Outline
RELASI DAN FUNGSI(Kajian tentang karakteristik, operasi,
representasi fungsi)
Drs. Antonius Cahya Prihandoko, M.App.Sc
PS. Pendidikan Matematika FKIPPS. Sistem Informasi
University of JemberIndonesia
Jember, 2009
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Outline
Outline
1 Relasi, Fungsi dan KomputasiRelasiFungsiMacam Fungsi
2 Komposisi Fungsi dan Fungsi InversKomposisi FungsiFungsi Invers
3 Fungsi dan Bahasa PemrogramanFungsi dalam Bahasa Pemrograman
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Outline
Outline
1 Relasi, Fungsi dan KomputasiRelasiFungsiMacam Fungsi
2 Komposisi Fungsi dan Fungsi InversKomposisi FungsiFungsi Invers
3 Fungsi dan Bahasa PemrogramanFungsi dalam Bahasa Pemrograman
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Outline
Outline
1 Relasi, Fungsi dan KomputasiRelasiFungsiMacam Fungsi
2 Komposisi Fungsi dan Fungsi InversKomposisi FungsiFungsi Invers
3 Fungsi dan Bahasa PemrogramanFungsi dalam Bahasa Pemrograman
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa Pemrograman
RelasiFungsiMacam Fungsi
Pengertian Relasi
Definisi
Relasi (R) dari himpunan A ke himpunan B adalah himpunanbagian tak kosong dari hasil perkalian himpunan A dan B, yaitu
R ⊆ A× B
Contoh
relasi ”gemar” yang menghubungkan himpunan manusiadengan himpunan cabang olah raga; Watik gemar voli,Ipung gemar sepak bola, Andri gemar tenis meja
relasi ”terletak di” antara himpunan kota dengan himpunanpropinsi; Jember terletak di Jawa Timur, Klaten terletak diJawa Tengah, Denpasar terletak di Bali
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa Pemrograman
RelasiFungsiMacam Fungsi
Pengertian Relasi
Definisi
Relasi (R) dari himpunan A ke himpunan B adalah himpunanbagian tak kosong dari hasil perkalian himpunan A dan B, yaitu
R ⊆ A× B
Contoh
relasi ”gemar” yang menghubungkan himpunan manusiadengan himpunan cabang olah raga; Watik gemar voli,Ipung gemar sepak bola, Andri gemar tenis meja
relasi ”terletak di” antara himpunan kota dengan himpunanpropinsi; Jember terletak di Jawa Timur, Klaten terletak diJawa Tengah, Denpasar terletak di Bali
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa Pemrograman
RelasiFungsiMacam Fungsi
Pengertian Relasi
Definisi
Relasi (R) dari himpunan A ke himpunan B adalah himpunanbagian tak kosong dari hasil perkalian himpunan A dan B, yaitu
R ⊆ A× B
Contoh
relasi ”gemar” yang menghubungkan himpunan manusiadengan himpunan cabang olah raga; Watik gemar voli,Ipung gemar sepak bola, Andri gemar tenis meja
relasi ”terletak di” antara himpunan kota dengan himpunanpropinsi; Jember terletak di Jawa Timur, Klaten terletak diJawa Tengah, Denpasar terletak di Bali
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa Pemrograman
RelasiFungsiMacam Fungsi
Pengertian Relasi
Definisi
Relasi (R) dari himpunan A ke himpunan B adalah himpunanbagian tak kosong dari hasil perkalian himpunan A dan B, yaitu
R ⊆ A× B
Contoh
relasi ”gemar” yang menghubungkan himpunan manusiadengan himpunan cabang olah raga; Watik gemar voli,Ipung gemar sepak bola, Andri gemar tenis meja
relasi ”terletak di” antara himpunan kota dengan himpunanpropinsi; Jember terletak di Jawa Timur, Klaten terletak diJawa Tengah, Denpasar terletak di Bali
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa Pemrograman
RelasiFungsiMacam Fungsi
Relasi pada Sebuah Himpunan
Relasi biner
Sebuah relasi yang didefinisikan pada himpunan A merupakansebuah subset pada A× A
Contoh
nyatakan relasi kurang dari pada himpunan A = {1, 2, 3, 4}sebagai himpunan pasangan terurut.
gambarlah representasi grafis (diagram) dari relasitersebut.
konstruksilah matriks relasi untuk relasi tersebut.
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa Pemrograman
RelasiFungsiMacam Fungsi
Relasi pada Sebuah Himpunan
Relasi biner
Sebuah relasi yang didefinisikan pada himpunan A merupakansebuah subset pada A× A
Contoh
nyatakan relasi kurang dari pada himpunan A = {1, 2, 3, 4}sebagai himpunan pasangan terurut.
gambarlah representasi grafis (diagram) dari relasitersebut.
konstruksilah matriks relasi untuk relasi tersebut.
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa Pemrograman
RelasiFungsiMacam Fungsi
Relasi pada Sebuah Himpunan
Relasi biner
Sebuah relasi yang didefinisikan pada himpunan A merupakansebuah subset pada A× A
Contoh
nyatakan relasi kurang dari pada himpunan A = {1, 2, 3, 4}sebagai himpunan pasangan terurut.
gambarlah representasi grafis (diagram) dari relasitersebut.
konstruksilah matriks relasi untuk relasi tersebut.
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa Pemrograman
RelasiFungsiMacam Fungsi
Relasi pada Sebuah Himpunan
Relasi biner
Sebuah relasi yang didefinisikan pada himpunan A merupakansebuah subset pada A× A
Contoh
nyatakan relasi kurang dari pada himpunan A = {1, 2, 3, 4}sebagai himpunan pasangan terurut.
gambarlah representasi grafis (diagram) dari relasitersebut.
konstruksilah matriks relasi untuk relasi tersebut.
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa Pemrograman
RelasiFungsiMacam Fungsi
Relasi pada Sebuah Himpunan
Relasi biner
Sebuah relasi yang didefinisikan pada himpunan A merupakansebuah subset pada A× A
Contoh
nyatakan relasi kurang dari pada himpunan A = {1, 2, 3, 4}sebagai himpunan pasangan terurut.
gambarlah representasi grafis (diagram) dari relasitersebut.
konstruksilah matriks relasi untuk relasi tersebut.
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa Pemrograman
RelasiFungsiMacam Fungsi
Macam-macam relasi dalam sebuah himpunan
Jika R adalah sebuah relasi pada himpunan A
1 R adalah refleksif jika xRx ,∀x ∈ A2 R adalah irrefleksif jika 6 ∃x ∈ A, (xRx)
3 R adalah simetris jika (xRy) ⇒ (yRx),∀x ∈ A4 R adalah antisimetris jika
[(xRy) ∧ (yRx)] ⇒ x = y ,∀x , y ∈ A5 R adalah transitif jika [(xRy) ∧ (yRz)] ⇒ (xRz),∀x , y , z ∈ A
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa Pemrograman
RelasiFungsiMacam Fungsi
Macam-macam relasi dalam sebuah himpunan
Jika R adalah sebuah relasi pada himpunan A
1 R adalah refleksif jika xRx ,∀x ∈ A2 R adalah irrefleksif jika 6 ∃x ∈ A, (xRx)
3 R adalah simetris jika (xRy) ⇒ (yRx),∀x ∈ A4 R adalah antisimetris jika
[(xRy) ∧ (yRx)] ⇒ x = y ,∀x , y ∈ A5 R adalah transitif jika [(xRy) ∧ (yRz)] ⇒ (xRz),∀x , y , z ∈ A
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa Pemrograman
RelasiFungsiMacam Fungsi
Macam-macam relasi dalam sebuah himpunan
Jika R adalah sebuah relasi pada himpunan A
1 R adalah refleksif jika xRx ,∀x ∈ A2 R adalah irrefleksif jika 6 ∃x ∈ A, (xRx)
3 R adalah simetris jika (xRy) ⇒ (yRx),∀x ∈ A4 R adalah antisimetris jika
[(xRy) ∧ (yRx)] ⇒ x = y ,∀x , y ∈ A5 R adalah transitif jika [(xRy) ∧ (yRz)] ⇒ (xRz),∀x , y , z ∈ A
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa Pemrograman
RelasiFungsiMacam Fungsi
Macam-macam relasi dalam sebuah himpunan
Jika R adalah sebuah relasi pada himpunan A
1 R adalah refleksif jika xRx ,∀x ∈ A2 R adalah irrefleksif jika 6 ∃x ∈ A, (xRx)
3 R adalah simetris jika (xRy) ⇒ (yRx),∀x ∈ A4 R adalah antisimetris jika
[(xRy) ∧ (yRx)] ⇒ x = y ,∀x , y ∈ A5 R adalah transitif jika [(xRy) ∧ (yRz)] ⇒ (xRz),∀x , y , z ∈ A
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa Pemrograman
RelasiFungsiMacam Fungsi
Macam-macam relasi dalam sebuah himpunan
Jika R adalah sebuah relasi pada himpunan A
1 R adalah refleksif jika xRx ,∀x ∈ A2 R adalah irrefleksif jika 6 ∃x ∈ A, (xRx)
3 R adalah simetris jika (xRy) ⇒ (yRx),∀x ∈ A4 R adalah antisimetris jika
[(xRy) ∧ (yRx)] ⇒ x = y ,∀x , y ∈ A5 R adalah transitif jika [(xRy) ∧ (yRz)] ⇒ (xRz),∀x , y , z ∈ A
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa Pemrograman
RelasiFungsiMacam Fungsi
Macam-macam relasi dalam sebuah himpunan
Jika R adalah sebuah relasi pada himpunan A
1 R adalah refleksif jika xRx ,∀x ∈ A2 R adalah irrefleksif jika 6 ∃x ∈ A, (xRx)
3 R adalah simetris jika (xRy) ⇒ (yRx),∀x ∈ A4 R adalah antisimetris jika
[(xRy) ∧ (yRx)] ⇒ x = y ,∀x , y ∈ A5 R adalah transitif jika [(xRy) ∧ (yRz)] ⇒ (xRz),∀x , y , z ∈ A
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa Pemrograman
RelasiFungsiMacam Fungsi
Identifikasi
Klasifikasikan!
