Download - Resistenza dei BioMateriali - Home - Overmed - Settore ...professionista.overmed.eu/.../2013/02/Resistenza-dei-Bio-Materiali.pdf · Resistenza dei BioMateriali Trave e Ossa lunghe

Resistenza dei BioMateriali

Trave e Ossa lunghe 1


Trave e Ossa lunghe


Trave e Ossa lunghe R 2

Trave soggetta a forza assiale• La mensola di sezione

circolare avente area A, èincastrata all’estremità sinistra ed è soggetta ad una forza assiale di trazione di intensitàF all’altra estremità.

• La trave è in quiete ed in equilibrio. Per analizzare le forze indotte all’interno della trave, si può applicare il Metodo delle Sezioni, sconnettendo idealmente la trave in 2 elementi mediante il piano ABCD ortogonale all’asse della trave.



Metodo delle Sezioni• Dal momento che la trave è nel

suo insieme in equilibrio, i 2 elementi devono essere a loro volta equilibrati.

• Questo richiede la presenza di una forza interna collineare con la forza esterna applicata in corrispondenza della sezione di sconnessione di ciascun elemento.

• Per soddisfare la condizione di equilibrio, le forze interne devono avere la medesima intensità della forza esterna.



Forza assiale → Sforzo assiale uniforme

• La forza interna in corrispondenza della sezione di sconnessione rappresenta la risultante di un sistema di forze distribuite sulla sezione trasversale della trave.

• L’intensità della forza agente sulla sezione trasversale per unità di area è detta sforzo assiale.

• Assumendo che l’intensità dello sforzo sia uniforme sulla sezione trasversale, lo sforzo assiale medio è dato da

σ = F / A



Trave a sezione circolare piena, soggetta a momento torcente



La torsione θ è l’angolo di rotazione relativa tra 2 sezioni della trave poste a distanza unitaria



Metodo delle Sezioni



Distribuzione dello sforzo tangenziale τ



Momenti d’inerzia polari



Variazione lineare dello sforzo tangenziale lungo il raggio



Sforzi trasversali τt e longitudinali τl



Sforzi principali dovuti al momento torcente



Trave soggetta a forza trasversale• La mensola è soggetta ad una

forza trasversale di intensitàF applicata all’estremità libera.

• Per analizzare le forze ed i momenti interni, si può applicare il Metodo delle Sezioni sconnettendo idealmente la trave mediante un piano ABCD ortogonale all’asse della trave.

• Poiché la trave è globalmente in equilibrio, i 2 elementi cosìottenuti devono essere anch’essi individualmente in equilibrio.



Metodo delle Sezioni• Il diagramma di corpo libero

dell’elemento di destra della trave è illustrato insieme alla forza e al momento interni sull’elemento sinistro.

• Per l’equilibrio dell’elemento destro, sulla sezione di sconnessione devono agire un momento interno ed una forza risultante F verso l’alto sezione.

• Questa è la forza tagliante ed è la risultante di una forza distribuita sulla superficie di sconnessione.



Sforzo tangenziale medio

• L’intensità della forza tagliante per unità di area è lo sforzo tangenziale, il cui valore medio è dato da

τm = F / A



Momento flettente → Sforzo assiale lineare



Forza trasversale → Sforzo tangenziale parabolico



Sezioni soggette a flessione non uniforme (Q = Max Sx

* di Jourawski)




* di Jourawski)• Per la sezione rettangolare:• A = bh• Q = MaxSx

*(y) = Sx*(0) = bh2 / 8

• Ix = bh3 / 12• V = forza trasversale• Jourawski:

τmax = Q V / (Ix b) == 3V / (2A)




* di Jourawski)• Ad esempio, per la sezione anulare:• A = π (re

2 – ri2) ≅ π (re + ri) (re - ri) ≅ 2π rm s

• Q = MaxSx*(y) = Sx

*(0) = 2 (re3 - ri

3) / 3 =2 (re - ri) (re

2 + reri + ri2) / 3 ≅ 2 s (rm

2 + rmrm + rm2) / 3

≅ 2 rm2 s

• Ix = π (re4 - ri

4) / 4 = π (re2 + ri

2) (re + ri) (re - ri) / 4 ≅ π rm

3 s• V = forza trasversale• Jourawski:

τmax = Q V / (Ix 2 s) == 2 V / A



Sezioni simmetriche biconnesse di piccolo spessore


Trave e Ossa lunghe S 22

Classificazione sommaria delle ossa

• Lo scheletro umano adulto è formato da più di 200 ossa, che possono essere sommariamente classificate come ossa– lunghe,– corte,– piatte,– irregolari, o sesamoidi[1].

