S I N C R O N I Z A R E G E O M E T R I C Ă
Definirea şi descrierea suprafeţelor curbe în arhitectură
UNIVERSITATEA DE ARHITECTURĂ ŞI URBANISM ,, ION MINCU” BUCUREŞTI
SINCRONIZARE GEOMETRICĂ a elementelor arhitecturale
Definirea şi descrierea suprafeţelor curbe în arhitectură
Septembrie 2015
_________________________________________________________
Doctorand: prep. univ. arh. Adina Ioana Avram
Coordonator ştiinţific: prof. dr. arh. Dorin Ştefan
SINCRONIZARE GEOMETRICĂ
1 R E Z U M A T
SINCRONIZARE GEOMETRICĂ a elementelor arhitecturale
Definirea şi descrierea suprafețelor curbe în arhitectură
1 | Notă introductivă
CONTEXT. Ultimul deceniu a oferit meseriei de arhitect o dezvoltare revoluționară a
uneltelor de proiectare şi execuție care a schimbat felul în care este perceput spațiul în
mod fundamental. Proiectarea digitală prin metodele implementate a determinat noi
căutări ale formei, cu materializări spațiale complexe. Aceste forme sunt de obicei
elaborate după implicațiile structurale şi contextuale care dictează stadiul lor final.
Apariția acestor noi forme, chiar a unui nou curent putem spune, necesită însă atenție
dincolo de tehnologie, către ceea ce face legătura între procesul estetic şi social şi
materializarea noilor linii ale mediului construit. Se poate pune problema particulară şi
imediată a definirii acestor forme şi a aparatului de control a acestora.
Dezvoltarea industriei automobilelor şi a construcției de avioane prin mărirea numărului
de mașini constructoare, utilizarea roboților controlați numeric, printarea 3D şi a altor
forme de producție digitală a susținut puternic cercetarea matematică a reprezentării
suprafețelor şi a soluționărilor algoritmice. Această mișcare şi dezvoltare a științei şi a
tehnologiei a fost preluată şi în arhitectură şi a necesitat dezvoltarea unui domeniu ce
este numit geometrie arhitecturală.
SINCRONIZARE. Pentru a înțelege mai bine sincronizarea se pot analiza forma latină
synchronus şi forma greacă synchronos ce provin din termenii ,,syn” cu sensul de cu/
împreună şi ,,chron(os)” care semnifică timpul. Reprezintă rezultatul acțiunii de a face
ca două sau mai multe acțiuni, fapte sau evenimente, să se petreacă în același timp.
Datorită asocierii noţiunii de timp făcută de formele vechi ale cuvântului, sincronizării i
se poate atribui şi sensul de coincidență în timp, apariție simultană.
Proiectarea computațională a permis descrierea şi explorarea unor forme greu de
imaginat pentru tehnicile tradiționale de reprezentare. Chiar dacă vorbim despre o
SINCRONIZARE GEOMETRICĂ
2 R E Z U M A T
reprezentare exactă ce ar putea induce ideea de rigiditate, reprezentarea controlată a
permis explorarea unor forme noi. Experimentarea formelor definite prin geometrii
complexe împreună cu dezvoltarea continuă a tehnologiilor de producţie materialelor
permit crearea unor imagini noi şi reinterpretări ale materialelor utilizate până în prezent.
Materializarea acestor experimente şi căutări utilizează descrierea geometrică pentru a
face legătura cu mașinile care taie, printează, decupează, curbează. Este necesar uneori
ca geometria formei dorite să fie adaptată şi transformată într-o altă reprezentare, tot
geometrică, pentru a putea fi transmisă uneltelor de fabricare.
Radiografia geometrică a formei permite experimentarea şi diversificarea formelor
imaginate şi în același timp concretizarea formei în material. Această sincronizare între
definirea şi materializarea formei are ca limbaj comun reprezentarea geometrică pentru
toți cei care fac parte din procesul de proiectare de arhitectură, fie că sunt implicaţi în
etapa studiului, în conceperea şi căutarea formei, a implementării constrângerilor de
mediu şi sociale sau a celor materiale.
GEOMETRIE ARHITECTURALĂ. Geometria, a cărei denumire provine din
termenii ,,ge” şi ,,metron” care înseamnă în limba greacă pământ, respectiv măsură, îşi
pune întrebări legate de mărimea, forma, poziția relativă a unei figuri şi a proprietăților
spațiilor. Deși a reprezentat întotdeauna o știința de bază pentru proiectarea de
arhitectură ca proces, nu a reprezentat niciodată un domeniu de cercetare independent în
cadrul acesteia. Amploarea şi varietatea formelor din arhitectura contemporană a
schimbat însă această situație, iar geometria s-a confruntat cu provocări la fiecare pas al
procesului de proiectare. Trecerea uneltelor digitale din industria aeronautică şi a
automobilelor a necesitat modificarea şi adaptarea acestora la cerințele şi constrângerile
impuse de estetica, statica şi modul de producție specifice arhitecturii.1
Acoperirea întregului flux de la proiectare până la producție, în special pentru
suprafețele descrise prin geometrii complexe, prezintă o importanţă deosebită pentru
procesul de proiectare arhitecturală, dar şi pentru cea statică. Domeniul geometriei
arhitecturale este preocupat în special de dezvoltarea unor unelte ce pot fi utilizate în
1 Helmut Pottmann: Structuring Architecture, Architectural Design nr. 206, Wiley, Londra, 2010, pag. 72
SINCRONIZARE GEOMETRICĂ
3 R E Z U M A T
creația digitală de arhitectură; acestea trebuie să îndeplinească atât cerințe legate de
definirea formei, respectarea fazelor de proiectare dar trebuie să cuprindă şi aspectele de
bază ale punerii în operă (tehnologie de producție, rezistență, aspect etc). Necesitatea
materializării suprafețelor în arhitectură în limita unui buget şi a tehnologiilor
disponibile a determinat crearea de programe de definire şi reprezentare a modelelor
geometrice ale unui proiect ce nu permit utilizarea suprafețelor dublu-curbate ci numai
înlocuirea cu suprafețe mai simple încă din fazele inițiale ale proiectului. Acest lucru a
deschis una din direcţiile de dezvoltare a geometriei arhitecturale care încearcă să trateze
arbitrar suprafețele curbe ca parametri şi să realizeze împărţirea lor integrală.
Trebuie subliniat faptul că geometria arhitecturală adună cunoștințe din matematică
aplicată, programare şi inginerie, iar obiectivele ei nu pot fi atinse decât prin alăturarea
şi cooperarea matematicienilor, programatorilor, arhitecților, inginerilor şi
constructorilor, inclusiv a producătorilor de materiale.
