AIDE-MÉMOIRE
Sciencedes matériaux
Michel Dupeux
AIDE-MÉMOIRE
Sciencedes matériaux
3e édition
Illustration de couverture : © wootthisak – fotolia.com
© Dunod, Paris, 2004, 2008, 2013, 2015 pour la nouvelle présentation
5 rue Laromiguière, 75005 Pariswww.dunod.com
ISBN 978-2-10-074559-3
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Avant-propos
Les petis cors, culbutans de travers,Parmi leur cheute en bïais vagabonde,
Hurtés ensemble, ont composé le monde,S’entr’acrochans d’acrochements divers.
Ronsard, Les Amours, sonnet 37
Chez les libraires et dans les bibliothèques universitaires, comme pourles professionnels, le terme « Science des Matériaux » évoque désor-mais des notions connues et mieux définies que vingt ans en arrière.
Dès la première parution du présent Aide-Mémoire en 2004, il eut étéfallacieux de prétendre transmettre au lecteur un contenu définitif etfermé, surtout pour une science appliquée relativement jeune dans saformulation synthétique. C’est pourquoi, comme les matériaux, cetouvrage évolue et continuera certainement à le faire. Certes, il comportetoujours les concepts scientifiques de base, indémodables et indispen-sables ; certes, il s’efforce toujours de présenter uniquement les infor-mations essentielles en mettant l’accent sur leurs aspects pratiques,complétées par une bibliographie abondante. Mais d’une édition àl’autre, son contenu s’enrichit peu à peu de paragraphes relatifs à desproblématiques plus actuelles comme les nanomatériaux, le recyclageou les biopolymères.
Dans l’aventure que constitue la poursuite de cette publication, je nemanquerai pas d’exprimer ma reconnaissance à tous ceux qui, lecteurset utilisateurs fidèles, continuent à m’encourager de leurs commentaires ;
3p00V-0VI-AP-9782100588299_LSN.fm Page V Thursday, January 3, 2013 10:26 AM
VI Avant-propos
je n’oublierai pas non plus les générations d’étudiants dont les interro-gations parfois déroutantes amènent toujours à se poser les « bonnes »questions, les plus élémentaires, et à en chercher les réponses sous laformulation la plus convaincante.
Michel DUPEUX
AVERTISSEMENT
Les données figurant dans les tableaux et diagrammes de cetouvrage n’ont qu’une valeur indicative et ne doivent en aucuncas être utilisées pour des calculs de dimensionnement précis.Les propriétés des matériaux dépendant étroitement de leursconditions d’élaboration, de transformation et d’utilisation, pourun calcul précis on devra exclusivement se baser sur les caractéris-tiques et spécifications fournies et garanties par l’élaborateur dumatériau utilisé, ou obtenues à l’aide d’essais spécifiques de l’utili-sation envisagée.
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Table des matières
CHAPITRE 1 • GÉNÉRALITÉS : QU’EST-CE QU’UN MATÉRIAU ? 1
1.1 Définition 1
1.2 Propriétés 2
PARTIE 1 : COMPOSITION ET STRUCTURE
CHAPITRE 2 • COMPOSITION CHIMIQUE DES MATÉRIAUX 7
2.1 Classification des éléments chimiques 7
2.2 Liaisons chimiques 12
2.3 Classification des matériaux et des propriétés 13
CHAPITRE 3 • STRUCTURE DES MATÉRIAUX SOLIDES 17
3.1 Solides amorphes 17
3.2 Solides cristallins 21
3.3 Effets de la composition chimique 30
3.4 Défauts cristallins 32
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VIII Table des matières
3.5 Effets de la température 38
3.6 Principales techniques de caractérisation chimique et structurale 45
CHAPITRE 4 • ÉQUILIBRE THERMODYNAMIQUE 59
4.1 Changements de structure dans un matériau 59
4.2 Diagrammes d’équilibre de phases 62
CHAPITRE 5 • CINÉTIQUE DES TRANSFORMATIONS DE PHASES 77
5.1 Thermodynamique des transformations de phases 77
