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Tema 4

Resolucion de ciertas ecuacionesdiferenciales mediante cambios devariables

4.1 Introduccion

Existen muchas ecuaciones diferenciales de primer orden que no son lineales ni de variables separa-bles, pero que mediante un adecuado cambio de funcion incognita, comunmente llamado ”cambiode variable”, se pueden transformar en otra ecuacion diferencial que sı es lineal o de variablesseparables. De esta forma podrıamos aplicarle todo lo visto en los dos temas anteriores a lanueva ecuacion diferencial y, posteriormente, deshaciendo el cambio de funcion incognita podrıamosobtener las soluciones de la ecuacion original. Aunque estos son los casos que vamos a tratar eneste tema, la idea del cambio de variable es mas general: conseguir transformar una ecuaciondiferencial dada en otra que sepamos resolver, de modo que exista una biyeccion conocida entrelas soluciones de ambas. Ası, resuelta la segunda ecuacion, podremos obtener las soluciones de laprimera “deshaciendo el cambio”.

La idea que se aplica es analoga a la empleada en el calculo integral o calculo de primitivas,en la que se aplica un cambio de variable que transforma nuestra integral en otra inmediata o quesabemos tratar mediante un metodo ya conocido. Cuando se hace un cambio de variable para elcalculo de una primitiva

!f(x) dx en un intervalo I, consideramos una funcion h : J ! R derivable

(usualmente h!(y) "= 0 para cada y para que sea inyectiva y tenga sentido h"1) y hacemos el cambio

x = h(y) y calculamos la primitiva H(y) =!f(h(y))h!(y) dy en el intervalo J , suponiendo que

esta sea mas facil. De esta forma calculamos una primitiva de f en I deshaciendo el cambio asıy = h"1(x) y sustituyendo en la expresion de H(y). Ası, F (x) = H(h"1(x)) serıa una primitiva def en I.

Podrıamos llevar a cabo, inicialmente, un estudio teorico de los distintos tipos de cambios defuncion incognita que se pueden realizar en una EDO de primer orden x! = f(t, x), pero preferimosabordar directamente distintos tipos de ecuaciones diferenciales y explicar en cada caso el cambioconcreto que se necesita en tal ecuacion. Mas adelante, en otros temas, veremos otros ejemplos. Eneste vamos a tratar cuatro tipo de ecuaciones diferenciales. Las dos primeras se van a transformaren ecuaciones de variables separables y las otras dos en ecuaciones lineales. El primer tipo quevamos a estudiar no suele recibir un nombre especial; las otras tres son conocidas como ecuaciones

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72 Resolucion mediante cambios de variables

homogeneas, ecuaciones de Bernoulli y ecuaciones de Ricatti. Estas ultimas presentan una proble-matica muy especial y un estudio mas profundo de ellas requiere conocimientos que quedan fuerade este curso.

La idea a transmitir es que no sera necesario, en ningun caso, recordar formulas; simplemente,deberemos reconocer el tipo de ecuacion, conocer el cambio de funcion incognita a realizar y tenerla certeza de que, si no nos equivocamos en los calculos, nuestro problema se reducira a resolver unaecuacion de variables separables o una lineal (segun los casos). Una vez resuelta esta, obtendremoslas soluciones de la ecuacion original deshaciendo el cambio.

4.2 Ecuaciones del tipo x#(t) = !(at+ bx(t) + c)

En una ecuacion del tipo

(4.1) x!(t) = !"at+ bx(t) + c

#

suponemos que a, b y c son constantes conocidas y s $! !(s) es una funcion conocida. En formareducida escribimos la ecuacion como x! = !(at+ bx+ c). En los siguientes ejemplos indicamos, encada caso, la funcion !.

x! = (t+ x+ 2)3 !(s) = s3.

x! = sen2(t% x) !(s) = sen2 s.

x! = 1 + e(2t+x"1) !(s) = 1 + es .

x! = 3 + cos(2t+ 3x% 5) !(s) = 3 + cos s.

x! = (t+ x) arctan(t+ x) !(s) = s arctan s.

Puede comprobarse que ninguna de las ecuaciones planteadas es lineal ni de variables separables. Laconstante c puede ser nula, como sucede en el segundo y quinto ejemplos, pero no ası las constantesa o b. Observese que si b = 0 la ecuacion resultante es del tipo: x!(t) = g(t), cuyas soluciones sonlas primitivas de la funcion g y si a = 0 la ecuacion resultante es una ecuacion autonoma y, portanto, son casos que ya hemos estudiados.

La forma de la ecuacion sugiere el cambio de funcion incognita

(4.2) y(t) = at+ bx(t) + c

Observese que de (4.2) se puede despejar sin problemas la funcion incognita x ası:

(4.3) x(t) = 1b

"y(t)% at% c

#

Siempre que se haga un cambio de funcion incognita es importante confirmar que despues se puededeshacer el cambio, es decir escribir x(t) en funcion de y(t).

Vamos a comprobar que el cambio de funcion (4.2) transforma la ecuacion (4.1) en una ecuacionde variables separables, mas concretamente autonoma; es decir, el problema de resolver (4.1) va aser equivalente a resolver una ecuacion autonoma.

En efecto, supongamos que x : I ! R es una solucion de (4.1). Entonces, y : I ! R definidapor la expresion (4.2) es derivable en I y verifica

y!(t) = a+ bx!(t) = a+ b!(at+ bx(t) + c) = a+ b!(y(t))

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4.2. Ecuaciones del tipo x!(t) = !(at+ bx(t) + c) 73

y ası la nueva funcion incognita y es solucion de la ecuacion diferencial autonoma

(4.4) y! = a+ b!(y) = h(y).

Recıprocamente, si y : I ! R es solucion de la ecuacion autonoma (4.4), deshaciendo el cambio, esdecir, considerando la funcion x : I ! R definida por (4.3), tenemos

x!(t) = 1b

"y!(t)% a

#= 1

b

"a+ b!(y(t))% a

#= !(y(t)) = !(at+ bx(t) + c),

y ası x es solucion en el intervalo I de la ecuacion original (4.1).

En definitiva, hemos obtenido el siguiente resultado:

Proposicion 4.1. x : I ! R es solucion de (4.1) si, y solo si, y : I ! R, definida por (4.2) essolucion de la ecuacion autonoma (4.4).

De esta forma, se establece una correspondencia biunıvoca entre las soluciones de la ecuaciondada y las soluciones de la ecuacion autonoma resultante. En consecuencia, encontrando todas lassoluciones de la ecuacion autonoma se determinan todas las soluciones de la ecuacion original (enel proceso no se pierde ninguna solucion).

Como siempre, se sugiere recordar las menos formulas posibles, y mas aun cuando los calculosson simples, por lo que se recomienda que el procedimiento a seguir para resolver una ecuacioncomo (4.1) sea el siguiente:

1. Reconocer el tipo de ecuacion (4.1) (a veces esto es lo que da mas problemas).

2. Recordar el cambio de funcion incognita: y(t) = at+ bx(t) + c.

3. Derivar la funcion y y, eliminando la funcion x, llegar a una ecuacion autonoma (se tiene lacerteza de que esto funciona).

4. Resolver la ecuacion autonoma resultante.

5. Determinar las soluciones de la ecuacion original (4.1) a partir de las expresiones obtenidasde las soluciones de la ecuacion autonoma, deshaciendo el cambio ası: x(t) = 1

b

"y(t)%at%c

#.

Vamos a ilustrar este simple metodo con dos ejemplos. Que el desarrollo del problema sea maso menos largo solo estriba en la dificultad que presente la resolucion de la ecuacion autonoma.

Ejemplo 4.1. Soluciones de la ecuacion diferencial x!(t) = (9t% x(t) + 2)2.

Como se puede apreciar no es lineal ni de variables separables. En este caso la ecuacion es deltipo (4.1) donde !(s) = s2.

Segun lo visto anteriormente el cambio de funcion incognita y(t) = 9t% x(t) + 2 debe trans-

formar nuestra ecuacion diferencial inicial en una ecuacion diferencial autonoma. En efecto, bastacon derivar la funcion y para obtener y!(t) = 9 % x!(t) = 9 % (9t % x(t) + 2)2 = 9 % y2(t). De estaforma, el problema se reduce a resolver la ecuacion autonoma

y! = 9% y2.

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74 Resolucion mediante cambios de variables

Esta tiene obviamente dos, y solamente dos, soluciones constantes, que son las definidas en R pory0(t) = %3 e y#

0(t) = 3. Las demas soluciones de la autonoma, cuyas graficas no cortan a las

graficas de las soluciones constantes, vienen dadas implıcitamente por ecuaciones del tipo$

1

9% y2dy = t+K.

Estamos en un caso muy parecido al de las ecuaciones logısticas, que tratamos en el tema ante-rior para un modelo de poblacion. Calculamos la primitiva que aparece en el primer miembro,descomponiendo 1

9"y2 en fracciones simples

1

9% y2=

A

3% y+

B

3 + y=

3(A+B) + (A%B)y

9% y2,

de donde %3(A+B) = 1

A%B = 0

y, por tanto A = B = 16 . Ası,

$1

9% y2dy =

1

6

&$1

3% ydy +

$1

3 + ydy

'=

1

6(% log |3% y|+ log |3 + y|) = 1

6log

((((3 + y

3% y

(((( .

Por tanto, las soluciones referidas de la ecuacion autonoma vienen definidas implıcitamente por

log(((3 + y

3% y

((( = 6t+ 6K,

lo que equivale a ((((3 + y

3% y

(((( = Ce6t siendo C una constante positiva,

y, por tanto, 3 + y

3% y= Ce6t donde C "= 0.

Despejando y de la ecuacion anterior obtenemos

y =3Ce6t % 3

1 + Ce6t.

De esta forma, llegamos a las expresiones de las funciones derivables

yC (t) =3(Ce6t % 1)

1 + Ce6tdonde C "= 0.

C ! "2

C ! "2

C ! 1

y0!t" ! "3

y0#!t" ! 3"3

3

Figura 4.1: Graficas de algunas soluciones de y! = 9% y2 (las dos constantes y las correspondientesa C = 1 y C = %2).

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4.2. Ecuaciones del tipo x!(t) = !(at+ bx(t) + c) 75

Observese que si admitimos en la expresion anterior el caso C = 0, para este se obtiene lasolucion constante y0(t) = %3, pero la expresion de y0(t) = 3 no se obtiene para ningun valorde C. Para C > 0 las soluciones estan definidas en R mientras que si C < 0 estan definidas enintervalos del tipo I = (%&, t0) e I = (t0 ,&), donde t0 = %1

6 log(%C). No vamos a entretenernosen el comportamiento de las soluciones en los extremos de sus intervalos de definicion, pero sepuede comprobar facilmente que para C > 0 las soluciones son estrictamente crecientes, tienensus graficas comprendidas entre las graficas de las dos soluciones constantes y tienen a estas comoasıntotas horizontales. En el caso C < 0 son estrictamente monotonas y tienen a una de estas comoasıntota horizontal y, por otra parte, tienen una asıntota vertical de ecuacion t = t0 , es decir, unasituacion analoga al caso logıstico.

Deshaciendo el cambio, tenemos x(t) = 9t + 2 % y(t). De las dos soluciones constantes de laecuacion autonoma obtenemos las dos soluciones validas en R dadas por

x0(t) = 9t+ 5 , x#0(t) = 9t% 1.

