Processamento de Malhas Poligonais
Tópicos Avançados em Computação Visual e Interfaces I
Prof.: Marcos Lage
www.ic.uff.br/~mlage [email protected]
Conteúdo: Notas de Aula
06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 2
Representação de Superfícies: Definições Matemáticas
Representação de Superfícies
06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 3
Definição de Superfície:
Uma superfície é uma variedade de dimensão 2, contínua e orientável imersa em .
Representação de Superfícies
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Definição de Superfície:
Uma superfície é uma variedade de dimensão 2, contínua e orientável imersa em .
Intuição ...
é o bordo de um sólido não degenerado. A superfície separa o interior e o exterior do sólido.
Representação de Superfícies
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Definição de Superfície:
Uma superfície é uma variedade de dimensão 2, contínua e orientável imersa em .
Intuição ...
é o bordo de um sólido não degenerado. A superfície separa o interior e o exterior do sólido.
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Representação de Superfícies
Uma Superfície pode ser escrita na forma Paramétrica ou Implícita.
Representação de Superfícies
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Superfície Paramétrica Definição
Matemática
Uma Superfície Paramétrica é definida por uma função vetorial:
que mapeia o domínio de parâmetros à superfície .
Representação de Superfícies
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Superfície Paramétrica Exemplos de
Cálculo 3
1)
Cili
nd
ro,
c
oo
rden
adas
cilí
nd
rica
s
Representação de Superfícies
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Superfície Paramétrica Exemplos de
Cálculo 3
1)
Cili
nd
ro,
c
oo
rden
adas
cilí
nd
rica
s
Representação de Superfícies
06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 10
Superfície Paramétrica Exemplos de
Cálculo 3
2)
Esfe
ra,
c
oo
rden
adas
esf
éric
as
Representação de Superfícies
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Superfície Paramétrica Exemplos de
Cálculo 3
2)
Esfe
ra,
c
oo
rden
adas
esf
éric
as
Representação de Superfícies
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Superfície Paramétrica Ilustração
da def.
Representação de Superfícies
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Superfície Implícita Definição
Matemática
Uma Superfície Implícita é definida como o conjunto de nível zero de uma função real:
ou seja, .
Representação de Superfícies
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Superfície Implícita Exemplos de
Cálculo 3 1
) C
ilin
dro
,
co
ord
en
adas
car
tesi
anas
Representação de Superfícies
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Superfície Implícita Exemplos de
Cálculo 3 2
) Es
fera
,
co
ord
en
adas
car
tesi
anas
Representação de Superfícies
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Superfície Implícita Ilustração da
def.
Representação de Superfícies
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E se a superfície for muito complexa ? Observação Importante
Representação de Superfícies
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E se a superfície for muito complexa ? Definição
usando retalhos
Representação de Superfícies
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E se a superfície for muito complexa ? Descrição
Local
Representação de Superfícies
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Definição por Partes (Retalhos) Desafios
Matemáticos
Representação de Superfícies
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Definição por Partes (Retalhos) Desafios
Matemáticos
Transição consistente
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Representação de Superfícies: Definições Matemáticas
Propriedades das Representações
Representação de Superfícies
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Propriedades das representações Continuidade e
Vizinhança
Na maioria das aplicações, as informações sobre a superfície são obtidas a partir de amostragens discretas.
Representação de Superfícies
06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 24
Propriedades das representações Continuidade e
Vizinhança
Na maioria das aplicações, as informações sobre a superfície são obtidas a partir de amostragens discretas.
Primeiro passo para a representação da superfície: estabelecer continuidade
Representação de Superfícies
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Propriedades das representações Continuidade e
Vizinhança
Construção de uma relação de vizinhança consistente entre as amostras. Vizinhança Geodésica ...
Representação de Superfícies
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Propriedades das representações Continuidade e
Vizinhança
Construção de uma relação de vizinhança consistente entre as amostras. Vizinhança Geodésica ... Simples quando usamos parametrizações!
Representação de Superfícies
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Propriedades das representações Descrição Local de Variedade
Com a noção de vizinhança geodésica, podemos descrever variedades localmente:
Representação de Superfícies
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Propriedades das representações Descrição Local de Variedade
Com a noção de vizinhança geodésica, podemos descrever variedades localmente:
1) Uma superfície paramétrica contínua é uma variedade local em um ponto da superfície se para qualquer ponto em uma esfera suficientemente pequena de tamanho em torno de , sua pré-imagem estiver contida num círculo de raio em torno da pré-imagem de .