[1] Piccolo osso di forma rotondeggiante che si può trovare nei tendini o preso un’articolazione (a forma di seme di sesamo, es. rotula o patella).

• Durante al vita queste ossa sono intimamente associate– con i muscoli e– con altri tessuti non ossei, quali:

• i tendini, che attaccano i muscoli alle ossa;• i legamenti, che attaccano le ossa ad altre ossa;• e la cartilagine, che ricopre le articolazioni tra le ossa.



Ossa piatte, lunghe e brevi



Ossa piatte, corte, lunghe e sesamoidi• Le ossa piatte come la scapola o le ossa del cranio sono costituite di

spessi strati di denso tessuto osseo, connessi da una porosa rete interna di elementi aghiformi ossei, rete detta osso trabecolare o spugnoso. Gli interstizi dell’osso spugnoso sono riempiti con midollo rosso (emopoietico [1]) e/o midollo giallo (grasso).

•Le ossa corte come il carpo, il tarso, e i corpi vertebrali della spina dorsale, consistono principalmente di osso spugnoso circondato da un guscio sottile di osso compatto.

• Le ossa lunghe si trovano negli arti e sono caratterizzate da una lunghezza molto maggiore del diametro. Sono le ossa lunghe e i muscoli ad esse collegati che facilitano il movimento rapido e la presa. Esempi sono il femore, il radio, la tibia, e i metacarpali.

• Le ossa sesamoidi, come la patella formano, si formano all’interno di alcuni tendini che si avvolgono intorno alle ossa.

[1] Emopoiesi: processo di produzione delle cellule del sangue.



Osso lungo



Ossa lunghe• Un osso lungo consiste di un fusto tubolare detto diafisi, che di

solito si allarga ad entrambe le estremità dove l’osso si articola in corrispondenza delle giunzioni con altre ossa.

• Le estremità dell’osso sono coperte con uno strato di cartilagine articolare che facilita il moto quasi del tutto privo di attrito in corrispondenza delle giunzioni.

• La cartilagine articolare è sostenuta da un sottile strato di osso detto “piastra subcartilaginea” che delimita il confine tra la cartilagine e il soggiacente osso spugnoso dell’epifisi.

• Una regione di transizione di osso in parte spugnoso ed in partecompatto, detta metafisi connette infine l’epifisi alla diafisi.



Ossa lunghe• La diafisi è detta anche corteccia ed è costituita da un tessuto di

osso compatto o osso corticale.

• All’interno del tubo della diafisi c’è la cavità midollare. La superficie interna della diafisi è detta endòstio[1].

• La superficie esterna della diafisi è coperta da una membrana fibrosa altamente vascolarizzata detta periostio, nella quale si trovano le cellule dotate di potenziale osteogenico, cioè di capacitàdi formare l’osso.

[1] Sottile strato di tessuto connettivo, che tappezza tutte le intercapedini ossee.



Sollecitazioni su Ossa lunghe

• La mezzeria della diafisi di un osso lungo è esposta a sollecitazioni costituite da momenti– flettente e– torcente

significativi e– da una forza assiale di

compressione.



Sollecitazioni su Ossa lunghe• Le intensità di questi carichi e

il piano del momento flettente variano con il tempo e sono fortemente dipendenti dalle attività fisiche che sono svolte. Lo stimolo dello sforzo quotidiano su una sezione trasversale può essere pertanto molto complicato.

• Si può tuttavia fare una osservazione generale: gli sforzi (e le deformazioni) causate dalla forza assiale sono piccole se confrontate con quelle provocate dalla flessione e dalla torsione.



Sollecitazioni su Ossa lunghe• In prima approssimazione

si può pertanto considerare una storia di carico costituita soltanto da momenti– flettenti e– torcenti

applicati su un insieme di assi di flessione.



Sforzi sulla diafisi



Sezione trasversale della diafisi• La sezione trasversale di un osso lungo può essere

idealizzata come la sezione anulare di un cilindro cavo, con un raggio esterno re e uno spessore t.