A partir de las soluciones yC obtenemos las soluciones definidas por

xC (t) = 9t+ 2% 3(Ce6t % 1)

1 + Ce6t.

Como debe ser, la solucion x0(t) = 9t+ 5 es un caso particular de lo anterior para C = 0, pero lasolucion x#

0(t) = 9t%1 no esta considerada en esa familia. Por otra parte, manipulando lo obtenido,

podemos obtener expresiones mas simples de las xC ası:

xC (t) = (9t% 1) + 3% 3(Ce6t % 1)

1 + Ce6t= 9t% 1 +

3(1 + Ce6t)% 3(Ce6t % 1)

1 + C e6t

y, de esta forma, obtenemos

xC (t) = %1 + 9t+6

1 + Ce6t.

Observese que la solucion x0(t) = 9t+5 sigue siendo un caso particular de lo anterior para C = 0.

C ! "2

C ! "2

C ! 1

x0!t" ! 9 t # 5$

x0%

$$

!t" ! 9 t " 1

Figura 4.2: Graficas de las soluciones x obtenidas a partir de las de la figura 4.1.

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76 Resolucion mediante cambios de variables

Observese las soluciones que da el programa Mathematica para esta ecuacion.

DSolve)x![t] == (9t% x[t] + 2)2, x[t], t

*x[t] ! %1 + 9t+

116 + e6tC[1]

.

No proporciona la solucion x#0(t) = 9t%1 ¿Porque?. Porque esta procede de una solucion constante

(y0(t) = 3) de la ecuacion autonoma, que no se obtiene de la familia yC y, como ya advertimos enel tema anterior, Mathematica no encuentra las posibles soluciones constantes de una ecuacion devariables separables.

Ejemplo 4.2. Resolucion de la ecuacion diferencial x!(t) = sen2(t% x(t) + 1).

Como se puede apreciar no es lineal ni de variables separables. En este caso la ecuacion es deltipo (4.1) donde !(s) = sen2(s).

El cambio de funcion incognita a realizar es y(t) = t % x(t) + 1. Obviamente el cambio sedeshace ası: x(t) = t + 1 % y(t). Derivando la expresion de y obtenemos y!(t) = 1 % x!(t) =1% sen2(t% x(t) + 1) = 1% sen2(y(t)). De esta forma, el problema se reduce a resolver la ecuacionautonoma

y! = cos2 y.

Esta ecuacion autonoma posee infinitas (pero numerables) soluciones constantes, ya que h(y) =cos2(y) = 0 '( cos y = 0 '( y = "/2 + k" donde k ) Z. Ası pues, las soluciones constantes(validas en R) son

y#k : R ! R, t $! y#k(t) = "/2 + k".

Deshaciendo el cambio, a partir de las yk se obtienen las soluciones de la ecuacion x! = sen2(t%x+1)dadas por

x#k : R ! R, t $! x#k(t) = t+ 1% "/2% k", donde k ) Z.

Determinemos ahora las otras soluciones de la ecuacion autonoma. En este caso tenemos in-finitos intervalos Jk donde h es continua y no se anula, que son los dados por

Jk = (!2 + (k % 1)", !2 + k") = (%!2 + k", !2 + k") =

"(k % 1

2)", (k + 12)"

#.

Consideremos los dominios de R2dados por Dk = R * Jk. Una funcion derivable x : I ! R con

grafica contenida en Dk es solucion de la ecuacion autonoma si, y solo si, existe C ) R tal que xviene definida implıcitamente en I por la ecuacion

$1

cos2 ydy = t+ C, o equivalentemente, tan y = t+ C.

En principio la ecuacion anterior parece que no depende del dominio Dk (las primitivas son inde-pendientes del dominio que se use). Ahora bien, en lo que sı van a intervenir los Dk es a la hora dedespejar y de la ecuacion anterior. Con esto hay que tener sumo cuidado. Observese que la funciontangente no tiene inversa a no ser que la restrinjamos a un intervalo adecuado.

Por ejemplo, si consideramos tan: (%"/2,"/2) ! R tal funcion es biyectiva y su inversa esarctan: R ! (%"/2,"/2). Esto quiere decir que no podemos despejar alegremente de tan y = t+Cescribiendo y = arctan(t + C), pues esto implicarıa que y ) (%"/2,"/2) y ası solo estarıamosobteniendo las soluciones con graficas en el dominio D0 . La cuestion es ¿como se obtienen lassoluciones con graficas contenidas en los demas dominios Dk?. Para esto tendrıamos que considerar

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4.2. Ecuaciones del tipo x!(t) = !(at+ bx(t) + c) 77

! "2

"2

Figura 4.3: Grafica de la funcion tangenterestingida a (%"/2,"/2)

! "2

"2

Figura 4.4: Grafica de la funcion arcotangente

que si graf(y) + Dk, es decir, y ) Jk = (%"/2 + k","/2 + k"), entonces %"/2 < y % k" < "/2 y,teniendo en cuenta que tan(y % k") = tan y, entonces la ecuacion tan y = t+ C es equivalente a

tan(y % k") = t+ C y, por tanto, a y = k" + arctan(t+ C).

En definitiva, las soluciones de la ecuacion autonoma con graficas contenidas en Dk son lasdadas por

yk,C (t) = k" + arctan(t+ C)

y son soluciones validas en R (pues vienen definidas por la ecuacion tan y = t+C y son derivablesen R). Vease que las graficas de estas tienen, cada una, dos asıntotas horizontales, que son precisa-mente graficas de las soluciones constantes. En este caso parece que hemos determinado (se puedeprobar que es ası) todas las soluciones de la ecuacion autonoma.

k ! 1

k ! 0

k ! "1

"3 #

2

"#

2

#

2

3 #

2

Figura 4.5: Graficas de algunas soluciones de la ecuacion autonoma y! = cos2 y.

Deshaciendo el cambio de funcion incognita, a partir de las yk,C obtenemos las soluciones

xk,C : R ! R, t $! xk,C (t) = t+ 1% k" % arctan(t+ C), con k ) Z y C ) R.

Para cada k ) Z y cada C ) R tenemos una solucion. Estas, junto con las obtenidas al principio:

x#k(t) = t+ 1% "(k + 1/2), k ) Z , son todas las soluciones de la ecuacion diferencial propuesta.

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78 Resolucion mediante cambios de variables

Observese la respuesta que da Mathematica a la ecuacion diferencial que hemos tratado aquı.

DSolve)x![t] == (Sin[t% x[t] + 1])2, x[t], t

*

++x[t] ! 1 + t%ArcTan

,1

2(2t% C[1])

-.,

+x[t] ! 1 + t+ArcTan

,1

2(%2t+ C[1])

-..

Vease que Mathematica no ha encontrado todas las soluciones (solo da las xk,C para k = 0 yno proporciona las x#k), aunque de hecho da una alarma advirtiendo que esto podrıa suceder (estaalarma solo vendrıa a justificar porque no determina las soluciones xk,C con k "= 0):

Inverse functions are being used by Solve, so some solutions may not be found;

use Reduce for complete solution information.

Ejemplo 4.3. Resolucion del problema (P ) :

%x!(t) = sen2(t% x(t))

x(0) = 0

En este caso tenemos un problema de valor inicial donde la ecuacion es muy parecida a la delejemplo anterior. El cambio de variable a realizar en este caso es y(t) = t % x(t). Derivando laexpresion de y obtenemos y!(t) = 1% x!(t) = 1% sen2(t% x(t)) = 1% sen2(y(t)). De esta forma, laecuacion equivalente a la dada es la ecuacion autonoma

y! = cos2 y,

es decir, la misma que aparecio en el ejemplo anterior. Hemos puesto este ejemplo para advertirque en un caso como en este no serıa necesario encontrar todas las soluciones de la autonoma, talcomo se hizo en el ejemplo anterior. Al ser un problema de valor inicial, podemos arrastrar lacondicion inicial x(0) = 0 a la nueva funcion incognita para obtener y(0) = 0% x(0) = 0 y de estaforma obtener el problema de Cauchy asociado

(Q) :

%y! = cos2 y

y(0) = 0

La idea es resolver el problema (Q) y despues (P ) deshaciendo el cambio (x(t) = t% y(t)).

Dado que la funcion h, definida por h(y) = cos2 y, verifica h(0) "= 0, sabemos que en algunintervalo abierto conteniendo al punto 0, el problema (Q) posee una unica solucion, que vienedefinida implıcitamente por la ecuacion

$ y

0

1

cos2 sds =

$ t

01 ds,

que, obviamente, es equivalente a la ecuacion tan y = t. En este caso no tenemos duda al despejar

y de la ecuacion anterior, ya que estamos buscando una solucion que verifica y(0) = 0; Al ser ycontinua, para cada t de algun intervalo I , 0 se verifica que y(t) ) (%"/2,"/2). Por tanto, la formade despejar y de la ecuacion tan y = t es y = arctan t. De esta forma, la funcion derivable definida

por y(t) = arctan t es solucion de (Q). Ahora podemos comprobar, simplemente derivando, que

es solucion de (Q) valida en R. En consecuencia, la funcion

x : R ! R, t $! x(t) = t% arctan t

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4.3. Ecuaciones diferenciales homogeneas 79

es solucion del problema (P ). Despues de ver el tema 6, podremos probar que es la unica solucionde (P ) definida en R.

Con Mathematica tenemos lo siguiente:

DSolve)/x![t] == (Sin[t% x[t]])2, x[0] == 0

0, x[t], t

*x[t] ! t%ArcTan[t].

4.3 Ecuaciones diferenciales homogeneas

Antes de introducir las ecuaciones diferenciales homogeneas vamos a tratar algunas cuestionessobre funciones homogeneas.

Sea D un subconjunto de R2 con la siguiente propiedad:

(t, x) ) D y # > 0 =( (#t,#x) ) D.

Este tipo de conjuntos se llaman semiconos. Por ejemplo, R2, un semiplano, un cuadrante del planoy otros conjuntos como una region triangular ilimitada especial, serıan ejemplos de semiconos. Sobreun semicono se puede definir una funcion homogenea.

Si D es un semicono en el plano, una funcion f : D ! R se dice que es homogenea de grado m,donde m ) R, cuando verifica

f(#t,#x) = #mf(t, x) para cada (t, x) ) D y cada # > 0.

Como # es positivo tiene sentido #m (pues #m = em log ") cualquiera que sea m ) R. Por tanto unafuncion homogena de grado 0 es la que verifica la condicion:

(4.5) f(#t,#x) = f(t, x) para cada (t, x) ) D y cada # > 0.

A continuacion damos algunos ejemplos de ecuaciones homogeneas.

1. f : R2 ! R, definida por f(t, x) = at+ bx, es una funcion homogenea de grado 1.

2. Las funciones f : R2 ! R, definidas por f(t, x) = t2%x2 y f(t, x) = 2t2+3x2, son homogeneasde grado 2.

3. Las funciones definidas en el dominio D = (0,&) * (0,&) por f(t, x) = sen(xt ) y f(t, x) =log t% log x son homogeneas de grado 0.

4. f : [0,&)* [0,&) ! R, definida por f(t, x) =-t+ x, es homogenea de grado 1/2.

5. Un caso especial muy interesante es el siguiente. Si g y h son funciones homogeneas del mismo

grado sobre un semicono D y h no se anula en D, la funcion f definida por f(t, x) =g(t, x)

h(t, x)es homogenea de grado 0.

