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REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE
MINISTERE DE LENSEIGNEMENT SUPERIEURET DE LA RECHERCHE
SCIENTIFIQUE
UNIVERSITE MOSTEFA BEN BOULAID -BATNA2-
FACULTE DE TECHNOLOGIE
DEPARTEMENT DE GENIE CIVIL
No D'ordre : /2017/
Srie :
Thse prsente et soutenue publiquement le 01/02/2017 pour obtenir le grade de Docteur en
Sciences
Spcialit : GENIE CIVIL
Option : STRUCTURES ET GEOMATERIAUX
PAR
Kamel BEZIH
Thme
CONTRIBUTION A L'ETUDE FIABILISTE DES PONTS EN
BETON ARME EN TENANT COMPTE DE LA VARIABILITE DES
PROPRIETES MECANIQUES DES SOLS
Devant le jury compos de :
KARECH Toufik Prsident Professeur Universit de Batna 2
KALLA Mahdi Rapporteur Professeur Universit de Batna 2
KHALFALLAH Salah Examinateur Professeur E.N.P de Constantine
BAHEDDI Mohamed Examinateur Professeur Universit de Batna 2
MABROUKI Abdelhak Examinateur Matre de confrences (A) Universit de Biskra
BOUZRIRA Cherif Examinateur Matre de confrences (A) Universit de Jijel
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Ce travail de recherche t effectu au sein du dpartement de Gnie Civil, de
l'Universit de Batna (Algrie), sous la direction du Professeur KALLA Mahdi
Et
En troite collaboration avec le Laboratoire de Mcanique et Ingnieries (LaMI) de
lUniversit Blaise PASCAL, Polytech Clermont-Ferrand, (France), sous la direction
du Professeur CHATEAUNEUF Alaa
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Remerciements
La ralisation dun travail de recherche dans le cadre dune thse de doctorat en sciences est une
aventure. Celle-ci commence par le choix dun sujet dans lequel chaque mot ou presque est une
nigme. Elle se poursuit par une succession de priodes denthousiasme ravageur et de doute
profonds. Elle se conduit en fin par la rdaction du mmoire, qui constitue sans doute la vritable
preuve. Mais cet exercice est au final passionnant, et il naurait pas t possible sans le soutien de
quelques personnes qui je souhaite exprimer ici ma reconnaissance.
Je tiens tout dabord remercier et tmoigner ensuite ma gratitude envers Monsieur le Professeur
Mahdi KALLA, pour mavoir propos un sujet de recherche ouvert, encadr mon travail et pour ses
encouragements, ses nombreuses ides, et toutes ses remarques constructives, mais il a su
galement me laisser une grande libert de manuvre pour explorer mes propres ides, ce dont je lui
sais particulirement gr. La clart de ses raisonnements scientifiques et ses qualits pdagogiques
ont t pour moi trs riches denseignement.
Toute ma gratitude sadresse Monsieur le Professeur Alaa Chateauneuf, pour l'accueil au sein de
son laboratoire de Mcanique et Ingnieries (LaMI) de Clermont Ferrand, et pour les multiples aides
scientifiques et morales dans le co-encadrement de ma thse. Sa contribution dans cette thse
dpasse le cadre scientifique et stend au niveau humain.
Je tiens remercier le Professeur Toufik KARECH, de lUniversit de Batna 2, qui ma fait lhonneur
dtre le prsident du jury de thse. Quil trouve ici ma gratitude et ma reconnaissance pour lintrt quil
a manifest pour ce travail.
Mes remerciements stendent tout naturellement lensemble des membres du jury : le Professeur
Salah KHALFALLAH, de l'Ecole Nationale Polytechnique de Constantine, Mohamed BAHEDDI,
Professeur luniversit de Batna 2, Abdelhak MABROUKI Matre de Confrences luniversit de
Biskra et Cherif BOUZRIRA Matre de Confrences luniversit de Jijel, pour lintrt quils ont
bien voulu porter mon travail et aussi davoir accept de lire et juger la prsente thse et ce malgr
leurs proccupations et leur emploi du temps assez charg.
Je tiens exprimer ma reconnaissance au Ministre de lEnseignement Suprieur Algrien pour son
soutien financier.
En fin, un grand merci mes parents pour leurs encouragements, mon pouse et mes enfants
(Ranim, Malakelhman et AbedelRahim), mes frres et mes surs, mes amis et collgues de
luniversit de Jijel et de luniversit de Batna 2 qui m'ont apport leurs soutient au prsent travail le
long de ces annes.
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Rsum
Dans la conception des ponts en bton arm, le comportement alatoire et non linaire du sol peut
conduire des niveaux de fiabilit insuffisante. Pour cette raison, il est ncessaire de prendre en
compte de la variabilit des proprits du sol qui peuvent affecter de manire significative le
comportement de ces ouvrages vis--vis de l'tat limite ultime et de service. Dans cette tude, nous
dveloppons une approche mcano-fiabiliste pour calculer la probabilit de dfaillance des ponts en
bton arm existants sous les effets de l'interaction entre le sol et la structure. La modlisation
numrique de l'interaction sol-structure est mise en uvre par un modle mcanique de poutre en
bton arm sur des appuis lastiques non linaires. L'analyse de fiabilit mettent en vidence la
grande importance de l'interaction sol-structure et montre que la scurit des ponts en bton arm est
trs sensible la variabilit des proprits du sol, en particulier lorsque le comportement non linaire
du sol est considr.
Mots cls: Interaction sol-structure; incertitudes du sol; analyse de la fiabilit; pont en bton arm;
comportement non linaire.
Abstract
In the design of reinforced concrete bridges, the random and nonlinear behavior of soil may lead to
insufficient reliability levels. For this reason, it is necessary to take into account the variability of
soil properties which can significantly affect the bridge behavior regarding ultimate and
serviceability limit states. This study investigated the failure probability for existing reinforced
concrete bridge due to the effects of interaction between the soil and the structure. In this paper, a
coupled reliability-mechanical approach is developed to study the effect of soil-structure interaction
for bridges. The modelling of this interaction is incorporated into the mechanical model of
reinforced concrete continuous beams, by considering nonlinear elastic soil stiffness. The reliability
analysis highlights the large importance of soil-structure interaction and shows that the structural
safety is highly sensitive to the variability of soil properties, especially when the nonlinear behavior
of soil is considered.
Key words: Soil-structure interaction; soil uncertainties; reliability analysis; reinforced concrete
bridge; nonlinear behavior.
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Table des matires
Remerciements03
Rsum04
Liste des figures..09
Liste des tableaux11
Introduction gnrale......12
Chapitre 1: Revue de littrature
1.1 Introduction..14
1.2 Interaction sol-structure. 15
1.3 Formulation de l'interaction sol-structure15
1.4 Mthode de prise en compte de l'interaction sol-structure..18
1.4.1 Mthodes directes....18
1.4.2 Mthode indirecte ou mthode des sous-structures.20
1.4.3 Mthode hybride..20
1.5 Modlisation de linteraction sol-structure...21
1.6 lments bibliographique sur l'tude de linteraction sol-structure..24
1.6.1 Calcul dterministe...24
1.6.2 Calcul fiabiliste.25
1.7 Conclusion26
Chapitre 2 : Modles rhologiques dlasticit non linaire et mthodes de
rsolution numrique
2.1 Introduction..28
2.2 Modles de comportement d'lasticit non linaire du sol...29
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2.2.1 Modles hyperlastiques.29
2.2.2 Modle hypolastique..30
2.2.2.1 Modle hyperbolique de Duncan...31
2.3 Donnes sur le modle hyperbolique de Duncan..37
2.4 Mthode de rsolution numrique en comportement non linaire.40
2.4.1 Mthode des lments finis en comportement non linaire..41
2.4.1.1 Modle numrique.41
2.4.1.2 Mthode de rsolution numrique : Mthode de Newton-Raphson.43
2.5 Conclusion44
Chapitre 3 : Thorie de la fiabilit et variabilit des sols
3.1 Introduction..46
3.2 Thorie de la fiabilit...47
3.2.1 Mthodes de justifications de la scurit.47
3.2.2 Principe de la thorie de la fiabilit pour les ouvrages48
3.2.3 Mthodes de calcul de la fiabilit56
3.2.3.1 La mthode de premier ordre FORM.57
3.2.3.1.1 Interprtation physique de l'algorithme..59
3.2.3.2 Mthode de simulation de Monte Carlo..61
3.2.4 Sensibilit des variables..63
3.2.5 Organigramme de lanalyse de la fiabilit...62
3.3 Variabilit des sols...63
3.3.1 Diffrents sources de l'incertitude....63
3.3.1.1 La variabilit naturelle du sol et l'erreur de mesure....63
3.3.1.2 Incertitude des modles..63
3.3.2 Modlisation les incertitudes des paramtres du sol...64
3.3.2.1 Approche simplifie pour la modlisation des paramtres incertains du sol..64
3.3.2.2 Coefficients de variation des proprits des sols....65
3.3.2.3 Coefficient de variation des paramtres de cisaillement du sol......66
3.3.2.4 Lois de distribution de probabilit des paramtres de cisaillement du sol.....67
3.3.2.5 Le coefficient de corrlation 67
3.3.3 Approche avance pour la modlisation des paramtres incertains du sol.....68
3.3.3.1 Variabilit spciale...68
3.3.3.2 Variabilit naturelle.....68
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3.3.3.3 Fonction d'autocorrlation et la fonction d'autocovariance........69
3.3.3.4 Dtermination de la distance d'autocorrlation...71
3.4 Etat actuel des connaissances.....72
3.5 Conclusion...76
Chapitre 4 : Analyse dterministe et fiabiliste des ponts en bton arm
4.1 Introduction.77
4.2 Analyse dterministe78
4.2.1 Application aux cas des ponts en bton arm existants.78
4.2.2 Descriptif de l'ouvrage.......78
4.2.3 Reconnaissance gotechnique du pont d'Oued Medila..81
4.2.4 Calcul de la capacit portante partir de l'essai pressiomtrique..........82
4.2.5 Synthse sur l'tude des fondations...........82
4.2.6 Dimensionnement du pont selon lEurocode............82
4.2.7 Modle mcanique utilis..........82
4.2.8 Hypothses de modlisation..84
4.2.9 Rsultats numrique dterministe..85
4.2.10 Prise en compte de l'effet de linteraction sol-structure...........87
4.2.11 Etude paramtrique..87
