Quando é necessário escolher apenas uma ideologia, utiliza-se uma escolha, por meio de sufrágios ou votos que se designa por
ELEIÇÃO
O processo eleitoral tem dois momentos:
a votação
a contagem de votos.
Como funciona a contagem? Será um processo justo?
Será que existem eleitores com mais poder de voto do que outros?
1. VOTOS DE PREFERÊNCIAS.TABELAS DE PREFERÊNCIAS.
Os votos de preferência são votos em que o eleitor escolhe, por ordem de preferência, os candidatos.
Uma forma lógica de organizar os votos é agrupar os que são idênticos, e elaborar uma tabela de preferências.
Uma vez que a Universidade de Coimbra encontra-se sem reitor, suponhamos que temos quatro candidatos para ocupar o lugar vago. São eles o Dr. António , o Dr. Bernardo, a Dra. Carolina e a Dra. Daniela.
Há 37 pessoas com direito a voto nesta eleição, que constituem a população eleitora. Façamos a seguinte correspondência:
A AntónioB BernardoC CarolinaD Daniela.
Cada um dos eleitores vota indicando a sua primeira, segunda, terceira e quarta escolha. Finda a votação, qual será o candidato eleito para reitor?
Agrupando os diferentes tipos de boletins de votos obtidos, no total de 24 possíveis, temos a seguinte tabela de preferências:
Número de eleitores 14 10 8 4 1
1ª Opção A C D B C
2ª Opção B B C D D
3ª Opção C D B C B
4ª Opção D A A A A
TRANSITIVIDADE E ELIMINAÇÃO DE CANDIDATOS
transitividade da preferência individual
escolhas relativas de um eleitor não são afectadas pela eliminação de um ou mais candidatos.
Há dois factos a ter em conta quando se usam os votos de preferências:
VOTO
1º - C2º - B3º - D4º - A
VOTO
1º - C2º - D3º - A
Exemplificação:
2. MÉTODO DA PLURALIDADE
O candidato que obtiver o maior número de colocações em primeiro lugar será o eleito.
Aplicando este método ao nosso exemplo inicial, temos que: A obtém 14 votos para 1º lugar;
B obtém 4 votos para 1º lugar;C obtém 11 votos para 1º lugar;D obtém 8 votos para 1º lugar.
Neste caso, o resultado da escolha é óbvio – o eleito é o candidato A (o Dr.António).
Características:
Simplicidade
Aplicação do princípio da regra da maioria
A maioria implica a pluralidade e o recíproco não se verifica. Tal facto conduz-nos até ao critério da maioria.
CRITÉRIO DA MAIORIA:
Se uma escolha obtiver a maioria das colocações em primeiro lugar numa
eleição, então essa escolha deverá ser a eleita.
CRITÉRIO DE CONDORCET:
Se houver uma escolha, em que comparativamente com todas as outras, seja a preferida pelos eleitores, então essa escolha deverá ser a eleita.
Falhas do método da pluralidade:
não considera outras preferências além da primeira
mau resultado eleitoral
não verifica o critério de Condorcet
existência de votos que não revelam a verdadeira preferência dos eleitores
Marie Jean Antoine Caritat – Marquis de Condorcet (1743 – 1794)
Dedicou-se às Ciências Sociais
É possível encontrar exemplos de eleições em que um candidato ganha em comparação com outros, mas ainda assim, pelo método da pluralidade, esse candidato perde a eleição. A esse
candidato que ganha em comparação com os outros designa-se por CANDIDATO CONDORCET.
Exemplo da falha do método da pluralidade:
O Orfeão dos Antigos Alunos da Universidade de Coimbra foi convidado para realizar um espectáculo em cinco cidades diferentes: Roma (R), Helsínquia (H), Caracas (C), Oslo (O) e em Sidney (S). O problema surge em decidir em que cidade actuarão, uma vez que só poderão realizar um espectáculo. Os cem membros do orfeão procedem então a uma eleição.
Os resultados da eleição encontram-se na tabela seguinte:
Número de eleitores 49 48 3
1ª Opção R H C
2ª Opção H S H
3ª Opção C O S
4ª Opção O C O
5ª Opção S R R
Método da pluralidade
Roma
Senso comum Helsínquia
n pontos
Neste método, a cada lugar nos votos de preferências é atribuída uma pontuação. Numa eleição com n candidatos atribui-se :
3- MÉTODO DE CONTAGEM DE BORDA
Somam-se os pontos que foram atribuídos a cada candidato, e o que obtiver o maior número de pontos é o vencedor da eleição.
um ponto
dois pontos
...
penúltimo lugar
último lugar
primeiro lugar.
considera toda a informação que provem dos votos de preferência;
é bastante usado quando existe um número significativo de candidatos.