OPTIMIZARE. Procesul de proiectare controlată presupune cunoașterea încă de la
început a materialului, a tipului de panou, a subansamblurilor şi adaptarea instrumentelor
de proiectare la aceste elemente. Pentru că geometria arhitecturală nu este încă suficient
de avansată pentru a permite o astfel de adaptare a instrumentelor, lucrurile se întâmplă
de cele mai multe ori în sensul opus. După ce a fost definită o geometrie a formei inițiale
este realizată o etapă de reproiectare, optimizarea. Prin optimizare se realizează o
recompunere a geometriei inițiale prin deviații minimale, dar care răspunde în același
timp tipurilor de panouri utilizate, continuității suprafeței, esteticii panotării, costului de
producție sau altor factori impuși de proiect.
Din punct de vedere matematic, optimizarea constă în transformarea constrângerilor
impuse de proiect într-un set de soluții computaționale costisitoare şi solicitante prin
dezvoltarea de algoritmi. Aceste căutări impuse de optimizare au avut ca efect
dezvoltarea unor instrumente de proiectare specializate ce cuprind determinările legate
de material, producție şi estetică.
Dezvoltarea tehnologiilor de producție a panourilor metalice cu dublă curbură a avut ca
efect utilizarea lor la scară mai mare, dar împărțirea suprafeței în panouri uşor de
SINCRONIZARE GEOMETRICĂ
4 R E Z U M A T
manevrat şi reducerea costurilor rămâne în continuare necesară. În acest caz algoritmul
de optimizare este simplificat prin eludarea condițiilor de planeitate sau simplă curbură a
panourilor urmărind alte condiții impuse de estetică, funcţiune, fabricare şi montaj.
2 | Suprafața curbă şi reprezentarea ei
Reprezentarea utilizată în proiectare este condusă în principal de un singur vehicul,
geometria, care apare atât în redarea descriptivă cât şi în cea vizuală. Importanța rolului
său constă în demonstrațiile matematice care susțin reprezentările şi aproximările pe care
le permit uneltele şi programele utilizate de arhitect. Implementarea unor componente
externe geometriei în aceste unelte, precum dimensiunea şi rezistența unui material, a
devenit un curent datorită popularității cu care este realizat şi a condus la mărirea
importanței programării. Transferarea responsabilității reprezentării către acest domeniu
este însă numai temporară pentru că necesitatea prezentării rezultatului final determină
întoarcerea acestei responsabilități către geometrie.
Fie că este vorba de modelul virtual sau de modelul fizic, reprezentarea face referire la
suprafață. Suprafața este un concept abstract al geometriei precum punctul şi linia dar
prezintă un rol important legat de reprezentare şi de vizualizare pentru geometria
computațională. Orice lucru legat de vizualizare în geometria computațională este operat
prin suprafețe; reprezentarea prin necesitatea sa de expunere, iar vizualizarea prin
necesitatea de așezare a texturilor, determinarea unghiurilor de incidență a luminii
conferă o importanță deosebită suprafeței şi descrierii sale matematice. Pentru că
vizualizarea şi crearea imaginilor digitale se bazează pe funcția suprafeței de a încărca
texturi şi de a simula comportamentul acestora sub incidența luminii, suprafața şi
reprezentarea ei au fost un subiect important pentru grafica pe calculator şi design.
Pentru arhitectură reprezintă din nou subiect de actualitate datorită tehnicilor de
fabricare digitale. Rolul geometriei, al suprafeței în mod particular, este din nou subliniat
de precizia şi controlul noilor tehnici de fabricație.
Suprafața, în special suprafața ce pare liber exprimată în practica de arhitectură
contemporană, este importantă pentru definirea formei şi căutările proiectării de
SINCRONIZARE GEOMETRICĂ
5 R E Z U M A T
arhitectură, iar principalul obiectiv al acestui studiu îl reprezintă înțelegerea
posibilităților matematice de reprezentare ale acesteia şi efectul pe care îl generează
utilizarea lor în arhitectură. Ca produs al secolului al XXI-lea suprafața proiectului de
arhitectură este reprezentativă pentru trans-disciplinaritate, ceea ce a făcut necesară
menționarea unui număr mare de noțiuni de specialitate din trei domenii diferite,
geometria suprafețelor curbe, topologie şi optimizare, domenii puternic dezvoltate care
pot reprezenta un subiect de studiu individual. Fără o introducere în aceste domenii însă
potențialul definirii geometrice a suprafeţei, explorarea descoperirilor acestor domenii şi
implicațiile lor în arhitectură nu este posibilă.
Pentru realizarea proiectelor ce conțin suprafețe din ce în ce mai variate este nevoie de
intervenția arhitectului, care o generează şi modelează, a geometrului care utilizează
noțiunile ştiinţei sale pentru exprimarea şi reprezentarea matematică, a inginerului care
intervine cu problemele de statică sau cu tehnologiile legate de materializare și a
programatorului care realizează transcrie condițiilor de mediu și a funcțiunilor spațiului
interior. Toți lucrează în același timp, asupra suprafețelor unui proiect, această trans-
disciplinaritate este transpusă în proiect prin intermediul geometriei acestuia. Este un
moment în care proiectanții au nevoie de extinderea cunoașterii dincolo de domeniul
lor, un moment în care cunoașterea teoretică se suprapune celei tehnice, un moment în
care complexitatea şi dimensiunea informației pot fi cucerite numai prin suprapunerea
științelor cunoscute şi crearea de noi subdomenii care să permită asimilarea acestei
complexități.
3 | Schemă generală
Utilizarea descrierii matematice şi reprezentării geometrice a suprafețelor curbe şi
aprofundarea studiului lor prin aplicații în arhitectură este descrisă în capitolul 2 al
lucrării, Reper temporal. Având în vedere numai avantajele lor structurale, sunt extrem
de puțini arhitecții și inginerii care au tratat suprafețele riglate ca elemente promițătoare
în operele lor. Utilizările acestor suprafețe sunt distanțate între ele, geografic şi temporal
dar pot fi remarcate puncte foarte importante în comun. Momentul de plecare îl
SINCRONIZARE GEOMETRICĂ
6 R E Z U M A T
reprezintă Antoni Gaudi care a aplicat pentru prima dată suprafața cu dublă curbură în
Capela Güell din Barcelona, bazându-se pe faimoasa sa machetă realizată din greutăți de
plumb agățate de fire de ață (dezvoltat între 1898-1906), din care doar cripta a fost
construită. Cripta, în ciuda rolului său minor pe care ar fi trebuit să îl aibă în măreața
capelă, utilizează bolta catalană şi coloane elicoidale aliniate în conformitate cu macheta
cu greutăți. Ultimii ani ai carieri sale au fost dedicați Bisericii Sagrada Família care
reprezintă un amalgam de hiperboloizi de rotație, paraboloizi hiperbolici întrerupți
accidental de fragmente plane. Vladimir Schukhov şi Félix Candella au mers mai
departe şi au utilizat calcule matematice pentru realizarea operelor lor. Vladimir
Schukhov prin multitudinea turnurilor de comunicație și piloni realizați dintr-o serie de
hiperboloizi de rotație stivuiți unul peste altul ce par structuri instabile, cu aspect mult
prea delicat pentru sarcina pe care o susțin atrage atenţia asupra potenţialului structural
al acestui tip de suprafeţe curbe. Félix Candela utilizează suprafețe subțiri din beton
armat pentru a pune în operă hiperboloizi parabolici. Un alt pas important pentru
evoluția suprafețelor curbe în arhitectură a fost realizat prin utilizarea suprafețelor riglate
în operele lui Frank Gehry. El este cel care a dezvoltat studiul suprafețelor curbe cu
ajutorul calculatorului şi a reprezentat un catalizator al căutărilor geometrice ale
arhitecturii. Pentru Experience Music Project forma finală a finisajului exterior este
obținută printr-un sistem de panouri profilate, atașat sistemului primar de nervuri din
oțel prin intermediul unor conectori reglabili. Proiectul Muzeului Guggenheim a fost
generat prin plierea unor fâșii mari de hârtie în diferite forme. Ambele au beneficiat de
calcule şi evaluări complexe realizate asupra modelelor digitale ale proiectelor. Lucrările
lui Frei Otto care a adus în limbajul arhitectural pânza au reprezentat în același timp
introducerea suprafețelor minimale şi o reapropiere a arhitectului de geometru. O altă
modalitate de abordare a suprafețelor curbe a fost cea de transpunere a partițiilor plane
pe suprafeţe curbe lucru ce a generat suprafețele poliedrale şi cupolele geodezice.
