VETORES
VETORESQuantidades com magnitude e direção
Magnitude: Quanto(representado pelo comprimento de uma linha)
Direção: Qual direção ele aponta
Pode ser represntado por um segmento de reta (seta)Exemplos:
Velocidade Aceleração Deslocamento Força
É POSSÍVEL EXPRESSAR O DESLOCAMENTO
É POSSÍVEL EXPRESSAR O DESLOCAMENTO
SITUAÇÃO EXPERIMENTAL
Figura 1: Câmera 1 Figura 2: Câmera 2
Figura 3: Câmera 3 Figura 4: Câmera 4
P=(x,y)
X
Y
Posição em 2 dimensões
TRAJETÓRIA E DISTÂNCIA PERCORRIDA
Goleiro Lateral
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
10
20
30
40
50
60
ATAQUE DEFESA
Distância percorrida: 1969 m
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
10
20
30
40
50
60
ATAQUE DEFESA
Distância percorrida: 4925 m
Zagueiro Volante
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
10
20
30
40
50
60
ATAQUE DEFESA
Distância percorrida: 4558 m
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
10
20
30
40
50
60
ATAQUE DEFESA
Distância percorrida: 4280 m
TERMINOLOGIA DE VETORES Dois ou mais vetores atuando em um pesmo
ponto são denominados vetores concorrentes.
A soma de dois ou mais vetores é chamada de resultante (R). Um vetor simples pode substituir vetores
concorrentes Qualquer vetor pode ser descrito como tendo
componentes “x” e “y” em um sistema de coordenadas.
O processo de quebra de um vetor em componentes “x” e “y” é chamado de resolução de vetor.
Vetores são ditos em “equilibrio” se a soma for igual a zero.
E = 5 N R = 5 N at 180 ° at 0°
TERMINOLOGIA DE VETORES
QUAL A RESULTANTE DOS SEGUINTES VETORES?
E= 10 N a 0 graus R = 20 N a 0 graus
E =20 N a 45 graus R = 10 N a 225 graus
Nem sempre os vetores estão “em linha”, mas em um ângulo entre eles
TIP TO TAIL – 3 VETORES
Podemos adicionar 3 ou mais vetores ao colocá-los agrupados (tip to tail) em qualquer ordem, desde que sejam de mesmo tipo (força, velocidade, deslocamento, etc.).
azul + verde + vermelho
METODO GRAFICO DE ADIÇÃO DE VETORES
Vetores podem ser desenhados em escala e a resultante pode ser determinada com uma régua e um transferidor.
Vetores são adicionados ao desenhar a ponta do vetor à extremidade do segundo vector (“tip to tail”). A ordem não importa.
A resultante é sempre desenhada da ponta para a extremidade do último vetor.
EXEMPLOUma força de 50 N a 0° age concorrentemente a uma força de 20 N force a 90°.
R
R e são iguais em cada diagrama.
ADICIONE ESSES VETORES
a
b ab
R= a+b
UM NADADOR ATRAVESSA UM RIO A 8.00 M/S QUE TEM UA CORRENTEZA DE 5.00 M/S.
8.00 m/s
5.00 m/s
Largura do Rio
8.00 m/s
5.00 m/s
R = 9.43 m/s a 32°
RESOLUÇÃO TRIGONOMÉTRICA
h
sen = y / h
y = h sen
cos = x / h
x = h cos
- + ++- - +-
x
y
EXEMPLO:
5 N a 30°
6 N a 135° x y5 cos 30° = +4.33 5 sin 30° = +2.5
6 cos 45 ° = - 4.24
6 sin 45 ° = + 4.24
+ 0.09 + 6.74
R = (0.09)2 + (6.74)2 = 6.74 N
= arctan 6.74/0.09 = 89.2°
CÁLCULO PELOS COMPONENTES DOS VETORES
(6, 2)
(9, 9)
(11, 5)C
3
7
2
-4
XA, YA XB, YB(9 , 9) (11 , 5)(6 , 2) (9 , 9)(3 , 7) (2, - 4)
R (5 , 3)
R 3 5
R2 = 52 +32 = 5.83 m
AB
A B
A
B
C = A – B
ORIGEM DA LEI DOS COSSENOS
Θ
bc
a
d
e
m
cosΘ = d/b d=b.cosΘe= c – de= c - b.cosΘ
senΘ= m/b m=b.senΘ
a2 = m2+e2 (=> Norma)a2 = (b.senΘ)2 + (c - b.cosΘ)2
a2 = b2.senΘ2 + c2 – 2 cb.cosΘ+ b2cosΘ2
a2 = b2.senΘ2 + b2cosΘ2 + c2 – 2 cb.cosΘa2 = b2.(senΘ +cosΘ) 2 + c2 – 2 cb.cosΘ
a2 = b2.(1) 2 + c2 – 2 cb.cosΘa2 = b2+ c2 – 2 cb.cosΘ
CÁLCULO DO ÂNGULO ENTRE DOIS VETORES
x1 x2
y1
y2
LEI DOS COSSENOS c2 = a2+ b2 – 2|a.b|cos θ
a
b
c
Θcos Θ = a . b |a|.|b|
c = a-b (a-b)2 = |a2|+|b2| - 2|a.b|cos θ(a-b) *(a-b) = |a2|+|b2| - 2|a.b|cos θ
a*a – a*b – b*a + b*b = |a2|+|b2| - 2|a.b|cos θ|a2|- 2 (a*b) +| b2| = |a2|+|b2| - 2|a.b|cos θ
-(a*b) = - |a.b|cos θ (*-1)(a*b) = |a.b|cos θcos θ = (a*b) /|a.b|
ÂNGULOS ENTRE VETORES
x1 x2
y1
y2
Θ
Cos Θ = A . B |A|.|B| A B(XA, YA) (XB, YB)
Cos Θ =(XA* XB) + (YA * YB) (√XA
2 YA2)*(√XB
2 YB2)
VETORES EM 3 D
Cos Θ = A . B |A|.|B|
cos Θ =(XA* XB) + (YA * YB) +(ZA * ZB) (√XA
2+ YA2 + ZA
2 )*(√XB2 + YB
2+ ZB
2)
ÂNGULO ENTRE 2 VETORES
A (10, 60) B (40, 40)C (25, 15)
Cos Θ = A . B |A|.|B|
B (40, 40)
C (25, 15)
A (10, 60)
X yAB = (10-40) (60-40) = -30 20CB = (25-40) (15-40) = -15 -25
Cos Θ =(X1* X2) + (Y1 * Y2) (√X1
2 Y12)*(√X2
2 Y22)
Cos Θ =(-30* -15) + (20 * -25) (√-302 202)*(√-152 -252)Cos Θ = -0.04757 = 92.72o
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