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1
1.- Para elevar la temperatura en 1 K de un gas desconocido se necesitaapor tar 650 J de energía si se hace a volumen constante y 910 J si elproceso es a presión constante. ¿De quégas se trata?
En el proceso a volumen constante la energía aportada aumenta la energía interna delgas,. En el proceso a presión constante se aumente la energía libre del gas. Ambas
magnitudes termodinámicas están relacionadas
32260
8,31.10M
M
1000
1*8,31
260n
nR ΔR ΔV p260650910 pΔΔΔUΔH
3
El gas debe ser O2.
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2
2
2.-Diez moles de un gas se encuentran a la temperatura de 293 K y a lapresión de 1 atmósfera. El calor específico de este gas a volumenconstante es 19,6 J/molK. A dicho gas se le sumini stran 10 4 J de calor apresión constante. Calcular la variación de energía interna del gas y el
trabajo ejecutado.
Dado que el calor se le suministra a presión constante la variación de entalpia del
proceso vale H = 104 J.
329K 293
8,319,610
10T
TR Cn
ΔHTTTR CnTTnC10ΔH
4
F
IV
FIFVIF p4
J7,1.103619,610TTnCΔU 3IFV
J2,9.10107,1.10WWQΔU 343
El criterio de signos utilizado es que lo que recibe el sistema es positivo y lo que
desprende o ejecuta negativo.
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3
3.- Un recipiente cil indro se encuentra dividido en dos mi tades igualesmediante un pistón que carece de masa y puede moverse sin rozamiento.
Ambas mi tades conti enen el mismo gas ideal ( C V = 20,9K mol
J
)a la
presión P = 1 atm, T=300K y V=5 L . Las paredes del cil indr o así como elpistón son impermeables al calor. El gas contenido en la mitad izquierdarecibe calor mediante una resistencia eléctr ica alojada en esa mi tad, demodo que su temperatura se eleva a T 1 = 500K. El pistón se desplaza ycompr ime al gas de la parte derecha. a) Calcular la presión, temperaturay volumen de cada gas una vez alcanzado el equi l ibr io , b) determinar elcalor recibido por el gas de la izquierda
a) El gas contenido en la parte derecha se comprime adiabáticamente, hasta alcanzar una
presión que designamos con , siendo su temperatura T2 y su volumen V2. El gas de la
parte izquierda, una vez alcanzado el equilibrio, se encuentra a la presión , ocupa unvolumen V1 y su temperatura es T1= 500K.
Las ecuaciones que rigen el proceso son:
)4(
T
ρV
T
PV
)3(T
ρV
T
PV
)2(ρVPV
)1(VV2V
2
2
1
1
γ
2
γ
21
De la ecuación (4) despejamos V2 y lo llevamos a la (2).
γ
2γ1γ1
γ
γ
2γγ
γ1γ
γ
2γ22 TρTPT
TVPρPV
ρT
PVTρPV
ρT
PVTV
(5)
De la ecuación (5) despejamos T2 y el resultado lo llevamos a la (4)
1γ
1
γ
1
1γ1
1
1γ
1
γ1
γ1
γγ1
1
V2VρVPTP
V2Vρρ
T
PV
ρ
TP
V2Vρ
T
PV
(6)
En la ecuación (6) sustituimos V1 despejado de la (3)
1γ
1
1γ
1
γ
1
1
1γ
1
γ
1
1γ
1
γ
1
1γ
1
γ
1
ρPT2TρTPT
PVTρ2Vρ
ρT
PVTρ2Vρ
ρT
PVT2VρVP
La última ecuación solamente contiene como incógnita , pero es necesario resolverla por tanteo. Sustituimos los valores numéricos
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4
1,420,9
8,320,9
C
R C
C
CγR CC
V
V
V
PVP
0,2860,7140,2860,714
5ρ6ρ3500ρρ3002300
Damos valores a
1,5 atm 8,014 -4,453 3,561>3
1,3 atm 7,236 -4,639 2,5973
1,38 atm 7,551 -4,560 2,991
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5
4.- En un recipiente se colocan los líquidos inmiscibles tetraclorur o decarbono (CCl 4 ) y agua ( H 2 O) . La presión atmosférica es 1 atmósfera y aesta presión l as temperaturas de ebull ición para ambos líquidos sonrespecti vamente 76,7ºC y 100ºC. El recipiente se cali enta de modo