Representação de Superfícies
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Propriedades das representações Descrição Local de Variedade
Com a noção de vizinhança geodésica, podemos descrever variedades localmente:
1) Uma superfície paramétrica contínua é uma variedade local em um ponto da superfície se para qualquer ponto em uma esfera suficientemente pequena de tamanho em torno de , sua pré-imagem estiver contida num círculo de raio em torno da pré-imagem de .
Representação de Superfícies
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Propriedades das representações Descrição Local de Variedade
Com a noção de vizinhança geodésica, podemos descrever variedades localmente:
2) O retalho de superfície que cabe em uma esfera de raio suficientemente pequeno em torno do ponto é topologicamente equivalente a um disco.
Representação de Superfícies
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Propriedades das representações Descrição Local de Variedade
Com a noção de vizinhança geodésica, podemos descrever variedades localmente:
2) O retalho de superfície que cabe em uma esfera de raio suficientemente pequeno em torno do ponto é topologicamente equivalente a um disco.
Representação de Superfícies
06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 32
Propriedades das representações
Suavidade
A menos de um conjunto bem definido de “sharp features”, desejamos trabalhar com superfícies suaves.
Representação de Superfícies
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Propriedades das representações
Suavidade
A menos de um conjunto bem definido de “sharp features”, desejamos trabalhar com superfícies suaves.
Matematicamente, a suavidade da superfície é medida pelo número de derivadas contínuas de sua representação implícita ou paramétrica.
Representação de Superfícies
06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 34
Propriedades das representações
Suavidade
A menos de um conjunto bem definido de “sharp features”, desejamos trabalhar com superfícies suaves.
Matematicamente, a suavidade da superfície é medida pelo número de derivadas contínuas de sua representação implícita ou paramétrica.
Dizemos que a superfície tem suavidade de ordem .
Representação de Superfícies
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Propriedades das representações Interpolação e Aproximação
A modelagem matemática exata de um objeto real é intratável.
Representação de Superfícies
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Propriedades das representações Interpolação e Aproximação
A modelagem matemática exata de um objeto real é intratável.
Ao gerarmos superfícies contínuas a partir de um conjunto de amostras, podemos adotar duas estratégias: Aproximação ou Interpolação.
Representação de Superfícies
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Propriedades das representações Interpolação e Aproximação
A modelagem matemática exata de um objeto real é intratável.
Ao gerarmos superfícies contínuas a partir de um conjunto de amostras, podemos adotar duas estratégias: Aproximação ou Interpolação.
Representação de Superfícies
06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 38
Propriedades das representações Interpolação e Aproximação
A modelagem matemática exata de um objeto real é intratável.
Ao gerarmos superfícies contínuas a partir de um conjunto de amostras, podemos adotar duas estratégias: Aproximação ou Interpolação.
Na prática, as amostras são obtidas por dispositivos de medição e, apresentam ruídos, o que torna os métodos de aproximação mais adequados.
Representação de Superfícies
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Aproximação
Polinômios
Para uma representação de superfície que viabilize processamento eficiente, a escolha natural é trabalhar com polinômios.
Baseados em operações aritméticas elementares.
Representação de Superfícies
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Aproximação
Polinômios
Para uma representação de superfície que viabilize processamento eficiente, a escolha natural é trabalhar com polinômios.
Pelo teorema de Weierstrass sabemos que para cada função existe um polinômio que aproxima qualquer que seja a precisão desejada.
Representação de Superfícies
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Aproximação
Discretização
Pelo teorema de Taylor, sabemos que uma função pode ser aproximada em um intervalo [a,b] por:
Representação de Superfícies
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Aproximação
Discretização
Pelo teorema de Taylor, sabemos que uma função pode ser aproximada em um intervalo [a,b] por:
Representação de Superfícies
06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 43
Aproximação
Discretização
Pelo teorema de Taylor, sabemos que uma função pode ser aproximada em um intervalo [a,b] por:
Representação de Superfícies
06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 44
Aproximação
Discretização
Pelo teorema de Taylor, sabemos que uma função pode ser aproximada em um intervalo [a,b] por:
Para melhorar a aproximação:
Aumentar o grau do polinômio (refinamento p) Diminuir o tamanho do intervalo (refinamento h)
Representação de Superfícies
06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 45
Aproximação
Discretização
Normalmente o refinamento h é preferido:
Para polinômios de grau alto, definidos por partes, é difícil garantir suavidade .
