UNIVERSIDAD AUTONOMA SAN FRANCISCO

UNIVERSIDAD AUTONOMA SAN FRANCISCO

CARRERA PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL

ASIGNATURA: INVESTIGACION OPERATIVA I.

TEMA: PROGRAMACION LINEAL.

AUTOR: ANDREINA VARGAS SANTILLANA.

SEMESTRE:VI

CICLO ACADMICO: 2013-II

AREQUIPA PER

2014

RESUMEN

La mayora de situaciones que afrontan las personas y organizaciones implican explcitamente o implcitamente tomar decisiones. En algunos casos, los procesos para la toma de dichas decisiones resultan simples, mientras que en otros casos involucran gran cantidad de aspectos que deben considerarse aumentando as la dificultad y complejidad en la toma de decisiones. La investigacin de operaciones es una disciplina que aplica mtodos analticos para contribuir en los procesos de toma de decisiones, la cual ha encontrado cabida en diversos campos del pensamiento humano generando un amplio campo de conocimiento. Este curso constituye la primera aproximacin a la investigacin de operaciones, en la que se espera introducir al estudiante en esta fascinante rea del conocimiento y crear en el las inquietudes para profundizar en su estudio de modo que adquiera herramientas que pueda aplicar al verse enfrentado a procesos de toma de decisiones.

INDICE

INTRODUCCION3Historia de laprogramacinlineal5PROGRAMACION LINEAL.7Caracterizacin de la PLE.9METODOS DE SOLUCION DE PROBLEMAS DE PROGRAMACION LINEAL.10TIPOS DE SOLUCIONES...14Aplicaciones...18EJEMPLOS22Bibliografa.38

INTRODUCCION

Mucha gente sita eldesarrollode laprogramacinlineal entre los avances cientficos ms importantes de la mitad del siglo XX, y debemos estar de acuerdo con esta afirmacin si tenemos en cuenta que su impacto desde 1950 ha sido extraordinario. Se han escrito decenas delibrosdetextosobre lamateriay los artculos publicados que describen aplicaciones importantes se cuentan ahora por cientos. De hecho, una proporcin importante de todo elclculocientfico que se lleva a cabo encomputadorasse dedica al uso de la programacin lineal y atcnicasntimamente relacionadas. (Esta proporcin se estim en un 25%, en un estudio de la IBM).Unmodelodeprogramacin linealproporciona unmtodoeficiente para determinar una decisin ptima, (o unaestrategiaptima o unplanptimo) escogida de un gran nmero de decisiones posibles.En todos losproblemasde Programacin Lineal, elobjetivoes la maximacin o minimizacin de alguna cantidad.

Historia de laprogramacinlineal

El problema de la resolucin de un sistema lineal de inecuaciones se remonta, al menos, a JosephFourier, despus de quien nace elmtodode eliminacin de Fourier-Motzkin. La programacin lineal se plantea como unmodelomatemtico desarrollado durantela Segunda Guerra Mundialpara planificar losgastosy los retornos, a fin de reducir loscostosal ejrcito y aumentar las prdidas del enemigo. Se mantuvo en secreto hasta 1947. En la posguerra, muchasindustriaslo usaron en suplanificacindiaria.Los fundadores de la tcnica son George Dantzig, quien public el algoritmo simplex, en 1947, John von Neumann, que desarroll lateorade la dualidad en el mismo ao, y Leonid Kantorvich, un matemtico ruso, que utilizatcnicassimilares en laeconomaantes de Dantzig y gan el premio Nobel eneconomaen 1975. En 1979, otro matemtico ruso, Leonid Khachiyan, dise el llamado Algoritmo del elipsoide, a travs del cual demostr que el problema de laprogramacin lineales resoluble de manera eficiente, es decir, entiempopolinomial.2 Ms tarde, en 1984, Narendra Karmarkar introduce un nuevo mtodo del punto interior para resolverproblemasde programacin lineal, lo que constituira un enorme avance en losprincipiostericos y prcticos en el rea.El ejemplo original de Dantzig de la bsqueda de la mejor asignacin de 70 personas a 70 puestos detrabajoes un ejemplo de lautilidadde la programacin lineal. Lapotenciadecomputacinnecesaria para examinar todas las permutaciones a fin de seleccionar la mejor asignacin es inmensa (factorial de 70, 70!); el nmero de posibles configuraciones excede al nmero de partculas enel universo. Sin embargo, toma slo un momento encontrar la solucin ptima mediante elplanteamiento del problemacomo una programacin lineal y la aplicacin del algoritmo simplex. La teora de la programacin lineal reduce drsticamente el nmero de posiblessolucionesptimas que deben ser revisadas.