”saudara perempuan dari”
”ayah dari”
”memiliki orangtua yang sama dengan”
pada himpunan semua manusia
Klasifikasikan!
”kurang dari atau sama dengan”
”terbagi oleh”
”memiliki kesamaan parity dengan”
pada himpunan bilangan bulat, Z
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa Pemrograman
RelasiFungsiMacam Fungsi
Identifikasi
Klasifikasikan!
”saudara perempuan dari”
”ayah dari”
”memiliki orangtua yang sama dengan”
pada himpunan semua manusia
Klasifikasikan!
”kurang dari atau sama dengan”
”terbagi oleh”
”memiliki kesamaan parity dengan”
pada himpunan bilangan bulat, Z
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa Pemrograman
RelasiFungsiMacam Fungsi
Identifikasi
Klasifikasikan!
”saudara perempuan dari”
”ayah dari”
”memiliki orangtua yang sama dengan”
pada himpunan semua manusia
Klasifikasikan!
”kurang dari atau sama dengan”
”terbagi oleh”
”memiliki kesamaan parity dengan”
pada himpunan bilangan bulat, Z
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa Pemrograman
RelasiFungsiMacam Fungsi
Identifikasi
Klasifikasikan!
”saudara perempuan dari”
”ayah dari”
”memiliki orangtua yang sama dengan”
pada himpunan semua manusia
Klasifikasikan!
”kurang dari atau sama dengan”
”terbagi oleh”
”memiliki kesamaan parity dengan”
pada himpunan bilangan bulat, Z
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa Pemrograman
RelasiFungsiMacam Fungsi
Identifikasi
Klasifikasikan!
”saudara perempuan dari”
”ayah dari”
”memiliki orangtua yang sama dengan”
pada himpunan semua manusia
Klasifikasikan!
”kurang dari atau sama dengan”
”terbagi oleh”
”memiliki kesamaan parity dengan”
pada himpunan bilangan bulat, Z
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa Pemrograman
RelasiFungsiMacam Fungsi
Identifikasi
Klasifikasikan!
”saudara perempuan dari”
”ayah dari”
”memiliki orangtua yang sama dengan”
pada himpunan semua manusia
Klasifikasikan!
”kurang dari atau sama dengan”
”terbagi oleh”
”memiliki kesamaan parity dengan”
pada himpunan bilangan bulat, Z
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa Pemrograman
RelasiFungsiMacam Fungsi
Identifikasi
Klasifikasikan!
”saudara perempuan dari”
”ayah dari”
”memiliki orangtua yang sama dengan”
pada himpunan semua manusia
Klasifikasikan!
”kurang dari atau sama dengan”
”terbagi oleh”
”memiliki kesamaan parity dengan”
pada himpunan bilangan bulat, Z
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa Pemrograman
RelasiFungsiMacam Fungsi
Identifikasi
Klasifikasikan!
”saudara perempuan dari”
”ayah dari”
”memiliki orangtua yang sama dengan”
pada himpunan semua manusia
Klasifikasikan!
”kurang dari atau sama dengan”
”terbagi oleh”
”memiliki kesamaan parity dengan”
pada himpunan bilangan bulat, Z
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa Pemrograman
RelasiFungsiMacam Fungsi
Relasi Ekivalensi
Definisi
Sebuah relasi yang bersifat refleksif, simetris dan transitifdisebut relasi ekivalensi
Relasi ekivalensi pada sebuah himpunan A
memunculkan kelas-kelas ekivalensi. Misalnya untuk suatux ∈ A, maka kelas ekivalensi x adalah [x ] = {y ∈ A|yRx}
Contoh
Relasi ”memiliki kesamaan parity dengan” pada himpunanbilangan bulat menjadikan himpunan ini terbagi ke dalam 2kelas ekivalensi yakni [0] dan [1]. Kelas [0] berisikan semuabilangan genap dan kelas [1] berisikan semua bilangan ganjil.
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa Pemrograman
RelasiFungsiMacam Fungsi
Relasi Ekivalensi
Definisi
Sebuah relasi yang bersifat refleksif, simetris dan transitifdisebut relasi ekivalensi
Relasi ekivalensi pada sebuah himpunan A
memunculkan kelas-kelas ekivalensi. Misalnya untuk suatux ∈ A, maka kelas ekivalensi x adalah [x ] = {y ∈ A|yRx}
Contoh
Relasi ”memiliki kesamaan parity dengan” pada himpunanbilangan bulat menjadikan himpunan ini terbagi ke dalam 2kelas ekivalensi yakni [0] dan [1]. Kelas [0] berisikan semuabilangan genap dan kelas [1] berisikan semua bilangan ganjil.
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa Pemrograman
RelasiFungsiMacam Fungsi
Relasi Ekivalensi
Definisi
Sebuah relasi yang bersifat refleksif, simetris dan transitifdisebut relasi ekivalensi
Relasi ekivalensi pada sebuah himpunan A
memunculkan kelas-kelas ekivalensi. Misalnya untuk suatux ∈ A, maka kelas ekivalensi x adalah [x ] = {y ∈ A|yRx}
Contoh
Relasi ”memiliki kesamaan parity dengan” pada himpunanbilangan bulat menjadikan himpunan ini terbagi ke dalam 2kelas ekivalensi yakni [0] dan [1]. Kelas [0] berisikan semuabilangan genap dan kelas [1] berisikan semua bilangan ganjil.
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa Pemrograman
RelasiFungsiMacam Fungsi
Partisi
Definisi
Misalkan A adalah sebuah himpunan. Sebuah partisi terhadaphimpunan A merupakan sebuah himpunan yang berisikansubset-subset dari A sedemikian hingga setiap elemen dari Amerupakan sebuah elemen pada tepat satu subset.
Secara teknis
Jika {A1, A2, ..., An} merupakan partisi dari himpunan A maka1 A1, A2, ..., An merupakan subset-subset dari A yang saling
asing2 A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An = A
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa Pemrograman
RelasiFungsiMacam Fungsi
Partisi
Definisi
Misalkan A adalah sebuah himpunan. Sebuah partisi terhadaphimpunan A merupakan sebuah himpunan yang berisikansubset-subset dari A sedemikian hingga setiap elemen dari Amerupakan sebuah elemen pada tepat satu subset.
Secara teknis
Jika {A1, A2, ..., An} merupakan partisi dari himpunan A maka1 A1, A2, ..., An merupakan subset-subset dari A yang saling
asing2 A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An = A
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa Pemrograman
RelasiFungsiMacam Fungsi
Partisi
Definisi
Misalkan A adalah sebuah himpunan. Sebuah partisi terhadaphimpunan A merupakan sebuah himpunan yang berisikansubset-subset dari A sedemikian hingga setiap elemen dari Amerupakan sebuah elemen pada tepat satu subset.