Representação de Superfícies
06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 46
Aproximação
Discretização
Normalmente o refinamento h é preferido:
Para polinômios de grau alto, definidos por partes, é difícil garantir suavidade .
Nas arquiteturas dos computadores atuais, processar um grande número de operações simples é mais eficiente que executar um número menor de instruções complexas.
Representação de Superfícies
06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 47
Aproximação
Discretização
Normalmente o refinamento h é preferido:
Para polinômios de grau alto, definidos por partes, é difícil garantir suavidade .
Nas arquiteturas dos computadores atuais, processar um grande número de operações simples é mais eficiente que executar um número menor de instruções complexas.
Estes argumentos justificam a escolha de aproximações por partes de ordem também conhecidas como malhas de polígonos.
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Representação de Superfícies: Definições Matemáticas
Propriedades das Representações Descrição Implícita Vs Descrição Paramétrica
Representação de Superfícies
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Implícito Vs Paramétrico Escolha do
modelo
A escolha do modelo de representação depende da aplicação e das operações que pretendemos realizar.
Representação de Superfícies
06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 50
Implícito Vs Paramétrico Escolha do
modelo
A escolha do modelo de representação depende da aplicação e das operações que pretendemos realizar.
Ou seja, a escolha da representação viabiliza ou inviabiliza implementações eficientes.
Representação de Superfícies
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Implícito Vs Paramétrico Prós e
Contras
As representações paramétrica e implícita tem características complementares.
Representação de Superfícies
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Implícito Vs Paramétrico Prós e
Contras
As representações paramétrica e implícita tem características complementares.
Veremos ao longo do curso que, quando há eficiência e robustez de uma delas em relação a um tipo de operação geométrica, temos ineficiência e fragilidade da outra.
Representação de Superfícies
06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 53
Implícito Vs Paramétrico Prós e
Contras
As representações paramétrica e implícita tem características complementares.
Veremos ao longo do curso que, quando há eficiência e robustez de uma delas em relação a um tipo de operação geométrica, temos ineficiência e fragilidade da outra.
Como agir?
Representação de Superfícies
06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 54
Implícito Vs Paramétrico Prós e
Contras
Para analisar a melhor representação para uma determinada operação, podemos classificar as operações em categorias:
Representação de Superfícies
06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 55
Implícito Vs Paramétrico Prós e
Contras
Para analisar a melhor representação para uma determinada operação, podemos classificar as operações em categorias:
Op. de Estimativa – São as operações de amostragem da geometria ou de qualquer
outro atributo da superfície, como por exemplo suas normais.
Representação de Superfícies
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Implícito Vs Paramétrico Prós e
Contras
Para analisar a melhor representação para uma determinada operação, podemos classificar as operações em categorias:
Op. de Estimativa – São as operações de amostragem da geometria ou de qualquer
outro atributo da superfície, como por exemplo suas normais.
Op. de Investigação – Usadas para determinar quando um ponto está dentro ou fora de um sólido determinado por uma superfície , bem como a distancia entre e .
Representação de Superfícies
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Implícito Vs Paramétrico Prós e
Contras
Para analisar a melhor representação para uma determinada operação, podemos classificar as operações em categorias:
Op. de Estimativa – São as operações de amostragem da geometria ou de qualquer
outro atributo da superfície, como por exemplo suas normais.
Op. de Investigação – Usadas para determinar quando um ponto está dentro ou fora de um sólido determinado por uma superfície , bem como a distancia entre e .
Op. de Modificação – Usadas para alterar a superfície em termos geométricos ou
topológicos (estudaremos mais a diante).
Representação de Superfícies
06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 58
Representações Paramétricas
Possibilita a redução de problemas 3D sobre a superfície para problemas 2D sobre o domínio de parâmetros.
Representação de Superfícies
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Representações Paramétricas
Possibilita a redução de problemas 3D sobre a superfície para problemas 2D sobre o domínio de parâmetros.
Ex.: Amostragem de pontos sobre a superfície podem facilmente ser geradas amostrando o domínio de parâmetros e avaliando a parametrização.
Representação de Superfícies
06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 60
Representações Paramétricas
Possibilita a redução de problemas 3D sobre a superfície para problemas 2D sobre o domínio de parâmetros.