4.2.11.1 Influence des paramtres du sol...........87
4.2.11.1.1 Effet de la contrainte de confinement du sol...........87
4.2.11.1.2 Influence de l'angle de frottement du sol.91
4.2.11.2 Etat limite de service (ou de dformation)...........92
4.2.11.2.1 Effet de la variabilit du sol sur le calcul du tassement...........92
4.2.11.2.2 tude du tassement sur sols homogne........92
4.2.11.2.3 tude du tassement diffrentiel sur sols htrognes...........96
4.3 Conclusion de la premire partie...........97
4.4 Analyse fiabiliste.98
4.4.1 Modle probabiliste de comportement du sol...........98
4.4.2 Optimisation du modle numrique.........99
4.4.3 Distribution de probabilit de la contrainte ultime du sol...........100
4.4.4 Loi de comportement probabiliste des sols in-situ........102
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4.4.5 Modles dterministes utiliss........103
4.4.6 Rsultats numriques dterministes........104
4.4.7 Analyse fiabiliste de l'effet de l'interaction sol-structure108
4.4.7.1 Mode de dfaillance et fonction dtat limite108
4.4.7.2 Analyse des variables et des incertitudes109
4.4.7.3 Simulation des variables.........110
4.4.8 Rsultats numriques fiabilistes........111
4.4.8.1 Sensibilit des variables alatoires...111
4.4.8.2 Impact de la variabilit du sol...114
4.4.8.3 valuation de la fiabilit de pont.119
4.5 Conclusion de la deuxime partie........121
Conclusion gnrale et perspectives..........123
Rfrences bibliographiques.........126
Annexe.........133
Annexe A..133
Annexe B..148
Annexe C..150
Annexe D..152
Annexe E..156
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Liste des figures Figure 1.1 : Dcomposition du problme d'interaction sol-structure..17
Figure 1.2 Systme sol-structure19
Figure 1.3 : Modlisation de l'interaction sol-structure : a) Encastrement parfait ; b) Ressorts
Elments finis. Tir de Davidovici (1999)...21
Figure 1.4 : Fondation reposant sur un sol modlis par des ressorts et un lment dinteraction.22
Figure 1.5 : Modle de Winkler......23
Figure 1.6 : Modle Mthode Hybride (Grange, 2008)... ..23
Figure 1.7 : Elment unitaire isole d'une poutre...23
Figure 1.8 : Interaction sol-poutre selon le modle de Winkler..23
Figure 2.1 : Reprsentation de la loi hyperbolique de Kondner....31
Figure 2.2 : Reprsentation transforme de la loi hyperbolique de Kondner..32
Figure 2.3 : Reprsentation de la courbe de cisaillement pour les phases de chargement
(a) et de dchargement rechargement (b) du modle hyperbolique..33
Figure 2.4 : Relation entre le module initial tangent d'Young Ei et la contrainte moyenne initiale...34
Figure 2.5 : Relation entre le coefficient de Poisson v et la contrainte moyenne initiale..35
Figure 2.6 : Schma de rsolution sans et avec itrations d'quilibre, tir de Chateauneuf (2010)...42
Figure 3.1 : Mthodes d'estimation de la probabilit de dfaillance Pf : mthodes de niveau
2 ( gauche) et mthodes de niveau 3 ( droite)..48
Figure 3.2 : Domaine de dfaillance, tat limite et domaine de scurit49
Figure 3.3: Distribution de la densit de probabilit et domaine de dfaillance.49
dans l'espace physique de deux variables alatoires, tir de Chateauneuf (2009)...49
Figure 3.4 : Fonctions de densit des variables de rsistance R et sollicitation S,
tir de Melchers (1999)...50
Figure 3.5 : Distribution de la marge de scurit M=R-S...50
Figure 3.6 : Fonction de densit conjointe ),( srf RS , domaine de scurit et de dfaillance,
de tir de Melchers (1999)...51
Figure 3.7: Courbe de la probabilit de dfaillance Pf en fonction de lindice de fiabilit ,
tir d'un rapport d'tude Setra, (2012).....52
Figure 3.8 : Reprsentation gomtrique de lindice de fiabilit , du point de conception
P* dans l'espace rduit.53
Figure 3.9 : Indice de fiabilit de Cornell...54
Figure 3.10 : Indice de fiabilit et transformation de lespace des variables,
tir de Chateauneuf (2009)...55
Figure 3.11: Solution du point de conception dans l'espace de base x57
Figure 3.12: Illustration de l'itration de l'algorithme HLRF, tir de Youssef Abdel Massih,
(2008)...59
Figure 3.13 : Illustration de la mthode de Monte Carlo, tir de Nguyen et al., (2007).....60
Figure 3.14 : Organigramme de lanalyse de la fiabilit, tir de Chateauneuf, (2009)..62
Figure 3.15 : Types des incertitudes des proprits du sol, tir de Kulhawy (1992)..63
Figure 3.16 : Variabilit spatiale des proprits du sol, tir de Phoon et Kulhawy (1999)....68
Figure 3.17 : Estimation de la distance d'autocorrlation verticale, tir de Youssef,2008)...72
Figure 4.1 : Vue gnrale du pont d'Oued Medila Tebessa......79
Figure 4.2 : Vue d'une partie du pont daccs ct EL Meita.79
Figure 4.3 : Coupe transversale du tablier sur la pile de pont.80
Figure 4.5 : Vue d'une partie de pont daccs ct intermdiaire...81 Figure 4.6 : Modle mcanique du pont en bton arm trois traves83
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Figure 4.7 : Schma statique du 1er cas de chargement..86
Figure 4.8 : Schma statique du 2me
cas de chargement...86
Figure 4.9 : Schma statique du 3me
cas de chargement...86
Figure 4.10 : Diagramme des moments flchissant maximaux dans la poutre du pont
(a) appui B, (b) trave 1, (c) trave 2. (Cas kPa1353 )89
Figure 4.11 : Diagramme des moments flchissant maximaux dans la poutre du pont.
(a) appui B, (b) trave 1, (c) trave 2. (Cas kPa2603 )90
Figure 4.12 : influence de l'angle de frottement sur le dplacement du pont.91
Figure 4.13 : Gomtrie du problme.93
Figure 4.14 : Courbes effort-dplacement pour diffrentes valeurs du module d' Young pour :
(a) la pile du pont, (b) la cule du pont. Cas d'un sol homogne94
Figure 4.15 : Tassement absolu et le tassement diffrentiel des lments du pont
pour diffrentes valeurs du module d' Young. Cas d'un sol homogne.95
Figure 4.16 : Rotation absolu des appuis du pont pour diffrentes valeurs du module
d' Young. Cas d'un sol homogne..95
Figure 4.17: Courbes effort-rotation pour diffrentes valeurs du module d' Young.
Cas d'un sol homogne....95
Figure 4.18: Courbes tassement diffrentiel pour diffrentes valeurs du module
d' Young de l'appui C. Cas d'un sol htrogne96
Figure 4.19: Courbes contrainte-dformation pour l'chantillonnage alatoire
des paramtres sols.99
Figure 4.20 : Evolution des paramtres du modle de Dancan en termes
d'angle de frottement du sol100
Figure 4.21 : Approximations de la densit de probabilit de la contrainte ultime et
la contrainte de confinement du sol par les simulations de Monte Carlo101
Figure 4.22: Les rsultats typiques de la simulation de Monte Carlo entre
le coefficient de variation de la contrainte ultime et l'angle de frottement interne du sol....102
Figure 4.23 : Courbe force diplacement dans la poutre du pont
(a) appui B, (b) trave 1, (c) trave 2. (Cas kPa453 )..106
Figure 4.24 : Diagramme des moments flchissant maximaux dans la poutre du pont
(a) appui B, (b) trave 1, (c) trave 2. (Cas kPa453 )..107
Figure 4.25: Organigramme de l'algorithme de la procdure de couplage
mcano-fiabiliste en utilisant LIFREL et le modle lment finis...110
Figure 4.26 : volution de l'indice de fiabilit et la probabilit de dfaillance
lie lcart-type de paramtre de cisaillement du sol )( et le moment rsistant de l'appui B112
Figure 4.27 : volution de l'indice de fiabilit et la probabilit de dfaillance
lie lcart-type de paramtre de cisaillement du sol )( et le moment rsistant de la trave 1..113
Figure 4.28: volution de l'indice de fiabilit et la probabilit de dfaillance lie
lcart-type de paramtre de cisaillement du sol et le moment rsistant de la trave 2..113
Figure 4.29 : Probabilit de dfaillance en fonction de COV de l'angle de frottement
avec loi de comportement linaire sol.115
Figure 4.30 : Probabilit de dfaillance en fonction de la dispersion de l'angle de friction
pour un comportement linaire et non linaire du sol: (a) appui B, (b) trave 1 et (c) trave 2..116
Figure 4.31 : Facteurs d'importance dans les sections de la poutre du pont : (a) l'appui B,
(b) trave 1 et (c) trave 2....118
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Figure 4.32 : Probabilit de dfaillance en fonction de la dispersion de l'angle de frottement..119
Figure 4.33 : Facteurs d'importance des paramtres du modle:
(a) appui B, (b) trave 1 et (c) trave 2120
Liste des Tableaux
Tableau 2.1 : Proprits de rigidit des sols prsent par Duncan et al. (1980).37
Tableau 2.2 : Paramtres de modle de Duncan utilises par diffrents chercheurs.39
Tableau 3.1 : Relation entre indice de fiabilit et probabilit de dfaillance (Cremona, 2010).53
Tableau 3.2 : Coefficient de la variation COV(%) de quelques proprits gotechnique du sol...66
Tableau 3.3 : Diffrents types de la fonction d'autocorrlation unidimensional, d'aprs
Baecher and Christian (2003)..71
Tableau 4.1 : Rsultats de la reconnaissance gotechnique du pont d'Oued Medila..81
Tableau 4.2 : Les rsultats des essais pressiomtrique.. 82
Tableau 4.3 : Caractristiques gnrales du pont en bton arm tudi.83
Tableau 4.4 : Valeurs des moments maximaux en traves et sur appuis sur la poutre sous
la charge permanente G, les surcharges variables {UDL et QT}, et les surcharges concentres TS..85
Tableau 4.5 : Valeurs de ractions maximales sur les appuis de la poutre
sous les surcharges concentres TS.....85
Tableau 4.6 : Valeurs des moments longitudinaux maximaux en traves et sur appuis B
sur la poutre l'E.LU et E.L.S..86
Tableau 4.7 : Valeurs des moments longitudinaux maximaux en traves et sur appuis B
sur la poutre l'E.LU et E.L.S..87
Tableau 4.8 : Les paramtres du modle hyperbolique du sol...87
Tableau 4.9 : Tableau rcapitulatif des moments maximaux totaux en trave 1 et 2 et
sur l'appui B, lE.L.U....88
Tableau 4.10 : Influence des paramtres du sol..91
Tableau 4.11: Paramtres de module initial pour diffrents valeurs d'angles de frottement
des sols sableux (d'aprs Selig et al.,1988) ..100
Tableau 4.12 : Tableau rcapitulatif des moments maximaux totaux en trave et sur l'appui .