Secara teknis
Jika {A1, A2, ..., An} merupakan partisi dari himpunan A maka1 A1, A2, ..., An merupakan subset-subset dari A yang saling
asing2 A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An = A
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa Pemrograman
RelasiFungsiMacam Fungsi
Partisi
Definisi
Misalkan A adalah sebuah himpunan. Sebuah partisi terhadaphimpunan A merupakan sebuah himpunan yang berisikansubset-subset dari A sedemikian hingga setiap elemen dari Amerupakan sebuah elemen pada tepat satu subset.
Secara teknis
Jika {A1, A2, ..., An} merupakan partisi dari himpunan A maka1 A1, A2, ..., An merupakan subset-subset dari A yang saling
asing2 A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An = A
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa Pemrograman
RelasiFungsiMacam Fungsi
Relasi Ekivalensi dan Partisi
Teorema
Misalkan A adalah sebuah himpunan, dan R adalah sebuahrelasi ekivalensi pada A. Untuk setiap elemen x ∈ A, misalkanE(x) = {y ∈ A|yRx}. Maka {E(x)|x ∈ A} merupakan sebuahpartisi terhadap A.
Bukti
Teorema tersebut terbukti kebenarannya dengan dipenuhinyakedua aksioma berikut:
1 (E(x) 6= E(y)) ⇒ (E(x) ∩ E(y) = φ)
2 jika a ∈ A maka a ∈ E(a)
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa Pemrograman
RelasiFungsiMacam Fungsi
Relasi Ekivalensi dan Partisi
Teorema
Misalkan A adalah sebuah himpunan, dan R adalah sebuahrelasi ekivalensi pada A. Untuk setiap elemen x ∈ A, misalkanE(x) = {y ∈ A|yRx}. Maka {E(x)|x ∈ A} merupakan sebuahpartisi terhadap A.
Bukti
Teorema tersebut terbukti kebenarannya dengan dipenuhinyakedua aksioma berikut:
1 (E(x) 6= E(y)) ⇒ (E(x) ∩ E(y) = φ)
2 jika a ∈ A maka a ∈ E(a)
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa Pemrograman
RelasiFungsiMacam Fungsi
Relasi Ekivalensi dan Partisi
Teorema
Misalkan A adalah sebuah himpunan, dan R adalah sebuahrelasi ekivalensi pada A. Untuk setiap elemen x ∈ A, misalkanE(x) = {y ∈ A|yRx}. Maka {E(x)|x ∈ A} merupakan sebuahpartisi terhadap A.
Bukti
Teorema tersebut terbukti kebenarannya dengan dipenuhinyakedua aksioma berikut:
1 (E(x) 6= E(y)) ⇒ (E(x) ∩ E(y) = φ)
2 jika a ∈ A maka a ∈ E(a)
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa Pemrograman
RelasiFungsiMacam Fungsi
Relasi Ekivalensi dan Partisi
Teorema
Misalkan A adalah sebuah himpunan, dan R adalah sebuahrelasi ekivalensi pada A. Untuk setiap elemen x ∈ A, misalkanE(x) = {y ∈ A|yRx}. Maka {E(x)|x ∈ A} merupakan sebuahpartisi terhadap A.
Bukti
Teorema tersebut terbukti kebenarannya dengan dipenuhinyakedua aksioma berikut:
1 (E(x) 6= E(y)) ⇒ (E(x) ∩ E(y) = φ)
2 jika a ∈ A maka a ∈ E(a)
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa Pemrograman
RelasiFungsiMacam Fungsi
Relasi Ekivalensi dan Partisi
Contoh:
Misalkan R adalah relasi pada himpunan bilangan bulatdengan aturan xRy jika x − y terbagi oleh 4.
1 Buktikan bahwa R relasi ekivalensi.2 Nyatakan kelas-kelas ekivalensinya.3 Nyatakan partisi yang ditimbulkan oleh R
Pada sisi lain
Jika P merupakan sebuah partisi terhadap himpunan A, makadapat dibuktikan bahwa relasi ”sekelas partisi” merupakanrelasi ekivalensi.
Relasi ekivalensi ⇐⇒ partisi
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa Pemrograman
RelasiFungsiMacam Fungsi
Relasi Ekivalensi dan Partisi
Contoh:
Misalkan R adalah relasi pada himpunan bilangan bulatdengan aturan xRy jika x − y terbagi oleh 4.
1 Buktikan bahwa R relasi ekivalensi.2 Nyatakan kelas-kelas ekivalensinya.3 Nyatakan partisi yang ditimbulkan oleh R
Pada sisi lain
Jika P merupakan sebuah partisi terhadap himpunan A, makadapat dibuktikan bahwa relasi ”sekelas partisi” merupakanrelasi ekivalensi.
Relasi ekivalensi ⇐⇒ partisi
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa Pemrograman
RelasiFungsiMacam Fungsi
Relasi Ekivalensi dan Partisi
Contoh:
Misalkan R adalah relasi pada himpunan bilangan bulatdengan aturan xRy jika x − y terbagi oleh 4.
1 Buktikan bahwa R relasi ekivalensi.2 Nyatakan kelas-kelas ekivalensinya.3 Nyatakan partisi yang ditimbulkan oleh R
Pada sisi lain
Jika P merupakan sebuah partisi terhadap himpunan A, makadapat dibuktikan bahwa relasi ”sekelas partisi” merupakanrelasi ekivalensi.
Relasi ekivalensi ⇐⇒ partisi
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa Pemrograman
RelasiFungsiMacam Fungsi
Relasi Ekivalensi dan Partisi
Contoh:
Misalkan R adalah relasi pada himpunan bilangan bulatdengan aturan xRy jika x − y terbagi oleh 4.
1 Buktikan bahwa R relasi ekivalensi.2 Nyatakan kelas-kelas ekivalensinya.3 Nyatakan partisi yang ditimbulkan oleh R
Pada sisi lain
Jika P merupakan sebuah partisi terhadap himpunan A, makadapat dibuktikan bahwa relasi ”sekelas partisi” merupakanrelasi ekivalensi.
Relasi ekivalensi ⇐⇒ partisi
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa Pemrograman
RelasiFungsiMacam Fungsi
Relasi Ekivalensi dan Partisi
Contoh:
Misalkan R adalah relasi pada himpunan bilangan bulatdengan aturan xRy jika x − y terbagi oleh 4.
1 Buktikan bahwa R relasi ekivalensi.2 Nyatakan kelas-kelas ekivalensinya.3 Nyatakan partisi yang ditimbulkan oleh R
Pada sisi lain
Jika P merupakan sebuah partisi terhadap himpunan A, makadapat dibuktikan bahwa relasi ”sekelas partisi” merupakanrelasi ekivalensi.
Relasi ekivalensi ⇐⇒ partisi
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa Pemrograman
RelasiFungsiMacam Fungsi
Relasi Ekivalensi dan Partisi
Contoh:
Misalkan R adalah relasi pada himpunan bilangan bulatdengan aturan xRy jika x − y terbagi oleh 4.
1 Buktikan bahwa R relasi ekivalensi.2 Nyatakan kelas-kelas ekivalensinya.3 Nyatakan partisi yang ditimbulkan oleh R
Pada sisi lain
Jika P merupakan sebuah partisi terhadap himpunan A, makadapat dibuktikan bahwa relasi ”sekelas partisi” merupakanrelasi ekivalensi.
