PROYECTO DE AULA QUE CONTRIBUYA
AL DESARROLLO DEL PENSAMIENTO
ALEATORIO Y SISTEMAS DE DATOS
Sildery Pérez Bustamante
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA
FACULTAD DE CIENCIAS
Medellín, Colombia
2016
PROYECTO DE AULA QUE CONTRIBUYA AL
DESARROLLO DEL PENSAMIENTO ALEATORIO Y
SISTEMAS DE DATOS
Sildery Pérez Bustamante
Trabajo final de maestría presentado como requisito parcial para optar al título de:
Magister en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Nat urales
Director David Alejandro Londoño Jiménez
Codirectora
Brigitt María Hernández Herrera
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA
FACULTAD DE CIENCIAS
Medellín, Colombia
2016
Dedicatoria
A mi Señor Jesús, quien es poder y
sabiduría de Dios. Él, quién en su infinita
misericordia tuvo cuidado de mí y de mí
familia. A Él toda la gloria, el honor y la
alabanza.
A mi hijo Tomás David, por aplazar todas
sus necesidades, y por entender que
estaba cansada para atenderlo.
A mi madre por ocuparse de mi hijo y de
todas mis cosas. Ella ha decidido ponerse
a un lado para que yo pueda cumplir este
sueño.
A mis abuelos, mi hermana, mi sobrina y
a mi cuñado por todo el apoyo y amor.
Porque el Señor da la sabiduría; conocimiento
Y ciencia brotan de sus labios. Proverbios 2:6
Más vale adquirir sabiduría que oro; más vale adquirir
Inteligencia que plata. Proverbios 16:16
Todas las riquezas de la sabiduría y del conocimiento
Se encuentran presentes en Cristo. Colosenses 2:3
VI
CONTENIDO
Contenido
Contenido VI
Resumen VIII
Abstract IX
Introducción 10
1. Aspectos Preliminares 11
1.1. Tema 11
1.2 Problema de investigación 11
1.2.1 Antecedentes 11
1.2.2 Formulación de la pregunta. 13
1.2.3 Descripción del problema 14
1.3 Justificación 14
1.4 Objetivos 16
1.4.1 Objetivo General 16
1.4.2 Objetivos Específicos 16
2. Marco Referencial 17
2.1 Marco Teórico 17
2.1.1 Pensamiento aleatorio y sistema de datos 17
2.1.2 Aprendizaje 18
2.1.3 Didáctica 19
2.1.4 Enseñanza 20
VII
CONTENIDO
2.1.5 Secuencia didáctica 21
2.1.6 Enseñanza para la comprensión 22
2.1.7 Secuencias Didácticas en el marco de la EpC 24
2.2 Marco Disciplinar 27
2.2.1 Probabilidad 27
2.2.2 Técnicas de conteo 28
2.3 Marco Legal 34
2.3.1 Contexto internacional 35
2.3.2 Contexto Nacional 35
2.3.3 Contexto Regional 37
3. Diseño metodológico 39
3.1 Tipo de Investigación: Profundización de corte monográfico 39
3.2 Método 39
4. Secuencia didáctica 40
4.1 Visión General 40
4.2 Alcance 46
4.3 Orientaciones para el docente 47
4.4 Guía de actividades para el estudiante 87
5. Conclusiones 102
Referencias 103
Resumen En el estudio de la probabilidad se presentan diferentes dificultades, que parten
desde la formación del docente y pasan por las políticas institucionales, lo que se
evidencia en los resultados de las diferentes pruebas externas. El presente
trabajo es una secuencia didáctica que pretende explicar las diferentes técnicas
de conteo mediante una guía de trabajo para el estudiante y una guía para el
docente, quien será el facilitador durante todo el proceso. La secuencia es un
guion que muestra el paso a paso que facilitará la obtención de los objetivos
propuestos.
Una secuencia didáctica es una estrategia pedagógica que le proporciona al
docente herramientas para ayudar al estudiante a reformular y consolidar su
conocimiento, apoyado en contextos significativos (Furman, 2012)
La estrategia está basada en la propuesta de Furman (2012), quien asesoró al
Ministerio de Educación Nacional en el programa de educación rural (PER) en
las áreas de Matemáticas y Ciencias.
El marco teórico del trabajo se basa en Enseñanza para la Comprensión,
proyecto de investigación de la Universidad de Harvard pensado para mejorar los
procesos de educación dentro y fuera de la escuela, en el cual se desarrollan
cuatro pilares a saber: tópicos generativos, metas de comprensión, desempeños
de comprensión y evaluación diagnóstica continua.
Palabras clave : Secuencia didáctica; Enseñanza para la Comprensión;
probabilidad; técnicas de conteo.
Abstract
In the study of probability one may encounter different difficulties, starting from the
training of teachers up to the institutional policies, this is evidenced in the results
of different external tests that are presented. The present work is a didactic
sequence aiming to explain the different counting techniques through a working
guide for the student and for the teachers as well. Teachers will be the facilitators
for the whole process. The sequence is a script that shows each step that will
facilitate the gaining of the proposed objectives.
A teaching sequence is a pedagogical strategy that provides the teacher with
tools to help students to reformulate and consolidate their knowledge, supported
in meaningful contexts. (Furman, 2012)
The strategy is based on the proposal Furman (2012), who advised the Ministry
of National Education in the rural education program (PER) in the areas of math
and science.
The theoretical part of the work is based on the Teaching for Comprehension,
research project at Harvard University thought to improve education processes in
and out of school, in which four pillars are developed: generative topics,
comprehension goals, performances of comprehension and ongoing diagnostic
evaluation.
Keywords: Teaching sequence; Teaching for Comprehension; probability;
counting techniques.
10
INTRODUCCIÓN
Introducción
En nuestro país en 1978 con el nombramiento como asesor del doctor Carlos
Eduardo Vasco Uribe, el Ministerio de Educación nacional inició la
reestructuración de las matemáticas escolares. Es así como sin abandonar la
matemática Bourbakista que reinaba hasta el momento, se dio paso al estudio de
los sistemas concretos que ya conocían los niños y partiendo de ellos, se
construyeron los sistemas conceptuales respectivos que hoy conocemos como
numérico, espacial, métrico, aleatorio y variacional y sus enfoques sistémico
numéricos, geométricos, de medida, de datos y algebraicos analíticos.
Desde la presentación y divulgación de los lineamientos curriculares, las
diferentes secretarías de educación se han preocupado por capacitar, orientar y
vigilar que los pensamientos matemáticos y sus enfoques de sistemas sean
desarrollados en las diferentes instituciones educativas del país, las cuales de
acuerdo al PEI institucional desarrollan estas habilidades teniendo en cuenta las
características de la población.
Este trabajo pretende, a través de una secuencia didáctica, que los estudiantes
construyan conocimientos sobre técnicas de conteo, además favorecer la
participación de ellos en la construcción de conocimiento; tal como lo plantea
Furman (2012) en la propuesta metodológica al Ministerio de Educación en el
marco del Plan Nacional de Desarrollo “Prosperidad Para Todos” (2010-2014).
Para entender la propuesta, a lo largo de este documento se encontrará un
sustento teórico, un referente disciplinar (contenidos matemáticos) y el diseño de
la secuencia didáctica.
11
ASPECTOS PRELIMINARES
1. Aspectos Preliminares
1.1 Tema
Proyecto de aula que contribuya al desarrollo del pensamiento aleatorio mediante
el diseño de una secuencia didáctica sobre combinatoria.
1.2 Problema de Investigación
1.2.1 Antecedentes.
En los estándares nacionales y los lineamientos curriculares se plantea el
estudio de la probabilidad como un requisito en los diferentes niveles de
enseñanza, razón por la cual el Ministerio de Educación Nacional cuestiona a los
estudiantes en las diferentes pruebas externas programadas por el estado
(pruebas saber, olimpiadas del conocimientos y pruebas saber once).
A nivel Internacional podemos encontrar investigaciones en cuanto a la
enseñanza y aprendizaje de la probabilidad. Algunas de ellas son:
• Instituto Internacional de Estadística (ISI), fundado en Londres en 1885,
con sede en la Haya tiene como objetivo primordial, promover la formación
estadística y de esta manera apoyar la educación. Para ello cuentan con un
comité de Educación que realiza conferencias a nivel internacional en
diferentes lugares del mundo como Viena (1973), Varsovia (1975), Calcuta
12
ASPECTOS PRELIMINARES
(1977), Oisterwijk (1973), Camberra (1984) y en Budapest (1988). En este
instituto se agrupan la mayoría de agencias nacionales de estadística del
mundo, las cuales se reúnen cada dos años y organizan el (WSC) Congreso
de estadística del mundo.(Batanero, 2000, p., 3)
• El Instituto Vasco de Estadística (EUSTAT) desde 1983 organiza cada año
un seminario internacional de estadística y reúne a profesionales de la
enseñanza, investigadores y universitarios tanto del ámbito regional como
internacional, con el fin de conocer las recientes investigaciones y desarrollos
de la estadística a nivel mundial, todos los cursos son publicados en el idioma
original y en castellano y se pueden encontrar en el catálogo oficial de
productos de EUSTAT.
• Evaluación de conocimientos y recursos didácticos en la formación de
profesores sobre probabilidad condicional. Su objetivo es la formación de
docentes con relación a la enseñanza de la probabilidad condicional, desde el
punto de vista del cálculo de probabilidades y estadística como la manera de
potenciar la toma de decisiones en la vida cotidiana. (Contreras, 2011)
A nivel nacional se encuentran diversas propuestas didácticas, algunas de
las cuales son trabajos de maestría en profundización como:
• Bases para la definición semántica del conocimiento matemático-didáctico
del profesor de secundaria para enseñar probabilidad. En este documento
encontramos un análisis del trabajo docente de profesores colombianos y
españoles, en cuanto a su formación matemática y didáctica de la probabilidad.
(Gomez Torres, 2011)
• Propuesta metodológica para el acercamiento del análisis combinatorio y
probabilidades a situaciones cotidianas. El trabajo pretende mediante la
utilización e implementación de plataformas virtuales y generación de juegos,
plantear e implementar una estrategia metodológica que facilite la enseñanza,
13
ASPECTOS PRELIMINARES
apropiación y aprendizaje de la probabilidad y el análisis combinatorio.
Monografía. (Aristizabal Zuluaga, 2012)
• La enseñanza de la combinatoria orientada bajo la teoría de situaciones
didácticas. Desarrollo de una unidad didáctica que pretende mostrar el poco
nivel conceptual sobre combinatoria, ya que de manera generalizada cuando
se aborda el tema se hace de forma procedimental. Propuesto en el marco del
Encuentro Colombiano de matemática Educativa. (Zapata, Quintero, &
Morales, 2010)
En cuanto a las secuencias didácticas como una estrategia pedagógica, en
algunas instituciones se vienen implementando ya que con la política del
Ministerio de Educación en el marco del Plan Nacional de Desarrollo “Prosperidad
Para Todos” (2010-2014), que cuenta con acciones encaminadas a mejorar las
condiciones de vida de los colombianos, la educación de calidad juega un papel
preponderante y convencidos de esto deciden apostarle entre otras estrategias al
Programa de Fortalecimiento de la Cobertura con Calidad para el Sector
Educativo Rural (PER Fase I y II) que se orienta a docentes y directivos docentes
en cuanto al diseño e implementación de secuencias didácticas.
1.2.3 Formulación de la pregunta.
¿Cómo a través de una secuencia didáctica se puede contribuir a la
comprensión de la Combinatoria?
14
ASPECTOS PRELIMINARES
1.2.4 Descripción del problema.
Por diferentes razones, se pone de manifiesto la dificultad que tienen los
estudiantes para comprender el cálculo de probabilidades, en especial lo que
tiene que ver con la combinatoria. Algunas de ellas son la falta de formación en
los docentes quienes aíslan la enseñanza del pensamiento aleatorio y sistemas
de datos relegándolo al último período académico, tiempo en el cual las
dinámicas de las instituciones en la mayoría de los casos no permiten que sea
terminada la planeación propuesta por los educadores.
Todas estas falencias se ven reflejadas en los resultados de las diferentes
pruebas externas, las cuales después de ser analizadas en las instituciones
arrojan como resultado la dificultad que tienen los estudiantes para resolver
situaciones problema del pensamiento aleatorio.
Esta propuesta pretende mediante una secuencia didáctica, contribuir al
desarrollo del pensamiento aleatorio, abandonar un poco las clases magistrales y
que el docente se convierta en un facilitador dentro del proceso, minimizar los
procesos de mecanización y darle paso a la comprensión y al desarrollo de
competencias; que los estudiantes sean partícipes en la construcción de su
propio conocimiento. Por tal motivo es vital la tarea del docente, ya que debe
garantizar un ambiente cooperativo, autónomo y responsable.
1.3 Justificación
Los documentos rectores en Colombia han tratado en las últimas décadas
de favorecer y potenciar el pensamiento aleatorio, es por ello que surge la
necesidad de pensar en nuevas estrategias que contribuyan a este desarrollo.
La monografía “Proyecto de aula que contribuya al desarrollo del pensamiento
aleatorio y sistemas de datos”, propone desarrollar una secuencia didáctica
15
ASPECTOS PRELIMINARES
que favorezca en los estudiantes además del pensamiento aleatorio y el
analítico, un enfoque social.
En algunas Instituciones Educativas y de acuerdo a su proyecto institucional,
los docentes organizan sus planeaciones desarrollando los pensamientos de
manera aislada y no con una perspectiva sistémica que los agrupe como
totalidades estructurales, potenciando de manera separada los diferentes
pensamientos; esto se da porque en los Lineamientos Curriculares se presentan
diferentes tipos de pensamiento y sistemas, lo cual podría interpretarse como si
cada pensamiento se desarrolla solamente a través del respectivo sistema,
desconociendo la transversalidad de cada uno de ellos.
Los números, la geometría, las medidas, los datos estadísticos, la lógica y los
conjuntos, complementan el estudio de la matemática de manera estructurada;
por lo tanto la enseñanza de la probabilidad desarrolla no solamente el
pensamiento aleatorio sino además otros pensamientos. Mediante la secuencia
didáctica aquí planteada se pretende potenciar el desarrollo de habilidades en los
estudiantes, que les permitan resolver situaciones problemas, para que a través
del trabajo autónomo y colaborativo potencien competencias ciudadanas y
comunicativas.
