Probleme propuse pentru examenul de SEMNALE I SISTEME
1
1. SEMNALE I SISTEME
1. Probleme rezolvate Problema 1
a. Artai, c dac [ ]x n este un semnal discret impar, atunci [ ] 0n
x n
=
= .
b. Dac [ ] [ ] [ ]i px n x n x n= + , unde [ ]ix n este un semnal impar, i [ ]px n este un semnal par, determinai [ ]ix n i [ ]px n n funcie de [ ]x n .
c. Artai, c [ ] [ ] [ ]2 2 2i pn n n
x n x n x n
= = =
= + . Rezolvare Problema 1 a. Pentru un semnal impar este valabil relaia: [ ] [ ]x n x n = Pentru 0n = , avem: [ ] [ ]0 0x x= , [ ]2 0 0x = , rezult c [ ]0 0x = .
[ ] [ ] [ ] [ ]1
1
0n n n
x n x n x x n
= = =
= + + (1)
[ ] [ ] [ ]1
1 1
n m
n m m
x n x m x m =
= = =
= = (2) Din (1) + (2) rezult, c
[ ] [ ] [ ]1 1
0n m n
x n x m x n
= = =
= + = b.
[ ] [ ] [ ]i px n x n x n= + [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]i p i px n x n x n x n x n = + = +
Avem, deci:
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]
i p
i p
x n x n x n
x n x n x n
= +
= +
Rezult:
[ ] [ ] [ ]2p
x n x nx n
+ = i [ ] [ ] [ ]
2ix n x n
x n
=
Probleme propuse pentru examenul de SEMNALE I SISTEME
2
c.
[ ] [ ] [ ]2 2 2i pn n n
x n x n x n
= = =
= +
Se tie, c: [ ] [ ] [ ]i px n x n x n= +
[ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ] [ ] [ ]22 2 22i p i i p pn n n n n
x n x n x n x n x n x n x n
= = = = =
= + = + +
Notm: [ ] [ ] [ ]i py n x n x n= . Trebuie demonstrat, c: [ ] 0n
y n
=
= .
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]i p i py n x n x n x n x n y n = = = Rezult, deci c [ ] [ ]y n y n = este un semnal impar. Conform punctului a.) pentru un semnal impar este valabil relaia:
[ ] 0n
y n
=
= n final:
[ ] [ ] [ ]2 2 2i pn n n
x n x n x n
= = =
= + Problema 2 Pentru urmtoarele semnale:
1.) ( ) ( )4cos 5x t t= 2.) ( ) ( ) 1 2x t t= 3.) [ ] ( )4cosx n n= 4.) [ ] ( )2sin 3x n n=
a. Determinai analitic, care dintre ele sunt periodice (n caz afirmativ, determinai perioada semnalului) b. Reprezentai-le grafic Rezolvare Problema 2 1.
n cazul general, avem: ( ) ( )0cosgx t A t= . Iar ( ) ( )4cos 5x t t= . Prin identificare, se obine: 4A = , 0 5 = .
0
2 25
5T
T
= = = . Rezult, c este un semnal periodic, cu perioada:
2
5T = . n figura P2.1
este reprezentat grafic semnalul ( ) ( )4cos 5x t t= .
Probleme propuse pentru examenul de SEMNALE I SISTEME
3
-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
t
A
4cos(5*t)
Figura P2.1
2. ( ) ( ) 1 2x t t=
( )1, 0
0, 0
tt
t
=
Probleme propuse pentru examenul de SEMNALE I SISTEME
4
4.
[ ] ( )2sin 3x n n= 2
3
=
pentru ntreg.
Semnalul [ ] ( )2sin 3x n n= nu este periodic.
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
n
A
2*sin(3n)
Figura P2.4
Problema 3
Fie un sistem, S , cu intrarea [ ]x n i ieirea [ ]y n , obinut prin conectarea n cascad a dou sisteme liniare i invariante n timp, 1S i 2S . Relaile de legtura intrare-ieire pentru sistemele
1S i 2S sunt:
1 :S [ ] [ ] [ ]1 1 12 4 1y n x n x n= +
2 :S [ ] [ ] [ ]2 2 21
2 32
y n x n x n= +
unde [ ]1x n i [ ]2x n indic semnalul de intrare. a. Gsii relaia de intrare-ieire pentru sistemul S b. Verificai relaia intrare-ieire a sistemului determinat la punctul a.) dac se inverseaz
ordinea sistemelor 1S cu 2S .
Rezolvare Problema 3
a.
Figura P3.1
Probleme propuse pentru examenul de SEMNALE I SISTEME
5
Se poate observa din figura P3.1, c intrarea sistemului 2S , notat cu [ ]2x n este egal cu ieirea sistemului 1S , [ ]1y n . Prin urmare:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]( )[ ] [ ] [ ]
2 2 2 1 1
1 1 1 1
1 1 1
1 12 3 2 3
2 21
2 2 4 3 2 3 4 42
2 2 5 3 2 4
y n x n x n y n y n
x n x n x n x n
x n x n x n
= + = + =
= + + +
= + +
n final, pentru sistemul S , avem:
[ ] [ ] [ ] [ ]2 2 5 3 2 4y n x n x n x n= + + b.
Figura P3.2
Pentru schema din figura P3.2 se poate scrie:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
1 1 1 2 2
2 2 2 2
2 2 2
2 4 1 2 4 1
1 12 2 3 4 3 4
2 2
2 2 5 3 2 2
y n x n x n y n y n
x n x n x n x n
x n x n x n
= + = + =
= + + +
= + +
Rezult n final:
[ ] [ ] [ ] [ ]2 2 5 3 2 4y n x n x n x n= + + Deci, nu se schimb relaia intrare-ieire pentru sistemul S , dac se inverseaz ordinea sistemelor 1S cu 2S .
Problema 4 Se consider sistemul n timp continuu, descris de ecuaia diferenial:
( ) ( ) ( ) ( )2
22
2d y t dy t
t t y t x tdt dt
+ + =
avnd condiii iniiale nule. a. S se studieze liniaritatea sistemului b. S se studieze invariana n timp a sistemului
Probleme propuse pentru examenul de SEMNALE I SISTEME
6
Rezolvare Problema 4
a.
( ) ( ) ( ) ( )2
22
2d y t dy t
t t y t x tdt dt
+ + =
Liniaritate=aditivitate+omogenitate
i. aditivitate
Dac la intrarea ( )1x t sistemul rspunde cu ( )1y t iar la intrarea ( )2x t sistemul rspunde cu ( )2y t , atunci aplicarea sumei celor dou semnale la intrare, ( ) ( )1 2x t x t+ va determina la ieire ( ) ( )1 2y t y t+ .
( ) ( )1 1:x t y t ( ) ( )2 2:x t y t ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2:x t x t y t y t+ +
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
21 1 2
1 12
22 2 2
2 22
2
2
d y t dy tx t t t y t
dt dt
d y t dy tx t t t y t
dt dt
= + +
= + +
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( )2
1 2 1 2 21 2 1 22
2d y t y t d y t y t
x t x t t t y t y tdt dt
+ ++ = + + +
Deci, sistemul este aditiv
ii. omogenitate
Aplicarea unui semnal la intrare amplificat cu factorul va determina la ieire un semnal amplificat cu acelai factor.
( ) ( )x t y t
( ) ( ) ( ) ( )2
22
2d y t dy t
t t y t x tdt dt
+ + =
Deci sistemul este i omogen. n consecin el este liniar. b. Invariana n timp
( ){ } ( )S x t y t
( ){ } ( )?
