ÁLGEBRA LINEAL Y

ECUACIONES DIFERENCIALES

FORMACIÓN POR COMPETENCIAS

Ecuaciones diferenciales:

variables separables

OBJETIVOS

Reconocer el orden y grado de una ecuación

diferencial.

Comprobar si una función es solución de una

ecuación diferencial.

Resolver ecuaciones diferenciales de variables

separables.

Reconocer el cambio apropiado de variable para

reducir una E.D.O. a variables separadas.

Ecuación diferencial

Una ecuación diferencial (E.D.) es una ecuación que relaciona

una función (o variable dependiente) y/o su variable o

variables (variables independientes) y necesariamente algunas

de sus derivadas.

a.- 𝒙𝟐𝒅𝟐𝒚

𝒅𝒙𝟐+ 𝒙

𝒅𝒚

𝒅𝒙+ 𝒚 = 𝒙𝟑

b.- 𝒅𝒚

𝒅𝒙+ 𝟑

𝒅𝒚

𝒅𝒙

𝟐=

𝒅𝟐𝒚

𝒅𝒙𝟐

c.- 𝒅𝟐𝒚

𝒅𝒙𝟐− 𝟒

𝒅𝒚

𝒅𝒙

𝟑+ 𝟑𝒚 = 𝟎

d.- 𝒙𝝏𝒖

𝝏𝒙+ 𝒚

𝝏𝒖

𝝏𝒚= 𝒖

e.- 𝝏𝟑𝒖

𝝏𝒙𝟑=

𝝏𝟐𝒖

𝝏𝒕𝟐− 𝟒

𝝏𝒖

𝝏𝒕

Variable dependiente: función 𝒚

Variable independiente: 𝒙

Derivadas: 𝒅𝒚

𝒅𝒙 ;

𝒅𝟐𝒚

𝒅𝒙𝟐

Variable dependiente: función 𝒖

Variables independientes: 𝒙 e 𝒚

Derivadas: 𝝏𝒖

𝝏𝒙 ;

𝝏𝒖

𝝏𝒚

Clasificación

Ecuación diferencial ordinaria (EDO)

Es una ecuación que contiene sólo derivadas ordinarias de

una o más variables dependientes con respecto a una sola

variable independiente.

a.- 𝒅𝒚

𝒅𝒙− 𝟐𝒚 = 𝒙. 𝒔𝒆𝒏𝒙 b.-

𝒅𝒚

𝒅𝒕+

𝒅𝒚

𝒅𝒕= 𝟐𝒕 + 𝟑𝒚

Ecuación diferencial parcial (EDP)

Es una ecuación que contiene derivadas parciales de una o

más variables dependientes con respecto a dos o más

variables independientes.

a.- 𝝏𝟐𝒖

𝝏𝒙𝟐+

𝝏𝟐𝒖

𝝏𝒚𝟐= 𝟎 b.-

𝝏𝟐𝒖

𝝏𝒙𝟐=

𝝏𝟐𝒖

𝝏𝒕𝟐− 𝟐

𝝏𝒖

𝝏𝒙

Ecuación diferencial

En general una E.D.O. se puede escribir de la forma:

𝑭 𝒙; 𝒚; 𝒚(𝟏) ; 𝒚(𝟐) ; ⋯ ; 𝒚(𝒏) = 𝟎

donde 𝑭 ∶ 𝛀 ⊂ ℝ𝒏+𝟐 → ℝ es una función definida en un

conjunto 𝛀 ⊂ ℝ𝒏+𝟐.

Esta E.D.O. está en forma explícita (o normal) cuando la

derivada 𝒚(𝒏) puede ser despejada de la ecuación anterior, es

decir

𝒚(𝒏) = 𝒇 𝒙; 𝒚; 𝒚(𝟏) ; 𝒚 𝟐 ; ⋯ ; 𝒚(𝒏−𝟏)

donde 𝒇:𝑫 ⊂ ℝ𝒏+𝟏 → ℝ es una función definida en un conjunto

𝑫 ⊂ ℝ𝒏+𝟏.

Orden y grado de una E.D.

Orden

Es el orden de la derivada más alta que aparecen en la

ecuación.