Relația arhitecturii cu geometria reprezintă o continuare a legăturii pe care arhitectura şi
matematica au stabilit-o şi care este reluată astăzi prin dezvoltarea unui nou tip de
abordare a procesului de proiectare ca răspuns al dezvoltării tehnologiei şi a științelor
SINCRONIZARE GEOMETRICĂ
7 R E Z U M A T
tehnice. Matematica, prin geometrie, însoțește arhitectura de mult timp; geometria
descriptivă are valoare matematică și filosofică extinsă puternic dincolo de epoca
proiectării digitale, indiferent de nivelul de automatizare. Această apropiere a arhitecturii
de matematică a venit natural şi pentru că geometria reprezintă manifestarea vizuală a
matematicii
,,Matematicianul [..] este un creator de forme [..] făcute din idei. [..]. Un matematician
are ca material de lucru ideile care rezistă mai mult decât cuvintele în timp deci şi
formele sale au șanse mari de fi păstrate pentru mult timp.”2
Compararea arhitectului cu matematicianul face apel la evaluarea estetică a matematicii
lucru regăsit şi în arhitectură, dar mai mult de atât transpunerea ideilor în forme este
legătura strânsă dintre matematică şi arhitectură.
Cunoașterea spațială s-a fundamentat timp de peste două mii de ani pe geometria
euclidiană. Contrazicerea celui de al cincilea postulat al lui Euclid, catalizatorul apariției
geometriilor neeuclidiene, face parte din revoluția științifică ce a urmat revoluției
industriale. Omul interpretează în mod natural spațiul raportându-l la dimensiunile şi
experiențele corpului său care au fost transpuse prin principiile euclidiene ale
geometriei. Modificarea discursului geometriei prin suprimarea unei axiome a provocat
mintea umană să facă trecerea de la rectangular la curb şi mai departe către suprafețe
curbe de complexitate ridicată.
Trecerea către percepția non-euclidiană a spațiului s-a făcut treptat prin experimentarea
suprafețelor desfășurabile și a suprafețelor riglate care prezintă oportunități fascinante
pentru arhitecți și ingineri permițând un drum facil către "complexitatea formei".
Mergând mai departe, înlocuirea desenului tehnic cu algoritmi a determinat o importantă
modificare a strategiei de modelare a suprafeței şi a formei care a necesitat o introducere
şi o evaluarea a relațiilor ce dictează rezultatul final al căutărilor proiectului de
arhitectură. Gândirea parametrică şi algoritmică este în primul rând despre logică,
geometrie, topologie şi interacțiune.3 Algoritmii şi codurile trebuie înțelese ca un
mijlocitor, o modalitate de transmitere a informației către model și implicit către
2 Hardy, Godfrey Harold: A Mathematician’s Apology, versiune electronică, University of Alberta Mathematical
Sciences Society, 2005, pag. 13 3Jabi, Wassim: Parametric design for Architecture, Laurence King Publishing, Londra, 2013, pag. 6
SINCRONIZARE GEOMETRICĂ
8 R E Z U M A T
reprezentarea lui. Programarea, gândirea algoritmică, proiectarea parametrică, logica
limbajelor de programare, geometria şi trigonometria sunt greu de studiat, dar odată ce
sunt suprapuse devin unelte foarte puternice ce permit libertate în definirea formei.
Formă poate fi redusă la suprafață, iar pentru o analiză şi mai detaliată se poate merge
până la definirea unei linii curbe. De aici prin definirea specifică mediului digital, se
ajunge la un set de puncte denumit ,,mesh”. Popularitatea şi mai ales viteza cu care
modelarea digitală s-a răspândit a determinat ca aceste termen să fie deseori preluat în
limba română sau, mai rar, să fie tradus prin rețea poliedrală. Traducerea termenului
,,mesh” poate fi făcută prin plasă, rețea, năvod sau ca acțiunea de a angrena, a împleti, a
prinde în mreje4. Este de remarcat înțelesul termenului ca acțiunea de a angrena, preluat
în limba română din limba franceză, ce semnifică la modul reflexiv (despre dinții unei
roți) a intra între dinții altei roți pentru a transmite o mișcare de rotație, iar la modul
tranzitiv a antrena sau a fi antrenat într-o acțiune5. Putem spune despre sistemul
punctelor de control al unei suprafețe că antrenează şi sunt antrenate în modificarea şi
transformarea acestora, deci putem vorbi despre ,,angrenajul” punctelor unei suprafețe.
Acest termen este folosit în limba română şi pentru a desemna un sistem de roți dințate
ce se întrepătrund pentru a-şi transmite mișcarea. La nivelul sistemului de puncte există
linii drepte, legături ce transmit mai departe de la unul la altul modificările şi
transformările suprafeței, lucru ce justifică suplimentar utilizarea acestui termen.
D’Arcy Thompson descrie forma ca fiind o diagramă de forțe, iar Christofer Alexander
duce mai departe această definiție considerând proiectarea ca o încercare de a realiza o
diagramă a forțelor ale căror câmpuri nu sunt cunoscute, înțelese. Abordarea parametrică
a arhitecturii poate fi identificată ca o transpunere a problemelor pe care proiectul de
arhitectură trebuie să le rezolve, acele forțe necunoscute. Reprezentarea virtuală de
astăzi reprezintă o continuare a diagramei de forțe și permite noi căutări și experimentări
ale formei din care arhitectura poate învăța mult. Angrenajul punctelor unei suprafete
curbe înlesneşte preluarea acestui câmp de forţe.