Ex.: Amostragem de pontos sobre a superfície podem facilmente ser geradas amostrando o domínio de parâmetros e avaliando a parametrização.
Representação de Superfícies
06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 61
Possibilita a redução de problemas 3D sobre a superfície para problemas 2D sobre o domínio de parâmetros.
Ex.: Vizinhança Geodésica.
Representações Paramétricas
Representação de Superfícies
06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 62
Possibilita a redução de problemas 3D sobre a superfície para problemas 2D sobre o domínio de parâmetros.
Ex.: Vizinhança Geodésica.
Representações Paramétricas
Representação de Superfícies
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Fácil de compor com uma função deformação:
Representações Paramétricas
Representação de Superfícies
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Fácil de compor com uma função deformação:
Basta compormos a deformação com a parametrizacão:
Representações Paramétricas
Representação de Superfícies
06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 65
Representações Paramétricas
Difícil de construir a parametrização de uma superfície complexa ...
A parametrização tem que se adaptar às estruturas métricas e topológias da superfície.
Representação de Superfícies
06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 66
Difícil de construir a parametrização de uma superfície complexa ...
A parametrização tem que se adaptar às estruturas métricas e topológias da superfície.
Representações Paramétricas
Representação de Superfícies
06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 67
Representações Paramétricas
Difícil de representar mudanças topológicas através de deformações ...
A parametrização e o domínio dos parâmetros precisam ser ajustados
Representação de Superfícies
06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 68
Representações Paramétricas
Difícil de representar mudanças topológicas através de deformações ...
A parametrização e o domínio dos parâmetros precisam ser ajustados
Representação de Superfícies
06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 69
Padrão em sistemas CAD.
Representações Paramétricas Exemplo: NURBS
Representação de Superfícies
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Padrão em sistemas CAD.
Construídas a partir de bases de polinômios:
Representações Paramétricas Exemplo: NURBS
Representação de Superfícies
06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 71
Padrão em sistemas CAD.
Construídas a partir de bases de polinômios:
são polinômios definidos por partes e formam uma base para o espaço das funções polinomiais.
Representações Paramétricas Exemplo: NURBS
Representação de Superfícies
06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 72
Padrão em sistemas CAD.
Construídas a partir de bases de polinômios:
são os pontos de controle da superfície. Os pontos de controle tem raio de ação local.
Representações Paramétricas Exemplo: NURBS
Representação de Superfícies
06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 73
Padrão em sistemas CAD.
Construídas a partir de bases de polinômios:
são os pontos de controle da superfície. Como e ,
cada ponto da superfície está no fecho convexo dos pontos de controle.
Representações Paramétricas Exemplo: NURBS
Representação de Superfícies
06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 74
Representações Paramétricas Exemplo: NURBS
Representação de Superfícies
06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 75
Representações Paramétricas Exemplo: NURBS
Restrições topológicas e geométricas.
Representação de Superfícies
06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 76
Representações Paramétricas Exemplo: NURBS
Restrições topológicas e geométricas.
Refinamento é ineficiente.
Representação de Superfícies
06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 77
Representações Paramétricas
Exemplo: Malhas de Triângulos
Usualmente são vistas como uma coleção de triângulos sem estrutura matemática particular.
Representação de Superfícies
06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 78
Representações Paramétricas
Exemplo: Malhas de Triângulos
Usualmente são vistas como uma coleção de triângulos sem estrutura matemática particular.
Podemos definir, uma parametrização para cada triângulo: Parametrização Baricêntrica.
Representação de Superfícies
06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 79
Representações Paramétricas
Exemplo: Malhas de Triângulos
Usualmente são vistas como uma coleção de triângulos sem estrutura matemática particular.
Podemos definir, uma parametrização para cada triângulo: Parametrização Baricêntrica.
Obtemos uma representação paramétrica linear por partes da superfície !!!
Representação de Superfícies
06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 80
Representações Paramétricas
Exemplo: Malhas de Triângulos
Cada ponto p no interior de um triângulo de vértices [a,b,c] pode ser escrito de maneira única como a combinação baricêntrica dos vértices:
Representação de Superfícies
06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 81
Representações Paramétricas
Exemplo: Malhas de Triângulos
Cada ponto p no interior de um triângulo de vértices [a,b,c] pode ser escrito de maneira única como a combinação baricêntrica dos vértices:
Onde: e .