uniforme al baño María y la ebull ición en la superf icie de separación delos líquidos comienza a la temperatura de 65,5ºC. Determínese en la fasevapor la relación en masa del tetracloruro de carbono al agua.Datos. Presión de vapor del agua a 65,5 ºC = 25,9 kPaMasas atómicas C =12 , H=1 , O=16 , Cl = 35,5
Para mezclas inmiscibles se produce la ebullición cuando la presión de vapor, suma de
las presiones de vapor del tetracloruro y del agua, igualan a la presión exterior
kPa75,425,9101,3PPkPa25,9kPa101,3 p CCl4CCl4ext
El número de moles de cada componente en la fase de vapor es directamente
proporcional a las presiones de vapor
9,24)1612(9,25
)5,35412(*4,75
O)m(H
)m(CCl
O)M(H*O) p(H
)M(CCl*) p(CCl
O)m(H
)m(CCl
O)M(H*O)n(H
)M(CCl*)n(CCl
O) p(H
) p(CCl
O)n(H
)(CCln
2
4
22
44
2
4
22
44
2
4
2
4
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6
6
5.- Un ci l indro ver tical de sección S y cerrado por l os dos extremos, ll evaen su interior incorporado un embolo que se puede desplazar haciaarr iba o hacia abajo con facil idad, de esta manera el cil indro quedadividido en dos cámaras, una superi or, por encima del cil indr o y otra
inf er ior por debajo del mismo. La cámara superi or conti ene 1 mol de gasideal a la temperatura de 300K y en la infer ior 1 mol del mismo gas y a lamisma temperatura; en estas cir cunstancias el volumen de la cámarasuperi or es cuatro veces mayor que el de la inf er ior. Se pide para qué temperatura ocur re que el volumen de la cámara super ior sea tres vecesel de la inferi or
Cuando la temperatura es 300K, designamos a la altura de la cámara superior por hs y
la inferior por hi, siendo sus respectivos volúmenes Shs y Shi. Designamos con pe el
peso del émbolo
y con Ps y Pi las presiones en las dos cámaras. Aplicamos la ecuación de los gases
perfectos
4
Pi
hs
hiPiPshiSPihsSPs300R hiSPi;300R hsSPs
Se tiene que cumplir que la fuerza ejercida por el gas de la cámara superior más el peso
del émbolo sea igual a la fuerza ejercida por el gas de la cámara inferior
Ps3SPsPiS peSPi peSPs (1)
Para la nueva temperatura T, la relación de volúmenes es 3.Las alturas de las cámaras
son hst y hit y las presiones de los gases Pst y Pit respectivamente.
Aplicando la ecuación de los gases
3Pit
hsthitPitPsthitSPithstSPstTR hitSPit; TR hstSPst
hs
hi pe
hst
hit pe
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7
7
Se tiene que cumplir que la fuerza ejercida por el gas de la cámara superior más el peso
del émbolo es igual a la fuerza ejercida por el gas de la cámara inferior
Pst2SPstPitS peSPit peSPst (2)
De las ecuaciones (1) y (2) se deduce: Pst32PsPst2SPs3S
Se cumple la relación: hs+hi=hst+hit
K 421,932
15009T
3Pst
4T
Pst3
24
1500
3Pst
4T
4Ps
1500
3Pst
T
Pst
T
4Ps
300
Ps
300
PitS
TR
PstS
TR
PiS
300R
PsS
300R hithsthihs
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8
6.- Un mol de un gas ideal reali za el ciclo indicado en la figura infer ior
Calcular para cada una de las transformaciones y para el ciclo completoel trabajo y el calor puesto en juego, expresando los resultados enfunción de los parámetros que aparecen en l a f igur a y el coef iciente
adiabático .
El criterio de signos utilizado es que el trabajo y el calor son positivos cuando se dan al
sistema desde el exterior y son negativos cuando el sistema los proporciona al exterior.