Se poate spune că arhitectura trebuie să coordoneze mai multe rețele, de la cele ale
legăturilor umane și sociale până la cele ale conductelor, cablurilor și traseelor ascunse 4 https://www.google.com/search?q=googletranslate&ie=utf-8&oe=utf-8, 2015.08.25, 19:20
5 conform Dicţionarului explicativ al limbii române, ediția a doua, Editura Univers Enciclopedic, București, 1996
SINCRONIZARE GEOMETRICĂ
9 R E Z U M A T
în pereții unei clădiri, o rețea ce poate da multe bătăi de cap, o amestecătură complexă,
atât de necesare însă pentru a crea un mediu construit adecvat. Forma acestui mediu
poate să fie materializat ca răspuns al sistemului acestor rețele prin reprezentarea
geometrică şi transcrierea matematică a informațiilor de orice natură. Mai mult,
suprafețele ce delimitează această forma sunt şi ele coordonate printr-o urzeală, sistem
de linii curbe, sau printr-un angrenaj de puncte, care printr-un aparat matematic
complex, accesibil prin intermediul calculatorului, sunt modelate în conformitate cu
instrucțiunile sistemului acestor reţele.
Pentru geometria suprafețelor curbe sunt preluate din geometria diferențială şi
arhitecturală două dintre modalitățile de descriere a suprafețelor curbe ce pornesc de la
descrierea liniilor curbe, suprafețele Bézier şi NURBS. Aceste modalități determină
suprafețe poliedrale a căror descriere este realizată în acest capitol. În funcție de tipul
poligonului ce conturează feţele acestor suprafețe sunt enumerate trei tipuri şi este
exemplificată utilizarea lor în arhitectură. Este de asemenea amintită posibilitatea de
dublare a acestor rețele proces care este utilizat pentru obținerea fațadelor duble şi în
studiul suprafețelor autoportante. O altă aplicație a acestor rețele este așezarea unei
texturi pe o suprafață curbă care este regăsită în modelarea digitală şi în estetica
panotării suprafețelor arhitecturale.
Se poate spune că relaționarea caracterizează topologia, dar arhitectura a stabilit legături
cu acestui domeniu matematic prin felul în care se raportează la suprafață. Topologia a
fascinat arhitectura prin relaționare şi semnificația atribuită modelelor sale, însă
suprafața în topologie este cea care preocupă cel mai mult reprezentarea arhitecturală în
acest moment. Se poate spune că topologia tratează felul în care obiectele descrise
geometric sunt conectate, legate, relaționate; forma în sine nu prezintă nici o importanţă
pentru că nu există diferențiere între netezime şi rugozitate, iar definirea suprafețelor nu
este legată de curbura sa. În topologie, sfera este considerată un obiect, o mulțime
bidimensională pentru care a treia dimensiune nu are semnificație importantă. Capitolul
dedicat acestui domeniu este completat cu exemple ale aplicării modelelor topologice în
SINCRONIZARE GEOMETRICĂ
10 R E Z U M A T
arhitectură şi descrierea unor noțiuni de topologie combinatorie ce se regăsesc cel puțin
ca principiu în modalitățile de reprezentare a suprafețelor.
Descrierea suprafețelor libere poate fi realizată digital prin utilizarea unui număr foarte
mare de elemente diferite, dar materializarea necesară aplicațiilor în arhitectură a
acestora impune restrângerea numărului şi varietății elementelor componente. De
asemenea impunerea regulilor stabilite de statica suprafețelor şi formelor reprezintă un
alt filtru prin care suprafețele şi modalitățile lor de reprezentare şi definire trebuie să
treacă. Acest proces de îmbunătățire, optimizarea, şi descrierea tipurilor utilizate pentru
aplicațiile de arhitectură este subiectul capitolului 6 şi este cel care susține necesitatea şi
importanţa reprezentării adecvate a unei suprafețe în funcție de tipul şi utilizarea ei, a
materialului din care este realizată, a esteticii urmărite şi a costului de producție.
Aproximarea suprafețelor prin utilizarea rețelelor se face la un nivel brut după care
această rețea este îmbunătățită prin subîmpărțirea sau înlocuirea feţelor, repoziționarea
vârfurilor etc. Optimizarea rețelelor cuprinde doi pași: modificarea topologiei suprafeței
prin modificarea numărului de vârfuri şi a modului în care sunt legate şi modificarea
geometriei suprafeței prin modificarea poziției vârfurilor; paşi care se reiau până când
este identificată o variantă ce răspunde satisfăcător scopului propus.
Optimizarea multicriterială cuprinde mai multe seturi de criterii care permit căutarea
formei optime a unui model din mai multe puncte de vedere, estetic, funcțional, structural
sau financiar. Este un proces greu de controlat şi de obicei se poate vorbi despre o astfel
de optimizare în cadrul unor unelte complexe, programe de generare şi editare a unui
model, particularizate pe un singur proiect.
Stabilirea tipurilor de optimizare în funcție de scopul principal pe care îl urmăresc oferă
posibilitatea de înțelegere a detaliilor ce pot fi cuprinse în descrierea modelelor în
proiectare în general şi în definirea formei şi căutarea suprafețelor în particular. Aceste
detalii pot fi utilizate ca filtru pentru realizarea unor tipologii utilizabile în procesul de
creaţie a produselor concrete. Explorarea acestor modele va conduce inevitabil la produse
care vor depăşi limitele impuse de tiparul modelului conducând la variante particulare.
Este o modalitate prin care plecând de la tipologia realizată pe baza criteriilor extrase din
SINCRONIZARE GEOMETRICĂ
11 R E Z U M A T
procesul optimizării i se oferă arhitecturii posibilitatea de a căuta şi a experimenta forme
şi suprafețe noi.
Studiul stabileşte noțiuni de geometrie importante pentru definirea suprafețelor curbe
care au impact asupra utilizării acestui tip de suprafață în arhitectură. În baza acestor
noțiuni şi a studiilor de geometrie arhitecturală analizate este realizată o comparație a
tipurilor de reprezentare utilizate pentru definirea suprafețelor în arhitectură şi stabilirea
unor direcții coordonatoare pentru alegerea optimă a reprezentării.