0 0S x t t y t t
Probleme propuse pentru examenul de SEMNALE I SISTEME
7
La excitaia ( )0x t t , sistemul rspunde cu ( )0ty t care reprezint soluia ecuaiei difereniale:
( ) ( ) ( ) ( )2
0 0 20 02
2t t td y t dy t
x t t t t y tdt dt
= + +
iar ( )0y t t se obine nlocuind n ecuaia din enun variabila t cu variabila t-t0.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
20 00 0 0 02
2d y t t dy t t
x t t t t t t y t tdt dt
= + +
ntruct membrii drepi ai celor dou relaii intrare-ieire nu sunt identice, sistemul considerat nu este invariant n timp. Problema 5
Se consider sistemul n timp continuu cu intrarea ( )x t i ieirea ( )y t unde: ( ) ( )( )siny t x t=
a. Este acest sistem cauzal ? b. Dar liniar ? Rezolvare Problema 5 a. Sistemul nu este cauzal, deoarece ieirea ( )y t poate precede intrarea. De exemplu: ( ) ( )0y x =
b. Se consider intrrile:
( )1 :x t ( ) ( )( )1 1 siny t x t= ( )2 :x t ( ) ( )( )2 2 siny t x t=
Fie
( ) ( ) ( )1 1 2 2x t a x t a x t= + ( ) ( )( )
( )( ) ( )( )( ) ( )
1 1 2 2
1 1 2 2
sin
sin sin
y t x t
a x t a x t
a y t a y t
=
= +
= +
Deci, sistemul n cauz este liniar. Problema 6 S se determine dac urmtoarele sisteme sunt liniare i invariante n timp: a. [ ] [ ]2 2y n x n= b. [ ] [ ] [ ]1 1y n x n x n= +
Probleme propuse pentru examenul de SEMNALE I SISTEME
8
Rezolvare Problema 6 a. Fie
[ ] [ ] [ ]21 1 1 2x n y n x n = [ ] [ ] [ ]22 2 2 2x n y n x n =
[ ] [ ] [ ]1 1 2 2x n a x n a x n= +
[ ] [ ]
[ ] [ ]( )[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ]
2
2
1 1 2 2
2 2 2 21 1 1 2 1 2 2 2
1 1 2 2
2
2 2
2 2 2 2 2
y n x n
a x n a x n
a x n a a x n x n a x n
a y n a y n
= =
= +
= + +
+
Sistemul nu este liniar
[ ]{ } [ ] [ ]20 0 02S x n n x n n y n n = = unde
[ ] [ ]20 02y n n x n n = Deci:
[ ]{ } [ ]0 0S x n n y n n = Sistemul este invariant in timp
b. Fie
[ ] [ ] [ ] [ ]1 1 1 11 1x n y n x n x n = + [ ] [ ] [ ] [ ]2 2 2 21 1x n y n x n x n = + [ ] [ ] [ ]1 1 2 2x n a x n a x n= +
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ]( ) [ ] [ ]( )[ ] [ ]
1 1 1 1 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
1 1 2 2
1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
y n x n x n
a x n a x n a x n a x n
a x n x n a x n x n
a y n a y n
= +
= + + +
= + + +
= +
Sistemul este liniar
[ ]{ } [ ] [ ] [ ]0 0 0 01 1S x n n x n n x n n y n n = + = [ ] [ ] [ ]0 0 01 1y n n x n n x n n = +
Sistemul este invariant in timp
Probleme propuse pentru examenul de SEMNALE I SISTEME
9
1. Probleme propuse Problema 1
a. Se consider semnalul [ ] [ ]nx n a n= , cu 0 1a< < . Notnd cu [ ]is n partea sa impar,
calculai: [ ] ?in
s n
=
=
b. Artai c: [ ] [ ] [ ]2 2 2i pn n n
x n x n x n
= = =
= + .
c. Reprezentai grafic prile par i impar ale semnalului [ ] [ ]2x n n n= . Problema 2 Pentru semnalul din figura PP1.2, desenai: a.) ( )3x t + ; b.) ( )/ 2 2x t ; c.) ( )1 2x t ; d.) ( )4 / 4x t ; e.) ( ) ( )/ 2 1x t t + ; f.) ( )2 1x t ; g.) ( ) ( ) ( )1 1x t t t + ; h.) ( ) ( ) ( )0.5x t x t t+ .
Figura PP1.2
Problema 3 Se consider sistemul n timp discret, a crui relaie de intrare-ieire este dat de ecuaia:
[ ] [ ]2
2
n
k n
y n x k+
=
= a. S se studieze liniaritatea i invariana n timp a sistemului. b. S se determine rspunsul la impuls al sistemului i s se reprezinte grafic acest rspuns. c. Precizai, dac sistemul este cauzal i justificai rspunsul. Problema 4 S se determine, dac urmtoarele sisteme sunt: 1. liniare, 2. invariante n timp, 3. cauzale.
a. [ ]{ } [ ] [ ]S x n g n x n= , cu [ ]g n dat. b. [ ]{ } [ ]x nS x n e= c. [ ]{ } [ ]3 2S x n x n n= ,
d. [ ]{ } [ ]0
n
k n
S x n x k=
= , e. [ ]{ } [ ] [ ]3 1S x n x n n= + + ,
Probleme propuse pentru examenul de SEMNALE I SISTEME
10
2. CONVOLUIA SEMNALELOR
1. Probleme rezolvate Problema 1
Calculai i reprezentai grafic [ ] [ ] [ ]y n x n h n= , unde:
[ ]1, 3 8
0, in rest
nx n
=
i [ ]1, 4 15
0, in rest
nh n
=
Rezolvare Problema 1
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]k
y n x n h n x k h n k
=
= =
1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.5
1
1.5
n
x[n]
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
0.5
1
1.5
n
h[n]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8y n x h n x h n x h n x h n x h n x h n= + + + + +
Rezult, n final: [ ]
6, 7 11
6, 12 18
24 , 19 23
0, in rest
n n
ny n
n n
=
0 5 10 15 20 25 300
1
2
3
4
5
6
7
n
y[n]
Probleme propuse pentru examenul de SEMNALE I SISTEME
11
Problema 2 Se consider sistemul DLIT cu schema din figura 1:
Figura P2.1
unde [ ] [ ]2h n n= i D reprezint un bloc de ntrziere. a. Exprimai legtura dintre [ ]y n i [ ]u n i demonstrai c sistemul cu rspunsul la impuls,
[ ]2h n este un sumator. b. Determinai i schiai rspunsul sistemului din figura P2.1, la semnalele cu graficele din
figura P2.2. c. Determinai i reprezentai grafic rspunsul la impuls al sistemului din figura P2.1.
-2 0 2 4 6 8 100
0.5
1
1.5
n
x1[n]
-2 0 2 4 6 8 10-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
n
x2[n]
-4 -2 0 2 4 6 80
0.5
1
1.5
2
2.5
n
x3[n]
Figura P2.2
Rezolvare Problema 2
a.
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]2n
k k
y n u n h n u n n u k n k u k
= =
= = = =
Deoarece [ ]y n se exprim ca i suma eantioanelor lui [ ]u k anterioare momentului n , se poate afirma ca sistemul descris de [ ]2h n este un sumator.
b.
