Visión computacionalSchaeffer / ITS / FIME / UANL

Transformadas de Wavelet Semana 13

http://cs1.cs.nyu.edu/~dpr220/http://www.ceremade.dauphine.fr/~peyre/matlab/wavelets-meshes/content_03.png/images/scene_results.jpg

Wavelet (onduleta)• Funciones que cumplen con características particulares

• Se integran a cero, oscilando por encima & debajo de la eje z• Bien localizadas• Fáciles para la transformada wavelet y su inversa

• Muchos tipos• Suaves, compactas, con filtros simples, con expresiones

analíticas simples• Usadas como funciones base con las cuales se representan

otras funciones• El mismo principio de la transformada Fourier (cos & sin)

http://gtwavelet.bme.gatech.edu/wp/kidsA.pdf

Onduleta madre

⇢

✓x� b

a

◆, (a, b) 2 R+ ⇥R

�

Se traslada & dilata para obtener otras.

Localización en términos de tiempo.

Localización en términos de escala (frecuencia).

Muestreo crítico

• Selección de valores especiales para a & b por resultar conveniente al usar.

a = 2

�j , b = k ⇥ a, con j, k 2 Z

Usos• Procesamiento de señales (audio, imagen, etc.)

• Limpieza / recuperación• Reconocimiento• Pronósticos

• Compresión de datos (esp. imágenes)• Complejidad computacional lineal

• Mejor que la de FFT • Procedimiento típico para análisis de datos con wavelets:

• Compresión wavelet a datos crudos; aplicación de un umbral; decompresión wavelet; procesamiento

O(n log n)

Onduleta Haar• El wavelet más simple• Vale uno en [0, 0.5)• Vale -1 en [0.5, 1)• Representamos las demás

funciones con combinaciones de versiones “estiradas” y trasladadas de esta función

• Para funciones contínuas, usaríamos otro wavelet; esta sirve bien para escaloncitos x

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-1.0

-0.5

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Filtrado• “Limpieza” de los coeficientes de la combinación lineal de

las versiones dilatadas/trasladadas de la(s) wavelet(s) base• Ignorando los más pequeños para quedarse con la “forma

general” de la ecuación pero representándola con menos términos

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Wavelets para procesar imágenes• Imagen A con dimensiones 2n por 2n pixeles.• Dos filtros H & G que se pueden aplicar por renglones o por

columnas.• Reducen a la mitad la dimensión en la cual se aplican.

• Aplicamos ambos filtros por renglones y obtenemos HrA & GrA que son de dimensión 2n por 2n-1.

• A estos dos resultados, aplicamos los dos filtros por columnas y obtenemos cuatro matrices de dimensión 2n-1 por 2n-1:• HcHrA, GcHrA, HcGrA, GcGrA• La primera es el promedio, las demás los detalles.

• Se repite hasta que el tamaño haya caído a un valor deseado.

http://gtwavelet.bme.gatech.edu/wp/kidsA.pdf

Puntos extra para laboratorio• Experimentar con http://www.pybytes.com/pywavelets/ para

implementar alguna clase de procesamiento de imágenes en Python.• Puede ser compresión (en cual caso pueden reciclar los

avances en la última tarea de la teoría de información) o algún otro propósito que convenga para sus proyectos de visión o de interés extracurricular.

• Entrega a más tardar a mediodía del jueves 23 de mayo.• Publicado y etiquetado en el blog.• Código fuente, imágenes ejemplo, tiempos de

procesamiento, explicación escrita de lo que se hace y para qué sirve, referencias bibliográficas.

Cosas que ni hemos tocado en clases

• Visión tridimensional• Reconocimiento de patrones arbitrarios en imágenes• Procesamiento en tiempo real• Alineamiento de imágenes

La visión computacional es un buen tema para estudios de posgrado y tiene

diversas aplicaciones en la industria igual como en muchas disciplinas académicas.

Apunten sus horas de presentación en el pizarrón. Será 15 min cada quien.

Las fechas ya fueron separadas previamente.(Chequen el grupo de fb si olvidaron la suya.)