𝒅𝟑𝒚

𝒅𝒙𝟑+ 𝒙𝟐

𝒅𝟐𝒚

𝒅𝒙𝟐+ 𝒙

𝒅𝒚

𝒅𝒙= 𝒍𝒏𝒙

𝒅𝟓𝒚

𝒅𝒙𝟓

𝟓

+ 𝒙𝟐𝒅𝒚

𝒅𝒙+ 𝒙

𝒅𝒚

𝒅𝒙= 𝒚 + 𝒙

E.D. de orden 3

E.D. de orden 5

𝒅𝒙 − 𝒚𝒅𝒚 = 𝟎 → 𝒅𝒚

𝒅𝒙=𝒚

𝒙 E.D. de orden 1

Orden y grado de una E.D.

Grado

Es el grado algebraico de su derivada de mayor orden

(siempre y cuando la E.D. pueda escribirse como un polinomio

en la función desconocida y sus derivadas)

𝒅𝟑𝒚

𝒅𝒙𝟑+

𝒅𝟐𝒚

𝒅𝒙𝟐

𝟑

+ 𝟑𝒚 = 𝒆𝒙

𝒅𝟐𝒚

𝒅𝒙𝟐

𝟑

+𝒅𝒚

𝒅𝒙− 𝒙𝒚 = 𝒔𝒆𝒏𝒙

E.D. de grado 1 (y de orden 3)

E.D. de grado 3 (y de orden 2)

Ejemplo 1

Determine el grado y el orden de la siguiente ecuación

diferencial

𝒅𝟑𝒚

𝒅𝒙𝟑

𝟑𝟒

− 𝟏 +𝒅𝒚

𝒅𝒙

𝟒𝟑

= 𝟎

Solución

Ecuación diferencial lineal

Se dice que una EDO de orden 𝑛 es lineal si tiene la siguiente

forma:

𝒂𝒏 𝒙𝒅𝒏𝒚

𝒅𝒙𝒏+ 𝒂𝒏−𝟏 𝒙

𝒅𝒏−𝟏𝒚

𝒅𝒙𝒏−𝟏+⋯+ 𝒂𝟏 𝒙

𝒅𝒚

𝒅𝒙+ 𝒂𝟎 𝒙 𝒚 = 𝒈(𝒙)

donde 𝒂𝒊 y 𝒈 son funciones continuas definidas en un intervalo

𝑰 ⊂ ℝ.

Si 𝑔 𝑥 = 0 la E.D anterior es llamada lineal homogénea de

orden 𝑛.

Si todas las funciones 𝒂𝒊 son constantes, la E.D anterior es

llamada lineal con coeficientes constantes de orden 𝑛.

Solución explícita de una E.D.O.

Una solución explícita de una ecuación diferencial ordinaria en

un intervalo 𝐼 ⊂ ℝ, es cualquier función definida en 𝐼 que

satisface a la ecuación, es decir, que al sustituirla la reduce a

una identidad.

Por ejemplo cualquier función

de la forma

𝝓 𝒙 = 𝑪𝒆−𝟑𝒙 + 𝟓 ; 𝒙 ∈ ℝ

donde 𝑪 es una constante real,

es solución de la E.D.

𝒚′ + 𝟑𝒚 = 𝟏𝟓

Familia de soluciones de la E.D.

𝒙

𝒚

𝑪 > 𝟎

𝑪 < 𝟎

𝑪 = 𝟎

Ejemplo 1

Analice si la función

𝝓(𝒙) = 𝒆𝒙𝟐(𝒂 + 𝒃 𝒆−𝒙

𝟐𝒅𝒙)

donde 𝒆−𝒙𝟐𝒅𝒙 representa una antiderivada cualquiera de la

funcion 𝒆−𝒙𝟐 y 𝒂, 𝒃 son constantes cualesquiera, es solución

de la ecuación diferencial

𝒚′′ − 𝟐𝒙𝒚′ = 𝟐𝒚

Solución:

Ejemplo 2

Analice si la función

𝝓(𝒙) = 𝒆−𝒙𝟐 𝒆𝒕

𝟐𝒅𝒕

𝒙

𝟎

+ 𝑪𝒆−𝒙𝟐

es solución de la ecuación diferencial

𝒚′ + 𝟐𝒙𝒚 = 𝟏

Solución:

Solución implícita de una E.D.O.

Una ecuación 𝑮 𝒙; 𝒚 = 𝟎 es una solución implícita de una

ecuación diferencial ordinaria en un intervalo 𝐼 ⊂ ℝ, cuando

ésta ecuación define una o mas soluciones explícitas de la

E.D.O.