• Il rapporto tra lo spessore t dell’osso corticale e il raggio re del periostio nella maggior parte delle normali ossa umane mature è compreso tra

0.33 e 0.4 (= t / re).

• Valori corrispondenti ad un individui di 20 anni d’età sono:– raggio del periostio re = 15 mm,– raggio dell’endòstio ri = 9 mm,– spessore corticale t = 6 mm.



Forza assiale → σzz = F / A; εzz = F / (AE)



Momento flettente → σzz = Mx y / Ixx;εzz = Mx y / (E Ixx); Ixx = π (re

4 – ri4) / 4



Osso assoggettato a flessione(ri = 6 mm, r0 = 13 mm, h = 16 cm, F = 500 N)



Diagramma di corpo libero



Sollecitazioni e caratteristiche inerziali

• V = F = 500 N• M = F h = 0.16 x 500

= 80 Nm• A = π (ro

2 – ri2) = 4.18

x 10-4 m2

• Ix = π (ro4 – ri

4) / 4 = 2.14 x 10-8 m4

• Q = 2 (ro3 – ri

3) / 3 ≅1263.5 x 10-9 m3



Sforzi assiale e tangenziale• σmax = M ro / Ix =

(80 x 0.013) / (2.14 x10-8)= 48.6 x 10+6 Pa == 40.6 MPa

• τmax = 2 V / A =(2 x 500) / (4.18 x 10-4) == 2.4 x 10+6 Pa == 2.4 MPa



Sforzi assiale e tangenziale• A causa della direzione della forza applicata, lo sforzo

assiale dovuto al momento flettente è massimo sui lati mediale e laterale del femore.

• Lo sforzo assiale è di trazione sul lato mediale e di compressione sulla parte laterale.

• Lo sforzo tangenziale è massimo lungo la superficie interna della struttura ossea del femore sui lati ventrale e dorsale.

• La condizione di vincolo dell’Osso è tale che esso si comporta come una mensola caricata all’estremitàlibera.



Momento torcente• Sforzo tangenziale:σzθ = T r / JP

• Variazione angolare:εzθ = T r / (E JP)

• Raggio:r = (x2 + y2)½

• Momento d’inerzia polare:JP = Ixx + Iyy



Sforzi tangenziali sulla Tibia dovuti al Momento torcente

• Distribuzione dello sforzo tangenziale nelle sezioni trasversali di una Tibia soggetta a Momento torcente.

• La sezione prossimale (A) ha un momento d’inerzia maggiore della sezione distale (B) poichépiù materiale osseo èdistribuito lontano dal centro d’area.



Macchina di prova per la Torsione

• A pendolo variabile

• B trasduttore di rotazione

• C trasduttore di coppia

• D pinza rotante

• E pinza statica



Macchina di prova per la Torsione• Il pendolo genera una coppia di

torsione intorno al suo asse, che èconnesso alla pinza rotante della macchina. L’intensità della coppia applicata al campione può essere controllata variando la posizione della massa del pendolo rispetto al suo centro di rotazione.

• Più vicina è la massa del pendolo al suo centro di rotazione, piùcorto è il braccio della forza e pertanto più piccola è la coppia generata.

• Al contrario, più distante è la massa dal centro, più lungo è il braccio e più grande è l’azione torcente.



Macchina di prova per la Torsione• La coppia generata dal peso del

pendolo è trasmessa mediante un albero connesso con la pinza rotante, applicando così la medesima coppia al campione saldamente afferrato dalle due ganasce.

• I trasduttori di coppia e di rotazione misurano l’intensità Mdella coppia applicata al campione e la rotazione θ della pinza mobile rispetto a quella fissa.

• La frattura avviene quando la coppia applicata èsufficientemente elevata affinchégli sforzi generati nel campione superino la resistenza ultima del materiale.



Macchina di prova per la Torsione• I dati raccolti dai trasduttori

della macchina di prova per la Torsione possono essere rappresentati graficamente in un diagramma che riporta– l’intensità della coppia

torcente (M) sull’asse delle ordinate e

– l’angolo di torsione (θ) sull’asse delle ascisse.

• Il diagramma può essere utilizzato per ricavare informazioni circa le proprietàmeccaniche del materiale costituente il campione.



Quadro fessurativo spiraliforme• Per travi soggette a Torsione,

la rottura avviene lungo uno dei piani principali.