Definicion 4.1. Una ecuacion diferencial homogenea es una ecuacion del tipo

(4.6) x!(t) = f(t, x(t)) donde la funcion f es homogenea de grado 0.

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80 Resolucion mediante cambios de variables

Segun lo visto anteriormente, muchas veces nos encontraremos la ecuacion diferencial escrita ası:

(4.7) x!(t) =g(t, x(t))

h(t, x(t))siendo g y h funciones homogeneas del mismo grado.

Observacion: Las llamadas ecuaciones lineales homogeneas: x!(t) = a(t)x(t) (estudiadas en el tema2) no son, en general, ecuaciones homogeneas en el sentido precisado aquı ya que la funcion definidapor f(t, x) = a(t)x no es necesariamente homogenea de grado 0.

La idea es probar que se puede llevar a cabo un cambio de funcion incognita que transforme laecuacion (4.6) en una ecuacion diferencial de variables separables (en este caso no autonoma). Engeneral, no se ve claramente el cambio de funcion incognita a realizar si antes no se llevan a cabociertas manipulaciones de la funcion f , las cuales van a implicar cierta restriccion sobre el dominioD; concretamente, vamos a tener que suponer que el dominio D no debe cortar al eje de ordenadas.Observese que los semiconos maximales donde esto sucede son

D = (%&, 0)* R y D = (0,&)* R.

En efecto, supongamos por ejemplo que D + (0,&) * R. Para cada (t, x) ) D consideramos# = 1/t > 0. Teniendo en cuenta (4.5) tenemos f(t, x) = f(#t,#x) = f(1, xt ) = !(xt ), o bien,de otra forma mas rapida, f(t, x) = f(t · 1, t · x

t ) = f(1, xt ). Analogamente, si D + (%&, 0) * R,f(t, x) = f(%t · %1,%t · %x

t ) = f(%1,%xt ) = $(xt ). Luego en cualquier caso la funcion homogenea

de grado 0 podemos escribirla ası:

f(t, x) = !1xt

2siendo ! una funcion de una sola variable .

Por ejemplo, si nos dan la funcion homogenea de grado 0 (cociente de dos homogeneas g y h degrado 3) definida en cada cuadrante del plano por

f(t, x) =t3 + tx2 % x3

2t2x,

bastarıa con dividir numerador y denominador por t3 (observese que 3 es el grado de homogeneidadde g y h) para obtener la expresion:

f(t, x) =1 + (xt )

2 % (xt )3

2(xt )= !(

x

t) donde !(s) =

1 + s2 % s3

2s.

En este caso no necesitamos restringir los dominios pues las regiones donde f esta definida nocortan al eje de ordenadas.

Por tanto, en general y con tal restriccion sobre el dominio D, podemos escribir cualquierecuacion diferencial homogenea ası:

(4.8) x!(t) = !1x(t)

t

2donde la funcion s $! !(s) es conocida.

La expresion (4.8) nos sugiere que hagamos el cambio de funcion incognita dado por

(4.9) y(t) =x(t)

t.

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4.3. Ecuaciones diferenciales homogeneas 81

Comprobemos que con este cambio pasamos de la ecuacion (4.8) a una de variables separables. Enefecto, supongamos que x : I ! R es solucion de (4.8), lo que implica que I + (%&, 0) o I + (0,&),y consideramos la funcion y : I ! R definida por (4.9). Derivando la funcion y obtenemos

y!(t) = x!(t) · 1t% x(t) · 1

t2=

1

t

1x!(t)% x(t)

t

2=

1

t

,!1x(t)

t

2% x(t)

t

-=

1

t

"!(y(t))% y(t)

#.

Por tanto, y : I ! R es solucion de la ecuacion de variables separables

(4.10) y!(t) =1

t

"!(y(t))% y(t)

#= g(t)h(y(t)).

Recıprocamente, supongamos que y : I ! R es solucion de la ecuacion de variables separables (4.10)y deshacemos el cambio hecho en (4.9), es decir, consideramos la funcion x : I ! R definida por

(4.11) x(t) = ty(t).

Derivando la funcion x obtenemos

x!(t) = y(t) + ty!(t) = y(t) + t1

t

"!(y(t))% y(t)

#= !(y(t) = !

1x(t)t

2

y ası comprobamos que x es solucion en el mismo intervalo de la ecuacion diferencial homogenea (4.8).Ası pues:

Proposicion 4.2. x : I ! R es solucion de la ecuacion homogenea (4.8) si, y solo si, y : I ! R,definida por (4.9), es solucion de la ecuacion de variables separables (4.10).

Establecemos ası una correspondencia biunıvoca entre las soluciones de la ecuacion dada y lassoluciones de la ecuacion de variables separables resultante. De esta forma, encontrando todaslas soluciones de la ecuacion diferencial de variables separables se determinan todas las solucionesde la ecuacion diferencial homogenea (en el proceso no se pierde ninguna solucion). De nuevose insiste en que no es necesario recordar la expresion de la ecuacion (4.10) resultante. Bastacon derivar en la expresion del cambio y tener la certeza de que surge una ecuacion de variablesseparables. El procedimiento a llevar en la practica serıa el analogo al descrito en la seccion 4.2.Resolverıamos la ecuacion de variables separables resultante y encontrarıamos las soluciones de laecuacion homogenea deshaciendo el cambio, es decir, considerando las soluciones dadas por (4.11).

A modo de una simple ilustracion del metodo, observese que la ecuacion x! = xt es lineal

homogenea pero tambien es homogenea. Si hacemos el cambio y(t) = x(t)t la ecuacion resultante

serıa la ecuacion trivial y! = 0 cuyas soluciones son las funciones constantes y(t) = C y, al deshacerel cambio, obtenemos las soluciones definidas por x(t) = Ct, que son las que habrıamos obtenido

de aplicar la conocida formula x(t) = C e! 1

t dt .

Ejemplo 4.4. Soluciones de la ecuacion diferencial x!(t) =x2(t)% t2

2tx(t).

Como se puede apreciar no es lineal ni de variables separables. Necesariamente las solucionestienen sus graficas contenidas en alguno de los cuatro dominios del plano (que son semiconos):

D1 = (0,&)* (0,&), D2 = (0,&)* (%&, 0), D3 = (%&, 0)* (0,&), D4 = (%&, 0)* (%&, 0).

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82 Resolucion mediante cambios de variables

En este caso, la funcion f , definida por f(t, x) = x2"t2

2tx , es cociente de dos funciones homogeneasde grado 2, por lo que es una funcion de grado 0. Dividiendo numerador y denominador por t2 seobtiene

f(t, x) =x2 % t2

2tx=

(xt )2 % 1

2(xt )= !

1xt

2, donde !(s) =

s2 % 1

2s.

De esta forma, nuestra ecuacion diferencial se puede escribir, sin necesidad de restringir los do-minios, como x!(t) = !

"x(t)t

#y, por tanto, realizamos el cambio de funcion incognita y(t) = x(t)

t .Derivamos la expresion de y(t) = x(t) · 1

t y obtenemos

y!(t) = x!(t)1

t% x(t)

1

t2=

1

t

,!1x(t)

t

2% x(t)

t

-=

1

t

"!(y(t))% y(t)

#.

Como !(s)% s = s2"1"2s2

2s = %1+s2

2s , la ecuacion de variables separables resultante es:

y!(t) = %1

t

1 + y2(t)

2y(t).

Esta ecuacion no posee soluciones constantes (de hecho tiene sus soluciones con las graficas en losmismos dominios Dk que la original). Mas exactamente la ecuacion es equivalente a una ecuacionde variables separadas cuyas soluciones se obtienen implıcitamente de ecuaciones del tipo$

2y

1 + y2dy =

$%1

tdt+ C con C ) R

lo que equivale a escribir

log(1 + y2) = % log | t |+ C o, equivalentemente, y2 =K

| t | % 1 siendo K > 0.

Despejando y y teniendo en cuenta el signo de t nos quedan cuatro familias de soluciones, cada una

de ellas con las graficas en uno de los cuatro dominios Dk. Todas son del tipo y(t) = ±3

K| t | % 1.

Despejando el cambio ası: x(t) = ty(t), aparecen cuatro familias de soluciones de expresiones

xK (t) = t3

Kt % 1, xK (t) = %t

3Kt % 1 xK (t) = %t

3%(Kt + 1) xK (t) = t

3%(Kt + 1),

donde, en cada caso, K es un numero positivo. Para las dos primeras familias (con graficas en D1

y D2) las soluciones son validas en intervalos del tipo I = (0,K). Para las otras dos familias (congraficas en D3 y D4) las soluciones son validas en intervalos del tipo I = (%K, 0).

!1.0 !0.5 0.5 1.0

!0.4

!0.2

0.2

0.4K = 1

K = 0.5

K = 1

K = 0.5

K = 1

K = 0.5

K = 1

K = 0.5

Figura 4.6: Graficas de las soluciones en los casos K = 1,K = 0.75 y K = 0.5.

En este caso, la respuesta de Mathematica a nuestra ecuacion diferencial es la siguiente:

DSolve

,x![t] ==

(x[t])2 % t2

2tx[t], x[t], t

-

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4.3. Ecuaciones diferenciales homogeneas 83

44x[t] ! %

5%t2 + tC[1]

6,

4x[t] !

5%t2 + tC[1]

66.

Para poder comparar mejor el resultado de Mathematica con el nuestro, observese que si t > 0 severifica

xK (t) = t3

Kt % 1 =

3t2"Kt % 1

#=

5%t2 +Kt

y si t < 0 se tiene

xK (t) = %t3

%(Kt + 1) =3(%t)2

"% K

t + 1#=

5%t2 %Kt.

En ambos casos se obtiene finalmente una expresion de la forma-%t2 + Ct, donde C "= 0. Por

tanto, hay coincidencia en los resultados obtenidos.

Ejemplo 4.5. Soluciones de la ecuacion diferencial x!(t) =t+ x(t)

t% x(t).

Como se puede apreciar no es lineal ni de variables separables. La expresion de esta ecuaciones aparentemente mas simple que la del primer ejemplo, pero vamos a ver que la resolucion secomplica (las ecuaciones diferenciales enganan mucho).

Las graficas de las soluciones estaran contenidas en la region {(t, x) ) R2: x "= t} lo que da lugar

a dos semiconos maximales: las regiones que estan por encima o debajo de la recta de ecuacionx = t. En estos semiconos la funcion f , definida por f(t, x) = t+x

t"x , es cociente de dos funcioneshomogeneas de grado 1 por lo que f es de grado 0. No obstante, el metodo de resolucion de laecuacion diferencial nos lleva a realizar restricciones sobre estas regiones (hay que suponer t "= 0)dando lugar a cuatro semiconos. Esto nos dice que, desde un principio, el metodo introduce unarestriccion que podrıa condicionar a no dar todas las soluciones.

Dividiendo el numerador y el denominador de la expresion de f por t tenemos:

f(t, x) =1 + x

t

1% xt

= !1xt

2, donde !(s) =

1 + s

1% s.

