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Guía de estudio
Tema:
Espacio Muestral y Definición Laplaciana de Probabilidad
Autor:
Randall Serrano Valenciano
Descripción del material:
La Guía de Estudio propone utilizar recursos didácticos que propicien la participación
activa del estudiante, de tal forma que este sea el principal actor en la construcción de su
conocimiento.
Se proponen actividades de conceptualización y aplicación con el fin de cautivar la
atención y el interés de los estudiantes hacia el estudio de los temas a desarrollar.
Público meta:
Estudiantes de Octavo Año
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Tabla de Contenidos.
Presentación. ..................................................................................................................................... 3
Objetivos de aprendizaje. ................................................................................................................ 4
Descripción general de contenidos. ............................................................................................... 4
Desarrollo de contenidos por objetivo. ......................................................................................... 5
Objetivo 1: ...................................................................................................................................... 5
Comprender teóricamente el concepto de Espacio Muestral. ................................................ 5
Objetivo 2: ...................................................................................................................................... 8
Aplicar el concepto de Espacio Muestral en situaciones reales. ............................................ 8
Objetivo 3: ...................................................................................................................................... 9
Comprender la Definición Laplaciana de Probabilidad. ........................................................ 9
Objetivo 4: .................................................................................................................................... 10
Aplicar el concepto de Definición Laplaciana de Probabilidad en casos prácticos. ......... 10
Actividades de autoevaluación. ................................................................................................... 14
Bibliografía. ..................................................................................................................................... 15
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Presentación.
La matemática contiene áreas en las que posiblemente se tienda a mecanizar algunos
algoritmos para el logro de resultados. Es bien sabido, que esa mecanización no es más
que esa parte final que nos ayuda a encontrar un resultado determinado. Sin embargo, la
importancia real de la matemática radica en todo aquello que podemos modelar mediante
alguna representación matemática y que por ende nos ayuda a entender un fenómeno e
incluso a manipularlo.
Para lograr la esencia de la matemática en el sentido de utilizarla como una herramienta y
no como un fin, es requerida la interiorización de conceptos, es decir, no basta con
desarrollar “habilidad”, es importante generar competencia matemática, y esto es
comprender y aprehender conceptos matemáticos. Tal acción propiciará que los seres
humanos no repliquen conocimiento, si no que basándose en los conocimientos ya
creados, desarrollen nuevos, modifiquen los existentes y propongan situaciones que
ayuden a solventar problemas surgidos en la modernidad que requieren ser solucionados
para un bienestar en común en una familia, comunidad, país y en general en la sociedad.
Basándonos en esta conceptualización de lo que es “saber matemática”, se crea la presente
Guía de Estudio para desarrollar los siguientes temas:
- Espacio muestral.
- Definición Laplaciana de Probabilidad.
Ambos son tópicos que se introducen en el plan de estudios del Ministerio de Educación
Pública de Costa Rica (MEP), para el nivel de octavo año.
La propuesta radica en la utilización de diversos recursos didácticos, especialmente de
índole tecnológica, para que los estudiantes mismos generen su conocimiento con las
experiencias de aprendizaje. No se trata de desarrollar las clásicas lecciones magistrales y
luego el listado de ejercicios para resolver, se trata de construir en el camino la
conceptualización y aplicación de los conceptos de Espacio Muestral y de Definición
Laplaciana de Probabilidad.
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Objetivos de aprendizaje.
1. Comprender teóricamente el concepto de espacio muestral.
2. Aplicar el concepto de espacio muestral en situaciones reales.
3. Comprender la definición Laplaciana de probabilidad.
4. Aplicar el concepto de definición Laplaciana de probabilidad en casos prácticos.
Descripción general de contenidos.
Espacio muestral.
Se desarrollan actividades recreativas que motivan a que el estudiante defina por sí
mismo, qué es un espacio muestral.
Se simula un dado en Microsoft Excel.
Estudio de aplicaciones del concepto de espacio muestral.
La mediación pedagógica propuesta se basa en una una Macro-estrategia cognitiva, pues
se discutirá grupalmente el Problema de las Ruletas Intransitivas.
Definición clásica (Laplaciana) de probabilidad.
𝑃(𝐴) =𝐶𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠
𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠
Breve estudio acerca de la biografía de Pierre Simon Laplace.
Análisis de la definición Laplaciana de probabilidad.
Estudio problemas en los que se debe aplicar el concepto de definición Laplaciana de
probabilidad.
Haciendo uso de un simulador virtual del Problema de Monty Hall, se ejecuta una lección
tipo taller con la participación conjunta de todos los estudiantes.
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Desarrollo de contenidos por objetivo.
Objetivo 1:
Comprender teóricamente el concepto de espacio muestral.
¿Cuál es el espacio muestral de un dado?
Persiguiendo la idea de incorporar cada vez más el uso de software en la enseñanza de la
probabilidad, se creará un “dado” en Microsoft Excel.
Preguntas a los estudiantes:
¿Si queremos construir un dado virtual, de tal forma que al oprimir una tecla se simule el
lanzamiento de un dado, qué valores debemos tomar en cuenta para que en la
programación nos aseguremos que se obtendrán los mismos resultados que obtendríamos
si lanzáramos un dado real?
