Roadmap!!!!!!Uma boa discussão das derivações dessa aula podem ser encontradas no cap. 14 do livro “Classical Electrodynamics” (J. D. Jackson)
2
2
IntroduçãoAntes de vermos as cargas em movimento, é necessário discutir os potenciais retardados, pois eles definirão os campos das cargas em movimentoA forma das equações de Maxwell e suas simetrias em relação aos operadores permite que os campos E e B sejam expressos em termos de um potencial escalar e um potencial vetorial.
Um escalar e um vetor é mais fácil de lidar que 2 vetores!Eqs. para ϕ(r, t) e A(r, t) são mais simples de lidar do que
as eqs. de MaxwellA formulação relativística da teoria eletromagnética é mais simples de ser expressa em termos dos potenciais que dos campos
3
3
Os potenciaisA(r,t) → potencial vetorial; ϕ (r, t) → potencial escalar
B pode ser expresso como B = ∇xA; possível pois ∇.B = 0!
A eq. de Maxwell para o campo elétrico, no vácuo, pode ser escrita como:
Daí segue que o termo entre parenteses pode ser expresso como o gradiente de um campo escalar:
4
∇× ( E +1c
∂ A
∂t) = 0
E +1c
∂ A
∂t= −∇φ E = −∇φ− 1
c
∂ A
∂t
eq. 1
eq. 2
4
Os potenciaisA(r,t) → potencial vetorial; ϕ (r, t) → potencial escalar
B pode ser expresso como B = ∇xA; possível pois ∇.B = 0!
A eq. de Maxwell para o campo elétrico, no vácuo, pode ser escrita como:
Daí segue que o termo entre parenteses pode ser expresso como o gradiente de um campo escalar:
4
∇× ( E +1c
∂ A
∂t) = 0
E +1c
∂ A
∂t= −∇φ E = −∇φ− 1
c
∂ A
∂t
Eq. Maxwell 1
Eq. Maxwell 2
eq. 1
eq. 2
4
Equação da onda para os potenciaisReescreveremos agora as duas eqs. de Maxwell restantes (para div(E) e rot(H)), em termos das novas definições de E e B:
Se, em 4, somamos e subtraímos uma derivada de 2a. ordem para ϕ, e usamos a identidade vetorial
∇x∇xA=-∇2A+∇(∇.A), vamos obter:
5
∇2φ +1c
∂
∂t(∇ • A) = −4πρ → ρ = ρlivre + ρmat
∇× (∇× A)− 1c
∂
∂t(−∇φ− 1
c
∂ A
∂t) = −4π
cj
eq. 3
eq. 4
5
Equação da onda para os potenciaisReescreveremos agora as duas eqs. de Maxwell restantes (para div(E) e rot(H)), em termos das novas definições de E e B:
Se, em 4, somamos e subtraímos uma derivada de 2a. ordem para ϕ, e usamos a identidade vetorial
∇x∇xA=-∇2A+∇(∇.A), vamos obter:
5
Eq. Maxwell 3
Eq. Maxwell 4
∇2φ +1c
∂
∂t(∇ • A) = −4πρ → ρ = ρlivre + ρmat
∇× (∇× A)− 1c
∂
∂t(−∇φ− 1
c
∂ A
∂t) = −4π
cj
eq. 3
eq. 4
5
Equação da onda para os potenciais
6
∇2 A− 1c2
∂2 A
∂t2−∇(∇ • A +
1c
∂φ
∂t) = −4π
cj
∇2φ− 1c2
∂2φ
∂t2+
1c
∂
∂t(∇ • A +
1c
∂φ
∂t) = −4πρ
eq. 5
eq. 6
6
As transformações de calibre (“gauge”)Os potenciais não são unicamente determinados pelas condições anteriores. Adicionar o gradiente de uma função escalar genérica ao potencial vetor, ou a derivada temporal dessa mesma função ao potencial escalar mantém as eqs. de Maxwell invariantes. Ou seja:
7
A → A +∇ψ, B → B
φ → φ− ∂ψ
∂t, E → E
Liberdade de escolher o potencial... Uma função livre (ψ) implica em uma equação de vínculo escalar
eq. 7
7
As transformações de calibre (“gauge”)
Importante escolher ψ de forma que a condição de Lorentz seja satisfeita!
Dessa forma, as eqs. XX e YY podem ser “transformadas” em eqs. de onda não homogêneas, isto é, com “termos de fonte”, com soluções definidas em termos de integrais sobre as fontes.