Semnalul [ ]1u n are expresia: [ ] [ ] [ ]1 1 1 2u n x n x n= Rezult, c:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
1 1 1 1
1 1 1 2
2
2
k k k
n n
k k
y n u k n k x k n k x k n k
x k x k v n v n
= = =
= =
= = =
= =
unde [ ] [ ]1 1n
k
v n x k=
= i [ ] [ ]2 1 2n
k
v n x k=
=
Probleme propuse pentru examenul de SEMNALE I SISTEME
12
-2 0 2 4 6 8 100
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
n
v1[n]
-2 0 2 4 6 8 100
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
n
v2[n]
-2 0 2 4 6 8 100
0.5
1
1.5
2
2.5
3
n
y1[n]
Semnalul [ ]2x n se poate pune sub forma: [ ] [ ] [ ]2 1 1 3x n x n x n= . Avnd n vedere, c sistemul considerat este liniar i invariant n timp, rezult c:
[ ] [ ] [ ]2 1 1 3y n y n y n=
-2 0 2 4 6 8 10-3
-2
-1
0
1
2
3
n
y2[n]
Pentru [ ]3x n , avem: [ ] [ ] [ ] [ ]3 1 1 13 2 3x n x n x n x n= + + + . Utiliznd proprietatea de liniaritate i invariana n timp, avem:
[ ] [ ] [ ] [ ]3 1 1 13 2 3y n y n y n y n= + + +
Probleme propuse pentru examenul de SEMNALE I SISTEME
13
-4 -2 0 2 4 6 80
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
n
y3[n]
c.
[ ] [ ] [ ]2u n n n = [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ] [ ] [ ]2 2y n u n n n n n n n h n = = = =
-2 0 2 4 6 8 100
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
n
y[n]
Problema 3
Se consider SLIT discret din figura P3.1. tiind, c [ ] [ ] [ ]2 2h n n n = i c rspunsul la impuls al sistemului are graficul din figura P3.2, determinai: a. Expresia analitic a lui [ ]1h n . b. Rspunsul sistemului la semnalul: [ ] [ ] [ ]1x n n n =
Figura P3.1
Probleme propuse pentru examenul de SEMNALE I SISTEME
14
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 80
2
4
6
8
10
12
nh[n]
Figura P3.2
Rezolvare Problema 3 a.
[ ] [ ] [ ]2 1h n n n = + [ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ]( ) [ ] [ ] [ ]2 2 1 1 2 1 2h n h n n n n n n n n = + + = + + [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ] [ ]1 2 2 1 1 1 12 1 2 2 1 2h n h n h n h n h n n n n h n h n h n = = + + = + +
Pentru
0n = [ ] [ ] [ ] [ ]1 1 1 11 0 2 1 2 0 1h h h h= + + = 1n = [ ] [ ] [ ] [ ]1 1 1 15 1 2 0 1 1 3h h h h= + + = 2n = [ ] [ ] [ ] [ ]1 1 1 110 2 2 1 0 2 3h h h h= + + = 3n = [ ] [ ] [ ] [ ]1 1 1 111 3 2 2 1 3 2h h h h= + + = 4n = [ ] [ ] [ ] [ ]1 1 1 18 4 2 3 2 4 1h h h h= + + = 5n = [ ] [ ] [ ] [ ]1 1 1 14 5 2 4 3 5 0h h h h= + + = 6n = [ ] [ ] [ ] [ ]1 1 1 11 6 2 5 4 6 0h h h h= + + = 7n = [ ] [ ] [ ] [ ]1 1 1 10 7 2 6 5 7 0h h h h= + + =
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 80
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
n
h1[n]
Probleme propuse pentru examenul de SEMNALE I SISTEME
15
b.
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ]1 1y n h n x n h n n n h n h n = = =
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8-6
-4
-2
0
2
4
6
n
y[n]
Problema 4 Se consider SLIT discret, cu rspunsul la impuls:
[ ] [ ]15
n
h n n =
a. Determinai constanta A astfel nct:
[ ] [ ] [ ]1h n Ah n n = b. Folosind rezultatul de la punctul a), determinai rspunsul la impuls [ ]g n , al sistemului
invers, sistemului cu rspunsul la impuls [ ]h n . Obs. Rspunsul la impuls [ ]g n satisface condiia: [ ] [ ] [ ]h n g n n = Rezolvare Problema 4 a.
[ ] [ ]15
n
h n n =
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
1
1
1 11 1
5 5
1 1 11
5 5 5
15 1
5
n n
n n
n
h n Ah n n A n
n A n
n A n
=
=
=
(1)
Este cunoscut relaia:
[ ] [ ] [ ]1n n n =
Probleme propuse pentru examenul de SEMNALE I SISTEME
16
Pentru ca membrul drept al relaiei (1) s fie proporional cu [ ]n este necesar ca 5 1A = . n acest caz relaia (1) devine:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]0
1 11
5 5
n
h n Ah n n n n = = =
Deci relaia propus este satisfcut, dac 1
5A = .
b.
[ ] [ ] [ ]h n g n n = (2) Dar
[ ] [ ] [ ]1 15
h n h n n = (3)
Membrul stng al relaiei (3) se scrie:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( )
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
1 11 1
5 51
15
11
5
h n h n h n h n n
h n n h n n
h n n n
=
=
=
(4)
De aceea relaia (3) se mai scrie:
[ ] [ ] [ ] [ ]1 15
h n n n n =
(5)
Identificnd membrii stngi ai relaiilor (2) i (5) se obine:
[ ] [ ] [ ]1 15
g n n n =
Problema 5 Fie
( ) ( ) ( )3 5x t t t = i
( ) ( )3th t e t= Calculai ( ) ( ) ( )y t x t h t= . Rezolvare Problema 5
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )30
3 5y t x t h t h x t d e t t d
= = =
n intervalul ( ) ( )5 3t t < < valoarea semnalului ( ) ( )3 5t t este diferit de zero. Se disting trei cazuri:
Probleme propuse pentru examenul de SEMNALE I SISTEME
17
Cazul I: 3t , ( ) 0y t =
Cazul II: 3 5t<
( )( )3 3 3
3
0
1
3
t te
y t e d
= =
Cazul III: 5t >
( )( ) ( )3 563 3
5
1
3
tt
t
e ey t e d
= =
Prin urmare, rezultatul convoluiei poate fi exprimat sub forma:
( )( )
( ) ( )
3 3
3 56
0, 3
1, 3 5
3
1, 5
3
t
t
t
ey t t
e et
<
= <
Probleme propuse pentru examenul de SEMNALE I SISTEME
18
Rezolvare Problema 6
Figura P6.2
a). ( ) ( )x t x t T= +
( ) ( ) ( ) ( )x t T x u T x u x t + = + = = unde u t =
( )( ) ( )y t x t h d +
=
( )( ) ( ) ( )y t T x t T h d y t +
+ = + =
n concluzie, semnalul ( )y t este periodic cu perioada T . b).
( )1( )n
x t t nT+
=
reprezint prelungirea prin periodicitate cu perioada T a semnalului ( )1x t ,
adic tocmai ( )x t . Ca urmare, se scrie: ( )1( ) ( )n
x t x t t nT+
=
=
1 1( ) ( ) ( )y t x t h t=
( )
1 1
1 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
T T
T
n n
y t x t h t x t t h t x t h t t
y t t y t t nT y t nT
+
=
= = = =
= = =
c).
Figura P6.3
Probleme propuse pentru examenul de SEMNALE I SISTEME
19
Cazul I. 0t < , ( )1 0y t =
Cazul II. 1 0t < , 0t [ )0,1t 10
( )t
y t d t= =
Cazul III. 1 0t , 2t < [ )1, 2t 11
( )t
t
y t d t
= =
Cazul IV. 1 2t , 2t [ )2, 3t 2
1
1
( ) 3t
y t d t
= =
Cazul V. 3t > ( )1 0y t = Reprezentarea grafic a semnalului ( )y t este cea din figura P6.4 de mai jos:
Figura P6.4
Problema 7
Se consider sistemul cu rspunsul la impuls: ( ) [ ] ( )n
h t h n t nT
=
= .
a. Demonstrai c dac la intrarea acestui sistem se aduce semnalul ( )x t :
( ) [ ] ( )n
x t x n t nT
=
=
atunci la ieirea sa se obine semnalul ( )y t :
( ) [ ] ( )n
y t y n t nT
=
=
Care este legtura dintre secvenele: [ ]x n , [ ]h n i [ ]y n ?
b. n continuare se consider c secvena [ ]h n este de durat limitat: [ ] 0h n = pentru 0n < i n . Desenai o form de implementare a sistemului considerat folosind amplificatoare, sumatoare i linii de ntrziere, care realizeaz o ntrziere cu T . Un astfel de sistem se numete filtru transversal.