Características do método:
Usando este método vejamos qual é o candidato eleito, no exemplo. A tabela seguinte mostra os pontos obtidos por cada candidato:
Número de eleitores 14 10 8 4 1
1ª Opção: 4 pts A: 56 pts C: 40 pts D: 32 pts B: 16 pts C: 4 pts
2ª Opção: 3 pts B: 42 pts B: 30 pts C: 24 pts D: 12 pts D: 3 pts
3ª Opção: 2 pts C: 28 pts D: 20 pts B: 16 pts C: 8 pts B: 2 pts
4ª Opção: 1pt D: 14 pts A: 10 pts A: 8 pts A: 4 pts A: 1 pt
Agora somemos os pontos:
A obtém: 4 * 14 + 1 * 10 + 1 * 8 + 1 * 4 + 1 * 1 = 79 pontos;
B obtém: 3 * 14 + 3 * 10 + 2 * 8 + 4 * 4 + 2 * 1 = 106 pontos;
C obtém: 2 * 14 + 4 * 10 + 3 * 8 + 2 * 4 + 4 * 1 =104 pontos;
D obtém: 1 * 14 + 2 * 10 + 4 * 8 + 3 * 4 + 3 * 1 = 81 pontos;
portanto o vencedor é o candidato B (Dr. Bernardo).
não verifica o critério de Condorcet
Falhas do método:
não satisfaz o critério da maioria
Para ilustrar a falha deste método vejamos o seguinte exemplo
Suponhamos que temos de eleger um representante do curso de Matemática, sendo os candidatos possíveis: o Joaquim, o Rodrigues, a Carlota e a Lucília.
Façamos a seguinte correspondência:
J Dr. JoaquimR Dr. RodriguesC Dra. CarlotaL Dra. Lucília.
Após a entrevista dos quatro candidatos os onze membros da direcção votaram nos
candidatos e decidiram usar este método para escolher este vencedor.
Número de eleitores 6 2 3
1ª Opção: 4 pts J R C
2ª Opção: 3 pts R C L
3ª Opção: 2 pts C L R
4ª Opção: 1 pt L J J
Os resultados da votação estão registados na próxima tabela:
Calculemos então a pontuação final de cada candidato:
J obtém: 4 * 6 + 1 * 2 + 1 * 3 = 29 pontos;R obtém: 3 * 6 + 4 * 2 + 2 * 3 = 32 pontos;C obtém: 2 * 6 + 3 * 2 + 4 * 3 = 30 pontos;L obtém: 1 * 6 + 2 * 2 + 3 * 3 = 19 pontos.
Concluímos assim que o Rodrigues será o representante do curso de Matemática com o total de 32 pontos. Isto verifica-se apesar do Joaquim ter seis colocações em primeiro lugar num total de onze, e portanto a maioria.
Logo, este método não verifica o critério da maioria. Tal facto, implica a violação do critério de Condorcet.
Este método é uma versão do princípio da sobrevivência dos mais aptos. A ideia básica é a contínua eliminação dos candidatos menos aptos, um a um, até que surja um vencedor. O critério para a aptidão é o número de colocações em primeiro lugar que se obtém.
4-MÉTODO DA PLURALIDADE COM ELIMINAÇÃO
Características do método:
é utilizado em eleições com poucos candidatos ( normalmente 3 ou 4 e raramente mais do que 6).
Contagem das colocações em 1º lugar de cada
candidato VencedorMaioria
Eliminação do candidato c/ o menor n.º de colocações em 1º lugar
Retira-se o nome do candidato eliminado da T.P.
Os candidatos posicionados em lugares inferiores sobem um
lugar
Nova contagem das colocações em 1º lugar
Maioria
Apliquemos este método à eleição do reitor da Universidade de Coimbra. Relembremos a tabela 1:
Número de eleitores 14 10 8 4 1
1ª Opção A C D B C
2ª Opção B B C D D
3ª Opção C D B C B
4ª Opção D A A A A
PASSO 1:
Candidato A B C D
Nº de votos da 1ª Opção 14 4 11 8
Como o candidato B é o que possui o menor número de votos na 1ª opção, ele é eliminado.
PASSO 2: Devido à eliminação de B, obtemos uma nova tabela:
Número de eleitores 14 10 8 4 1
1ª Opção A C D D C
2ª Opção C D C C D
3ª Opção D A A A A
Procedendo-se a uma recontagem dos votos, surge a seguinte tabela:
Neste passo, o candidato C é o eliminado pois possui o menor número de votos.