PROGRAMACION LINEAL

En los siglos XVII y XVIII, grandes matemticos como Newton, Leibnitz, Bernouilli y, sobre todo, Lagrange, que tanto haban contribuido al desarrollo del clculo infinitesimal, se ocuparon de obtener mximos y mnimos condicionados de determinadas funciones.Posteriormente el matemtico francs Jean Baptiste-Joseph Fourier (1768-1830) fue el primero en intuir, aunque de forma imprecisa, los mtodos de lo que actualmente llamamos programacin lineal y la potencialidad que de ellos se deriva.En 1941-1942 se formula por primera vez el problema de transporte, estudiado independientemente por Koopmans y Kantarovitch, razn por la cual se suele conocer con el nombre deproblema de Koopmans-Kantarovitch.Tres aos ms tarde, G. Stigler plantea otro problema particular conocido con el nombre de rgimen alimenticio optimal.Mucha gente sita el desarrollo de la programacin lineal entre los avances cientficos ms importantes de la mitad del siglo XX, y debemos estar de acuerdo con esta afirmacin si tenemos en cuenta que su impacto desde 1950 ha sido extraordinario. Se han escrito decenas de libros de texto sobre la materia y los artculos publicados que describen aplicaciones importantes se cuentan ahora por cientos. De hecho, una proporcin importante de todo el clculo cientfico que se lleva a cabo en computadoras se dedica al uso de la programacin lineal y a tcnicas ntimamente relacionadas. (Esta proporcin se estim en un 25%, en un estudio de la IBM).Un modelo de programacin lineal proporciona un mtodo eficiente para determinar una decisin ptima, (o una estrategia ptima o un plan ptimo) escogida de un gran nmero de decisiones posibles.

Un problema de Programacin Linealconsiste en optimizar (maximizar o minimizar) la funcin:z = F ( x1, x2, ... ,xn) = c1x1+ c2x2+ ... + cnxnsujeto a:a11x1+ a12x2+ . . . + a1nxn=ba21x1+ a22x2+ . . . + a2nxn=b2. . .am1x1+ am2x2+ . . . + amnxn=bmx1, x2, . . . , xn0A la funcin z = F ( x1, x2, ... ,xn) = c1x1+ c2x2+ ... + cnxn se le denominafuncin objetivoo funcin criterio.Los coeficientes c1, c2, ... , cnson nmeros reales y se llamancoeficientes de beneficio o coeficientes de costo. Son datos de entrada del problema.x1, x2, ... , xnson lasvariables de decisin(o niveles de actividad) que deben determinarse.Las desigualdades ai1x1+ ai2x2+ . . . + ainxnbi, con i = 1, ... , m se llamanrestricciones.Los coeficientes aij, con i = 1, ... , m y j = 1, ... , n son tambin nmeros reales conocidos y se les denominacoeficientes tecnolgicos.El vector del lado derecho, es decir los trminos bi, con i = 1, ... , m, se llamavector de disponibilidadeso requerimientos y son tambin datos conocidos del problema.Las restricciones xj0 con j = 1, ... , n se llamanrestricciones de no negatividad.Al conjunto de valores de (x1, x2, ... ,xn) que satisfacen simultneamente todas las restricciones se le denominaregin factible. Cualquier punto dentro de la regin factible representa un posible programa de accin.Lasolucin ptimaes el punto de la regin factible que hace mxima o mnima la funcin objetivo.

Caracterizacin de la PLE

La programacin lineal tambin conocida como optimizacin lineal, es la maximizacin o minimizacin de una funcin lineal sobre un poliedro convexo definido por un conjunto de restricciones lineales no negativas. La teora de la programacin lineal cae dentro de la teora de la optimizacin convexa y es tambin considerada como parte importante de la investigacin deoperaciones.La programacin lineal entera (PLE) es el conjunto deproblemasde programacin lineal para los cuales todas o parte de susvariablespertenecen a los nmeros enteros.Un problema de PLE puede describirse de la siguiente forma:Optimizar una funcinobjetivoz=c.xBajo las restricciones Ax = = b, x = 0Donde:x -Vector con variables enterasc -Vector de coeficientes de la funcin objetivoA -Matrizde coeficientes de las restriccionesb -Vector de trminos independientesLosmodelosde programacin lineal entera pudieran clasificarse en tresgrupos:Entero completamente. Todas las variables de decisin son enteras.Mixto. Algunas de las variables son enteras, las otras no.Binario. Las variables solo tomanlos valores0 1.