Hacemos el cambio de funcion incognita y(t) = x(t) 1t y derivando la expresion de y obtenemos

facilmente que y es solucion de la ecuacion de variables separables

y!(t) =1

t· 1 + y2(t)

1% y(t)

Esta ecuacion no posee soluciones constantes, de hecho es una ecuacion de variables separadas,cuyas soluciones se obtienen implıcitamente de ecuaciones del tipo

$1% y

1 + y2dy =

$1

tdt+ C con C ) R.

La primitiva que aparece en el primer miembro es de resolucion casi inmediata y las ecuacionesquedan ası:

arctan y % 12 log(1 + y2) = log | t |+ C con C ) R,

o, equivalentemente,

arctan y % 12 log(1 + y2) = log(K| t |) con K > 0.

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84 Resolucion mediante cambios de variables

Vease que no sabemos despejar y de la ecuacion anterior. Como y = xt , donde x es solucion de

la ecuacion diferencial homogenea, entonces podemos afirmar que cualquier solucion x de nuestraecuacion original viene definida implıcitamente por una ecuacion del tipo

(4.12) arctan"xt

#% 1

2 log11 +

"xt

#22= log(K| t |) con K > 0.

Manipulando un poco la ecuacion anterior podemos escribir

arctan"xt

#= log

71 t2 + x2

t2

2+ log(K| t |) con K > 0,

es decir,

(4.13) arctan"xt

#= log

1K5t2 + x2

2con K > 0.

o equivalentemente

arctan(x

t) = log

5t2 + x2 + C con C ) R.

Tenemos que dejar el problema ası si no sabemos despejar x de la expresion anterior y por tantono podemos, en principio, inspeccionar los intervalos de definicion de las soluciones y los valoresde K para los que realmente se obtiene solucion. Solo podrıamos recurrir al teorema de la funcionimplıcita 1 para probar que para cada C ) R (o equivalentemente para cada K > 0) la ecuacionanterior define implıcitamente una solucion de la ecuacion diferencial homogenea en un determinadointervalo (desconocido), aunque el metodo asegura, salvo errores de calculo, que cualquier solucionde la ecuacion diferencial se obtiene a partir de la ecuacion (4.13). No obstante, suponiendo quetal ecuacion defina una funcion derivable t $! x(t), podemos comprobar de una forma directa queesta es solucion de la ecuacion diferencial derivando en ambos miembros de la expresion:

arctan"x(t)

t

#= log

1K5

t2 + x2(t)2,

pues se obtendrıa lo siguiente:

x!(t)t"x(t)t2

t2+x2(t)t2

=K 2t+2x(t)x!(t)

2-

t2+x2(t)

K5t2 + x2(t)

=( x!(t)t% x(t) = t+ x(t)x!(t) =( x!(t)(t% x(t)) = t+ x(t)

=( x!(t) =t+ x(t)

t% x(t).

En este caso, la respuesta de Mathematica a nuestra ecuacion diferencial

DSolve

,x![t]==

t+ x[t]

t% x[t], x[t], t

-

es la siguiente:The equations appear to involve the variables to be solved for in an essentially

non-algebraic way ”

Solve

,%ArcTan

,x[t]

t

-+

1

2Log

,1 +

x[t]2

t2

-== C[1]% Log[t], x[t]

-

Es decir, que Mathematica tampoco da las soluciones explıcitamente y plantea resolver (“Solve”)lo anterior como una ecuacion en x[t] aunque no sabe resolverla. Observese que la forma implıcita

1Vease [4, paginas 41 y 42].

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4.4. Ecuaciones diferenciales de Bernoulli 85

en que da las soluciones coincide con lo que hemos obtenido en (4.12) (aunque escribe Log[t] enlugar de Log[|t|]).

Observacion: Trabajando con la expresion (4.13) y pasando a coordenadas polares (r, %) (t =r cos %, x = r sen %), se obtiene inmediatamente ecuaciones muy simples de las graficas de las solu-ciones, en coordenadas polares; concretamente: r = 1

K e#. Estas son casos particulares de ecuacionesde espirales logarıtmicas2.

Figura 4.7: Una espiral logarıtmica

Las ecuaciones que hemos tratado en las dos primeras secciones han sido transformadas, me-diante cambios de funciones incognitas, en ecuaciones de variables separables. En los dos siguientescasos: ecuaciones de Bernoulli y ecuaciones de Riccati, vamos a transformar las ecuaciones enecuaciones diferenciales lineales.

4.4 Ecuaciones diferenciales de Bernoulli

Jacob Bernoulli (1654-1705), matematico suizo, perteneciente a una saga formada por nada menosque ocho matematicos, fue uno de los primeros matematicos en interesarse por la modelizacionmatematica de ciertos problemas de la vida real, especialmente se intereso en problemas de epi-demias. Las ecuaciones diferenciales que propuso en estos modelos son casos particulares de untipo de ecuacion diferencial que se conoce hoy en dıa como ecuacion diferencial de Bernoulli.

Definicion 4.2. Una ecuacion diferencial de Bernoulli es una ecuacion del tipo

(4.14) x!(t) = a(t)x(t) + b(t)x$(t)

donde las funciones a : J ! R y b : J ! R son funciones conocidas y & es un numero real.

Para poder tratar este tipo de ecuaciones supondremos siempre que las funciones a y b soncontinuas sobre el intervalo J. En forma abreviada la ecuacion la escribimos ası:

x! = a(t)x+ b(t)x$.

En los siguientes ejemplos de ecuaciones de Bernoulli (escritos en formas abreviadas) desta-camos, en cada caso, el valor de &.

2 Una espiral logarıtmica es una clase de curva espiral que aparece frecuentemente en la naturaleza. Fue descrita porprimera vez por Descartes y posteriormente investigada por Jacob (Jakob) Bernoulli, quien la llamo Spira mirabilis,“la espiral maravillosa”, y quiso una grabada en su lapida, pero se grabo en su lugar una espiral de Arquımedes.

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86 Resolucion mediante cambios de variables

x! = %x+ tx3 & = 3.

x! = ax% bx2 & = 2 y a, b ) R (esta tambien es autonoma: la ecuacion logıstica).

x! = x% t2

x & = %1.

x! = tx%-x & = 1/2.

x! = 3-x+ x

t & = 1/3.

Hay una serie de casos especiales (casos impropios) en los que una ecuacion de Bernoulli es unaecuacion de un tipo ya estudiado (lineal, variables separables). Estos son:

1. Si & = 0 la ecuacion queda ası: x! = a(t)x+b(t) y es, por tanto, una ecuacion lineal completa.

2. Si & = 1 la ecuacion es x! ="a(t) + b(t)

#x, una ecuacion lineal homogenea.

3. Si la funcion a es nula en J la ecuacion es x! = b(t)x$, que es de variables separables.

4. Si la funcion b es nula en J la ecuacion resultante es x! = a(t)x, que es lineal homogenea.

5. Si las funciones a y b son constantes en J la ecuacion resultante es x! = ax + bx$, que esuna autonoma, como sucede con el caso de la ecuacion logıstica, usada en un modelo depoblacion en el tema anterior (en este caso puede ser mas comodo resolver la ecuacion comouna ecuacion de Bernoulli).

El problema que surge, en general, con las ecuaciones de Bernoulli es que el valor de & puedeacarrear ciertas restricciones sobre las soluciones. Ası, si & es un entero negativo las soluciones nopueden anularse en un punto t de su intervalo de definicion. Si & = 1/2, 1/4, . . . las soluciones nopueden tomar valores negativos. En cualquier caso, si x(t) > 0 tiene sentido (x(t))$ cualquiera quesea el valor de & (cuando a > 0, a$ = e$ log a).

Las consideraciones anteriores nos lleva a que en un estudio general de las ecuaciones de Bernoullise consideren, inicialmente, soluciones positivas x : I ! (0,&), lo cual parece restrictivo en casostıpicos como

(4.15) x! = a(t)x+ b(t)x2 o x! = a(t)x+ b(t)x3

Observese que en los dos casos anteriores la funcion nula x : J ! R, t $! x(t) = 0 es solucion de laecuacion y tiene sentido que una solucion pueda tomar valores negativos.

Sin embargo, el metodo que se conoce para solucionar las ecuaciones de Bernoulli hace que, aunen casos como los dos anteriores, se impongan ciertas restricciones sobre las soluciones; concreta-mente, solo va a determinar soluciones que nunca se anulan. No obstante, en muchos casos donde& > 0 la funcion nula va a ser la unica solucion de la ecuacion diferencial que se puede anularen algun punto; por ejemplo, esto sucede con las ecuaciones dadas en (4.15) y en general cuando& > 1. Al igual que sucede con las ecuaciones autonomas x! = x$ (que no dejan de ser un casoparticular de ecuaciones de Bernoulli), los casos conflictivos se dan cuando 0 < & < 1.

En resumen, vamos a tener, en general, restricciones por dos motivos: por el valor de & y porel metodo de resolucion.

Metodo de resolucion

Hoy en dıa se usa el metodo dado por el matematico aleman G.W. Leibnitz (1696), que consisteen realizar un cambio de funcion incognita que reduce el problema de encontrar las soluciones de una

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4.4. Ecuaciones diferenciales de Bernoulli 87

ecuacion diferencial de Bernoullli a conocer las soluciones de una determinada ecuacion diferenciallineal (parece que este metodo es mas simple que el que uso originalmente Bernoulli).

La ecuacion de Bernoulli (4.14) es lineal completa cuando & = 0, es decir, cuando no aparece elfactor x$ en dicha ecuacion. Esto nos sugiere manipular la ecuacion para que parezca lineal completay una forma de llevar a cabo esto consiste en multiplicar los dos miembros de la ecuacion (4.14)por x"$ (lo que no tiene sentido si x se anula en algun punto). Ası obtenemos:

(4.16) x"$(t)x!(t) = a(t)x1"$(t) + b(t)

Podemos entonces considerar la nueva funcion incognita y dada por

(4.17) y(t) = x1"$(t)

pues de esta forma en el segundo miembro de (4.16) solo aparece la expresion a(t)y(t) + b(t). Todoesto funcionarıa a la perfeccion si en el primer miembro de (4.16) unicamente apareciese la derivaday!(t). Si derivamos la funcion dada en (4.17) resulta

y!(t) = (1% &)x"$(t)x!(t)

es decir, salvo la constante 1 % & lo que aparece en el miembro de la izquierda de (4.16) es laderivada de la nueva funcion. Esto no es problema porque lo que estamos asegurando es que six : I ! (0,&) es solucion de la ecuacion (4.14) (se supone I + J), entonces y : I ! (0,&) definidapor (4.17) es solucion de la ecuacion lineal

(4.18) y!(t) = (1% &)a(t)y(t) + (1% &)b(t)

Observaciones Observese que en el caso & = 0 no hacemos realmente ningun cambio de funcionincognita (y = x) pero esto es logico pues en este caso la ecuacion de Bernoullli ya es lineal. Porotra parte, en el caso & = 1 el cambio dado en (4.17) no tiene sentido pero en este caso la ecuacionde Bernoulli ya es lineal homogenea. Por tanto, en casos propios, el cambio dado por (4.17) noplantea problema salvo el ya mencionado: no poder considerar soluciones que se anulen.

Recıprocamente, supongamos que y : I ! (0,&) es solucion de la ecuacion lineal (4.18) ydeshacemos el cambio dado en (4.17), es decir consideramos la funcion x : I ! (0,&) definida por

(4.19) x(t) = y1

1"! (t)

Vease que la funcion ! : (0,&) ! (0,&), s $! sk es biyectiva tanto si k > 0 como si k < 0 y suinversa es (0,&) ! (0,&), s $! s1/k (observese el problema con ! : R ! (0,&), s $! s2).

