Revue sur les fonctions duales réalisables
Cédric Joncour
Groupe de Travail RO
28 janvier 2009
Plan de l’exposé
1 Rappels et définitions
2 Exemple
3 OPP
Rappels et définitions Exemple OPP
Motivation
Items
1 4
2 5
3 6
voli = 4 ∀i
volbin = 25
∑i
voli = 24
⇒∑
ivoli ≤ volbin
Packing in a container
3
21
4
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Rappels et définitions Exemple OPP
Motivation
Items
1 4
2 5
3 6
voli = 4 ∀i
volbin = 25
∑i
voli = 24
⇒∑
ivoli ≤ volbin
Packing in a container
3
21
4
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Rappels et définitions Exemple OPP
Motivation
Items
1 4
2 5
3 6
voli = 4 ∀i
volbin = 25
∑i
voli = 24
⇒∑
ivoli ≤ volbin
Packing in a container
3
21
4
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Rappels et définitions Exemple OPP
Motivation
Items
1 4
2 5
3 6
voli = 4 ∀i
volbin = 25
∑i
voli = 24
⇒∑
ivoli ≤ volbin
Packing in a container
3
21
4
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Rappels et définitions Exemple OPP
Rappel : bin packing
Borne inférieur valide :
LB =
∑i wi
W
Arrondi :LB =
⌈∑i wi
W
⌉
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Rappels et définitions Exemple OPP
Exemple
wi :
1
6
2
5
3
4
4
4
5
2
12 3 4
5
W = 7
∑i
wi = 21
⇒ LB = 3
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Rappels et définitions Exemple OPP
Exemple
wi :
1
6
2
5
3
4
4
4
5
2
12 3 4
5 W = 7
∑i
wi = 21
⇒ LB = 3
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Rappels et définitions Exemple OPP
Exemple
wi :
1
6
2
5
3
4
4
4
5
2
12 3 4
5 W = 7∑i
wi = 21
⇒ LB = 3
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Rappels et définitions Exemple OPP
DéfinitionDual Feasible Function (DFF)f : [0, 1]→ [0, 1] est une fonction dual réalisable (DFF) si∀S,
∑x∈S
x ≤ 1⇒∑x∈S
f (x) ≤ 1
Exemple
f ε0 : [0, 1] → [0, 1] avec ε ∈ [0, 12 ]
x 7→
1, si x > 1− ε,x si ε ≤ x ≤ 1− ε,0, si x < ε.
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Rappels et définitions Exemple OPP
DéfinitionDiscrete Dual Feasible Function (DFF)f : [0,C ]→ [0,C ′] est une fonction discrète dual réalisable sif est une fonction discrète tel que∀S,
∑x∈S
x ≤ C ⇒∑x∈S
f (x) ≤ f (C) = C ′
Exemple
f k0 : [0,C ] → [0,C ′] avec k ∈ [0, C
2 ]
x 7→
C , si x > C − k ,x si k ≤ x ≤ C − k ,0, si x < k .
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Rappels et définitions Exemple OPP
Conséquence
Borne inférieur valide :
LB =
∑i f (wi)
f (W )
Arrondi :LB =
⌈∑i f (wi)
f (W )
⌉
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Rappels et définitions Exemple OPP
Exemple : pour k = W2
x
f (x)
f k0
W2
W
W
f k0 : [0,W ] → [0,W ]
x 7→
W , si x > W
2 ,W2 si x = W
2 ,
0, si x < W2 .
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Rappels et définitions Exemple OPP
Exemple : pour k = W2
wi :
1
6
2
5
3
4
4
4
5
2
f (wi) :
1
7
2
7
3
7
4
7
5
0
W = 7
∑i
f (wi) = 28
⇒ LB = 4
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Rappels et définitions Exemple OPP
Exemple : pour k = W2
wi :
1
6
2
5
3
4
4
4
5
2
f (wi) :
1
7
2
7
3
7
4
7
5
0
W = 7
∑i
f (wi) = 28
⇒ LB = 4
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Rappels et définitions Exemple OPP
Exemple : pour k = W2
wi :
1
6
2
5
3
4
4
4
5
2
f (wi) :
1
7
2
7
3
7
4
7
5
0
W = 7∑i
f (wi) = 28
⇒ LB = 4
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Rappels et définitions Exemple OPP
Propriétés
DéfinitionUne fonction f est super-additive ssi∀x , y , f (x + y) ≥ f (x) + f (y)
PropositionSi une fonction f est croissante, super-additive avec f (0) = 0,alors f est une DFF
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Rappels et définitions Exemple OPP
DominanceDéfinitionf � f ′ si ∀ci ≤ C , f (ci )
f (C)≤ f ′(ci )
f ′(C).
f ≺ f ′ si f � f ′ et ∃cj ≤ C , f (ci )f (C)
< f ′(ci )f ′(C)
.
DéfinitionUne DFF f est maximale (MDFF) s’il n’existe de DFF f ′ telque f � f ′
PropositionUne fonction f est une MDFF si
f est croissante, f est super-additive et f (0) = 0,∀x ∈ [0,C ], f (x) + f (C − X ) = f (C)
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Rappels et définitions Exemple OPP
Exemple
x
f (x)
f k0
k C − kC
C
f k0 : [0,C ] → [0,C ]
x 7→
C , si x > C − k,x si k ≤ x ≤ C − k,0, si x < k.