La promoción del pensamiento aleatorio en el aula posibilita el desarrollo del
pensamiento inductivo del estudiante, al permitirle que sobre un conjunto de
datos, pueda hacer inferencias, leer entre líneas y hacer simulaciones. Este
carácter no determinista de la probabilidad obliga al docente a partir de contextos
significativos, en donde se prioricen los problemas abiertos, que les permitan a
los estudiantes exponer argumentos y tomar decisiones. (Ministerio de Educación
Nacional, 1998)
Además de lo expuesto anteriormente, también se estaría desatendiendo a las
políticas nacionales (lineamientos y estándares) que cada vez son más exigentes
y competitivas. La sociedad reclama personas capaces de trabajar en equipo,
autónomas, líderes que sean capaces de sacar adelante proyectos en la escuela
16
ASPECTOS PRELIMINARES
y en la comunidad, que se aproximen a la innovación tecnológica. Es por esto que
se hace necesario que los estudiantes quieran aprender, comprender y pensar de
manera crítica y responsable.
1.4 Objetivos
1.4.1 Objetivo General
Contribuir al desarrollo de las competencias en el pensamiento aleatorio,
mediante el diseño de una secuencia didáctica sobre combinatoria.
1.4.2 Objetivos Específicos
• Indagar sobre la secuencia didáctica planteada por la doctora Melina
Furman.
• Realizar una búsqueda sobre los trabajos ya existentes de combinatoria y
secuencias didácticas, a nivel nacional e internacional.
• Diseñar una secuencia didáctica sobre combinatoria que contribuya al
desarrollo de las competencias en el pensamiento aleatorio.
17
MARCO REFERENCIAL
2. Marco Referencial
2.1 Marco Teórico
2.1.1 Pensamiento aleatorio y sistema de dato
La teoría de la probabilidad logra manejar los asuntos de la incertidumbre y los
fenómenos regidos por el azar, los cuales son ordenados mediante leyes
aleatorias en diferentes áreas del conocimiento. (Ministerio de Educación
Nacional, 1998)
Shaughnessy (1985) dice que el pensamiento aleatorio debe invitar a docentes
y estudiantes a la exploración e investigación, para desarrollar estrategias de
simulación de experimentos aleatorios, de conteo y mediante un conjunto de
datos proponer inferencias, es decir, el pensamiento aleatorio resuelve
problemas.
El pensamiento aleatorio está inmerso en nuestra cotidianidad y mediante
la probabilidad le da respuesta a la incertidumbre, la cual mediante leyes
permite ordenar fenómenos regidos por el azar, ayudando en ciencias
como la psicología, la medicina y las sociales entre otras. El pensamiento
aleatorio se desarrolla mediante la recolección de información, su
18
MARCO REFERENCIAL
representación e interpretación y la formulación de nuevas hipótesis.
(Ministerio de Educación Nacional, 1998)
2.1.2 Aprendizaje
Según Vygotsky (1931), el aprendizaje se produce en situaciones colectivas,
es decir, no es una acumulación de reflejos o relaciones entre estímulos y
respuestas; el aprendizaje más que asociaciones, es un proceso colaborativo,
que se construye por medio de habilidades y operaciones cognoscitivas que
subyacen en la interacción social, señala además que el desarrollo intelectual de
la persona no puede estar separado del medio en el cual se mueve;
psicológicamente esto significa que el aprendizaje primero se da a nivel social y
posteriormente a nivel individual. (basespda, 2012)
Ésta teoría planteada por Vygotsky (1931), se basa principalmente en el
aprendizaje sociocultural, introduce el concepto de Zona de Desarrollo Próximo
(ZDP) que no es otra cosa que la distancia entre el desarrollo real y el potencial,
(distancia entre el niño y el adulto); es decir lo que el niño realice por sí mismo o
lo que pueda hacer con el acompañamiento de un adulto. (Sarmiento, 2004)
Según el Diccionario de la lengua española “El aprendizaje es la modificación
del comportamiento como resultado de una experiencia”, a lo cual hace también
referencia Ausubel (1963) en su teoría sobre aprendizaje significativo.
Según Ausubel (1963), el aprendizaje significativo es un proceso en el cual un
nuevo conocimiento se relaciona de manera no literal con el sujeto que aprende
mediante su estructura cognoscitiva y de esta manera el significado lógico del
aprendizaje transmuta en psicológico. (Rodríguez Palmero, 2004)
Las características básicas del aprendizaje significativo son No-arbitrariedad y
sustantividad; el primero se refiere a que lo realmente significativo se relaciona de
manera oportuna con la información ya existente, con conocimientos relevantes y
específicos (subsumidores); es decir, nuevos conocimientos pueden aprenderse y
19
MARCO REFERENCIAL
retenerse en la medida que estos se aferren a otros conocimientos también
relevantes que estén claros y disponibles en la estructura cognitiva de la persona.
La segunda (sustantividad) tiene que ver con el uso de nuevas ideas expresadas
de diferentes maneras a través de signos. (Moreira, 1997)
2.1.3 Didáctica: Según Castro Franco (2011), la didáctica viene del verbo griego didaskein, y
se utiliza tanto para enseñanza-aprendizaje como para aprender por sí mismo,
por lo tanto la enseñanza es el objeto de estudio de la didáctica, entonces hablar
de didáctica necesariamente nos sumerge en el mundo del proceso docente
educativo y este a su vez dentro de la pedagogía que se ocupa de relacionar la
vida con la escuela de manera sistemática.
En Lecciones de Didáctica general, capitulo II; el proceso docente educativo
expresa las relaciones sociales de los individuos que están involucrados en la
educación, y además permite el desarrollo individual del estudiante, demostrando
una naturaleza dialéctica, ya que la didáctica está inmersa en la pedagogía, ésta
en la formación y por consiguiente la formación en la sociedad. (Alvarez de
Zayas & Gonzales Agudelo, 2002)
Por lo anterior la didáctica, relaciona el maestro con el estudiante a través de la
cultura y mediante los siguientes componentes: el problema, el objetivo, el
contenido, el método, la forma, los medios y la evaluación.
El problema, se asocia a una situación del estudiante que crea en el
docente la necesidad de transformarla.
El objetivo, es la meta que el maestro se propone para transformar la
situación del estudiante y así satisfacer su necesidad.
20
MARCO REFERENCIAL
El contenido, son las habilidades y conocimientos que el estudiante
adquiere mediante su proceso de aprendizaje.
El método, son los pasos que desarrolla el docente en su relación con el
estudiante.
La forma, se encarga de esos aspectos organizativos más externos del
proceso como son la distribución de los estudiantes y la asignación de
intervalos de tiempo.
Los medios, son herramientas que le permiten al docente generar
ambientes de aprendizaje adecuados, que posibiliten apropiarse del
contenido, ejecutar el método, conseguir el objetivo y resolver el
problema.
La evaluación es verificar la solución o no del problema y de esta forma
medir la eficacia del proceso docente educativo. (Alvarez de Zayas &
Gonzales Agudelo, 2002)
2.1.4 Enseñanza
La enseñanza se deriva del currículum (proyecto docente) y tiene relación con
él y con la mediación y concreción del proyecto de aula. El currículum debe tener
una estructura que revele la jerarquía para la enseñanza y su función es guiar la
relación entre el docente y el estudiante, permitiendo una etapa de evaluación
mediante la cual se puedan encontrar los errores en la selección de contenidos.
(Diaz Barriga, 1993)
Según Johnson, citado por (Diaz Barriga, 1993)no solo incluye los resultados
del aprendizaje como objetivos observables, sino que también incluye la
formación de ciudadanos, para él la enseñanza es más que transmisión de
conocimiento; en el mismo sentido la enseñanza es un conjunto de posibilidades
21
MARCO REFERENCIAL
donde se entrelazan dos dimensiones: la primera tiene que ver con la manera
como el estudiante se provee de los contenidos y la segunda dimensión con la
forma como transforma y rehace el conocimiento.
2.1.5 Secuencia didáctica La doctora Melina Furman presentó el programa de educación rural (PER), al
Ministerio de Educación Nacional sobre Orientaciones para la producción rural de
secuencias didácticas para las áreas de matemáticas y ciencias. En ella se dan
lineamientos para la elaboración, ejecución, seguimiento y validación de las
mismas.
(Furman, 2012)Sostiene que “Es fundamental que la secuencia esté diseñada
como un guion, es decir, como un trayecto de ideas que se van desarrollando
paulatinamente, como un relato que lleva a los alumnos, desde un punto inicial,
pasando por etapas que los van ayudando a construir conocimientos y
habilidades nuevas, de manera progresiva y coherente”. (p.51)
Según explica (Furman, 2012) en el Programa Educación Rural PER, el
resultado de las secuencias didácticas involucra e impacta a los docentes,
estudiantes y a la comunidad en general. Su importancia radica en que los
estudiantes se involucren en todo el proceso, desde el desarrollo de ideas, su
puesta en práctica y su comprobación mediante la utilización de todos los
recursos que tienen dentro y fuera del aula, y de esta manera pueda adquirir
nuevos conocimientos y desarrollar habilidades científicas, sociales y
comunicativas.
Para su diseño e implementación es necesario realizar una introducción
conceptual, tener una visión general, diseñar una secuencia didáctica que pueda
ser desarrollada durante 16 sesiones de clase, planificar las sesiones de clase,
proponer uno o varios objetivos, un tiempo determinado, los materiales
22
MARCO REFERENCIAL
necesarios, indicadores de logro y una reflexión sobre los resultados de la clase,
profundizaciones conceptuales y propuesta de evaluación.
2.1.6 Enseñanza para la comprensión
El marco conceptual de Enseñanza para la Comprensión EpC, nació en la
Escuela de Graduados de Educación de Harvard y definió que comprender un
tema es dar cuenta de él en una exposición entendible; justificándolo, siendo
capaz de extrapolarlo, haciendo relaciones y aplicándolo de manera que vaya
más allá del conocimiento o la repetición. Comprender entonces, es actuar
reflexivamente utilizando más que los nuevos aprendizajes.
Según Stone Wiske (1999)hablar de comprensión es hablar de desempeño
ya que los estudiantes expanden sus mentes utilizando lo que han aprendido y
lo aplican creativa y apropiadamente en diferentes circunstancias mediados por
el constructivismo en el que el docente es orientador, conductor, facilitador y
motivador en el proceso.
El marco conceptual de la EpC definió un modelo de cuatro elementos o
pilares: tópicos generativos, metas de comprensión, desempeños de
comprensión y evaluación diagnóstica continua; que integran las características
de la enseñanza y que deben ser evaluadas mediante cuatro preguntas
fundamentales a toda práctica educativa:
Tópicos generativos: ¿Qué tópicos vale la pena comprender?
Los tópicos generativos son conceptos, ideas, temas, definiciones,
argumentos entre otros que tienen significación en un determinado grado de
23
MARCO REFERENCIAL
escolaridad y que se interrelacionan en un espiral de preguntas para ayudar y
potenciar la comprensión de los estudiantes.
Londoño (2014) afirma que “Los tópicos generativos son cuerpos
organizados de conocimiento, deben ser interesantes y accesibles para los
estudiantes, pueden abordarse desde diferentes perspectivas y se vinculan
con facilidad con experiencias previas de los estudiantes. Además, deben
ser interesantes para el profesor, le deben generar pasión, asombro y
curiosidad, de esta forma, puede servir como modelo de compromiso
intelectual para sus estudiantes”. (p.39)
Metas de comprensión: ¿Qué aspectos de los tópicos deben ser
comprendidos?
Las metas de comprensión enuncian de manera general, clara y publica lo
que los estudiantes deben comprende al finalizar la secuencia, unidad o tema
determinado. Con ellas se tiene claridad de hacia dónde se va en el proceso.
Se clasifican en metas a corto y largo plazo, las segundas son las preguntas
que orientan en este caso la secuencia didáctica.
Desempeños de comprensión: ¿Cómo podemos promover la comprensión?
La comprensión tiene que ver con los desempeños y conduce a los
estudiantes a nuevos aprendizajes.
(Stone Wiske, 1999) Citado por Londoño (2014) dice que “los alumnos pueden
emprender una gama mucho más variada de actividades como parte de su
trabajo escolar que la que abarcan las tareas típicas. Estos desempeños se
centran en la comprensión en formas que muchas actividades escolares
tradicionales no lo hacen. En lugar de enseñar o recrear el conocimiento
24
MARCO REFERENCIAL
producido por otros, los desempeños de comprensión involucran a los alumnos
en la creación de su propia comprensión”. (p.20)
Evaluación diagnóstica continua: ¿Cómo podemos averiguar lo que
comprenden los estudiantes?
La evaluación es constante y no punitiva, permite que el estudiante vaya
comparando sus desempeños actuales con los pasados. Es diagnóstica,
continua, reflexiva, integradora permitiendo que se cumplan los desempeños
plasmados en las metas de comprensión.
2.1.7 Secuencias Didácticas en el marco de la EpC
La secuencia didáctica diseñada para la comprensión de la teoría de la
combinatoria fue diseñada bajo la teoría de la Enseñanza para la Comprensión,
debido a que cuenta con los cuatro momentos descritos en ella. (Stone Wiske,
1999)
La secuencia está diseñada para solucionar en cada semana una pregunta que
guiara la comprensión del tema a desarrollarse durante esas dos sesiones de
clase, se espera que cada pregunta despierte el interés en cada estudiante y se
generen discusiones alrededor de la pregunta que serán reguladas y orientadas
por el facilitador de la clase.
Se espera que cada pregunta lleve al estudiante a otro nivel, en el que se
planteé otros interrogantes y pueda con sus compañeros construir nuevos
conocimientos y de esta manera puedan resolver las situaciones cotidianas que
se proponen en la segunda sesión de cada semana.
25
MARCO REFERENCIAL
En cada actividad se presentara una información interesante y curiosidades
sobre el tema que cautivará la atención de los estudiantes y los motivará a
resolver las diferentes situaciones, además de responder la pregunta de la
semana. Los tópicos generativos están representados en las preguntas y las
curiosidades, esto enmarcado en la teoría de la EpC.
El facilitador que orienta la secuencia debe leer cuidadosamente la parte
nombrada como Visión General, en ella se explica de manera general el paso a
paso de cada sesión de clase, además se muestra lo que se espera sea
comprendido por los estudiantes al finalizar la secuencia.
Las metas de comprensión y los estándares de competencias se presentan en
el Alcance de la secuencia, con el único fin de guiar al facilitador en los aspectos
a comprender por el estudiante.
Posterior a esto se presentan las orientaciones para el facilitador en las que se
presenta un detallado derrotero de cada actividad. Él podrá acceder a cada
pregunta con su respectiva respuesta, situación y solución y la forma como debe
orientar cada sesión de clase. En ella encontrara un resumen de la teoría sobre
combinatoria que le ayudara a recordar y con la cual podrá afrontar cualquier
posible duda que se presente.