Derivando la funcion x obtenemos

x!(t) = 11"$ (y(t))

11"!"1

y!(t) = 11"$ y

!1"!

(t)1(1% &)a(t)y(t) + (1% &)b(t)

2

= a(t)y1

1"! (t) + b(t)1y

11"! (t)

2$= a(t)x(t) + b(t)x$(t).

De esta forma obtenemos una correspondencia biunıvoca entre las soluciones positivas de la ecuacionde Bernoulli y las soluciones positivas de la ecuacion lineal, que resumimos en el siguiente resultado.

Proposicion 4.3. Si & "= 1, x : I ! (0,&) es solucion de la ecuacion de Bernoulli (4.14) si, ysolo si, y : I ! (0,&), definida por y = x1"$, es solucion de la ecuacion lineal (4.18).

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88 Resolucion mediante cambios de variables

Vease que si las funciones a y b son continuas en el intervalo J , las funciones que aparecen enel segundo miembro de la ecuacion lineal (4.18) son tambien continuas en J y ası la ecuacion linealpuede ser tratada mediante los metodos vistos en el tema 2.

Defectos del metodo de resolucion

Da la impresion de que puede haber problemas a la hora de determinar las soluciones negativasx : I ! (%&, 0) y, por supuesto, las posibles soluciones que se anulen en algun punto. Al ser Iun intervalo, por el teorema de Bolzano, si x : I ! R es una solucion que toma valores positivos ynegativos entonces deben existir puntos en I donde x se anule, dada la continuidad de la funcionx. Como el metodo exige que una solucion no se anule, entonces este solo nos va a determinarsoluciones positivas o negativas.

Observese el caso de la ecuacion

x! = a(t)x+ b(t)x2 (& = 2).

Esta tiene como solucion la funcion nula y tiene sentido que una solucion tome valores positivos,negativos o nulos. Sin embargo, el cambio a realizar en este caso para transformar nuestra ecuacion

en una lineal es y(t) = 1x(t) que impide que una solucion se anule (no obstante, con este cambio

obtendremos tambien las soluciones negativas). Por contra, si consideramos la ecuacion

x! = a(t)x+b(t)

x(& = %1),

aquı no tiene sentido que una solucion se anule y, sin embargo, el cambio de funcion que hay

que llevar a cabo es y(t) = (x(t))2. Resulta que y(t) . 0 mientras que x(t) puede ser positiva o

negativa, ¿Que sucede? Pues que al deshacer el cambio ası: x(t) =5y(t) obtenemos las soluciones

positivas mientras que al deshacer el cambio como x(t) = %5y(t) tenemos las soluciones negativas.

Quizas lo mas conveniente es no perderse en mas detalles de este tipo e ilustrar la teorıacon algunos ejemplos y, como siempre, no es necesario recordar la expresion de la ecuacion linealresultante sino simplemente el cambio de funcion y derivar, teniendo la certeza que debe salir unaecuacion lineal.

Ejemplo 4.6. Soluciones de la ecuacion diferencial x!(t) = %x(t) + tx3(t).

Es un caso de ecuacion de Bernoulli donde & = 3 y las funciones definidas por a(t) = %1 yb(t) = t son continuas en J = R. Observese que la funcion nula es solucion de la ecuacion en todoR y tiene sentido que una solucion tome valores positivos o negativos. Tengase en cuenta que, encasos como este, donde se ve a ojo que la funcion nula es solucion, el metodo no va a proporcionaresta solucion (lo mismo sucede con el programa Mathematica) y, por tanto, esta hay que anadirlaal conjunto de soluciones que obtengamos despues. Sin embargo, las soluciones negativas seranobtenidas por el metodo con el mismo esfuerzo con el que se obtienen las positivas.

Para no olvidar el cambio a realizar (y = x1"$) sigamos la idea original de multiplicar ambosmiembros de la ecuacion por x"3 (para que se parezca a una lineal) y ası queda

(4.20) x"3(t)x!(t) = %x"2(t) + t

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4.4. Ecuaciones diferenciales de Bernoulli 89

por lo que el cambio debe ser y = x"2. Para obtener la ecuacion lineal equivalente derivamos enesta expresion y aprovechamos lo anterior ası:

y!(t) = %2x"3(t)x!(t)) =(4.20)

2x"2(t)% 2t = 2y(t)% 2t.

Por tanto, la ecuacion diferencial lineal a resolver es

(4.21) y!(t) = 2y(t)% 2t

El procedimiento anterior da posiblemente la forma mas eficaz de llegar a la expresion de la ecuacionlineal; de no hacerlo ası, simplemente recordamos el cambio y(t) = x1"$(t) = x"2(t) y derivamosdirectamente en esta expresion obteniendo:

y!(t) = %2x"3(t)x!(t)) = %2x"3(t)"% x(t) + tx3(t)

#= 2x"2(t)% 2t = 2y(t)% 2t.

Vamos a resolver la ecuacion lineal (4.21) por el segundo metodo expuesto en el tema 2, basadoen la resolucion de la ecuacion lineal homogenea asociada y en la determinacion de una solucionparticular de la completa mediante el metodo de variacion de las constantes (metodo de Lagrange)o bien mediante el metodo de los coeficientes indeterminados.

La ecuacion homogenea asociada es y! = 2y, cuyas soluciones son las funciones definidas poryh(t) = C e2t con C ) R. Sabemos que hay una solucion particular de la completa (4.21) que es dela forma yp(t) = k(t) e2t siendo k una funcion de clase uno, que determinamos imponiendo que ypsea solucion de (4.21).

y!p(t) = k!(t) e2t+2k(t) e2t = 2yp(t)% 2t = 2k(t) e2t%2t

lo que nos lleva a que k!(t) e2t = %2t y, por tanto, k(t) =!%2t e"2t dt. Calculando esa primitiva,

mediante una integracion por partes, obtenemos k(t) = (t+1/2) e"2t y, consecuentemente, yp(t) =t+ 1/2.

Dada la forma de la ecuacion lineal (4.21), tambien se puede usar (y es mas eficaz) el metodo delos coeficientes indeterminados buscando una solucion particular del tipo yp(t) = At+B. Esto nos

lleva a la resolucion del muy simple sistema de ecuaciones:

%A% 2B = 0

%2A = %2de solucion inmediata:

A = 1 y B = 1/2. Este pocedimiento es aquı, y en general, mas simple de calculos que el anterior.

En definitiva, las soluciones de la ecuacion lineal son las funciones dadas por

yC (t) = C e2t+t+ 1/2, con C ) R,

y, como soluciones de la ecuacion (4.21), son validas en R.

Ahora tenemos que deshacer el cambio y(t) = 1x2(t) lo cual nos llevarıa a dos posibles formas de

despejar x(t); concretamente: x(t) = ± 1-y(t)

. Como ya advertimos con el ejemplo de la ecuacion

x! = a(t)x+ b(t)x lo que sucede es que de una vez obtenemos tanto las soluciones positivas como las

negativas de la ecuacion de Bernoulli x! = %x+ tx3. En definitiva, con este metodo obtenemos lassiguientes soluciones:

(4.22) xC (t) =13

C e2t+t+ 12

y 8xC (t) = % 13C e2t+t+ 1

2

con C ) R,

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90 Resolucion mediante cambios de variables

a las que hay que anadirles la solucion nula t $! x(t) = 0 valida en todo R.

En principio, sin otro tipo de herramientas, no estamos en disposicion de asegurar que hayamosobtenido todas las soluciones (caso analogo al de ciertas ecuaciones de variables separables), aunque,usando tecnicas mas avanzadas, podremos asegurar que efectivamente hemos obtenido todas lassoluciones.

La soluciones de la ecuacion lineal (4.21) son validas en R pero esto no implica que las solucionesde la ecuacion de Bernoulli (4.22) sean tambien validas en R. Para un C "= 0 es muy difıcilinspeccionar tal intervalo, pero en el caso C = 0, la solucion positiva resultante (la correspondientea la solucion yp(t) = t+ 1

2 de la lineal) es

x(t) =13t+ 1

2

,

que como se puede apreciar esta definida en el intervalo I = (%12 ,&) y se puede comprobar

facilmente que es solucion de la ecuacion de Bernoulli en tal intervalo. Sin embargo, la solucionyp(t) = t + 1

2 de la ecuacion lineal es valida en todo R. Esto parece una contradiccion pero no esası pues en la teorıa hemos establecido una correspondencia biunıvoca entre las soluciones positivasx : I ! (0,&) de la ecuacion de Bernoulli y las soluciones positivas y : I ! (0,&) de la ecuacionlineal resultante. Observese que y(t) = t+ 1

2 solo toma valores positivos en el intervalo I = (%12 ,&)

el mismo donde es valida la solucion positiva de la ecuacion de Bernoulli.

En este caso, la respuesta de Mathematica a nuestra ecuacion diferencial es la siguiente:

DSolve)x![t] == %x[t] + tx[t]3, x[t], t

*

%%x[t] ! %

-25

1 + 2t+ 2e2tC[1]

9,

%x[t] !

-25

1 + 2t+ 2e2tC[1]

99.

Observese que las dos familias de soluciones dadas son equivalentes a las que nosotros hemosobtenido, pero Mathematica no encuentra la solucion nula.

C ! 0

C ! 0

C ! 1

C ! 1

Figura 4.8: Graficas de las soluciones correspondientes a C = 0 y a C = 1.

Ejemplo 4.7. Estudio y resolucion del problema (P ) :

:;

<x!(t) =

x2(t) log t% x(t)

tx(1) = 1

En principio, la ecuacion diferencial puede que no se reconozca como ecuacion de Bernoulli sino se escribe ası:

x! = %1

tx+

log t

tx2.

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4.4. Ecuaciones diferenciales de Bernoulli 91

Aquı & = 2 y las funciones a(t) = %1t y b(t) = log t

t son continuas en el intervalo J = (0,&).No hemos establecido un resultado de existencia y unicidad para problemas de valores inicialesasociados a ecuaciones de Bernoullli (ni tampoco para las ecuaciones homogeneas y otras vistas eneste tema), pero vamos a abordar este problema intentando determinar todas las soluciones de laecuacion de Bernoulli y posteriormente buscando entre las obtenidas, si es que existe, la (o las) queverifica la condicion inicial x(1) = 1.

La propia ecuacion nos dice que la graficas de sus soluciones estan contenidas en D = (0,&)*Ry, por tanto, podemos tener soluciones que tomen valores positivos o negativos. La funcion nula essolucion de la ecuacion diferencial pero no satisface la condicion inicial. Vamos pues a buscar lasdemas soluciones. Esta claro que, al menos localmente, la solucion que se busca debe ser positivapues x(1) > 0 y x es continua. En principio, en su intervalo de definicion podrıa tomar valoresnegativos. Veremos finalmente que esto no sucede, es decir, que siempre es positiva. De hecho,con herramientas matematicas que aun no se han explicado, se puede comprobar a priori que lasolucion (sin necesidad de conocerla) va ser siempre positiva pues, en caso contrario, su graficacortarıa a la grafica de la solucion nula y se puede probar que esto es imposible.

