IES MURILLO Departamento de Matemáticas
1º Bachillerato Ciencias
EXAMEN DE GEOMETRÍA ANALÍTICA
1. Dado el punto A(3,-1) y la recta r:2x-3y+4=0. a) Halla la ecuación de una recta paralela a r y que pase por A. b) Halla la ecuación de una recta perpendicular a r y que pase por A. (2 puntos) 2. Halla el simétrico del punto A(-2,0) respecto de la recta r: x+2y-3=0. (2 puntos)
3. Halla el ángulo α que forman las rectas 0=5-5y+12xs
0=7+4y-3xr
≡
≡ (1 punto)
4. Dados los puntos A(-1,3), B(1,1) y C(-3,-2) a) Halla la ecuación de la mediatriz del segmento AB. b) Halla la ecuación de una recta que sea paralela a AB y pase por el punto C.
(2 puntos)
5. Dado el triángulo de vértices A(-2,1), B(5,4), C(2,-3) a) Halla su área. b) Halla su perímetro. (2 puntos) 6. Comprueba si el cuadrilátero ABCD es un paralelogramo, siendo A(5,1), B(1,2), C(3,4) y D(7,3). (1 punto)
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1º Bachillerato Ciencias
SOLUCIONES
1. Dado el punto A(3,-1) y la recta r:2x-3y+4=0. a) Halla la ecuación de una recta paralela a r y que pase por A.
Pendiente de r: 32m = , si es paralela, la pendiente es la misma.
Ecuación punto pendiente: )()( 3x321yxxmyy 00 −+−=→−+=
La ecuación de la recta pedida es: 3x32y −=
b) Halla la ecuación de una recta perpendicular a r y que pase por A.
Pendiente de una recta perpendicular: 23m −=
Ecuación punto pendiente: )()( 3x231yxxmyy 00 −−−=→−+=
La ecuación de la recta pedida es: 27x
23y +−=
2. Halla el simétrico del punto A(-2,0) respecto de la recta r: x+2y-3=0. Recta dada en forma explícita:
21m
23x
21y3xy2 −=→+−=→+−=
la recta perpendicular tendrá m = 2 Y pasa por el punto A, es decir, que su ecuación es: 4x2y2x20y +=→++= )( La intersección de las dos rectas es el punto M, resolviendo el sistema:
2y1x
05x5034x22x4x2y
03y2x=−=
→=+→=−++→⎭⎬⎫
+=
=−+)( M(-1,2)
este M es el punto medio del segmento AA’, siendo A(-2,0) y A’(x,y)
),(',;,),( 40A4y0x2y2
2x21
2y0
2x221M →==→=
+−=−→⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++−
=−
3. Halla el ángulo α que forman las rectas ),('
),(
512n0=5-5y+12xs
43n0=7+4y-3xrr
r
→≡
−→≡
( ) 'º)('
'',coscos 4575
13516
51243
54123nnnn
nn2222
=α→⋅
=+−+
⋅−⋅=
⋅==α rr
rrrv
4. Dados los puntos A(-1,3), B(1,1) y C(-3,-2) a) Halla la ecuación de la mediatriz del segmento AB.
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1º Bachillerato Ciencias
Necesitamos hallar el punto medio de AB, M ( )202
132
11M ,, =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++−
→ , la
mediatriz pasa por M y es perpendicular a la recta AB, cuya pendiente es:
11131m −=
+−
= , luego la pendiente de la mediatriz será 1 (inversa y opuesta), la
ecuación de la recta pedida será: x2y0x12y +=→−+= )( b) Halla la ecuación de una recta que sea paralela a AB y pase por el punto C. Si es paralela a AB, su pendiente es la misma, es decir m = -1, y pasa por C:
5xy3x12y −−=→+−−= )( 5. Dado el triángulo de vértices A(-2,1), B(5,4), C(2,-3) a) Halla su área. Necesitamos una base y la altura correspondiente: base AB y la altura será la distancia de C a AB.
Ecuación de AB: 73
2514m =
+−
=713x
73y2x
731y +=→++=→ )( en forma
implícita: 013y7x313x3y7 =+−→+=
Base = 581425BAd 22 =−++= )()(),( u
Altura = u5840
73
133723ABCd
22=
−+
+−−⋅=
)(
)(),( 20
2584058
A =⋅
=→ u2
b) Halla su perímetro. ),(),(),( ACdCBdBAdP ++=
584352CBd 22 =−−+−= )()(),( u
321322CAd 22 =−−++= )()(),( u 32582325858P +=++=→ u 6. Comprueba si el cuadrilátero ABCD es un paralelogramo, siendo A(5,1), B(1,2), C(3,4) y D(7,3). Para que sea un paralelogramo los lados no adyacentes tienen que ser paralelos, es decir que, tiene que ser: DCAB = y ADBC = , lo comprobamos:
( ) ( )141251AB ,, −=−−= ( ) ( )143473DC ,, −=−−= ( ) ( )222413BC ,, =−−= ( ) ( )221357AD ,, =−−=
Comprobado, es un paralelogramo
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