8
∇ • A +1c
∂φ
∂t= 0 “gauge” de Lorentz eq. 8
8
As transformações de calibre (“gauge”)
9
∇2φ− 1c2
∂2φ
∂t2= −4πρ
∇2 A− 1c2
∂2 A
∂t2= −4π
cj
φ(r, t) =
[ρ]d3r
|r − r|
A(r, t) =1c
[j]d3r
|r − r|
2
φA
= −4π
ρ
j/c
Ou, de forma geral (notação de quadrivetores):
eqs. 9 eqs. 10
eq. 11
9
As transformações de calibre (“gauge”)
9
∇2φ− 1c2
∂2φ
∂t2= −4πρ
∇2 A− 1c2
∂2 A
∂t2= −4π
cj
φ(r, t) =
[ρ]d3r
|r − r|
A(r, t) =1c
[j]d3r
|r − r|Potenc
iais “re
tardad
os”
2
φA
= −4π
ρ
j/c
Ou, de forma geral (notação de quadrivetores):
eqs. 9 eqs. 10
eq. 11
9
[Q] ≡ Q(r, t− 1c
|r − r|
Potenciais retardados
Calculados num “tempo retardado”, isto é, nas condições que existiam no ponto r’ no instante anterior a t, por EXATAMENTE o intervalo de tempo exigido para a luz viajar de r a r’.A informação em r’ propaga-se com a velocidade da luz, de modo que os potenciais em r somente podem ser afetados pelas condições em r’ após um tempo t “retardado” em relação a r’!
10
eq. 12
10
Receita...Forma direta para encontrar E e B produzidos por uma densidade de carga ρ ou uma densidade de corrente j:
Encontre os potenciais retardados por meio das integrais XXCalcule E e B a partir de suas expressões definidas com os potenciais
11
11
Potenciais de Lienard-WiechartPrincipais diferenças dos potenciais eletrostáticos:
Há um fator de correção devido ao movimento das cargas (k = 1 - (n.u/c)) → concentração do potencial,
esfericamente simétrico quando em repouso, na forma de um cone quando v → c
Todas as quantidades são calculadas no tempo retardado tret.
O retardamento permite a uma partícula emitir radiaçãoA dependência implícita do potencial com a posição (ocorre via definição do tempo retardado) e a diferenciação com respeito a essa dependência leva o fator 1/r presente no potencial para o comportamento dos campos
12
12
O processo...Usamos as funções de Green para ϕ e A para obter
Uma carga em movimento pode ser descrita como
que, ao ser inserida em XX, nos dá os potencials de Lienard-Wiechart, calculado para t = τ + R(τ)/c
13
φA
=
V
ρ(x, t)
j(x, t)/c
d3x
|x− x|t = t− |x− x|
c
ρ(t) = qδ(x− r(t))j(t) = qvδ(x− r(t))
φA
=
1R− R • v/c
ρ
qj/c
ret
eq. 15
eq. 16
eq. 17
13
Campos de radiação e velocidadeO campo elétrico é composto de 2 termos:
o campo de velocidades (dependência com 1/R2), que é uma generalização da lei de Coulomb (caso eletrostático ou quando u << c)v ≠ 0, A ≠ 0 → B ≠ 0 → carga em movimento produz campo!
o campo de aceleração (dependência com 1/R) é perpendicular a n e proporcional à aceleração da partícula. Ele é comumente chamado de “campo de radiação”!
E, B e n formam uma tríade de vetores mutuamente perpendiculares cujas propriedades são consistentes com as soluções radiativas das equações de Maxwell livres de carga.
14
14
O cálculo de Erad e Evel
O processo é longo, mas direto. Inserimos ϕ e A nas eqs. 1 e 2 e calculamos a
conexão entre os tempos t e τ
15
∂τ
∂t=
1− R
R• v
c
E =q
(R− R • β)3
(1− β2)(R−Rβ) + R
c × [(R−Rβ)× β]
B =R
R× E
eq. 17
eqs. 18
15
16
Efeito sentido em R, causado pela partícula quando estava em Rret
Posição da partícula em t não vai afetar R em t, mas sim em t’ > t!!!
.t’ > t...
∝ v(t- τ)
E .
16
17Carga oscilando entre duas paredes Carga oscilando num dipolo
Zona de transição
t = 0, carga é parada num ponto x=0
t = 1, as linhas são corrigidas, dentro da zona de transição, para a posição correta e fora dela, apontam para onde a partícula deveria estar se não tivesse parado.
17
dW
dωdΩ=
c
4π|
[R • E(t)eiωt]dt|2
=q
4πc
n×
(n− β)× dβ/dt
(1− RR
• vc )−3
eiωtdt
2
Potência irradiada por uma única partícula
18
eq. 19a
eq. 19b
18
Radiação de partículas não relativísticasCaso não relativístico mais fácil de tratar, inicialmente. β=v/cComparando a magnitude das duas componentes do campo elétrico (Erad e Evel) temos:
19
Erad ∼ 1R3
.R
c.R.β =
v
Rc2
Evel ∼ 1R3
.R =1
R2
Erad
Evel∼ Rv
c2
eq. 20
eq. 21
eq. 22
19
Uma componente particular de freqüência f desse campo permite escrever dv/dt ~ v f = v / λ e definir um limite em que cada um dos campos predomina.
