Propagation d’ondes sonores dans les fluides
I – Equation de propagation des ondes sonores :
1) Milieu de propagation et vitesse du son :
Les ondes sonores sont des vibrations de faible amplitude du milieu dans lequel elles se propagent à la vitesse cs.
Dans l’air, cs = 340 m.s – 2 dans les conditions usuelles.
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2) Hypothèses thermodynamiques :
La propagation des ondes sonores est caractérisée par un faible amortissement au sein du fluide où elles se propagent.
On négligera donc les phénomènes dissipatifs (conduction thermique et viscosité), ce qui revient à postuler le caractère isentropique de la propagation des ondes sonores.
Les seules forces prises en compte sont les forces de pression (la pesanteur est négligée).
Soient µ0, P0 et T0 les caractéristiques du fluide au repos (supposées uniformes), on note :
• 0Tµ µ µ µ= − = ∆ , la variation de masse volumique du fluide ( 0,Tµ µ µ<< )
• 0p P P P= − = ∆ , la variation de pression du fluide, encore appelée surpression
acoustique ( 0,p P P<< )
• vr le vecteur vitesse d’une particule de fluide (nulle au repos)
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L’approximation acoustique consiste à considérer que les grandeurs vr, µ et p sont des
infiniment petits du même ordre (ainsi que leurs dérivées spatiales et temporelles).
Notamment, les calculs seront effectués à l’ordre 1 en ces infiniment petits.
Dans le cadre de l’approximation acoustique, le coefficient de compressibilité isentropique donne :
0
0
1 1 1T
S S
S ST
Vsoit p
V P P p
µ µχ µ µ χ
µ µ
∂∂ = − = ≈ ≈
∂ ∂
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3) Linéarisation des équations :
L’équation de conservation de la masse s’écrit :
( ) 0TT
div vt
ρρ
∂+ =
∂
r
Approximation linéaire (ou acoustique) : on se limite dans la suite aux termes du 1er ordre. Par conséquent :
0 ( ) 0div vt
µµ
∂+ =
∂
r
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* t
µ∂
∂ est de l’ordre de s
c
T
µµ
λ=
* 0 ( )div vµr
est de l’ordre de 0vµ
λ
* ( )div vµr
de l’ordre de vµ
λ
* .v gradµuuuuurr
de l’ordre de vµ
λ
L’approximation de premier ordre (ou acoustique) nécessite donc, a priori, deux hypothèses :
0 set v cµ µ<< <<
L’approximation acoustique est une approximation de grande longueur d’onde.
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L’équation du mouvement du fluide est ici l’équation d’Euler (pas de viscosité) :
( . )T v
vv grad v gradP f
tµ
∂ + = − +
∂
r uuuuur uuuuur rr r
Après linéarisation :
0
vgrad p
tµ
∂= −
∂
r uuuuur
On rappelle de plus la relation entre la surpression et la variation de la masse volumique :
0 Spµ µ χ≈
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En éliminant la variable µ, on obtient le système d’équations couplées :
0
1vgrad p
t µ
∂= −
∂
r uuuuur
et 1
( )S
pdiv v
t χ
∂= −
∂
r
4) Equation de propagation :
2
0 20
S
pp
tµ χ
∂∆ − =
∂
On reconnaît l’équation de propagation de d’Alembert ; la vitesse des ondes sonores s’en déduit :
2
2 2
0
1 10
s
s S
pp avec c
c t µ χ
∂∆ − = =
∂
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5) Ondes sonores planes progressives :
a) OPPM en notation complexe :
b) Structure d’une onde sonore plane progressive :
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II – Etude énergétique des ondes sonores :
1) Vecteur densité surfacique de puissance sonore :
2) Equation de conservation locale de l’énergie sonore :
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Πréf correspond au seuil auditif pour une fréquence de référence de 1 000 Hz.
Le seuil de douleur correspond approximativement à une intensité sonore de 120 dB.
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III – Réflexion et transmission des ondes sonores :
1) Coefficients de réflexion et de transmission des amplitudes :
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4) Ondes sonores stationnaires :
a) Formation d’une onde stationnaire par réflexion d’une OPPH :
b) Aspect énergétique :
c) Cavités résonantes :
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A gauche : réflexion d’une OPPM au bout d’une conduite, nœuds et ventres de vitesse. (a) : extrémité ouverte (Z = 0), (b) : extrémité fermée (Z → ∞).
Au milieu : nœuds et ventres de vitesse des harmoniques 1, 2 et 3 d’un tuyau ouvert.
A droite : nœuds et ventres de vitesse des harmoniques 1, 3 et 5 d’un tuyau semi – fermé.
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d) Exercices d’application sur les tuyaux sonores :
nulle ou une vitesse maximale en x = 0. Appliquer les résultats du cours dans les deux
cas suivants :
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