Relasi ekivalensi ⇐⇒ partisi
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa Pemrograman
RelasiFungsiMacam Fungsi
Relasi Order Parsial
Definisi
Sebuah relasi disebut relasi order parsial jika refleksif,antisimetris dan transitif
Contoh
relasi ≤ pada himpunan bilangan riil
relasi ⊆ pada himpunan kuasa dari suatu himpunan
relasi ”terbagi oleh” pada himpunan bilangan asli
relasi ”sub ekspresi dari” pada himpunan ekspresi logika
Catatan
Sebuah contoh untuk relasi yang terakhir, p, q, p ∧ q, ∼ p dan(p ∧ q)∨ ∼ p merupakan sub ekspresi dari (p ∧ q)∨ ∼ p
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa Pemrograman
RelasiFungsiMacam Fungsi
Relasi Order Parsial
Definisi
Sebuah relasi disebut relasi order parsial jika refleksif,antisimetris dan transitif
Contoh
relasi ≤ pada himpunan bilangan riil
relasi ⊆ pada himpunan kuasa dari suatu himpunan
relasi ”terbagi oleh” pada himpunan bilangan asli
relasi ”sub ekspresi dari” pada himpunan ekspresi logika
Catatan
Sebuah contoh untuk relasi yang terakhir, p, q, p ∧ q, ∼ p dan(p ∧ q)∨ ∼ p merupakan sub ekspresi dari (p ∧ q)∨ ∼ p
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa Pemrograman
RelasiFungsiMacam Fungsi
Relasi Order Parsial
Definisi
Sebuah relasi disebut relasi order parsial jika refleksif,antisimetris dan transitif
Contoh
relasi ≤ pada himpunan bilangan riil
relasi ⊆ pada himpunan kuasa dari suatu himpunan
relasi ”terbagi oleh” pada himpunan bilangan asli
relasi ”sub ekspresi dari” pada himpunan ekspresi logika
Catatan
Sebuah contoh untuk relasi yang terakhir, p, q, p ∧ q, ∼ p dan(p ∧ q)∨ ∼ p merupakan sub ekspresi dari (p ∧ q)∨ ∼ p
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa Pemrograman
RelasiFungsiMacam Fungsi
Relasi Order Parsial
Definisi
Sebuah relasi disebut relasi order parsial jika refleksif,antisimetris dan transitif
Contoh
relasi ≤ pada himpunan bilangan riil
relasi ⊆ pada himpunan kuasa dari suatu himpunan
relasi ”terbagi oleh” pada himpunan bilangan asli
relasi ”sub ekspresi dari” pada himpunan ekspresi logika
Catatan
Sebuah contoh untuk relasi yang terakhir, p, q, p ∧ q, ∼ p dan(p ∧ q)∨ ∼ p merupakan sub ekspresi dari (p ∧ q)∨ ∼ p
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa Pemrograman
RelasiFungsiMacam Fungsi
Relasi Order Parsial
Definisi
Sebuah relasi disebut relasi order parsial jika refleksif,antisimetris dan transitif
Contoh
relasi ≤ pada himpunan bilangan riil
relasi ⊆ pada himpunan kuasa dari suatu himpunan
relasi ”terbagi oleh” pada himpunan bilangan asli
relasi ”sub ekspresi dari” pada himpunan ekspresi logika
Catatan
Sebuah contoh untuk relasi yang terakhir, p, q, p ∧ q, ∼ p dan(p ∧ q)∨ ∼ p merupakan sub ekspresi dari (p ∧ q)∨ ∼ p
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa Pemrograman
RelasiFungsiMacam Fungsi
Relasi Order Parsial
Definisi
Sebuah relasi disebut relasi order parsial jika refleksif,antisimetris dan transitif
Contoh
relasi ≤ pada himpunan bilangan riil
relasi ⊆ pada himpunan kuasa dari suatu himpunan
relasi ”terbagi oleh” pada himpunan bilangan asli
relasi ”sub ekspresi dari” pada himpunan ekspresi logika
Catatan
Sebuah contoh untuk relasi yang terakhir, p, q, p ∧ q, ∼ p dan(p ∧ q)∨ ∼ p merupakan sub ekspresi dari (p ∧ q)∨ ∼ p
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa Pemrograman
RelasiFungsiMacam Fungsi
Relasi Order Parsial
Definisi
Sebuah relasi disebut relasi order parsial jika refleksif,antisimetris dan transitif
Contoh
relasi ≤ pada himpunan bilangan riil
relasi ⊆ pada himpunan kuasa dari suatu himpunan
relasi ”terbagi oleh” pada himpunan bilangan asli
relasi ”sub ekspresi dari” pada himpunan ekspresi logika
Catatan
Sebuah contoh untuk relasi yang terakhir, p, q, p ∧ q, ∼ p dan(p ∧ q)∨ ∼ p merupakan sub ekspresi dari (p ∧ q)∨ ∼ p
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa Pemrograman
RelasiFungsiMacam Fungsi
Relasi Order Parsial
Partial order relations
terjadi pada beberapa area komputasi. Salah satu contoh, jikakita memiliki sebuah program komputer yang memuat sejumlahmodul: program utama, subprogram yang dipanggil olehprogram utama, subprogram yang dipanggil oleh subprogram,dan sebagainya.
Pada himpunan modul {M1, M2, ..., Mn}dapat didefinisikan suatu relasi R dengan aturan MiRMj jika Mi
berada dalam jalur panggilan dari Mj
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa Pemrograman
RelasiFungsiMacam Fungsi
Relasi Order Parsial
Partial order relations
terjadi pada beberapa area komputasi. Salah satu contoh, jikakita memiliki sebuah program komputer yang memuat sejumlahmodul: program utama, subprogram yang dipanggil olehprogram utama, subprogram yang dipanggil oleh subprogram,dan sebagainya.
Pada himpunan modul {M1, M2, ..., Mn}dapat didefinisikan suatu relasi R dengan aturan MiRMj jika Mi
berada dalam jalur panggilan dari Mj
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa Pemrograman
RelasiFungsiMacam Fungsi
Fungsi
Definisi
Misalkan A dan B adalah himpunan. Fungsi dari A ke B adalahsuatu aturan yang memasangkan setiap elemen A dengantepat satu elemen B
Analisis Fungsi
Secara notasi dapat dinyatakan bahwa f : A → B merupakansebuah fungsi jika (∀a ∈ A)(∃!b ∈ B), f (a) = b. Sehingga untukmenunjukkan bahwa suatu aturan merupakan suatu fungsimaka perlu dibuktikan bahwa
(∀a1, a2 ∈ A), a1 = a2 =⇒ f (a1) = f (a2)
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa Pemrograman
RelasiFungsiMacam Fungsi
Fungsi
Definisi
Misalkan A dan B adalah himpunan. Fungsi dari A ke B adalahsuatu aturan yang memasangkan setiap elemen A dengantepat satu elemen B
Analisis Fungsi
Secara notasi dapat dinyatakan bahwa f : A → B merupakansebuah fungsi jika (∀a ∈ A)(∃!b ∈ B), f (a) = b. Sehingga untukmenunjukkan bahwa suatu aturan merupakan suatu fungsimaka perlu dibuktikan bahwa
(∀a1, a2 ∈ A), a1 = a2 =⇒ f (a1) = f (a2)
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa Pemrograman
RelasiFungsiMacam Fungsi
Fungsi
Terminologi
Jika f : A → B adalah fungsi maka
A disebut domain atau daerah asal
B disebut codomain atau daerah lawan
f (A) = {b ∈ B|b = f (a), a ∈ A} disebut range f atau daerahhasil
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa Pemrograman
RelasiFungsiMacam Fungsi
Fungsi
Terminologi
Jika f : A → B adalah fungsi maka
A disebut domain atau daerah asal
B disebut codomain atau daerah lawan
f (A) = {b ∈ B|b = f (a), a ∈ A} disebut range f atau daerahhasil
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa Pemrograman
RelasiFungsiMacam Fungsi
Fungsi
Terminologi
Jika f : A → B adalah fungsi maka
A disebut domain atau daerah asal
B disebut codomain atau daerah lawan
f (A) = {b ∈ B|b = f (a), a ∈ A} disebut range f atau daerahhasil
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa Pemrograman
RelasiFungsiMacam Fungsi
Fungsi
Terminologi
Jika f : A → B adalah fungsi maka
A disebut domain atau daerah asal
B disebut codomain atau daerah lawan
f (A) = {b ∈ B|b = f (a), a ∈ A} disebut range f atau daerahhasil
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa Pemrograman
RelasiFungsiMacam Fungsi
Fungsi
Contoh
Misalkan C adalah himpunan semua karakter ASCII. Setiapkarakter ASCII memiliki sebuah kode karakter dalam rangebilangan bulat dari 0 sampai 127.
Sehingga dapat dibuat fungsi-fungsi berikut:1 ord : C → {0, 1, 2, ..., 127} dengan aturan ord(c) = kode
ASCII dari c2 chr : {0, 1, 2, ..., 127} → C dengan aturan chr(n) =
karakter ASCII yang kodenya n.
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa Pemrograman
RelasiFungsiMacam Fungsi
Fungsi
Contoh
Misalkan C adalah himpunan semua karakter ASCII. Setiapkarakter ASCII memiliki sebuah kode karakter dalam rangebilangan bulat dari 0 sampai 127.
Sehingga dapat dibuat fungsi-fungsi berikut:1 ord : C → {0, 1, 2, ..., 127} dengan aturan ord(c) = kode
ASCII dari c2 chr : {0, 1, 2, ..., 127} → C dengan aturan chr(n) =
karakter ASCII yang kodenya n.
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa Pemrograman
RelasiFungsiMacam Fungsi
Fungsi
Contoh
Misalkan C adalah himpunan semua karakter ASCII. Setiapkarakter ASCII memiliki sebuah kode karakter dalam rangebilangan bulat dari 0 sampai 127.