Después de que el facilitador tenga la claridad de cómo abordar la secuencia
se presenta la guía de actividades para el estudiante, en la que encontrara los
desempeños de comprensión que no son otra cosa que las actividades que
llevaran al estudiantes a utilizar los conocimientos previos con los nuevos.
Primero se inicia con una discusión en grupos de trabajo previamente
organizados por el facilitador, luego ellos presentan sus ideas correctas o erradas
llamadas hipótesis, y después de realizar situaciones propuestas con material
concreto serán ellos quienes validen esas soluciones o ideas.
26
MARCO REFERENCIAL
El estudiante deberá observar, manipular el material concreto, hacer
anotaciones en su cuaderno, discutir sobre lo observado y después socializar con
sus demás compañeros y con el docente. En este momento el estudiante habrá
comprendido y resuelto la pregunta inicial, es decir, tendrá dominio sobre las
metas de comprensión.
En la segunda sesión de clase se proponen una serie de situaciones que los
llevara a afianzar esos conocimientos y con esto el facilitador determinará de qué
manera se apropiaron de los tópicos generativos.
El facilitador todo el tiempo deberá estar tomando nota sobre las reacciones a
cada situación y de esta manera podrá mejorar la secuencia para una próxima
aplicación, además le servirá de insumo para la evaluación y poder comparar los
conocimientos iniciales y finales de los estudiantes.
Finalmente en la última semana los estudiantes deben resolver una pregunta
que puede o no reunir todos los conocimientos adquiridos durante todas las
sesiones, además deberá dar cuenta de los tópicos observados a lo largo de la
secuencia. Se propondrá un ejercicio de probabilidad en el que aplicando la regla
de Laplace pueda decidir que definiciones de la teoría de la combinatoria le serán
útiles y por qué.
27
MARCO REFERENCIAL
2.2 Marco Disciplinar
2.2.1 Probabilidad.
(Batanero, 2005) después de un minucioso estudio sobre los diferentes
significados de la probabilidad, concluye que es un modelo matemático que se
utiliza para interpretar, explicar, demostrar y describir la realidad de los
fenómenos aleatorios. Es tanta su utilidad que es usada en la ciencia, la
tecnología, la administración, la política y demás campos de investigación.
2.2.1.1 Experimentos Aleatorios.
Según (Salgado , 2007) experimento aleatorio es una incertidumbre en la cual
se conocen los pasos a seguir y las posibles consecuencias o resultados que se
pueden formar aunque no se tiene con seguridad el resultado final hasta
terminarlo.
2.2.1.2 Espacio muestral.
En palabras de (Cifuentes & Salazar, 2010)es el conjunto de todos los posibles
resultados de un experimento aleatorio. Cada resultado se conoce como punto
muestral y debe tener la misma posibilidad de ocurrir.
28
MARCO REFERENCIAL
2.2.2 Técnicas de Conteo.
Giraldo, (2009) citado por (Martinez, 2014) dice que las técnicas de conteo o
análisis combinatorio, se refieren a un conjunto de métodos utilizados para
calcular sin contar directamente el número de arreglos u ordenaciones posibles
de un conjunto de elementos. Las técnicas de conteo se fundamentan en el
principio de adición y en el de multiplicación. (p.70).
El análisis combinatorio también estudia las distintas formas de agrupar y
ordenar los elementos de un conjunto, sin tener en cuenta la naturaleza de
estos. Los problemas de arreglos y combinaciones pueden parecer aburridos y
quizá se piense que no tienen utilidad pero los teoremas del análisis
combinatorio son la base del cálculo de la probabilidad. La probabilidad se
encarga de los arreglos y las combinaciones que determinan el número de
formas diferentes en que un acontecimiento puede suceder. (Tecnológico de
Monterrey, 2008, p.2).
Cameron, 1997 citada por Zapata, Quintero, & Morales (2010) afirma que “La
combinatoria se ha entendido como el estudio de formas de listar, arreglar y
organizar elementos de conjuntos discretos de acuerdo a reglas específicas”
(p.601)
2.2.2.1 Orden y Repetición.
Al respecto (Salgado , 2007)dice, hay orden en un experimento aleatorio
cuando al formar una muestra, la ubicación de los elementos hace que los
resultados sean diferentes. Es importante el orden ya que no es lo mismo 386
que 863 o que 368 y existe repetición cuando un elemento de la población se
puede repetir en la muestra.
29
MARCO REFERENCIAL
2.2.2.2 Principio de adición.
“Si una situación puede ocurrir de � maneras diferentes y otra de k maneras
diferentes, incompatibles las unas con las otras, entonces existen � + �
maneras en las cuales puede ocurrir la primera o la segunda, mas no ambas”.
(Wilhelmi, 2004, p.15)
2.2.2.3 Principio de multiplicación.
De acuerdo a Cifuentes (2010) Dado un experimento aleatorio en el que un
evento pueda ocurrir de � maneras y otro de � maneras diferentes, el número
de elementos del espacio muestral es igual a �∗� maneras.
Esta técnica se utiliza en los experimentos aleatorios en los que existe el orden
y la repetición.
“Si una situación puede ocurrir de �maneras y otra de � maneras, entonces
ambas situaciones pueden ocurrir de �∗�maneras.” (Wilhelmi, 2004, p.14)
2.2.2.4 Permutaciones.
En palabras de Wilhelmi (2004) una permutación es variar o cambiar la
posición, disposición u orden en que se encuentran dos o más objetos. Se debe
precisar si los objetos son o no indispensables para que la nueva disposición sea
diferente a la anterior. (p.45)
“Esta técnica permite calcular el número de elementos del espacio muestral de
un experimento aleatorio, en el cual se considera que existe orden en la
muestra, pero no repetición” (Salgado , 2007, p.302)
30
MARCO REFERENCIAL
2.2.2.5 Permutaciones ordinarias o sin repetición :
Según Wilhelmi (2004) “El número de ordenaciones posibles que se pueden
obtener con � (� ≥ 2) objetos distintos es el producto de los � primeros
términos.” (p.45)
�� = �!.
Este producto se denota por �!, que se lee: “�� ���������”. Se define,
Factorial de un numero: El factorial de un número entero no negativo �, se
denota �!, y es igual a:
n! = {� �� − 1�!
1
�� � > 0
�� � = 0
2.2.2.6 Permutaciones con repetición.
Se llaman permutaciones con repetición de � elementos, distribuidos en �
grupos de �1, �2, . . . , ��−1, �� elementos indistinguibles, respectivamente, de
tal forma que �1 + �2 +. . . + ��−1 + �� = �, a las distintas configuraciones que
se pueden formar con los n elementos, de tal forma que cada una de ellas se
diferencie de las demás en el orden de colocación de sus elementos,
excluyendo las reordenaciones de elementos indistinguibles (esto es, que
pertenecen a un mismo grupo). (Wilhelmi, 2004, p.47)
���, �, , …
�=
��
�!.∙ �! ∙ !
31
MARCO REFERENCIAL
2.2.2.7 Permutaciones circulares (sin repetición).
Se llaman permutaciones circulares (sin repetición) de n elementos,
denotaremos �!�, a los distintos grupos que se pueden formar, de tal manera
que en cada grupo entren los n elementos y que un grupo se diferencie de los
demás en la posición relativa de los elementos unos respecto a los otros.
(Wilhelmi, 2004, p.48)
�!� = �� − 1�!.
2.2.2.8 Variaciones.
En lenguaje usual, variar significa: “hacer que una cosa sea diferente en
algo de lo que antes era”. En matemáticas, la palabra variación tiene una
acepción mucho más precisa; brevemente, una variación de una familia de
elementos es una modificación de alguno de sus elementos o del orden en que
se presentan. (Wilhelmi, 2004, p.50)
2.2.2.9 Variaciones ordinarias o sin repetición.
Se llaman variaciones ordinarias o sin repetición de �elementos, tomados de
� en �, se denota "�,, a los distintos grupos que se pueden formar con los �
elementos, de tal forma que en cada grupo entren � elementos distintos y que
un grupo se diferencie de los demás, bien en alguno de sus elementos, bien en
su orden de colocación. (Wilhelmi, 2004, p.50).
"�,# = �!
�� − ��!
32
MARCO REFERENCIAL
2.2.2.10 Variaciones con repetición.
Se llaman variaciones con repetición de n elementos, tomados de � en �,
denotaremos, "��, a los distintos grupos que se pueden formar con los n
elementos, de tal manera que en cada grupo entren � elementos iguales o
distintos y que un grupo se diferencie de los demás, bien en algún elemento,
bien en su orden de colocación. (Wilhelmi, 2004, p.51).
"��,# = �#
2.2.2.11 Combinaciones.
Giraldo (2009) citado por Martinez (2014) afirma que una combinación es un
arreglo u ordenación de cierta cantidad de objetos disponibles tomados todos a la
vez o parte a la vez, sin que el orden interese. Es decir, si considero que el
arreglo ABC es idéntico a los arreglos $!%, !%$, %$!, !$%, etc., por el hecho de
contener los mismos elementos y aunque el orden sea diferente, entonces cada
una de las anteriores ordenaciones se considera una combinación.
“Una combinación es una técnica de conteo en la cual no importa el orden y no
hay repetición en los elementos de un punto muestral.” (Cifuentes & Salazar,
2010, p.290)
En lenguaje común, combinar es: “unir cosas diversas, de manera que formen
un compuesto”. Al igual que las variaciones y las permutaciones, el concepto
de combinación tiene un significado muy concreto en matemáticas:
brevemente, número de conjuntos de un determinado número de elementos
que se pueden formar con un universo de objetos, sin importar el orden de
selección, sino qué elementos se toman. (Wilhelmi, 2004, p.53).
33
MARCO REFERENCIAL
2.2.2.12 Combinaciones ordinarias o sin repetición.
Se llaman combinaciones ordinarias o sin repetición de "�" elementos, tomados
de � en �, denotaremos !�,, a los diferentes conjuntos de � elementos distintos,
esto es, un conjunto se diferencie de los demás en, al menos, un elemento (no
importa el orden de colocación o selección). (Wilhelmi, 2004, p.53). Se tiene que:
!�,# = "�,#
�#
= �!
�� − ��! ∙ �!
2.2.2.13 Combinaciones con repetición.
En palabras de (Wilhelmi, 2004) Se llaman combinaciones con repetición de un
número determinado de elementos, a las diferentes agrupaciones de � elementos
(indistinguibles o no), de tal forma que una agrupación se diferencie de las demás
en, al menos, un elemento (no importa el orden de colocación o selección) (p.56)
!��,& = � + !�,&
Debido a la confusión que en ocasiones se presenta para seleccionar el
método a utilizar en la solución de una determinada situación, se presenta un
resumen que ayudará a recordar las condiciones de orden, repetición y utilización
de todos elementos en la combinatoria.
34
MARCO REFERENCIAL
Resumen técnicas de conteo
¿Importa el
orden?
¿Se toman todos los
elementos?
¿Se repiten los
elementos? TECNICA
Si
No No Variaciones
Si/No Si Variaciones con
repetición
Si
No Permutaciones
Si Permutaciones con
repetición
No
No No Combinaciones
Si/No Si Combinaciones con
repetición
2.3 Marco Legal
En esta propuesta se mencionan algunas de las leyes dictadas por organismos
internacionales, nacionales, departamentales y regionales que avalan y
garantizan las condiciones de la educación en Colombia.
35
MARCO REFERENCIAL
2.3.1 Contexto Internacional.
La UNESCO (Organización de las Naciones Unidas para la Educación, la
ciencia y la cultura) establece criterios que permiten garantizar el acceso de todas
las personas a la educación, entre los cuales se tienen:
● Extender y mejorar la protección y educación integral desde la primera
infancia especialmente para los niños más vulnerables y desfavorecidos.
● Velar porque sean atendidas las necesidades de aprendizaje de todos los
jóvenes y adultos mediante un acceso equitativo a un aprendizaje adecuado y
a programas de preparación para la vida activa.
● Promover un sólido compromiso político nacional e internacional con la
educación para todos, elaborar planes nacionales de acción y aumentar de
manera considerable inversión en educación básica.
● Aplicar estrategias integradas para lograr la igualdad entre los géneros en
materia de educación, basadas en el reconocimiento de la necesidad de
cambiar las actitudes, los valores y las prácticas.
2.3.2 Contexto Nacional.
Este trabajo tiene su fundamento en la enseñanza de las técnicas de conteo en
la educación media y es necesario hacer un recorrido legal que lo soporte.
Corte Constitucional(1991) dice en los artículos 67, 68 y 69 que la educación
es un derecho, además tiene una función social y busca el acceso al
conocimiento. Es enfática cuando menciona que el estado, la sociedad y la familia
son responsables de la educación.
ARTÍCULO 67. La educación es un derecho de la persona y un servicio
público que tiene una función social; con ella se busca el acceso al
conocimiento, a la ciencia, a la tecnología y a los demás bienes y valores de la
cultura.
36
MARCO REFERENCIAL
La educación formará al colombiano en el respeto a los derechos humanos, a
la paz y a la democracia; y en la práctica del trabajo y la recreación, para el
mejoramiento cultural, científico, tecnológico y para la protección del ambiente.
Corresponde al Estado regular, ejercer la suprema inspección y vigilancia de la
educación con el fin de velar por su calidad, por el cumplimiento de sus fines y
por la mejor formación moral, intelectual y física de los educandos; garantizar el
adecuado cubrimiento del servicio y asegurar a los menores las condiciones
necesarias para su acceso y permanencia en el sistema educativo. (p.36)
ARTÍCULO 68. “La enseñanza estará a cargo de personas de reconocida
idoneidad ética y pedagógica. La ley garantiza la profesionalización y dignificación
de la actividad docente” (p.36)
ARTÍCULO 69. El Estado fortalecerá la investigación científica en las
universidades oficiales y privadas y ofrecerá las condiciones especiales para su
desarrollo. (p.37)
Es por esto, que los docentes como servidores públicos somos responsables
de la educación de los niños, jóvenes y adolescentes de nuestro país,
preparándolos para enfrentarse a la vida laboral y al desarrollo científico.
Ministerio de Educación Nacional (2008) expresa en El Plan Decenal de
Educación, la voluntad educativa del país durante diez años (2006-2016), su
objetivo es el derecho a la educación para avanzar en las transformaciones que
Colombia necesita.
La normatividad del Plan Nacional Decenal está basada en la ley 1450 de junio
16 de 2011, en la ley 1151 de 2007, la ley 115 del 8 de febrero de 1994 (ley
general de educación) y otros decretos, circulares y directivas ministeriales.