METODOS DE SOLUCION DE PROBLEMAS DE PROGRAMACION LINEAL

Existen tres mtodos de solucin de problemas de programacin lineal:Mtodo grfico o de las rectas de nivel. Las rectas de nivel dan los puntos del plano en los que la funcin objetivo toma el mismo valor.Mtodo analtico o de los vrtices. El siguiente resultado, denominado teorema fundamental de la programacin lineal,nos permite conocer otro mtodo de solucionar un programa con dos variables:En un programa lineal con dos variables, si existe una solucin nica que optimice la funcin objetivo, sta se encuentra en un punto extremo (vrtice) de la regin factible acotada, nunca en el interior de dicha regin. Si la funcin objetivo toma el mismo valor ptimo en dos vrtices, tambin toma idntico valor en los puntos del segmento que determinan.En el caso de que la regin factible no es acotada, la funcin lineal objetivo no alcanza necesariamente un valor ptimo concreto, pero, si lo hace, ste se encuentra en uno de los vrtices de la reginEsquema prctico.Los problemas de programacin lineal pueden presentarse en la forma estndar, dando la funcin objetivo y las restricciones, o bien plantearlos mediante un enunciado.

Mtodos de solucin

Pudiera pensarse que los mtodos de obtencin desolucionesa problemas de programacin lineal entera pudieran ser menos difciles que los de programacin lineal generales, pero resulta lo contrario. Losalgoritmosque permiten resolver los problemas restringidos a enteros son ms complejos y requieren mucho mstiempocomputacional.Para la resolucin de los problemas de programacin lineal entera existen diferentes mtodos. Los mtodos exactos son los que encuentran, si existe, el ptimo absoluto. Muchos de estos mtodos parten de la resolucin delmodelodejando a un lado las restricciones enteras y buscando el mejorvalorpara las variables reales. A partir del supuesto de que la solucin entera no debe estar muy lejos, se aplican diferentes tcnicas que permiten llegar al ptimo entero.Una breve introduccin a los mtodos de la programacin lineal: Simplex y Punto interior, permitir tener una idea de cmo operan los mismos.El mtodo del simplex se utiliza para hallar las soluciones ptimas de un problema de programacin lineal con tres o ms variables. Este se basa en el hecho de que la solucin ptima se encuentra siempre en uno de los vrtices del poliedro formado por el conjunto de restricciones. Su forma de buscar la solucin es recorrer sobre estos vrtices hasta encontrar el ptimo. Aun cuando no corre en tiempo polinomial en el caso peor, su mayor valor radica en su capacidad de revolver nuevos problemas y resulta muy til cuando no se tiene unalgoritmoeficiente de solucin.Los mtodos de punto interior se denominan as precisamente porque los puntos generados por estos algoritmos se hallan en el interior de la regin factible. Esta es una clara diferencia respecto al mtodo del simplex. En la actualidad los mtodos de punto interior ms eficientes tienen una complejidad de orden T(nL), donde n es el nmero de variables y L una medida del tamao del problema (el nmero de bits necesarios para representar losdatos).En la modelacin lineal no entera se demuestra que el ptimo es un vrtice de la regin factible. En los modelos enteros, esto no tiene porque ser as, de manera general los vrtices no tienen que ser nmeros enteros. Por ello la solucin ptima se encontrar en el interior de la regin factible, por lo que los mtodos exactos, como el simplex o punto interior, empleado de forma directa no aportarn la solucin ptima en la generalidad de los casos.