lELU.105
Tableau 4.13 : Variables alatoires et lois de probabilit retenues dans ltude du pont
poutres en bton arm lELU...111
Tableau 4.14 : Variables alatoires pour l'analyse de la poutre du pont en bton arm l'ELU114
Tableau 4.15 : Rsultats de fiabilit des sctions de la poutre du pont pour differents
COV de l'angle de frottement....121
Introduction gnrale
12 | P a g e
Introduction gnrale
Dans les mthodes de conception courantes des ponts en bton arm, le comportement complexe du
sol est pris en compte par l'utilisation de bornes d'encadrement, conduisant soit un
surdimensionnement coteux, soit une sous-estimation de la fiabilit. Or la performance de ces
ouvrages dpond, dans la majorit des cas, de l'interaction entre le sol et la structure. Pour atteindre
cet objectif, notamment en termes de fiabilit et de durabilit, la prise en compte des incertitudes sur
les proprits mcaniques du sol, prsente un intrt majeur pour la gestion de la dure de vie des
ouvrages en service, o la scurit, le cot et la performance sont les critres principaux. Pour cette
raison, lanalyse des ouvrages en bton arm existants se doit dtre dveloppe sur la thorie de la
fiabilit, qui constitue un des outils les mieux adapts, car elle permet de tenir compte des
incertitudes inhrentes aux dimensions gomtriques des lments de louvrage, et aux
caractristiques des matriaux (i.e; bton sol). La prise en compte des incertitudes peut tre
effectue par une modlisation de type : variables alatoires ou champs stochastiques. Toutefois, ces
modles posent de grandes difficults, autant sur le plan de lefficacit numrique de la procdure de
calcul, que sur linterprtation des rsultats et leur exploitation pratique. Ce challenge ncessite un
travail approfondi et rigoureux pour aboutir des recommandations utiles pour la construction et
lexploitation des ponts en bton arm.
Lobjectif de la thse consiste en ltude mcano-fiabiliste des ponts en bton arm, ainsi que le
dveloppement dune dmarche probabiliste pour dterminer le dimensionnement de ces ouvrages
l'tat limite ultime (l'E.L.U) et l'tat limite de service (l'E.L.S). Cette tude permettra didentifier
les rles des diffrentes variables dans la scurit des ponts en bton arm, afin de pouvoir laborer
des propositions rglementaires.
Le prsent travail est compos de quatre chapitres :
Le premier chapitre porte sur la prsentation dun tat dart, qui consiste de prendre connaissance
gnrale de la bibliographie existante sur l'effet de l'interaction sol-structure pour analyser le
comportement des structures en bton arm. Tout d'abord, on expose dans un premier temps une
description du phnomne de l'interaction sol-structure, ainsi que les mthodes de prise en compte de
l'interaction. Ensuite, nous prsentons les modles d'interactions dterministes ou probabilistes
utilises dans la littrature l'tat limite ultime (l'E.L.U) et l'tat limite de service (l'E.L.S).
Introduction gnrale
13 | P a g e
Dans le deuxime chapitre, des modles de comportement non linaire du sol, afin de dcrire de
manire approche le comportement rel du sol, suivie de la mthode de rsolution itrative de
"Newton-Raphson" sont galement prsentes.
Le troisime chapitre dans cette thse se divise en deux parties. La premire partie prsente la
thorie de la fiabilit et la deuxime partie prsente la variabilit des sols. Concernant la premire
partie, tout d'abord, on expose les diffrentes mthodes dvaluations et les techniques de calculs
classiques en fiabilit (FORM, ou Monte-Carlo). En suite, nous prsentons d'autres mthodes
probabilistes utilises dans la littrature pour l'analyse du comportement des structures en bton
arm. Enfin, nous prsentons les outils de la thorie de la fiabilit comme par exemple, la fonction
de performance, les indices de fiabilit et la probabilit de dfaillance. Pour la deuxime partie de ce
chapitre, on expose une analyse et des modlisations par variables alatoires des paramtres
incertains du sol sur la fiabilit des structures en bton arm rencontrs dans la littrature.
Le quatrime chapitre traite d'une part, le dimensionnement des ponts en bton arm selon les rgles
nonces dans les Eurocodes applicables aux ponts en bton arm en tenant compte de l'interaction
sol-structure. Nous prsentons le modle numrique aux lments finis utilisant le logiciel Matlab
sur un cas du pont en bton arm rel (existant) en Algrie, dont les donnes gotechniques sont
connues (note de calcul standards, sol, gomtrie de louvrage,..), et les rsultats numriques
correspondants. Enfin, une tude paramtrique de la variabilit des proprits du sol sera prsente,
pour objectif davoir des propositions des variables dterministes intervenant dans le processus
dvaluation dun ouvrage capables de fournir aux gestionnaires douvrages les phases de
performance. D'autre part, des simulations numriques des variables alatoires par lutilisation de
logiciel LIFEREL sont prsents afin dcrire lquation de la fonction dtat, pour dterminer les
contraintes limites et les contraintes rsistantes dans le sol et de l'ouvrage, et pour le but aussi de
dfinir des indices de fiabilit et les probabilits de dfaillance de faon explorer par le calcul, les
variables alatoires les plus courantes lies la perte de la capacit portante, et les diffrents type de
chargements (permanents et variables) sur la structure. La corrlation entre les variables et la
sensibilit de celleci sera prsente.
Enfin, une conclusion gnrale permet de faire une synthse des rsultats obtenus et de tirer quelques
perspectives sur des suites lies cette tude.
Revue de littrature Chapitre 3
14 | P a g e
Chapitre 1
Revue de littrature
1.1 Introduction
La fiabilit des ponts en bton arm est d'une grande importance pour un bon fonctionnement en
conditions relles, leurs analyses et les mcanismes d'endommagement de ces ouvrages constituent
une proccupation majeure des maitres d'ouvrages et des gestionnaires des rseaux routiers. Compte
tenu de la complexit du comportement non linaire du sol et de la structure, ainsi que du
chargement, ces facteurs peuvent acclrer la dgradation et la rduction de la dure de vie de ces
ouvrages et mme parfois conduire leurs effondrements. Alors, la perte de la capacit portante est
actuellement devenue un mode fondamental de dfaillance possible. En fait, cette perte de capacit
peut provenir de la variabilit des proprits du sol qui peut influencer le type de
sollicitations: (moments de flexion ou effort tranchant) dans l'ouvrage.
Le terme interaction sol-structure est utilis aujourdhui pour caractriser les situations o le
comportement d'un ouvrage en bton arm (ponts, btiment,..) ne peut pas tre valu de faon
prcise sans considrer aussi le comportement du sol en contact et de leur interface. Du point de vue
de l'ouvrage, le but dune analyse tenant compte de linteraction sol-structure avec la considration
des aspects non-linaire et alatoire du sol est de dterminer leffet de l'action du sol sur l'ouvrage,
c'est--dire principalement les pressions de contact, en fonction de la dformation de la structure.
Pour cette raison, la variabilit des proprits du sol doit tre prise en compte dans l'analyse et la
conception du systme sol-ouvrage, ceci pour pouvoir procder aux vrifications ncessaires son
dimensionnement, afin d'assurer une conception fiable et conomique.
Ce chapitre est consacr dans un premier temps la description du phnomne de l'interaction sol-
structure : les formulations, ainsi que les mthodes de prise en compte de l'interaction, sont
prsents. Dans un second temps, une synthse bibliographique sur l'tude de l'interaction : (modles
dterministe ou probabiliste), sont rappeles et enfin, une conclusion de cette tude est prsente en
fin de chapitre.
Revue de littrature Chapitre 1
15 | P a g e
1.2 Interaction sol-structure
Linteraction sol-structure est souvent nglige par les ingnieurs lors de lanalyse des ponts en
bton arm, cependant les mcanismes de rupture et les rpartitions des efforts peuvent tre
diffrents suite une analyse qui tient compte de l'interaction sol-structure.
De manire gnrale, les effets de linteraction varient en fonction du type de l'ouvrage considr.