¿Es posible que al lanzar un dado común, obtengamos un siete?
¿Se puede obtener cero?
Hay que considerar que el resultado al lanzar un dado es aleatorio, es decir, todos los
posibles resultados tienen la misma probabilidad de salir, ¿cuáles son esos resultados?
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Creación de un dado en Microsoft Excel.
1. Primeramente nos posicionamos en cualquier celda y desplegamos el menú de
funciones:
2. Se busca la función llamada: “ALEATORIO.ENTRE”.
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3. Como valor inferior, se digita 1, pues el menor número que podemos obtener al lanzar
un dado. Mientras que como número superior, se digita 6, pues representa el máximo
valor posible.
4. Luego, el resultado aparece en la celda en que nos habíamos posicionado, el
lanzamiento del dado se simula oprimiendo la tecla F9. Cada vez que oprimamos la
tecla F9 será como haber lanzado un dado.
5. Cada estudiante en su computadora oprime repetidas veces F9 y apunta en su
cuaderno los resultados que va obteniendo. Asegurarse que los resultados obtenidos
solamente están entre 1 y 6.
Explicación del concepto de marco muestral.
Al finalizar con la actividad, se define en conjunto el concepto de marco muestral, como el
conjunto de todos los posibles resultados de un fenómeno aleatorio.
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Objetivo 2:
Aplicar el concepto de espacio muestral en situaciones reales.
Problema de las ruletas.
Tenemos tres ruletas para jugar una competencia. Con la primera ruleta siempre
obtenemos el número 3. Con la segunda obtenemos el número 1 con probabilidad 0,52 y el
número 5 con probabilidad 0,48. Con la tercera obtenemos el número 0 con probabilidad
0,25 y el número 4 con probabilidad 0,75. La competencia radica en que dos jugadores
deben elegir una ruleta y el que logre el mayor número será el ganador. Si nos dan la
opción de elegir de primero o de segundos ¿qué debemos decidir? ¿Cuál jugador tiene
ventaja, el que elige la ruleta en primer o en segundo lugar?
Preguntas para los estudiantes:
¿A qué conclusión llegan?
¿Cuál es el espacio muestral de cada una de las ruletas?
¿Cuál ruleta elegirían y por qué?
¿Elegirían seleccionar la ruleta de primero o de segundos, por qué?
Analizar la situación, discutirla en clase y desarrollar un proyecto en grupo para que se
presente en la feria científica el juego y se pueda mostrar a la comunidad estudiantil el
problema y la relación que guarda con el concepto de espacio muestral.
Explicación de la solución al Problema de las Ruletas Intransitivas.
Este problema es conocido como el Problema de las Ruletas Intransitivas, ya que el
fenómeno no presenta transitividad en la elección, esto es, cualquier ruleta mejora y es
mejorada por otra ruleta, por lo que el jugador que elige de segundo tiene ventaja.
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Objetivo 3:
Comprender la definición Laplaciana de probabilidad.
Breve estudio acerca de la biografía de Pierre Simon Laplace y análisis de la definición
Laplaciana de probabilidad.
Fuente: http://images.slideplayer.es/2/1029066/slides/slide_3.jpg
El astrónomo, físico y matemático francés Pierre Simon Laplace, nacido el 28 de marzo de
1749 en Normandía y fallecido el 5 de marzo de 1827 en París, es el responsable de una
idea intuitiva acerca del concepto de probabilidad. Laplace propone que para estimar la
probabilidad de que ocurra un suceso A, basta con calcular la razón de la cantidad de
casos favorables (casos en que ocurre A) por la cantidad de casos posibles.
𝑃(𝐴) =𝐶𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠
𝐶𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠
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Por ejemplo, la probabilidad de que al lanzar un dado se obtenga el valor 2 es:
𝑃(2) =1
6≈ 16,67%
Esta definición de probabilidad es fuertemente criticada, sin embargo ofrece una idea
intuitiva para introducirnos al análisis probabilístico de un suceso.
Objetivo 4:
Aplicar el concepto de definición Laplaciana de probabilidad en casos prácticos.
El problema de Monty Hall.
El Problema de Monty Hall fue inspirado por un programa de concursos de televisión
llamado “Let´s Make a Deal”, cuyo presentador se llamó Monty Hall, programa
sumamente conocido entre los años de 1963 y 1986. El problema en primera instancia
parece ser muy sencillo, el concursante debe elegir una de tres puertas, dos de las cuales
no contienen nada detrás. Sin embargo detrás de una de las tres hay un automóvil
Corvette rojo del año. Una vez que el concursante elige una opción, el presentador le
muestra una puerta que no contiene el premio, y se le da la alternativa al concursante de
cambiar la puerta elegida o bien quedarse con la que había seleccionado al inicio. ¿Qué
debe hacer el concursante para tener mayor probabilidad de ganar el premio, cambiar de
opción o quedarse con la puerta que había elegido originalmente? ¿Es irrelevante cambiar
la elección?