Rețele triunghiulare Reţele patrulatere Reţele hexagonale
Geometria rețelei
complexitatea nodurilor
(întâlnirea a șase elemente într-
un nod)
permit optimizarea nodurilor şi
minimizarea torsiunilor; cazuri
particulare de rețele cu vârfuri
fără torsiune
permit optimizarea nodurilor şi
prezintă cazuri particulare de
rețele cu vârfuri fără torsiune
Aspect vizual
pot urmări curbura principală urmăresc curburile principale
ale suprafețelor (recomandat
suprafețelor de translație)
pot urmări curbura principală
Structură
_nodurile sunt torsionate
_nu permit dublarea paralelă
_nodurile nu sunt torsionate
_permit dublarea
_nodurile nu sunt torsionate
_permit dublarea
SINCRONIZARE GEOMETRICĂ
12 R E Z U M A T
Cost, fabricare
costul este mai ridicat datorită
necesității unui număr mai mare
de elemente şi a unor piese de
conectare speciale (manoperă şi
material)
_structuri mai ușoare (necesită
mai puțin metal/ montanți -
prin eliminarea diagonalelor)
_structuri mai ușoare (necesită
mai puțin metal/ montanți -
prin eliminare de muchii)
_cost mai ridicat pentru
manoperă şi pierderi material
debitare
Material
raportul metal/ sticlă (plin/gol)
este mai ridicat ceea ce
înseamnă costuri mai mari şi
luminozitate mai scăzută
recomandate pentru fațade din
sticlă (permit dublarea)
_utilizate în special pentru
panouri metalice
recomandate pentru fațade din
sticlă (permit dublarea)
_utilizate în special pentru
panouri metalice
Optimizare
_relaxare; relaxarea locală este
mai rapidă
_doo sabin
_loop
_catmull clark
_menținerea unei suprafețe egale
a fetelor
_doo sabin
Muzeul Britanic Kunsthaus Muzeul Soumaya
Geometria rețelei
triunghi patrulater hexagoane
Aspect vizual
_urmăresc curburile conjugate
ale suprafeței
_suprafață de translație
_urmăresc curburile conjugate
ale suprafeței
_suprafață de translație
_urmăresc curburile conjugate
ale suprafeței
_suprafață de translație
Structură
_rețea metalică cu ochiuri _reţea metalică cu ochiuri reţea metalică cu ochiuri
SINCRONIZARE GEOMETRICĂ
13 R E Z U M A T
triunghiulare triunghiulare patrulater
Cost, fabricare
_cost redus de planeitatea
panourilor
_cost ridicat dat de curbura
panourilor
_cost mai ridicat dat de
numărul mare al familiilor de
hexagoane
Material
raportul metal/ sticlă utilizat
avantajos
panouri acrilice
panouri metalice
Optimizare
_relaxare _estetică
_metoda geometrică
neidentificată
_estetică
_metoda geometrică
neidentificată
În baza comparaţie realizate a fost elaborată o metode de analiză a suprafețelor curbe
utilizate în arhitectură. Această metodă împreună cu setul de informații şi reguli
identificate în timpul studiului poate reprezenta un punct de plecare al proiectului de
arhitectură ce utilizează suprafața curbă complexă prin identificarea unei reprezentări cât
mai potrivite tipului de suprafață şi a materializării acesteia din prima fază a proiectului.
Metoda de analiză propusă care se bazează pe compararea caracteristicilor celor trei
tipologii propuse poate fi folosită pe diverse paliere de complexitate, cum sunt:
_ aplicații în învățământul de arhitectură precum proiectarea asistată pe calculator,
analiza şi reinterpretarea proiectelor de arhitectură prin modificarea geometriei sau a
optimizării, sau în cadrul științelor tehnice pentru stabilirea tipului de material în funcție
de tipologia panotării.
_analiza proiectelor de arhitectură şi înțelegerea felului în care noțiunile de geometrie au
fost folosite pentru definirea, optimizarea şi execuția suprafețelor curbe.
_proiectarea şi utilizarea suprafețelor in cadrul unor modele noi.
Metoda de analiză propusă cuprinde trei pași ce trebuie parcurși. Pleacă de la geometria
suprafeței care trebuie identificată, definită şi chiar mai departe, dacă uneltele de
reprezentare şi cunoștințele o permit, analizată din punctul de vedere al indicatorilor
propuși pentru evaluarea estetică a suprafețelor. Următorul pas reprezintă în acest
SINCRONIZARE GEOMETRICĂ
14 R E Z U M A T
moment o decizie de factură umană, dar care ar putea reprezenta tema unui algoritm, şi
necesită stabilirea tipului de ochi. Ultimul pas este al ajustării suprafeței în funcție de
scopul urmărit şi constă în alegerea algoritmului de optimizare. Metoda presupune o
reinterpretare a cunoștințelor clasice de geometrie prin intermediul tehnologiei
disponibile astăzi pentru a răspunde modului de percepție a lumii care este afectată de
viteza, complexitatea și cantitatea informației.
M1 | Geometria suprafeței
Identificarea geometriei suprafeței curbe constă în stabilirea liniilor de curbură
principală explicate în capitolul 4.1.4. Dintre acestea este recomandată utilizarea
curbelor geodezice sau izometrice ale suprafeței şi a conjugatelor lor dacă intenția
estetică nu este alta.
Identificarea expresiei explicite şi parametrice a suprafeței utilizate.
Utilizarea acestora permit exprimarea caracteristicilor suprafeței curbe cu multă
acuratețe, ele fiind cele care exprimă şi definesc suprafața.
Reprezentarea hărții curburii gaussiene a suprafeței este o operație care poate deveni
oneroasă pentru suprafețe cu geometrii complexe. Este o etapă recomandată pentru
abordarea digitală care permite realizarea ei rapidă utilizând descrierea parametrică a
curburii gaussiene.
M2 | Tipologia rețelei
Prin compararea proprietăților celor trei tipuri de pânze prezentate se stabilește tipologia
adecvată a reţelei. În funcție de aceasta se identifică programul care realizează acest tip
de panotare. Pentru fiecare dintre cele trei tipuri analizate sunt menționate adrese ale
unor astfel de unelte digitale în cadrul bibliografiei dedicate fiecărei pânze.
M3 | Optimizarea
Alegerea tipului de optimizare trebuie realizată în funcție de scopul urmărit. În cazurile
practice se întâmplă de cele mai multe ori să fie realizată o optimizare legată de
producerea elementelor prin impunerea unor dimensiuni şi a reducerii varietății acestora.
SINCRONIZARE GEOMETRICĂ
15 R E Z U M A T
Ulterior este aplicată al doilea tip de optimizare care este fie structurală, funcțională sau
estetică. În cadrul textului au fost cuprinse tipuri de optimizare geometrică ce sunt
consacrate şi pot fi numite clasice. Tendința generală este de creare a optimizărilor
individuale proiectului şi de explorare a altor metode geometrice şi implementarea lor în
algoritmi pentru realizarea unor tipuri de optimizare noi.
4 | Concluzii
O suprafață poate fi descrisă prin considerarea a două familii de curbe care se sprijină pe
această suprafață şi formează o rețea de coordonare. Utilizând punctele de intersecție ale
acestor curbe sau punctele de descriere a curbelor se obțin suprafețe ,,frânte” formate din
feţe plane numite suprafaţe poliedrale, o aproximare brută a suprafeței curbe. Zona
delimitată de aceste două suprafețe, suprafața curbă şi suprafața poliedrală, a reprezentat
aria de interes al acestui studiu şi reprezintă spațiul pe care geometria arhitecturală prin
rețeaua suprafeței îl modelează în funcție de instrucțiunile preluate de angrenajul
punctelor sale.
Proiectarea are o puternică influenţă asupra educației de arhitectură iar astăzi utilizează
din plin suprafeţe curbe complexe ce necesită cunoștințe temeinice de geometrie.
Instrumentele de proiectare utilizate deja în practica curentă folosesc cunoștințe de
geometrie mai detaliate decât cele cuprinse în programa curentă, iar utilizarea procedurile
de proiectare computațională se sprijină pe înțelegerea aprofundată a geometriei.