Dans le cas dun pont, il est difficile priori de dterminer si ses effets vont faire augmenter ou
diminuer sa rponse, ces derniers semblent tre contrls par les phnomnes suivants (Mylonakis,
Nikolaou et Gazetas, 2006) :
lamortissement du systme : si la priode fondamentale du support flexible du pont est
significativement infrieure celle du sol alors la rponse du systme diminuera;
la rsonnance entre le sol et la structure : si linteraction sol-structure a pour effet le
rapprochement de la priode naturelle fondamentale vers la priode effective du sol alors la
rponse augmentera;
la double rsonnance : si la priode naturelle fondamentale du systme concide avec la
priode naturelle du sol et la priode prdominante du sisme alors la rponse augmentera
trs fortement;
les effets des non linarits : elles peuvent faire augmenter la priode naturelle effective du
sol et de la structure provoquant ainsi des phnomnes de rsonnance. Ces non linarits
peuvent tre de type matriel, comme les effets post lastiques dans la structure ou
linlasticit du sol, ou gomtrique, savoir la sparation entre le sol et la fondation, le
glissement linterface sol-fondation, le soulvement de la fondation et mme la perte de la
capacit portante du sol consquence du dveloppement de pressions interstitielles
(Gerolymos et Gazetas, 2006a).
1.3 Formulation de l'interaction sol-structure
Avant d'examiner les diffrentes mthodes de prise en compte de l'interaction sol-structure, il est
utile de formuler de faon gnrale le problme. Cette formulation est oriente vers un traitement par
lments finis du phnomne de l'interaction. En effet, la complexit du problme est telle que le
recours aux mthodes numriques est pratiquement invitable. Les quations du mouvement sont
obtenues par rfrence la figure (I.1) qui schmatise un ensemble sol-structure.
Dsignant par [M], [C] et [K] les matrices de masse, amortissement et raideur du systme, l'quation
du mouvement s'crit :
Revue de littrature Chapitre 1
16 | P a g e
FUKUCUM
...
(1.1)
ou:
- le vecteur F reprsente le chargement extrieur exerce sur le systme sol-structure ;
- U ,
.U ,
..U dsignent respectivement les vecteurs dplacement, vitesse et acclration.
Comme la source du mouvement (foyer du sisme) n'est gnralement pas incluse dans le modle, le
vecteur de charge F n'a de valeurs non nulles que sur la frontire extrieure du modle.
En l'absence de structure, l'quation du mouvement du champ libre est analogue de par sa forme
l'quation (1.1); les indices f dsignant les matrices masses, amortissement et raideur relative au seul
champ libre, cette quation s'crit :
ffff
f
f
f FUKUCUM
...
(1.2)
avec :
fi UUU (1.3)
L'quation (1.3) dfinit le dplacement d'interaction iU qui satisfait l'quation :
iiii
FUKUCUM
...
(1.4)
avec :
fff
f
f
fi UKKUCCUMMF
...
(1.5)
Le vecteur de charge iF est dtermin partir des dplacements en champ libre. Pour les systmes
linaires, on a alors le thorme de superposition illustr sur la figure (1.1): le problme d'interaction
est dcompos en la somme d'un problme de rponse du sol en champ libre (q 1.2) et d'un
problme source (q 1.4) o les forces appliques iF n'ont de composantes non nulles qu'aux
nuds communs la structure et au sol. Ce dernier problme est, par essence, analogue un
problme de vibration de machine. Le dplacement total pour le problme d'interaction est alors
donn par l'quation (1.3). L'quation (1.5) met clairement en vidence le fait qu'il y a interaction ds
qu'il y a diffrence de masse ou de raideur entre le sol et la structure. Supprimons pour simplifier le
terme d'amortissement dans cette quation et restreignons le problme celui d'une structure pose
Revue de littrature Chapitre 1
17 | P a g e
la surface du sol et soumise la propagation verticale d'ondes de volume (cisaillement ou
compression).
Figure 1.1 : Dcomposition du problme d'interaction sol-structure
Dans ces conditions, en champ libre, tous les points de la surface du sol sont anims d'un mme
mouvement. Si la fondation de l'ouvrage est infiniment rigide, le dernier terme de l'quation (1.5)
s'annule; le vecteur de charge iF se rduit :
f
fi UMMF
..
(1.6)
Les forces iF appliques la base de la structure engendrent un mouvement du support,
quivalent un champ de forces d'inertie dans la structure. Par suite, l'interaction ne rsulte que des
forces d'inertie dveloppes dans cette structure. On lui donne le nom d'interaction inertielle.
A l'oppos, considrons une structure enterre dont la masse est nulle hors du sol et gale (en valeur
et rpartition) celle du sol pour la partie en terre. Les forces iF ont alors pour expression :
ffi UKKF (1.7)
Elles ne rsultent que de la diffrence de raideur pour la partie en terre, entre le sol et la structure.
Mme sans diffrence de masse, il y a interaction; on lui donne le nom d'interaction cinmatique.
Elle rsulte de la raideur de la fondation qui l'empche de suivre les mouvements imposs par le sol.
Dans le cas le plus gnral, l'interaction rsulte d'une interaction inertielle et d'une interaction
cinmatique (Mylonakis, Nikolaou et Gazetas, 2006).
Linteraction cinmatique (kinematic interaction) correspond aux effets de londe incidente
sur le systme compos de la fondation et du sol, avec une superstructure de masse nulle
provoquant ainsi un mouvement de fondation en entre (foundation input motion) diffrent
Revue de littrature Chapitre 1
18 | P a g e
de celui du sol en champ libre (soil free-field) (Mylonakis, Nikolaou et Gazetas, 2006). Ceci
est une consquence de la propagation de londe dans un milieu aux proprits changeantes,
induisant notamment des effets de dispersion (scattering effect) dus aux rflexions et
rfractions de londe incidente (Villaverde, 2009).
Linteraction inertielle (inertial interaction) correspond la rponse dynamique couple du
systme global, compos du sol, des fondations et de la structure, soumis aux forces rsultant
de lacclration de la superstructure due linteraction cinmatique (Mylonakis, Nikolaou et
Gazetas, 2006). Ainsi, la flexibilit du milieu supportant la structure permet la dissipation
dune partie de lnergie vibratoire par radiation des ondes loin de la structure et par
dformation hystrtique du sol (Villaverde, 2009).
La figure (1.1) et les raisonnements prcdents illustrent les deux grandes mthodes d'approche de
l'interaction sol-structure. La figure 1.1a correspond aux mthodes globales dont la solution est
obtenue par rsolution directe de l'quation (1.1). Elles ne font intervenir aucune notion de
superposition et sont donc thoriquement adaptes aux problmes non linaires. Alternativement, les
mthodes de sous-structures s'appuient sur la dcomposition des figures 1.(b)-1.(c), ou sur des
dcompositions analogues, pour rsoudre le problme par tapes. Ces mthodes ne sont bien entendu
applicables qu'aux problmes linaires, justifiables de superposition.
1.4 Mthode de prise en compte de l'interaction sol-structure
Parmi les mthodes de prise en compte de l'interaction sol structure on peut distinguer les mthodes
globales, qui rsolvent, comme leur nom l'indique, le problme global de la figure 1.(a), et celles qui
s'appuient sur une dcomposition du systme en sous systmes, dans l'esprit de la figure 1.(b)-1.(c);
ces mthodes sont dsignes sous le nom gnrique de mthodes de sous structure.
1.4.1 Mthodes directes
Ces mthodes modlisent et analyse simultanment, lensemble form du sol et de la structure,
soumis un sisme appliqu au champ libre et aboutissent donc la dtermination du mouvement de
la structure et du sol en mme temps. Elles permettent galement de prendre en compte les
problmes de non linarits lis au comportement des matriaux mais aussi aux interfaces sol-
structure (Pecker, 1984).
Revue de littrature Chapitre 1
19 | P a g e
Les lments sol, fondation et structure sont considrs avec leur comportement et conditions de
contact dans la mme analyse, comme il est montr dans la figure 1.2. Le calcul est effectu en une
seule tape. Ces approches permettent de prendre en compte des aspects importants de linteraction
sol-structure, notamment lhtrognit du sol, la prsence de l'eau, le comportement non linaire et
irrversible des gomatriaux et les conditions de contact sol-structure.
Figure 1.2. Systme sol-structure
a) Mthode de la rigidit de la fondation Le comportement des fondations est reprsent par des lments simples, comme des ressorts
et des amortisseurs, dont le comportement peut tre non linaire, ou dpendant de la frquence. Ils
sont alors placs, pour chaque degr de libert, au niveau de la semelle. Cette mthode est
relativement simple mettre en ouvre dans un logiciel dlment finis. De plus, il existe dans la
littrature diverses configurations de ressorts-amortisseurs-masses, dont les proprits sont
facilement calculables laide de formules ou dabaques. Les plus connues sont celles proposes par
Gazetas (1991) ou encore celles de Meek et Wolf (1994) et (Jeremic et al., 2009).
b) Courbes P-y partir de donnes exprimentales, le comportement du sol est modlis par des courbes
reprsentant la rsistance latrale en fonction de la dformation. Une fois implantes dans un logiciel
de structure, elles permettent la prise en compte du comportement non linaire du sol. Bien que cette
mthode soit largement utilise en statique, elle est peu utilise dans le cas dynamique (Jeremic,
Preisig et Jie, 2009).
c) Approche complte (Full 3D)
Dans cette mthode, les dplacements ne sont pas seulement obtenus pour la structure, mais
galement pour le sol. Lutilisation de la mthode de discrtisation (lments finis, lments
frontires) ncessite une modlisation borne dun milieu infini, et donc lutilisation des bornes
Revue de littrature Chapitre 1
20 | P a g e
artificielles. Ces bornes artificielles doivent reprsenter la radiation dnergie et les effets du champ
lointain sur le champ proche, sans pour autant induire des effets de rflexion des ondes. Les deux
types de bornes les plus utiliss sont les bornes visqueuses (viscous boundary) et les bornes
cohrentes (consistent boundary). Dans le premier cas, des mortisseurs visqueux absorbant lnergie
sont placs la frontire du modle, tandis que dans le second cas, les forces dinteraction sont
appliques comme conditions aux limites dans lanalyse (Dowrick, 1987; Villaverde, 2009).
1.4.2 Mthode indirecte ou mthode des sous-structures
Afin de rduire la complexit, les cots et le temps lis aux diffrentes mthodes directes, la
mthode des sous-structures dcompose le problme en sous problmes plus maniables. Elle
sappuie sur le thorme de superposition et exige donc la linarit du comportement de lensemble.