Probleme propuse pentru examenul de SEMNALE I SISTEME
20
c. Care este legtura dintre semnalele de la intrarea i ieirea filtrului transversal de la punctul b). dac toate valorile nenule ale secvenei [ ]h n sunt egale cu 1 ? Cum ai denumi un astfel de sistem? d. Reprezentai grafic rspunsul sistemului de la punctul c) pentru 3 = la semnalul:
( ) ( ) ( )x t t t T =
Rezolvare Problema 7 a.
( )
( )
( ) ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] [ ]
[ ] [ ] ( ) [ ] [ ]
m n p
n n m
n p p n
y t x t h t x n h t nT x n h m t mT nT
x n h p n t pT x n h p n t pT
+ =
= = = =
= =
Dac se face notaia: [ ] [ ] [ ]
n
y p x n h p n= , rezult:
( )( ) [ ]p
y t y p t pT=
Relaia de legtur dintre secvenele [ ]x n , [ ]h n i [ ]y n este urmtoarea: [ ] [ ] [ ]y n x n h n= b.
1
0
( ) [ ] ( )
n
h t h n t nT
=
= Implementarea sistemului considerat folosind amplificatoare, sumatoare i linii de ntrziere cu T este prezentat n figura P7.1:
Figura P7.1
c. Relaia de legtur dintre semnalele de la ieirea i intrarea filtrului transversal de la punctul b) este de forma:
1
0
1( ) ( )
n
y t x t nT
=
= Un astfel de sistem s-ar putea numi "mediator".
Probleme propuse pentru examenul de SEMNALE I SISTEME
21
d.
( ) ( )( )x t t t T = Rspunsul sistemului de la punctul c) pentru semnalul ( )x t , definit cu relaia de mai sus, i
pentru 3 = este urmtorul: [ ]1( ) ( ) ( ) ( 2 )3
y t x t x t T x t T= + +
Reprezentarea grafic a lui ( )y t este cea din figura P7.2.
Figura P7.2
1. Probleme propuse Problema 1 Fie sistemul discret, liniar i invariant n timp cu rspunsul la impuls:
[ ] [ ] [ ]1h n n n = unde este un numr ntreg, 0 < . Rspunsul acestui sistem la semnalul de intrare [ ] [ ] [ ]10x n n n = va fi [ ]y n . S se determine valoarea lui astfel nct [ ]4 5y = i [ ]14 0y = . Problema 2
Calculai convoluia [ ] [ ] [ ]y n x n h n= , unde [ ]x n i [ ]h n sunt reprezentate n figura P2.1
-4 -2 0 2 4 6 80
0.5
1
1.5
n
x[n]
-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 180
0.5
1
1.5
n
h[n]
Probleme propuse pentru examenul de SEMNALE I SISTEME
22
Problema 3
Se consider un sistem n timp discret cu intrarea [ ]x n , i cu rspunsul la impuls [ ]h n , dat de
urmtoarele ecuaii: [ ]0, 0
, 0
nx n
n n
Probleme propuse pentru examenul de SEMNALE I SISTEME
23
3. SERII FOURIER
Problema 1
Se consider semnalele periodice [ ]1x n i [ ]2x n n timp discret de perioada, 4 = , avnd coeficienii seriei Fourier ka respectiv kb , 0 3 1a a= = , 1 2 2a a= = i 0 1b = , 1 1b = , 2 1b = , 3 1b = .
a. S se determine expresiile [ ]1x n i [ ]2x n . b. S se determine coeficienii seriei Fourier ai semnalului [ ] [ ] [ ]1 2g n x n x n= .
Rezolvare Problema 1 a.
[ ] 01
0
jk n
k
k
x n c e
=
= , unde 02
4 2
= =
[ ]33
2 2 21
0
1 2 2jk n j n j n
j n
k
k
x n a e e e e
=
= = + + +
[ ]33
2 2 22
0
1jk n j n j n
j n
k
k
x n b e e e e
=
= = + + + b.
[ ] [ ]3 3
2 2 2 21 2
3 322 2 2 2
3 5 3 52 2 32 2 2 2
3
2 2
1 2 2 1
1 2 2 2 2
2 2 2 2
6 6 6 6
j n j n j n j nj n j n
j n j n j n j nj n j n j n
j n j n j n j nj n j n j n j n
j n j nj n
x n x n e e e e e e
e e e e e e e
e e e e e e e e
e e e
= + + + + + + =
= + + + + + + + +
+ + + + + + + +
= + + +
Rezult, n final: 0 1 2 3 6c c c c= = = = Problema 2
Fie semnalul periodic, [ ]x n , avnd perioada fundamental, 5 = . Coeficienii seriei Fourier ataate semnalului sunt:
0 1c = , * /4
2 2jc c e = = ,
* /34 4 2
jc c e = =
S se exprime semnalul [ ]x n n forma:
[ ] ( )01
sink k kk
x n A A n
=
= + +
Probleme propuse pentru examenul de SEMNALE I SISTEME
24
Rezolvare Problema 2
[ ]2
k
jk njk n
k k
k k
x n c e c e
= =
= =
[ ]2 2 2 2
2 2 4 4
0 2 2 4 4
2 2 2 22 2 4 4
4 5 4 5 3 5 3 51 2 2
41 2cos 4c
5 4
j n j n j n j n
j j n j j n j j n j j n
x n c c e c e c e c e
e e e e e e e e
n
= + + + +
= + + + +
= + + +
8os
5 3
4 3 8 51 2sin 4sin
5 4 5 6
n
n n
+
= + + + +
Problema 3 Se consider semnalul periodic n timp discret cu graficul din figur:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-1
0
1
2
3
4
n
x[n]
a. S se determine coeficienii seriei Fourier exponeniale ataate semnalului b. Evaluai puterea semnalului pe baza eantionelor [ ]x n i apoi pe baza coeficienilor kc . Rezolvare Problema 3 a.
Perioada semnalului, 4 = . Coeficienii seriei Fourier exponeniale se calculeaz, prin:
[ ]21
0
1 jk n
k
n
c x n e
=
= Pentru 0k = .
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]23 04
00
1 1 1 30 1 2 3 4 2 1 1
4 4 4 2
j n
n
c x n e x x x x
=
= = + + + = + + =
Probleme propuse pentru examenul de SEMNALE I SISTEME
25
Pentru 1k = .
[ ] [ ] ( )2 33 1 04 2 2
10
1 1 1 14 2 4 2 1 3 3
4 4 4 4
j n j jj
n
c x n e e e e e j j j
=
= = + + = =
Pentru 2k = .
[ ] [ ]23 2 0 2 34
20
1 1 14 2 4 2 1 1 1
4 4 4
j nj j j
n
c x n e e e e e
=
= = + + = + + = Pentru 3k = .
[ ] [ ] ( )2 3 93 3 0 34 2 2
30
1 1 1 14 2 4 2 1 3 3
4 4 4 4
j n j jj
n
c x n e e e e e j j j
=
= = + + = + + = +
b.
[ ] [ ] ( )21 1
16 4 1 1 5.54 4x n
P x n W= = + + + = 2 2
2 3 3 3 31 91 5.5
4 4 16 16kc kj j
P c W +
= = + + + = Deci:
[ ] kcx nP P=
Problema 4
Se consider semnalul [ ]x n dat de expresia:
[ ] [ ]4k
x n n k
=
= .