Por ejemplo la ecuación

𝒙 + 𝒚 + 𝒆𝒙𝒚 = 𝟎

define una solución implícita de

la E.D.

𝟏 + 𝒙𝒆𝒙𝒚𝒅𝒚

𝒅𝒙+ 𝟏 + 𝒚𝐞𝒙𝒚 = 𝟎

Curva de la solución implícita de la E.D.

𝒙

𝒚

Ejemplo 1

Demuestre que la ecuación

𝟒𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 = 𝑪

es una solución implícita de la E.D.O.

𝒚𝒅𝒚

𝒅𝒙− 𝟒𝒙 = 𝟎

Solución:

𝒙

𝒚

Conjunto de soluciones implícitas de la E.D.

Ejemplo 2

Analice si 𝒙 = 𝟒 𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝒚 + 𝒄𝒆−𝒄𝒐𝒔𝒚 es solución de la

ecuación diferencial 𝒅𝒚

𝒅𝒙=

𝟏

𝒙𝒔𝒆𝒏𝒚 + 𝟒𝒔𝒆𝒏𝒚𝒄𝒐𝒔𝒚

Solución:

Ejercicio 1

Sean 𝒚𝟏, 𝒚𝟐 dos soluciones distintas de la ecuación

𝒚′ + 𝑷(𝒙)𝒚 = 𝑸(𝒙)

Determine el valor de 𝜶 para que la función 𝒚 = 𝜶𝒚𝟏 + 𝟐𝒚𝟐 sea

también solución de la ecuación.

Solución:

Ejercicio 2

Considere para 𝑥 > −1 la ecuación diferencial

𝒅𝒚

𝒅𝒙+ 𝒚 −

𝟑𝒚𝟐

𝟐(𝟏 + 𝒙)𝟒= 𝟐(𝟏 + 𝒙)𝟑

determine una solución de la forma 𝑦(𝑥) = 𝑎(1 + 𝑥)𝑏.

Solución:

Problema de valor inicial (P.V.I.)

Sea 𝑭 ∶ 𝛀 ⊂ ℝ𝒏+𝟐 → ℝ una función definida en un conjunto

𝛀 ⊂ ℝ𝒏+𝟐. El problema de resolver la E.D.

𝑭 𝒙; 𝒚; 𝒚(𝟏) ; 𝒚(𝟐) ; ⋯ ; 𝒚(𝒏) = 𝟎

con las 𝒏 condiciones iniciales

𝒚 𝒙𝟎 = 𝒚𝟎 𝒚(𝟏) 𝒙𝟎 = 𝒚𝟏

⋮ 𝒚 𝒏−𝟏 𝒙𝟎 = 𝒚𝒏−𝟏

donde 𝒙𝟎 ; 𝒚𝟏 ; 𝒚𝟐 ; ⋯ ; 𝒚𝒏 ∈ 𝛀 es llamado un problema de

valores iniciales.

Problema de valor inicial (P.V.I.)

Por ejemplo para la ecuación diferencial de primer orden

𝑭 𝒙; 𝒚; 𝒚(𝟏) = 𝟎

con la condición inicial

𝒚 𝒙𝟎 = 𝒚𝟎

𝒙

𝒚

𝒙𝟎; 𝒚𝟎

Gráfica de las soluciones de la E.D.O.

𝒙𝟎

𝒚𝟎

De entre el conjunto de soluciones de

la E.D. ,la solución del P.V.I. es aquella

cuya gráfica pasa por el punto (𝒙𝟎; 𝒚𝟎)

Teorema de existencia y unicidad para

E.D.O de primer orden

Sea 𝒇:𝑫 ⊂ ℝ𝟐 → ℝ donde 𝑫 es un conjunto abierto y 𝒙𝟎; 𝒚𝟎 ∈

𝑫. Si 𝒇 y 𝒅𝒇

𝒅𝒚 son continuas en 𝑫, entonces existen intervalos

abiertos 𝑰 y 𝑱 con centro en 𝒙𝟎 y en 𝒚𝟎 respectivamente tal que

el P.V.I.

𝒚′ = 𝒇(𝒙; 𝒚)

𝒚 𝒙𝟎 = 𝒚𝟎

tiene una única solución 𝝓: 𝑰 → 𝑱.

𝒙𝟎

𝒚𝟎

𝑰

𝑱 𝒙𝟎; 𝒚𝟎

𝑫

𝒙

𝒚

Ejemplo 1

Analice la existencia de soluciones del PV.I.