• Questo può essere dimostrato torcendo un pezzo di Gesso fin tanto che esso si rompa in 2 pezzi.

• Un attento esame del Gesso rivela l’occorrenza della frattura lungo una linea a spirale ortogonale alla direzione del massimo sforzo di trazione (principale).



Quadro fessurativo spiraliforme

• Per le travi a sezione circolare le linee a spirale formano un angolo di 45° con l’asse neutro della Torsione (asse del cilindro).



Quadro fessurativo spiraliforme

• Il medesimo quadro fessurativo può essere osservato nelle Ossa lunghe soggette a Torsione.



Osso fratturato per Torsione(L = 37 cm, l = 25 cm ri = 7 mm, ro = 13 mm)



Osso fratturato per Torsione• Calcolare:

– massima deformazione di distorsione – massimo sforzo tangenziale– modulo di rigidezza tangenziale

• Il massimo angolo di rotazione misurato in corrispondenza della pinza rotante all’istante in cui avviene la frattura sia θ = 20°.

• La lunghezza totale dell’Osso tra le pinze rotante e statica è L = 37 cm. Pertanto, la torsione τ è 20° / 37 cm = 0.54°/cm = 0.00942 rad/cm = 0.942 rad/m.

• La frattura avviene in corrispondenza della sezione aa che dista l = 25 cm dalla pinza statica. Pertanto, l’angolo di rotazione θaa nella sezione aa appena prima della frattura è 0.54°/cm x 25 cm = 13.5° = 13.%° x π / 180 = 0.236 rad.



Osso fratturato per Torsione• Se

– l = 0.25 m è la distanza tra la sezione aa e la sezione del Femore dove la pinza statica tiene l’Osso,

– ro = 0.013 m è il raggio esterno della sezione dell’Osso in corrispondenza della sezione fratturata, e

– τ = 0.942 rad/m è la torsione,

• la deformazione di distorsione γsulla superficie dell’Osso nella sezione aa può essere calcolata come:

γ = ro τ = 0.013x 0.942 = 0.0123 rad

BB’ ≅ γ ⋅ 1



Osso fratturato per Torsione• La sezione trasversale della trave ossea del

Femore in corrispondenza della sezione aa è un anello con raggio interno ri = 0.007 m e raggio esterno ro = 0.013 m.

• Pertanto il momento d’inerzia polare della sezione trasversale del femore in corrispondenza della sezione aa è:

JP = π (ro4 – ri

4) / 2 = 3.14 (0.0134 – 0.0074) / 2 = = 41.1 x 10-9 m4



Osso fratturato per Torsione• L’intensità della coppia

applicata all’istante in cui avviene la frattura è M = 180 Nm.

• Quindi, il massimo sforzo tangenziale sulla superficie dell’Osso nella sezione aa può essere determinata come:

τ = M ro / JP = 180 x 0.013 /(41.1 x 10-9) =

= 56.9 x 10+6 Pa = 56.9 MPa



Osso fratturato per Torsione• Assumendo

– che il comportamento del materiale osseo sia elastico fino alla rottura e che quindi

– la relazione tra lo sforzo tangenziale e la deformazione di distorsione sia lineare,

• il modulo di rigidezza tangenziale può essere calcolato come:

G = τ / γ = 56.9 x 10+6 / 0.0123

= 4.6 x 10+9 Pa = 4.6 GPa



Combinazioni di carichi

• Le analisi dello sforzo discusse fino ad ora hanno riguardato– sforzi assiali (di trazione o compressione) dovuti a

• forza assiale o• momento flettente,

– sforzi tangenziali dovuti a• momento torcente o• forza trasversale,

nell’assunzione che queste condizioni di carico agissero una a alla volta.



Combinazioni di carichi

• Gli sforzi dovuti a queste condizioni di carico elementari possono essere calcolate con le formule seguenti:

– Forza assiale σa = Fa / Aa

– Forza trasversale τs = Fs / As

– Momento torcente τt = Mt r / Jp

– Momento flettente σb = Mb y / Ix



Combinazioni di carichi• Aa area della sezione trasversale della trave,

• As area equivalente di taglio = Aa x fattore di taglio (<1)

• Jp momento polare d’inerzia rispetto al centro d’area della sezione,

• Ix momento d’inerzia rispetto all’asse neutro della sezione,

• y distanza dall’asse neutro della sezione.