Acest semnal se aplic la intrarea unui SLIT, avnd rspunsul n frecven, ( )jH e . Ieirea
sistemului este: [ ] 5cos2 4
y n n = +
. Determinai valorile funciei de transfer, ( )2jkH e
pentru 0,3k = .
Rezolvare Problema 4 Semnalul [ ]x n este periodic, avnd perioada 4 = . Coeficienii seriei Fourier sunt:
[ ]234
0
1 1
4 4
jk n
k
n
c x n e
=
= =
[ ] ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )
32 / 4 2 / 4
0
/ 2 / 2 3 / 2 3 / 20 01 1 1 1
4 4 4 4
j k j n
k
k
j j n j j n j j nj j n
ky n c H e e
H e e H e e H e e H e e
=
=
= + + +
Probleme propuse pentru examenul de SEMNALE I SISTEME
26
[ ]3
2 4 2 4 2 4 2 45 1 1 1 1cos cos2 4 2 4 2 2 2 2
j n j n j n j n
y n n n e e e e
+ + + = + = + = + = +
Prin identificare, avem:
( ) ( )0 0j jH e H e = = ( )( ) ( )2 42j jH e e = ( )( ) ( )3 2 42j jH e e =
Problema 5
Se consider semnalul periodic, ( )x t , de perioad 2T = , cu restricia la perioada principal:
( )1, 0 1
2 1 2rt
x tt
=
<
Probleme propuse pentru examenul de SEMNALE I SISTEME
27
Figura P5.3
( ) ( ) ( )1 1 2 2rdx t
A t t A t tdt
= +
Prin identificare, avem: 1 3A = , 2 3A = , 1 0t = , 2 1t = Problema 6
Se consider semnalul periodic, ( )x t n timp continuu:
( ) 2 52 cos 4sin3 3
x t t t = + +
S se determine frecvena fundamental, 0 , respectiv coeficienii seriei Fourier, kc . Rezolvare Problema 6
( ) 0jk tkk
x t c e
=
= . Utiliznd relaiile lui Euler, avem:
( )2 2 2 22 2 5 5 2 2 5 56 6 6 63 3 3 31 1 4 4 1 1 2 22 2
2 2 2 2 2 2
j t j t j t j tj t j t j t j t
x t e e e e e e e ej j j j
= + + + = + + +
Prin identificare, frecvena fundamental a semnalului ( )x t este: 26 3
= .
Coeficienii seriei Fourier ataate semnalului ( )x t , sunt: 0 2c = , 2 21
2c c= = ,
*5 5 2c c j= =
Problema 7
Fie semnalul periodic, ( )x t , avnd perioada fundamental, 8T = . Coeficienii seriei Fourier ataate semnalului sunt:
1 1 2c c= = , *
3 3 4c c j= =
S se exprime semnalul ( )x t n forma:
( ) ( )0
cosk k kk
x t A t
=
= +
Probleme propuse pentru examenul de SEMNALE I SISTEME
28
Rezolvare Problema 7
( ) 02
jk tjk t T
k k
k k
x t c e c e
= =
= =
( )2 2 2 2
3 3
1 1 3 3
2 2 2 23 3
8 8 8 82 2 4 4
6 34cos 8sin 4cos 8cos
4 8 4 4 2
j t j t j t j tT T T T
j t j t j t j t
x t a e a e a e a e
e e je je
t t t t
= + + +
= + +
= = + +
Problema 8 a. Exprimai legtura dintre coeficienii dezvoltrii n serie Fourier ai semnalelor periodice de la intrarea i ieirea unui sistem liniar i invariant n timp continuu. b. n figura P8.1 sunt prezentate caracteristicile de frecven ale unui filtru. Determinai rspunsul acestuia pentru semnalul de mai jos: ( ) cos(4 );x t t = +
Figura P8.1
Rezolvare Problema 8 a.
2
( )x
jk tT
k
k
x t c e
=
( )2 2 2 22( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x x x
jk t jk jk t jk tT T T T
k k k
k k k
y t x t h t c e h d c h e d e c H k eT
= = = =
Se observ c:
2y xk k
c c H kT
=
Probleme propuse pentru examenul de SEMNALE I SISTEME
29
b.
( ) ( )4 4 4 41 1 1( )2 2 2
j t j t j j t j j tx t e e e e e e + + = + = +
1
1;
2xjc e = 1
1;
2xjc e =
2(4 ) ,
3H = { }arg (4 )
2H
= ; 2( 4 ) ,
3H = { }arg ( 4 )
2H
= ;
221
2 1 1
3 2 3yjj
jc e e e
+ = = ;
221
2 1 1
3 2 3yjj
jc e e e
+ = = ;
4 42 21 1( )3 3
j jj t j ty t e e e e
+ + = +
2 ;j
e j
= 2 ;j
e j
=
( ) ( )4 41 1 1 2( ) 2 sin 4 sin 43 3 3 3
j j t j j ty t j e e j e e j j t t = = + = +
( )2( ) sin 43
y t t = +
Problema 9
Fie ( )1x t un semnal periodic n timp continuu cu frecvena fundamental, 1 , avnd coeficienii seriei Fourier ka . Pentru semnalul,
( ) ( ) ( )2 1 11 1x t x t x t= + care este frecvena fundamental, 2 a semnalului ( )2x t n legtura cu 1 ? Gsii relaia de legtura dintre coeficienii seriei Fouriei, kb , ai semnalului ( )2x t i coeficienii ka . Rezolvare Problema 9
Semnalele ( )1 1x t i ( )1 1x t au perioada fundamental, 11
2T
= . Deoarece ( )y t este o
combinaie liniar a semnalelor ( )1 1x t i ( )1 1x t , este periodic cu perioada fundamental
21
2T
= . Prin urmare, 2 1 = . Folosind tabelele, rezult:
( ) ( )12 /1 1jk T
kx t a e
( ) ( )12 /1 1jk T
kx t a e
n final, avem:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 12 / 2 /1 11 1jk T jk T jk
k k k kx t x t a e a e e a a
+ + = + .
Probleme propuse pentru examenul de SEMNALE I SISTEME
30
1. Probleme propuse Problema 1
Fie [ ]; 0 7
; 8 9
nx n
n
=
1
0 un semnal periodic, cu perioada fundamentala 10 = i coeficienii
dezvoltrii n serie Fourier ka . Se consider semnalul [ ] [ ] [ ]1g n x n x n= . a. Artai c [ ]g n are perioada fundamental egal cu 10 i reprezentai-l grafic. b. Determinai coeficienii dezvoltrii lui [ ]g n n serie Fourier. c. Folosind coeficienii dezvoltrii lui [ ]g n n serie Fourier i proprietile coeficienilor seriei
Fourier, determinai ka pentru 0k . Problema 2
Fie semnalul ( )x t , n timp continuu, avnd pulsaia fundamental, 0 = :
( )1.5, 0 1
1.5, 1 2
tx t
t
Probleme propuse pentru examenul de SEMNALE I SISTEME
31
4. TRANSFORMATA FOURIER
1. Probleme rezolvate Problema 1 Fie SLIT, caracterizat de ecuaia cu diferene finite:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]6 5 1 2 6 1y n y n y n x n x n + = + a. S se determine rspunsul n frecven al sistemului, ( )H . b. S se afle rspunsul la impuls al sistemului, [ ]h n . c. Dai o posibil implementare a sistemului, utiliznd sumatoare, amplificatoare i circuite de
ntrziere. Rezolvare Problema 1
a.
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]6 5 1 2 6 1y n y n y n x n x n + = + Aplicm transformata Fourier asupra ecuaiei cu diferene finite, rezult:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )26 5 6j j jY e Y e Y X e X + = + ( ) ( ) ( )( )26 5 6j j jY e e X e + = +
( ) ( )( ) ( )( )2
6 6
6 5 3 2
j j
j j j j
Y e eH
X e e e e
+ + = = =
+
b.