Încorporarea cunoștințelor de geometrie arhitecturală în unelte de proiectare dezvoltate
permit accesarea facilă a suprafețelor curbe dar eficienţa utilizării lor este determinată de
înțelegerea şi cunoașterea geometriei dincolo de curicula actuală a învățământului de
arhitectură.
SINCRONIZARE GEOMETRICĂ
16 R E Z U M A T
Contribuţii aduse prin lucrare:
_Identificarea unor noțiuni necesare definirii şi controlului suprafețelor curbe complexe
folosite astăzi în proiectare.
_Identificarea parametrilor geometrici ce pot fi utilizați ca indicatori în evaluarea
suprafețelor curbe.
_Propunerea utilizării termenului angrenaj al punctelor de control al unei suprafețe în
locul utilizării termenului în limba engleză ,,mesh” sau rețea care este utilizat pentru mai
multe noțiuni foarte apropiate ca utilizare.
_Realizarea comparației între tipurile principale de rețele utilizate pentru aproximarea şi
panotarea suprafețelor curbe complexe.
_Constituirea unei platforme cu acces liber şi cu caracter deschis ce poate fi utilizată
pentru informare şi cercetarea tipurilor de panotare.
_Propunerea unei metode de analiză a suprafețelor curbe utilizate în practica de
arhitectură contemporană;
_Propunerea unor teme pentru seminariile cursului de geometrie descriptivă ce utilizează
noțiunile cuprinse în cursurile Universității şi care pot reprezenta un prim pas către
înțelegerea şi definirea suprafețelor curbe.
SINCRONIZARE GEOMETRICĂ
17 B I B L I O G R A F I E
BIBLIOGRAFIE
Adams, Colin C.: The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory
of Knots, W. H. Freeman & Company, 1994
Bechthold, Martin: Innovative Surface Structures: Technologies and Applications,
Taylor&Francis, Oxon, 2008
Bonola, Roberto; Carslaw, H. S.: Non-Euclidean Geometry: A Critical And Historical
Study Of Its Development, Dover Editions, New York, 1955
Brumfield, William Craft: The origins of Modernism in Russian Architecture, University
of California Press, Berkeley, 1991
http://publishing.cdlib.org/ucpressebooks/view?docId=ft1g5004bj&brand=ucpress
Burry, Jane; Burry, Mark: The New Mathematics of Architecture, Thames & Hudson,
Londra, 2010
Burry, Mark: Scripting Cultures: Architectural Design and Programming, Wiley,
Chichester, 2011
Crâşmăreanu, Mircea: Geometria curbelor şi suprafeţelor, curs Universitatea ,,Alexandru
Ioan Cuza”, Iaşi, iulie 2014
Coma, Joseph: Morphing, A guide to mathematical Transformations for Architects and
Designers, Laurence King Publishing Ltd, Londra, 2015
Deng, Bailin: Special Curve Patterns for Freeform Architecture, Universitatea Tehnica,
Viena, 2011
Di Cristina, Giuseppa, editor: Architecture and Science, Wiley-Academy, Londra, 2001
Enache, Mircea; Ionescu, Iulius: Geometrie descriptivă şi perspectivă, Editura Didactică
şi pedagogică, Bucureşti, 1983
Gheorghiu, Adrian; Dragomir, Virgil: Geometria poliedrelor şi a reţelelor. Forme şi
structuri constructive, vol. 1 şi 2, Editura Tehnică, Bucureşti, 1978, 1983
Hardy, Godfrey Harold: A Mathematician’s Apology, versiune electronică, University of
Alberta Mathematical Sciences Society, 2005
Henderson, David; Taimina, Daina: Experiencing geometry: Euclidean and Non-Euclidean
with history, Preston Prentice Hall, Upper Saddle River, 2005
SINCRONIZARE GEOMETRICĂ
18 B I B L I O G R A F I E
Hilbert, David; Cohn-Vossen, S.: Geometry and the Imagination, AMS Chelsea
Publishing, New York, 1983
Hudson, Roland: Strategies for parametric design in architecture, University of Bath,
Department of Architecture and Civil Engineering, Bath, 2010
Iwamoto, Scot; Iwamoto Lisa: Digital Fabrication, Princeton Architectural Press, New
York, 2009
Jabi, Wassim: Parametric Design for Architecture, Laurence King Publishing, Londra,
2013
Kilian, Axel: Design Exploration through Bidirectional Modeling Constrains, MIT,
Department of Architecture, 2006
http://www.designexplorer.net/download/Kilian-phd-arch-2006.pdf
Klein, Morris: Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, volumul 1, Oxford
University Press, New York, 1972
Lawson, Bryan: How Designers Think. The design process demystified, Architectural
Press Elsevier, Oxford, 2005
Leyton, Michael: Shape as Memory. A Geometric Theory of Architecture, Birkhäuser,
Basel, 2006
Lynn, Greg: Folding in Architecture, Wiley-Academy, West Sussex, 2004
Melaragno, Michele: An Introduction to Shell Structures: The Art and Science of Vaulting,
Van Nostrand Reinhold, 1991
Nerdinger, Wilfried: Frei Otto, Complete works. Lightweight Design. Natural Design,
Birkhäuser Publishers, Basel, 2005
Otto, Frei; Rasch, Boco: Finding Form: Towards an Architecture of the Minimal, Edition
Axel Menges, 1996
Peters, Brady; Peters, Terri: Inside Smartgeometry. Expanding the Architectural
Possibilities of Computational Design, Wiley, West Sussex, 2013
Pottmann, Helmut; Asperl,Andreas; Hofer, Michael; Kilian, Axel: Architectural
Geometry, Bentley Institute Press, Exton, 2007
Pottmann, Helmut; Wallner, Johannes; Brell-Cokcan, Sigrid: Discrete surfaces for
architectural design, University of Technology, Vienna, 2007
SINCRONIZARE GEOMETRICĂ
19 B I B L I O G R A F I E
Pottmann, Helmut; Wallner, Johannes: Computational Line Geometry, Springer-Verlag,
Berlin Heidlberg, 2010
Schiftner, Alexander: Planar quad meshes from relative principal curvature lines, Institute
of Discrete Mathematics and Geometry, University of Technology, Vienna, 2007
Siegel, Curt: Forme structurale ale arhitecturii moderne, Editura Tehnică, Bucureşti, 1968
Simon, Herbert: The Science of The Artificial, MIT Press, Cambridge, 1996
Shelden R., Dennis: Digital Surface Representation and the Constructibility of Gehry’s
Architecture, Masachusetts Institute of Technology, Cambridge, 2002