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Rappels et définitions Exemple OPP
Exemple
x
f (x)
f kFS,1
Ck+1
kCk+1
C
kC
C
f kFS,1 : [0,C ] → [0, kC ]
x 7→
xk, si x(k+1)
C ∈ N,
⌊x(k + 1)C
⌋C , sinon.
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Rappels et définitions Exemple OPP
Exemple
x
f (x)
f kFS,2
k C2
CC − k
bCk c
1
f kFS,2 : [0,C ] → [0,
⌊Ck
⌋]
x 7→
⌊
Ck
⌋−⌊
C−xk
⌋, si x > C
2 ,
1, si k ≤ x ≤ C2 ,
0, si x < k.
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Rappels et définitions Exemple OPP
Exemple
x
f (x)
f kCCM,1
k C2
C − kC
2bCk c
2
f kCCM,1 : [0,C ] → [0, 2
⌊Ck
⌋]
x 7→
2(bC
k c − bC−x
k c), si x > C
2 ,
bCk c, si x = C
2 ,
b xk c, si x < C
2 .
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Rappels et définitions Exemple OPP
Exemple
x
f (x)
f kVDB,1
CCk
(k−1)Ck
k − 1
1
f kVDB,1 : [0,C ] → [k − 1]
x 7→{
kxC − 1, si kx
C ∈ N∗,
bkxC c, sinon.
Cédric Joncour O Revue des DFF O 17 / 24
Rappels et définitions Exemple OPP
Exemple
x
f (x)
f kVDB,2
k (k−1)Ck
C
2k − 2
2
f kVDB,2 : [0,C ] → [2k − 2]
x 7→
2k − 2, si C − Ck ≤ x ≤ C ,
2bkxC c, si C
2 < x < C − Ck ,
k − 1, si x = C2 ,
2dkxC e − 2, si C
k < x < C2 ,
0, si 0 ≤ x ≤ Ck .
Cédric Joncour O Revue des DFF O 18 / 24
Rappels et définitions Exemple OPP
Problème de placement
QuestionLes DFF sont-elles utilisables pour le problème de placement2D ?
Cédric Joncour O Revue des DFF O 19 / 24
Rappels et définitions Exemple OPP
RappelContainer Interval graphs G1 and G2
Propriétés de Gi (1 ≤ i ≤ 2)
1 Gi est un graphe d’intervalle,
2 α(Gi ,w) ≤W ;
3⋂
i E (Gi) = ∅.
Cédric Joncour O Revue des DFF O 20 / 24
Rappels et définitions Exemple OPP
Problème de placement
QuestionComment les utiliser ?
Résoudre un KNPmax
∑i
piδi∑i
f (wi)g(hi)δi ≤ f (W )g(H)
δi ∈ {0, 1}
Cédric Joncour O Revue des DFF O 21 / 24
Rappels et définitions Exemple OPP
Problème de placement
QuestionQuand les utiliser ?
Avant les procédures de testsPour déterminer des bornes supérieuresPour vérifier la non-réalisabilité d’un placement
Durant les procédures de tests
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Rappels et définitions Exemple OPP
Résultat des tests
Benchmark 01/16 01/16 01/16 FS FS FSOKP nodes OPP calls time OKP nodes OPP calls time
gcut1 69 18 0 33 0 0gcut2 2873 169 0 519 51 0gcut3 16503 564 0 2234 235 4gcut4 310308 61380 36 72159 18316 195gcut5 92 45 0 52 13 0gcut6 1348 78 0 278 22 0gcut7 8471 207 0 852 124 2gcut8 313847 14685 21 55485 9037 255gcut9 75 10 0 12 2 0gcut10 1176 88 0 335 31 0gcut11 29446 1426 1 1616 212 8gcut12 102310 3096 5 8178 593 109gcut13 - - - - - -cgcut1 44 11 0 14 1 0cgcut2 933 881 108 - - -cgcut3 2061 1408 1 356 102 0okp1 12341 1667 3 3244 661 10okp2 - - 1503 23626 7310 20okp3 58161 9931 30 8233 816 5okp4 26088 4637 132 1458 15 2okp5 - - - 5733 643 11
Cédric Joncour O Revue des DFF O 23 / 24
Rappels et définitions Exemple OPP
DéfinitionData-dependent Dual Feasible Function (DDFF)Soit I = {1, . . . , n} tel que ci ≤ CUne fonction f : [0,C ]→ [0,C ′] est une DDFF sif est une fonction discrète tel que∀I ′ ⊂ I ,
∑i∈I′
ci ≤ C ⇒∑i∈I′
f (ci) ≤ f (C) = C ′
Exemple
f kDDFF : [0,C ] → [0,KP(C , J)] avec J = {i ∈ I : 1
2C ≥ ci ≥ k}
x 7→
KP(C , J)− KP(C − x , J), si x > C
2 ,
1, si C2 ≥ x ≥ k,
0, sinon.
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