Contando con la colaboración de los estudiantes se simulará el concurso que da origen al
problema, analizando la frecuencia de los resultados obtenidos se calculará la
probabilidad de ganar el premio con cada decisión, ya sea manteniendo la puerta elegida
al inicio o bien cambiando de alternativa. Las probabilidades se estimarán siguiendo el
concepto Laplaciano ya analizado, al comparar los resultados se llegará a una respuesta
del problema. Para simular el concurso se utilizará una aplicación programada en
JAVASCRIPT que se puede encontrar en la siguiente dirección electrónica:
http://www.estadisticaparatodos.es/taller/montyhall/montyhall.html
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Se propone la utilización de la siguiente tabla para recoger los datos:
Marque con una equis (X) los resultados correspondientes a cada participación de las
personas “concursantes”.
¿Cambió de puerta?
Observación Ganó Perdió No Sí
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
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16
17
18
19
20
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La cantidad de ensayos podría modificarse según la cantidad de participantes y el tiempo
disponible.
Es importante considerar que la aplicación informática que se utilizará para simular el
concurso realiza los cálculos de las probabilidades de forma automática, sin embargo, la
idea es utilizar esta tabla y luego estimar las probabilidades mediante la definición
Laplaciana, pues es el tema de fondo que se quiere desarrollar. Una vez completa la tabla,
se procede al cálculo de las probabilidades buscadas.
Probabilidad de ganar sin cambiar de puerta P(N).
𝑃(𝑁) =𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑔𝑎𝑛ó sin 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑟𝑡𝑎
𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑛𝑜 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖ó 𝑑𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑟𝑡𝑎
Probabilidad de ganar cambiando de puerta P(S).
𝑃(𝑆) =𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑔𝑎𝑛ó 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑟𝑡𝑎
𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖ó 𝑑𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑟𝑡𝑎
Según estos resultados, ¿Qué debe hacer el concursante para aumentar las probabilidades
de éxito?
Explicación de la solución al Problema de Monty Hall.
En principio, al elegir una puerta cualquiera, se cuenta con una opción entre tres de ganar
el premio, pues solo en una de las tres puertas está el vehículo.
𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑔𝑎𝑛𝑎𝑟 =1
3≈ 33,33%
Por otro lado la probabilidad de perder es:
𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑑𝑒𝑟 =2
3≈ 66,67%
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Sin embargo, una vez que se muestra una de las puertas que no contiene el premio, ¿se
podría aumentar la probabilidad de éxito?
Ahora tenemos dos opciones, seguir con la opción elegida o cambiar a la otra puerta.
Analicemos ambos escenarios:
Si el concursante elige inicialmente la puerta ganadora, para lo cual tiene una
probabilidad de 1/3, entonces, cuando el presentador muestre una puerta no ganadora
y se da la opción al concursante de que cambie de puerta, si lo hace, perderá.
Por otro lado, si el concursante elige una puerta no ganadora desde el inicio, para lo
cual tiene una probabilidad de 2/3, entonces, el presentador mostrará la otra puerta no
ganadora. Si el concursante cambia de opción, ganará.
Es decir, si el concursante cambia su elección, maximiza la probabilidad de ganar a 2/3,
esto bajo el entendido que el presentador mostrará siempre una puerta no ganadora y
luego se le da la opción de cambiar su elección original.
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Actividades de autoevaluación.
1. Defina con sus propias palabras el concepto de marco muestral.
2. ¿Cuál es el marco muestral del fenómeno aleatorio de lanzar una moneda al aire?
3. ¿Cuál es el marco muestral del fenómeno aleatorio de lanzar dos dados al mismo
tiempo y sumar los resultados?
4. Defina con sus propis palabras el concepto de definición Laplaciana de probabilidad.
5. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un dos al lanzar un dado?
6. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un seis al lanzar un dado?
7. Si se lanzan dos dados, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de los resultados sea 1?
8. Si se lanzan dos dados, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de los resultados sea 6?
9. Si se lanzan dos dados, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de los resultados sea 9?
10. Si en una bolsa hay 28 bolas negras, 12 amarillas y 23 blancas, ¿cuál es la probabilidad
de sacar una bola amarilla?
11. Si en una bolsa hay 2 bolas negras, 1 amarillas y 2 blancas, ¿cuál es la probabilidad de
sacar una bola negra?
12. Si se lanza una moneda 100 veces ¿es posible que las 100 veces caiga en escudo? ¿Estos
sucedería? Explique su razonamiento.
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Bibliografía.
Batanero, C. (2001). Didáctica de la Estadística. Granada: Grupo de Investigación en
Educación Estadística de la Universidad de Granada.
Hernández, O. (2008). Modelos probabilísticos discretos. San José: Editorial Universidad
de Costa Rica.
Mejía, P. (2010). Ya sé Excel, pero necesito más. Madrid: Visión Libros.
Ministerio de Educación Pública. Programa de Estudio en Matemáticas, 2012.
Sanabria, G. (2012). Comprendiendo las probabilidades. Cartago: Editorial Tecnológica de
Costa Rica.
Sitio Web «Estadística para todos», 2008
[consulta: 2015-09-04], Disponible en: ‹http://www.estadisticaparatodos.es›
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