Sehingga dapat dibuat fungsi-fungsi berikut:1 ord : C → {0, 1, 2, ..., 127} dengan aturan ord(c) = kode
ASCII dari c2 chr : {0, 1, 2, ..., 127} → C dengan aturan chr(n) =
karakter ASCII yang kodenya n.
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa Pemrograman
RelasiFungsiMacam Fungsi
Fungsi
Contoh
Misalkan C adalah himpunan semua karakter ASCII. Setiapkarakter ASCII memiliki sebuah kode karakter dalam rangebilangan bulat dari 0 sampai 127.
Sehingga dapat dibuat fungsi-fungsi berikut:1 ord : C → {0, 1, 2, ..., 127} dengan aturan ord(c) = kode
ASCII dari c2 chr : {0, 1, 2, ..., 127} → C dengan aturan chr(n) =
karakter ASCII yang kodenya n.
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa Pemrograman
RelasiFungsiMacam Fungsi
Fungsi
Untuk mendapatkan range dari fungsi-fungsi tersebut perlumerujuk pada tabel karakter ASCII. Misalnya:
ord(′A′) = 65 atau chr(65) =′ A′
ord(′a′) = 97 atau chr(97) =′ a′
ord(′∗′) = 42 atau chr(42) =′ ∗′
Catatan
Notasi ord dan chr pada fungsi-fungsi tersebut digunakandalam bahasa pemrograman Pascal
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa Pemrograman
RelasiFungsiMacam Fungsi
Fungsi
Untuk mendapatkan range dari fungsi-fungsi tersebut perlumerujuk pada tabel karakter ASCII. Misalnya:
ord(′A′) = 65 atau chr(65) =′ A′
ord(′a′) = 97 atau chr(97) =′ a′
ord(′∗′) = 42 atau chr(42) =′ ∗′
Catatan
Notasi ord dan chr pada fungsi-fungsi tersebut digunakandalam bahasa pemrograman Pascal
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa Pemrograman
RelasiFungsiMacam Fungsi
Fungsi
Untuk mendapatkan range dari fungsi-fungsi tersebut perlumerujuk pada tabel karakter ASCII. Misalnya:
ord(′A′) = 65 atau chr(65) =′ A′
ord(′a′) = 97 atau chr(97) =′ a′
ord(′∗′) = 42 atau chr(42) =′ ∗′
Catatan
Notasi ord dan chr pada fungsi-fungsi tersebut digunakandalam bahasa pemrograman Pascal
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa Pemrograman
RelasiFungsiMacam Fungsi
Fungsi
Untuk mendapatkan range dari fungsi-fungsi tersebut perlumerujuk pada tabel karakter ASCII. Misalnya:
ord(′A′) = 65 atau chr(65) =′ A′
ord(′a′) = 97 atau chr(97) =′ a′
ord(′∗′) = 42 atau chr(42) =′ ∗′
Catatan
Notasi ord dan chr pada fungsi-fungsi tersebut digunakandalam bahasa pemrograman Pascal
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa Pemrograman
RelasiFungsiMacam Fungsi
Fungsi
Untuk mendapatkan range dari fungsi-fungsi tersebut perlumerujuk pada tabel karakter ASCII. Misalnya:
ord(′A′) = 65 atau chr(65) =′ A′
ord(′a′) = 97 atau chr(97) =′ a′
ord(′∗′) = 42 atau chr(42) =′ ∗′
Catatan
Notasi ord dan chr pada fungsi-fungsi tersebut digunakandalam bahasa pemrograman Pascal
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa Pemrograman
RelasiFungsiMacam Fungsi
Fungsi
Contoh
Misal X = himpunan string bit hingga tak kosong danY = {0, 1, 2, 3, ...}. Tentukan apakah aturan fungsi berikutwell-defined atau tidak?
1 f : X → Y , f (s) = banyaknya ”1” dalam string s.2 g : X → Y , g(s) = bit pertama dalam string s.3 h : X → Y , h(s) = posisi ”0” paling kiri dalam string s.4 j : X → X , j(s) = string yang didapat dengan
menambahkan ”0” atau ”1” pada string s.5 k : Y → X , k(n) = string yang terdiri atas n ”1”.
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa Pemrograman
RelasiFungsiMacam Fungsi
Fungsi
Contoh
Misal X = himpunan string bit hingga tak kosong danY = {0, 1, 2, 3, ...}. Tentukan apakah aturan fungsi berikutwell-defined atau tidak?
1 f : X → Y , f (s) = banyaknya ”1” dalam string s.2 g : X → Y , g(s) = bit pertama dalam string s.3 h : X → Y , h(s) = posisi ”0” paling kiri dalam string s.4 j : X → X , j(s) = string yang didapat dengan
menambahkan ”0” atau ”1” pada string s.5 k : Y → X , k(n) = string yang terdiri atas n ”1”.
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa Pemrograman
RelasiFungsiMacam Fungsi
Fungsi
Contoh
Misal X = himpunan string bit hingga tak kosong danY = {0, 1, 2, 3, ...}. Tentukan apakah aturan fungsi berikutwell-defined atau tidak?
1 f : X → Y , f (s) = banyaknya ”1” dalam string s.2 g : X → Y , g(s) = bit pertama dalam string s.3 h : X → Y , h(s) = posisi ”0” paling kiri dalam string s.4 j : X → X , j(s) = string yang didapat dengan
menambahkan ”0” atau ”1” pada string s.5 k : Y → X , k(n) = string yang terdiri atas n ”1”.
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa Pemrograman
RelasiFungsiMacam Fungsi
Fungsi
Contoh
Misal X = himpunan string bit hingga tak kosong danY = {0, 1, 2, 3, ...}. Tentukan apakah aturan fungsi berikutwell-defined atau tidak?
1 f : X → Y , f (s) = banyaknya ”1” dalam string s.2 g : X → Y , g(s) = bit pertama dalam string s.3 h : X → Y , h(s) = posisi ”0” paling kiri dalam string s.4 j : X → X , j(s) = string yang didapat dengan
menambahkan ”0” atau ”1” pada string s.5 k : Y → X , k(n) = string yang terdiri atas n ”1”.
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa Pemrograman
RelasiFungsiMacam Fungsi
Fungsi
Contoh
Misal X = himpunan string bit hingga tak kosong danY = {0, 1, 2, 3, ...}. Tentukan apakah aturan fungsi berikutwell-defined atau tidak?
1 f : X → Y , f (s) = banyaknya ”1” dalam string s.2 g : X → Y , g(s) = bit pertama dalam string s.3 h : X → Y , h(s) = posisi ”0” paling kiri dalam string s.4 j : X → X , j(s) = string yang didapat dengan
menambahkan ”0” atau ”1” pada string s.5 k : Y → X , k(n) = string yang terdiri atas n ”1”.
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa Pemrograman
RelasiFungsiMacam Fungsi
Fungsi
Contoh
Misal X = himpunan string bit hingga tak kosong danY = {0, 1, 2, 3, ...}. Tentukan apakah aturan fungsi berikutwell-defined atau tidak?
1 f : X → Y , f (s) = banyaknya ”1” dalam string s.2 g : X → Y , g(s) = bit pertama dalam string s.3 h : X → Y , h(s) = posisi ”0” paling kiri dalam string s.4 j : X → X , j(s) = string yang didapat dengan
menambahkan ”0” atau ”1” pada string s.5 k : Y → X , k(n) = string yang terdiri atas n ”1”.
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa Pemrograman
RelasiFungsiMacam Fungsi
Macam Fungsi
Sebuah fungsi adalah onto atau surjektif jika daerah hasilnya(range) sama dengan daerah lawannya (codomain)f : A → B onto jika ∀b ∈ B,∃a ∈ A, b = f (a)
Sebuah fungsi adalah satu-satu atau injektif jika tidak ada duaelemen yang berbeda dalam domain yang memiliki bayanganyang sama.f : A → B satu-satu jika berlakunya implikasi berikut
(∀a1, a2 ∈ A), f (a1) = f (a2) =⇒ a1 = a2
Fungsi yang yang sekaligus satu-satu dan onto disebutKorespondensi satu-satu atau fungsi Bijektif
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa Pemrograman
RelasiFungsiMacam Fungsi
Macam Fungsi
Sebuah fungsi adalah onto atau surjektif jika daerah hasilnya(range) sama dengan daerah lawannya (codomain)f : A → B onto jika ∀b ∈ B,∃a ∈ A, b = f (a)
Sebuah fungsi adalah satu-satu atau injektif jika tidak ada duaelemen yang berbeda dalam domain yang memiliki bayanganyang sama.f : A → B satu-satu jika berlakunya implikasi berikut
(∀a1, a2 ∈ A), f (a1) = f (a2) =⇒ a1 = a2
Fungsi yang yang sekaligus satu-satu dan onto disebutKorespondensi satu-satu atau fungsi Bijektif
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa Pemrograman
RelasiFungsiMacam Fungsi
Macam Fungsi
Sebuah fungsi adalah onto atau surjektif jika daerah hasilnya(range) sama dengan daerah lawannya (codomain)f : A → B onto jika ∀b ∈ B,∃a ∈ A, b = f (a)
Sebuah fungsi adalah satu-satu atau injektif jika tidak ada duaelemen yang berbeda dalam domain yang memiliki bayanganyang sama.f : A → B satu-satu jika berlakunya implikasi berikut
(∀a1, a2 ∈ A), f (a1) = f (a2) =⇒ a1 = a2
Fungsi yang yang sekaligus satu-satu dan onto disebutKorespondensi satu-satu atau fungsi Bijektif
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa Pemrograman
RelasiFungsiMacam Fungsi
Macam Fungsi
Contoh
Untuk setiap fungsi berikut, tentukan apakah satu-satu atauonto!