5.2 Transformations diffusives 79
5.3 Transformations displacives 86
5.4 Applications : notions de base des traitements thermiques 88
PARTIE 2 : PROPRIÉTÉS
CHAPITRE 6 • PROPRIÉTÉS MÉCANIQUES 93
6.1 Déformation élastique des solides 93
6.2 Déformation plastique des solides 96
6.3 Comportement mécanique quasi-statique 106
6.4 Ténacité et rupture 124
6.5 Comportement mécanique dynamique 128
6.6 Fractographie 131
CHAPITRE 7 • PROPRIÉTÉS PHYSIQUES 137
7.1 Masses volumiques 137
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7.2 Propriétés électriques 139
7.3 Propriétés magnétiques 144
7.4 Propriétés optiques 147
7.5 Propriétés thermiques 151
CHAPITRE 8 • DÉGRADATION : VIEILLISSEMENT, CORROSION, USURE 157
8.1 Vieillissement 157
8.2 Corrosion 161
8.3 Frottement et usure 171
CHAPITRE 9 • IMPACT ENVIRONNEMENTAL, IMPACT SANITAIRE, RECYCLABILITÉ 173
9.1 Coût en énergie 173
9.2 Risques sanitaires, toxicité 175
9.3 Recyclage 186
PARTIE 3 : PRINCIPAUX MATÉRIAUX USUELS
CHAPITRE 10 • MÉTAUX ET ALLIAGES 193
10.1 Désignation normalisée des métaux et alliages 193
10.2 Fer et alliages ferreux 214
10.3 Aluminium et alliages d’aluminium 232
10.4 Cuivre et alliages cuivreux 237
10.5 Zinc et alliages de zinc 242
10.6 Magnésium et alliages de magnésium 243
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X Table des matières
10.7 Titane et alliages de titane 245
10.8 Nickel et alliages de nickel 246
10.9 Terres rares 248
10.10 Méthodes de mise en œuvre des métaux et alliages 249
10.11 Guide d’identification des métaux et alliages 250
CHAPITRE 11 • MATÉRIAUX ORGANIQUES 255
11.1 Généralités 255
11.2 Principaux polymères thermoplastiques 265
11.3 Principaux polymères thermodurcissables 270
11.4 Principaux élastomères 270
11.5 Biopolymères 274
11.6 Méthodes de mise en œuvre des matériaux organiques 276
11.7 Guide d’identification des polymères 277
CHAPITRE 12 • MATÉRIAUX MINÉRAUX 283
12.1 Généralités 283
12.2 Verres minéraux 289
12.3 Céramiques traditionnelles 292
12.4 Céramiques techniques et cermets 294
12.5 Autres matériaux minéraux 296
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Table des matières XI©
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CHAPITRE 13 • MATÉRIAUX COMPOSITES, MULTIMATÉRIAUX, REVÊTEMENTS ET TRAITEMENTS DE SURFACE, NANOMATÉRIAUX 299
13.1 Généralités 299
13.2 Matériaux composites 300
13.3 Multimatériaux 319
13.4 Traitements de surface et revêtements 320
13.5 Matériaux cellulaires 326
13.6 Nanomatériaux 328
CHAPITRE 14 • SÉLECTION DES MATÉRIAUX 335
14.1 Propriétés d’usage 336
14.2 Adéquation matériau-fonction 336
14.3 Adéquation matériau-procédé 340
14.4 Sélection multicritères 344
ANNEXES 349
BIBLIOGRAPHIE 353
INDEX GÉNÉRAL 359
INDEX DES MATÉRIAUX 373
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Chapitre 1
Généralités : qu’est-ce qu’un matériau ?
Les objets qui nous entourent, que nous manipulons quotidiennement,sont tous constitués d’une matière choisie pour sa bonne adaptation à lafonction de l’objet en question et au procédé utilisé pour conférer àl’objet la forme souhaitée. La notion de matériau est donc rigoureuse-ment indissociable de l’intérêt que peut présenter la substance en ques-tion pour l’obtention d’un objet fini (figure 1.1).
1.1 DÉFINITION
De manière symbolique et résumée, un matériau est une matière donton fait un matériel.
Figure 1.1 Interactions présidant à la réalisation d’un objet fini.
Conception
Objetfini
ProductionGéométrie
Matériau
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2 1 • Généralités : qu’est-ce qu’un matériau ?