Solomon, Marcus: Semiotica matematică a artelor vizuale, Editura științifică și
enciclopedică, București, 1982
Tamina, Daina: Crocheting Adventures with Hyperbolic Planes, A.K. Peters, Wellesley,
2009
Teleman, Costake: Geometrie diferenţială locală şi globală, Editura tehnică, Bucureşti
1974
Terzidis, Kostas: Algorithmic Architecture, Elsevier, Burlington, 2006
Țiţeica, Gheorghe: Geometrie diferenţială proiectiva a reţelelor, Editura Academiei
Republicii Populare Române, Bucureşti, 1956
Williams, Kim, Ostwald, Michael J: Architecture and Mathematics from Antiquity to the
Future, Birkhäuser, Basel, 2015
https://books.google.ro/books?id=fWKYBgAAQBAJ&pg=PA25&lpg=PA25&dq=WILLIA
MS,+K.,+Relationships+between+Architecture+and+Mathematics&source=bl&ots=IPRwI8
pu1x&sig=axOMc66c3JMOnSnoFdqhGM1BFPg&hl=ro&sa=X&redir_esc=y#v=onepage&q
=WILLIAMS%2C%20K.%2C%20Relationships%20between%20Architecture%20and%20
Mathematics&f=false
Woodbury, Robert: Elements of Parametric Design, Routledge, New York, 2010
Zappulla, Carmelo: Per una scienza architettonica del pattern?, Universitat Politècnica de
Catalunya, Barcelon, 2014 http://www.tdx.cat/handle/10803/232456
Zimmer, Per Henrik Joakim: Optimization of 3D Models for Fabrication, RWTH
University, Aachen, 2014
SINCRONIZARE GEOMETRICĂ
20 B I B L I O G R A F I E
REVISTE - publicaţii periodice şi volume:
Architectural Design, număr profil 198, Closing the gap information models in
contemporary design practice, Wiley, Londra, 2009
Architectural Design, număr profil 202, Patterns of Architecture, Wiley, Londra,
noiembrie-decembrie 2009
Architectural Design număr profil 204, Exuberance: New Virtuosity in Contemporary
Architecture, Wiley, Londra, 2010
Architectural Design, număr profil 206, The New Structuralism, Wiley, Londra, iulie-
august 2010
Architectural Design, număr profil 212, Mathematics of Space, Wiley, Londra, iulie-
august 2012 http://issuu.com/ani.arzumanyan/docs/0470689803, 2014.07.29, 12:23
Architectural Design, număr profil 230, The Future Details of Architecture, Wiley,
Londra, iulie-august 2014
http://issuu.com/saifulbinislam/docs/future_details_of_architecture, 2015.07.29, 15:17
Advances in Architectural Geometry 2008, editori Helmut Pottmann, Axel Kilian,
Michael Hofer, RFR and Waagner-Biro Stahlbau AG, Viena, 2008
Advances in Architectural Geometry 2010, editori Cristiano Ceccato, Lars Hesselgren,
Mark Pauly, Helmut Pottmann, Johannes Wallner, SpringerWien, New York, 2010
Advances in Architectural Geometry 2012, editori Lars Hesselgren, Shrikant Sharma,
Johannes Wallner, Niccolo Baldassini, Philippe Bompas, Jacques Raynaud, Springer-
Verlag, Viena, 2013
Advances in Architectural Geometry 2014, editori Philippe Block, Springer Cham
Heidelberg New York Dordrecht London, 2014
ARTICOLE:
Collins, G.R.: Antonio Gaudi: Structure and form, Perspecta vol. 8, 1963, pag. 63-90
http://www.jstor.org/stable/1566905?seq=1#page_scan_tab_contents
Douglas DeCarlo, Jean Gallier: Topological Evolution of Surfaces, Graphics Interface
’96, pag. 194-203
SINCRONIZARE GEOMETRICĂ
21 B I B L I O G R A F I E
Eigensatz, M., Kilian, M., Mitra, N., Pottmann H., Pauly M.: Panelling architectural
freeform surfaces, ACM Trans. Graphics, 29/4, #45
Eigensatz, M., Schiftner, A., Deuss, M., Kilian, M., Mitra, N., Pottmann, H., & Pauly,
M.: Case studies in cost-optimized paneling of architectural freeform surfaces, Advances in
Architectural Geometry 2010, pag. 49–72
Gürsel Dino, Ipek: Creative design exploration by parametric generative systems in
architecture, Metu JFA vol. 29(1), 2012, pag. 207-214
http://jfa.arch.metu.edu.tr/archive/0258-5316/2012/cilt29/sayi_1/207-224.pdf
Kantor, Jean-Michel: A Tale of Bridges: Topology and Architecture, Nexus Network
Journal, numărul 7:2, noiembrie 2005
Leach, Neil: Digital Morphogenesis, Architectural Design – Theoretical Meltown, volum
79(1), Wiley Publishing, Indianapolis, 2009, pag. 32-38
Liu, Y., Pottmann, H., Wallner, J., Yang, Y.-L., & Wang, W.: Geometric modeling with
conical meshes and developable surfaces, ACM Trans. Graph., 25(3), pag. 681–689
Liu, Y., Xu,W.,Wang, J., Zhu, L., Guo, B., Chen, F., &Wang, G.: General planar
quadrilateral mesh design using conjugate direction field, ACM Trans. Graph., 30, #140,
pag. 1–10
Maesumi, Mohsen: Parabolic Mirrors, Elliptic and Hyperbolic Lenses, The American
Mathematical Monthly, vol. 99(6), iunie-iulie 1992, pag. 558-560
http://www.jstor.org/stable/2324064?seq=1#page_scan_tab_contents
Pottmann, H., Liu, Y.,Wallner, J., Bobenko, A., &Wang,W.: Geometry of multi-layer
freeform structures for architecture, ACM Trans. Graph., 26, #65, pag. 1–11
Schiftner, A., H¨obinger, M.,Wallner, J., Pottmann, H.: Packing circles and spheres on
surfaces, ACM Trans. Graph., 28(5), #139, pag. 1–8
Schumacher, Patrik: Parametricism - A New Global Style for Architecture and Urban
Design, Architectural Design vol. 79(4), iulie-august 2009, pag. 14-29
Thurston, William: On Proof and Progress in Mathematics, Bulletin of the American
Mathematical Society, vol. 30(2), aprilie 1994, pag. 161-177
Troche, C: Planar hexagonal meshes by tangent plane intersection, Advances in
Architectural Geometry 2008, pag. 57–60
SINCRONIZARE GEOMETRICĂ
22 B I B L I O G R A F I E
Wenping Wang, Yang Liu, Dongming Yan, Bin Chan, Ruotian Ling, Feng Sun:
Hexagonal Meshes with Planar Faces, HKU CS Technical Report, TR-2008-13
Whiting E., Ochsendorf J., Durand F.: Procedural modeling of structurally-sound
masonary buildings, ACM Trans. Graph, vol. 28(5), decembrie 2009
Zimmer, H., Campen, M., Herkrath, R., & Kobbelt, L: Variational tangent plane
intersection for planar polygonal meshing, Advances in Architectural Geometry 2012,
pag. 319–332