( ) ( )( ) ( )( )6 2 3
3 23 2 3 2
j j j
j jj j j j
e A B A Ae B BeH
e ee e e e
+ + = = + =
2 3 6
1
A B
A B
+ = =
Rezult din sistemul de mai sus: 8B = i 9A = .
( ) 9 83 2j j
He e
= +
( ) 9 8 3 41 11 1 1 13 1 2 13 23 2
j jj j
H
e ee e
= + = +
Utiliznd tabelele, rezult n final: [ ] [ ] [ ]1 13 43 2n n
h n n n = +
Probleme propuse pentru examenul de SEMNALE I SISTEME
32
c.
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]0 1 2 0 1 21 2 1 2a y n a y n a y n b x n b x n b x n+ + + = + + + [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]6 5 1 2 6 1y n y n y n x n x n + = +
Prin identificare, avem:
0 6a = , 1 5a = , 2 1a = , 0 6b = , 1 1b = , 2 0b = .
Problema 2 Un sistem discret are spectrele semnalelor de intrare i ieire legate prin ecuaia:
( ) ( ) ( ) ( )2 jdX
Y X e X jd
= +
a. Este sistemul n cauz liniar? b. Dar invariant n timp? c. Care este expresia rspunsului sistemului considerat la semnalul [ ]n ? Rezolvare Problema 2 Folosind tabelele, avem:
( ) [ ]Y y n , ( ) [ ]X x n , ( ) [ ]1je X x n , ( ) [ ]dX
j nx nd
Aplicnd TFD invers asupra ecuaiei, se obine:
[ ] [ ] [ ] [ ]2 1y n x n x n nx n= + a. Dac: [ ] [ ] [ ]1 1 2 2x n a x n a x n= + , atunci avem: [ ] [ ] [ ]1 1 2 2y n a y n a y n= +
[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]
1 1 1 1
2 2 2 2
2 1
2 1
y n x n x n nx n
y n x n x n nx n
= +
= +
Probleme propuse pentru examenul de SEMNALE I SISTEME
33
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]{ } [ ] [ ] [ ]{ }
[ ] [ ]
1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 2 2 2 2
1 1 2 2
2 1 2 1
2 1 2 1
y n a x n a x n na x n a x n a x n na x n
a x n x n nx n a x n x n nx n
a y n a y n
= + + +
= + + +
= +
Sistemul considerat este liniar.
b.
Dac [ ]{ } [ ]dS x n y n= atunci [ ]{ } [ ]0 0dS x n n y n n = , 0n
[ ]{ } :dS x n [ ] [ ] [ ] [ ]2 1y n x n x n nx n= + [ ]{ } [ ] [ ] [ ]0 0 0 02 1dS x n n x n n x n n nx n n = +
[ ] [ ] [ ] ( ) [ ]0 0 0 0 02 1y n n x n n x n n n n x n n = + [ ]{ } [ ]0 0dS x n n y n n
Sistemul nu este invariant n timp
c.
Notm rspunsul sistemului la semnalul [ ] [ ]x n n= cu [ ]h n .
[ ] [ ]{ } [ ] [ ] [ ]2 1dh n S n n n n n = = + tiind, c:
[ ]1, 0
0, 0
nn
n
==
Rezult, n final:
[ ] [ ] [ ]2 1h n n n = +
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40
0.5
1
1.5
2
2.5
3
n
h[n]
Probleme propuse pentru examenul de SEMNALE I SISTEME
34
Problema 3 Se consider sistemul din figura P3.1:
Figura P3.1
a. Determinai, n funcie de [ ]1h n , rspunsul la impuls al sistemului b. Pentru ( ) ( )1 cosH = , determinai rspunsul sistemului considerat la semnalul
[ ] ( )cos 24
x n n = +
Rezolvare Problema 3 a.
[ ] [ ] [ ] ( ) [ ]{ }1 11 ny n x n h n h n= [ ] [ ] ( ) [ ]1 11
nh n h n h n=
b.
( ) ( )1 cosH =
( ) ( ) ( ) [ ]{ }( )1 11 nH H h n = F
Termenul ( ) [ ] [ ]1 11n j nh n e h n = are TFD ( )1H
[ ] ( )1 1j ne h n H
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )cos cos cos cos 2cosH = = =
[ ] ( )cos 2 cos sin4 4 2 4
x n n n n = + = + =
Folosind metoda armonic, semnalul [ ]y n se calculeaz prin: [ ] ( ) ( ){ }0 0 0sin argy n A H n H = +
Prin identificare, avem:
0 4
= .
[ ] sin arg4 4 4
y n H n H = +
Probleme propuse pentru examenul de SEMNALE I SISTEME
35
22cos 2 2
4 4 2H
= = =
arg 04
H =
n final: [ ] 2 sin4
y n n =
Problema 4 Se consider sistemul numeric cu schema din figura P4.1:
Figura P4.1
a. Determinai ecuaia cu diferene finite ce caracterizeaz sistemul considerat b. Determinai rspunsul n frecven al sistemului c. Reprezentai grafic modulul rspunsului n frecven d. Calculai rspunsul sistemului, [ ]y n , dac [ ] [ ]x n n= i apoi pentru [ ] ( )10cosx n n= Rezolvare Problema 4 a.
Probleme propuse pentru examenul de SEMNALE I SISTEME
36
[ ] [ ] [ ] [ ]0 1 21 2y n b x n b x n b x n= + + Prin identificare, avem: 0 1 2 1 3b b b= = =
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( )
[ ]2
0
1 1 1 11 2 1 2
3 3 3 31
3 k
y n x n x n x n x n x n x n
x n k=
= + + = + +
=
Deci,
[ ] [ ]2
0
1
3 ky n x n k
=
= b. Folosind tabelele, avem
[ ] [ ] ( ) ( )2 2
0 0
1 1
3 3j k
k k
y n x n k Y e X
= =
= =
( ) ( )( ) ( )
3 3 32 2 2
32
0 2 2 2
22
1 1 1 1
3 3 1 3
3 3sin sin
1 12 23 3sin sin
2 2
j j j
jk
j
jj j jk
jj
e e eY e
H eX e
e e e
e e
=
= = = = =
= =
Deci,
( )
3sin
1 23 sin
2
jH e
=
c.
( )
3sin
1 23 sin
2
H
=
Obs. 2sin 3 sin 3 4sin2 2 2
=
Rezult:
Probleme propuse pentru examenul de SEMNALE I SISTEME
37
( )2
2
sin 3 4sin1 12 2
3 4sin3 3 2sin
2
H
= =
d.
[ ] [ ]x n n=
[ ] [ ] [ ] [ ]( )1 1 23
y n n n n = + +
Pentru [ ] ( )10cosx n n= [ ] ( ) ( ){ }( )0 0 0cos argy n A H n H= +
Prin identificare, rezult:
10A = , 0 =
( )01
3H =
( ){ }0arg H =
[ ] ( ) ( )( )1 1010 cos cos 13 3
y n n n = =
Problema 5 Un sistem discret liniar i invariant n timp (DLIT) este descris de ecuaia diferenial cu diferene finite:
[ ] [ ] [ ] [ ]2 1 2 1y n y n x n x n+ = + a. Determinai i reprezentai grafic funcia de transfer ( )H a sistemului. Gsii i
reprezentai grafic funcia pondere [ ]h n a sistemului. Ce denumire are un astfel de sistem? b. Determinai i reprezentai grafic rspunsul sistemului pentru semnalul [ ]x n din figura P5.1,
dac [ ] [ ] [ ]1h n n n = .