𝒅𝒚

𝒅𝒙= 𝟑𝒚

𝟐𝟑

𝒚 𝟐 = 𝟎

Solución:

El dominio de la función 𝒇 es: ℝ𝟐 y la derivada parcial 𝝏𝒇

𝝏𝒚=

𝟐

𝒚𝟏𝟑

.

La solución general de la E.D es: 𝒚 = 𝒙 + 𝒄 𝟑 y con la condición

inicial obtenemos la solución

𝒚 = 𝒙 − 𝟐 𝟑

Luego podemos garantizar existencia de solución única en cualquier

punto del conjunto ℝ𝟐 − (𝒙; 𝒚) 𝒚 = 𝟎 . En el punto dado 𝒚 𝟐 = 𝟎

el teorema no garantiza unicidad de la solución.

Ejemplo 1

Notamos por simple inspección que además podemos tener las

siguientes soluciones

• 𝒚 = 𝟎 (función constante)

• 𝒚 = 𝒙 − 𝟐 𝟑 𝒙 ≥ 𝟐𝟎 𝒙 < 𝟐

De este modo la solución no es única.

𝒙

𝒚

𝒙

𝒚

𝒙

𝒚

Ejemplo 2

Analice la existencia de soluciones del P.V.I.

𝒚′ = 𝟗 − 𝒙𝟐 − 𝒚𝟐

𝒚 𝟏 = 𝟐

Solución:

El dominio de la función 𝒇 es: 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 ≤ 𝟗 y la derivada parcial 𝝏𝒇

𝝏𝒚= −

𝒚

𝟗−𝒙𝟐−𝒚𝟐. Luego podemos garantizar existencia de solución

única en cualquier punto dentro de la circunferencia 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟗

𝒙

𝒚

Ecuaciones de variables separables

Una ecuación diferencial de primer orden de la forma 𝒅𝒚

𝒅𝒙= 𝒈 𝒙 . 𝒉(𝒚)

se dice que es una E.D. separable o que tiene variables

separables.

Una E.D. de este tipo también se suele presentar en la forma

𝑴 𝒙 𝒅𝒙 +𝑵 𝒚 𝒅𝒚 = 𝟎

Método de solución

• Escriba la E.D. 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑔 𝑥 . ℎ(𝑦) en la forma

1

ℎ(𝑦)𝑑𝑦 = 𝑔 𝑥 𝑑𝑥

• Integrar ambos miembros de la ecuación respecto a cada

variable

𝟏

𝒉(𝒚)𝒅𝒚 = 𝒈 𝒙 𝒅𝒙

Ejemplo 1

Resuelva cada una de las E.D dadas

a.- 𝟒𝒙 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙 − 𝒚𝒅𝒚 = 𝟎

b.- 𝒙 𝟏 − 𝒚𝟐𝒅𝒙 + 𝒚 𝟏 − 𝒙𝟐𝒅𝒚 = 𝟎

c.- 𝒅𝒚

𝒅𝒙=

𝒙𝒚+𝟑𝒙−𝒚−𝟑

𝒙𝒚−𝟐𝒙+𝟒𝒚−𝟖

Solución:

Ejercicio 1

La pendiente de una familia de curvas en cualquier punto

𝑥, 𝑦 está dada por

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑥𝑦² − 𝑦² + 𝑥 − 1

𝑥²𝑦 + 𝑥² − 2𝑥𝑦 − 2𝑥 + 2𝑦 + 2

Halle la ecuación de la curva que pasa por el punto (−1, 0).

Solución:

Ejercicio 2

Sea la ecuación diferencial 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 8𝑥3𝑦2

a) Encuentre la solución general.

b) Encuentre la solución particular que verifica 𝑦 2 = 3

Solución:

E.D. reducibles a variables separables

En muchas ocasiones no es posible reparar las variables de

una E.D. directamente. En este caso se puede realizar un

cambio de variable para llegar a convertir la E.D. en una de

variables separables.

Por ejemplo la E.D. 𝒅𝒚

𝒅𝒙= 𝟑𝒙 + 𝟒𝒚 + 𝟓

No es de variables separables (las variables no pueden separarse

de manera inmediata). Pero con el cambio de variable 𝟑𝒙 + 𝟒𝒚 +𝟓 = 𝒖 obtenemos la E.D.

𝒅𝒖 = 𝟑 + 𝟒𝒖 𝒅𝒙

Que es una de variables separables y puede ser resuelta por el

método anterior.