De manière plus précise et plus complète :
1.2 PROPRIÉTÉS
Les propriétés d’usage des matériaux ont essentiellement deux origines :– leur composition chimique (nature des espèces atomiques qui les
constituent);– leur microstructure (organisation des atomes constitutifs).
La caractéristique la plus évidente de la matière non vivante qui nousentoure est son état physique : solide, liquide ou gazeux. Ces différentsétats physiques proviennent essentiellement des effets de la températuresur la microstructure, perceptibles à travers les variations de la viscositéde la matière, c’est-à-dire sa résistance à l’écoulement (figure 1.2).
La température de la matière mesure essentiellement le degréd’agitation et de désordre (ou entropie) des atomes qui la constituent.Lorsqu’elle s’élève, les atomes vibrent autour de leur position moyenne àla fréquence de Debye νD (cf. Annexe), occupant ainsi un espace plusimportant (d’où la dilatation thermique) et se déplaçant plus facilement(d’où la diffusion et la mobilité atomique). Ce n’est qu’au zéro absolu del’échelle Kelvin qu’ils seraient rigoureusement immobiles.– À température élevée, la matière est à l’état gazeux, état caractérisé
par une distance importante entre atomes ou molécules disposésalors en désordre. Un gaz est donc compressible et très fluide. Saviscosité est de l’ordre de 10– 5 poiseuilles (Pl) ou Pa · s (cf. Annexe« Constantes physiques et unités de mesure »).
– À température plus basse, les forces d’attraction interatomiques ouintermoléculaires deviennent non négligeables devant l’agitationthermique et peuvent provoquer le passage à l’état liquide. Les atomesou molécules sont alors en désordre, mais à courte distance. Un
un matériau est la forme marchande d’une matière première choisieen raison de propriétés d’usage spécifiques et mise en œuvre par destechniques appropriées pour l’obtention d’un objet de géométriedonnée à fonction préméditée.
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1.2 Propriétés 3©
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liquide est donc fluide et peu compressible. Sa viscosité est de l’ordrede 10– 3 ou – 4 Pl.
– À température encore plus basse, les forces d’attraction inter-atomiques devenant encore plus prépondérantes, la matière peutpasser à l’état solide cristallisé, augmentant ainsi en général sacompacité. Les atomes sont alors ordonnés et à courte distance. Unsolide cristallin est donc très peu fluide et très peu compressible. Saviscosité est de l’ordre de 1017 Pl.
– Si l’abaissement de température s’effectue rapidement par rapport àla mobilité atomique, les atomes n’ont pas la possibilité de s’ordonneravant que l’arrêt de la diffusion ne les immobilise. Le liquide se figealors en solide amorphe ou vitreux, les atomes y sont en désordreà courte distance. La viscosité d’un solide vitreux varie continûmentavec la température depuis celle d’un liquide jusqu’à celle d’un solide,la limite liquide/solide s’établissant à une viscosité d’environ 1015 Pl.
Figure 1.2 Changements d’état de la matière en fonction de la température.
Viscosité(Pa · s)
1016
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solidification
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Température (K)
État gazeuxÉtat liquide
État solidevitreux
État solidecristallin
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4 1 • Généralités : qu’est-ce qu’un matériau ?
La pression joue également un rôle dans les changements d’état dela matière (figure 1.3) : une augmentation de pression tend à élever lestempératures de changement d’état, car son action stabilise les étatscondensés (solide, liquide), par rapport à l’état dispersé (gazeux). Ceteffet est perceptible sur la plupart des matériaux (à l’exception notablede la glace, forme solide de l’eau).
Les matériaux étant destinés à la réalisation d’objets capables derésister aux manipulations et au moins aux sollicitations de leur proprepoids, la suite de cet ouvrage est essentiellement consacrée aux matériauxsolides, amorphes ou cristallins. Nous étudierons notamment commentces matériaux se comportent lorsque les pièces qu’ils constituent sontsollicitées en service (figure 1.4).
Figure 1.3 Variation des états physiques en fonction de la pression et de la température.
Pression
Température
Gaz
LiquideÉtat
sur-critiqueSolide
Sublimation
Vaporisation
Pointcritique
Fusion
Point triple
Figure 1.4 Types de sollicitations subies par un matériau en service.