Probleme propuse pentru examenul de SEMNALE I SISTEME
38
c. Schiai o form de implementare a sistemului folosind un numr minim de celule de ntrziere.
-5 0 50
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
n
x[n]
Figura P5.1
Rezolvare Problema 5 a.
[ ] [ ] [ ] [ ]2 1 2 1y n y n x n x n+ = + Aplicm transformata TFD asupra ecuaiei cu diferene finite, rezult:
( ) ( ) ( ) ( )2 2j jY e Y X e X + = + ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2j jY e X e + = +
( ) ( )( )
1 21
1 2
j
j
Y eH
X e
+ = = =
+
Din tabel:
[ ] [ ]h n n= Sistemul se numete: filtru trece-tot
-5 0 50
0.5
1
1.5
n
h[n]
Probleme propuse pentru examenul de SEMNALE I SISTEME
39
b.
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ]1 1y n x n h n x n n n x n x n = = = Deci
[ ] [ ] [ ]1y n x n x n= c.
n cazul de fa, avem:
Problema 6
Fr a determina efectiv ( )X pentru semnalul din figur:
-4 -2 0 2 4 6 8-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
n
x[n]
Figura P6.1
Probleme propuse pentru examenul de SEMNALE I SISTEME
40
a. Calculai ( )0X .
b. Calculai ( )X d
.
c. Calculai ( )X . d. Schiai semnalul care are transformata ( ){ }Re X .
e. Calculai ( )2
X d
.
Rezolvare Problema 6 a.
( ) [ ]0 6n
X x n
=
= =
b.
[ ] ( )12
jnx n X e d
=
[ ] ( ) ( ) [ ]10 2 0 42
x X d X d x
= = =
c.
( ) [ ]
( ) [ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 2 1 0 1 2
3 4 5 6 7 8
1
1 1 1 0 1 1 1 2 1 1 1 0
1 1 1 2 1 1 1 0 1 1 1 0
1 1 2 1 1 2 1 1 2
jn
n
n
n
X x n e
x n
=
=
= =
= =
= + + + + + +
+ + + + + +
= + + + =
d.
[ ] ( )x n X
[ ] [ ] [ ] ( )m n
jn jm
n n
x n x n e x m e X
=
= =
= =
[ ] [ ] ( ) ( ) ( ){ }2Rex n x n X X X+ + = [ ] [ ] [ ] ( ){ }Re
2 px n x n
x n X+
= =
( ) [ ] jnn
X x n e
=
=
Probleme propuse pentru examenul de SEMNALE I SISTEME
41
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
-1
0
1
2
x[n]
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
-1
0
1
2
x[-n]
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
-1
0
1
2
n
xp[n]
e.
( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )
22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 1 0 1 2 1 0 1 2 1 0 1
2 14 28
n
X d x n
=
= = + + + + + + + + + +
= =
Problema 7
Se consider sistemul liniar i invariant n timp cu rspunsul n frecven: ( )11
1
jH
j
=+
.
a. Exprimai i schiai dependena de frecven a modulului i argumentului acestui rspuns n frecven. Care este expresia rspunsului la impuls al sistemului considerat ? b. Determinai rspunsul sistemului considerat la semnalul ( )1 cosx t A t= . c. Repetai punctul b) pentru semnalul ( ) ( )2 tx t e t= . Reprezentai grafic rezultatul obinut.
d. Se consider sistemul liniar i invariant n timp cu rspunsul n frecven: ( )210
10
jH
j
=+
.
Reprezentai grafic caracteristicile Bode ale sistemului obinut prin conectarea n cascad a sistemelor cu rspunsurile n frecven ( )1H i ( )2H . Cum ai denumi un astfel de sistem? n ce situaii credei c este util folosirea sa?
Probleme propuse pentru examenul de SEMNALE I SISTEME
42
Rezolvare Problema 7
a.
( ) ( )2 2
1 2 2
11 1 2
1 1 1
jj jH
j
= = =+ + +
( )1 1H = ( ){ } { } { } { } { }1arg arg 1 arg 1 2H j j arctg arctg arctg = + = =
n figura P1.1 a.) se prezint modulul lui ( )1H , iar n figura P1.1 b.) se reprezint argumentul lui ( )1H .
a). b).
Figura P7.1
( )11 1 2 2
11 1 1 1
j jH
j j j j
= = + = ++ + + +
( ) ( ) ( )1 2 th t t e t = + b.
( )1 cos 2 2jt jtA Ax t A t e e= = +
Rezult:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 1 1
1 11 1
2 2 2 1 1
1 2 1 1 2 1
2 2 2 2
2 sin sin2 2
jt jt jt jt
jt jt jt jt
jt jt
A A A j jy t H e H e e e
j j
A j j Ae e j e j e
jA jAe e j t A t
+= + = + = +
+ = + = + =
= = =
Probleme propuse pentru examenul de SEMNALE I SISTEME
43
c.
( ) ( ) ( )2 21
1tx t e t X
j
= =
+
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 1 2 2
11 1
1 1 11 1
j j A BY X H
j j jj j
= = = = + =
+ + ++ +
( )21 1
1 21
A B AA B j A
A Bj
+ = = + +=
= =+
( )( )
( ) ( ) ( )21 2
21 1
t tY y t e t t e tj j
= + = + + +
n figura P7.2 se prezint variaia temporal a lui ( )y t .
Figura P7.2
d).
( )210
10
jH
j
=+
Prin conectarea n cascad a sistemelor cu rspunsurile n frecven ( )1H i ( )2H se obine un sistem avnd urmtorul rspuns n frecven:
( ) ( ) ( )1 21 10
1 10
j jH H H
j j
= = + +
( )20log 0H = n figura P7.3 se prezint variaia frecvenial a lui ( )20log H .
Figura P7.3
Probleme propuse pentru examenul de SEMNALE I SISTEME
44
( ){ } { } { }2arg arg 10 arg 10 2 10H j j arctg
= + =
n figura P7.4 se reprezint caracteristicile Bode ale sistemului obinut.
Figura P7.4
Observaii:
Sistemul este un filtru trece-tot; Se poate utiliza pentru corecii de faz.
Problema 8
Relaia dintre semnalele de intrare ( )x t i ieire ( )y t ale unui sistem liniar i invariant n timp, cauzal este:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )10 5dy t
y t x z t d x tdt
+
+ = unde ( ) ( ) ( )6 99 tz t t e t = +
a. Determinai rspunsul n frecven al sistemului, ( )H i schiai-i caracteristicile Bode. b. Determinai rspunsul la impuls al sistemului. Rezolvare Problema 8
a.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )10 5dy t
y t x z t d x tdt
+
+ = unde
( ) ( ) ( )6 99 tz t t e t = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( )10 5
dy ty t x t z t x t
dt+ =
Se aplic transformata Fourier asupra ecuaiei de mai sus, rezult:
Probleme propuse pentru examenul de SEMNALE I SISTEME
45
( ) ( ) ( ) ( )9910 6 51
j Y Y X Xj
+ = + +
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )99 10010 1 101 1
jY j X Y j X
j j
+
+ = + + = + +
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
1100 100101 10 1 1
10
jY jH
X j jj j
++= = =
+ + + +
n figura P8.1 sunt prezentate variaiile lui ( )20log H i ( ){ }arg H n funcie de frecven.
Figura P8.1
b).
Probleme propuse pentru examenul de SEMNALE I SISTEME
46
( )1 1
10
A BH
jj
= ++ +
;
( ) ( )1 99
1 1100 100 1001 10 10 10
1 91 11 110 10 10
j
A j Hj j
j
+ = + = = = =
= =+
99 10 11 1110 10 10 11
100 9 10 10A A= = = =
( )( )
91
100 101 10 1010 1010 1 9
j
B j Hj jj
+ = + = = = = = +
10 91
9 10= =
( ) 11 11 1
10
Hj
j
= + +
( ) ( ) ( )1011 10t th t e t e t = Problema 9 Se d sistemul cu rspunsul la impuls:
( ) ( )1
0
1
n
h t t nT
=
= a. Cum se numete un astfel de sistem? b. Determinai expresia rspunsului n frecven al acestui sistem. c. Reprezentai grafic dependena de frecven a modulului i argumentului acestui rspuns pentru 2 = .