Ley 115 (1994). Ley General de Educación, decreta al sistema de educación
nacional que debe cumplir una función social acorde con las necesidades,
intereses de las personas
37
MARCO REFERENCIAL
ARTICULO 1o. Objeto de la ley. “La educación es un proceso de formación
permanente, personal, cultural y social que se fundamenta en una concepción
integral de la persona humana, de su dignidad, de sus derechos y de sus
deberes” (p.1)
ARTICULO 27. Duración y finalidad. “La educación media constituye la
culminación, consolidación y avance en el logro de los niveles anteriores y
comprende dos grados, el décimo (10°) y el undécimo (11°). Tiene como fin la
comprensión de las ideas y los valores universales y la preparación para el
ingreso del educando a la educación superior y al trabajo” (p.9)
MInisterio de Educación Nacional(2009).Decreto 1290 de 2009decreta que los
estudiantes serán evaluados institucional, nacional e internacionalmente para
valorar su nivel de desempeño. Dentro de los propósitos de la evaluación está
identificar las características personales, ritmos y estilos de aprendizaje e
implementar estrategias pedagógicas para acompañar a los estudiantes que así
lo requieran.
2.3.3 Contexto Regional.
En el marco de “Antioquia la más educada” lema con el que se conoce al
departamento de Antioquia, se pretende dar solución a tres problemas
fundamentales que son:
� La desigualdad social,
� La violencia y
� La corrupción.
Antioquia la más Educada(2012). Para el ex gobernador Fajardo, la educación
es el segundo pilar para la trasformación y así lo demuestra cuando presenta los
38
MARCO REFERENCIAL
fundamentos del plan de desarrollo de Antioquia la más educada 2012 – 2015, en
la línea 2.
LÍNEA 2 – LA EDUCACIÓN COMO MOTOR DE TRANSFORMACIÓN DE
ANTIOQUIA
La línea 2 desarrolla los elementos centrales de nuestro plan de desarrollo,
plantea la educación como motor de transformación. Empezamos por definir
que entramos al mundo de la política con la certeza de que el eje de la
transformación de nuestra sociedad es la educación. Sin una educación de
calidad para todos, las desigualdades sociales están destinadas a
acrecentarse. En el departamento nuestra apuesta por la educación se verá
reflejada en el diseño y ejecución de programas y proyectos que respondan a
las necesidades particulares de cada subregión, con énfasis en los maestros y
maestras, y en una infraestructura acorde con las necesidades y prioridades de
cada subregión. La educación pública será una prioridad del gobierno.
Aprendimos que la educación debe entenderse en un sentido amplio que
trascienda los muros de los colegios. La Antioquia del siglo XXI debe ser la
Antioquia en donde todas las personas tengamos espacio en el mundo
maravilloso de la educación. Por eso vamos a construir Antioquia la más
educada, y en ella la cultura, el emprendimiento, la innovación, la ciencia y la
tecnología tienen espacios preponderantes.
Tenemos más retos: Al alcanzar los niveles de cobertura que tenemos en la
educación básica y media, la demanda por la educación superior y la formación
para el trabajo crece todos los días. Las nuevas generaciones, en todas las
regiones, reclaman una educación pertinente, de calidad. “Necesitamos crear
un verdadero sistema de educación superior en el departamento con núcleos
centrales que interactúen con los nodos regionales” (p.74)
39
DISEÑO METODOLÓGICO
3. Diseño Metodológico
3.1 Tipo de Investigación: Profundización de corte monográfico
En palabras de Moreira (1997), La monografía se presenta como un documento
académico de un tema específico, acompañado de un análisis crítico hecho por el
autor, además la investigación bibliográfica se organiza de forma integradora ya
que no puede quedar desarticulada como una compilación de artículos y
resúmenes sin sentido.
Esta propuesta monográfica de una secuencia didáctica pretende que los
estudiantes de media académica puedan construir nuevos conocimientos sobre el
pensamiento aleatorio en lo relacionado a la Combinatoria.
3.2 Método Según Alvarez de Zayas & Gonzales Agudelo(2002), el método es una serie de
pasos que se desarrollan a lo largo del aprendizaje. El método es problémico
(proceso científico) y se relaciona con el problema, el objetivo y el contenido. En él
se definen las acciones que ejecutan el estudiante para aprender a resolver
problemas y el investigador para enseñarlo. Las actividades muestran un
conocimiento para ser asimilado, una habilidad para ser desarrollada y un valor
para ser adquirido, sin embargo la solución de una actividad no garantiza el
desarrollo de la competencia, es el conjunto de éstas las que pueden potenciar las
competencias.
40404040
INDICACIONES GENERALESINDICACIONES GENERALESINDICACIONES GENERALESINDICACIONES GENERALES
4. Secuencia Didáctica
4.1 Visión General: Esta secuencia didáctica pretende que los estudiantes de media académica
comprendan los conceptos básicos de la combinatoria; que los docentes
encuentren en ella la posibilidad de interactuar con los estudiantes desde la
discusión y la socialización y que el salón de clases sea un laboratorio de
conocimientos.
Las actividades propuestas guiarán a los estudiantes a solucionar cualquier
ejercicio o problema sobre combinatoria, diferenciando entre una permutación,
variación o combinación. Además podrán desarrollar una serie de actividades
que los conducirán a solucionar situaciones cotidianas involucradas con el azar y
que están presentes en el mundo biológico, físico, social y político, llevándonos
a utilizar términos o sinónimos de la palabra aleatoriedad de acuerdo a la
situación que estemos enfrentando.
Mediante situaciones ficticias pero enmarcadas en los mundiales de fútbol,
esta secuencia pretende enseñar el abanico de posibilidades que se presentan
en los problemas de combinatoria.
41414141
INDICACIONES GENERALESINDICACIONES GENERALESINDICACIONES GENERALESINDICACIONES GENERALES
Es importante antes de iniciar con la primera actividad recordar algunos
conocimientos previos como: probabilidad, formula de Laplace, espacio
muestral, aleatoriedad, factorial de un número (que está ligado directamente a
la definición de permutación), diagramas de árbol, manejo de fracciones y
concepto de razón.
PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN
¿De cuantas formas diferentes puede vestirse
cada jugador de un equipo de fútbol que tiene 3 pares de guayos, 4 pantalonetas y
5 camisetas?
PRINCIPIO DE ADICIÓN
¿De cuantas formas diferentes puede vestirse
cada jugador de un equipo de fútbol que tiene 3 pares de guayos, 4 pantalonetas,
5 camisetas o 5 busos?
PERMUTACIÓN ORDINARIA
¿De cuántas formas diferentes podrían quedar los equipos de cuartos de
final del mundial de fútbol?
PERMUTACIÓN CON REPETICIÓN
¿De cuántas formas distintas podrían quedar los
continentes en cuartos de final del mundial de fútbol, sabiendo que 4 equipos son
sudamericanos, 3 son europeos y 1 es africano?
VARIACIONES ORDINARIAS
Pékerman dispone en la planilla de la selección Colombia de 7
volantes de la misma calidad y que pueden actuar
indistintamente en 4 puestos de ataque ¿Cuántos grupos de
volantes distintos podría organizar?
VARIACIONES CON REPETICIÓN
¿De cuántas formas distintas podrían quedar los continentes
como campeones y subcampeones del mundial de futbol, sabiendo que 2 equipos son asiáticos, 2 son europeos, 2 son sudamericanos y 2 son
africanos?
COMBINACIONES ORDINARIAS
¿De cuántas formas distintas podrían elegirse los tres
equipos ganadores sin que importe quien es el primero,
el segundo o el tercero en cuartos de final del mundial
de fútbol?
COMBINACIÓN CON REPETICIÓN
¿De cuántas formas distintas podrían quedar cuatro continentes en los dos
primeros puestos sin tener en cuenta quien queda de
campeón o subcampeón del mundial de futbol, sabiendo que cada continente cuenta
con dos equipos?
Los representantes de los 36 equipos del mundial de fútbol desean tener
un almuerzo y se sientan en una mesa redonda,
¿Cuál es la probabilidad de que tres
representantes queden contiguos?
42424242
INDICACIONES GENERALESINDICACIONES GENERALESINDICACIONES GENERALESINDICACIONES GENERALES
El anterior diagrama muestra el derrotero a seguir durante el desarrollo de
la secuencia didáctica.
Cada una de las actividades consta de una pregunta sobre el mundial de
fútbol, pero antes de responderla deberán solucionar dos situaciones utilizando
material concreto. La solución de éstas ayudara a comprender y solucionar la
pregunta que orienta la enseñanza de la técnica de conteo. Si no es posible
solucionarla, el docente facilitador guiara una discusión hasta finalmente
encontrar la fórmula para solucionar cualquier ejercicio de este tipo.
Semana 1: Para la primera sesión de clase iniciaremos con dos preguntas; la
primera sobre el principio multiplicativo ¿De cuantas formas diferentes
puede vestirse cada jugador de un equipo de fútbol que tiene 3 pares de
guayos, 4 pantalonetas y 5 camisetas? y la segunda sobre el principio
aditivo ¿De cuantas formas diferentes puede vestirse cada jugador de un
equipo de fútbol que tiene 3 pares de guayos, 4 pantalonetas, 5 camisetas
o 5 busos? Con estas dos preguntas se pretende que los estudiantes
encuentren diferencias entre uno y otro principio. Si observamos las dos
preguntas difieren sólo en los 5 busos que aparecen al final de la segunda
pregunta.
Semana 2: Para la segunda sesión de clase se plantea la pregunta: ¿De
cuántas formas diferentes podrían quedar los equipos de cuartos de final
del mundial de fútbol? Con la que se pretende entender la definición de
permutación. Es importante aclarar a los estudiantes que no es necesario
conocer los nombres de los equipos que entraran a cuartos de final, ya que lo
que se desea saber es el número de formas posibles en que ocho equipos
cualesquiera podrían quedar.
43434343
INDICACIONES GENERALESINDICACIONES GENERALESINDICACIONES GENERALESINDICACIONES GENERALES
Semana 3: Esta semana inicia con una pregunta que presenta la misma
situación de la anterior, pero difiere en los continentes ¿De cuántas formas
distintas podrían quedar los continentes en los cuartos de final del mundial
de fútbol, sabiendo que 4 equipos son sudamericanos, 3 son europeos y 1
es africano? Al solucionar esta pregunta se pretende entender la definición de
permutación con repetición. En este caso la repetición la entendemos en los
equipos que pertenecen al mismo continente. Es importante aclarar que no
importa que equipo quede de primero, segundo etc., sino el continente.
Al finalizar esta semana los estudiantes podrán concluir que en las
permutaciones siempre intervienen todos los elementos, además siempre
importa el orden, pero que hay una diferencia en la repetición o no de los
elementos y es solo esto lo que diferencia si es una permutación ordinaria o con
repetición.
Semana 4: La pregunta de esta semana es: Pékerman dispone en la planilla
de la selección Colombia de 7 volantes de la misma calidad y que pueden
actuar indistintamente en 4 puestos de ataque. ¿Cuántos grupos de
volantes distintos podría organizar? Con ella se pretende aclarar la definición
de variación ordinaria.
Semana 5: Esta semana inicia con una pregunta que nos remite nuevamente a
mirar el campeonato por continentes. La pregunta entonces será ¿De cuántas
formas distintas podrían quedar los continentes como campeones y
subcampeones del mundial de fútbol, sabiendo que 2 equipos son asiáticos,
2 son europeos, 2 son sudamericanos y 2 son africanos? Solucionando esta
pregunta y después de realizar la situación concreta, podrán llegar a la
44444444
INDICACIONES GENERALESINDICACIONES GENERALESINDICACIONES GENERALESINDICACIONES GENERALES
definición de Variación con repetición. Para este tipo de ejercicios de
manipulación de elementos, vamos a utilizar dos juegos de tarjetas con
números.
En esta técnica de conteo será oportuno hablar de las máquinas
tragamonedas que tienen tres ruedas con diferentes dibujos y otras
condiciones por tratarse de un negocio. El facilitador tendrá la oportunidad de
tratar asuntos éticos con sus estudiantes utilizando el pretexto de la técnica
de conteo. Después de explicar cómo funcionan las máquinas tragamonedas,
hablar por ejemplo de la ludopatía.
Al finalizar esta semana los estudiantes deberán diferenciar las variaciones
de las permutaciones, reconociendo además que siempre importa el orden en
ambas técnicas.
Semana 6: La pregunta para esta semana es ¿De cuántas formas distintas
podrían elegirse los tres equipos ganadores sin que importe quien es el
primero, el segundo o el tercero en los cuartos de final del mundial de
futbol? Con esta pregunta entramos en el estudio de la combinación ordinaria
y se resolverán algunos ejercicios que los ayudaran a diferenciarlos.
Semana 7: Ahora aprenderán sobre Combinación con repetición, para
resolver la pregunta debemos tener en cuenta que tenemos cuatro continentes
en cuartos de final del mundial de futbol, cada uno con dos equipos. Deben
averiguar ¿De cuántas formas distintas podrían quedar cuatro continentes
en los dos primeros puestos sin tener en cuenta quien queda de campeón o
subcampeón del mundial de futbol, sabiendo que cada continente cuenta
con dos equipos?
45454545
INDICACIONES GENERALESINDICACIONES GENERALESINDICACIONES GENERALESINDICACIONES GENERALES
Semana 8: Finalmente aparece una pregunta que parte de la definición de
Laplace que usted recordó en los conocimientos previos, y luego analizar como a
partir de las técnicas de conteo se puede resolver la situación. La pregunta es:
Los representantes de los 36 equipos del mundial de fútbol desean tener
un almuerzo y se sientan en una mesa redonda, ¿Cuál es la probabilidad de
que tres representantes queden contiguos?
Al finalizar cada semana el docente facilitador hará una prueba individual en
la que los estudiantes deberán resolver algunas situaciones sobre técnicas de
conteo sin que se les mencione a cuál pertenecen. De esta manera podrá
verificar la comprensión o no de las mismas y podrá tomar decisiones al
respecto, tal vez retomando la explicación o resolviendo otros ejercicios.
Recuerde la evaluación no debe ser punitiva, solo se desea que ellos puedan
verificar su aprendizaje.
Los estudiantes al finalizar la semana 8, deberán diferenciar una técnica de
otras, además identificar si hay o no repetición de elementos, si se usa la
totalidad de ellos y si importa o no el orden. Con todo esto claro podrá resolver
la pregunta que se le plantea. Adicional a esto deberá poder resolver una serie
de ejercicios sin que se le mencione la técnica a la cual pertenece.
46464646
INDICACIONES GENERALESINDICACIONES GENERALESINDICACIONES GENERALESINDICACIONES GENERALES
4.2 ALCANCE:
METAS DE COMPRENSIÓN ESTÁNDARES RELACIONADOS
-Tengo la capacidad de estructurar hipótesis que
explican diferentes fenómenos.
-Infiero y deduzco ideas al realizar ejercicios
concretos.