Temps
Particuleset rayonnementsélectromagnétiques
Sollicitations chimiques
Sollicitations mécaniques
Température
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PARTIE 1
COMPOSITION ET STRUCTURE
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Chapitre 2
Composition chimique des matériaux
2.1 CLASSIFICATION DES ÉLÉMENTS CHIMIQUES
Les atomes des éléments chimiques diffèrent par leur structure à l’échellesubatomique, c’est-à-dire le nombre et la nature des particules élémen-taires qui les constituent :– noyau : protons et éventuellement neutrons;– cortège électronique gravitant autour du noyau : électrons en nombre
égal aux protons dans un atome à l’équilibre.Les protons sont chargés positivement et les électrons négative-
ment, de charges élémentaires égales en valeurs absolues, de sorte que
Figure 2.1 Exemple de l’atome de lithium.
_
_
_
– 3 électrons– 3 protons⇒ numéro atomique (nombre de protons) Z = 3Noyau :– 3 protons– 4 neutrons⇒ masse atomique (nombre de protons et de neutrons) A = 7
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8 2 • Composition chimique des matériaux
l’atome est électriquement neutre à l’état d’équilibre (figure 2.1). Lamasse de l’électron est négligeable devant celle du proton ou du neutron(tableau 2.1).
Les orbites des électrons occupent dans un atome des couches succes-sives, correspondant à des niveaux d’énergie discrets, qui deviennentdes bandes dans les solides regroupant plusieurs atomes. Ces niveauxne peuvent contenir qu’un nombre limité d’électrons : deux pour lepremier, huit pour les niveaux suivants (du moins lorsqu’ils se trouventen position externe), et ils sont séparés par des bandes interdites. Onappelle énergie de Fermi de l’atome considéré la limite supérieure duremplissage des états d’énergie électroniques à l’équilibre thermodyna-mique et au zéro absolu.
Tableau 2.1 MASSES ET CHARGES ÉLECTRIQUES DES PARTICULES ÉLÉMENTAIRES.
Tableau de classification périodique des éléments chimiquesou tableau de Mendéléiev. (Tableaux 2.2 et 2.3). Les lignes oupériodes sont les niveaux successifs des couches électroniques. Lescolonnes ou groupes sont le nombre d’électrons dans la couche externe.
À partir du deuxième élément de la quatrième période (calcium), lescouches électroniques internes peuvent recevoir plus de huit électrons;des éléments supplémentaires s’intercalent donc avant le passage augroupe suivant.
Les propriétés chimiques d’un élément proviennent essentiellementde ses électrons, et en particulier de ceux de la couche externe, appelésélectrons de valence; ces propriétés sont donc liées au groupe (colonnedu tableau de classification périodique) auquel il appartient.
Particule Masse (au repos) Charge électrique
Électron 9,110 · 10– 31 kg – 1,602 · 10– 19 C
Proton 1,673 · 10– 27 kg + 1,602 · 10– 19 C
Neutron 1,675 · 10– 27 kg 0
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2.1 Classification des éléments chimiques 9©
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10 2 • Composition chimique des matériaux
Isotopes. Éléments possédant le même numéro atomique (donc lesmêmes propriétés électroniques et chimiques), mais des masses atomiquesdifférentes, en raison d’un nombre différent de neutrons. Dans la nature,certains éléments chimiques existent sous forme de mélanges d’isotopes;ceci entraîne des valeurs de masses atomiques moyennes non entières(tableau 2.3).
Propriétés des groupes. Les éléments du groupe VIII, appelés gazrares, sont caractérisés par une couche externe complète; ceci leurconfère une stabilité chimique exceptionnelle.
Les éléments du groupe I A (tableau 2.3) ne possèdent qu’un seulélectron sur leurs couches externes : ils ont tendance à s’en défaire pouravoir une couche extérieure saturée et donner des ions positifs oucations. Cette tendance s’étend aussi à tous les éléments de la partiegauche du tableau, appelés métaux, qui sont tous donneurs d’électrons.Les éléments du groupe VII A possèdent sept électrons sur leurs couchesexternes : ils ont tendance à la compléter en captant un électron dispo-nible dans leur voisinage pour donner des ions négatifs ou anions. Cettetendance s’étend aussi à certains éléments de la partie droite du tableau,appelés non-métaux, tous accepteurs d’électrons. Certains élémentssitués à la limite entre ces deux zones présentent des caractères mixtes,variables selon le champ électrique auquel ils sont soumis (ils sontsemi-conducteurs). La figure 2.2 illustre ces différences de comporte-ment par les structures de bandes de ces divers types d’atomes.