Combinazioni di carichi• Una trave può essere assoggettata a 2 o più di queste condizioni di

carico agenti simultaneamente.

• Per analizzare gli effetti complessivi di queste condizioni di carico, si devono determinare singolarmente gli sforzi generati in una certa sezione della trave da ciascuna condizione di carico agente separatamente dalle altre.

• Poi, gli sforzi assiali sono combinati (sommati o sottratti) tra di loro,e così pure gli sforzi tangenziali.

• Nel Cap. VII – BioStrutture artificiali è presentato un esempio relativo ad un chiodo intertrocatrerico.



Analisi sperimentale e computazionale

• Fino ad ora sono stati presentati esempi di analisi dello sforzo usando l’approccio del Cilindro di Saint-Venant.

• La semplicità della geometria e delle condizioni di carico in questi problemi consente di ottenere espressioni matematiche in forma chiusa per la distribuzione degli sforzi che sono ragionevolmente accurate in certe zone.

• Le equazioni possono essere applicate con continuità in una certa regione e sono tipiche delle soluzioni analitiche.



Problema elasto-statico linearizzato 3-D

• Dinamica– Equazioni di equilibrio locale

(3 eqq.):– Sji,j + bi = 0 in C (i,j = 1,2,3)– Condizioni al contorno:– Sjinj = gi in ∂C (i,j = 1,2,3)

• Cinematica (6 eqq.)Eij = ½ (di,j + dj,i) (i,j = 1,2,3)

• Risposta del materiale (6 eqq.)Sij = Cijhk Ehk (i,j,h,k = 1,2,3)




• Metodi analitici associati con le teorie dell’elasticità e della poroelasticità usano approcci matematici piùrigorosi.

• Anche questi metodi più complicati portano ad espressioni matematiche in forma chiusa che possono descrivere le distribuzioni delle sforzo e della deformazione in una certa regione.

• La principale limitazione dei metodi analitici è che, a causa della complessità matematica, è possibile trovare una soluzione solo per un relativamente piccolo numero di problemi semplici o idealizzati.




• Ad esempio, per le ossa lunghe soggette ad azioni– assiali,– flessionali– torcenti

• non sono disponibili soddisfacenti soluzioni analitiche della distribuzione dello sforzo alle estremitàdelle ossa.

• Inoltre, con la– crescente curvatura della diafisi e/o– con irregolarità della geometria della sezione,

• le soluzioni analitiche idealizzate per gli sforzi e le deformazioni nella parte mediana della diafisi diventano meno accurate.



Indagini sperimentali• Le intrinseche limitazioni dei metodi di analisi dello sforzo in forma chiusa

hanno fornito un fertile terreno per gli approcci sperimentali all’analisi degli sforzi.

• Le tecniche sperimentali che sono applicate nella meccanica delle Ossa sono state prese in prestito da più vaste e generali aree della Fisica e dell’Ingegneria.

• Gli approcci sperimentali comprendono apparecchiature per misurare direttamente o indirettamente quantità come carichi, pressioni, deformazioni e sforzi.

• Queste misure possono essere prese direttamente dall’Osso stesso.

• In alternativa, un modello sperimentale, talvolta realizzato con un altro materiale, può essere costruito e le misure fatte su quel modello.



Indagini sperimentali• Due dei metodi sperimentali più largamente utilizzati nelle

Meccanica dello Scheletro fanno uso degli strumenti di misura– “strain gage”– modelli fotoelastici

• Inoltre, in anni recenti sono state usate pellicole sensibili alla pressione per misurare le pressioni di contatto nelle Articolazioni di giunti di cadaveri che sono sollecitati in vitro.

• Sono state usate anche protesi ed impianti scheletrici strumentati per misurare le sollecitazioni subite da queste biostrutture.

• Sebbene alcune tecniche sperimentali hanno trovato un limitato so in vivo (strain gage), esse sono prevalentemente tecniche di laboratori in vitro.



Strain gage• Le strain gages sono state forse lo strumento

sperimentale più importante per documentare la sollecitazione in vivo del Tessuto osseo.

• Una strain gage è un dispositivo basato sulla resistenza elettrica usato per misurare la deformazione.

• Le strain gages sono fatte aderire alla superficie della struttura nel posto dove deve essere determinata la deformazione.