PASSO 3: Os onze votos pertencentes ao candidato C no passo 2 deslocar-se-ão para o candidato D, como se verifica na seguinte tabela:
Número de eleitores 14 10 8 4 1
1ª Opção A D D D D
2ª Opção D A A A A
Candidato A B C D
Nº de votos para 1ª Opção 14 - 11 12
O candidato D obteve a maioria dos votos da primeira opção no passo 3, uma vez que é apenas necessário 19 votos para que haja uma maioria, verificando-se assim o critério da maioria.
CRITÉRIO DA MONOTONIA:
Se uma escolha X for a vencedora de uma eleição e, numa reeleição, as únicas mudanças nos votos forem mudanças que favoreçam
X, então a escolha X deverá permanecer como a eleita.
não satisfaz o critério da monotonia
não verifica o critério de Condorcet
Falhas do método:
No Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra está prestes a realizar-se a eleição para o presidente do Núcleo de Estudantes de Matemática e Engenharia Geográfica (NEMATEG). Há três candidatos ao cargo que são a Ana (A), a Vera (V) e o Manuel (M).
Vejamos o seguinte exemplo:
Número de eleitores 7 8 10 4
1ª Opção A V M A
2ª Opção V M A M
3ª Opção M A V V
População eleitora- 29 membros
Vera é eliminada Passo 1→ Ana obteve 11 votos, a Vera 8 e o Manuel 10
Passo 2 → 8 votos que pertenciam à Vera são transferidos para o Manuel
Manuel é o presidente do NEMATEG (18 votos)
Suponhamos que os quatro eleitores da última coluna decidem trocar os votos da sua primeira opção (A) para o candidato Manuel (M).
Número de eleitores 7 8 14
1ª Opção A V M
2ª Opção V M A
3ª Opção M A V
Candidato (A) – 7 votos Eliminada
Candidato (V) - 15 votos Vencedor
Não satisfaz o critério da monotonia
Cada candidato é comparado com os restantes , sendo essas comparações feitas entre dois candidatos de cada vez.
5. MÉTODO DAS COMPARAÇÕES PAR A PAR
Quantas comparações são necessárias para encontrar um vencedor ?
Depende do número de candidatos pois se existirem N candidatos temos as seguintes comparações:
1º candidato N-1 comparações
2º candidato N-2 comparações. . .
Penúltimo candidato 1 comparação
são precisas 1 + 2 + 3 + … + (N-2) + (N-1) = N (N-1)/2 comparações
Para exemplificar este método vamos utilizar o exemplo inicial, cuja tabela de preferências é :
Características:
Satisfaz o critério de Condorcet
Satisfaz o critério da maioria
Satisfaz o critério da monotonia
Número de eleitores 14 10 8 4 1
1ª Opção A C D B C
2ª Opção B B C D D
3ª Opção C D B C B
4ª Opção D A A A A
• Comecemos por comparar A com BComecemos por comparar A com B
Número de eleitores 14 10 8 4 1
1ª Opção A C D B C
2ª Opção B B C D D
3ª Opção C D B C B
4ª Opção D A A A A
Como se verifica na tabela anterior, o candidato (B) ganha a comparação com 23 votos, obtendo assim 1 ponto.
• Comparação de A com C Comparação de A com C
Número de eleitores 14 10 8 4 1
1ª Opção A C D B C
2ª Opção B B C D D
3ª Opção C D B C B
4ª Opção D A A A A
Portanto, o candidato (C) ganha a comparação com 23 votos obtendo também 1 ponto.
• Comparação entre os candidato A e D Comparação entre os candidato A e D
Número de eleitores 14 10 8 4 1
1ª Opção A C D B C
2ª Opção B B C D D
3ª Opção C D B C B
4ª Opção D A A A A
Verificamos que o candidato D ganha a comparação com 23 votos, ficando com 1 ponto.
• Comparação entre os candidatos B e CComparação entre os candidatos B e C
Número de eleitores 14 10 8 4 1
1ª Opção A C D B C
2ª Opção B B C D D
3ª Opção C D B C B
4ª Opção D A A A A
O candidato C ganha a comparação com 19 votos contra 18 votos do candidato B
• Comparação entre os candidatos B e DComparação entre os candidatos B e D
Número de eleitores 14 10 8 4 1
1ª Opção A C D B C
2ª Opção B B C D D
3ª Opção C D B C B
4ª Opção D A A A A
O candidato B obteve 1 ponto ao ganhar a comparação com D.
• Comparação entre os candidatos C e DComparação entre os candidatos C e D
Número de eleitores 14 10 8 4 1
1ª Opção A C D B C
2ª Opção B B C D D
3ª Opção C D B C B
4ª Opção D A A A A
O candidato C ganha a comparação com 25 votos, obtendo assim 1 ponto.