Ainsi le module de cisaillement (G) et le facteur damortissement interne () (caractristiques du
sol), doivent tre compatibles avec le niveau de dformation moyen induit
sous louvrage (Pecker, 1984). La mthode dcompose exactement les effets de linteraction
cinmatique de ceux de linteraction inertielle, qui dans le cas dune approximation fait par un
ingnieur, peut tre utilise pour des systmes modrment non linaires (Mylonakis, Nikolaou et
Gazetas, 1997). Il existe principalement deux familles de mthodes des sous-structures, les mthodes
de frontires et les mthodes de volume. Elles se distinguent par la manire dont le systme global
est dcompos (Pecker, 1984).
1.4.3 Mthode hybride
Afin de saffranchir de ltape de dtermination de limpdance de la fondation qui peut savrer
longue et dispendieuse lorsquil nexiste pas de solution publie, une mthode hybride a t
dveloppe. Le sol est spar en champ libre et champ lointain, et est modlis par une matrice
dimpdance (figure 1.3). Cependant les problmes de diffraction linterface des deux champs
limitent fortement lintrt de la mthode (Pecker, 1984). Le champ lointain reste suffisamment
loign de la fondation pour quil ne soit pas influenc par linteraction sol-structure, et donc quil
puisse tre considr comme lastique. Il peut tre modlis par des mthodes adaptes aux
problmes linaires, par exemple, les impdances dynamiques. Le champ proche, proximit de la
fondation, inclut toutes les htrognits et non linarits du systme. Il sintgre dans le modle de
la superstructure et peut tre trait par une mthode directe, par exemple la mthode des lments
finis. Paolucci et Pecker (1997) et ont dvelopp les modles sous chargements cycliques et
dynamiques en 2D pour la fondation filante en prenant compte le dcollement de la fondation. Plus
Revue de littrature Chapitre 1
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rcemment, le modle a t complt par Grange, (2008), Grange et al (2008). Dans ce modle, les
fondations: filante, rectangulaire et circulaire, sont implantes sous chargements: statique, cyclique
et dynamique en 3D avec un nouveau modle de dcollement.
Figure 1.3. Mthode Hybride (Grange, 2008)
1.5 Modlisation de linteraction sol-structure
Linteraction sol-structure est frquemment modlise par une structure fonde en surface sur un sol
homogne (solide lastique) et horizontal dont les proprits mcaniques sont connues et constantes.
La modlisation dune structure ne doit pas se faire avec un encastrement parfait sa base (Figure
1.4-a) si de grande dformation du sol son prvisibles. Cela est par exemple le cas des structures trs
rigides fonds sur un sol de rsistance mcanique moyenne, les dformations les plus importantes
pouvant alors se produire dans le sol plutt que dans la structure. La modlisation est ainsi amene
tre faite en reprsentant le sol par des ressorts (Figure 1.4-b) ou des lments finis (Figure 1.4-c).
Figure 1.4. Modlisation de l'interaction sol-structure :
a) Encastrement parfait ; b) Ressorts ; c) Elments finis. Tir de Davidovici (1999).
Afin de simplifier les actions de l'ouvrage dans lanalyse de linteraction sol-structure, il est courant
de modliser la structure par un lment poutre caractris par une rigidit (EI) et le sol comme un
milieu lastique homogne et isotrope (Frantziskonis et Breysse, 2003 ; Franzius et al., 2005 ;
Jahangir, 2011 Elachachi et al., 2004, 2012 et 2014). La majorit des solutions traitant la poutre
Revue de littrature Chapitre 1
22 | P a g e
pose sur la fondation lastique est base sur le thorme dEuler-Bernoulli o la dformation due au
cisaillement est nglige (Morfidis et Avramidis, 2002).
Lapplication dune charge engendre des dformations et une redistribution des contraintes dans le
sol au voisinage de la fondation. Cette redistribution des contraintes dpend de la rigidit de la
fondation, des proprits de linterface et de la nature du sol. La connaissance de ltat de contrainte
au contact sol-fondation est ncessaire pour un dimensionnement raliste qui prend en compte le
seuil de la capacit portante du sol. Cette contrainte au contact joue un rle prpondrant dans
ltude de linteraction sol-structure (Jahangir, 2011).
Pour calculer les contraintes sexerant sous une fondation reposant sur un milieu lastique, Winkler
(1867) a suppos que la raction du sol chaque point sous la fondation est proportionnelle la
dflection de la fondation en ce point. La dformation verticale caractristique de la fondation est
donc dfinie par lutilisation de ressorts identiques, indpendants, troitement espacs, discrets et
linairement lastiques. La constante de proportionnalit de ces ressorts est connue comme tant le
coefficient de raction du sol KS
(Figure 1.5).
Figure 1.5. Modle de Winkler.
Linconvnient de ce modle est quil ne prend pas en compte linteraction entre les ressorts, ce qui
revient ngliger le cisaillement vertical dans le sol. En consquence, une discontinuit de
dplacement se cre entre la zone charge et la zone non charge sous la fondation.
Le modle de Winkler peut tre amlior en introduisant certaines formes d'interaction entre les
ressorts tels que des lments en flexion, poutres dans une dimension (1D), ou plaques (2D),
(Hetnyi, 1946), des couches de cisaillement, des membranes sous traction constante (Kerr, 1964).
Ces modles ont un autre paramtre constant qui caractrise l'interaction entre les ressorts (Figure
1.6).
Figure 1.6. Fondation reposant sur un sol modlis par des ressorts et un lment
dinteraction.
Revue de littrature Chapitre 1
23 | P a g e
Si on modlise la fondation par une poutre reposant sur un modle de sol de Winkler, alors un
lment de longueur dx, de la poutre peut tre isol tel que prsent sur la Figure 1.7.
La raction du sol et les sollicitations comme le moment flchissant et les efforts tranchants sur ses
deux cts sont galement reprsents.
Figure 1.7 : Elment unitaire isole d'une poutre.
La relation entre la contrainte sous la fondation et le dplacement de cet lment unitaire est
donne par :
xwkxp . (I.8)
avec :
p(x) : raction de llment unitaire du sol (kN/m),
w(x) : tassement de llment unitaire du sol (m),
k : coefficient de raction du sol (kPa), qui dpend des autres facteurs tels que la charge applique, la
gomtrie de la fondation et sa rigidit (Denis et al., 2007). Ce paramtre est dautant plus lev que
la fondation est souple et que le sol est rigide.
Sur la Figure 1.8, la partie (a) reprsente une charge arbitraire sur une poutre supporte
lastiquement sur un sol modlis par des lments de Winkler, la partie (b) montre la raction du
sol p(x) sous la poutre associe la courbe w=w(x) du tassement et la partie (c) reprsente un
lment unitaire intgrant la raction du sol et la charge de l'ouvrage q.
Figure 1.8. Interaction sol-poutre selon le modle de Winkler
Revue de littrature Chapitre 1
24 | P a g e
Grce lquilibre des forces verticales entre la charge rpartie, la raction du sol et leffort
tranchant dans la poutre (Figure 1.6-c), lquation suivante peut tre applique :
0 VdxkwqdVV (1.9)
Nous en dduisons que :
kwqdx
dV (1.10)
Avec le thorme dEuler-Bernoulli reliant le moment flchissant leffort tranchant et la
flche dune poutre :
kwqdx
MdEI
4
4
(1.11)
Le modle de Winkler (quation 1.11) est simple et se combine bien avec les mthodes numriques
et analytiques (Houlsby et al., 2005).
Le problme fondamental avec lutilisation de ce modle est de dterminer ks (la raideur des ressorts
lastiques qui est utilise pour remplacer le sol sous la fondation). Le problme est double puisque la
valeur numrique du coefficient de la raction du sol dpend non seulement de la nature du sol, mais
aussi des dimensions de la zone de chargement (Bowles, 1996).
1.6 lments bibliographique sur l'tude de linteraction sol-structure
1.6.1 Calcul dterministe
Etant donn que le sol, sur lequel les ponts en bton arm reposent, joue un rle majeur,
linteraction sol-structure doit tre prise en compte, selon les cas de charges appliques afin
dassurer la stabilit globale du systme. Depuis les annes 1990, des recherches importantes ont t
effectues sur leffet de l'interaction sol-structure, en raison de son rle important dans lanalyse des
problmes rels des structures (Dreier et al. 2010). De nombreux cas rapports dans la littrature
(Zolghadr., 2009) dmontrent aussi l'influence notable de la prise en compte des effets d'interaction
sol-structure sur la conception et le dimensionnement des ouvrages de gnie civil. cet gard, les
recherches menes par (Roy et al., 2001, Potts et al., 2001, Jahngir et al.,2011, Fenton et al. 2002)
sur l'analyse des interactions sol-structure, montrent l'effet significatif de l'interaction sol-structure et
son importance dans la prdiction globale de la rponse couple de la structure et du sol. Elachachi
et al. (2004 et 2012) ont considr l'effet d'interaction sol-structure sur les rseaux de canalisation
chargs. D'autre part, des tudes sur l'interaction sol-structure en tenant compte des effets de
Revue de littrature Chapitre 1
25 | P a g e
l'htrognit du sol ont t prsentes par Breysse et al. (2005), les rsultats ont montr l'effet de la
variabilit du sol sur les forces induites dans les systmes mcaniques linaires. Rcemment, Jahngir
et al. ,(2013) ont dvelopp un modle analytique pour tudier les effets du retrait des sols argileux
sur les ouvrages grce l'analyse de l'interaction sol-structure.