Escribimos la ecuacion ası:

x"2(t)x!(t) = %1

tx"1(t) +

log t

t,

lo que nos ayuda a recordar el cambio de funcion incognita, que debe ser y(t) = 1x(t) ( y = x1"$).

Observese que en este caso no hay problemas a la hora de deshacer el cambio pues este viene dadopor x(t) = 1

y(t) . Derivamos la funcion y y obtenemos

y!(t) = %x"2(t)x!(t) =1

tx"1(t)% log t

t=

1

ty(t)% log t

t,

de forma que la ecuacion diferencial lineal resultante es

(4.23) y! =1

ty % log t

t

En este caso, como buscamos la solucion de un problema de Cauchy podrıamos arrastrar lacondicion inicial x(1) = 1 a la nueva funcion incognita para obtener y(1) = 1

x(1) = 1 y de estaforma obtener el problema de Cauchy asociado

(Q) :

:;

<y! =

1

ty % log t

ty(1) = 1

La teorıa vista en el tema de ecuaciones lineales nos asegura que el problema (Q) posee una unicasolucion en el intervalo I = (0,&) y, por tanto, en cualquier intervalo I ! + I. Esto nos da ideade que el problema (P ) debe tener solucion unica pero un intervalo que no es necesariamenteI = (0,&) pues esto depende de que la solucion de (Q) solo tome valores positivos I o lo contrario.

Tenemos dos formas de proceder, que practicamente tienen la misma dificultad. Una es de-terminar la solucion de (Q) y despues deshacer el cambio para obtener la solucion de (P ) (estoconlleva determinar todas las soluciones de la ecuacion lineal). La otra es determinar todas las solu-ciones de la ecuacion lineal, deshacer el cambio para determinar las soluciones yC de la ecuacion deBernoulli, distintas de la nula, y despues calcular el valor de la constante C que hace que yC (1) = 1.De cualquier forma hay que encontrar todas las soluciones de la ecuacion lineal.

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92 Resolucion mediante cambios de variables

La ecuacion homogenea asociada y! = 1t y tiene como soluciones yh(t) = C e

! 1t dt = Ct. Bus-

camos una solucion particular de la completa de la forma yp(t) = K(t)t, siendo k derivable. Im-

poniendo que yp sea solucion de la ecuacion lineal completa, llegamos a que k!(t) = % log tt2 , y, por

tanto, mediante una integracion por partes obtenemos

k(t) =

$% log t

t2dt =

$log t ·

"% 1

t2#dt =

1

tlog t%

$1

t2dt =

1

tlog t+

1

t,

y de esta forma resulta que yp(t) = 1 + log t. En consecuencia, las soluciones de la ecuacionlineal (4.23) son las funciones

yC : (0,&) ! R, t $! yC (t) = Ct+ 1 + log t, con C ) R.

Al deshacer el cambio x(t) = 1y(t) obtenemos las soluciones de la ecuacion de Bernoulli

xC (t) =1

Ct+ 1 + log tdonde C ) R.

La solucion nula no aparece aquı pero en este caso no es necesario considerarla. Determinamos Cpara que se verifique la condicion inicial xC (1) = 1 y resulta trivialmente C = 0. Esto nos confirmaque la unica solucion del problema (P ), en algun intervalo, es la definida por

x(t) =1

1 + log t

La pregunta que nos hacemos ahora es ¿donde es valida tal solucion? Observese que tal funcionsolo esta definida en aquellos t > 0 tales que 1 + log t "= 0. Observese que log t + 1 = 0 / t = 1

ey dado que la funcion debe verificar x(1) = 1 (1e < 1), la unica posibilidad es que la solucion estedefinida en el intervalo I = (1e ,&) y, derivando, se puede comprobar que este es un intervalo validocomo solucion de la ecuacion diferencial. En este intervalo la funcion x es positiva, estrictamentedecreciente y verifica

limt$1/ e

x(t) = &, limt$%

x(t) = 0.

La solucion x = x0 se ha obtenido a partir de la solucion de la ecuacion lineal y0(t) = yp(t) = 1+log tque, sin embargo, es valida en el intervalo (0,&). Esto no supone contradiccion alguna pues veaseque y0 solo es positiva en el intervalo I = (1e ,&).

t !1

"

!1, 1"

1

"

Figura 4.9: Grafica de la solucion x(t) = 11+log t .

La respuesta de Mathematica a nuestro problema de valor inicial es exactamente la mismaque hemos obtenido.

DSolve

,+x![t] == %x[t]

t+

Log[t]

tx[t]2, x[1] == 1

., x[t], t

-, x[t] ! 1

1 + Log[t].

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4.5. Ecuaciones diferenciales de Riccati 93

Sin embargo, si le proponemos a Mathematica que resuelva el problema de valor inicial

(P ) :

:;

<x!(t) =

x2(t) log t% x(t)

tx(1) = 0

nos contesta diciendo que le es imposible encontrar una solucion. ¿Porque sucede eso cuando tri-vialmente la funcion nula es solucion de (P ) (de hecho es la unica solucion definida en I = (0,&))?Porque Mathematica determina primero todas las soluciones de la ecuacion diferencial (comohemos hecho nosotros) y despues busca una solucion que verifique la condicion inicial. Pero, como elprograma no determina la solucion nula (como tampoco determina las posibles soluciones constantesde una ecuacion de variables separables), no es capaz de dar una solucion; sucede exactamente lomismo que vimos en el tema anterior con el problema autonomo: x! = x2, x(0) = 0.

4.5 Ecuaciones diferenciales de Riccati

Jacopo Francesco Riccati (1676-1754), matematico italiano, introdujo un tipo de ecuacion diferen-cial, muy especial por diversas razones.

Definicion 4.3. Una ecuacion diferencial de Riccati es una ecuacion de la de la forma

(4.24) x!(t) = a(t)x2(t) + b(t)x(t) + c(t)

donde las funciones a, b, c : J ! R son conocidas.

Supondremos siempre que las tres funciones a, b y c son continuas sobre el intervalo J.

En forma abreviada la ecuacion la escribirıamos ası:

x! = a(t)x2 + b(t)x+ c(t).

Esta forma de escribir las ecuaciones de Riccati es posiblemente la que menos se olvida pues el

segundo miembro de la ecuacion recuerda a la ecuacion de segundo grado ax2 + bx+ c = 0. Dehecho, cuando las funciones a, b y c sean constantes tal ecuacion de segundo grado va a interveniren la busqueda de soluciones para la correspondiente ecuacion de Riccati (que en este caso serıatambien una ecuacion autonoma). Si escribimos la ecuacion de Riccati como x! = c(t)+b(t)x+a(t)x2

vemos mejor la similitud con las ecuaciones de tipo Bernoulli, porque si no apareciese el sumandoc(t) tal ecuacion serıa de Bernoulli con & = 2.

Tenemos obviamente unos casos impropios:

1. Si la funcion c es nula en J la ecuacion es del tipo Bernoulli.

2. Si la funcion a es nula en J la ecuacion es lineal completa.

3. Si las funciones a, b y c son constantes en J la ecuacion es autonoma.

En el tercer caso es mas conveniente a veces resolver la ecuacion con el metodo de Riccati que comoecuacion autonoma.

La funcion b sı podrıa ser nula en J . Por ejemplo, una ecuacion como

(4.25) x! = x2 + t

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94 Resolucion mediante cambios de variables

es una ecuacion de Riccati y, de hecho, es una ecuacion muy especial. Se puede probar que sia(t) "= 0 para cada t ) J, se puede llevar a cabo un cambio de funcion incognita de tal forma quela ecuacion de Riccati x! = a(t)x2+ b(t)x+ c(t) se transforma en una ecuacion, tambien de Riccati,aparentemente mas simple, del tipo

(4.26) y! = y2 + C(t) siendo C una funcion continua en J.

De hecho, para ciertos estudios teoricos sobre las ecuaciones de Riccati es suficiente con considerarlas del tipo (4.26).

Desde un punto de vista teorico estas ecuaciones presentan un doble interes. Uno es que existeuna relacion muy estrecha entre las ecuaciones de Riccati (que son de primer orden) y las ecuacioneslineales de segundo orden homogeneas (que seran tratadas en el tema 8). Otro interes matematico,muy relevante, es que estas ecuaciones constituyen un ejemplo simple (historicamente el primero)de ecuaciones diferenciales de primer orden que, en muchos casos, no se saben resolver ; es mas,no admiten “soluciones elementales”. Esta probado que en muchos casos es imposible resolver lacorrespondiente ecuacion de Riccati mediante tecnicas de integracion elemental que conduzcan aformulas en terminos de funciones explıcitamente conocidas, ni siquiera se pueden escribir sus solu-ciones en terminos de primitivas como

!e"t2 dt, que ya de por sı no se sabe determinar y no es una

funcion elemental. Un caso notable donde se da esta situacion es la simple ecuacion(4.25). Todasestas cuestiones fueron probadas por el matematico Liouvillle en 1841, en un estudio muy complejo.El probo que la mayorıa de las ecuaciones del tipo (4.26) no son resolubles elementalmente. Porejemplo, si consideramos el caso especial

(4.27) x! = x2 + ktm donde k,m ) R,

Liouvillle probo que solamente son resolubles elementalmente los casos donde

m = 0,%4

1, %4

3, %8

3, %8

5, %12

5, %12

7, %16

7, %16

9, · · ·

Para m = 0 la ecuacion es autonoma, el caso m = %4 se sigue del caso m = 0, el caso m = %4/3se sigue del caso m = %4, el caso m = %8

3 se obtiene de lo obtenido en el caso m = %4/3 y asısucesivamente. En muchos de estos casos las expresiones que se obtienen para las soluciones sontan complicadas que puede ser preferible estudiar el comportamiento de las soluciones a partir dela ecuacion diferencial antes que hacerlo directamente de las expresiones obtenidas.

Segun lo dicho anteriormente, la simple ecuacion de Riccati (4.25): x! = x2 + t no es resolubleelementalmente. Vease la respuesta que da el programa Mathematica a esta ecuacion.

DSolve)x![t] == x[t]2 + t, x[t], t

*

x[t] !%BesselJ

=% 1

3 ,2t3/2

3

>C[1] + t3/2

1%2BesselJ

=% 2

3 ,2t3/2

3

>% BesselJ

=% 4

3 ,2t3/2

3

>C[1] + BesselJ

=23 ,

2t3/2

3

>C[1]

2

2t1BesselJ

=13 ,

2t3/2

3

>+ BesselJ

=% 1

3 ,2t3/2

3

>C[1]

2

Observese que da las soluciones en terminos de unas funciones notadas por “BesselJ”, las llamadasfunciones de Bessel de primera especie, importantes funciones que aparecen en muchas proble-mas matematicos, pero que no se conocen explıcitamente (aunque se conocen muchas propiedadesimportantes sobre ellas) y que en, general, se definen como ciertas soluciones de determinadas ecua-ciones diferenciales lineales de segundo orden con coeficientes variables (que no se saben resolverelementalmente). En algunos casos muy concretos se conoce una funcion de Bessel mediante suserie de Taylor y en esa expresion aparece otra funcion especial, conocida como funcion Gamma deEuler (una generalizacion del factorial para numeros complejos).