Vouga E., Höbinger M., Wallner J., Pottman H.: Design of self-suporting surfaces, ACM
Trans. Graphics, 2012
WEBGRAFIE
http://www.evolute.at/technology/research-projects/arc-architectural-freeform-structures-from-
single-curved-panels.html
https://vimeo.com/105763808, 2015.07.01, 16:28
http://aasarchitecture.com/2014/09/maths-gallery-science-museum-zaha-
hadid.html?utm_source=%25NTCODE%25&utm_medium=%ACCNAME%25&utm_campaign
=NX%2Bfrom%2B%25SITENAME%25, 2015.07.01, 16:28
http://www.arch2o.com/case-study-computational-design-hangzhou-tennis-center/, 2015.07.02,
08:35
Shepherd, Paul: Subdivision surface modeling for architecture_
http://www.researchgate.net/publication/50838852_Subdivision_surface_modeling_for_architectu
re, 2015.07.02, 08:35
http://www.arch2o.com/interview-with-ben-van-berkel-unstudio-arch2o-interviews/, 2015.07.16,
09:29
http://issuu.com/pabloherrera/docs/28122011_hz_tennis_issuu_original_2011?e=1550707/2627663
, 2015.07.29, 14:37
http://opus.bath.ac.uk/20947/1/RHudsonEThesis.pdf, 2015.07.29, 14:37
http://issuu.com/xinyunnn/docs/zhuang_xinyun_636710_part_a_submiss
https://archive.org/details/LisaIwamotosAtcLecture, 2015.07.30, 13:13
http://autodeskresearch.com/, 2015.08.01, 11:49
http://www.coop-himmelblau.at/, 2015.08.04, 15:23
http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.360.5183&rep=rep1&type=pdf,
2015.08.05, 17:21
http://www.geometrie.tugraz.at/wallner/quad06.pdf, 2014.04.20, 15:43
http://www.imar.ro/~sergium/fisiere/tanot.pdf_curs topologie
https://prelectur.stanford.edu/lecturers/eisenman/texts.html#indic, 2014.08.08, 14:27
https://design.osu.edu/carlson/history/PDFs/shape-transform.pdf
http://autodeskresearch.com/publications/spatialmodeling, 2014.08.10
http://www.dmg.tuwien.ac.at/pottmann/2014/ag/index.html, 2014.10.18, 07:52
http://page.math.tu-berlin.de/~gunn/Documents/Papers/bolyai-visneg.pdf
https://prelectur.stanford.edu/lecturers/eisenman/texts.html, 2014.07.24, 21:01
http://www.math.ualberta.ca/mss/misc/A%20Mathematician's%20Apology.pdf, 2014.06.15, 10:45
SINCRONIZARE GEOMETRICĂ
23 B I B L I O G R A F I E
http://www.researchgate.net/publication/235980147_Two_Case-Studies_of_Freeform-
Facade_Rationalization
cursuri de geometrie:
http://gta.math.unibuc.ro/pages/ahalanay/Curs.pdf
http://www.math.uaic.ro/~manastas/CurbeSuprafete/Capitolul1.pdf
http://www.math.uaic.ro/~manastas/CurbeSuprafete/Capitolul3.pdf
http://www.math.uaic.ro/~manastas/CurbeSuprafete/Capitolul4.pdf
http://www.math.uaic.ro/~manastas/CurbeSuprafete/Capitolul5.pdf
http://www.math.uaic.ro/~oanacon/depozit/Curs-cuadrice.pdf
reţele triunghiulare:
http://web.engr.oregonstate.edu/~zhange/images/topoedit.pdf
http://people.bath.ac.uk/ps281/research/publications/burry_preprint.pdf
http://www.bespokegeometry.com/2015/07/22/cocoon/
https://github.com/meshmash/Plankton/releases
http://www.bespokegeometry.com/2015/01/29/mesh-subdivision-loop-and-catmull-clark/
http://www.bespokegeometry.com/2015/07/22/cocoon/
reţele cuadrice:
http://www.public.asu.edu/~pchihan/connectivity/ConnectivityEditingForQuadrilateralMeshes.p
df
http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.360.5183&rep=rep1&type=pdf
http://www.geometrie.tugraz.at/wallner/quad06.pdf
http://research.microsoft.com/en-us/um/people/yangliu/publication/cdf.pdf
http://www.geometrie.tuwien.ac.at/pottmann/2007/plwbw_freeform_07/paper_docs/freeform.pdf
http://vecg.cs.ucl.ac.uk/Projects/SmartGeometry/paneling_aag/paper_docs/paneling_aag10.pdf
http://www.evolute.at/software-en/evolutetools-for-rhino.html
reţele hexagonale:
http://i.cs.hku.hk/~wenping/P_Hex/TR-2008-13.pdf
http://block.arch.ethz.ch/brg/files/dmsb2011-rippmann-block_1377072671.pdf
https://iam.tugraz.at/fwf/papers/CAADFutures-TowardsMorphogeneticControlof Nonstandard
SurfacesforDesigners.pdf
http://www.geometrie.tugraz.at/wallner/packing.pdf
http://www.grasshopper3d.com/profiles/blogs/metaball-meshing
Muzeul Soumaya, Mexico City, Mexic:
http://fr-ee.org/museo-soumaya/
https://en.wikipedia.org/wiki/Museo_Soumaya
http://www.designboom.com/architecture/soumaya-museum-by-fernando-romero-architects/
http://www.archdaily.com/452226/museo-soumaya-fr-ee-fernando-romero-enterprise
http://fr-ee.org/museo-soumaya/
http://www.arch2o.com/soumaya-a-museum-of-eclecict-art-fernando-romero-enterprise/
http://www.arquitectitis.com/2010/10/entrevista-fernando-romero.html#.VeSB95fXyDk
https://www.youtube.com/watch?v=zYF9Cz-RFbw
http://www.arcstreet.com/article-soumaya-museum-mexico-by-fernando-romero-
74331688.html
http://www.suckerpunchdaily.com/2012/06/29/interview-with-fernando-romero/
SINCRONIZARE GEOMETRICĂ
24 B I B L I O G R A F I E
http://84.38.224.208/en/project/museo-soumaya/1137020#
Kunsthaus, Graz, Austria:
http://www.designboom.com/interviews/peter-cook/
http://www.archdaily.com/89408/bix-light-and-media-facade-at-moma/
http://www.archdaily.com/472429/this-was-our-utopianism-an-interview-with-peter-cook/
http://www.archdaily.com/440979/happy-birthday-sir-peter-cook
http://www.arch2o.com/kunsthaus-graz-peter-cook-and-colin-fournier/
http://www.archconsult.com/en/projects/cooperative-projects/kunsthaus-graz/
http://www.detail.de/inspiration/kunsthaus-graz-100615.html
http://www.diegowulaw.com/KUNSTHAUS-graz
https://performativearc.wordpress.com/kunsthaus-graz-museum/
Muzeul Britanic, Londra, Marea Britanie:
http://www.fosterandpartners.com/projects/great-court-at-the-british-museum/
http://www.dezeen.com/2014/05/02/softroom-designs-a-restaurant-for-the-british-museums-great-
court/
http://www.mathematicsinindustry.com/content/1/1/4/figure/F13
http://geometrygym.blogspot.ro/2009/11/british-museum-great-court-roof-using.html
http://people.bath.ac.uk/ps281/research/publications/burry_preprint.pdf
Top Related