Profs.: Bruno Correia da Nóbrega Queiroz
José Eustáquio Rangel de Queiroz
Marcelo Alves de Barros
Sistemas de Equações Lineares (SEL ) – Parte
II
Cálculo NuméricoCálculo NuméricoMódulo IIIMódulo III
2
Motivação I Ocorrência em larga escala de sistemas
lineares em cálculos de Engenharia e modelagem científica Exemplos:
Simulações de processos químicos Simulações de dispositivos e circuitos Modelagem de processos geocientíficos e
geoambientais Análise estrutural Biologia estrutural Modelagem de processos físicos
Métodos Iterativos
3
Motivação II Tendência à existência de matrizes de
coeficientes à grandes e esparsas GrandesGrandes Comum para n > 100.000n > 100.000 EsparsasEsparsas Maioria dos coeficientes nulosnulos
Resolução de sistemas esparsos por métodos diretosdiretos Processos de triangularizaçãotriangularização e fatoraçãofatoração
Onerosos, por não preservarem a esparsidade original, que pode ser útil por facilitar a resolução do sistema.
Métodos Iterativos
4
Motivação III Métodos mais apropriados para a resolução de
sistemas de natureza esparsa Métodos iterativos
Gauss-Jacobi Gauss-Seidel
Métodos Iterativos
5
Sistemas Esparsos no MATLAB >>help issparse Teste de esparsidade >>help sparse Conversão de matriz
cheia em matriz esparsa >>help full Conversão de matriz
esparsa em matriz cheia Geração de Matrizes Esparsas:
>>help sprand Geração de matriz esparsa aleatória
>>help sparndsym Geração de matriz esparsa simétrica aleatória
Métodos Iterativos
6
Métodos para Sistemas Esparsos no MATLAB >> help pcg Gradiente Conjugado >> help cgs Gradiente Conjugado
Quadrático (CGS) >> help bicg Gradiente BiConjugado
(BiCG) >>help bicgstab Gradiente BiConjugado
Estabilizdo (BiCGSTAB) >>help gmres Resíduo Mínimo
Generalizado (GMRES) >>help qmr Resíduo Quase Mínimo
(QMR)
Métodos Iterativos
7
A partir de uma estimativa inicial xi0, consistem
em encontrar uma seqüência de estimativas xik
que convirja para uma solução do SEL após um número suficientemente grande de iterações.
Métodos Iterativos
)0(n
)0(3
)0(2
)0(1
x
x
x
x
)1(n
)1(3
)1(2
)1(1
x
x
x
x
)2(n
)2(3
)2(2
)2(1
x
x
x
x
)k(n
)k(3
)k(2
)k(1
x
x
x
x
8
Vantagem Menos suscetíveis ao acúmulo de erros de arredondamento do que o método de Eliminação de Gauss.
Lembretes importantes: Como todo processo iterativo, estes
métodos sempre apresentarão um resultado aproximado, que será tão próximo do resultado real conforme o número de iterações realizadas.
Além disto, também é preciso ter cuidado com a convergência destes métodos.
Métodos Iterativos
9
Métodos Iterativos Transformação do sistema linear AxAx==bb em
xx = = Cx Cx ++gg A: matriz dos coeficientes, n x m x: vetor das variáveis, n x 1; b: vetor dos termos constantes, n x 1; C: matriz, n x n; e g: vetor, n x 1.
Métodos a estudar Gauss-Jacobi Gauss-Seidel
Sistemas de Equações Lineares
10
Método de Gauss-Jacobi Conhecida a estimativa inicial, xx(0)(0), obtém-se
consecutivamente os vetores:
o)aproximaçã ésima-(k ,gCxx
o)aproximaçã (segunda ,gCxxo)aproximaçã (primeira ,gCxx
)1k()k(
)1()2(
)0()1(
De um modo geral, a aproximação x(k+1) é calculada pela fórmula:
x(k+1) = C x(k)+g, k=0, 1, ...