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4.5. Ecuaciones diferenciales de Riccati 95

Segun lo dicho anteriormente, no existe un metodo general para resolver una ecuacion de Riccati,pero, sin embargo, sı existe un metodo de resolucion, muy simple, cuando se conoce una solucion(solucion particular) xp, pues conociendo una solucion se pueden conocer todas las demas. Laidea es, mediante esta solucion particular, hacer un cambio de funcion incognita que transformela ecuacion de Riccati (4.24) en una ecuacion de Bernoulli con & = 2; es decir, del tipo y! =8a(t)y + 8b(t)y2; dicho de otra forma, con este cambio intentamos suprimir el sumando c(t), que esjustamente lo que hace que la ecuacion de Riccati no sea de Bernoulli.

Lo ideal serıa que la solucion conocida xp estuviese definida en todo el intervalo J donde estandefinidas y son continuas las funciones a, b y c pues si xp es unicamente valida en un intervaloJ ! ! J , entonces solo obtendrıamos las soluciones de (4.24) con graficas contenidas en J ! * R (enmuchos casos las soluciones conocidas son polinomicas y esto no plantea problemas).

En efecto, supongamos que conocemos una solucion xp : J ! ! R de la ecuacion (4.24) y seax : I ! R, donde I 0 J !, cualquier solucion de esta ecuacion. Consideremos la nueva funcionincognita:

(4.28) y : I ! R, t $! y(t) = x(t)% xp(t)

Es evidente que el cambio de funcion incognita se deshace sin problemas ası:

(4.29) x(t) = y(t) + xp(t)

La funcion y es derivable en I y verifica

y! = x!%x!p = (ax2+bx+c)%(ax2p+bxp+c) = a(x2%x2p)+b(x%xp) = a"y2+2yxp

#+by =

"2axp+b

#y+ay2

(observese que ha desaparecido la funcion c, que es la que molestaba) y, consecuentemente, lafuncion y : I ! R es solucion de la ecuacion de Bernoulli

(4.30) y!(t) =1b(t) + 2a(t)xp(t)

2y(t) + a(t)y2(t)

Recıprocamente, supongamos que y : I ! R, donde I 0 J !, es solucion de la ecuacion (4.30) yconsideramos x : I ! R definida por (4.29). Esta funcion x verifica lo siguiente:

x! = y! + x!p =="b+ 2axp

#y + ay2

>+ (ax2p + bxp + c)

= b(y + xp) + a"y2 + x2p + 2yxp

#+ c = b(y + xp) + a(y + xp)

2 + c

= ax2 + bx+ c.

De esta forma, al deshacer el cambio, la funcion resultante x : I ! R es solucion de la ecuacion deRiccati.

En definitiva, hemos obtenido el siguiente resultado.

Proposicion 4.4. Si xp es una solucion particular de la ecuacion de Riccati (4.24), entoncesx : I ! R es solucion de (4.24) si, y solo si, y : I ! R, y = x% xp, es solucion de la ecuacion deBernoulli (4.30).

Una vez mas se insiste en que no es necesario memorizar la expresion de la ecuacion (4.30);simplemente hay que derivar en la expresion del cambio (4.28) y tener la certeza de que debe

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96 Resolucion mediante cambios de variables

aparecer una ecuacion de Bernoulli con & = 2. Se resuelve tal ecuacion y se obtienen las solucionesde la ecuacion de Riccati deshaciendo el cambio.

Segun lo visto en la seccion anterior, una ecuacion de Bernoulli con & = 2, como (4.30),se transforma en una ecuacion lineal con el cambio de funcion incognita z(t) = 1

y(t) con la que

obtendrıamos todas las soluciones de (4.30) salvo la funcion nula (observese que la funcion nula dede la ecuacion de Bernoulli se corresponde con la solucion xp de la ecuacion de Riccati). Por tanto,componiendo ambos cambios, podemos afirmar que el cambio de funcion dado por

(4.31) z(t) =1

x(t)% xp(t)

transformarıa la ecuacion de Riccati (4.24) en una ecuacion diferencial lineal. El cambio dadoen (4.31) plantea aparentemente una restriccion; con el solo obtendrıamos las soluciones x de (4.24)tales que x(t) "= xp(t), para cada t ) I. Realmente no es ası, pues se puede probar, con tecnicasmas avanzadas, que dos soluciones de la ecuacion de Riccati no pueden coincidir en ningun punto;es decir, si x1 : I1 ! R y x2 : I2 ! R son dos soluciones de (4.24) tales que x1(t0) = x1(t0) en unpunto t0 ) I1 1 I2 , entonces, x1(t) = x1(t) para cada t ) I1 1 I2 . De esta forma, con el cambiodado por (4.31) y la resolucion de una ecuacion lineal obtendrıamos todas las soluciones de (4.24)salvo la solucion particular xp usada para hacer el cambio (no se olvide anadir esta solucion). Lousual es hacer directamente el cambio (4.31) para llegar a una lineal aunque el proceso se puedehacer en dos etapas: pasar primero de la ecuacion de Riccati a la de Bernoulli y depues pasar lade Berniullli a una lineal. De hacer directamente el cambio (4.31), este se deshace ası:

(4.32) x(t) = xp(t) +1

z(t)

Esta claro que no puede existir un metodo general que permita obtener soluciones particulares,ası que debemos proceder por tanteo, lo cual es un problema; no digamos si nos encontramos conuna de las ecuaciones de Riccati irresolubles. Hay un caso donde puede ser facil encontrar unasolucion particular, que es cuando las funciones a, b y c son constantes. Como ya hemos advertido,en este caso la ecuacion de Ricccati

(4.33) x! = ax2 + bx+ c con a, b, c ) R,

es tambien una ecuacion autonoma y como tal, aparte de tener que determinar los x tales que

(4.34) ax2 + bx+ c = 0

para encontrar las posibles soluciones constantes, las demas soluciones se obtendrıan implıcitamentede ecuaciones del tipo $

1

ax2 + bx+ cdx = t+K con K ) R.

Pero a veces estas primitivas se complican mucho y despues viene el problema de despejar x dela ecuaciones obtenidas, por lo que puede ser mas rentable resolver la ecuacion (4.33) como unaecuacion de Riccati resolviendo previamente la ecuacion de segundo grado (4.34) (esto hay quehacerlo de todas formas al considerarla como autonoma) y determinando ası una solucion particu-lar que es constante. Podemos tener la suerte de determinar dos soluciones constantes a partirde (4.34), lo cual facilita aun mas los calculos (vease el ejemplo 4.9). El unico problema es que laecuacion (4.34) no posea soluciones reales. En este caso tendrıamos que resolverla como autonoma.

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4.5. Ecuaciones diferenciales de Riccati 97

En general, cuando las funciones a, b y c sean polinomicas se intenta comprobar si hay unasolucion polinomica. Esto no esta asegurado (vease el caso de la ecuacion (4.25) y, en general de lasecuaciones (4.27)). A veces sucede que las funciones a, b y c no son polinomicas y, sin embargo,hay

soluciones polinomicas. Siempre podemos intentar ver si hay una solucion del tipo xp(t) = At+B

imponiendo que esta sea solucion de la ecuacion y viendo si sale un sistema compatible en A yB (algo ası como en el metodo de los coeficientes indeterminados para ecuaciones diferencialeslineales).

Ejemplo 4.8. Resolucion de la ecuacion de Riccati x!(t) = 1 + t2 % 2tx(t) + x2(t).

Observemos que aquı las funciones definidas por a(t) = 1, b(t) = %2t y c(t) = 1 + t2 estandefinidas y son continuas en R; de hecho son funciones polinomicas. Como decıamos anteriormenteesto no asegura que exista una solucion polinomica. Podrıamos inspeccionar a ojo o comprobarsi existe una solucion del tipo xp(t) = At + B con A,B ) R. Tanto de una forma como de otrase ve que xp(t) = t es solucion en el intervalo R de la ecuacion diferencial. Luego el cambio de

funcion y(t) = x(t)% t la transforma en una ecuacion de Bernoullli con & = 2 o bien directamente

el cambio de funcion

y(t) =1

x(t)% t

la transfoma en una ecuacion lineal. Lo mas directo es hacer este ultimo cambio pero por ilustrar

mejor lo que se ha visto en teorıa, en este primer ejemplo vamos a realizar el cambio y(t) = x(t)% t

para transformarla en una de Bernoulli. Vease que al deshacer el cambio tenemos x(t) = y(t) + t.En efecto, derivando en la expresion de la funcion y obtenemos

y!(t) = x!(t)% 1 = t2 % 2tx(t) + x2(t) = (t% x(t))2 = y2(t).

La ecuacion resultante y! = y2 no solamente es de Bernoulli, es tambien autonoma. Tratandolacomo ecuacion de Bernoulli, aparte de la solucion nula, las demas soluciones las obtendrıamos deuna ecuacion lineal mediante el cambio de funcion incognita z(t) = 1

y(t) . Derivando z se obtiene

la ecuacion trivial z!(t) = % y!(t)y2(t) = %1, cuyas soluciones son zC (t) = %t + C con C ) R. De esta

forma las soluciones de la ecuacion de Bernoulli son las dadas por

y(t) = 0, yC (t) =1

C % t, con C ) R.

Al deshacer el cambio hecho en la ecuacion de Riccati obtenemos las siguientes soluciones:

x(t) = t, xC (t) = t+1

C % t, con C ) R.

Observese que la primera es la particular que hemos usado para hacer el cambio que nos ha llevadoa la resolucion de la ecuacion. La primera solucion es valida en R pero las soluciones xC estandefinidas unicamente es los intervalos I = (%&, C) e I = (C,&). En estos intervalos son solucionesde la ecuacion de Riccati. Vease que

limt$C"

xC (t) = +&, limt$C+

xC (t) = %&

y que las graficas de todas las soluciones xC tienen a la grafica de xp como asıntota oblicua.

Una vez mas tenemos una ecuacion diferencial donde los coeficientes a, b y c son polinomicos y,por tanto, estan definidos en R y, sin embargo, solo una de las soluciones es valida en R.

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98 Resolucion mediante cambios de variables

xp!t" ! t

C ! 2

C ! 2

C ! 1

C ! 1C ! "1

C ! "1

C ! "2

C ! "2

"3 "2 "1 1 2 3

"5

5

Figura 4.10: Graficas de la solucion particular xp y de las soluciones xC para C = %2,%1, 1, 2.

Observacion: La ecuacion dada se puede escribir ası: x! = 1+ (t%x)2 o bien x! = 1 + (x% t)2

por lo que es del primer tipo de ecuaciones estudiada en este tema:

x!(t) = !(at+ bx(t) + c)

y, por, tanto, con el cambio y(t) = x(t) % t tenıamos asegurado que se transformarıa en unaecuacion autonoma. Vease que es el mismo cambio que se ha llevado a cabo como ecuacion deRiccati.

En este caso, Mathematica, como es de esperar, no proporciona la solucion particular xp(t) =t, usada para hacer el cambio de funcion incognita.

DSolve)x![t] == 1 + t2 % 2tx[t] + x[t]2, x[t], t

*, x[t] ! t+

1

%t+ C[1].

Ejemplo 4.9. Soluciones de la ecuacion diferencial x! =x

t+ t3x2 % t5.

Escribiendo la ecuacion ası:

x! = t3x2 +1

tx% t5

se aprecia mejor que es tipo Riccati, donde las funciones definidas por a(t) = t3, b(t) = 1t y

c(t) = %t5 no son todas polinomicas y estan definidas y son continuas en los intervalos J = (%&, 0) eJ = (0,&). Sin embargo, la ecuacion posee soluciones polinomicas como vamos a ver a continuacion.

