Représentations algébriques des codes convolutifs et desturbocodes pour le décodage par Propagation de
Croyance
Rodrigue Imad
26 octobre 2006
Encadrants : Charly PoulliatDavid Declercq
Laboratoire d’accueil : ETIS - UMR 8051
Introduction
Décodeur MAP : décodeur à sortie souple pour les codes convolutifset les turbocodes
Décodeur BP pour les codes en bloc linéaires définis par une matricede parité creuse
Matrice de parité des codes convolutifs et des turbocodes calculée
−→ Décodage des codes convolutifs et turbocodes par le BP
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Plan
1 Représentations Algébriques des codes convolutifs
2 Décodage des codes convolutifs
3 Turbocodes : Représentation algébrique et décodage associé
4 Conclusion et perspectives
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Plan
1 Représentations Algébriques des codes convolutifs
2 Décodage des codes convolutifs
3 Turbocodes : Représentation algébrique et décodage associé
4 Conclusion et perspectives
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Introduction
Principe et définitions :
codage de K bits d’information en N bits à l’aide d’un registre àdécalage
Rendement : R = K/NLongueur de contrainte : ν = m + 1Polynômes générateurs
Représentation :
Diagramme d’étatsDiagramme en treillisDiagramme en arbre
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Matrice génératrice du code convolutif
Entrées et sorties du codeur sous forme polynômiale
u(D) = · · ·+ u−1D−1 + u0 + u1D + u2D2 + · · ·v(D) = · · ·+ v−1D−1 + v0 + v1D + v2D2 + · · ·
Fonction de transfert pour un codeur à une entrée et une sortie :
��������
����
��������
����
����
�� ���� ���� ������������u w w w
f f
q q
v
j
j
fm−1 m
f
21
0 1
j−2j−1 j−m
qm
v(D) = u(D)f (D)/q(D) = u(D)f0 + f1D + · · ·+ fmDm
1 + q1D + · · ·+ qmDm= u(D)g(D)
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Matrice génératrice du code convolutif
En généralisant à un codeur de rendement K/N, ayant K entrées etN sorties
v(D) = u(D)G (D)
v(1)
v(2)
u
Exemples :code (1,5/7) systématique, récursif
G(D) =
„1 1+D
2
1+D+D2
«
v(1)
v(2)
u code (15,17)G(D) =
“1 + D + D3 1 + D + D2 + D3
”
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Forme de Smith de la matrice génératrice
G (D) = A(D)Γ(D)B(D)
G (D) −→ Γ(D) :Permutation de deux lignes (ou colonnes)Addition des éléments d’une ligne (ou colonne) multipliés par unpolynôme p(D), aux éléments d’une autre ligne (ou colonne)
Γ(D) =
γ1(D)γ2(D)
. . .
γr (D)0
. . .
0 . . . 0
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Matrice de Parité d’un code convolutif
B(D) : (produit des matrices post-multiplicatrices) inversible
HT (D) = dernières (N − K ) colonnes de B−1(D)HT (D) = HT0 + H
T1 D + · · ·+ HTms D
ms
où HTi , 0 ≤ i ≤ ms , est une matrice de dimensions N × (N − K )
=⇒ HT =
HT0 H
T1 . . . H
Tms
HT0 HT1 . . . H
Tms
. . .. . .
. . .
Autre représentation de la matrice de parité
bits non altérnés : H = [H2 H1]
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Matrice de Parité d’un code convolutif
Exemple : code (15,17)
G(D) =“1 + D + D3 1 + D + D2 + D3
”⇒ HT (D) =
„1 + D + D2 + D3
1 + D + D3
«
1re représentation :
H =
0BBBBBBBBBBB@
1 11 1 1 11 0 1 1 1 11 1 1 0 1 1 1 1
1 1 1 0 1 11 1 1 0
1 1
. . .. . .
1CCCCCCCCCCCA
2e représentation : H = [H2 H1] où
H2 =
0BBBBBBBBB@
11 11 1 11 1 1
1 11
. . .
1CCCCCCCCCAet H1 =
0BBBBBBBBB@
11 10 1 11 0 1
1 01
. . .