Resumindo as comparações efectuadas anteriormente obtém-se o seguinte quadro:
Comparações Pontuação
A B A: 0 pt; B: 1 pts
A C A: 0 pts; C: 1 pt
A D A: 0 pts; D: 1 pt
B C B: 0 pt; C: 1 pt
B D B: 1 p ; D: 0 pts
C D C: 1 p ; D: 0 pts
Somando agora a pontuação de cada candidato, obtemos o resultado final que está expresso no seguinte quadro:
Candidato Pontuação final
A 0 pts
B 2 pts
C 3pts
D 1pt
Concluimos assim que pelo método de comparações par a par o vencedor é o candidato C.
CRITÉRIO DE INDEPENDÊNCIA DAS ALTERNATIVAS IRRELEVANTES:
Se a escolha X for a vencedora de uma eleição e uma (ou mais) das outras escolhas for removida e houver uma nova contagem dos
votos, então X deverá continuar a ser a escolha eleita.
Não satisfaz o critério de independência das alternativas irrelevantes.
Pode produzir um resultado em que todos os candidatos são vencedores;
Falhas deste método:
Para ilustrar estas duas falhas vamos apresentar dois exemplos:Para ilustrar estas duas falhas vamos apresentar dois exemplos:
EXEMPLO 1:
Os onze quartanistas do nosso curso vão realizar um jantar de curso, de modo a angariar algum dinheiro para participarem no cortejo da Queima das Fitas. É então necessário escolher o local do jantar entre os seguintes restaurantes: o Batina (B), a Liga (L) e o Democrática (D). A tabela de preferências é:
Nº de Eleitores 4 2 5
1ª Opção B L D
2ª Opção L D B
3ª Opção D B L
Candidato Pontuação final
B 1 pt
L 1 pt
D 1 pt
Analisando a tabela anterior obtemos o seguinte quadro:
Comparações Pontuação
BL B: 1 pts ; L: 0 pts
BD B: 0 pts ; D: 1 pts
LD L: 1 pts ; D: 0 pts
Chegamos assim, ao quadro da pontuação final:
Notamos que existe uma situação de empate. E agora? Geralmente, não há uma regra pré -estabelecida para desempatar, mas na prática é importante estabelecer este tipo de regras.
EXEMPLO 2:
Na Associação Académica de Coimbra existem várias secções desportivas. Na secção de Rugby, é necessário eleger um representante da equipa para receber o troféu de campeã nacional nesta modalidade. Há cinco voluntários: o Rafael (R), o João (J), o Miguel (M), o Luís (L) e o Gonçalo (G). A tabela seguinte mostra os votos de preferência dos eleitores:
Nº de Eleitores 2 6 4 1 1 4 4
1ª Opção R L L M M J G
2ª Opção J R R L J R M
3ª Opção M M J R R G J
4ª Opção L J G J L M L
5ª Opção G G M G G L R
Depois de efectuar as comparações par a par como foi feito no exemplo inicial temos o seguinte quadro:
Candidato Pontuação final
R 3 pts
L 2 + ½ pts
M 2 pts
J 1 + ½ pts
G 1 pt
O candidato eleito para ir receber o prémio em causa é o Rafael.
O mais interessante neste exemplo, é que mesmo antes de ser anunciado o resultado da eleição, o Miguel comunica que não poderá ir receber o troféu caso seja o eleito. Uma vez que o Miguel não é a escolha principal, será que a sua desistência vai afectar o resultado?
Suponhamos que o Miguel era eliminado no início da eleição, neste caso bastaria eliminá-lo do boletim de voto. Desta forma a tabela de preferências seria a seguinte:
Nº de Eleitores 2 6 4 1 1 4 4
1ª Opção R L L L J J G
2ª Opção J R R R R R J
3ª Opção L J J J L G L
4ª Opção G G G G G L R
Logo, o vencedor seria o Luís.
Por outras palavras, se a eleição fosse realizada com o conhecimento de que o Miguel não fazia parte do leque de candidatos, então o Luís seria o eleito e não o Rafael. Consequentemente o resultado original parece injusto para o Luís.
Concluímos então que este método satisfaz todos os critérios enunciados até aqui excepto o critério de independência das alternativas irrelevantes.
Finalmente depois de efectuadas as comparações necessárias temos o seguinte quadro:
Candidato Pontuação final
R 2 pts
L 2 + ½ pts
J 1 + ½ pts
G 0 pts
2.6. RANKINGS
Muito frequentemente, é importante não só conhecer quem ganha as eleiçõesmas também quem ficou em segundo lugar, terceiro lugar, etc. Para isto, temos dois
métodos que são os seguintes:
➣ Métodos de ranking extensivos;
➣ Métodos recursivos de ranking
∲ MÉTODOS DE RANKING EXTENSIVOS
➸ ➸ Segundo o Segundo o método da pluralidademétodo da pluralidade : :
1ª Posição: vencedor da eleição
2ª Posição: candidato com maior número de colocações em 1º lugar a seguir ao anterior
. . .