1 f : R → R, f (x) = 2x + 12 fungsi ord3 fungsi chr4 Misal X = himpunan string bit hingga tak kosong dan
Y = {0, 1, 2, 3, ...}.1 f : X → Y , f (s) = banyaknya ”1” dalam string s.2 g : X → Y , g(s) = bit pertama dalam string s.3 j : X → X , j(s) = string yang didapat dengan
menambahkan ”0” pada string s.
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa Pemrograman
RelasiFungsiMacam Fungsi
Macam Fungsi
Contoh
Untuk setiap fungsi berikut, tentukan apakah satu-satu atauonto!
1 f : R → R, f (x) = 2x + 12 fungsi ord3 fungsi chr4 Misal X = himpunan string bit hingga tak kosong dan
Y = {0, 1, 2, 3, ...}.1 f : X → Y , f (s) = banyaknya ”1” dalam string s.2 g : X → Y , g(s) = bit pertama dalam string s.3 j : X → X , j(s) = string yang didapat dengan
menambahkan ”0” pada string s.
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa Pemrograman
RelasiFungsiMacam Fungsi
Macam Fungsi
Contoh
Untuk setiap fungsi berikut, tentukan apakah satu-satu atauonto!
1 f : R → R, f (x) = 2x + 12 fungsi ord3 fungsi chr4 Misal X = himpunan string bit hingga tak kosong dan
Y = {0, 1, 2, 3, ...}.1 f : X → Y , f (s) = banyaknya ”1” dalam string s.2 g : X → Y , g(s) = bit pertama dalam string s.3 j : X → X , j(s) = string yang didapat dengan
menambahkan ”0” pada string s.
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa Pemrograman
RelasiFungsiMacam Fungsi
Macam Fungsi
Contoh
Untuk setiap fungsi berikut, tentukan apakah satu-satu atauonto!
1 f : R → R, f (x) = 2x + 12 fungsi ord3 fungsi chr4 Misal X = himpunan string bit hingga tak kosong dan
Y = {0, 1, 2, 3, ...}.1 f : X → Y , f (s) = banyaknya ”1” dalam string s.2 g : X → Y , g(s) = bit pertama dalam string s.3 j : X → X , j(s) = string yang didapat dengan
menambahkan ”0” pada string s.
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa Pemrograman
RelasiFungsiMacam Fungsi
Macam Fungsi
Contoh
Untuk setiap fungsi berikut, tentukan apakah satu-satu atauonto!
1 f : R → R, f (x) = 2x + 12 fungsi ord3 fungsi chr4 Misal X = himpunan string bit hingga tak kosong dan
Y = {0, 1, 2, 3, ...}.1 f : X → Y , f (s) = banyaknya ”1” dalam string s.2 g : X → Y , g(s) = bit pertama dalam string s.3 j : X → X , j(s) = string yang didapat dengan
menambahkan ”0” pada string s.
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa Pemrograman
RelasiFungsiMacam Fungsi
Macam Fungsi
Contoh
Untuk setiap fungsi berikut, tentukan apakah satu-satu atauonto!
1 f : R → R, f (x) = 2x + 12 fungsi ord3 fungsi chr4 Misal X = himpunan string bit hingga tak kosong dan
Y = {0, 1, 2, 3, ...}.1 f : X → Y , f (s) = banyaknya ”1” dalam string s.2 g : X → Y , g(s) = bit pertama dalam string s.3 j : X → X , j(s) = string yang didapat dengan
menambahkan ”0” pada string s.
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa Pemrograman
RelasiFungsiMacam Fungsi
Macam Fungsi
Contoh
Untuk setiap fungsi berikut, tentukan apakah satu-satu atauonto!
1 f : R → R, f (x) = 2x + 12 fungsi ord3 fungsi chr4 Misal X = himpunan string bit hingga tak kosong dan
Y = {0, 1, 2, 3, ...}.1 f : X → Y , f (s) = banyaknya ”1” dalam string s.2 g : X → Y , g(s) = bit pertama dalam string s.3 j : X → X , j(s) = string yang didapat dengan
menambahkan ”0” pada string s.
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa Pemrograman
RelasiFungsiMacam Fungsi
Macam Fungsi
Contoh
Untuk setiap fungsi berikut, tentukan apakah satu-satu atauonto!
1 f : R → R, f (x) = 2x + 12 fungsi ord3 fungsi chr4 Misal X = himpunan string bit hingga tak kosong dan
Y = {0, 1, 2, 3, ...}.1 f : X → Y , f (s) = banyaknya ”1” dalam string s.2 g : X → Y , g(s) = bit pertama dalam string s.3 j : X → X , j(s) = string yang didapat dengan
menambahkan ”0” pada string s.
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa Pemrograman
Komposisi FungsiFungsi Invers
Komposisi Fungsi
Misal f : A → B dan g : B → C adalah fungsi. Komposisifungsi dari f dan g adalah fungsi:
g ◦ f : A → C, (g ◦ f )(x) = g(f (x))
1 Jika f : R → R, f (x) = x2 dan g(x) = 3x − 1. Tentukanf ◦ g dan g ◦ f
2 Misalkan X = himpunan semua string karakter berhinggatak kosong. Misalkan fungsi f dan g didefinisikan sebagaiberikut:
f : X → N, f (s) = banyaknya karakter dalam string sg : X → X , g(s) = string yang didapatkan dengan
menambahkan ”a” kepada string s.
Jika ada, tentukan f ◦ f , f ◦ g, g ◦ f dan g ◦ gAntonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa Pemrograman
Komposisi FungsiFungsi Invers
Komposisi Fungsi
Misal f : A → B dan g : B → C adalah fungsi. Komposisifungsi dari f dan g adalah fungsi:
g ◦ f : A → C, (g ◦ f )(x) = g(f (x))
1 Jika f : R → R, f (x) = x2 dan g(x) = 3x − 1. Tentukanf ◦ g dan g ◦ f
2 Misalkan X = himpunan semua string karakter berhinggatak kosong. Misalkan fungsi f dan g didefinisikan sebagaiberikut:
f : X → N, f (s) = banyaknya karakter dalam string sg : X → X , g(s) = string yang didapatkan dengan
menambahkan ”a” kepada string s.
Jika ada, tentukan f ◦ f , f ◦ g, g ◦ f dan g ◦ gAntonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa Pemrograman
Komposisi FungsiFungsi Invers
Komposisi Fungsi
Misal f : A → B dan g : B → C adalah fungsi. Komposisifungsi dari f dan g adalah fungsi:
g ◦ f : A → C, (g ◦ f )(x) = g(f (x))
1 Jika f : R → R, f (x) = x2 dan g(x) = 3x − 1. Tentukanf ◦ g dan g ◦ f
2 Misalkan X = himpunan semua string karakter berhinggatak kosong. Misalkan fungsi f dan g didefinisikan sebagaiberikut:
f : X → N, f (s) = banyaknya karakter dalam string sg : X → X , g(s) = string yang didapatkan dengan
menambahkan ”a” kepada string s.
Jika ada, tentukan f ◦ f , f ◦ g, g ◦ f dan g ◦ gAntonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa Pemrograman
Komposisi FungsiFungsi Invers
Komposisi Fungsi
Misal f : A → B dan g : B → C adalah fungsi. Komposisifungsi dari f dan g adalah fungsi:
g ◦ f : A → C, (g ◦ f )(x) = g(f (x))
1 Jika f : R → R, f (x) = x2 dan g(x) = 3x − 1. Tentukanf ◦ g dan g ◦ f
2 Misalkan X = himpunan semua string karakter berhinggatak kosong. Misalkan fungsi f dan g didefinisikan sebagaiberikut:
f : X → N, f (s) = banyaknya karakter dalam string sg : X → X , g(s) = string yang didapatkan dengan
menambahkan ”a” kepada string s.