1CCCCCCCCCA
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Plan
1 Représentations Algébriques des codes convolutifs
2 Décodage des codes convolutifs
3 Turbocodes : Représentation algébrique et décodage associé
4 Conclusion et perspectives
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Algorithmes de décodage
Algorithme de Viterbi
Recherche de la séquence des blocs d’information la plus vraisemblable
Algorithme BCJR
A chaque instant, symbole d’information le plus probable→ Minimisation de la probabilité d’erreur sur les symboles
Critère MAP :d̂k = arg max
dkp(d̂k/y)
Algorithme simplifié : Max-Log-MAP
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Décodage par Propagation de Croyance (BP)
Matrice de parité des codes convolutifs déterminée→ Décodage par BP
Algoritme BP classique
Propagation des messages tout au long du graphe factoriel associé à Hitératif :
noeud de variable
noeud de parité
v
u
Mise à jour des noeuds de variableMise à jour des noeuds de parité→ Probabilité a posteriori de chaque bit
Graphe avec cycles→ Dégradation des performances du BP classique
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BP sur les groupes 1
Représentation des mots de code dans un groupe G = Zp2Nouvelle forme de l’équation de parité :∑
i
hi (vi ) ≡ 0
Bit Clustering → Résolution conjointe de p équations de paritéRéduction du nombre de cycles → Amélioration des performances
1A. GOUPIL, M. COLAS, G. GELLE, D. DECLERCQ, ’FFT-based BP Decoding ofGeneral LDPC Codes over Abelian Groups’, à parâıtre dans IEEE Trans. Comm.
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Résultats et comparaison
Code convolutif de rendement 1/2 : pmin =ν−1R = 2(ν − 1)
Code (1,5/7) systématique récursif
0BBBBBBBBBBBBBBBBB@
1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1
1CCCCCCCCCCCCCCCCCA
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Résultats et comparaison
Blocs de 432 bits d’information
1 2 3 4 5 6 7 810
−4
10−3
10−2
10−1
100
Eb/No(dB)
Fra
me
Err
or R
ate
BCJRBP sur Z
22
BP sur Z24
BP sur Z29
BP sur Z22, bits non alter.
BP sur Z24, bits non alter.
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Résultats et comparaison
Code (1,23/35) : HT (D) =„
1 + D3 + D4
1 + D + D2 + D4
«Graphe sans cycle :pmin = 8
1 2 3 4 5 6 7 810
−4
10−3
10−2
10−1
100
Eb/No(dB)
Fra
me
Err
or R
ate
BCJRBP sur Z
22
BP sur Z24
BP sur Z28
BP sur Z29
Rodrigue Imad () Séminaire TAMCIC 26 octobre 2006 17 / 31
Résultats et comparaison
Code (561,753) : HT (D) =„
1 + D + D2 + D3 + D5 + D7 + D8
1 + D2 + D3 + D4 + D8
«Graphe sans cycle :pmin = 16
1 2 3 4 5 6 7 810
−4
10−3
10−2
10−1
100
Eb/No(dB)
Fra
me
Err
or R
ate
BCJRBP sur Z
22
BP sur Z24
BP sur Z29
BP sur Z22, bits non alter.
BP sur Z24, bits non alter.
Rodrigue Imad () Séminaire TAMCIC 26 octobre 2006 18 / 31
Résultats et comparaison
Code convolutif duo-binaire :
��
��
��
��
��
��
����������di,1
i,2d
yi
G (D) =
(1 0 1+D
2+D3
1+D+D3
0 1 1+D+D2+D3
1+D+D3
)
HT (D) =
1 + D2 + D31 + D + D2 + D31 + D + D3
H =
0BBBBBBBBBBBBBBBBB@
1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 00 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1
. . .. . .
1CCCCCCCCCCCCCCCCCA
Rodrigue Imad () Séminaire TAMCIC 26 octobre 2006 19 / 31
Résultats et comparaison
1 2 3 4 5 6 710
−4
10−3
10−2
10−1
100
Eb/No(dB)
Fra
me
Err
or R
ate
BCJRBP sur Z
29
BP sur Z29, bits non alter.