Rezolvare Problema 9 a.
( ) ( )1
0
1
n
h t t nT
=
= Un astfel de circuit este un "mediator". b.
( )( )1
0
11 1
1
j T
j nT
j Tn
eH e
e
=
= =
c.
Probleme propuse pentru examenul de SEMNALE I SISTEME
47
Avem 2 = . Rezult n continuare:
( ) ( )2
2
1 1 11
2 1 2
j Tj T
j T
eH e
e
= = +
( ) ( )21
1 cos sin2
H T j T = +
( ) ( )2 221 1
1 cos sin 1 2cos 12 2
H T T T = + + = + + =
21 1cos cos 2 cos2 2 22 2
T T T = = =
( ){ }22
2sin cossin 2 2arg1 cos 22cos
2
T TT T
H arctg arctg arctg tgTT
= = = +
n figura P9.1 sunt prezentate variaiile n frecven ale modulului (Figura P9.1a) i argumentului (Figura P9.1b) funciei ( )2H .
a).
b).
Figura 9.1
Probleme propuse pentru examenul de SEMNALE I SISTEME
48
Problema 10
Se consider semnalul ( )x t cu transformata Fourier ( )X al crei grafic este reprezentat n figura P10.1 i semnalul ( )p t periodic cu pulsaia fundamental, 0 . a. Determinai transformata Fourier a semnalului ( ) ( ) ( )y t x t p t= . b. Schiai spectrul lui ( )y t pentru fiecare dintre urmtoarele alegeri ale lui ( )p t :
1). ( ) cosp t t= ; 2). ( ) ( )n
p t t n
=
= ; 3). ( ) ( )4n
p t t n
=
= .
Figura P10.1
Rezolvare Problema 10 a).
( ) ( ) ( )y t x t p t= ( ) ( ) ( )12
Y X P
=
0( ) jk tkk
p t c e= ( ) ( )02 k
k
P c k =
( ) ( )0kk
Y c X k = b).
( ) cosp t t= ; 1 11
2c c= = i 0kc = { }1,1k
( ) ( ) ( )1 11 12 2
Y X X = + +
n figura P10.2 este reprezentat spectrul de frecven ( )Y pentru semnalul ( )p t definit la punctul b).1.
Probleme propuse pentru examenul de SEMNALE I SISTEME
49
Figura P10.2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )22n
p t t n t P
=
= = =
( ) ( ) ( ) ( )21 1
2 22 n
Y X X n
= =
n figura P10.3 este reprezentat spectrul de frecven ( )Y pentru semnalul ( )p t definit la punctul b).
Figura P10.3
( ) ( ) ( )44n
p t t n t
=
= = ( ) ( )12
1
2P =
( ) ( ) ( ) ( )12
1 1 1 1 1
4 4 2 4 2k kY X X k X k
= = =
n figura P10.4 este reprezentat spectrul de frecven ( )Y pentru semnalul ( )p t definit la punctul b).
Figura P10.4
Probleme propuse pentru examenul de SEMNALE I SISTEME
50
1. Probleme propuse Problema 1
Fiind date semnalele: ( ) ( ) ( )1 1 1x t t t = + + i ( ) ( ) ( ){ }2 2 2d
x t t tdt
= + .
a. S se reprezint grafic ( )1x t i ( )2x t n domeniul timp. b. S se calculeze transformate Fourier corespunztoare ( )1X i ( )2X . c. S se reprezinte grafic modulul funciilor ( )1X i ( )2X . Problema 2 Pentru un sistem liniar i invariant n timp, ecuaia ce descrie legtura ntre intrare i ieire este:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )10 5dy t
y t x z t d x tdt
+ = , unde ( ) ( ) ( )9 6tz t e t t = + .
a. Determinai rspunsul n frecven al sistemului ( )H . Ce denumire are un astfel de sistem. Reprezentai grafic caracteristicile BODE (modulul i argumentul).
b. Determinai ( )h t pentru acest sistem. c. Determinai rspunsul sistemului la semnalul ( ) 5cos10x t t= . Problema 3 Se consider sistemul descris de ecuaia diferenial:
( ) ( ) ( ) ( )1 110 10
dy t dy ty t x t
dt dt+ =
a. S se determine rspunsul n frecven al sistemului b. Reprezentai grafic diagramele BODE pentru acest sistem c. Utiliznd aceste diagrame, s se determine semnalul de la ieirea sistemului considerat, dac
la intrare se aplic semnalul: ( ) cos100x t t= Problema 4 Fie sistemul din figura P4.1:
Figura P4.1
unde ( ) ( )sin 4 t
x tt
= , ( ) ( )2cos 2p t t= i rspunsul la impuls este dat prin:
( ) ( ) ( )1 3sin 4 2cos 8h t t t = + + .
Probleme propuse pentru examenul de SEMNALE I SISTEME
51
a. Determinai i reprezentai grafic ( )R , transformata Fourier a semnalului ( )r t . b. Determinai i reprezentai grafic ( )H . c. Determinai i reprezentai grafic semnalul ( )y t . d. Repetai punctul c), dac ( ) ( )r t x t= . Problema 5
Se consider sistemul, avnd rspunsul la impuls: ( ) sin 6 cos12th t tt
= .
a. Determinai i reprezentai grafic funcia de transfer a sistemului, ( )H . b. Determinai rspunsul sistemului la semnalul de intrare ( ) cos 2 sin10x t t t = + . c. Ce fel de filtru este acesta? Justificai rspunsul! Problema 6
Notnd cu ( )X transformata Fourier a semnalului ( )x t , cu reprezentarea grafic din figura P6.1:
Figura 6.1
Determinai fr a calcula explicit, ( )X : a.) ( )0X ;
b.) ( )X d
;
c.) ( ) sinX d
d.) Schiai transformata Fourier inverrs a lui ( ){ }Re X .
Probleme propuse pentru examenul de SEMNALE I SISTEME
52
Problema 7
Se consider SLIT discret, cu rspunsul la impuls: [ ] [ ] [ ] [ ]1 11 12 2
h n n n n = + + +
a. Calculai i reprezentai grafic funcia de transfer, ( )H , i artai (pe baza graficului obinut) c acest sistem este un filtru trece jos.
b. Determinai rspunsul [ ]y n al sistemului considerat la semnalul [ ] sin2
x n n
= .
c. Reprezentai grafic spectrul de amplitudine i spectrul de faz al semnalului [ ]y n . Problema 8 Un sistem liniar i cauzal este descris de ecuaia cu diferene finite:
[ ] [ ] [ ] [ ]1 1y n ay n bx n x n = + , a , 1a < a. Determinai funcia de transfer a sistemului, ( )H b. Pentru ce valoare b se obine ( ) 1H = , pentru ? Ce denumire are un astfel de sistem? c. Schiai ( ){ }arg H pentru 0.5a = n condiiile de la punctul b. Problema 9
Fiind dat sistemul n timp discret [ ]x n , cu spectrul, ( )X , avnd restricia la perioada
principal, ( ) cos2 2r
X
= +
.
Schiai spectrele semnalelor [ ] [ ] [ ]z n x n p n= pentru fiecare dintre secvenele [ ]p n , de mai jos: a. [ ] cosp n n=
b. [ ] cos2
p n n
=
c. [ ] [ ]2k
p n n k
=
=