Comme le sol est un matriau non linaire et non homogne, les effets non linaires peuvent
modifier la rigidit du sol la base de la structure. Viladkar et al., (2006) et Bourne-Webb et al.,
(2007), en se concentrant sur la modlisation non linaire des problmes d'interaction sol-structure,
ont soulign l'importance prcise de lemploi de la modlisation non linaire des matriaux dans
lanalyse interactive de linteraction sol-structure. En ce qui concerne les ponts en bton arm, des
tudes sur les problmes de linteraction sol-structure sous une charge statique ont t effectues par
Fanton et al., (2011). Ces tudes ont montr la complexit de linteraction sol-structure et la
ncessit de considrer les proprits spcifiques du sol ainsi que celles concernant la gomtrie et la
rigidit de la structure. A cette effet, il est important de tenir compte du comportement non linaire
du sol qui doit tre pris en compte pour une meilleure reprsentativit des phnomnes tels que, le
tassement et de la consolidation du sol (cf. effet du temps) dans la rpartition des efforts internes
dans la structure. Donc, ltude des ponts en interaction avec le sol implique une modlisation
correcte de linterface sol-structure, ainsi que des non-linarits des sols.
1.6.2 Calcul fiabiliste
Les phnomnes de dgradation des ponts en bton arm sont d'une grande importance, les dsordres
peuvent provoquer la rduction de la dure de vie, et mme la ruine prmature d'un lment de ces
ouvrages. Pour bien cerner ce problme, plusieurs tudes rcentes ont t effectues en se basant sur
la thorie de la fiabilit (Sarveswaran et al., 2000, Sun et al., 2002, Yang et al., 2004, Nowak., 2004,
Silva., 2004, Higgins et al., 2005, Liang et Lan., 2005, Akgl et Frangopol., 2005a et 2005b, Robert-
Nicoud et al. ,2005, Mohammadkhani-Shali et al., 2007 Marsh et al., 2008, Plamondon., 2008,
Stewart et al., 2009, Bastidas-Arteaga et al., 2009, Langlois., 2010, El hassan et al., 2010 et Jafar et
al., 2011 ). Ces tudes portent sur un certain nombre de mcanismes qui provoque la dgradation des
ponts en bton arm, notamment laugmentation des efforts due aux charges extrieures, et la
corrosion des armatures due lexposition de ces ouvrages un environnement pollu et agressif,
qui favorise des dommages dorigine chimique. Ces agents polluants peuvent ragir avec les
constituants du bton et corroder les armatures. La plupart de ces tudes permettent dobtenir un
indice de fiabilit, qui peut servir d'indicateur pour maintenir un certain niveau de scurit au cours
Revue de littrature Chapitre 1
26 | P a g e
de la dure de vie de ces ouvrages.
En parallle, plusieurs auteurs ont introduit la variabilit des proprits du sol dans l'analyse de la
capacit portante des fondations profondes, en tenant compte de l'interaction sol-structure. Lance et
al. (2009) ont dvelopp une mthodologie de conception base sur la fiabilit en utilisant le modle
d'interaction sol-structure (cf. modle t-z), afin d'analyser les fondations profondes sous l'tat limite
de service. L'analyse probabiliste a t effectue l'aide de simulations de Monte Carlo pour gnrer
un grand nombre de courbes de charge-dplacement. En consquence, ils ont obtenu une distribution
de dplacement, qui peut tre utilise pour la conception et le fonctionnement des fondations
profondes en fonction d'un critre de tassement diffrentiel admissible.
Denis et al. (2011) sont parmi les rares auteurs qui ont dvelopp un modle d'interaction sol-
fondation par lments finis en tenant compte de l'influence de la variabilit longitudinale des sols
argileux sur le calcul de tassement diffrentiel, la distorsion angulaire et le moment de flexion dans
la fondation d'un mur lgrement charg. Les rsultats numriques ont montr que le moment de
flexion et la dformation angulaire varient avec la longueur de corrlation, ce qui correspond
environ le quart de la longueur de la fondation
Rcemment, Reda Farag (2014) a propos un modle probabiliste pseudo-statique simplifie sous un
chargement latrale pour calculer la fiabilit des piles des fondations profondes. Ce modle prend en
compte deux non-linarits gomtriques des sols, ainsi que, la formulation de la surface de rponse
dans l'tude fiabiliste prenant en compte l'influence de la gomtrie, des charges applique, et les
incertitudes sur le modle rhologique par des variables alatoire. Il a t observ que les variables
alatoires du dplacement latral et du rayon du pieu qui ont t introduites dans le modle
probabiliste ont influences la rponse du systme.
Trs rcemment, Imanzadeh et al. (2014) ont utilis deux approches pour la conception des
fondations filantes des btiments de faible poids avec des parois relativement peu chargs en
utilisant le modle d'interaction sol-fondation de type Winkler. Ces approches ont t compares
pour deux cas diffrents: le premier cas, un traitement de donnes avec la variabilit spatiale du
module de Young (Es) du sol et le second cas avec la variabilit spatiale de module de Young (Es)
couple avec la prsence d'une anomalie gologique dans un sol argileux de faibles proprits
mcaniques. Les rsultats ont montr en gnrale, que la variabilit spatiale du module du sol avec
une anomalie gologique du sol fait augmenter de manire significative, pour les deux conceptions
de fondation et de la structure, les valeurs du tassement maximale, le tassement diffrentiel et les
moments de flexion.
Revue de littrature Chapitre 1
27 | P a g e
1.7 Conclusion
La majeure partie de ces tudes est consacre l'valuation de la probabilit de dfaillance du
systme, o les paramtres sont : les paramtres mcaniques du sol et les charges appliques sur la
fondation. Ils ont montr que la probabilit de dfaillance est sensible la variabilit des proprits
du sol et la charge applique. Par consquent, cette recherche bibliographique dmontre en fait que
l'valuation prcise de la variabilit du sol est trs importante pour obtenir des rsultats probabilistes
prcis pour la conception et le dimensionnement des ouvrages en bton arm.
Cette liste indicative des rsultats dmontre d'une part, en fait que le problme fondamental de la
portance des ouvrages en bton arm nest pas encore puis et quil continuera offrir de nouveaux
sujets de recherche sur tous ses aspects et d'autre part, ces rsultats ont motiv notre travail o la
rduction de la capacit portante ou la charge ultime due la variabilit du sol est considre.
Modles rhologiques dlasticit non linaire et mthodes de rsolution numrique Chapitre 2
28 | P a g e
Chapitre 2
Modles rhologiques dlasticit non linaire
et mthodes de rsolution numrique
2.1 Introduction
Il existe un nombre considrable de modles pour simuler le comportement des sols, plus ou moins
complexes selon la complexit des phnomnes que lon souhaite simuler et la prcision recherche.
De plus, le nombre de paramtres du modle est variable et leur identification plus ou moins aise.
Plus le modle de comportement est sophistiqu, plus le nombre de paramtres identifier est
important. Dautre part, les modles les plus couramment utiliss en gotechnique sont le modle
lastique non linaire ou bien le modle lastique parfaitement plastique (pas dcrouissage, la surface
de charge est confondue avec la surface de rupture).
Dune manire gnrale, une bonne loi du comportement doit avoir une expression
suffisamment simple pour tre introduite dans un code de calcul numrique. Aussi, elle doit
comporter un nombre restreint de paramtres, facilement identifiables partir des rsultats
dessais classiques en laboratoire.
Plusieurs types de lois lastiques non linaires de complexit variable ont t dvelopps :
hypolastiques et hyperlastiques. Lee (1974) a recens plusieurs modles hypolastique disponibles
dans la littrature. Parmi ceux-ci le plus connu est la loi de Duncan qui se base sur une
approximation hyperbolique des courbes de comportement contraintes-dformations obtenues
dans un essai triaxial de compression draine. On note, quune revue bibliographique des principaux
modles lastoplastiques avec lasticit non linaire existant dans la littrature, pour une description
plus complte on pourra se rapporter Coquillay et al. (2005), Thpot (2004), Lee (1994), et
Mestat (1993).
Ce chapitre est divis en deux parties. La premire partie prsente les modles de comportement
d'lasticit non linaire, utilises dans la littrature pour prendre en compte les effets des non-
linarits des sols naturels (cf. sol cohrent ou pulvrulent) sur le comportement des structures bton
arm. Dans la deuxime partie, est expose la technique de rsolution itrative de "Newton-Raphson",
utilise pour le modle numrique dvelopp dans cette tude.
Modles rhologiques dlasticit non linaire et mthodes de rsolution numrique Chapitre 2
29 | P a g e
2.2 Modles de comportement d'lasticit non linaire du sol
2.2.1 Modles hyperlastiques
Les modles hyperlastiques constituent la premire catgorie des lois lastiques non linaires. Un
modle est dit hyperbolique si la dissipation intrinsque est toujours identiquement nulle. On peut
alors montrer que la relation de comportement se met sous la forme :
klij
ij
W
(2.1)
Ou W est lnergie libre du matriau.
De la mme faon, on peut dfinir une nergie complmentaire ij qui est seulement fonction
du tenseur de contrainteij , telle que :
klij
ij
(2.2)
Dans ces conditions, il ne peut y avoir production dnergie pendant un chargement cyclique ferm.
Un modle hyperlastique est donc caractris partir de la donne de lnergie libre klW ou de
lnergie complmentaire ij .
Il peut tre utile de signaler que les quations 2.1 et 2.2 peuvent tre crites sous forme matricielle :
ij ijkl klC (2.3)
ij ijkl klD (2.4)
Le tenseur du quatrime ordre ijklC et ijklD dpendent des tats actuels de dformation et de
contrainte. Les quations 2.1 et 2.2 donnent par diffrentiation :
2
ij kl ijkl kl
ij kl
Wd d H d
(2.5)
2'
ij kl ijkl kl
ij kl
Wd d H d
(2.6)
Ou ijd et ijd sont respectivement les tenseurs incrmentaux des contraintes et des dformations.
Les modles hyperlastiques sont des modles qui reposent dabord sur des considrations
thermodynamiques (nullit de la dissipation intrinsque). Linconvnient majeur de ces modles
rside dans le fait quils sont compliqus mettre en uvre dans un code de calcul par lment finis,
Modles rhologiques dlasticit non linaire et mthodes de rsolution numrique Chapitre 2
30 | P a g e
cela est dautant plus vrai si larchitecture du code est complexe, comme celle du logiciel CESAR-
LCPC (Coquillay, et al. 2005).