-Pongo a prueba mi capacidad para responder
preguntas.
-Constato lo aprendido con situaciones de mi
entorno.
-Descubro los fundamentos necesarios para el
estudio de la teoría de la probabilidad.
-Diferencio entre principio aditivo y multiplicativo
-Cuento puntos muestrales por medio de diagramas
de árbol y el principio de multiplicación.
-Reconozco las características de un experimento
aleatorio.
-Identifico el espacio muestral y distintos eventos
de experimentos aleatorios
-Adquiero las herramientas y habilidades necesarias
de las técnicas de conteo.
-Establezco y aplico las técnicas de conteo a través
de permutaciones, variaciones y combinaciones.
-Uso modelos (diagramas de árbol, por ejemplo)
para discutir y predecir posibilidad de ocurrencia
de un evento.
-Conjeturo acerca del resultado de un experimento
aleatorio usando proporcionalidad y nociones básicas
de probabilidad.
-Comparo resultados de experimentos aleatorios
con los resultados previstos por un modelo
matemático probabilístico.
-Calculo probabilidad de eventos simples usando
métodos diversos (listados, diagramas de árbol,
técnicas de conteo).
-Uso conceptos básicos de probabilidad (espacio
muestral, evento, independencia, etc.).
-Diseño experimentos aleatorios (de las ciencias
físicas, naturales o sociales) para estudiar un
problema o pregunta.
-Interpreto conceptos de probabilidad condicional e
independencia de eventos.
-Resuelvo y planteo problemas usando conceptos
básicos de conteo y probabilidad (combinaciones,
permutaciones, espacio muestral, muestreo
aleatorio, muestreo con remplazo).
-Propongo inferencias a partir del estudio de
muestras probabilísticas.
47474747
GUÍA DEL DOCENTEGUÍA DEL DOCENTEGUÍA DEL DOCENTEGUÍA DEL DOCENTE
4.3 ORIENTACIONES PARA EL DOCENTE
Con el desarrollo de la secuencia didáctica se pretende la comprensión y
diferenciación de la combinatoria mediante la manipulación de objetos
concretos enmarcados en una situación didáctica. De esta manera se propician
espacios para la argumentación de hipótesis, reflexión, discusión y responder
las preguntas guiadas.
Todas las preguntas giran alrededor del mundial de futbol Brasil 2014,
(situación que cada facilitador podrá modificar según le parezca). Para las
situaciones en concreto se entregaran diferentes materiales como pimpones de
colores, juegos de números del 0 al 9, tarjetas con nombres, dibujos, etc…, (el
facilitador puede imprimir los dibujos de cada guía de trabajo si lo considera
conveniente o utilizar otro material). Éstos permitirán que puedan ser
manipulados y así comprender mejor la situación, anotar en un cuaderno los
posibles arreglos y encontrar respuestas para luego generalizar la definición y
finalmente responder correctamente la pregunta inicial.
La pregunta se desarrollara en la primera sesión de la semana y en la
segunda se solucionaran problemas concernientes a este tema en particular que
les permita diferenciar a los estudiantes entre una y otra técnica de conteo,
además podrán observar cuando haya o no repeticiones, si se usan o no todos
los elementos y si importa o no el orden. Finalmente estas preguntas son las
que los guiaran a la comprensión de la formula precisa para cada ejercicio.
Usted hará las veces de facilitador en el desarrollo de la misma. Explicará a
los estudiantes cada pregunta en el momento que ellos lo requieran siempre y
48484848
GUÍA DEL DOCENTEGUÍA DEL DOCENTEGUÍA DEL DOCENTEGUÍA DEL DOCENTE
cuando ellos hayan hecho una discusión de la misma. Entregará los materiales a
cada grupo de trabajo y observara los comportamientos y las discusiones que
se suscitan para luego hacer anotaciones en su cuaderno y de esta manera
mejorar la secuencia didáctica para una próxima aplicación.
Al finalizar la guía del docente encontrará anexos con tabla informativa de
los países clasificados al mundial Brasil 2014 anexo 1, cuadro para ser
diligenciado por el estudiante a partir del desarrollo de la segunda actividad
anexo 2 y cuadro resumen sobre las técnicas de conteo anexo 3.
La guía del docente está conformada por ocho actividades, las cuales
contienen en su diseño preguntas, explicaciones, definiciones y ejemplos para
resolver cualquier duda que se presente en el desarrollo de la misma. Además
de las soluciones a cada pregunta y situación que se presentan en las
actividades de la guía del estudiante.
Actividad # 1
Principio aditivo y multiplicativo
Al iniciar la secuencia didáctica usted pedirá a los estudiantes que se organicen
en mesa redonda y hará una serie de preguntas que no tendrán respuesta hasta
finalizada la secuencia. Con esta actividad los introducirá en el maravilloso
mundo de la combinatoria y de esta manera cada uno de ellos entenderá de qué
se trata la secuencia didáctica.
Las preguntas que orientaran esta conversación pueden ser entre otras:
� Si eligiéramos un grupo de tres de ustedes para conformar un comité dentro
del salón, sin tener en cuenta la importancia de cada uno de los miembros,
49494949
GUÍA DEL DOCENTEGUÍA DEL DOCENTEGUÍA DEL DOCENTEGUÍA DEL DOCENTE
¿cuántos grupos diferentes aparecerían, sabiendo que éste grupo consta de
x cantidad de estudiantes?
� Bajo las mismas condiciones del grupo, si dentro del equipo de tres a elegir,
uno será llamado representante de grupo, otro suplente y el otro secretario,
¿De cuantas formas diferentes pueden ser elegidos los participantes del
grupo?
� Si deseamos conformar un equipo de futbol de 11 jugadores de los x
cantidad de hombres del grupo ¿de cuántas formas podría ser formado el
equipo?
� Si las x cantidad de niñas se sientan formando un círculo y cinco de ellas no
estuvieran dispuestas a separarse ¿de cuántas formas posibles podrían
sentarse todas las niñas?
� Sabiendo que están organizados de manera circular, ¿De cuántas maneras
podrían organizarse los x cantidad de estudiantes?
� Finalmente ¿les gusta el fútbol? ¿Quién recuerda los equipos participantes
en el mundial Brasil 2014 y a que continente pertenecen?
Durante la socialización de las preguntas usted puede orientarlos a
solucionarlas haciendo un grupo más pequeño de estudiantes y tomando los
roles descritos en cada pregunta. Es importante no mencionar ninguna técnica
en este primer ejercicio y dejar que sean ellos mismos quienes traten de
buscar soluciones a los interrogantes.
Después de escuchar sus comentarios y hacer las anotaciones pertinentes en
el tablero y en su cuaderno, entregue la siguiente tabla para que ellos la llenen
y se vayan familiarizando con el tema, pasado unos minutos la corregirán entre
todos y la terminaran. Debe ir consignada en sus cuadernos de clase.
50505050
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PAISES CLASIFICADOS A BRASIL 2014
CONTINENTES
TOTAL PAISES POR CONTINENTE
51515151
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Después de esta introducción usted dará inicio a la actividad diseñada como
número 1.
Con esta actividad se pretende que los estudiantes diferencien los principios
de adición y multiplicación resolviendo dos preguntas. Recuerde llevar los
dibujos o recortes de los elementos a manipular; en este caso guayos,
camisetas, busos y pantalonetas de diferentes colores.
Primera pregunta:
¿De cuantas formas diferentes puede vestirse cada jugador de un equipo
de fútbol que tiene 3 pares de guayos, 4 pantalonetas y 5 camisetas?
Es claro que cada jugador debe salir al campo de juego con estas tres
prendas de vestir, lo que significa que debe usar: guayos y pantaloneta y
camiseta. La letra (y) se traduce en una multiplicación.
Vamos a nombrar los guayos con la letra G, las pantalonetas con la letra P y
las camisetas con la letra C, entonces
G y P y C
3 x 4 x 5 = 60 formas diferentes.
52525252
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Este es el principio multiplicativo (se realiza un suceso y luego el otro); la
idea es que los estudiantes utilicen diferentes métodos para encontrar la
53535353
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respuesta, como diagramas de árbol, dibujos o material concreto entre otros.
Al final se llegara a las conclusiones y se podrá definir el principio
multiplicativo.
Ahora se cambiara un poco el ejercicio, adicionándole camisetas de manga
larga llamados también busos.
Segunda pregunta:
¿De cuantas formas diferentes puede vestirse cada jugador de un equipo
de fútbol que tiene 3 pares de guayos, 4 pantalonetas, 5 camisetas o 5
busos?
Los futbolistas deben elegir si salir con las camisetas o con los busos ya que
no pueden usar las dos cosas a la vez.
Acá nos encontramos con otra situación, cada jugador tiene que ponerse los
guayos y la pantaloneta obligatoriamente pero puede elegir entre la camiseta o
el buso, la letra (o) se traduce en suma.
Si designamos los busos con la letra B, el ejercicio se puede plantear así:
G y P y (C o B)
3 x 4 x (5 + 5) = 12 x 10 = 120 formas diferentes.
54545454
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Al ejercicio anterior agregamos la misma secuencia pero con los busos, es
decir, se duplican las posibilidades.
Como observamos el hecho de usar una cosa o la otra significa que se deben
sumar las posibilidades y es acá donde se explica el principio de adición (se
realiza un suceso o el otro)
Posterior a esto se proponen algunos ejercicios en los que pueden utilizar las
dos definiciones aprendidas, después de analizar cada situación.
Respuestas actividad # 1
1. Hay 6 x 5 = 30 formas distintas. En este problema se espera que los estudiantes hagan la acción de encontrar los datos relevantes: seis puertas para entrar y sólo cinco para salir. Puede ser que hagan la acción de escribir todos los casos. Si ellos hacen el producto indicaría que ya interiorizaron dicha acción en un proceso.
2. Analicemos todos los casos
a. 4 x 8 x 3 x 2 = 192 coches distintos. Cuatro datos b. 4 x 3 x 2 = 24 coches azules. Tres datos c. 4 x 2 = 8 coches azules y motor V-8. Dos datos En este problema se espera que los estudiantes hagan la acción de seleccionar los datos relevantes para cada inciso: en el inciso Si únicamente pueden hacer acciones puede ser que escriban todos los casos. Si los alumnos hacen el producto indicaría que ya interiorizaron dicha acción en un proceso.
3. a. 26 x 26 x 26 = 263 = 17576 placas distintas. b. 26 x 26 = 262 = 676 placas que comienzan con B. c. 26 x 26 x 5 = 5 x 262 = 3380 placas que terminan con vocal. d. 25 x 24 = 600 placas que comienzan con B. e. 25 x 24 = 600 placas que terminan con B. f. 25 x 24 x 5 = 3000 placas que terminan con vocal. En este problema se espera que los alumnos hagan la acción de distinguir los incisos (a, b y c) donde se permite la repetición de letras, de los incisos (d, e, f) donde no se permite la repetición de letras. Además, la acción de fijar, según el inciso, si la primera o última letra cumplen determinada restricción: ser la letra B o ser vocal. Puede ser que los estudiantes hagan la acción de escribir todos los casos. Si ellos lo hacen el producto indicaría que ya interiorizaron la acción en un proceso.
4. 2 x 3 x 3 = 18 formas de llegar
55555555
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Actividad # 2
Permutaciones
La pregunta con la que iniciaran la actividad es ¿De cuántas formas
diferentes podrían quedar los equipos de cuartos de final del mundial de
fútbol?
Recordemos que permutaciones son todas las distintas ordenaciones que
podemos hacer de todos los elementos de un conjunto, es decir, de cuantas
formas diferentes podemos ordenar todos los elementos de los que
disponemos. A este tipo de permutaciones se le conoce como permutación
ordinaria o sin repetición.
�� = �!.
Por lo que el resultado de la situación anterior es
�( = 8! = 8*7*6*5*4*3*2*1 = 40.320
Para introducir la definición se le entregará a cada grupo de estudiantes
tres pimpones de colores diferentes y una base con tres huecos en la que
podrán acomodarlos y que además puedan hacer distintas movimientos o
permutaciones. Pueden repetir el ejercicio con cuatro pimpones y luego con 5 si
es necesario.
La pregunta es:
¿De cuántas formas diferentes podemos ordenar tres pimpones de color rojo,
verde y azul? Es decir, cuántas permutaciones son posibles.
56565656
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Deben anotar o dibujar en su cuaderno e intentar encontrar una generalidad
para resolver ejercicios de este tipo.
Antes de dar cualquier fórmula o respuesta, usted deberá llevar a los
estudiantes a que se pregunten ¿si se toman todos los elementos?, ¿si importa
el orden? y ¿si se repiten los elementos? Estas tres preguntas son las que
hacen la diferencia en las técnicas de conteo.
Se plantea una segunda actividad
Juan, María, Adriana y Tomas van al cine, ¿De cuántas formas distintas pueden
sentarse en una silla de cuatro puestos? Entregue a los estudiantes tarjetas
con los cuatro nombres para que ellos puedan moverlas y así encontrar la
respuesta correcta.
57575757
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Pida a sus estudiantes que escriban o dibujen en sus cuadernos los
diferentes arreglos que encontraron.
Tomás Tomás Tomás Tomás Tomás Tomás
Adriana Adriana Juan Juan María María
María Juan Adriana María Juan Adriana
Juan María María Adriana Adriana Juan
Juan Juan Juan Juan Juan Juan
Adriana Adriana Tomás Tomás María María
María Tomás Adriana María Tomás Adriana
Tomás María María Adriana Adriana Tomás
Adriana Adriana Adriana Adriana Adriana Adriana
Tomás Tomás Juan Juan María María
María Juan Tomás María Juan Tomás
Juan María María Tomás Tomás Juan
María María María María María María
Adriana Adriana Juan Juan Tomás Tomás
Tomás Juan Adriana Tomás Juan Adriana
Juan Tomás Tomás Adriana Adriana Juan
58585858
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La respuesta al ejercicio anterior es
�1 = 4! = 4*3*2*1 = 24.
Como en el ejercicio anterior, lleve a los estudiantes a hacerse las mismas
preguntas acerca del orden, total de elementos y su repetición.
Después de algunas discusiones y de que usted haga las respectivas
anotaciones en el tablero, se espera que los estudiantes lleguen a la conclusión
que lo que se hace es una multiplicación y luego se pasara a enseñar o recordar
la definición de número factorial. Finalmente se dará un tiempo para que ellos
solucionen la pregunta que los convoca.
Cuando esto ocurra deben realizar una serie de ejercicios que les ayudara a
interiorizar mejor el concepto, además se le entregara una tabla que ellos
deberán ir llenando a medida que responden cada pregunta, iniciando con la
actividad número 2. Es la misma información que ira en las conclusiones que
ellos deben llenar al finalizar la actividad.