Vamos a comprobar que existen soluciones del tipo xp(t) = At + B. Suponiendo que estosea cierto, es decir imponiendo que xp sea solucion de la ecuacion, vamos a llegar a un sistema

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4.5. Ecuaciones diferenciales de Riccati 99

compatible de ecuaciones en las incognitas A y B.

xp(t)

t+ t3x2p(t)% t5 =

At+B

t+ t3(At+B)2 % t5 = A+B

1

t+ t3(A2t2 +B2 + 2ABt)% t5 =

= A+B1

t+A2t5 +B2t3 + 2ABt4 % t5 = (A2 % 1)t5 + 2ABt4 +B2t3 +

+B1

t+A.

Como lo anterior debe coincidir con x!p(t) = A en todos los t de un cierto intervalo, la unicaposibilidad de que esto suceda es que se verifique:

A2 % 1 = 0, 2AB = 0, B2 = 0 y B = 0,

lo cual sucede si A2 % 1 = 0 y B = 0, dando lugar a la existencia de dos soluciones en este caso:las correspondientes a A = 1, B = 0 y A = %1, B = 0. Por tanto, tenemos dos soluciones de laecuacion de Riccati del tipo indicado que son:

x1(t) = t y x2(t) = %t

Podemos elegir cualquiera de las dos para realizar el cambio de funcion incognita, pero posterior-mente apreciaremos que el haber obtenido dos soluciones particulares facilita, en general, mucholos calculos.

Si elegimos la primera para realizar el cambio, sabemos que directamente el cambio de funcionincognita dado por

(4.35) y(t) =1

x(t)% t(el cambio se deshace obviamente ası: x(t) = t+

1

y(t))

transforma nuestra ecuacion de Riccati en una ecuacion lineal. Para llegar a esta ecuacion linealbasta con derivar la expresion de la funcion y dada en (4.35) y eliminar x, tal como se indica en(4.35), de la siguiente forma:

y!(t) = % x!(t)% 1"x(t)% t

#2 = %y2(t)"x!(t)% 1

#= y2(t)

11% x(t)

t% t3x2(t) + t5

2=

eliminando x(t)

= y2(t)

&1% 1

t

1t+

1

y(t)

2% t3

1t+

1

y(t)

22+ t5

'=

= %1

ty(t)% t3 % 2t4y(t),

por lo que finalmente la ecuacion diferencial lineal resultante (en forma abreviada) es

(4.36) y! = %11t+ 2t4

2y % t3

La ecuacion lineal homogenea asociada a (4.36) tiene por soluciones las funciones definidas por

yh(t) = Ce!"(1/t+2t4)dt = C

t e"25 t

5con C ) R.

Aquı no se puede aplicar el metodo de los coeficientes indeterminados. Segun la conjetura deLagrange debe existir una solucion particular de la completa de la forma

yp(t) =k(t)

te"

25 t

5, donde k es una funcion derivable.

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100 Resolucion mediante cambios de variables

La determinacion de la funcion k se lleva a cabo imponiendo que yp sea solucion de (4.36). Esto

acarrea, en este caso, muchos calculos, llegandose finalmente a que k!(t) = %t4e(2/5)t5, por lo que

podemos tomar como k la funcion dada por k(t) = %12e

(2/5)t5 y, por tanto, la solucion particular

obtenida serıa yp(t) = %1/(2t). Todos los calculos anteriores se pueden evitar en este caso si

reparamos en el siguiente detalle. Segun la teorıa que hemos visto en esta seccion, al ser xp(t) = tuna solucion particular de la ecuacion de Riccati, si x : I ! R es otra solucion de tal ecuacion, lafuncion y : I ! R definida por y(t) = 1

x(t)"t es solucion de la ecuacion lineal (4.36). Como resulta

que la funcion definida por x(t) = %t tambien es solucion de la ecuacion de Riccati, entonces, lafuncion y definida por

y(t) =1

%t% t= % 1

2t

debe ser solucion de la ecuacion lineal. Observese que hemos obtenido la misma que mediante elmetodo de Lagrange pero los calculos, ahora, han sido inmediatos. Esta es la gran ventaja que,en general, supone encontrar dos soluciones particulares de la ecuacion de Riccati; con estas dosdeterminamos inmediatamente una solucion particular de la ecuacion lineal asociada.

En definitiva, las soluciones de la ecuacion lineal (4.36) son las funciones definidas por

yC (t) =Ce"(2/5)t5 % 1

2

tcon C ) R,

y, deshaciendo el cambio, obtenemos las siguientes soluciones de la ecuacion de Riccati

(4.37) xC (t) = t+t

Ce"(2/5)t5 % 1/2con C ) R,

a la cual hay que anadir la solucion xp(t) = t usada para realizar el cambio de funcion incognita.

Observese que para C = 0 obtenemos de (4.37) la solucion x(t) = %t. Estas dos son las unicassoluciones polinomicas. El resto de las soluciones no estan definidas en R. Si C > 0 no tienen

sentido en t0 =152 log(2C)

2 15.

Curiosamente, salvo para el caso C = 1/2, las demas soluciones obtenidas en (4.37) estandefinidas en t = 0 cuando esto esta prohibido en nuestra ecuacion diferencial. Una explicacion deesto podrıa ser que las soluciones obtenidas son realmente soluciones de la EDO implıcita

tx! = x+ t4x2 % t6

obtenida de nuestra ecuacion original, sin mas que multiplicar ambos miembros de la ecuacion deRiccati por t.

La respuesta de Mathematica a esta ecuacion diferencial es

DSolve

,x![t] ==

x[t]

t+ t3x[t]2 % t5, x[t], t

-, x[t] ! %

&1 + e

2t5

5 +2C[1]

't

%1 + e2t5

5 +2C[1]

¿Da la misma familia de soluciones que hemos obtenido anteriormente?

Apuntes de Ecuaciones Diferenciales IProf. Diego Gallardo Gomez

Universidad de Malaga

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Ejercicios 101

x!t" ! "t xp#!t" ! t

Figura 4.11: Graficas de las dos soluciones polinomicas y de las soluciones xC para C = %1, 1/2, 1.

Despues de ver los cuatro tipos de ecuaciones estudiados en este tema, podemos concluir quelas expresiones de las soluciones de las ecuaciones de Bernoulli y de las ecuaciones de Riccati (quesean resolubles) se obtienen de forma explıcita, ya que, en ambos casos, tales soluciones se obtienende soluciones de ecuaciones lineales. Sin embargo, en general, esto no tiene porque suceder con lassoluciones de las ecuaciones del tipo x! = !(at+ bx+ c) o de las ecuaciones homogeneas, como sepudo comprobar en el ejemplo 4.5, ya que estas ultimas se obtienen de soluciones de ecuaciones devariables separables.

Ejercicios propuestos :

1. Determina las soluciones de la ecuacion diferencial x! = (t+ x% 1)(t+ x+ 1).

2. Determina las soluciones de la ecuacion diferencial x! = t2 + 2tx+ x2.

3. Para x0 = 3"/2 y x0 = %2", determina, en cada caso, una solucion del problema de valor inicial%x! = sen2(t% x)

x(0) = x0

y comprueba que la solucion esta definida en R.

4. Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales:

(a) x! =2x2 % t2

tx(b) x! =

1

t2

13(t2 + x2) arctan

x

t+ tx

2

5. Resuelve el problema de valor inicial

%x! = x

t + cos2 xt

x(1) = !4

y comprueba que tiene solucion valida en

I = (0,&).

6. Determina las soluciones de la ecuacion diferencial x! =x

t+

t

xmediante dos metodos distintos.

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102 Resolucion mediante cambios de variables

7. Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales:

(a) x! = x% t2

x(b) x! =

x2 + t3

2tx8. Encuentra una solucion para cada uno de los siguientes problemas de valores iniciales:

(a)

%x! =

x

t+ x3

x(1) = 1(b)

%x! = 3

2

"3-x+ x

t

#

x(1) = %1.

En el primer caso determina el intervalo maximal en el que la solucion obtenida es valida. En elsegundo, se plantea la siguiente cuestion: ¿Existe alguna solucion del problema que sea valida en elintervalo I = (0,&)?

9. Sean a y b constantes no nulas. Resuelve como ecuacion de Bernoulli la ecuacion logıstica x! = ax%bx2,usada en el tema anterior para un modelo de poblacion.

10. Cuando una enfermedad contagiosa se propaga es razonable suponer que la velocidad con la que lohace es proporcional al numero de personas enfermas y al numero de personas que aun no se hanexpuesto al contagio.

(a) En una ciudad de 2000 habitantes el desarrollo de una epidemia de gripe sigue la ecuaciondiferencial:

x!(t) = 0.002x(t)"2000% x(t)

#

donde x(t) indica el numero de personas infectadas en el instante t (t medido en semanas). Siinicialmente (t = 0) hay dos personas infectadas, determina una expresion de la evolucion delcontagio: t ! x(t) y realiza un esbozo de su grafica. ¿Que tiempo ha de transcurrir para que lastres cuartas partes de la poblacion se contagien?

(b) Cierta isla “perdida” tiene una poblacion de 99 personas. Una barca llega a la isla con unmarinero que presenta una enfermedad vırica para la que los habitantes islenos no tienen defensas.A tercer dıa de la llegada del marinero el numero de enfermos era 5. Calcula el numero deenfermos al cabo de n dıas.

11. Sea x! = a(t)x + b(t)x" una ecuacion de Bernoulli, donde las funciones a y b son continuas en unintervalo J y & ) R. Prueba que el cambio de funcion incognita dado por

y(t) = x(t) e"!a(t) dt

donde!a(t) dt representa una primitiva de la funcion a en el intervalo J , transforma la ecuacion de

Bernoulli en una ecuacion de variables separables que, en el caso & = 0, es decir, en el caso de unaecuacion lineal, es del tipo trivial y!(t) = f(t) (esto darıa un tercer metodo para resolver una ecuacionlineal). Aplica este metodo para resolver de otra forma la ecuacion vista en el ejemplo 4.7:

x! =x2 log t% x

t

12. Encuentra alguna solucion particular (mejor si encuentras dos soluciones) de la ecuacion diferencialx! = x2 + (1% 2t)x+ (1% t+ t2) y usala para determinar las otras soluciones.

13. Determina las soluciones de cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales de Riccati con coefi-cientes constantes (tambien son ecuaciones autonomas y, por tanto, puedes comparar los dos metodosde resolucion).

(a) x! = x2 % 2x+ 1 (b) x! = 2% x% x2

14. Ya hemos visto la ventaja que supone encontrar dos soluciones de una ecuacion de Riccati. Queremosver ahora que si encontramos tres soluciones, practicamente no hay que hacer calculos para determinarlas demas soluciones. Prueba que si x1 , x2 y x3 son tres soluciones distintas en el intervalo I de unaecuacion de Riccati, las demas soluciones de la ecuacion (validas en el intervalo I) son de la forma:

xC = x1 +1

1x2"x1

+ C1

1x3"x1

% 1x2"x1

2 , con C ) R.

15. Indica un metodo para resolver la ecuacion diferencial: x! = log t% log x.

Apuntes de Ecuaciones Diferenciales IProf. Diego Gallardo Gomez

Universidad de Malaga