Como el conjunto de soluciones enteras factibles es un nmero finito pudiera pensarse en recorrerlas todas en busca de la solucin pero esto puede resultar ineficiente pues segn el nmero de variables el conjunto de soluciones se incrementa exponencialmente. Para enfrentar esto se han desarrollado un conjunto de tcnicas basadas en la lgica de que la solucin entera no debe encontrarse muy lejos de la ptima del modelo con variables reales, conocidas como Ramificar y Podar (Branch and Bound).[1]Este mtodo se basa en que existe un nmero finito de soluciones posibles, no todas factibles, para un problema con enteros, que pueden representarse mediante undiagramade rbol. Pero no es necesario enumerar todas las soluciones posibles si se pueden eliminar algunas ramas. Para eliminar una rama basta demostrar que no contiene una solucin factible que sea mejor que una ya obtenida.Existen otrosmtodosde resolucin de la PLE, como elprocedimientode los cortes de Gomory. En esta tcnica, se resuelve el problema original relajado en el que se incluyen restricciones adicionales, que reducen la regin factible sin excluirsolucionesque cumplen las condiciones de optimalidad. En cada iteracin se aade una restriccin que se denomina corte de Gomory. Este procedimiento genera progresivamente una envoltura convexa de la regin factible entera, lo que origina soluciones que cumplen las condiciones de integralidad. Estemtodose explica ms en detalle por Castillo et al[2]En losmodelosde PLE es importante valorar el nmero devariablesa manejar pues si elmodelotiene algunos cientos de variables y no tiene unaestructuraespecial, puede resultar demasiado costoso de resolver. Los modelos enteros son no polinomiales, o sea eltiempode resolucin es exponencial con respecto al nmero de restricciones y especialmente con respecto al nmero de variables de decisin enteras, como expone Castillo et al[3]En los casos en que los mtodos generales de PLE, por las dimensiones del problema, resultan ineficientes, resulta vlido introducir mtodos heursticos que obtienen soluciones aproximadas satisfactorias.

Modelos especialesExisten ciertosproblemasde PLE que por las caractersticas del modelo han sido enfrentados con mtodos particulares de solucin atendiendo a estas peculiaridades. Entre estos se encuentran los modelos de asignacin y detransporte. Estos resultan significativos porque se ajustan a muchos problemas de diversos sectores y especialidades.El clsico problema de asignacin (variables binarias 0 no se asigna, 1 se asigna) se caracteriza por tener n personas y n objetos donde hay que hacer correspondencia uno a uno entre los dosconjuntos. En el mismo existe un beneficio o uncostopara cada asignacinpersona-objeto, y se quiere obtener la asignacin donde ese beneficio sea mximo o el costo mnimo. La asignacin puede ser resuelta por mtodos diversos, entre ellos destaca el mtodo Hngaro de orden T(n3) por ser el ms antiguo de los conocidos para enfrentar los problemas de asignacin.El problema del transporte consiste en satisfacer de forma ptima (costosmnimos de transportacin) n destinos desde m orgenes, donde estn definidos los costos de transportacin de cada origen a cada destino, lademandade los destinos y laofertade cada origen. Los mtodos para hallar la solucin se basan en una metaheurstica que consiste en buscar una solucin factible inicial, e ir mejorndola hasta llegar a la solucin ptima. Existe gran diversidad detcnicaspara obtener la solucin inicial y de formas para las mejoras iterativas.Estos problemas son casos particulares de PLE en los que mtodos especiales de solucin resultan ms eficientes que los mtodos tradicionales.La PLE es una rama dela investigacindeoperacionesque est presente en muchos problemas reales, entre ellos resultan muy interesantes los deorganizacinde tiempos detrabajoque existen en diferentes ramas de laproducciny losservicios. Laseleccinde los mtodos de solucin ms eficientes depende en gran medida de las particularidades del escenario que se ha modelado

TIPOS DE SOLUCIONES

Los programas lineales con dos variables suelen clasificarse atendiendo al tipo de solucin que presentan. stos pueden ser: FACTIBLES. Si existe el conjunto de soluciones o valores que satisfacen las restricciones. Estas a su vez pueden ser: con solucin nica, con solucin mltiple (si existe ms de una solucin) y con solucin no acotada (cuando no existe lmite para la funcin objetivo).

NO FACTIBLES. Cuando no existe el conjunto de soluciones que cumplen las restricciones, es decir, cuando las restricciones son inconsistentes.

CONSTRUCCION DE LOS MODELOS DE PROGRAMACION LINEALDe forma obligatoria se deben cumplir los siguientes requerimientos para construir un modelo de Programacin Lineal: Funcin objetivo. (FO): Debe haber un objetivo (o meta o blanco) que la optimizacin desea alcanzar.

Restricciones y decisiones: Debe haber cursos o alternativas de accin o decisiones, uno de los cules permite alcanzar el objetivo.La FO y las restricciones son lineales. Deben utilizarse solamente ecuaciones lineales o desigualdades lineales.