Última posição: candidato com menor número de colocações em 1º lugar
EXEMPLO INICIAL:EXEMPLO INICIAL:
Número de eleitores 14 10 8 4 1
1ª Opção A C D B C
2ª Opção B B C D D
3ª Opção C D B C B
4ª Opção D A A A A
A tabela de preferências deste exemplo é a seguinte:
A contagem das colocações para a primeira opção é:A: 14 colocações para a 1ª opção;
B: 4 colocações para a 1ª opção;C: 11 colocações para a 1ª opção;
D: 8 colocações para a 1ª opção.
Desta forma, o quadro do ranking é:
PosiçãoCandidato Colocações para 1ª
opção
1º Lugar A 14
2º Lugar C 11
3º Lugar D 8
4º Lugar B 4
➸ ➸ O O método das comparações par a parmétodo das comparações par a par
O número de comparações ganhas por cada candidato é a base para se elaborar o ranking
Utilizando o exemplo anterior temos:
Comparações Pontuação
A B A: 0 pt; B: 1 pts
A C A: 0 pts; C: 1 pt
A D A: 0 pts; D: 1 pt
B C B: 0 pt; C: 1 pt
B D B: 1 p ; D: 0 pts
C D C: 1 p ; D: 0 pts
Portanto, o quadro do ranking é:
PosiçãoCandidato Pontos
1º Lugar C 3
2º Lugar B 2
3º Lugar D 1
4º Lugar A 0
∲ MÉTODOS RECURSIVOS DE RANKING
Utiliza-se o método X para eleger o vencedor ( 1º vencedor );
Ranking:
1ª Posição
2ª Posição
. . .
Última Posição
Retiramos o vencedor anterior e aplicamos novamente o método X (2º vencedor);
. . .
Retiramos o vencedor anterior e aplicamos o método X aos últimos dois candidatos (penúltimo vencedor);
Penúltima Posição
➸ ➸ Segundo o Segundo o método da pluralidade recursivométodo da pluralidade recursivo : :
Para melhor ilustrar este processo vamos apresentar dois exemplos:
PASSO 1: O candidato eleito é o Dr. António com 14 colocações para a 1ª opção, logo é colocado no 1º lugar do ranking.
PASSO 2: Removendo o candidato (A) da tabela original, obtemos uma nova tabela de preferências:
Eleição original
Nº de eleitores
14 10 8 4 1
1ª Opção A C D B C
2ª Opção B B C D D
3ª Opção C D B C B
4ª Opção D A A A A
Após a remoção do candidato (A)
Nº de eleitores 14 10 8 4 1
1ª Opção B C D B C
2ª Opção C B C D D
3ª Opção D D B C B
Usando esta nova tabela concluímos que o candidato B é o vencedor, colocando-se em 2º lugar no ranking.
PASSO 3: Retirando desta vez o candidato (B), obtemos a seguinte tabela:
Após a remoção dos candidatos (A) e (B)
Nº de eleitores 14 10 8 4 1
1ª Opção C C D D C
2ª Opção D D C C D
O candidato C é colocado na 3ª posição do ranking porque é o vencedor deste passo. Como só nos resta o candidato D, este fica na ultima posição do ranking.
Finalmente o ranking recursivo deste método aparece no seguinte quadro:
Posição Candidato
1º Lugar A
2º Lugar B
3º Lugar C
4º Lugar D
Como vimos anteriormente, o resultado das comparações dos candidatos está no quadro seguinte:
CandidatoPontuação final
A 0 pts
B 2 pts
C 3pts
D 1pt
➸ ➸ Segundo o Segundo o método das comparações par a par recursivométodo das comparações par a par recursivo : :
Portanto o vencedor é a Dra. Carolina (C), que colocamos no primeiro lugar do ranking.
Comparações Pontuação
A B A: 0 pts ; B: 1 pt
A D A: 0 pts ; D: 1 pt
B D B: 1 pt ; D: 0 pts
Depois de efectuar novas comparações temos o seguinte quadro:
Candidato Pontuação Final
A 0 pts
B 2 pts
D 1 pt
Desta forma, o candidato (B) ganha, colocando-se em segundo lugar do ranking.
Concluímos assim o seguinte quadro:
Elimina-se o candidato (B) e temos então:
Após remoção dos candidatos (B) e (C)
Nº de eleitores 14 23
1ª Opção A D
2ª Opção D A
Comparando A com D, o candidato D ganha a comparação e portanto este ocupará o terceiro lugar do ranking, e o candidato A ocupará o quarto lugar. Temos o seguinte quadro de ranking:
Posição Candidato
1º Lugar C
2º Lugar B
3º Lugar D
4º Lugar A
CRITÉRIO DA MAIORIA:Se uma escolha obtiver a maioria das colocações em primeiro lugar numa eleição,
então essa escolha deverá ser a eleita.