2.2.2 Modle hypolastique
Les modles de type hypolastique constituent la seconde classe de modles lastiques non linaire.
Ils ne drivent pas, en gnral, dune potentielle thermodynamique mais sont plutt issus de
formulations empiriques bases sur lexprience.
Les modles hypolastiques peuvent tre utiliss pour dcrire les relations incrmentales de
comportement lastique non linaire isotrope. La notion dhypolasticit consiste faire lhypothse
que lincrment de contrainte dpend non seulement de lincrment de dformation, mais galement
de la contrainte elle-mme. Lquation de comportement sexprime alors sous la forme incrmentale
suivante :
minij ijkl kld C d (2.7)
Ou ijklC reprsente le tenseur de comportement tangent.
Le comportement dcrit par lquation 2.7 est infinitsimalement rversible. Toutefois, le
comportement dun matriau hypolastique dpend du chemin de chargement.
Bon nombre de modles bass sur des relations incrmentales ont t tablis pour modliser le
comportement non linaire des sols, des roches et des btons, ces modles ont t dvelopps en se
basant sur deux approches hypolastiques :
- La plus courante consiste formuler les relations de comportement du modle lastique
linaire en introduisant une dpendance des modules scant vis--vis des invariants de
contrainte ou de dformations,
- La deuxime approche est base sur une linarisation par morceau des courbes contraintes-
dformations. Ces lois sont dites quasi linaires (Desci et Siriwardane, 1984). La loi de
Hooke est applique sur chaque plage de contraintes avec des coefficients tangents Kt, et Gt,
ou Et et vt diffrents. Dune manire gnrale, les coefficients sont exprims par des
fonctions continues de ltat des contraintes. Lexpression de ces lois est alors la suivante :
1 1 1 2
t t tij ij kk ij
t t t
E v Ed d d
v v v
(2.8)
22
3ij t ij t t kk ijd G d K G d
(2.9)
Deux familles de modles hypolastiques sont souvent utilises dans le cadre de la mcanique des
Modles rhologiques dlasticit non linaire et mthodes de rsolution numrique Chapitre 2
31 | P a g e
sols et des roches :
(a) les modles hyperboliques (Duncan et al., 1970, 1972,1978 et 1980 ; Kondner, 1963 ; Kulhawy
et al., 1969 ; Wong et Duncan 1974 ; Domaschuk etWade, 1969 ; Hardin et Dernvich, 1972 ;
Domaschuk et VaUiappan, 1975 ; Yogendrakumar et al. 1992, etc.).
(b) les modles des modules variables (Nelson, 1970 ; Baron et al. 1971 ; Nelson et Baron, 1971 ;
Naylor, 1975 ; etc.). Pour l'analyse du comportement non-linaire des sols, certains modles sont
mathmatiquement bass sur une reprsentation de la relation contrainte-dformation partir d'une
courbe hyperbolique ou parabolique (Kondner, 1963 ; Hansen, 1963). On examine, dans cette tude,
le modle hyperbolique de Duncan et Chang (1970), bas sur une formulation utilisant le module
d'Young tangent Et et le coefficient de Poisson tangent t
2.2.2.1 Modle hyperbolique de Duncan
Le modle de Duncan est bas sur les lois incrmentales qui sont faciles implanter dans un
code de calcul utilisant une approche incrmentale. Lide est de suivre pas pas le chargement,
dcoup en incrments, en vitant les dcharges importantes, autrement dit, le modle hyperbolique
de Duncan correspond aux sols contractants, il est conduit une meilleure modlisation de la
dformation du sol.
Lorigine des modles hyperboliques se trouve dans les travaux de Kondner (1963), il a propos une
loi de comportement fonde sur une approximation des courbes de comportement contraintes-
dformation obtenues dans un essai triaxial de compression draine. La relation hyperbolique
propose par Kondner (1963) est :
11 3
1a b
(2.10)
Ou 1 est la dformation axiale et a et b deux paramtres dpendant de lessai triaxial. Elle se
dtermine aisment : (1/a) est la pente initiale du graphique et (1/b) la valeur asymptotique de (
1 3 )
Figure 2.1 : Reprsentation de la loi hyperbolique de Kondner
Modles rhologiques dlasticit non linaire et mthodes de rsolution numrique Chapitre 2
32 | P a g e
Kondner (1963) a remarqu que les paramtres a et b peuvent tre dtermins trs facilement partir
de lquation 2.10 par la transformation suivante :
11
1 3
a b
(2.11)
Le graphique rsultant est linaire (fig 2.2)
Figure 2.2 : Reprsentation transforme de la loi hyperbolique de Kondner
Lexpression du module dYoung tangent dduit par la drivation de la relation 2.10 est :
1 32
1 1( )t
d aE
d a b
(2.12)
En particulier le module initial est donn par :
1iE
a (2.13)
Cependant, lexprience montre que la rigidit du sol dpend de ltat de contraintes. Alors, afin de
prendre en compte ce phnomne, Duncan et Chang (1970) ont complt la loi hyperbolique de
Kondner en y introduisant le module tangent initial propos par Janbu (1963) :
3. .
n
i a
a
E K PP
(2.14)
Ou Pa est la pression atmosphrique, K et n sont des paramtres obtenus partir des rsultats
dessais de compression triaxiale draine, raliss diffrentes pressions de confinement 3 .
n : reprsente une valeur dcrivant le taux de variation de la rigidit du sol en fonction de la
contrainte de confinement 3 , n est compris entre (1/3) et (1/2), sa valeur dpend du caractre
anguleux et de la taille des particules. Une valeur courante pour les sables est de 0.4 et pour les
argiles normalement consolides elle est de 0.5 (Mestat, 1993).
Le modle de Duncan et Chang (1970) est bas sur une loi dlasticit non linaire de type
Modles rhologiques dlasticit non linaire et mthodes de rsolution numrique Chapitre 2
33 | P a g e
hyperbolique entre le dviateur des contraintes et la dformation axiale, avec un critre de
rupture de type Mohr-Coulomb. Il est dfini en tout point matriel par un module dYoung tangent
Et pour la phase de chargement (Figure 2.3a) et un module dYoung Eur pour la phase de
dchargement- rechargement (Figure 2.3b)
Figure 2.3 : Reprsentation de la courbe de cisaillement pour les phases de chargement (a) et de
dchargement rechargement (b) du modle hyperbolique.
Janbu (1963) montr que les valeurs de lexposant n se situent entre 0.35 et 0.55 pour des sables
de porosit 35 50% et que le coefficient Kh varie entre 50 et 500.
Dune faon sminaire, Kulhawy et Duncan (1972) ont exprim le coefficient de poisson tangent vt
par une approximation hyperbolique dans le diagramme ( 1 3, ). Lhyperbole est dfinie ainsi :
31
3c d
(2.15)
Ou 3 est la dformation radiale et (c) et(d) sont des constantes dpendant de lessai triaxial.
Lexpression du coefficient de Poisson tangent de dduit par la drivation :
3
2
1 1(1 )t
d cv
d d
(2.16)
Duncan et Chang (1970) ont fait voluer ce modle en faisant apparatre les contraintes 1 et 3 par
lintermdiaire de lquation 2.10 dans lexpression du module tangente Et, ils ont galement
remplac le paramtre (a) par son expression (2.13) et (b) par 1 3
1
ult
,
Modles rhologiques dlasticit non linaire et mthodes de rsolution numrique Chapitre 2
34 | P a g e
Lquation 2.11 devient alors :
2
1 3
1 3
1t iult
E E
(2.17)
Duncan et Chang (1970) ont introduit le paramtre Rf comme tant le rapport entre la contrainte de
rupture 1 3 r et la contrainte maximale asymptotique 1 3 ult :
1 3
1 3
rf
ult
R
(2.18)
Comme la rupture arrive avant que lasymptote ne soit atteinte, ce paramtre est inferieur 1 (Rf
1), ce rapport compris entre 0.75 et 1 pour la majorit des sables (Krahn, 2004). Ltat de
contraintes la rupture est galement suppos vrifier le critre de Mohr-Couloumb :
3
1 3
2 cos sin
1 sinrc
(2.19)
Ou c et reprsentent la cohsion et langle de frottement du matriau. Par suite, lexpression
finale du module dYoung vaut :
2
1 33
3
(1 sin )( )1
2 cos sin
n
f
t h a
a
RE K P
P c
(2.20)
Figure 2.4 : Relation entre le module initial tangent d'Young Ei et la contrainte moyenne initiale
De mme que pour lexpression du module dYoung tangent, on peut faire apparaitre les contraintes
1 et 3 par lintermdiaire de lquation (2.10). En posant c=vi (coefficient de Poisson tangent
initial), lquation (2.16) devient :
Modles rhologiques dlasticit non linaire et mthodes de rsolution numrique Chapitre 2
35 | P a g e
2
1 3
1 3
1 3
1
1
it
i
ult
vv
d
E
(2.21)
Le coefficient de Poisson tangent initial peut tre exprim en fonction de la pression de confinement
tel que :
* * 3logia
v G FP
(2.22)
Ou G* et F
* sont des paramtres du modle de Duncan dtermins partir dessais de compression
triaxiale draine, raliss diffrentes pressions de confinement 3 . Par la suite, lexpression finale
du coefficient de Poisson tangent vaut :
2 * * 3
2
1 3
logta
t
t
E G FP
vE d
(2.23)
Figure 2.5 : Relation entre le coefficient de Poisson v et la contrainte moyenne initiale
Duncan et Chang (1970) ont ajout un paramtre de dchargement Eur, afin de faire apparaitre des
dformations irrversibles. Le module au dchargement rechargement est alors pris sous la forme
suivante :
Modles rhologiques dlasticit non linaire et mthodes de rsolution numrique Chapitre 2
36 | P a g e
3
m
t ur a
a
E E PP
(2.24)
Ou : Eur et m sont des paramtres de la loi de Duncan.
m reprsente une valeur dcrivant le taux de variation du module de compressibilit en fonction de la
contrainte de confinement3 .