Modelo standard de Programacin Lineal

Optimizar Z = C1X1+ C1X2 +.+ Cn Xn).Funcin objetivo.Sujeta a a11X1+ a11X2 +..+ a1nXn) b1a21X1+ a21X2 +..+ a2nXn) b1Restriccionesam1X1+ am1X2 +..+ amnXn) bmDebiendo serX1 0, X2 0, .. Xn 0Donde :Xj : variables de decisin, j = 1,2.., n.n : nmero de variables.m : nmero de restricciones.aij , bi , cj constantes, i = 1,2.., m.

Pasos para la construccin del modelo

1. Definir las variables de decisin.2. Definir el objetivo o meta en trminos de las variables de decisin.3. Definir las restricciones.4. Restringir todas las variables para que sean no negativas

VariablesLas variables son nmeros reales mayores o iguales a cero.

En caso que se requiera que elvalorresultante de las variables sea un nmero entero, el procedimiento de resolucin se denominaProgramacin entera.RestriccionesLas restricciones pueden ser de la forma:

Donde:A= valor conocido a ser respetado estrictamente;B= valor conocido que debe ser respetado o puede ser superado;C= valor conocido que no debe ser superado;j = nmero de la ecuacin, variable de 1 a M (nmero total de restricciones);a;b; y,c= coeficientes tcnicos conocidos;X= Incgnitas, de 1 a N;i = nmero de la incgnita, variable de 1 a N.En general no hay restricciones en cuanto alos valoresdeNyM. Puede serN = M;N > M; ,N < M.Sin embargo si las restricciones delTipo 1sonN, el problema puede ser determinado, y puede no tener sentido una optimizacin.Los tres tipos de restricciones pueden darse simultneamente en el mismo problema.Funcin ObjetivoLa funcin objetivo puede ser:

Programacin enteraEn algunos casos se requiere que la solucin ptima se componga devaloresenteros para algunas de las variables. La resolucin de este problema se obtiene analizando las posibles alternativas de valores enteros de esas variables en un entorno alrededor de la solucin obtenida considerando las variables reales. Muchas veces la solucin delprogramalineal truncado esta lejos de ser el ptimo entero, por lo que se hace necesario usar algn algoritmo para hallar esta solucin de forma exacta. El ms famoso es el mtodo de 'Ramificar y Acotar' o Branch and Bound por su nombre eningls. El mtodo de Ramificar y Acotar parte de la adicin de nuevas restricciones para cada variable de decisin (acotar) que al ser evaluado independientemente (ramificar) lleva al ptimo entero.

AplicacionesAunque surgi como aplicacin a cuestiones de carcter logstico y militar, es la industria y la economa donde, posteriormente ha encontrado sus aplicaciones ms importantes.

As, por ejemplo, la Programacin Lineal permite resolver problemas de mezclas, nutricin de animales, distribucin de factoras, afectacin de personal a distintos puestos de trabajo, almacenaje, planes de produccin, escalonamiento de la fabricacin, problemas de circulacin, planes de optimizacin de semforos, estudios de comunicaciones internas, etc.Veamos algunas de las aplicaciones ms importantes: El problema del transporte. Trata de organizar el reparto de cualquier tipo de mercancas con un coste mnimo de tiempo, de dinero o de riesgo (por ejemplo, el transporte de mercancas peligrosas).Se dispone de m centros de produccin u orgenes (Oi), con sus respectivas ofertas; y n centros de consumo o destino (Dj), con sus demandas correspondientes. A su vez, son conocidos los costes de envo (cij), desde cada origen a cada destino.El objetivo del problema del transporte es determinar cuntas unidades de producto deben enviarse desde cada origen hasta cada destino de forma que se minimicen los costes totales de distribucin, se satisfaga la demanda de cada destino y no se exceda la capacidad de oferta de cada uno de los orgenes. (El total de unidades que salen de los centros de origen debe ser igual al total de unidades que llegan a los centros de destino). Podemos expresar el problema con la siguiente tabla:OrgenesDestinos

D1D2...DnOfertas

O1c11c12...c1na1

O2c21c22c2na2

..................

Omcm1cm2...cmnam

Demandasb1b2...bn

En 1958 se aplicaron los mtodos de la programacin lineal a un problema concreto: el clculo del plan ptimo del transporte de arena de construccin a las obras de edificacin de la ciudad de Mosc. En este problema haba 10 puntos de partida y 230 de llegada. El plan ptimo de transporte, calculado con el ordenador Strena en 10 das del mes de junio, rebaj un 11% los gastos respecto a los costes previstos. Ejemplo: Dos almacenes A y B, tienen que distribuir fruta a tres mercados de la ciudad. El almacn A dispones de 10 toneladas de fruta diarias y el B de 15 toneladas, que se reparten en su totalidad. Los dos primeros mercados necesitan diariamente 8 toneladas de fruta, mientras que el tercero necesita 9 toneladas diarias. El coste del transporte desde cada almacn viene dado por los datos del cuadro. Planifica el transporte para que el coste sea mnimo.