Strain gage• Il dispositivo misura la deformazione della superficie

allungandosi o contraendosi allorché la strutture alla quale è collegata si deforma a causa del carico applicato.

• Affinché la strain gage registri la deformazione, essa deve essere connessa ad un circuito elettrico.

• Il circuito elettrico è usato per misurare le piccole variazioni della resistenza elettrica che avvengono quando il dispositivo si deforma.



Strain gage uniassiale• La strain gage uniassiale

include un solo elemento e può misurare la deformazionesolo nella direzione parallela all’asse longitudinale del dispositivo (verticale in Figura).

• Se, ad es., una strain gageuniassiale è fatta aderire alla diafisi della Tibia con l’asse del dispositivo nella direzione verticale z, l’unica componente di deformazioneche può essere determinata èεzz.



Strain gage triassiale• La strain gage triassiale è

costituita da 3 strain gages uniassiali orientate a 120° l’una rispetto all’altra.

• Possono essere cosìdeterminate le deformazioni

ε(30°) = ε1ε(150°) = ε2ε(270°) = ε3



Strain gage triassiale• nelle 3 direzioni

n1T={Cos30°, Sen30°}

n2T={-Cos30°, Sen30°}

n3T= {0, -1}

• risolvendo il sistema algebrico lineare di 3 equazioni:

n1⋅En1 = ε1n2⋅En2 = ε2n3⋅En3 = ε3

nelle 3 incognite εyy, εzz, εyz, nel piano yz.



Strain gage triassiale• Queste 3 componenti

caratterizzano completamente lo stato di deformazione in un posto sulla superficie dell’Osso nel piano yz.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

zzzy

yzyyEεεεε



Strain gages• Le strain gages sono state applicate per misurare le

deformazioni fisiologiche (sia di allungamento o accorciamento sia di distorsione) in vivo nelle Ossa che sopportano il peso corporeo durante il moto, sia intorno sia lungo la corteccia.

• Questa tecnica soffre di alcune limitazioni:– si possano misurare le deformazioni sulla ma non sotto la

superficie;– non è possibile attaccare strain gages e registrare deformazioni

all’interno dell’Osso, poiché l’atto di inserire una strain gagesall’interno dell’Osso danneggerebbe l’Osso stesso e altererebbe lo stato di deformazione locale;

– la strain gages “sente” la deformazione mediata sopra l’area d’azione del dispositivo e non quella in un punto.



Strain gages• L’area d’azione del dispositivo per i dispositivi più piccoli

è circa 0.5 mm x 0.5 mm. L’apparecchiatura sulla quale è installata la strain gage è ancora più grande.

• Ciascun dispositivo misura la deformazione solo in una zona ristretta. L’acquisizione di una distribuzione globale di deformazione richiederebbe di attaccare dispositivi in molte posti, incontrando difficoltà pratiche:– il crescente costo dell’attrezzatura,– un’operazione chirurgica più lunga ed estesa per attaccare il

dispositivi,– il crescente rischio di infezione associata con incisioni più

larghe e/o più numerose.



Analisi fotoelastica• In questo approccio, si realizza un modello artificiale della

biostruttura, che viene sollecitato in laboratorio registrando le deformazioni con metodi ottici.

• Le deformazioni e gli sforzi nell’Osso reale vengono dedotti dai risultati del modello artificiale tenendo conto delle differenze tra le proprietà materiali del modello stesso e dell’Osso.

• Limitazioni:– materiali ed attrezzature particolari– laboriosità– analisi tridimensionale proibitiva– impossibilità dell’inserimento di disomogeità materiali nel modello

artificiale



Problema elasto-statico linearizzato 3-D

• Dinamica– Equazioni di equilibrio locale

(3 eqq.):– Sji,j + bi = 0 in C (i,j = 1,2,3)– Condizioni al contorno:– Sjinj = gi in ∂C (i,j = 1,2,3)

• Cinematica (6 eqq.)Eij = ½ (di,j + dj,i) (i,j = 1,2,3)

• Risposta del materiale (6 eqq.)Sij = Cijhk Ehk (i,j,h,k = 1,2,3)



Analisi numerica (FEM)• L’analisi fotoelastica è stata quasi del tutto sostituita dal Metodo

degli Elementi Finiti per l’analisi numerica delle deformazioni e dello sforzo nei Tessuti duri (Cap. VIII – BioMeccanica computazionale).