Énergiede
Fermi
ML
Bande K
Bande de valence
Bande deconduction
ΔEBandeinterdite ΔE
Bandevide
Bandepleine
a) b) c)
{{ {
Figure 2.2 Schémas des structures de bandes.a) d’un amas d’atomes de métal (la bande de conduction comportedes états disponibles); b) d’un amas d’atomes de non-métal (labande interdite a une largeur ΔE importante); c) d’un amas d’atomesde semi-conducteur (la bande interdite a une largeur faible).
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2.1 Classification des éléments chimiques 11©
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12 2 • Composition chimique des matériaux
2.2 LIAISONS CHIMIQUES
2.2.1 Liaisons fortes
Liaison covalente. Elle est assurée parla mise en commun de deux électrons pourcompléter la couche externe de chaqueatome.
Elle apparaît entre deux atomes de non-métaux (liaison assurée par des électronsde la bande de valence).
Exemple. La molécule de dichlore Cl2.
Liaison ionique. Elle est assurée par letransfert d’un électron d’un atome à l’autre.
Elle apparaît entre un atome d’un métalet un atome d’un non-métal.
Après leur liaison, les deux atomes devien-nent des ions chargés électriquement.
Exemple. Le chlorure de sodium NaCl.
Liaison métallique. Elle est assurée par la mise en commun d’élec-trons de la couche périphérique; le « gaz » constitué par ces électronslibres et délocalisés assure la cohésion de l’ensemble des cationsrestants.
Elle apparaît entre les éléments d’un amasd’atomes métalliques (liaison assurée parles électrons de la bande de conduction).
Les électrons de la liaison métalliquesont mobiles et disponibles pour assurer lacirculation éventuelle d’un courant élec-trique.
Exemple. Cristal de sodium Na.
Cl Cl
Cl2
Cation Na+ Anion Cl–
Na Cl
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2.3 Classification des matériaux et des propriétés 13©
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.
2.2.2 Liaisons faibles ou liaisons secondaires
Ce sont de simples attractions élec-trostatiques entre charges électri-ques de signes opposés.
Elles apparaissent entre les pôles+ et – de molécules à répartitions decharges inhomogènes ou polarisables.
Elles agissent à plus longue dis-tance, mais avec une intensité plusfaible que les liaisons fortes.
Exemples.• Liaisons de Van der Waals entre macromolécules dans un polymère.• Liaisons-hydrogène entre molécules d’eau H2O dans la glace (cf. schéma
ci-dessus).
2.3 CLASSIFICATION DES MATÉRIAUX ET DES PROPRIÉTÉS
2.3.1 Les grandes classes de matériaux
De nombreuses propriétés physico-chimiques et propriétés d’usage desmatériaux sont étroitement liées à la nature des liaisons chimiques entreles atomes qui les constituent. C’est sur cette base qu’est établie ladistinction entre les principales classes de matériaux.
Matériaux métalliques. Ce sont les métaux purs et leurs mélanges,ou alliages, comportant essentiellement des liaisons métalliques.
Matériaux organiques. Ce sont les matériaux d’origine biologique,les polymères et élastomères de synthèse, comportant des liaisons cova-lentes et des liaisons faibles.
Matériaux minéraux. Ce sont les roches, oxydes, verres minéraux,céramiques comportant des liaisons ioniques et/ou des liaisons covalentes.
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H
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O
H
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14 2 • Composition chimique des matériaux
Matériaux composites. Ils associent de manière structurée à fineéchelle des matériaux différents, appartenant éventuellement à des classesdifférentes parmi les trois précédentes.