Representação de Superfícies
06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 82
Representações Paramétricas
Exemplo: Malhas de Triângulos
Em breve investigaremos mais sobre malhas de triângulos e polígonos.
Representação de Superfícies
06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 83
Representações Implícitas
Facilita a classificação de pontos do espaço ambiente em relação à superfície.
Representação de Superfícies
06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 84
Representações Implícitas
Facilita a classificação de pontos do espaço ambiente em relação à superfície.
Simples de realizar operações booleanas entre superfícies.
Representação de Superfícies
06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 85
Representações Implícitas
Facilita a classificação de pontos do espaço ambiente em relação à superfície.
Simples de realizar operações booleanas entre superfícies.
Representação de Superfícies
06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 86
Representações Implícitas
Facilita a deformação da superfície, através da alteração local dos valores
da função.
Representação de Superfícies
06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 87
Representações Implícitas
Facilita a deformação da superfície, através da alteração local dos valores
da função.
Representação de Superfícies
06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 88
Representações Implícitas
Facilita a deformação da superfície, através da alteração local dos valores
da função.
A topologia da superfície de nível pode sofrer alterações facilmente.
Representação de Superfícies
06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 89
Representações Implícitas
Difícil de amostrar uma superfície implícita.
Representação de Superfícies
06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 90
Representações Implícitas
Difícil de amostrar uma superfície implícita.
Difícil de encontrar a vizinhança geodésica.
Representação de Superfícies
06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 91
Representações Implícitas
Difícil de amostrar uma superfície implícita.
Difícil de encontrar a vizinhança geodésica.
Não fornece estrutura paramétrica alguma: Problemas para aplicar texturas.
Representação de Superfícies
06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 92
Representações Implícitas
Difícil de amostrar uma superfície implícita.
Difícil de encontrar a vizinhança geodésica.
Não fornece estrutura paramétrica alguma: Problemas para aplicar texturas.
O render é mais complexo ...
Representação de Superfícies
06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 93
Representações Implícitas Exemplo: Grids Regulares
Para representar o campo escalar , podemos discretizar sua bounding box usando um grid regular com nós .
Representação de Superfícies
06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 94
Representações Implícitas Exemplo: Grids Regulares
Para representar o campo escalar , podemos discretizar sua bounding box usando um grid regular com nós .
Função implicitamente representada por .
Representação de Superfícies
06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 95
Representações Implícitas Exemplo: Grids Regulares
Para representar o campo escalar , podemos discretizar sua bounding box usando um grid regular com nós .
Função implicitamente representada por .
Valores no interior das células dos grids podem ser obtidos a partir de interpolação.
Representação de Superfícies
06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 96
Representações Implícitas Exemplo: Grids Regulares
Para representar o campo escalar , podemos discretizar sua bounding box usando um grid regular com nós .
Função implicitamente representada por .
Valores no interior das células dos grids podem ser obtidos a partir de interpolação.
----- Aproximação Cúbica -----
Representação de Superfícies
06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 97
Representações Implícitas
Exemplo: Estruturas
Adaptativas
Em computação gráfica é comum adotarmos amostragens não uniformes em prol de eficiência e memória.
Representação de Superfícies
06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 98
Representações Implícitas
Exemplo: Estruturas
Adaptativas
Em computação gráfica é comum adotarmos amostragens não uniformes em prol de eficiência e memória.
Podemos amostrar o campo escalar , levando em conta seu significado geométrico.
Representação de Superfícies
06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 99
Representações Implícitas
Exemplo: Estruturas
Adaptativas
Em computação gráfica é comum adotarmos amostragens não uniformes em prol de eficiência e memória.
Podemos amostrar o campo escalar , levando em conta seu significado geométrico.
Como usualmente estamos interessado na superfície de nível zero, podemos usar uma densidade de amostras maior em sua vizinhança.
Representação de Superfícies
06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 100
Representações Implícitas
Exemplo: Estruturas
Adaptativas
Em computação gráfica é comum adotarmos amostragens não uniformes em prol de eficiência e memória.
Podemos amostrar o campo escalar , levando em conta seu significado geométrico.
Como usualmente estamos interessado na superfície de nível zero, podemos usar uma densidade de amostras maior em sua vizinhança.