Wong et Duncan (1974) ont montr que le coefficient Eur et de un trois fois plus lev que le
coefficient Kh, tandis que lexposant m (0< m< 1) a une valeur trs proche de celle de n.
Une autre version du modle (Duncan et al, 1980), dans laquelle le module de compressibilit
volumique tangent Kt est donn par la relation suivante :
3( )mt b aa
K K pp
(2.25)
o Kb est dsigne le paramtre exprimentale, o le coefficient de Poisson tangent
t sexprime par la relation suivante :
3
6
t tt
t
K E
K
(2.26)
Avec, Et / 3 0.5 on limite Kt
17 Et.
0.56
tt
t
Ev
K
(2.27)
La loi de Duncan intgre aussi le fait que langle dpend de la pression de confinement 3
lorsque celle-ci varie de faon importante, ce qui est le cas pour un barrage. Il crit :
30 log
aP
(2.28)
o : 0 est l'angle de frottement interne du sol. est rduction supplmentaire de l'angle de
frottement chaque fois que 3 augmente 10 fois.
La relation incrmentale contrainte-dformation correspondant ce modle est donne par
lexpression matricielle suivante :
Modles rhologiques dlasticit non linaire et mthodes de rsolution numrique Chapitre 2
37 | P a g e
1 1
2 2
3 3
1 0
1 01 1 2
10 0
2
t t
tt t
t t
t
d dv vE
d v v dv v
vd d
(2.29)
Le modle hyperbolique de Duncan dans sa totalit ncessite la dtermination de Onze paramtres :
Kh, Pa, n, Rf, C, , G*, F
*, d, Eur et m. Ce modle est principalement caractris par son non
linarit et plus particulirement par la dpendance par apport la contrainte principale mineure. La
dtermination de ces paramtres ncessite lanalyse des rsultats dessais triaxiaux de cisaillement
drain.
2.3 Donnes sur le modle hyperbolique de Duncan
Dans les annes 1970, et dans le cadre du dveloppement dun modle hyperbolique de sol
lUniversit de Californie (U.S.A), plusieurs essais triaxiaux ont t raliss pour mesurer les valeurs
des paramtres exprimentaux du modle hyperbolique sur diffrentes types des sols. Les rsultats
ont t prsents dans un document interne par Duncan et al. (1980) luniversit de Californie,
malheureusement ce document est puis (Krahn, 2009). Ces valeurs ont t utilises comme un
guide pour dvelopper une srie dexemple pour la simulation dans un programme (i.e, programme
SIGMA/W de Krahn, 2004), et lutilisation dans une analyse bas sur ce modle.
Tableau 2.1 : Proprits de rigidit des sols prsent par Duncan et al. (1980)
Plusieurs auteurs ont propos dans leurs calculs avec lments finis des modles dlasticit non-
linaire du sol du type hyperbolique a celui de (Duncan et Chang, 1970, Duncan et al, 1980), On
peut citer les travaux de (i) Byrne et al. (1987), Saboya et Byrne (1993), Krahn . (2004, 2009) et
Modles rhologiques dlasticit non linaire et mthodes de rsolution numrique Chapitre 2
38 | P a g e
Ghasemzadelh et al. (2006) dans les problmes du comportement des barrages, et (ii) Ling et al.
(2009), et Abedlouab et al. (2010), dans le comportement des murs en sol renforc, et Huang
Xiao-Ming et al. (2009) dans les problmes des remblais gosynthtiques renforcs ou non
renforcs, (iii) Yu-Lin LEE et al. (1994) dans les problmes de la modlisation du creusement dun
tunnel, (vi) Arafati, 1996 dans les problmes de la modlisation des ouvrages de soutnement.
L'utilisation du modle hyperbolique du Dancan a aussi t tudi par un certain nombre d'auteurs
dans les gomatriaux, A ce sujet, on peut citer les traveaux de Ghasemzadeh et al.(2006), et Gatmiri
(1997) qui a propos un modle intgrant les quations de transfert et la conservation des diffrentes
composantes dun milieu poreux non satur dans des conditions non isothermes en utilisant une loi
de comportement non linaire hyperbolique de Kondner-Duncan.
Rcemment, Nayezadeh et al. (2011), ont tudis la stabilit d'un barrage en remblai du Ghavoshan
(situ dans la partie Ouest de l'Iran), pour l'valuation du problme de la fracturation hydraulique, ce
phnomne est lun des sujets les plus importants dans les barrages en remblai, cest un phnomne
primordial qui produit dans le corps intrieur de la digue ( voir See Ng et Small 1999, Sherard 1991;
Narita 2000 pour plus de dtails) et aussi fin dindiquer leffet de la forme du noyau dune argile
impermable sur la stabilit de ces barrages, pour ce faire une modlisation du barrage par la
mthode de dformation plane en lment finis (Krahn, 2008) t effectue. Ils ont utilise un
modle du sol hyperbolique de Duncan, certains paramtres gotechniques de l'utilisation du ce
modle pour lanalyse en contrainte effective et totale sont prsentes dans cette recherche pour
trois types des matriaux ( argile noyau, remblai et un zone transitoire du filtrage du barrage).
Afin de mettre en vidence l'influence du modle de comportement dans le sol
renforc, le modle de Duncan et Chang est aussi utilis par Abedlouab et al.(2010), avec
dautre loi comportement ; Mohr Couloumb et le modle (CJS2), ce modle est une version
simplifie du modle (CJS) dvelopp par Cambou et Jafari (1987) pour les sols pulvrulents.
Abedlouhab et al.(2010) ont ainsi confirm la ncessit de prendre en compte au moins un modle
de comportement non-linaire des sols (comme Duncan et Chang) afin de mieux modliser la
dformation du mur ainsi que les efforts de traction sur les armatures dans les zones les
plus importantes du mur.
Des calculs numriques par la mthode des lments finis ont t effectus par Ling et al,
(2009) pour simuler le comportement dun mur en sol renforc par des gogrilles
synthtiques, lors de la construction. Les simulations numriques de la construction du mur ont
t effectues en utilisant un modle lastique non-linaire du type hyperbolique de Duncan et
Modles rhologiques dlasticit non linaire et mthodes de rsolution numrique Chapitre 2
39 | P a g e
al.(1970) et un modle de plasticit gnralise plus complexe (Generalized plasticity soil
model). Ce dernier modle permet de simuler le comportement contrainte-dformation et la
dilatance du sol de manire satisfaisante. Les dplacements horizontaux de la faade du mur au cours
de la construction sont bien simuls par les deux modles de comportement. Les auteurs ont
conclus que, les deux modles conduisent gnralement des rsultats similaires. Cependant,
quelques petites diffrences sont observes dans les rsultats et la modlisation est limite
une structure unique avec un seul type de renforcement.
Des diffrents essais mens aussi par (Serratrice, 2001; Serratrice, 2005b) ont montr aussi que
lapproche de Duncan et Chang donne une trs bonne approximation des non-linarits observes en
laboratoire, mais devient trs difficile utiliser pour le calcul douvrage, (la contrainte moyenne
non-constante, chemin de contraintes complexe, etc.)
Le tableau suivante prsente quelques valeurs publies dans la littrature des paramtres du modle
hyperbolique de Duncan, qui sont trs diverses.
Concernant les valeurs du G*,F
*,d du ce modle, il n'existe pas des informations suffisantes sur ces
paramtres, quil sont lie la dtermination du coefficient de Poisson tangente vt de ce modle.
Tableau 2.2 : Paramtres de modle de Duncan utilises par diffrents chercheurs
Rfrence
Type du
sol
Paramtres de modle de Duncan
3
(kPa)
C
Pa
Kh n d*
F*
G* Eur Rf m
Pingye Guo et
al, (2012)
Remblai 110 48,5 100 704 0,38 844,8 0,79 0,18 300,600
et 900
Nayebzadeh
et al. (2011)
Argile 39 7 100 40 0.36 136 0.93 0.2
Abedelouhab
et al. (2010)
Sable
100
500
0.55
600
0.7
0.5
30, 60 et
90
Huang, et
al. (2009)
Argile
molle
20
24
100
100
0.82
0.7
140
Remblai
30
28
100
150
0.40
0.8
Shangguan
Zichang et al,
2009
0,6 35 100 82 0,65 0,03 0,04 0,33 0,71 100,200
et 300
Meddah, et
al. (2008)
Sable moyennem
ent dense
0 38 100.4 625 0.97 22.3 0.26 625 1 1.37 35,50,75,100
et150
Modles rhologiques dlasticit non linaire et mthodes de rsolution numrique Chapitre 2
40 | P a g e
Sable trs
dense
0 39 100.4 614 0.86 28.7 0.26 614 1 1.35 35,50,75,
100et
150
Ghasemzadel
h,etal. (2006)
Mlange
de sable,
argile et
graphite
399
0.6
519
0.75
0.4
Ladjal, et
al. (2004)
Argile
molle
15.5
11.8
101.4
295
0.5
0.95
20,40,60,
80,100et
200
sable
0
32
101.4
2161
0.5
0.7
0.2
50,100,1
50,200 et 300
Krahn,2004
Argile
0.1
0
100
47
0
0.9
0
200
Massiera,et
al. (2006)
sable fin
grossier
0
32
100
800
0.5
400
0.7
0.2
sable
moyen
grossier
graveleux
0
32
100
1000
0.5
500
0.7
0.2
sable
grossier graveleux
avec
prsence
de blocs
0
32
100
1000
0.5
600
0.7
0.2
Abu-Hejleh et
al, 2000
Remblai
compact
70 40 100 1070 0,7 700 0,82 0
Arafati, et
al. ( 1996)
Sable
2.35
41.6
100
237.2
0.88
6.83
0.01
0.01
0.78
0.88
198.25
Yu-LinLEE et
al. ( 1994)
Marne
1.84
26,6
100
1646
0.3
11.2
0.43
0.82
0.69
2.5MPa
Byrne ,1987
Sable
entre
850
et
1500
0.5
entre
450
et
900
0.70
0.25
2.4 Mthode de rsolution numrique
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