Jika ada, tentukan f ◦ f , f ◦ g, g ◦ f dan g ◦ gAntonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa Pemrograman
Komposisi FungsiFungsi Invers
Fungsi Invers
Fungsi Identitas
Misalkan A adalah sebuah himpunan. Fungsi identitas dalamA adalah
i : A → A, i(x) = x
Fungsi Invers
Misalkan f : A → B dan g : B → A adalah fungsi. Jikag ◦ f : A → A adalah fungsi identitas dalam A, dan jikaf ◦ g : B → B adalah fungsi identitas dalam B, maka f adalahinvers dari g, dan g adalah invers dari f .
Teorema
Sebuah fungsi f memiliki sebuah invers jika dan hanya jika fsatu-satu dan onto
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa Pemrograman
Komposisi FungsiFungsi Invers
Fungsi Invers
Fungsi Identitas
Misalkan A adalah sebuah himpunan. Fungsi identitas dalamA adalah
i : A → A, i(x) = x
Fungsi Invers
Misalkan f : A → B dan g : B → A adalah fungsi. Jikag ◦ f : A → A adalah fungsi identitas dalam A, dan jikaf ◦ g : B → B adalah fungsi identitas dalam B, maka f adalahinvers dari g, dan g adalah invers dari f .
Teorema
Sebuah fungsi f memiliki sebuah invers jika dan hanya jika fsatu-satu dan onto
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa Pemrograman
Komposisi FungsiFungsi Invers
Fungsi Invers
Fungsi Identitas
Misalkan A adalah sebuah himpunan. Fungsi identitas dalamA adalah
i : A → A, i(x) = x
Fungsi Invers
Misalkan f : A → B dan g : B → A adalah fungsi. Jikag ◦ f : A → A adalah fungsi identitas dalam A, dan jikaf ◦ g : B → B adalah fungsi identitas dalam B, maka f adalahinvers dari g, dan g adalah invers dari f .
Teorema
Sebuah fungsi f memiliki sebuah invers jika dan hanya jika fsatu-satu dan onto
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa Pemrograman
Komposisi FungsiFungsi Invers
Fungsi Invers
Contoh1 Fungsi chr merupakan invers dari fungsi ord2 Tentukan mana diantara fungsi berikut yang memiliki
invers, jika ada tentukan inversnya1 f : R → R, f (x) = 2x + 12 g : R →, g(x) = x2
3 h : {x ∈ R|x ≥ 0} → {x ∈ R|x ≥ 0}, h(x) = x2
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa Pemrograman
Komposisi FungsiFungsi Invers
Fungsi Invers
Contoh1 Fungsi chr merupakan invers dari fungsi ord2 Tentukan mana diantara fungsi berikut yang memiliki
invers, jika ada tentukan inversnya1 f : R → R, f (x) = 2x + 12 g : R →, g(x) = x2
3 h : {x ∈ R|x ≥ 0} → {x ∈ R|x ≥ 0}, h(x) = x2
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa Pemrograman
Komposisi FungsiFungsi Invers
Fungsi Invers
Contoh1 Fungsi chr merupakan invers dari fungsi ord2 Tentukan mana diantara fungsi berikut yang memiliki
invers, jika ada tentukan inversnya1 f : R → R, f (x) = 2x + 12 g : R →, g(x) = x2
3 h : {x ∈ R|x ≥ 0} → {x ∈ R|x ≥ 0}, h(x) = x2
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa Pemrograman
Komposisi FungsiFungsi Invers
Fungsi Invers
Contoh1 Fungsi chr merupakan invers dari fungsi ord2 Tentukan mana diantara fungsi berikut yang memiliki
invers, jika ada tentukan inversnya1 f : R → R, f (x) = 2x + 12 g : R →, g(x) = x2
3 h : {x ∈ R|x ≥ 0} → {x ∈ R|x ≥ 0}, h(x) = x2
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa Pemrograman
Komposisi FungsiFungsi Invers
Fungsi Invers
Contoh1 Fungsi chr merupakan invers dari fungsi ord2 Tentukan mana diantara fungsi berikut yang memiliki
invers, jika ada tentukan inversnya1 f : R → R, f (x) = 2x + 12 g : R →, g(x) = x2
3 h : {x ∈ R|x ≥ 0} → {x ∈ R|x ≥ 0}, h(x) = x2
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa Pemrograman
Komposisi FungsiFungsi Invers
Fungsi Invers
Contoh1 Fungsi chr merupakan invers dari fungsi ord2 Tentukan mana diantara fungsi berikut yang memiliki
invers, jika ada tentukan inversnya1 f : R → R, f (x) = 2x + 12 g : R →, g(x) = x2
3 h : {x ∈ R|x ≥ 0} → {x ∈ R|x ≥ 0}, h(x) = x2
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa PemrogramanFungsi dalam Bahasa Pemrograma
Fungsi dalam Bahasa Pemrograman
Dalam menyusun listing program menggunakan suatu bahasapemrograman kita seringkali membutuhkan fungsi
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa PemrogramanFungsi dalam Bahasa Pemrograma
Quiz
Its now time for Quiz
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa PemrogramanFungsi dalam Bahasa Pemrograma
Fungsi dalam Bahasa Pemrograman
30 minutes Quiz
1 Tunjukkan bahwa A ∩ B = A ∪ B2 Jika S = {0, 1, 2, 3, ..., 15}
Tuliskan representasi bitstring untuk {2, 4, 5, 7, 11, 14}Tentukan himpunan yang direpresentasikan oleh1010011011101001Jika A dan B direpresentasikan oleh 0011010001101101dan 1010100100010111, tentukan representasi dari A ∩ B,A ∪ B, A dan B
3 Jika A = {1, 2, 3, 4, 5} dan R relasi dalam A yangdidefinisikan oleh
R = {(1, 3), (1, 4)(2, 1), (2, 2), (2, 4), (3, 5), (5, 2), (5, 5)}
Tuliskan representasi matriks untuk RGambarkan representasi grafik untuk RApakah representasi matriks untuk suatu relasi adalahtunggal?Gambarkan representasi grafik untuk sebuah relasiekivalensi dalam A.
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa PemrogramanFungsi dalam Bahasa Pemrograma
Fungsi dalam Bahasa Pemrograman
30 minutes Quiz
1 Tunjukkan bahwa A ∩ B = A ∪ B2 Jika S = {0, 1, 2, 3, ..., 15}
Tuliskan representasi bitstring untuk {2, 4, 5, 7, 11, 14}Tentukan himpunan yang direpresentasikan oleh1010011011101001Jika A dan B direpresentasikan oleh 0011010001101101dan 1010100100010111, tentukan representasi dari A ∩ B,A ∪ B, A dan B
3 Jika A = {1, 2, 3, 4, 5} dan R relasi dalam A yangdidefinisikan oleh
R = {(1, 3), (1, 4)(2, 1), (2, 2), (2, 4), (3, 5), (5, 2), (5, 5)}
Tuliskan representasi matriks untuk RGambarkan representasi grafik untuk RApakah representasi matriks untuk suatu relasi adalahtunggal?Gambarkan representasi grafik untuk sebuah relasiekivalensi dalam A.
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa PemrogramanFungsi dalam Bahasa Pemrograma
Fungsi dalam Bahasa Pemrograman
30 minutes Quiz
1 Tunjukkan bahwa A ∩ B = A ∪ B2 Jika S = {0, 1, 2, 3, ..., 15}
Tuliskan representasi bitstring untuk {2, 4, 5, 7, 11, 14}Tentukan himpunan yang direpresentasikan oleh1010011011101001Jika A dan B direpresentasikan oleh 0011010001101101dan 1010100100010111, tentukan representasi dari A ∩ B,A ∪ B, A dan B
3 Jika A = {1, 2, 3, 4, 5} dan R relasi dalam A yangdidefinisikan oleh
R = {(1, 3), (1, 4)(2, 1), (2, 2), (2, 4), (3, 5), (5, 2), (5, 5)}
Tuliskan representasi matriks untuk RGambarkan representasi grafik untuk RApakah representasi matriks untuk suatu relasi adalahtunggal?Gambarkan representasi grafik untuk sebuah relasiekivalensi dalam A.