Representação de Superfícies
06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 101
Representações Implícitas
Exemplo: Estruturas
Adaptativas
Representação de Superfícies
06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 102
Representações Implícitas
Exemplo: Estruturas
Adaptativas
Representação de Superfícies
06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 103
Reconstrução implícita de nuvens de pontos usando estruturas adaptativas.
Leitura Complementar: Multilevel Partition of Unity Implicits
Y. Otake et al. Siggraph
2003
Representações Implícitas
Exemplo: Estruturas
Adaptativas
Representação de Superfícies
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Conversões de Modelo de Representação Implícito para Paramétrico
Marching Cubes: Algoritmo publicado na Siggraph de 1987 por Lorensen and Cline, que viabiliza a
extração de superfícies poligonais para aproximar isosuperfícies de um campo escalar.
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06/09/2015 Processamento de Malhas Poligonais 105
Conversões de Modelo de Representação Implícito para Paramétrico
Marching Cubes: Algoritmo publicado na Siggraph de 1987 por Lorensen and Cline, que viabiliza a
extração de superfícies poligonais para aproximar isosuperfícies de um campo escalar.
28 = 256 casos possíveis de poligonização:
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Conversões de Modelo de Representação Implícito para Paramétrico
Marching Cubes: Algoritmo publicado na Siggraph de 1987 por Lorensen and Cline, que viabiliza a
extração de superfícies poligonais para aproximar isosuperfícies de um campo escalar.
28 = 256 casos possíveis de poligonização:
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Conversões de Modelo de Representação Implícito para Paramétrico
Marching Cubes: No trabalho original existiam casos ambíguos ...
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Conversões de Modelo de Representação Implícito para Paramétrico
Marching Cubes: No trabalho original existiam casos ambíguos ...
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Conversões de Modelo de Representação Implícito para Paramétrico
Marching Cubes: No trabalho original existiam casos ambíguos ...
Representação de Superfícies
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Conversões de Modelo de Representação Implícito para Paramétrico
Marching Cubes: No trabalho original existiam casos ambíguos ...
Leitura Complementar: Efficient implementation of Marching Cubes’ cases with
topological guarantees T. Lewiner et al.
Journal of Graphics Tools 2003
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Conversões de Modelo de Representação Paramétrico
para Implícito
Fast Marching Method: É um caso particular do método “Level Sets”, desenvolvido por J. A. Sethian.
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Conversões de Modelo de Representação Paramétrico
para Implícito
Fast Marching Method: É um caso particular do método “Level Sets”, desenvolvido por J. A. Sethian.
Desenvolvido para resolver de forma eficiente a propagação de frente.
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Conversões de Modelo de Representação Paramétrico
para Implícito
Fast Marching Method: É um caso particular do método “Level Sets”, desenvolvido por J. A. Sethian.
Desenvolvido para resolver de forma eficiente a propagação de frente.
Representação de Superfícies
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Conversões de Modelo de Representação Paramétrico
para Implícito
Fast Marching Method: É um caso particular do método “Level Sets”, desenvolvido por J. A. Sethian.
Desenvolvido para resolver de forma eficiente a propagação de frente.
Este problema consiste em calcular a nova posição de uma superfície quando um campo
F é aplicado à curva.
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para Implícito
Fast Marching Method: É um caso particular do método “Level Sets”, desenvolvido por J. A. Sethian.
Desenvolvido para resolver de forma eficiente a propagação de frente.
Este problema consiste em calcular a nova posição de uma superfície quando um campo
F é aplicado à curva. Ex: Campo Normal
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Co
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para Implícito
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#Inicialização 1) Inicializa distância d com ∞ 2) Para todo Ponto de Superfície P
Para cada vizinho N Se dN> |P-N|, Então dN= |P-N|, S(N)=P FimPara Fim Para
#Pontos de Superfície #Fast Marching Method
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#Pontos de Superfície #Fast Marching Method
#Propagação 1) Cria uma Pilha Q com pontos com dN< ∞
2) Enquanto Q não está vazia Pq = Q.pop() Para cada vizinho N Se dN> |Pq-N|, Então dN= |Pq-N|, S(N)=P Q.push(N) FimSe FimPara FimEnquanto
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para Implícito
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Conversões de Modelo de Representação Implícito para Paramétrico
Fast Marching method
Leitura Complementar: Level Sets and Fast Marching Methods
J. A. Sethian. Cambridge University Press
1999
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