OrgenesDestinos

Mercado 1Mercado 2Mercado 3

Almacn A101520

Almacn B151010

El problema de la dieta.Trata de determinar los alimentos que deben incluirse en una dieta para asegurar la nutricin necesaria y a la vez minimizar el coste.AlimentosComponentes

C1C2...CnCostes

A1b11b12...b1na1

A2b21b22b2na2

..................

Ambm1bm2...bmnam

Necesidadesc1c2...cn

Ejemplo: Un ave de rapia necesita para subsistir al da 30 unidades de protenas, 20 de grasas y 8 de vitaminas. Sus presas son dos tipos de animales: ratones que le proporcionan 3 unidades de protenas, 4 de grasa y 1 de vitaminas; y palomas, que le proporcionan 6 unidades de protenas, 2 de grasas y 1 de vitaminas. Si cazar y comer un ratn le cuesta 7 unidades de energa y una paloma 12 unidades de energa, cuntas presas de cada clase debe cazar para satisfacer sus necesidades, con el menor gasto de energa?

El problema de la planificacin de la produccin. Pretende planificar la produccin de una empresa de acuerdo con las materias primas disponibles para obtener mximos beneficios.FactoresProductos

P1P2...PnRecursos

F1a11a12...a1nr1

F2a21a22a2nr2

..................

Fmam1am2...amnrm

Beneficios o costesc1c2...cn

Ejemplo: Una fabrica de muebles produce dos tipos de sillones S1 y S2. La fabrica cuenta con dos secciones: carpintera y tapicera. Hacer un silln de tipo S1 requiere 1 hora de trabajo en la seccin de carpintera y 2 horas en la de tapicera. Un silln del tipo S2 necesita 3 horas de carpintera y 1 de tapicera. El personal de carpintera suministra un mximo de 90 horas de trabajo; en tapicera se dispone de 80. Si las ganancias por la venta de los sillones S1 y S2 son respectivamente de 6000 y 3000 pesetas, cuntos sillones de cada tipo hay que fabricar para maximizar las ganancias?

EJEMPLOS

ste es un caso curioso, con solo 6 variables (un caso real de problema de transporte puede tener fcilmente ms de 1.000 variables) en el cual se aprecia la utilidad de este procedimiento declculo.Existen tres minas de carbn cuyaproduccindiaria es:La mina"a"produce 40 toneladas de carbn por da;La mina"b"otras 40 t/da; y,La Mina"c"produce 20 t/da.En la zona hay dos centrales termoelctricas que consumen:La central"d"consume 40 t/da de carbn; y,La central"e"consume 60 t/daLos costos demercado, de transporte por tonelada son:De"a"a"d"= 2 monedasDe"a"a"e"= 11 monedasDe"b"a"d"= 12 monedasDe"b"a"e"= 24 monedasDe"c"a"d"= 13 monedasDe"c"a"e"= 18 monedas

Si se preguntase a los pobladores de la zona cmo organizar el transporte, tal vez la mayora opinara que debe aprovecharse elprecioofrecido por el transportista que va de"a"a"d", porque es ms conveniente que los otros, debido a que es el de ms bajo precio.En este caso, elcostototal del transporte es:Transporte de 40 t de"a"a"d"= 80 monedasTransporte de 20 t de"c"a"e"= 360 monedasTransporte de 40 t de"b"a"e"= 960 monedasTotal1.400 monedas.Sin embargo, formulando el problema para ser resuelto por la programacin lineal se tienen las siguientes ecuaciones:

Un ejemplo de produccin en una planta de generacin de energaLagerenciade una planta termoelctrica de generacin de energa, que emplea carbn como combustible, est estudiando la configuracin operativa de la planta a fin de cumplir las nuevasleyesdecontroldela contaminacinmedio ambiental. Para la planta en cuestin, las tasas mximas de emisin son:Mxima emisin de xido de azufre: 3000 partes por milln (PPM)Mxima emisin de partculas (humo): 12 kilogramos/hora (kg/h)El carbn se traslada a la planta por ferrocarril y se descarga en depsitos cercanos a la misma. De aqu se lleva con una cinta transportadora a la unidad pulverizadora, en donde se pulveriza y alimenta directamente a la cmara decombustin, a lavelocidadconveniente. Elcalorproducido en la cmara de combustin se emplea para crear vapor que impulse las turbinas.Se emplean dos tipos de carbn: tipo A, que es un carbn duro y de quema limpia con un-bajo contenido en azufre (bastante caro); y tipo 8, que es un carbn barato, relativamente suave, que produce humo y tiene un alto contenido en azufre, tal y como se puede observar en fa tabla 2. 1. El valor trmico en trminos de vapor producido es mayor para el carbn A que para el carbn 3, siendo de 24000 y 20000 Ib por ton respectivamente.Como el carbn A es duro, la unidad pulverizadora puede manejar a lo sumo 16 ton de carbn A por hora; sin embargo puede pulverizar hasta 24 Ion de carbn B por hora. El sistema de carga de La cinta transportadora tiene una capacidad de 20 ton por hora y es independiente del tipo de carbn.Uno de los muchos interrogantes que la gerencia puede plantearse es el siguiente: dados loslmitesde emisin de los agentes contaminantes y los tipos disponibles de carbn, Cul es la mxima produccin posible deelectricidadde la planta? La respuesta permitir a la gerencia determinar el margen deseguridaddisponible para cubrir las demandas punta de energa.Tabla . Emisin de agentes contaminantesCarbnOxido de azufre en gasescombustiblePartculas (emsin/ton)

A1800PPM0.5 Kg/ton

B38OOPPM1 .0 Kg/ton

Elementos bsicosEl modelo de Programacin Lineal est formado por tes elementos bsicos: a) Variables de decisin que tratamos de determinar, b) Objetivo (meta) que tratamos de optimizar y c) Restricciones que necesitamos satisfacer.a) VariablesA corto plazo, las instalaciones de la planta son fijas. El nico aspecto del problema que es controlable y que puede utilizarse para modificar la produccin de la planta es la cantidad de cada tipo de carbn que se queme. Entonces, las variables de decisin del problema son:X1 = La cantidad de carbn A utilizada por hora (ton/h)X2 = La cantidad de carbn B utilizada por hora (ton/h)En programacin lineal a menudo se hace referencia a los aspectos controlables de un problema de decisin como actividades. Por lo tanto, las variables X1 y X2 representan los niveles de actividad de la quema de carbn A y carbn B, respectivamente.

HIPTESIS 1 DE PROGRAMACIN LINEAL:DIVISISILIDAD:Todas las variables pueden asumir cualquier valor real.Si las variables solo tienen sentido en el caso de tomar valores discretos pero tomar un valor real elevado (superior a 10) en la solucin ptima, es aceptable considerarlas como continuas y redondear su valorMuchas actividades en el mundo real pueden variar de forma continua, es decir son divisibles infinitamente. Por ejemplo, la cantidad de carbn quemado por hora puede ajustarse a cualquier valor dentro de unos lmites razonables. Sin embargo, hay actividades reales que slo pueden tomar valores enteros, por ejemplo el nmero deviajesde carbn necesarios para trasladar cierta carga de un lugar a otro o el nmero de equipos informticos que debe adquiriruna empresa.Si la actividad real no es divisible de forma infinita; pero el nivel normal de actividad es un nmero grande, las condiciones de divisibilidad pueden servir como una aproximacin conveniente. En general, esto significa que el valor de la solucin es de decenas o mayor. Los valores fraccionarios tan slo se redondean al entero ms cercano. Por el contrario, si el nivel normal de actividad es relativamente pequeo, digamos menor que 10, se necesita recurrir a la programacin entera.

HIPTESIS2 DE PROGRAMACIN LINEAL:CONDICIONES DE NO NEGATIVIDAD: Todas las variables son no negativas