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa PemrogramanFungsi dalam Bahasa Pemrograma
Fungsi dalam Bahasa Pemrograman
30 minutes Quiz
1 Tunjukkan bahwa A ∩ B = A ∪ B2 Jika S = {0, 1, 2, 3, ..., 15}
Tuliskan representasi bitstring untuk {2, 4, 5, 7, 11, 14}Tentukan himpunan yang direpresentasikan oleh1010011011101001Jika A dan B direpresentasikan oleh 0011010001101101dan 1010100100010111, tentukan representasi dari A ∩ B,A ∪ B, A dan B
3 Jika A = {1, 2, 3, 4, 5} dan R relasi dalam A yangdidefinisikan oleh
R = {(1, 3), (1, 4)(2, 1), (2, 2), (2, 4), (3, 5), (5, 2), (5, 5)}
Tuliskan representasi matriks untuk RGambarkan representasi grafik untuk RApakah representasi matriks untuk suatu relasi adalahtunggal?Gambarkan representasi grafik untuk sebuah relasiekivalensi dalam A.
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa PemrogramanFungsi dalam Bahasa Pemrograma
Fungsi dalam Bahasa Pemrograman
30 minutes Quiz
1 Tunjukkan bahwa A ∩ B = A ∪ B2 Jika S = {0, 1, 2, 3, ..., 15}
Tuliskan representasi bitstring untuk {2, 4, 5, 7, 11, 14}Tentukan himpunan yang direpresentasikan oleh1010011011101001Jika A dan B direpresentasikan oleh 0011010001101101dan 1010100100010111, tentukan representasi dari A ∩ B,A ∪ B, A dan B
3 Jika A = {1, 2, 3, 4, 5} dan R relasi dalam A yangdidefinisikan oleh
R = {(1, 3), (1, 4)(2, 1), (2, 2), (2, 4), (3, 5), (5, 2), (5, 5)}
Tuliskan representasi matriks untuk RGambarkan representasi grafik untuk RApakah representasi matriks untuk suatu relasi adalahtunggal?Gambarkan representasi grafik untuk sebuah relasiekivalensi dalam A.
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa PemrogramanFungsi dalam Bahasa Pemrograma
Fungsi dalam Bahasa Pemrograman
30 minutes Quiz
1 Tunjukkan bahwa A ∩ B = A ∪ B2 Jika S = {0, 1, 2, 3, ..., 15}
Tuliskan representasi bitstring untuk {2, 4, 5, 7, 11, 14}Tentukan himpunan yang direpresentasikan oleh1010011011101001Jika A dan B direpresentasikan oleh 0011010001101101dan 1010100100010111, tentukan representasi dari A ∩ B,A ∪ B, A dan B
3 Jika A = {1, 2, 3, 4, 5} dan R relasi dalam A yangdidefinisikan oleh
R = {(1, 3), (1, 4)(2, 1), (2, 2), (2, 4), (3, 5), (5, 2), (5, 5)}
Tuliskan representasi matriks untuk RGambarkan representasi grafik untuk RApakah representasi matriks untuk suatu relasi adalahtunggal?Gambarkan representasi grafik untuk sebuah relasiekivalensi dalam A.
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa PemrogramanFungsi dalam Bahasa Pemrograma
Fungsi dalam Bahasa Pemrograman
30 minutes Quiz
1 Tunjukkan bahwa A ∩ B = A ∪ B2 Jika S = {0, 1, 2, 3, ..., 15}
Tuliskan representasi bitstring untuk {2, 4, 5, 7, 11, 14}Tentukan himpunan yang direpresentasikan oleh1010011011101001Jika A dan B direpresentasikan oleh 0011010001101101dan 1010100100010111, tentukan representasi dari A ∩ B,A ∪ B, A dan B
3 Jika A = {1, 2, 3, 4, 5} dan R relasi dalam A yangdidefinisikan oleh
R = {(1, 3), (1, 4)(2, 1), (2, 2), (2, 4), (3, 5), (5, 2), (5, 5)}
Tuliskan representasi matriks untuk RGambarkan representasi grafik untuk RApakah representasi matriks untuk suatu relasi adalahtunggal?Gambarkan representasi grafik untuk sebuah relasiekivalensi dalam A.
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa PemrogramanFungsi dalam Bahasa Pemrograma
Fungsi dalam Bahasa Pemrograman
30 minutes Quiz
1 Tunjukkan bahwa A ∩ B = A ∪ B2 Jika S = {0, 1, 2, 3, ..., 15}
Tuliskan representasi bitstring untuk {2, 4, 5, 7, 11, 14}Tentukan himpunan yang direpresentasikan oleh1010011011101001Jika A dan B direpresentasikan oleh 0011010001101101dan 1010100100010111, tentukan representasi dari A ∩ B,A ∪ B, A dan B
3 Jika A = {1, 2, 3, 4, 5} dan R relasi dalam A yangdidefinisikan oleh
R = {(1, 3), (1, 4)(2, 1), (2, 2), (2, 4), (3, 5), (5, 2), (5, 5)}
Tuliskan representasi matriks untuk RGambarkan representasi grafik untuk RApakah representasi matriks untuk suatu relasi adalahtunggal?Gambarkan representasi grafik untuk sebuah relasiekivalensi dalam A.
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa PemrogramanFungsi dalam Bahasa Pemrograma
Fungsi dalam Bahasa Pemrograman
30 minutes Quiz
1 Tunjukkan bahwa A ∩ B = A ∪ B2 Jika S = {0, 1, 2, 3, ..., 15}
Tuliskan representasi bitstring untuk {2, 4, 5, 7, 11, 14}Tentukan himpunan yang direpresentasikan oleh1010011011101001Jika A dan B direpresentasikan oleh 0011010001101101dan 1010100100010111, tentukan representasi dari A ∩ B,A ∪ B, A dan B
3 Jika A = {1, 2, 3, 4, 5} dan R relasi dalam A yangdidefinisikan oleh
R = {(1, 3), (1, 4)(2, 1), (2, 2), (2, 4), (3, 5), (5, 2), (5, 5)}
Tuliskan representasi matriks untuk RGambarkan representasi grafik untuk RApakah representasi matriks untuk suatu relasi adalahtunggal?Gambarkan representasi grafik untuk sebuah relasiekivalensi dalam A.
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa PemrogramanFungsi dalam Bahasa Pemrograma
Fungsi dalam Bahasa Pemrograman
30 minutes Quiz
1 Tunjukkan bahwa A ∩ B = A ∪ B2 Jika S = {0, 1, 2, 3, ..., 15}
Tuliskan representasi bitstring untuk {2, 4, 5, 7, 11, 14}Tentukan himpunan yang direpresentasikan oleh1010011011101001Jika A dan B direpresentasikan oleh 0011010001101101dan 1010100100010111, tentukan representasi dari A ∩ B,A ∪ B, A dan B
3 Jika A = {1, 2, 3, 4, 5} dan R relasi dalam A yangdidefinisikan oleh
R = {(1, 3), (1, 4)(2, 1), (2, 2), (2, 4), (3, 5), (5, 2), (5, 5)}
Tuliskan representasi matriks untuk RGambarkan representasi grafik untuk RApakah representasi matriks untuk suatu relasi adalahtunggal?Gambarkan representasi grafik untuk sebuah relasiekivalensi dalam A.
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa PemrogramanFungsi dalam Bahasa Pemrograma
Fungsi dalam Bahasa Pemrograman
30 minutes Quiz
1 Tunjukkan bahwa A ∩ B = A ∪ B2 Jika S = {0, 1, 2, 3, ..., 15}
Tuliskan representasi bitstring untuk {2, 4, 5, 7, 11, 14}Tentukan himpunan yang direpresentasikan oleh1010011011101001Jika A dan B direpresentasikan oleh 0011010001101101dan 1010100100010111, tentukan representasi dari A ∩ B,A ∪ B, A dan B
3 Jika A = {1, 2, 3, 4, 5} dan R relasi dalam A yangdidefinisikan oleh
R = {(1, 3), (1, 4)(2, 1), (2, 2), (2, 4), (3, 5), (5, 2), (5, 5)}
Tuliskan representasi matriks untuk RGambarkan representasi grafik untuk RApakah representasi matriks untuk suatu relasi adalahtunggal?Gambarkan representasi grafik untuk sebuah relasiekivalensi dalam A.
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Relasi, Fungsi dan KomputasiKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Fungsi dan Bahasa PemrogramanFungsi dalam Bahasa Pemrograma
Terima kasih
TERIMA KASIH
Antonius Cahya Prihandoko RELASI FUNGSI
Top Related