Verifique que los estudiantes no inicien la siguiente actividad sin
comprender perfectamente el concepto anterior, para ello realice la prueba
individual.
Las permutaciones circulares son un caso particular de las permutaciones y
son agrupaciones de todos los elementos ordenados siempre de forma circular.
Se deben tener en cuenta las mismas condiciones de una permutación
ordinaria; es decir, entran todos los elementos pero no se repiten y hay orden.
La fórmula es
�!� = �� − 1�!
59595959
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Respuestas actividad # 2
1. Sí entran todos los elementos. tienen que sentarse las 8 personas.
Sí importa el orden.
No se repiten los elementos. Una persona no se puede repetir.
P8 = 8! = 8x7x6x5x4x3x2x1 = 40 .320 formas
2. 4! = 24 maneras
En este problema se espera que los alumnos hagan la acción de separar las letras e de las otras
letras. Puede ser que hagan la acción de escribir todos los casos. Si los estudiantes hacen el
producto o factorial indicaría que ya interiorizaron la acción en un proceso.
3. a. 7! formas de ordenar los libros
b. 4! 3! formas de alterar las materias
c. 5! 3! formas de poner los libros de matemáticas discretas juntos.
d. 2! 4! 3! formas de poner los libros de matemáticas juntos y de algebra juntos.
e. 3! 4! formas de poner dos libros de álgebra a cada lado de los libros de matemáticas.
En este problema se espera que los alumnos sepan hacer la acción de distinguir el orden en que
van los libros: a veces juntos, otros alternados y otros de cualquier forma. Se espera que hagan
la acción de separar los libros de matemáticas de los de álgebra en los incisos que se necesite.
Puede ser que hagan la acción de escribir todos los casos. Si los alumnos hacen el producto
indicaría que ya interiorizaron dicha acción en un proceso.
4. Disponer de 10 jugadores que puedan ocupar 10 posiciones distintas
Si entran todos los elementos
Si importa el orden
No se repiten los elementos.
P 1 0 = 10! = 3628800
5. PC8 = P8-1 = (8-1)! = 7! = 5040
6. Si entran todos los elementos.
Si importa el orden
No se repiten los elementos
P5 = 5! = 120
60606060
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Actividad # 3
Permutaciones con repetición
Ahora que los estudiantes entienden que es una permutación ordinaria, se
iniciara con la explicación de permutación con repetición que se da cuando
hacemos ordenaciones diferentes de todos los elementos de los que
disponemos pero algunos de ellos iguales. La pregunta es ¿De cuántas formas
distintas podrían quedar los continentes en los cuartos de final del mundial
de fútbol, sabiendo que 4 equipos son sudamericanos, 3 son europeos y 1
es africano?
Lo que se quiere saber en esta pregunta es cuáles son las posibilidades de
que cada continente quede de primero, segundo, hasta octavo sin importar el
país.
En este caso los cuatro equipos sudamericanos hacen las veces del pimpón
del mismo color.
La respuesta a la pregunta es
��4,3,1
8=
�(
4! 3! =
8!
4! 3!=
8*7*6*5*4!
4! 3*2*1= 8*7*5 = 280
Como en el ejercicio anterior, se resolverán dos ejercicios con material
concreto antes de responder el interrogante del mundial de futbol.
¿De cuántas formas diferentes podemos ordenar tres pimpones sabiendo que
dos de ellos son iguales?
61616161
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Deben anotar o dibujar en su cuaderno e intentar encontrar una generalidad
para resolver ejercicios de este tipo.
��2
3=
�2
2! =
6
2= 3
Cuando los estudiantes encuentren la respuesta, el docente hará preguntas
para orientar la solución al cuestionamiento anterior. Si es necesario se
tomaran más pimpones y se repetirá el ejercicio.
Posterior a esto, se escribirán en el tablero todas las respuestas de los
estudiantes, las acertadas o incorrectas, y con esta información se hará una
discusión que debe conducir a resolver la pregunta central de la actividad.
Debe recordar llenar la tabla con la nueva información, sobre orden, número
de elementos y repetición.
62626262
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Se realiza un segundo ejercicio
¿De Cuantas formas diferentes se pueden acomodar en un armario 2 chalinas
azules y 4 chalinas rojas?
Proponga a sus estudiantes diferenciar las chalinas con R1, R2, R3, R4, A1 y
A2, con bolas o rayas de colores. También puede llevar recortados los dibujos
de las chalinas con dos colores diferentes. Se les pide además que hagan todas
las posibles ordenaciones sin repetir una de ellas.
La respuesta correcta como lo indica el arreglo es;
��2,4
6=
�3
2! 4! =
6!
2! 4!=
6*5*4!
2! 4! =
6*5
2!=
30
2= 15
Recuerde las preguntas claves y llenar el cuadro resumen.
Se proponen algunos ejercicios para fijar mejor el nuevo conocimiento.
63636363
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Respuestas actividad #3
1. Hay 9 elementos pero algunos repetidos. Sí entran todos los elementos, sí importa el orden, sí se repiten los elementos
��3,4,2
9=
9!
3! 4! 2! =
9!
3! 4! 2!=
9*8*7*6*5*4!
3! 4! 2! =
9*8*7*6*5
3*2*2= 9*4*7*5 = 1260
2. Sí entra todos los elementos, sí importa el orden, sí se repiten los elementos
��3,2,1
6=
6!
3! 2!=
6*5*4*3!
2! 3! =
6*5*4
2!=
120
2= 60
3. Si tenemos 18 elementos 1 se repite 7 veces 1 se repite 6 veces 1 se repite 3 veces, se deduce que: 1 se repite 1vez y 1 se repite 1 vez
Podemos observar que: Sí entran todos los elementos, sí es importante
el orden, sí se repiten los elementos
��7,6,3
18=
18!
7! 6! 3!=
18*17*16*15*14*13*12*11*10*9*8*7!
7! 6*5*4*3*2*1*3*2=
18*17*16*15*14*13*11*2 = 294.053.760
4. Debe tener presente que si están sentados en una mesa redonda es una permutación circular. Por lo tanto verificamos las condiciones de una permutación ordinaria pero la formula cambia. Sí entran todos los elementos, sí importa el orden, no se repiten los elementos Por lo tanto
�!� = �� − 1�!
�!3 = �6 − 1�! = 5! = 5*4*3*2*1 = 120
64646464
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Actividad # 4
Variaciones
Al desarrollar esta actividad los estudiantes aprenderán que una variación es
cada una de las ordenaciones diferentes que podemos hacer tomando un
número determinado del total de los elementos de los que disponemos en el
conjunto y donde importa el orden de estos arreglos.
"�
�=
�!
�� − ��!
m = número total de elementos
n = número de elementos en los grupos
m ≥ n
La pregunta que deberán resolver es Pékerman dispone en la planilla de la
selección Colombia de 7 volantes de la misma calidad y que pueden actuar
indistintamente en 4 puestos de ataque. ¿Cuántos grupos de volantes
distintos podría organizar?
"4
7=
7!
�7 − 4�! =
7!
3!=
7*6*5*4*3!
3! = 7*6*5*4 = 840
Para entender y responder la pregunta, invite a los estudiantes a resolver
dos situaciones con material concreto.
Primera situación:
¿Cuántos números de dos cifras se pueden formar con los números 1, 2, 3, 4 y
5 sin repetir ninguno de ellos?
Se entregarán 5 tarjetas con los números
65656565
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Como en los ejercicios anteriores los estudiantes deberán observar, anotar
o dibujar si es necesario.
Estos son todos los arreglos posibles
"2
5=
5!
�5 − 2�! =
5*4*3!
3!= 5*4 = 20
Segunda situación:
¿De cuántas maneras distintas podrán ser elegidos Isabel, Tomás, David y
María para los cargos de presidente, vicepresidente, contador y fiscal?
Observamos que la cantidad de elementos es igual a los grupos que se toman.
1 2 3 4 5
1 2 1 3 1 4 1 5
2 1 2 3 2 4 2 5
3 1 3 2 3 4 3 5
4 1 4 2 4 3 4 5
5 1 5 2 5 3 5 4
66666666
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PRESIDENTE VICEPRESIDENTE CONTADOR FISCAL
Isabel Tomás David María
Isabel Tomás María David
Isabel David Tomás María
Isabel David María Tomás
Isabel María Tomás David
Isabel María David Tomás
Tomás Isabel María David
Tomás Isabel David María
Tomás David María Isabel
Tomás David Isabel María
Tomás María David Isabel
Tomás María Isabel David
David Tomás María Isabel
David Tomás Isabel María
David María Tomás Isabel
David María Isabel Tomás
David Isabel Tomás María
David Isabel María Tomás
María Tomás Isabel David
María Tomás David Isabel
María Isabel Tomás David
María Isabel David Tomás
María David Isabel Tomás
María David Tomás Isabel
67676767
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"4
4=
4!
�4 − 4�! =
4!
0!=
4!
1= 4*3*2*1 = 24
Recordar que por definición
0! = 1
Es el momento de responder la pregunta del mundial de futbol.
Al finalizar el ejercicio, pida a los estudiantes respondan las preguntas de
rigor sobre orden, cantidad de elementos y repetición. Además, escriban en
sus cuadernos las diferencias que ha encontrado con las técnicas anteriores,
posterior a esto pídales que llenen la tabla y finalmente que resuelvan los
ejercicios propuestos para este concepto.
Respuestas actividad # 4
1. Hay 5 elementos pero sólo entran de 4 en 4,
Si importa el orden, ya que los números 123, 231 y 321 son diferentes.
No se repiten los elementos, el enunciado pide que las cifras sean diferentes.
"4
5=
5!
�5 − 4�! =
5*4*3*2*1
1= 5*4*3*2 = 120
2. No entran todos los candidatos, sólo 3.Si importa el orden. No se repiten los
elementos. Suponemos que cada candidato presenta una sola obra.
"3
10=
10!
�10 − 3�! =
10*9*8*7!
7!= 10*9*8 = 720
3. No entran todos los elementos, lo hacen de 3 en 3.
Si hay orden, no es lo mismo tener la medalla de oro que la de plata.
No se repiten los elementos, no se puede tener al mismo tiempo dos medallas
"3
5=
5!
�5 − 3�! =
5*4*3*2!
2!= 5*4*3 = 60
68686868
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Actividad # 5
Variación con repetición
La diferencia con la actividad anterior, es que ahora se pueden repetir
elementos. En nuestra pregunta ¿De cuántas formas distintas podrían quedar
los continentes como campeones y subcampeones del mundial de fútbol,
sabiendo que 2 equipos son asiáticos, 2 son europeos, 2 son sudamericanos
y 2 son africanos? Deben analizar que no importa que equipos participan,
todos los que pertenecen a un mismo continente se consideran como iguales.
Entonces se tendrán en cuenta solo 4 elementos que son: Asía, Europa,
Sudamérica y África.
"� �
�= ��
"� 2
4= 4& = 16
Primera situación:
¿Cuántos números de dos cifras se pueden formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4?
Tomemos dos juegos de números de 1 al 4, para poder repetir los números.
69696969
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Se les pide que hagan agrupaciones de dos en dos elementos, además que
tengan en cuenta que aunque aparecen dos juegos de números solo vamos a
tener en cuenta un juego, es decir 4 elementos.
"� 2
4= 4& = 16
Segunda situación:
¿Cuántos grupos de 2elementos podemos formar con los 5 primeros polígonos
regulares?
70707070
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Al igual que en la situación anterior se pide que agrupen los elementos de dos
en dos y que repitan cada uno de los elementos.
La siguiente es la agrupación que resulta,
"� 2
5= 5& = 25
Recuerde hacer las preguntas acostumbradas sobre orden, repetición y
cantidad de elementos, además anotar las conclusiones y llenar la tabla de
Combinatoria.
Se pide que resuelvan cada una de las situaciones para que fijen más su
aprendizaje.
71717171
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Respuestas actividad # 5
1. No entran todos los elementos. De 5 dígitos sólo entran 3. Si importa el orden. Son números distintos el 123, 231, 321. Si se repiten los elementos.
"� 3
5= 52 = 125
2. Usted puede realizar un diagrama de árbol para que le muestre a los estudiantes como se forman las letras.
Se repiten los elementos ya que solo hay dos símbolos, sí hay orden y en este caso se utilizan todos los elementos. Como vemos en el grafico
"� 4
2= 21 = 16
3. Se repiten los elementos, solo es cara o sello. Hay orden, no el mismo (cara, sello) que (sello, cara). Se utilizan todos los elementos
"� 7
2= 25 = 128
4. Se repiten todos los elementos: (a, a).
Hay orden: (a, b) es diferente a (b, a)
No se utilizan todos los elementos, de 5 vocales solo entran 2.
"� 2
5= 5& = 25
72727272
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Actividad # 6
Combinación ordinaria
A los distintos grupos de elementos de un conjunto que se pueden formar con
diferentes elementos del conjunto, sin tener en cuenta el orden en que estos
grupos se conformen se le denomina combinación ordinaria o sin repetición.
!�
�=
"�
���
Operando
!�
�=
"�
���
=
6!
�67��!
�!=
�!
�! �� − ��!
¿De cuántas formas distintas podrían elegirse los tres equipos ganadores
sin que importe quien es el primero, el segundo o el tercero en cuartos de
final del mundial de fútbol?
!3
8=
8!
3! �8 − 3�!=
8!
3! 5!=
8*7*6*5!
3*2*5!= 8*7 = 56
Primera situación:
En un torneo de baloncesto hay cinco equipos, ¿cuántos partidos se jugaran, si
juegan todos contra todos?
Acá se toman grupos de dos en dos, tenga en cuenta que un conjunto se
diferencia de los demás en, al menos un elemento sin importar el orden.
73737373
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El equipo verde se enfrentara a los cuatro equipos restantes, es decir 4
partidos; así.
El equipo Azul se enfrentara con tres equipos restantes, dado que ya se
enfrentó al verde, es decir, 3 partidos. Así
74747474
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El equipo Amarillo se enfrentara con dos equipos restantes, dado que ya se
enfrentó al verde y al azul, es decir 2 partidos. Así
El equipo Rojo se enfrentara con el equipo restante, dado que ya se enfrentó
a todos los demás, es decir un solo partido. Así
La respuesta a la situación es
!2
5=
"2
5�&
=5*4
2!=
20
2= 10
75757575
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Segunda situación:
En una discotienda hay 7 CD de mi preferencia pero solo tengo dinero para
comprar tres, ¿el número de formas posibles de elegir los tres CD de los siete
posibles es?
!3
7=
"3
7�2
=7*6*5
3!=
210
6= 35
Ahora se procede con la actividad complementaria
76767676
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Respuestas actividad # 6
1. No entran todos los elementos,
no importa el orden,
no se repiten los elementos.