CRITÉRIO DE CONDORCET:Se houver uma escolha, em que comparativamente com todas as outras, seja a preferida
pelos eleitores, então essa escolha deverá ser a eleita.
CRITÉRIO DA MONOTONIA:Se uma escolha X for a vencedora de uma eleição e, numa reeleição, as únicas
mudanças nos votos forem mudanças que favoreçam X, então a escolha X deverá permanecer como a eleita.
CRITÉRIO DE INDEPENDÊNCIA DAS ALTERNATIVAS IRRELEVANTES:Se a escolha X for a vencedora de uma eleição e uma (ou mais) das outras escolhas for
removida e houver uma nova contagem dos votos, então X deverá continuar a ser a escolha eleita.
Como foi visto, nenhum método anterior satisfaz os seguintes quatro critérios:Como foi visto, nenhum método anterior satisfaz os seguintes quatro critérios:
TEOREMA DA IMPOSSIBILIDADE DE ARROW:
Um método democrático e justo para determinar o resultado de uma eleição é matematicamente impossível.
Kenneth Arrow (1921 - )
1952 – Teorema da impossibilidade de Arrow
1972 – Prémio Nobel da Economia
SISTEMA DE VOTO COM PESO: qualquer arranjo formal em que cada eleitor tem um número diferente de votos.
O melhor exemplo de um sistema de voto com peso:
Eleição do presidente dos Estados Unidos.
VOTO PODER
A principal vantagem de um sistema de voto com peso é de que:
• Não temos que nos preocupar com a escolha do método de voto a usar, pois todos eles seguem a:
regra da maioria.
•Temos apenas duas hipóteses (aceitar ou recusar),
NOTAÇÕES:
Jogador → Eleitor
Moção – apresentação de um assunto para ser discutido em assembleia;
• Moção → Haver uma mudança;
Sistema de voto com peso : [C: P1,..., PN]
• C - cota
isto é, o numero de votos necessários para que haja uma mudança; metade do total dos votos ≤ cota ≤ total dos votos
• P1,..., PN – o peso de voto de cada jogador, ordenados por ordem decrescente.
Chamam-se ditadores a todos os jogadores que tiverem peso de voto superior ou igual à cota.
Exemplo: [11: 12, 5, 4] o primeiro jogador é ditador
Numa situação em que há um ditador todos os outros jogadores ficam submetidos a ele, e estes jogadores chamam-se jogadores neutros.
O jogador que não é ditador mas que individualmente pode prevenir que os restantes jogadores juntos aceitem uma moção tem:
Poder de Veto
Neste caso não há ditador: [12: 9, 5, 4, 2], e o jogador P1, apesar de não ser ditador, tem o poder de obstruir, prevenindo qualquer mudança de posição dos restantes jogadores, isto é, que estes jogadores unam as forças e assim juntem mais votos que o primeiro jogador. Ao jogador P1 é dado o poder de prevenir tais mudanças porque mesmo que os restantes jogadores votem juntos, estes não tem votos superiores à cota. Isto faz com eles não possam aceitar uma moção contra a vontade de P1.
1. INDICADOR DE PODER DE BANZHAF
Em 1965 John Banzhaf introduziu uma interpretação matemática do poder para o sistema de voto com peso.
CONCEITOS IMPORTANTES:
COLIGAÇÃO: um grupo de jogadores que unem forças e juntos levarem à mudança.
Esta designação também é válida para jogadores singulares.
•COLIGAÇÃO VENCEDORA: são todas aquelas com votos suficientes para ganhar, as outras coligações são PERDEDORAS.
PESO DA COLIGAÇÃO: número total de votos controlado por uma coligação
A coligação que contém todos os jogadores é sempre vencedora e chama-se grande coligação.
Notação: coligação genérica de N eleitores é: {P1, P2,....,PN}.
•Uma coligação vencedora pode ter mais do que um jogador crítico, e só ocasionalmente uma coligação não tem jogador crítico.
•As coligações perdedoras nunca têm jogadores críticos.
Este conceito é a base da definição para o indicador de poder de Banzhaf.
JOGADOR CRÍTICO: é o jogador que transforma uma coligação vencedora em perdedora ao abandonar a coligação.
O poder do jogador é proporcional ao número de coligações para as quais ele é critico, isto é, quanto mais frequentemente um jogador é critico mais poder ele tem.