• Il FEM è un approccio basato sull’uso del computer per ottenere soluzioni numeriche approssimate di problemi complicati.

• Il FEM fornisce la possibilità di analizzare problemi altrimenti intrattabili (ad es., mediante strategie analitiche o sperimentali).

• Le più antiche applicazioni del FEM possono essere fatte risalire all’Industria aerospaziale negli anni ’50.

• Tuttavia, non fu prima dei primi anni ’70 che la tecnica fu usata per la prima volta in BioMeccanica.



Il Metodo degli Elementi Finiti• In estrema sintesi, il

Metodo degli Elementi Finiti consiste nel

• sostituire un sistema complicato di equazioni differenziali, provenienti dall’approccio analitico,

• con un sistema di numerose equazioni algebriche che può essere risolto con l’ausilio del computer.



Il Metodo degli Elementi Finiti• Il Metodo degli Elementi Finiti

prende il suo nome dal processo matematico di dividere una struttura in un numero finito di sottoregioni o elementi. Ciascun elemento èconnesso agli elementi contigui in corrispondenza di uno o più nodi.

• Questo processo di dividere la struttura in nodi e elementi per generare un reticolo di elementi di dimensioni finite (e non infinitesime) è detto discretizzazione.



Il Metodo degli Elementi Finiti• Il termine discretizzazione ci

rammenta che la soluzione ottenuta da un’analisi agli elementi finiti non si applica in ogni singolo posto all’interno della struttura originaria. Piuttosto, la soluzione FEM si applica soltanto in posizioni discrete.

• Gli spostamenti, ad esempio, sono calcolati in corrispondenza dei punti nodali.

• Gli sforzi (e le deformazioni) sono calcolate più accuratamente in posti speciali all’interno di ogni elemento.



Effetto del danno sulla distribuzione degli sforzi tangenziali dovuti al momento torcente

• rm = (re + ri) / 2• t = (re - ri) • rm > 10 t

• A,τmax = T / (2πrm

2t)

• B,τmax = 3T / (2πrmt3)



Curve momento torcente-torsioneper Tibia di uomo adulto

• La prova è stata effettuata in vitro.

• La curva “control”rappresenta una Tibia esente da difetti;

• la curva “open section”rappresenta una Tibia con difetto che interrompe la connessione della sezione, rendendola “aperta”.



Effetto dello stimolo meccanico• Gli sforzi/deformazioni assiali e tangenziali in una sezione trasversale di

una trave caricata in torsione e flessione in piani multipli sono nulle al centro ed aumentano in funzione della distanza dal centro della sezione.

• Gli sforzi, le deformazioni, e lo stimolo sono pertanto sempre maggiori sulla superficie esterna, il periostio dell’osso.

• Nel femore adulto, la velocità di espansione della superficie esterna è di circa 0.8 µm/giorno.

• I raggi del periostio e dell’endòstio continuano ad espandersi ad una velocità bassa ma significativa fino alla maturità.

• L’osso sulla superficie interna è esposto ad uno stimolo dello sforzo minore di quello sulla superficie esterna e, dopo la maturità, l’osso interno è generalmente riassorbito – anche se ad una velocità molto bassa.



Adattamento all’ambiente• In ogni ambiente considerato, le deformazioni nell’osso

create sulla superficie del periostio hanno sempre circa la medesima intensità; questa constatazione indica che la struttura ossea si adatta alle esigenze meccaniche dell’ambiente in cui si trova.

• L’adattamento funzionale delle ossa mature ai cambiamenti di carico porta ad una forma dell’osso che causa in vivo deformazioni che hanno circa la medesima intensità di quelle trovate nel periodo dello sviluppo. Le strutture ossee che sono prodotte sono pertanto appropriate per i carichi che di solito si incontrano.



Adattamento all’ambiente• La crescita e l’adattamento dirette dalla deformazione

sono ottenute attraverso cambiamenti nel modulo di resistenza della sezione. Ossa con raggi del periostio e dell’endòstio molto diversi hanno il medesimo modulo di resistenza a flessione– 2Ix / h per la sezione rettangolare– Ix / ro per la corona circolare

e pertanto le medesime deformazioni del periostio in vivo.

• Nell’intervallo d’età che va dai 30 ai 60 anni, l’osso maschile normale ha un diametro di circa 32 mm e uno spessore corticale di 5 mm.