R ≤ λ (Evel predomina, por um fator > c/v - “near zone”) - peso dado pelo termo c/vR >> λ c/v (Erad predomina, em função de R - “far zone”)
Objetos astrofísicos encontram-se no regime “far zone” (MUUUUUITO DISTANTES) e o campo de radiação predomina!
20
Radiação de partículas não relativísticas
20
Assim, Erad = Brad = qv’/Rc2senθO vetor de Poynting aponta na direção de n na figura, e possui magnitude dada por S e unidade de (erg.s-1.cm-2).
Movimento NRSupondo “far zone”, teremos que o segundo termo da eq. 23 abaixo predomina:
21
E =q
(R− R • β)3
(1− β2)(R−Rβ) + R
c × [(R−Rβ)× β]
B =R
R× E
S =c
4πE2
rad =c
4π
q2v2
R2c4sen2θ
eq. 23
eq. 24
21
A potência irradiada por unidade de tempo no ângulo sólido dΩ em torno de n é dada por
E a potência total é obtida integrando-se a eq. acima em todo o ângulo sólido Ω
22
dW
dtdΩ= S ∗ dA =
q2v2
4πc3sen2θ
P =dW
dt=
q2v2
4πc3
Ωsen2θdΩ
=q2(v)2
2c3
1
−1(1− cos2θ)d(cosθ)
=q2v2
2c3
1
−1(1− µ2)dµ
P =2q2v2
3c3
Fórmula de Larmor: emissão de uma ÚNICA carga acelerada
eq. 25
eq. 26
eq. 27 eq. 28
22
Detalhes a lembrar sobre a expressão que define a potência emitida
A potência irradiada é proporcional ao quadrado da carga e da aceleraçãoO padrão de dipolo característico da solução aparece no termo sen2θ. O máximo é emitido perpendicular à direção de aceleração (oscilação) e nenhuma radiação é emitida paralela à direção de aceleração (oscilação).A direção instantânea da emissão é determinada por v’ e n. Se a partícula acelera ao longo de uma linha, a radiação emitida será 100% polarizada linearmente no plano definido por v’e n.
23
23
A aproximação de dipoloA radiação emitida por muitas partículas deveria, em princípio, ser somente a superposição da expressão de Larmor (ΣErad...), mas a coisa é mais complicada! Como todo mundo é calculado em um tempo retardado, consideramos que o efeito do tempo é diferente para cada partícula... Como levar em conta as relações de fase entre as diferentes partículas????
COMPLICADO!!!!!!!! Como fazer uma aproximação para tratar esse caso analiticamente?
24
24
A aproximação de dipoloConsideremos um sistema de dimensão L e escala de tempo de emissão típica τ
A diferença entre os tempos retardados do sistema é desprezível se τ >> L/c (tempo de propagação da informação)
Se τ ~ 1/ν (frequencia característica) e τ >> L/c, temos que c/ν = λ >> L!!!Ou seja, se o sistema é menor que o comprimento de onda característico da emissão, podemos ignorar suas dimensões!
Entretanto, devemos levar em conta uma dimensão típica do sistema l, tal que τ ~v/l, em que l << L. Assim, v/c << l/L e v << c, de modo que o tratamento do sistema em questão pode ser NÃO-RELATIVÍSTICO!
25
25
A aproximação de dipoloPara um conjunto de partículas, é fácil imaginar, nesse caso, que o campo de radiação resultante é a soma dos campos de cada partícula
Para um observador distante, Ri ~ R e a eq. 29 pode ser reescrita como:
26
Erad =
i
qi
c2
n× (n× vi)Ri
eq. 29
Erad =
i
1c2
n× (n× qivi)R
Erad =1c2
n× (n×
i qivi)R
Erad =1c2
n× (n× d)R
d =
i
qiriMomento de dipolo
dP
dΩ=
d2
4πc3sen2θ
P =2d2
3c3
Aproximação de dipolo
eq. 30
eq. 31
eq. 32 eq. 33
26
O espectro de radiaçãoUsando o par de Fourier para o momento de dipolo:
Obtemos as relações
28
d(t) = +∞
∞ω2d(ω)dω
E(ω) = − 1c2R0
ω2d(ω)senθ
d(t) = +∞
∞e−iωtd(ω)dω eq. 34
eq. 35a
eq. 35b
28
E, usando as eqs. 35a e 35b e a definição de potência, podemos calcular a energia por unidade de ângulo sólido por intervalo de frequência e a energia total por unidade de frequência
Detalhe: o espectro da radiação emitida está diretamente relacionado com as frequências de oscilação do momento de dipolo, o que não acontece quando as partículas encontram-se no regime relativístico!
O espectro de radiação
29
dW
dωdΩ=
1c3
ω4|d(ω)|2sen2θ
dW
dω=
8πω4
3c3|d(ω)|2
eq. 36
eq. 37
29
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