2.3.2 Les propriétés d’usage
Les propriétés physico-chimiques et les propriétés d’usage des maté-riaux sont multiples et peuvent faire l’objet de diverses classifications(cf. tableau 2.4). Certaines sont principalement conditionnées par la naturedes atomes et des liaisons chimiques présentes majoritairement dans lematériau : masse volumique, stabilité mécanique et thermique, tempé-rature de fusion, souplesse ou rigidité élastique, fragilité ou ductilité,conductivité électrique et thermique, propriétés magnétiques… Certainessont sensibles à la structure suivant laquelle les atomes sont disposés etorganisés (cf. chapitre 3) : rigidité plastique, dureté, ductilité, ténacité…
Ces propriétés seront définies et caractérisées de manière plus détailléedans la partie 2 du présent ouvrage.
2.3.3 Les principales propriétés des grandes classes de matériaux
Matériaux métalliques
Très faibleou nulle
Faible
Moyenne
Élevée
Très élevée
Valeur de la propriété
Propriétés
Températurede fusion
Rigiditéélastique
Rigiditéplastique,
dureté
Résistance à la propagation
des fissures,ténacité
Conductivitéélectrique
et thermique
DuctilitéMassevolumique
Dilatationthermique
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2.3 Classification des matériaux et des propriétés 15©
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Tableau 2.4 CLASSIFICATION NON EXHAUSTIVE DES PROPRIÉTÉS D’USAGE DES MATÉRIAUX : OUTRE LEUR CARACTÈRE OBJECTIF OU ATTRIBUÉ, CES PROPRIÉTÉS
PEUVENT ÊTRE DE VOLUME (V) OU DE SURFACE (S), PROPRES AU MATÉRIAU SEUL (P) OU INTERACTIVES (I) ENTRE LE MATÉRIAU ET SON ENVIRONNEMENT.
Propriétés objectives(intrinsèques au matériau)
Propriétés attribuées(dépendant du contexte)
V, P Mécaniques statiques :– constantes d’élasticité,– dureté,– contraintes limites…
V, P Disponibilité :– ressources,– réserves,– fournisseurs,– niveaux de qualité…
V,P ou I
Mécaniques dynamiques :– viscosité,– fluage, fatigue,– ténacité,– amortissement…
V,P ou I
Coût :– matière première,– élaboration,– mise en œuvre…
V, P Structurales :– structure amorphe
ou cristalline, variétés allotro-piques,
– températures de changement d’état,
– homogénéité…
S et V,P ou I
Degré de familiarité :– connaissance du matériau,
expérience à court et long terme,
– savoir-faire acquis sur le matériau…
V, P Physiques :– masse volumique,– propriétés électriques, ther-
miques, magnétiques, opti-ques, radioactives…
V, P Aptitudes à la mise en œuvre :– ductilité,– coulabilité,– usinabilité…
S, I Chimiques :– réactivité,– toxicité,– tenue à la corrosion…
S, I Aptitudes à l’assemblage :– soudabilité,– collabilité…
V, I Tenue au vieillissementStabilité physique
V, P Désignation :– chimique,– normalisée,– commerciale…
S, I Tribologiques :– friction,– usure…
S et V,P ou I
Impact environnemental :– contenu en énergie,– dégradabilité,– recyclabilité…
…
S, P Caractéristiques organoleptiques :
– aspect, texture, couleur,– toucher, odeur, goût…
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16 2 • Composition chimique des matériaux
Matériaux organiques
Matériaux minéraux
Matériaux composites. Selon leur structure et la nature de leurscomposants, les propriétés des matériaux composites sont extrêmementvariables : pour la plupart, elles sont intermédiaires entre les propriétésdes matériaux qui les constituent. Parfois cependant, certaines propriétésémergentes (propriétés résultant de l’ensemble de la structure et desconstituants du matériau, cf. § 13.2.3) peuvent prendre des valeurs inat-tendues.
Très faible ou nulle
Faible
Moyenne
Élevée
Très élevée
Valeur de la propriété
Propriétés
Températurede fusion
Rigiditéélastique
Rigiditéplastique,
dureté
Résistance à la propagation
des fissures,ténacité
Conductivitéélectrique
et thermique
DuctilitéMassevolumique
Dilatationthermique
Très faibleou nulle
Faible
Moyenne
Élevée
Très élevée
Valeur de la propriété
Températurede fusion
Rigiditéélastique
Rigiditéplastique,
dureté
Résistance à la propagation
des fissures,ténacité
Conductivitéélectrique
et thermique
DuctilitéMassevolumique
Dilatationthermique
Propriétés
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Chapitre 3
Structure des matériaux solides
3.1 SOLIDES AMORPHES
Dans un solide amorphe ou vitreux, les atomes sont disposés aléatoi-rement et proches les uns des autres (cf. chapitre 1). Cependant, uncertain degré d’ordre à courte distance peut être mis en évidence pourdes raisons purement stériques d’encombrement des sphères atomi-ques voisines.