E.D. reducibles a variables separables

Método de solución

• Escoger un cambio adecuado de variables. La siguiente

tabla puede ayudar a escoger el cambio:

• Formar la nueva E.D. con una de las variables originales y la

nueva variable.

SI APARECE EN LA E.D. Cambio sugerido

𝒅𝒙 + 𝒅𝒚 𝒖 = 𝒙 + 𝒚

𝒙𝒅𝒙 + 𝒚𝒅𝒚 𝒖 = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐

𝒙𝒅𝒙 − 𝒚𝒅𝒚 𝒖 = 𝒙𝟐 − 𝒚𝟐

𝒙𝒅𝐲 + 𝒚𝒅𝒙 𝒖 = 𝒙𝒚

𝒙𝒅𝒚 − 𝒚𝒅𝒙 𝒖 =𝒚

𝒙

𝒇(𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄) 𝒖 = 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄

Ejemplo 1

Resuelva la E.D.

(𝟏 – 𝒙𝒚 + 𝒙𝟐𝒚𝟐)𝒅𝒙 + (𝒙𝟑𝒚 – 𝒙𝟐)𝒅𝒚 = 𝟎

Solución:

Descomponemos la E.D.

𝒅𝒙 − 𝒙𝒚𝒅𝒙 + 𝒙𝟐𝒚𝟐𝒅𝒙 + 𝒙𝟑𝒚𝒅𝒚 − 𝒙𝟐𝒅𝒚 = 𝟎

Agrupamos convenientemente

𝒅𝒙 − 𝒙𝟐𝒚 𝒚𝒅𝒙 + 𝒙𝒅𝒚 − 𝒙 𝒚𝒅𝒙 + 𝒙𝒅𝒚 = 𝟎

Realizamos el cambio: 𝒖 = 𝒙𝒚 → 𝒅𝒖 = 𝒚𝒅𝒙 + 𝒙𝒅𝒚

Y obtenemos: 𝒅𝒙 − 𝒙𝒖𝒅𝒖 − 𝒙𝒅𝒖 = 𝟎

𝒅𝒙

𝒙= 𝒖 + 𝟏 𝒅𝒖

𝒍𝒏 𝒙 =𝟏

𝟐𝒖𝟐 + 𝒖 + 𝑪

Finalmente la solución es: 𝒍𝒏 𝒙 =𝟏

𝟐𝒙𝟐𝒚𝟐 + 𝒙𝒚 + 𝑪

Ejemplo 2

Resuelva cada una de las siguientes E.D.

a.- 𝒅𝒚

𝒅𝒙= 𝟑𝒙 + 𝟒𝒚 + 𝟓

b.- (𝒙𝟐 𝒚 + 𝒚𝟑)𝒅𝒚 – 𝒙 𝒅𝒙 = 𝟎

c.- 𝟏 + 𝒚𝟐 𝒆𝟐𝒙𝒅𝒙 − 𝒆𝒚𝒅𝒚 − 𝟏 + 𝒚 𝒅𝒚 = 𝟎

d.- 𝟏 + 𝒙 + 𝒚𝒅𝒚 = 𝒙 + 𝒚 − 𝟏 𝒅𝒙

e.- 𝒙 + 𝒚 + 𝒙 − 𝒚 𝒅𝒙 + 𝒙 − 𝒚 − 𝒙 + 𝒚 𝒅𝒚 = 𝟎

Solución:

Ejercicio 1

Para 𝑥 ≠ 0, considere la ecuación diferencial

𝒙𝒅𝒚

𝒅𝒙= 𝟐 − 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟏 𝒚 − 𝒚𝟐

a) Demuestre que el cambio de variable z = 𝑥 − 𝑦 + 1

transforma la ecuación dada en la ecuación 𝒅𝒛

𝒅𝒙=

𝒛𝟐−𝒛−𝟐

𝒙

b) Encuentre la solución general implícita de la ecuación en

variables separables.

c) Encuentre la solución particular de la ecuación original que

pasa por el punto (−1; 1) y el intervalo máximo donde podría

definirse.

Solución:

Bibliografía

2. Ecuaciones diferenciales técnicas de solución y aplicaciones-

José V. Becerril Espinoza y David Elizarraraz Matrtínez

3. Calculus - James Stewart

4. Calculus_12th Edition – George B. Tomas, Jr.

1.Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado-

Dennis G. Zill

5. Calculus – Larson Edwards