Método de Gauss-Jacobi
11
Método de Gauss-Jacobi Da primeira equação do sistema: aa1111 x x11 + a + a1212 x x22 + ... +a + ... +a1n1n x x22 = b = b11
obtém-se: xx11 = (1/a = (1/a1111) (b) (b11 - a - a12 12 xx22 - ... -a - ... -a1n1n x x22))e, analogamente, xx22 = (1/a = (1/a2222) (b) (b22 - a - a21 21 xx11 - ... -a - ... -a2n2n x xnn))
xxnn = (1/a = (1/annnn) (b) (bnn - a - an1 n1 xx11 - ... - a - ... - ann-1nn-1 x xn-1n-1))
Método de Gauss-Jacobi
12
Método de Gauss-Jacobi Desta forma, para x = C x + g, obtém-se:
nn
n
33
3
22
2
11
1
ab
ababab
g
0aaaaaa
aa0aaaa
aaaa0aa
aaaaaa0
C
nn3nnn2nnn1n
33n333323331
22n222232221
11n111131112
e
Método de Gauss-Jacobi
13
Método de Gauss-Jacobi Distância entre duas iterações
Critério de Parada
x - x max d 1)-(ki
(k)i
(k)
x max
d d )k(
i
(k)(k)r
Método de Gauss-Jacobi
14
Método de Gauss-Jacobi – Exemplo 13 Seja o sistema:
Determinação de CC e gg6 10x 3x 2x 8 x 5x x 7 3x 2x x 10
321
321
321
10658
107
g
03/10 –1/5-1/5-01/5-3/10 -2/10 -0C
Método de Gauss-Jacobi
15
Método de Gauss-Jacobi – Exemplo 13 Assim, considerando como estimativa inicial:
e = 0,05, obtém-se:
e
0,61,6-0,7
x0
0,941,340,84
g Cx x (0)(1)||xx11
(1)(1) – x – x11(0)(0)|| = 0,14 = 0,14
||xx22(1)(1) – x – x22
(0)(0)|| = 2,94 = 2,94||xx33
(1)(1) – x – x33(0)(0)|| = 0,34 = 0,34
Método de Gauss-Jacobi
16
Método de Gauss-Jacobi – Exemplo 13 Assim:
e, analogamente:
0,0301,2440,150
g Cx x (1)(2) 0,7315 1,2440,91 d (2)
r
0,19681,56400,4422
g Cx x (2)(3)
0,2046 1,5640
0,32 d (3)r
Método de Gauss-Jacobi
17
Método de Gauss-Jacobi – Exemplo 13 Igualmente:
e, finalmente:
0,04241,47220,3282
g Cx x (3)(4) 0,1049 1,4722 0,1544 d (4)
r
0,09271,52590,3929
g Cx x (4)(5) 0,0424 1,52590,0647 d (5)
r
Método de Gauss-Jacobi
18
Método de Gauss-Seidel Similarmente ao método de Gauss-Jacobi, conhecida
a estimativa inicial, xx(0)(0), obtém-se consecutivamente os vetores xx(1)(1), x x(2)(2), ..., xx(k)(k)
Todavia, ao se calcular xj(k+1), usa-se todos os valores
xx1(k+1)(k+1), x x2
(k+1)(k+1), ..., xxj-1(k+1)(k+1) que já foram calculados e os
valores xxj+1(k)(k), x xj+2
(k)(k), ..., xxn(k) (k) restantes.
Método de Gauss-Seidel
19
Método de Gauss-Seidel Descrição I
Seja o seguinte sistema de equações:
nnnn1n1nn33n22n11n
3nn31n1n3333232131
2nn21n1n2323222121
1nn11n1n1313212111
b x.a x.a x.a x.a x.a
b x.a x.a x.a x.a x.a
b x.a x.a x.a x.a x.a
b x.a x.a x.a x.a x.a
Método de Gauss-Seidel
20
Método de Gauss-Seidel Descrição II
Isolando xxii a partir da linha i i, tem-se:
1n1nn22n11nnnn
n
nn31n1n3232231333
3
nn21n1n2323121222
2
nn11n1n1313212111
1
x.ax.ax.aba1x
x.ax.ax.ax.aba1x
x.ax.ax.ax.aba1x
x.ax.ax.ax.aba1x
Método de Gauss-Seidel
21
Método de Gauss-Seidel Descrição III
O processo iterativo se dá a partir das equações:
1k1n1n,n
1k22n
1k11nn
nn