!3
35=
35!
3! �35 − 3�!=
35*34*33*32!
3*2*1 �32!�=
35*17*11
1= 6545
2. No entran todos los elementos
No importa el orden. No se repiten los elementos.
Otra manera de plantearlo
!3
7=
"3
7�2
=7*6*5
3!=
210
6= 35
3. No entran todos los elementos
No importa el orden
No se repiten los elementos
!2
10=
10!
2! �10 − 2�!=
10*9*8!
2! �8�!=
10*9
2= 45
4. No entran todos los elementos
No importa el orden
No se repiten los elementos
!6
45=
45!
6! �45 − 6�!=
45*44*43*42*41*40*39!
6*5*4*3*2*1�39�!=
15*44*43*41*7
1
= 8.145.060
77777777
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Actividad # 7
Combinación con repetición.
Son cada una de las distintas agrupaciones que podemos hacer tomando
todos o un número determinado del total de los elementos de los que
disponemos en el conjunto, donde no importa el orden de estas ordenaciones y
se repiten los elementos.
!��
�=
�� + � − 1�!
�! �� − 1�!
¿De cuántas formas distintas podrían quedar cuatro continentes en los dos
primeros puestos sin tener en cuenta quien queda de campeón o
subcampeón del mundial de fútbol, sabiendo que cada continente cuenta
con dos equipos?
Como es claro un equipo no puede ser a la vez campeón y subcampeón,
entonces la pregunta plantea q hay dos equipos por continente lo que significa
que en un continente puedo encontrar los dos mejores lugares, es decir, los
elementos que se toman son los cuatro continentes pero de dos en dos.
Si nombramos los continentes como:
C1, C2, C3 y C4 entonces las agrupaciones serán:
C1, C1 C2, C2 C3, C3 C1, C4
C1, C2 C2, C3 C3, C4
C1, C3 C2, C4 C4, C4
!�2
4=
�8 + 2 − 1�!
2! �8 − 1�!=
5!
2! 3!=
5*4*3!
2*3!= 5*2 = 10
78787878
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Primera situación:
En una heladería ofrecen helados de cinco sabores diferentes, tres niñas
entran a la heladería y pueden pedir el tipo de helado que desean. En la carta
de posibilidades podemos encontrar que las tres pidan el mismo, dos de ellas el
mismo o cada una de ellas diferentes entre sí.
¿De cuántas formas diferentes la persona que atiende podría servir 3 conos de
sabores diferentes, sin importar en qué orden sirve los tres helados?
!�3
5=
�5 + 3 − 1�!
3! �5 − 1�!=
7!
3! 4!=
7*6*5*4!
3*2*4!= 7*5 = 35
79797979
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Segunda situación:
En una bodega hay 4 diferentes tipos de botellas, ¿De cuántas formas se
pueden elegir 3 botellas?
!�3
4=
�4 + 3 − 1�!
3! �4 − 1�!=
6!
3! 3!=
6*5*4*3!
3! *3*2= 5*4 = 20
80808080
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Respuestas actividad # 7
Revise las preguntas sobre orden, número de estudiantes y repetición y aplíquelo a cada situación
1. Estamos en el caso en el que no nos importa el orden en que elijamos
los pasteles y podemos repetir, son combinaciones con repetición.
!�4
6=
�6 + 4 − 1�!
4! �6 − 1�!=
9!
4! 5!=
988878685!
483828185!= 98287 = 126
2. Los dados se tiran simultáneamente, no importa el orden en que caigan. El seis aparece ya que es el la cara más grande del dado.
!�3
6=
�6 + 3 − 1�!
3! �6 − 1�!=
8!
3! 5!=
8878685!
3828185!= 887 = 56
3. !�4
10=
�9:;179�!
1!�9:79�!=
92!
1!<!=
92=9&=99=9:=<!
1=2=&=<!= 13*11*5 = 715
4. !�6
9=
�<;379�!
3!�<79�!=
91!
3!(!=
91=92=9&=99=9:=<=(!
3=>=1=2=&=(!=
91=92=99=&=2
1= 3003
81818181
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Actividad # 8
Los representantes de los 36 equipos del mundial de futbol desean tener
un almuerzo y se sientan en una mesa redonda, ¿Cuál es la probabilidad de
que tres representantes queden contiguos?
Al inicio de la secuencia usted realizó un trabajo sobre conocimientos
previos, en el que recordó y explicó la definición de Laplace sobre probabilidad,
ésta y otras definiciones son importantes para solucionar la pregunta que nos
convoca.
������������ = ���� ��?�������
���� �������
Debemos saber en el ejercicio cuales son los casos favorables y los casos
totales. Para ello debemos acudir a la combinatoria y analizar la situación.
El problema dice que son 36 personas sentadas en una mesa redonda, esta
situación debe remitirlos a una permutación circular. Así:
�!� = �� − 1�!
�!23 = �36 − 1�! = 35!
35! son los casos totales. Ahora la situación también menciona que hay tres
representantes que quedan contiguos, es decir, que no se separan, entonces
ellas son tomadas como un solo representante, por lo tanto es como si hubiera
34 personas, luego debemos hallar la nueva permutación de 34, así:
�!21 = �34 − 1�! = 33!
82828282
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Ahora hay otro escenario por analizar; los tres representantes también se
mueven entre sí, ya que el ejercicio no plantea que no lo hagan. Entonces hay
una nueva permutación de tres elementos pero con el agravante que ellos no se
cuentan como si estuvieran sentados en un círculo, ahora los analizamos en una
fila, por lo que se debe hallar la permutación de 3, es decir 3!; así:
�� = �!
�2 = 3!
Como estas dos permutaciones ocurren simultáneamente, se aplica el
principio de la multiplicación; así:
3! *33!
Este resultado será los casos favorables. Entonces la probabilidad es:
������������ =3! * 33!
36!=
3! 33!
36*35*34*33!=
3*2
36*35*34
=1
6*35*34=
1
7.140
Después de realizar este ejercicio se proponen nuevas situaciones en los
cuales deberán determinar la técnica de conteo y resolver.
83838383
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Respuestas actividad # 8
1. ��6,3,5
14=
@AB
3!2!>! =
91=92=9&=99=9:=<=(=5=3!
3!=2=&=>=1=2=&= 7*13*11*3*8*7 = 168.168
2. ��3,1,1,1,1,1
8=
@C
2! =
(!
2!=
(=5=3=>=1=2!
2! =
(=5=3=>=1
9= 6720
3. !10
8=
9:!
(!�9:7(�!=
9:!
(!&!=
9:=<=(!
(!=&= 5*9 = 45
4. �> = 5! = 5*4*3*2*1 = 120
5. "4
7=
5!
�572�! =
5!
1!=
5=3=>=1!
1! = 7*6*5 = 210
6. !14
4=
91!
1!�9171�!=
91=92=9&=99=9:!
1=2=&=9:!=
5=92=99
9= 1.001
!8
4=
8!
4! �8 − 4�!=
8*7*6*5*4!
4! 4!=
8*7*6*5*4!
4! *4*3*2= 7*2*5 = 70
!14
4− !
8
4= 1001 − 70 = 931
84848484
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ANEXOS GUÍA DEL DOCENTE
ANEXO 1:
PAISES CLASIFICADOS A BRASIL 2014
AFRICA ASIA EUROPA C AMÉRICA S. AMÉRICA
Argelia Australia Alemania Costa Rica Argentina
Camerún Corea Sur Bélgica USA Brasil
C. de Marfil Irán Bosnia Honduras Chile
Ghana Japón Croacia México Colombia
Nigeria España Ecuador
Francia Uruguay
Grecia
Inglaterra
Italia
Países Bajos
Portugal
Rusia
Suiza
5 4 13 4 6
85858585
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ANEXO 2:
TIPO DE
COMBINATORIA
¿Se toman
todos los
elementos?
¿Importa el
orden?
¿Se repiten
elementos?
FÓRMULA
PERMUTACIÓN
ORDINARIA
PERMUTACIÓN
CON REPETICIÓN
VARIACIÓN
ORDINARIA
VARIACIÓN CON
REPETICIÓN
COMBINACIÓN
ORDINARIA
COMBINACIÓN
CON REPETICIÓN
86868686
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ANEXO 3:
Tipo de
combinatoria
¿Se toman todos los
elementos?
¿Importa el
Orden?
¿Se repiten
elementos?
Fórmula
Permutación
Ordinaria
Si Si No Pn = n !
Permutación
con
Repetición
Si
Si
Si
���, �, , …
�=
��
�!.∙ �! ∙ !
Variación
Ordinaria
No Si No "�
�=
�!
�� − ��!
Variación con
repetición
Si / No
Si � D �
Si Si "� �
�= ��
Combinatoria
ordinaria
No
No
No !
�
�=
"�
���
Combinatoria
con
repetición
Si / No
No
Si
!��
�=
�� + � − 1�!
�! �� − 1�!
87878787
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4.4 GUIA DE ACTIVIDADES PARA EL ESTUDIANTE
Actividad # 1 PRINCIPIO DE ADICIÓN Y MULTIPLICACIÓN
Materiales: Dibujos, fotografías o láminas de las diferentes prendas de vestir
¿De cuantas formas diferentes puede vestirse cada jugador de un equipo de fútbol que tiene 3 pares de
guayos, 4 pantalonetas y 5 camisetas?
¿De cuantas formas diferentes puede vestirse cada jugador de un equipo de fútbol que tiene 3 pares de guayos, 4 pantalonetas, 5 camisetas o 5 busos?
Situación 2:
Ahora observe las nuevas prendas, interprete la siguiente pregunta y haga el mismo proceso de la solución anterior.
Situación 1:
Manipule los dibujos de las prendas de vestir y trate de resolver la anterior pregunta. Registre en su cuaderno algunas de las posibles respuestas que encuentre y los métodos que utilizó para ello. Puede dibujar o buscar algunas siglas que representen cada prenda de vestir.
88888888
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Después de analizar las dos soluciones y encontrar las respuestas a los
interrogantes, escriba sus conclusiones
P E N S A R
1. Una tienda tiene seis puertas. ¿De cuántas maneras es posible entrar por una puerta y salir por otra?
2. Los coches marca A se producen en cuatro modelos, de ocho colores, tres potencias de motor y dos tipos de transmisión. a. ¿Cuántos coches distintos pueden fabricarse?
b. ¿Cuántos coches distintos de color azul se pueden fabricar?
c. ¿Cuántos coches distintos de color azul y potencia de motor V-8 pueden fabricarse?
3. Las placas de los carros en una ciudad son de tres letras. Si se usa el alfabeto de
veintiséis letras y se permiten las repeticiones, a. ¿cuántas placas distintas hay? b. ¿Cuántas placas comienzan con la letra B? c. ¿Cuántas terminan con una vocal?
Si no se permiten las repeticiones, d. ¿cuántas placas comienzan con la letra B? e. ¿Cuántas terminan con la letra B? f. ¿Cuántas terminan con vocal?
4. Una persona de la ciudad de México desea visitar un rancho que se encuentra en un municipio del estado de Oaxaca, pero él antes desea conocer cuáles son las alternativas que tiene para poder transportarse. Si para ir de la ciudad de México al estado de Oaxaca se puede ir en avión o en autobús, después para ir al municipio se podría trasladar en taxi, camioneta o moto taxi, posteriormente como el rancho está a 10 minutos del municipio, él podría llegar al rancho en bicicleta, motocicleta o en caballo. ¿De cuantas maneras podrá llegar al rancho?
Curiosidades…
Logitech estima que la probabilidad de que un control remoto perdido este entre los
cojines de un sofá es de un 50%.
89898989
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Actividad # 2 PERMUTACIONES ORDINARIAS
Antes de responder al interrogante, resuelva las siguientes situaciones con
material concreto, esto le ayudará a hallar la solución.
¿De cuántas formas diferentes podrían quedar los equipos de cuartos de final del mundial de futbol?
Situación 1:
¿De cuántas formas diferentes
podemos ordenar tres pimpones
de colores diferentes?
Materiales: Tres pimpones de
colores diferentes
Situación 2:
Juan, María, Adriana y Tomás van al cine, ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse en una silla de cuatro puestos?
Materiales: Cuatro tarjetas con los nombres
Juan María
Adriana Tomás
90909090
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1. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas en una fila de butacas?
2. ¿De cuántas maneras pueden ordenarse las letras a,b,c,d,e,e,e,e,e de forma que ninguna letra e sea adyacente a otra?
3. Un profesor de matemáticas tiene 7 libros en su biblioteca. 3 son de matemáticas discretas y 4 de algebra superior.
a. ¿De cuántas formas puede ordenar los libros si no hay restricciones?
b. ¿Si se deben alternar las materias?
c. ¿Si todos los libros de matemáticas discretas deben estar juntos?
d. ¿Si todos los libros de algebra superior deben estar juntos y los de matemáticas
discretas también?
e. ¿Si los libros de matemáticas discretas deben colocarse de forma que tengan dos
libros de algebra superior a cada lado?
4. ¿De cuántas formas pueden colocarse los 11 jugadores de un equipo de futbol
teniendo en cuenta que el portero no puede ocupar otra posición distinta que la portería?
5. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse 8 personas alrededor de una mesa
redonda?
6. ¿Cuántos números de 5 cifras distintas se pueden formar con las cifras impares?
Curiosidades…
El matemático y médico italiano Gerolamo Cardono (1501-1576), fue un aficionado a
los juegos de azar, y aunque estos le trajeron ciertos problemas, gracias a su experiencia con ellos, escribió uno de los primeros libros de probabilidad, el Liber de ludo aleaeel cual ofreció la primera
aproximación sistemática a la teoría de la probabilidad.
P E N S A R
91919191
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Actividad # 3 PERMUTACIONES CON REPETICIÓN
Situación 1:
¿De cuántas formas diferentes podemos ordenar tres pimpones sabiendo que dos de ellos son iguales? Es decir, cuántas permutaciones son posibles.
Materiales: tres pimpones, dos de ellos con el mismo color
Situación 2:
¿De Cuantas formas diferentes se pueden acomodar en un armario 2 chalinas azules y 4 chalinas rojas?
¿De cuántas formas distintas podrían quedar los continentes en cuartos de final del mundial de fútbol, sabiendo que 4
equipos son sudamericanos, 3 son europeos y 1 es africano?
92929292
GUÍA DEL ESTUDIANTEGUÍA DEL ESTUDIANTEGUÍA DEL ESTUDIANTEGUÍA DEL ESTUDIANTE
1. Con las cifras 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4 ¿Cuántos números de nueve cifras se pueden formar?