Rodrigue Imad () Séminaire TAMCIC 26 octobre 2006 20 / 31
Plan
1 Représentations Algébriques des codes convolutifs
2 Décodage des codes convolutifs
3 Turbocodes : Représentation algébrique et décodage associé
4 Conclusion et perspectives
Rodrigue Imad () Séminaire TAMCIC 26 octobre 2006 21 / 31
Introduction aux turbocodes
��������
��������
��������
��������
code RSC C
code RSC C
redondance
uniforme
entrelaceur
non
X k
Y1k
Y2k
dn
sortie systématiquedonnée dk
1
2
Codage
Concaténation de deux codeurs RSC
Décodage : MAP itératif
Echange d’information extrinsèque
Turbocodes non binaires
Meilleure convergence du processus itératif → Meilleures performances
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Matrice de parité des turbocodes
Matrice de parité des codes élémentaires :
Hconv = [H2 H1]
mot de code :[u v v ′]u :entrée du turbocodeurv , v ′ :sorties des deux codeurs RSC
Matrice de parité du turbocode :
H =
[H2 H1 0
H2ΠT 0 H1
]ΠT :transposée de la matrice de permutation.
Dégradation possible des performances du BP
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Résultats et comparaison
Turbocode binaire de polynômes générateurs (1,23/35)
H2 =
0BBBBBBBBBBBBB@
10 10 0 11 0 0 11 1 0 0
1 1 01 1
1
. . .
1CCCCCCCCCCCCCAet H1 =
0BBBBBBBBBBBBB@
11 11 1 10 1 1 11 0 1 1
1 0 11 0
1
. . .
1CCCCCCCCCCCCCA
Rendement en abscence de poinçonnage : R = 1/3K bits d’information → dimensions de H :2K × 3K
H2 H1
H=
H H0π2 1T
K
K
3K
K KK
0
Permutation quasi-régulière :i = π(j) = (P.j + Q(j) + 1) mod K
Rodrigue Imad () Séminaire TAMCIC 26 octobre 2006 24 / 31
Résultats et comparaison
FER pour des blocs de 432 bits d’information
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 410
−6
10−5
10−4
10−3
10−2
10−1
100
Eb/No(dB)
Fra
me
Err
or R
ate
BCJR (3 iter.)BP sur Z
24
Rodrigue Imad () Séminaire TAMCIC 26 octobre 2006 25 / 31
Résultats et comparaison
Turbocode duo-binaire
H2 =
0BBBBBBBBBBB@
1 10 1 1 11 1 0 1 1 11 1 1 1 0 1 1 1
1 1 1 1 0 11 1 1 1
1 1
. . .
1CCCCCCCCCCCAet H1 =
0BBBBBBBBBBB@
11 10 1 11 0 1 1
1 0 11 0
1
. . .
1CCCCCCCCCCCA
Rendement en abscence de poinçonnage : R = 1/2
H1H2
H π2 T 0 1
0
H=
K
2K
K/2 K/2
K/2
K/2H
Permutation inter-symbole quasi-régulière
Rodrigue Imad () Séminaire TAMCIC 26 octobre 2006 26 / 31
Résultats et comparaison
FER pour des blocs de 424 bits d’information
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 410
−6
10−5
10−4
10−3
10−2
10−1
100
Eb/No(dB)
Fra
me
Err
or R
ate
BCJR (8 iter.)BP sur Z
22
BP sur Z24
BP sur Z28
Rodrigue Imad () Séminaire TAMCIC 26 octobre 2006 27 / 31
Résultats et comparaison
FER pour des blocs de 432 bits d’information
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 410
−6
10−5
10−4
10−3
10−2
10−1
100
Eb/No(dB)
Fra
me
Err
or R
ate
BCJR (8 iter.)BP sur Z
22
BP sur Z28
BP sur Z29
Rodrigue Imad () Séminaire TAMCIC 26 octobre 2006 28 / 31
Plan
1 Représentations Algébriques des codes convolutifs
2 Décodage des codes convolutifs
3 Turbocodes : Représentation algébrique et décodage associé
4 Conclusion et perspectives
Rodrigue Imad () Séminaire TAMCIC 26 octobre 2006 29 / 31
Conclusion et perspectives
Nombre important de cycles si BP ’classique’ utilisé→ Décodage BP sur les groupes
codes convolutifs : performances quasi identiques en absence de cycles
Turbocodes : Dégradation dans les performances du BP qui diminueavec p
Suite à ce stage...
Recherche d’un entrelaceur spécifique
Application du ’Tail-Biting’
Etude de la complexité du BP
Rodrigue Imad () Séminaire TAMCIC 26 octobre 2006 30 / 31
Questions ?
Rodrigue Imad () Séminaire TAMCIC 26 octobre 2006 31 / 31
Représentations Algébriques des codes convolutifsDécodage des codes convolutifsTurbocodes: Représentation algébrique et décodage associéConclusion et perspectives
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