1kn
knn3
k1n1n,3
1k232
1k1313
33
1k3
knn2
k1n1n,2
k323
1k1212
22
1k2
knn1
k1n1n,1
k313
k2121
11
1k1
x.a...x.ax.aba1x
x.ax.a...x.ax.aba1x
x.ax.a...x.ax.aba1x
x.ax.a...x.ax.aba1x
Método de Gauss-Seidel
22
Método de Gauss-Seidel Critério de Parada I
Diferença relativarelativa entre duas iterações consecutivas, dada por:
0 x
0 x se , 1
0 x x se , 0
0 x se , x
xx .Máx
M
ki
1ki
ki
1ki
1ki1k
i
ki
1ki
ni1
1kR
Método de Gauss-Seidel
23
Método de Gauss-Seidel Critério de Parada II
Fim do processo iterativo Valor de MMRRk+1k+1
suficientemente pequenosuficientemente pequeno para a precisão desejada
Método de Gauss-Seidel
24
Método de Gauss-Seidel – Exemplo 14 Resolver:
Solução: .10.5 M com,0z6y3x3
6zy4x35zyx5
2kR
Método de Gauss-Seidel
25
Método de Gauss-Seidel – Exemplo 14 Quadro de resultados do processo iterativo
kx kxM
ky kyM kz k
zMkRM
-1 - 0 - 1 - -0,8 2,25 0,65 1 -0,725 2,379 2,379
1,015 0,212 0,92 0,293 -0,967 0,250 0,293
1,009 0,006 0,985 0,066 -0,997 0,030 0,066
1,002 0,007 0,998 0,0013 -1 0,003 0,0013
x = 1,002 y = 0,998 z = -1x = 1,002 y = 0,998 z = -1
Método de Gauss-Seidel
26
Método de Gauss-Seidel – Exemplo 14 Verificação (substituição no sistema)x = 1,002 y = 0,998 z = -1x = 1,002 y = 0,998 z = -1
5.(1,002) + 1.(0,998) + 1.(-1) = 5,008 5OK
3.(1,002) + 4.(0,998) + 1.(-1) = 5,998 6OK
3.(1,002) + 3.(0,998) + 6.(-1) = 0 OK
Método de Gauss-Seidel
27
Critérios de Convergência Processo iterativo Convergência para a
solução exata nãonão garantida para qualquer sistema.
Necessidade de determinação de certas condições que devem ser satisfeitas por um SEL para a garantia da convergência do método.
Critérios de determinação das condições de convergência Critério de Sassenfeld Critério das Linhas
Método de Gauss-Seidel
28
Critério de Sassenfeld ISassenfeld I Sejam as quantidades ii dadas por:
nn - ordem do sistema linear que se deseja resolver
aij - coeficientes das equações do sistema
Método de Gauss-Seidel
para i = 2, 3, ..., n
n
2jj1
111 aa
1
n
1ijij
1i
1jjij
iii aaa
1e
29
Critério de Sassenfeld IISassenfeld II Este critério garante que o método de Gauss-
Seidel convergirá para um dado SEL se a quantidade MM, definida por:
for menor que 11 (M<1M<1).
Método de Gauss-Seidel
30
Critério de Sassenfeld IIISassenfeld III Exemplo 15: Seja AA a matriz dos coeficientes e
bb o vetor dos termos constantes, dados por:
for menor que 11 (M<1M<1).
444434241
334333231
224232221
114131211
b a a a ab a a a ab a a a ab a a a a
34324214144
4
3423213133
3
242312122
2
14131211
1
aaaa1
aaaa1
aaaa1
aaaa1
Método de Gauss-Seidel
31
Critério de Sassenfeld IVSassenfeld IV Exemplo 15: Seja AA a matriz dos coeficientes e
bb o vetor dos termos constantes, dados por:
Mostrar que a solução do SEL a seguir convergirá pelo método de Gauss-Seidel.