3.1.1 Distance interatomique
On peut attribuer à un atome un volume d’encombrement correspondantà une sphère de rayon atomique a. Ce volume n’est pas rigide, car lesliaisons que l’atome constitue avec ses voisins immédiats (cf. chapitre 2)peuvent entraîner une interpénétration limitée des nuages électroni-ques. La distance d entre deux atomes identiques voisins ne descendjamais au-dessous d’une limite de l’ordre de d = 1,2 a. Inversement, lesforces d’interaction deviennent négligeables lorsque la distance d entreles deux atomes considérés devient supérieure à trois à quatre fois leurdiamètre 2a (cf. § 6.1.1).
Dans un solide amorphe, aucun des plus proches voisins d’un atomedonné n’est strictement à la même distance d de celui-ci.
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18 3 • Structure des matériaux solides
3.1.2 Cellule de Wigner-Seitz
Traçons tous les segments joignant deux à deux les centres de gravitédes atomes voisins au sein d’un amas amorphe, puis les plans média-teurs de ces segments (figure 3.1). On appelle cellule de Wigner-Seitz(ou de Voronoï ou de Dirichlet) l’enveloppe intérieure à l’ensemble desplans médiateurs qui entourent un atome donné.
Les facettes du polyèdre ainsi obtenu définissent les atomes plusproches voisins de l’atome central, et les normales à ces facettes sontles directions des liaisons. Le nombre de ces proches voisins, égal aunombre de facettes du polyèdre de Wigner-Seitz, s’appelle nombre decoordinance de l’atome central considéré.
3.1.3 Fonction de densité radiale et fonction de distribution radiale
Soit un ensemble d’objets ponctuels répartis dans l’espace (par exempleles centres de gravité des atomes d’un solide amorphe). Notons R ladistance d’un quelconque de ces points à un point choisi comme origine;
A B
C
b) c)a)
Figure 3.1a) Schéma d’un solide amorphe à deux dimensions constituéd’atomes rigides. b) Réseau de coordinance des liaisons entreplus proches voisins. c) Construction de polygones de Wigner-Seitz autour des centres de gravité des atomes en A, B, C.D’après le nombre de côtés de ces polygones, le nombre decoordinance de l’atome A est 6, celui de l’atome B est 5, celuide l’atome C est 7.
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3.1 Solides amorphes 19©
Dun
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t un
délit
.
notons N(R) le nombre total de points situés à une distance inférieureou égale à R par rapport au point origine, dans toutes les directions del’espace.
Fonction de densité radiale ρ(R). Nombre moyen de points situésentre R et R + dR par rapport au point origine, dans une direction quel-conque.
Fonction de distribution radiale FDR(R). FDR(R) = dN(R)/dR
Ces fonctions possèdent les relations suivantes.– Dans un espace à une dimension :
d’où : (3.1)
– À deux dimensions :
d’où : (3.2)
– À trois dimensions :
d’où : (3.3)
Dans le cas idéal d’une distribution parfaitement aléatoire, dont lafonction de densité radiale ρ(R) serait constante, la fonction de distri-
N R r rR
( ) ( )= ∫ ρ d0
( ) ( )FDR R Rρ=
N R r r rR
( ) ( )= ⋅∫ 20
π ρ d ( ) 2 ( )FDR R R Rπ ρ= ⋅
N R r r rR
( ) ( )= ⋅∫ 4 2
0π ρ d 2( ) 4 ( )FDR R R Rπ ρ= ⋅
Figure 3.2a) Schéma de la fonction de densité radiale dans un matériauamorphe. d0 est la distance interatomique d’équilibre (cf. § 6.1.).b) Schéma de la fonction de distribution radiale de la silicepure SiO2 amorphe.
FDR(R)
R (nm)0 0,5
ρ(R)
Rd0a) b)
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