2. En el palo de señales de un barco se pueden izar tres banderas rojas, dos azules y una verde. ¿Cuántas señales distintas pueden indicarse con la colocación de las seis banderas?
3. Se debe formar un grupo de 18 elementos. Un elemento se repite 7 veces, otro se repite 6 y otro 3 veces. ¿De cuántas formas se pueden agrupar los elementos?
4. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse 6 personas en una mesa redonda?
Curiosidades…
Sabías que la estadística es una ciencia que permite conocer mucho mejor a una sociedad, por ejemplo,
permite determinar cuántas personas viven en un país, cuál es la tasa de desempleo, cuál es la tasa de indigencia o pobreza, cuál es el
nivel promedio de educación de dicha sociedad, etc. Datos que
posteriormente pueden ser utilizados por los distintos
organismos del Estado para realizar proyectos que permitan mejorar esa situación o mantenerla en el caso de
que sea buena.
P E N S A R
93939393
GUÍA DEL ESTUDIANTEGUÍA DEL ESTUDIANTEGUÍA DEL ESTUDIANTEGUÍA DEL ESTUDIANTE
Actividad # 4 VARIACIONES ORDINARIAS
Pékerman dispone en la planilla de la selección Colombia de 7 volantes de la misma calidad y que pueden actuar
indistintamente en 4 puestos de ataque. ¿Cuántos grupos de volantes distintos podría organizar?
Situación 1:
¿Cuántos números de dos cifras se pueden formar con los números 1, 2, 3, 4 y 5 sin repetir ninguno de ellos?
Materiales: 5 tarjetas con los números del 1 al 5
Situación 2:
¿De cuántas maneras distintas podrán ser elegidos Isabel, Tomás, David y María para los cargos de presidente, vicepresidente, contador y fiscal?
Materiales: Tarjetas con los nombres
Tomás
David
María
Isabel
94949494
GUÍA DEL ESTUDIANTEGUÍA DEL ESTUDIANTEGUÍA DEL ESTUDIANTEGUÍA DEL ESTUDIANTE
1. ¿Cuántos números de 4 cifras se pueden formar con los dígitos impares, sin repetir ninguno de ellos?
2. A un concurso literario se han presentado 10 candidatos con sus novelas. El cuadro de honor lo forman el ganador, el finalista y un accésit. ¿cuántos cuadros de honor se pueden formar?
3. En una carrera de 100 metros, cinco atletas (A,B,C,D,E) se disputan las medallas de oro,
plata y bronce, ¿Cuántas clasificaciones distintas para la obtención de medallas se pueden
presentar?
Curiosidades…
Sabías que el número de posibilidades que tiene una persona
para escoger los seis números ganadores del Baloto es de
8´145.060, es decir, la probabilidad de ganarse el baloto es de 0,00000012 (1/ 8´145.060). Deberá invertir 44.797 millones
830 mil pesos y hacer las operaciones de compra de los
boletos en menos de dos segundos. ¿Quiere seguir jugando?
P E N S A R
95959595
GUÍA DEL ESTUDIANTEGUÍA DEL ESTUDIANTEGUÍA DEL ESTUDIANTEGUÍA DEL ESTUDIANTE
Actividad # 5 VARIACIONES CON REPETICIÓN
Situación 1:
¿Cuántos números de dos cifras se pueden formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4?
Materiales: 2 juegos de tarjetas con números
Debes tener presente que aunque se presentan dos juegos de números idénticos del 1 al 4, sólo hay cuatro elementos que se presentan repetidos para poderlos utilizar en la combinación, es decir, el número 11 es válido en las variaciones con repetición.
¿De cuántas formas distintas podrían quedar los continentes como campeones y subcampeones del mundial de futbol,
sabiendo que 2 equipos son asiáticos, 2 son europeos, 2 son sudamericanos y 2 son africanos?
Situación 2:
¿Cuántos grupos de 2elementos podemos formar con los 5 primeros polígonos regulares?
Materiales: 2 juegos de polígonos regulares
96969696
GUÍA DEL ESTUDIANTEGUÍA DEL ESTUDIANTEGUÍA DEL ESTUDIANTEGUÍA DEL ESTUDIANTE
1. ¿Cuántos números de 3 cifras se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5? � = 5, � = 3
2. El alfabeto Morse utiliza únicamente dos símbolos “.” y “_”. Cada letra de nuestro alfabeto se codifica mediante un grupo de estos símbolos. ¿Cuántas letras distintas se pueden conseguir mediante cuatro símbolos morse?
3. Si lanzamos una moneda 7 veces consecutivas y anotamos el resultado (cara, sello) en el orden en el que aparecen. ¿Cuántos resultados distintos se pueden obtener?
4. Con las vocales, ¿Cuántas variaciones con repetición de orden 2 se pueden conseguir?
Curiosidades…
Hay dos tipos de máquinas tragamonedas: las digitales que tienen un computador dentro,
vienen pre-programadas por los dueños de los casinos para ganar
cada tanto tiempo. Y las mecánicas en las que la
probabilidades son directamente proporcionales al número de
ranuras (22) por carrete, Las probabilidades de ganar el
premio gordo (7 7 7 7) son de
( 1 / 235.000), pero las muescas siempre están bloqueadas y
caerán otros premios de menos valor.
P E N S A R
97979797
GUÍA DEL ESTUDIANTEGUÍA DEL ESTUDIANTEGUÍA DEL ESTUDIANTEGUÍA DEL ESTUDIANTE
Actividad # 6 COMBINACIONES ORDINARIAS
¿De cuántas formas distintas podrían elegirse los tres equipos ganadores sin que importe quien es el
primero, el segundo o el tercero en cuartos de final del mundial de fútbol?
Situación 1:
En un torneo de baloncesto hay cinco equipos, ¿cuántos partidos se jugaran, si juegan todos contra todos?
Situación 2:
En una discotienda hay 7 CD de mi preferencia pero solo hay dinero para comprar tres, ¿el número de formas posibles de elegir los tres CD de los siete posibles es?
98989898
GUÍA DEL ESTUDIANTEGUÍA DEL ESTUDIANTEGUÍA DEL ESTUDIANTEGUÍA DEL ESTUDIANTE
1. En una clase de 35 estudiantes se quiere elegir un comité formado por 3 estudiantes. ¿cuántos comités diferentes se pueden formar?
2. ¿De cuántas formas pueden mezclar los 7 colores del arco iris tomándolos de tres en tres?
3. A una reunión asisten 10 personas y se intercambian saludos entre todos, ¿cuántos saludos se han intercambiado?
4. ¿Cuántas posibilidades tiene una persona de acertar el premio mayor del juego del Baloto, sabiendo que las posibilidades son del número 1 al 45?
P E N S A R
Curiosidades…
Sabías que el origen de la estadística se remonta a los comienzos de la
historia. En los antiguos monumentos egipcios se han encontrado
documentos según los cuales, a partir del año 3050 a. de C, se llevaban cuentas de los movimientos de
población y continuamente hacían censos, bajo la dirección del faraón.
Por ejemplo en China, Confucio en uno de sus clásicos Shu-King escribió
hacia el año 550 a. de C, cómo el rey Yao, ordenó hacer una estadística
agrícola, industrial y comercial.
99999999
GUÍA DEL ESTUDIANTEGUÍA DEL ESTUDIANTEGUÍA DEL ESTUDIANTEGUÍA DEL ESTUDIANTE
Actividad # 7 COMBINACIONES CON REPETICIÓN
Situación 1:
En una heladería ofrecen helados de cinco sabores diferentes, tres niñas entran a la heladería y pueden pedir el tipo de helado que desean. En la carta de posibilidades podemos encontrar que las tres pidan el mismo, dos de ellas el mismo o cada una de ellas diferentes entre sí.
¿De cuántas formas diferentes la persona que atiende podría servir 3 conos de sabores diferentes, sin importar en qué orden sirve los tres helados?
Situación 2:
En una bodega hay 4 diferentes tipos de botellas,
¿De cuántas formas se pueden elegir 3 botellas?
¿De cuántas formas distintas podrían quedar cuatro continentes en los dos primeros puestos sin tener en cuenta quien queda de campeón o subcampeón del mundial de futbol,
sabiendo que cada continente cuenta con dos equipos?
100100100100
GUÍA DEL ESTUDIANTEGUÍA DEL ESTUDIANTEGUÍA DEL ESTUDIANTEGUÍA DEL ESTUDIANTE
1. En una pastelería hay 6 tipos distintos de pasteles. ¿De cuántas formas se pueden elegir 4 pasteles?
2. Lanzamos sobre una mesa 3 dados iguales y observamos su puntuación. ¿Cuántos resultados distintos se pueden obtener?
3. ¿De cuántas maneras se puede repartir 10 caramelos a 4 niños?
4. 6 amigos entran a un café que ofrece 9 tipos distintos de cafés, ¿De cuántas formas diferentes el mesero podría servir los 6 cafés?
Curiosidades…
Sabías que la probabilidad de
que te caiga un rayo encima es
de 1 entre 4,3 millones en un
año, incluso es más probable
que se caiga un avión mientras
vuelas de un lugar a otro a que
te caiga un rayo.
P E N S A R
101101101101
GUÍA DEL ESTUDIANTEGUÍA DEL ESTUDIANTEGUÍA DEL ESTUDIANTEGUÍA DEL ESTUDIANTE
Actividad # 8
1. ¿De cuántas formas podemos ordenar en una estantería 6 libros verdes, 3 negros y cinco amarillo?
2. ¿Cuántas palabras de 8 letras podemos formar con las letras de la palabra ELEFANTE?
3. Un alumno debe responder a 8 de 10 preguntas de un examen ¿De cuántas maneras puede escoger?
4. ¿Cuántos números de cinco cifras podemos formar sin repetir cifra?
5. En una carrera participan 7 corredores y se entregan tres medallas a los tres primeros clasificados oro, plata y bronce. ¿Cuántos posibles repartos se pueden dar al terminar la carrera?
6. En una oficina, donde trabajan 6 mujeres y 8 hombres se pretende formar un equipo de trabajo con 4 personas con la presencia de por lo menos una mujer. El número de formas distintas de formar ese equipo.
Curiosidades…
Si la probabilidad de morir por un ataque de tiburón es de 1 entre 300 millones, la de morir por la mordedura de un perro es de 1 entre 120000 y la de morir por
picadura de serpiente venenosa es de 1 entre 1800000.
¿Podríamos seguir afirmando que el perro es el mejor amigo del hombre?
Los representantes de los 36 equipos del mundial de fútbol desean tener un almuerzo y se sientan en una mesa redonda, ¿Cuál es la probabilidad de que tres representantes queden
contiguos?
P E N S A R
CONCLUSIONES 102
5.Conclusiones
En nuestro país desde las directrices ministeriales se pretende que la enseñanza
pase de estar orientada solo al logro de objetivos relacionados con contenidos, a
desarrollar competencias en los estudiantes. Para lograr esto, es necesario tener
en cuenta que el desarrollo de las competencias matemáticas no se logra de
manera espontánea, se requiere del diseño de actividades significativas, que le
permitan al estudiante altos niveles de competencia.
Las secuencias didácticas buscan contribuir la construcción de conocimiento
mediante conversaciones conceptuales, manipulación de material concreto,
observación de patrones, sistematización y organización de datos. En estas los
estudiantes tienen la posibilidad de interactuar con los compañeros como
científicos; verificando hipótesis, construyendo y validando fórmulas matemáticas
tratando de darle solución a las preguntas plateadas en cada guía de trabajo.
Los diálogos con sus compañeros sobre saberes previos fortalecen la interacción
social ya que cada uno expone su punto de vista frente a la situación planteada,
permitiendo de esta forma la construcción del conocimiento. La manipulación de
material concreto propicia experiencias teórico-prácticas que pueden convertirse
en aprendizajes significativos; es por esto que el material debe ser pertinente a la
actividad, resistente, colorido y llamativo. La observación juega un papel
preponderante en el desarrollo de la secuencia didáctica, puesto que algunas
regularidades en la solución de las actividades llevaran al estudiante a generalizar
el concepto que se está trabajando y finalmente la sistematización de esas
observaciones y la organización de las mismas los llevará a encontrar la fórmula
o patrón para solucionar ejercicios con las mismas características o condiciones.
REFERENCIAS 103
Referencias
Alvarez de Zayas, C. M., & Gonzales Agudelo, E. M. (2002). Lecciones de
Didáctica General. Bogotá: Magisterio.
Antioquia la más Educada. (14 de JUnio de 2012). Plan de desarrollo
departamental 2012-2015. MAdellín, Colombia.
Aristizabal Zuluaga, D. P. (2012). Propuesta metodologica para el acercamiento
del análisis combinatorio y probabilidades a situaciones cotidianas.
basespda. (12 de 06 de 2012). basespda.wordpress.com. Obtenido de
https://basespda.wordpress.com/2012/06/12/teoria-de-vigotsky/
Batanero, C. (2005). Significado de la Probabilidad en la Enseñanza Secundaria.
España.
Castro Franco, S. (2011). Diseño de una herramienta pedagógica. Bogotá,
Colombia.
Cifuentes, J., & Salazar, F. (2010). Hipertexto. Bogotá: Santillana S.A.
Congreso de la República de Colombia. (8 de febrero de 1994). Ley 115 . Bogotá,
Colombia.
Contreras, J. M. (2011). Evaluación de conocimientos y recursos didácticos en la
formación de profesores sobre probabilidad condicional. Obtenido de
http://www.ugr.es/~batanero/documentos/contreras.pdf
Contreras, J. M. (2011). Tesis doctoral Universidad de Granada.
REFERENCIAS 104
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Diaz Barriga, F. (1993). Aproximaciones metodológicas al diseño curricular hacia
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Furman, M. (Diciembre de 2012). Programa Educación Rural PER. Bogotá,
Colombia.
Gomez Torres, E. (s.f.). trabajo de Maestría .
Hernadez Sampieri, R., Fernández , C., & Baptista, P. (2006). Metodología de la
Investigación. México, México.
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Londoño, D. A. (2014). Secuencia didáctica para la construcción de conocimientos
sobre la mecánica de fluidos en estudiantes del grado octavo. Medellín,
Colombia.
Martinez, H. E. (2014). Diseño de una estrategia didáctica para que se facilita la
apropiación de la conceptualización de la teoría combinatoria en los
estudiantes del grado décimo, en la I.E. Joaquin Vallejo Arbeleaz. Medellín,
Colombia.
Ministerio de Educación Nacional. (1998). Matematicas Lineamientos curriculares.
Bogotá: Creamos alternativas Soc. ltda.
Ministerio de Educación Nacional. (Diciembre de 2008). Plan Nacional Decenl de
Educación 2006-2016. Bogotá, Colombia.
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