444434241
334333231
224232221
114131211
b a a a ab a a a ab a a a ab a a a a
34324214144
4
3423213133
3
242312122
2
14131211
1
aaaa1
aaaa1
aaaa1
aaaa1
Método de Gauss-Seidel
32
Critério de Sassenfeld VSassenfeld V Exemplo 15:
Método de Gauss-Seidel
0,10x0,4x8,0x2,1x4,00,1x2,0xx2,0x1,0
8,7x3,0x6,0x3x6,04,0x2,0x2,0xx0,2
4321
4321
4321
4321
33
2736,0358,08,044,02,17,04,041
358,02,044,02,07,01,011
44,03,06,07,06,031
7,02,02,0121
4
3
2
1
M < 1M < 1 Convergência da solução do sistema a partir do método de Gauss-Seidel
10.0- 4.0 0.8 1.2 0.4 1.0 0.2 1.0 0.2- 0.1-7.8- 0.3- 0.6- 3.0 0.6
0.4 0.2 0.2- 1.0 2.0
AA bb
Método de Gauss-Seidel
Critério de Sassenfeld VISassenfeld VI Exemplo 15: Solução
34
Método de Gauss-Seidel
Critério das Linhas Segundo este critério, um determinado sistema
irá convergir pelo método de Gauss-Seidel, se:
n. ..., 3, 2, 1,i para ,aa ii
n
ij1j
ij
35
Método de Gauss-Seidel
Critério das Linhas Exemplo 16: O SEL do Exemplo 14 satisfaz o
Critério das Linhas, sendo a verificação quase imediata, se for observado que:
4,28,02,14,0aaa4a5,02,02,01,0aaa1a5,13,06,06,0aaa3a
4,12,02,01aaa2a
43424144
34323133
24232122
14131211
4. 3, 2, 1,i para aa ii
n
ij1j
ij
36
Tanto o Critério de SassenfeldCritério de Sassenfeld quanto o Critério das LinhasCritério das Linhas são condições suficientessuficientes, porém nãonão necessáriasnecessárias, para a convergência do método de Gauss-Seidel para um dado SEL Um dado SEL pode nãonão satisfazer estes critérios
e aindaainda convergir Um sistema pode nãonão satisfazer o Critério das Critério das
LinhasLinhas, porém sua convergência será garantida se satisfizer o Critério de SassenfeldCritério de Sassenfeld
Considerações Finais
37
Método de Gauss-Seidel
Critério das Linhas x Critério de Sassenfeld Exemplo 17: Seja o seguinte SEL:
O Critério das LinhasCritério das Linhas nãonão é satisfeitosatisfeito, visto que:
Todavia, o Critério de SassenfeldCritério de Sassenfeld é satisfeitosatisfeito, uma vez que:
18x2x623xx10
21
21
6a2a 2122
3,01,0621e1,0110
121
38
Método de Gauss-Seidel
Critério das Linhas x Critério de Sassenfeld Exemplo 17: Assim sendo, a convergência do
SEL é garantidagarantida.
39
Embora não altere a solução do SEL, a ordem de aparecimento das equações pode alterar sua convergência pelo método da Gauss-Seidel. Exemplo 18: Seja o SEL:
Observa-se que na ordem atual de aparecimento das equações, o SEL não satisfaz o Critério das LinhasCritério das Linhas (verificar!!!verificar!!!); logo, sua convergência nãonão é garantidagarantida.
A inversão da ordem das duas equações do SEL fará com que o Critério das LinhasCritério das Linhas seja satisfeitosatisfeito e sua convergência pelo método de Gauss-Seidel garantidagarantida (verificar também!!!verificar também!!! ).
Considerações Finais
15x3x519x10x4
21
21
40
Ruggiero, M. A. Gomes & Lopes, V. L. da R. Ruggiero, M. A. Gomes & Lopes, V. L. da R. Cálculo Numérico: Aspectos teóricos e Cálculo Numérico: Aspectos teóricos e computacionaiscomputacionais. MAKRON Books, 1996, 2. MAKRON Books, 1996, 2ªª ed. ed.
Asano, C. H. & Colli, E. Asano, C. H. & Colli, E. Cálculo Numérico: Cálculo Numérico: Fundamentos e AplicaçõesFundamentos e Aplicações. Departamento de . Departamento de Matemática Aplicada – IME/USP, 2007.Matemática Aplicada – IME/USP, 2007.
Sanches, I. J. & Furlan, D. C. Sanches, I. J. & Furlan, D. C. Métodos Métodos NuméricosNuméricos. DI/UFPR, 2006.. DI/UFPR, 2006.
Paulino, C. D. & Soares, C. Erros e Propagação Paulino, C. D. & Soares, C. Erros e Propagação de Erros, de Erros, Notas de aulaNotas de aula, SE/ DM/ IST , SE/ DM/ IST [Online] [Online] http://www.math.ist.utl.pt/stat/pe/qeb/semesthttp://www.math.ist.utl.pt/stat/pe/qeb/semestre_1_2004-2005/PE_erros.pdfre_1_2004-2005/PE_erros.pdf [Último acesso [Último acesso 07 de Junho de 2007].07 de Junho de 2007].
Bibliografia
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