Para determinarmos o indicador de poder de Banzhaf de qualquer jogador num sistema de voto com peso genérico com N jogadores, seguimos os seguintes passos:
Passo 1: fazer uma lista de todas as coligações possíveis,
Passo 2: determinar quais são as coligações vencedoras,
Passo 3: em cada coligação vencedora determinar quais são os jogadores críticos,
Passo 4: contar o numero total de vezes que o jogador P, é critico – seja esse valor representado por B,
Passo 5: contar o número total de vezes que todos os jogadores são críticos – seja esse valor representado por T
O indicador de poder de Banzhaf é dado pela fracção: B/T.
A uma lista completa com os indicadores de poder de cada jogador, chamamos: distribuição de poder de Banzhaf.
É comum escrever os indicadores de poder em percentagem.
Para melhor percebermos os conceitos introduzidos anteriormente vamos analisar alguns exemplos:
Sistema de voto com peso da forma: [101: 99, 98, 3].À primeira vista somos conduzidos a pensar que os dois primeiros jogadores têm mais poder do que o terceiro.
depois de analisarmos a situação verificamos que por mais estranho que nos pareça, os três jogadores tem o mesmo poder.
1ª - {P1} 99 Perde 2ª - {P2} 98 Perde 3ª - {P3} 3 Perde 4ª - {P1, P2} 197 Vence 5ª - {P1, P3} 102 Vence 6ª - {P2, P3} 101 Vence 7ª - {P1, P2, P3} 200 Vence
Coligações Peso da coligação Vence ou perde
As coligações 4, 5, 6, são vencedoras, mas basta que um jogador, o jogador crítico, abandone a coligação para que esta se torne numa coligação perdedora,
Em contrapartida a coligação 7 permanece vencedora mesmo que um jogador abandone a coligação,
Assim que cada jogador é duas vezes critico,
concluímos que cada jogador tem um terço do poder:2/6=1/3.
Cada membro tem um poder diferente nas decisões finais:
O1 → três votos,
O2 →dois votos,
O3 → um voto.
São necessários quatro dos seis votos possíveis para que haja mudança, isto é, para que seja aceite a moção. O que dá origem a um sistema de voto com peso da forma: [4: 3, 2, 1].
Numa empresa onde na direcção estão envolvidas três gerações da família Oliveira:
Oliveira I → O1
Oliveira II → O2
Oliveira III → O3
Aplicando agora a cinco regras para o cálculo do indicador de poder de cada um dos jogadores, obtemos:
1º- Há sete coligações possíveis, {O1} {O2} {O3} {O1, O2} {O1, O3} {O2, O3} {O1, O2, O3},
2º- Coligações vencedoras {O1, O2} {O1, O3} {O1, O2, O3},
3º- Jogadores críticos O1 e O2 → coligação {O1,O2} O1 e O3 → coligação {O1, O3} Apenas O1 → coligação {O1, O2, O3},
4º- O1 é três vezes jogador crítico O2 é uma vez jogador crítico O3 é uma vez jogador critico,
5º- O número total de jogadores críticos é cinco.
O indicador de poder de Banzhaf de cada jogador é: O1: 3/5 O2: 1/5 O3: 1/5
Sendo a distribuição de poder da forma: O1 tem 60% do poderO2 tem 20% do poderO3 tem 20% do poder.
Que a primeira geração tem mais poder, e que a segunda e terceira geração têm igual poder.
Existem tantas coligações quantos os subgrupos menos um, que é o subgrupo vazio.
Quantas coligações existem para um dado número de jogadores?
Identifiquemos as coligações com grupos.
A cada subgrupo diferente, excluindo o subgrupo vazio, fazemos corresponder uma coligação.
Nº de jogadores Nº de subgrupos Nº de coligações
A tabela seguinte mostra quantos subgrupos é possível formar com N elementos:
2 4=22 22 - 1=3
3 8=23 23 - 1=7
… … …
N 2N 2N – 1
Conselho de segurança das Nações Unidas
Constituído por:
15 nações de voto → 5 permanentes
→ 10 não permanentes
Para que uma moção seja aceite é necessário um voto a favor de cada um dos membros permanentes, mais votos adicionais a favor de pelo menos quatro dos dez membros não permanentes.
Contêm todos os membros permanentes mais pelo menos quatro dos membros não permanentes.
Então existem:
+ + + + + + =
= 210 + 252 + 210 + 120 + 45 + 10 + 10
= 848 Coligações
• Todos os membros permanentes são críticos nestas coligações.
Coligações vencedoras
4
10
5
10
6
10
7
10
8
10
9
10
10
10
Coligações vencedoras mínimas - são formadas pelos cinco membros permanentes e por exactamente quatro dos membros não permanentes.
Então existem:
= 84 Coligações
• E os membros não permanentes são apenas críticos nas :
3
9
Número total de vezes que todos os jogadores são críticos:
5 * 848 + 10 * 84 = 5080 .
