kedua. Untuk membedakan, populasi kesatu
Dimisalkan mempunyai peubah X dan populasi kedua mempunyai peubah Y.
Nilai rata-rata dari masing-masing sampel dihitung. Kumpulan rata-rata
14
sampel yang dapat ditulis:x1 , x2 ,…. , xk dan y1 , y2 , …. , yrdengan k =
banyaknya sampel yang dapat diambil dari populasi kesatu, dan r = banyak
sampel yang dapat diambil dari populasi kedua.
Sekarang, semua seliih antara rata-rata dari sampel-sampel dalam
kumpulan kesatu dan rata-rata darisampel-sampel dalam kumpulan kedua
dapat dinyatakan dengan x i− y j dengan i = 1, 2,..., r. Kumpulan selisih rata-
rata sampel demikian akan membentuk distribusi selisih rata-rata. Dari
kumpulan ini, kita dapat menghitung rata-ratanya, diberi simbol μx− y dan
menghitung simpangan bakunya,diberi simbol σ x− yUntuk N1dan N2yang
cukup besar dan sampel-sampel acak diambil secara bebas satu sama lain, di
dapat hubungan:
μx− y=μ1−μ2 dan σ x− y=√ σ12
n1
+σ2
2
n2
Selanjutnya, untuk ukuran sampel cukup besar (n1≥ 30 , n2≥ 30 )
Maka selisih rata-rata x - y akan mendekati distribusi normal dengan rata-
rataμx− y=μ1−μ2 , dan simpangan baku σ x− y=√ σ12
n1
+σ 2
2
n2
Untuk memuat
distribusi normal ini menjadi distribusi normal baku digunakan transformasi
z=( x− y )−(μ1−μ2)
σx− y
Perlu diingatkan lagi bahwa alau populasi berdistribusi normal, peubah acak
x - yjuga berditribusi normal walaupun sampel kecil.
Contoh 1.3
Diketahui bahwa rata – rata skor statistika untuk mahasiswa laki – laki 63
dengan simpangan baku 4,2 dan rata – rata skor statistika untuk mahasiswa
perempuan 52 dengan simpangan baku 3,9. Misalakan x - y masing –
masing menyatakan rata – rata sampel skor statistika mahasiswa untuk laki –
laki dan perempuan, dengan ukuran sampel yang sama 120. Tentukan
peluang yang menyatakan bahwa perbedaan rata – rata skor statistika kedua
kelompok mahasiswa tersebut paling sedikit 10!
15
Jawaban :
Diketahui bahwa n1=120 , μ1=63 , σ1=42 ,dan n2=120 , μ2=52, σ 2=3,9.
menurut teori,x - y berdistribusi normal dengan rata – rata μx− y=63−52=11 ,
dan simpangan baku baku σ x− y=√ (4,2 )2
120+
(3,9 )2
120 = 0,5232. Nilai
z=10−110,5232
=−1,91. dari table distribusi normal baku diperoleh P
( Z>−1,91 )=0,4719+0,5=0,9719. jadi, peluang untuk mendapatkan selisih
rata – rata skor paling sedikit 10 adalah 0,9719.
16
BAB IIIPENUTUP
A. Kesimpulan
1. Populasi ialah Populasi atau universe adalah sekelompok orang, kejadian,
atau benda, yang dijadikan obyek penelitian.
2. Teknik untuk menghitung besarnya anggota sampel secara umum dapat
dilakukan dengan dua cara yaitu :
a) Proporsi
Perhitungan besarnya anggota sampel dengan menggunakan cara
proporsi dapat menggunakan sejumlah rumus - rumus, namun pada
kesempatan ini dikenalkan tiga buah rumus untuk menghitung
besarnya anggota sampel. Rumus - rumus dan contoh penggunaannya
seperti berikut :
n ≥ pq ( z1 /2 α
α )b) Ketelitian Estimasi, dengan formula:
N = ( sSEx )
2
3. Misalkan parameter populasi untuk rata-rata adalah π dan simpangan
bakunya σ , dengan mudah dapat dibuktikan bahwa
μx
−¿=μ¿ dan σ
x−¿= σ
√n √ N−nN−1
.¿
17
Untuk N cukup besar dibandingkan dengan n(ukuran sampel tidak
melebihi 5% ukuran populasi, yaitu n/N ≤ 5%) atau populasi memiliki
ukuran tak hingga, kita dapat gunakan rumus
μx
−¿=μ¿ dan σx
−¿= σ√n
¿
4. Untuk menghitung selisih dua rata-rata, diberi simbol μx− y dan
menghitung simpangan bakunya,diberi simbol σ x− yUntuk N1dan N2yang
cukup besar dan sampel-sampel acak diambil secara bebas satu sama lain,
di dapat hubungan:
μx− y=μ1−μ2 dan σ x− y=√ σ12
n1
+σ2
2
n2
Selanjutnya, untuk ukuran sampel cukup besar (n1≥ 30 , n2≥ 30 )
Maka selisih rata-rata x - y akan mendekati distribusi normal dengan
rata-rataμx− y=μ1−μ2 , dan simpangan baku σ x− y=√ σ12
n1
+σ 2
2
n2
Untuk
memuat distribusi normal ini menjadi distribusi normal baku digunakan
transformasi
z=( x− y )−(μ1−μ2)
σx− y
18
DAFTAR PUSTAKA
Usman, husaini. Akbar, purnama setiady. 1995. Pengantar statistika. Bumi
aksara: Jakarta
Tiro, M. Arif. Sukarna. Aswi . 2009. Pengantar Teori Peluang.Andira
Publiser: Makassar.
Tiro, M. Arif. 2005. Dasar-Dasar Statistika .Andira Publiser: Makassar
19
Top Related