Estahiptesisrefleja lanaturalezade la mayora de as actividades del mundo real; donde rara vez tiene sentido, dentro de un contexto econmico o deingeniera, hablar de niveles negativos de actividad. Sin embargo, esta consideracin no significa una prdida de generalidad. Cualquier nmero (positivo, cero o negativo) puede expresarse como la diferencia algebraica de dos nmeros no negativos. Si una actividad puede ocurrir tanto en niveles negativos como positivos (por ejemplo, comprar o venderbonos), se introducen dos variables para esta actividad, X+ para niveles no negativos, y X- para niveles no positivos. Su diferencia X = X + X- representa el nivel real de la actividad. Mediante este artificio tanto X+ como X- estn restringidas a ser no negativas y son las llamadas variables irrestrictas o libres. De hecho, elsoftwarede optimizacin suele permitir al usuario definir directamente este tipo de variables como libres e interpretando que su rango de variacin est entre menos y ms infinito.b) Funcin objetivoEl objetivo de la gerencia consiste en maximizar la produccin de electricidad de la planta. Ya que la electricidad se produce mediante vapor y existe una relacin directa entre la produccin de vapor y la de electricidad, el maximizar a produccin de vapor es equivalente a maximizar la produccin de electricidad. Por lo tanto, puede replantearse el objetivo de la gerencia como "encontrar la combinacin de combustibles que maximice a produccin de vapor".Cunto vapor se produce para cualquier cantidad arbitraria de carbn utilizada? Una forma simple y sistemtica de determinarlo semuestraen la tabla 2.2.

TablaConstruccinde la Funcin objetivo

Vamos a expresar la cantidad de vapor producido en miles de libras. Por lo tanto, el carbn A produce 24 unidades y el carbn B, 20 unidades de vapor por toneladas de combustible. Entonces, la cantidad de vapor producida por hora es:(1) 24 X1 + 20 X2 - ZEl primer miembro de (1) se denomina funcin objetivo y Z es el valor de la funcin objetivo. Los coeficientes de las variables se denominan coeficientes de la funcin objetivo. El problema exige determinar los valores de X1 y X2 que maximicen el valor de Z. En la figura 2.1 se observa que (1) es unafamiliade rectas paralelas y que para cada valor que demos a Z tendremos una recta, cuyos puntos representan las posibles combinaciones de X1 y X2 que proporcionan la misma cantidad de vapor y en definitiva de energa. Por este motivo, se conocen como lneas de isoproduccion (isobeneficio o isocoste, en el caso de que la funcin objetivo fuera beneficio o costo respectivamente). Tambin podemos observar que la funcin objetiva es lineal.

HITPOTESIS 3 DE PROGRAMACION LINEAL:LINEALIDAD:Todas las relaciones entre variables son linealesEn programacin lineal esto implica:Proporcionalidad de las contribuciones. La contribucin individual de cada variable es estrictamente proporcional a su valor; y el factor de proporcionalidad es constante para toda la gama de valores que la variable puede asumir.Actividad de las contribuciones. La contribucin total de las variables es igual a la suma de las contribuciones individuales, sea cual sea el valor de las variables.

Figura 2.1. Funcin objetivo

Una relacin tal corno Z= 5X1 + 3 X1 + 2 X2 o Z = 24 X1 + 20 X2 para X1 < = 5 y 10 + 22 X1 + 20 X2 para X1 > 5 violara la condicin de proporcionalidad; mientras que Z = 24 X1 para X2 = 0, 20 X2 para X1 =0 y 22 X1 18 X2 para X1 > O y X2> O violarla la actividad.La hiptesis 3 implica beneficios constantes aescalae impide economas y deseconomas de escala. En la prctica esta condicin posiblemente no se cumpla con exactitud; en particular para valores muy pequeos o muy grandes de actividad. Sin embargo, si se cumple en forma aproximada dentro del intervalo normal de los valores de solucin, es posible emplear el modelo de programacin lineal como una buena aproximacin. Esta consideracin tambin excluye el problema de los costes fijos cuando se presentan para valores positivos de la actividad, pero no para niveles cero.Adems de las condiciones de no negatividad, los niveles de actividad deben de cumplir ciertas restricciones que pueden ser de naturalezafsica, econmica o legal.c) RestriccionesC1. Restriccin de la emisin de partculas

La cantidad mxima de emisin de humo por hora en una planta est limitada a 12 kg. De acuerdo con la tabla 2.I, cada tonelada de carbn A produce 0.5 kg de humo y cada tonelada de carbn B produce 1 kg de humo. Si la planta quema X1 ton de carbn A y X2 de B2 la cantidad de humo total emitida a partir de ambos tipos de carbn es igual a su suma, que no puede exceder de 12 kg/h.(2)0.5X1 + X2 = O y X2 >= OQue optimicen, maximicen en este caso (en otros puede ser minimizar) la funcin objetiva:Max 24X1 + 20X2Y verifiquen las restricciones0.5 X1 + X2