O indicador de poder de Banzhaf :
Membros permanente é: 848/5080 = 0.167 ou 16.7%
Membro não permanente é: 84/5080 = 0.0165 ou 1.65%
mais poder que os membros não permanentes
Os membros permanentes têm
4. ÍNDICE DE PODER DE SHAPLEY - SHUBIK
Neste método as coligações são formadas sequencialmente, isto é, é importante a ordem do eleitor na coligação (todas as coligações
começam com um primeiro eleitor que pode ser seguido pelo segundo, depois o terceiro e assim sucessivamente).
- Coligação Sequencial
Palavra chave deste método:
Segundo Shapley – Shubik, os mesmos três eleitores podem formar seis diferentes coligações sequenciais: <P1, P2, P3> - significa que P1 iniciou a coligação, em seguida juntou - se o eleitor P2 e , por fim P3.
IMPORTANTE: A questão da ordem de cada eleitor na coligação.
Ilustre-se então a diferença com um simples exemplo.
De acordo com a interpretação de Banzhaf
-uma coligação com os eleitores {P1, P2, P3} significa que P1, P2 e P3 juntaram poder e votaram em conjunto, não interessando como formaram (a ordem) a coligação
Vamos ter n! coligações sequenciais possíveis.
Em cada coligação sequencial existe um jogador que no momento em que este se junta á coligação, esta parte de perdedora a uma coligação vencedora. A este jogador daremos o nome de:
PIVOT
Para um dado número de eleitores, N, quantas coligações sequenciais existem?
Procedimento para encontrar o índice de poder de Shapley - Shubik de cada eleitor num sistema de voto com peso com N eleitores é o seguinte:
1º Passo – Fazer uma lista de todas as coligações sequenciais com os N eleitores, há N!.
2º Passo – Em cada coligação sequencial determinar o Pivot. ( Há um em cada .)
3º Passo – contar o número de vezes que o eleitor P é Pivot. ( Designemo-lo por S )
O indicador de poder de Shapley – Shubik do eleitor P é dado por:
S/N!
Exemplo:Vamos retomar o exemplo da empresa da família Oliveira
considerada anteriormente. Tenhamos em conta que o sistema de votação que estamos a utilizar é 4 : 3, 2, 1 . Para a sua análise vamos então seguir os passos observados anteriormente.
< P1,, P2 ,P3 > < P1,, P3 ,P2 > < P2, P1 ,P3 > < P2,, P3 ,P1 > < P3, P1 ,P2 > < P3,, P2 ,P1 >
Coligação sequencial Jogador pivotal< P1,, P2 ,P3 > P2
< P1,, P3 ,P2 > P3
< P2, P1 ,P3 > P1
< P2,, P3 ,P1 > P1
< P3, P1 ,P2 > P1
< P3,, P2 ,P1 > P1
Passo 1
Passo 2
P1 é pivotal 4 vezes P2 é pivotal 1 vez P3 é pivotal 1 vez
A distribuição de poder segundo o modelo de Shapley – Shubik é assim:
P1 4/6 = 66, (6)%
P2 1/6 = 16,(6)%
P3 1/6 = 16,(6)%
Passo 3
Podemos então concluir que a distribuição de poder dos dois métodos é diferente.
Conclusão:
Utilizando o modelo de Banzhaf P1 : 60% ;P2: 20%; P3 : 20%.
Utilizando o modelo de Shapley – Shubik P1 : 66, (6)%
P2 :16,(6)%
P3 : 16,(6)%
O Oliveira I tem ainda mais poder.
Interpretação:
Em contrapartida o seu filho e o seu neto têm menos poder.
O Oliveira II continua com o mesmo poder que o filho.
BanzhafBanzhaf Shapley -ShubikShapley -Shubik
60%60% 66,(6)%66,(6)%
BanzhafBanzhaf Shapley -ShubikShapley -Shubik
20%20% 16,(6)%16,(6)%
20%20% 16,(6)%16,(6)%
Conselho de Segurança das Nações Unidas
Exemplo :
No conselho de Segurança das Nações Unidas temos:
15 membros 5 membros permanentes
10 membros não permanentes
De acordo com o método temos:
15! Coligações Sequenciais
Quando é que um membro não permanente é pivotal?
Nas coligações em que for precedido:
- pelos 5 membros permanentes
-por 3 não permanentes ( Podem ser escolhidos das possibilidades)
3
9
Estes 8 elementos podem ainda permutar entre si:
temos assim mais 8! possibilidades
Até agora temos 9 lugares preenchidos! Resta-nos ocupar os 6 restantes.
Para estes existem 6! possibilidades.
O índice de poder de cada membro é assim
[(9!8!)/3!]/15!
[(9!8!6!)/3!6!]/15!
[ (9!8!)]/15!
3
9
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