0W;VVPW;0W;VVPW DA212CDBC121AB p
1212ciclo
2121212121CDABciclo
VVPPW
PPVVVVPVVPWWW
El trabajo WAB lo hace el sistema, el trabajo WCD lo hace el exterior sobre el sistema
Según el primer principio de la termodinámica
AB pT
T
pCteP TTCdTCQΔHB
A
Según la ecuación de los gases perfectos:
R
VPT;RTVP;
R
VPTRTVP 21BB21
11AA11
Transformación AB
121121121
p
V121
V p
P
121P1121
pABP
T
T
pCteP
VVP1γ
γVVP
γ
11
1VVP
C
C1
1VVP
CC
C
VVR
PC
R
VP
R
VPCTTCdTCQΔH
B
A
V1 V2
P1
P2
A B
CD
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9
9
Transformación BC
122122
V
P122
V p
V
122V2122
VBCV
T
T
VCteV
PPV1γ
1PPV
1C
C1
PPVCC
C
PPR
VC
R
VP
R
VPCTTCdTCQΔU
C
B
Transformación CD
Por analogía con lo calculado para la transformación AB
212cteP VVP1γγ
QΔH
Transformación DA
Por analogía con lo calculado para la transformación BC
211cteV PPV1γ1
QΔU
Para el ciclo completo
La variación de energía interna al realizar un ciclo es cero.
12211212 VVPPVVPPWQWQ0ΔU
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10
7.-Un mol de un gas perfecto describe el ciclo termodinámico indicado enla fi gura inf erior
Los puntos de coordenadas (P 2 ,V 1 ) y (P 1 ,V 2 ) se encuentran sobre unaisoterma de temperatura T 2 . Las otras temperaturas son T 1 y T 3 . Se pideel trabajo realizado en un ciclo en función de la constante R de los gasesy las temperaturas T 1 y T 3 .
El trabajo se mide por el área abarcada por el ciclo
)1(2RTTTR W
RTRTRTRTVPVPVPVPVVPPW
213
1223112112221212
Buscamos una relación entre T2 con T1 y T3
3
2
2
1
3
22
2
21
2
2
1
1
2
12
1
11
T
P
T
P
T
VP
T
VP;
T
P
T
P
T
VP
T
VP
A partir de las últimas ecuaciones se deduce que
3123
2
2
1 TTTT
T
T
T
Llevando la ecuación anterior a la (1)
2213113 TTR TT2R TTR W
P1
P2
V1 V2
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11
8.-Se utilizan dos compresores para elevar la presión de un gas
diatómico, para el que R 2
5
v C , de la forma siguiente:
El primer compresor reduce el volumen inicial de gas V o hasta un
volumen intermedio V 1 , después el gas compr imido se enf ría a volumenconstante hasta adquir ir la temperatura inicial T o, a continuación trabajael segundo compresor que reduce el volumen del gas hasta V 2 . a)Calcular para que valor de V 1 expresado en función de V o y V 2 , eltr abajo total realizado por los compresores es el mínimo posible y cuál essu valor. b) Calcular también el trabajo que realiza cada compresor en elcaso anter ior.
a) El esquema de bloques inferior nos indica cómo es el proceso
De 1 a 2 se trata de un proceso adiabático en el que no hay intercambio de calor
o1V1 TTnCWWΔUWQΔU (1)
De 3 a 4 el proceso también es adiabático
o2V2 TTnCW (2)
El trabajo total es la suma de W1 y W2.
La transformación de (1) a (2) es adiabática y combinando la ecuación de la adiabática
PV =Cte, y de los gases perfectos
1γγ
γγγ
o
1
1
o
1o
o1
o
1
1o
o1
1
o
1
11
o
oo
o
1
1
o11oo
V
V
T
T
TV
TV
V
V
TVTV
PP
TVP
TVP;
VV
PPVPVP
Sustituyendo en la ecuación (1)
Po, Vo ,To P1,V1,T1 p, V1,To P2,V2,T2
12 3 4
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12
1V
VTCnT
V
VTCnW
1γ1γ
1
ooVo
1
ooV1 (4)
Para el proceso de 3 a 4 el cálculo es análogo
1V
VTCnW
1γ
2
1oV2 (5)
El trabajo total:
2V
V
V
VTnCW
1γ1γ
2
1
1
ooVT
De la expresión anterior se deduce que para que el trabajo sea mínimo, lo que estádentro del paréntesis cuadrado debe de ser mínimo. Para calcular este mínimo
derivamos la expresión del paréntesis cuadrado respecto de V1 e igualamos a cero.
)3(VVVVVVVVVV
2VVV
2VVV
2VVV
02V
2V
2
VV1γV
2
VV1γV
02
V
V1γV2
V
V1γV
2o12
12o112o
12o11221o
21
11221o
2
12
1
1o
1γ1γ1γ1γ
1γ1γ1γ1γ2γ1γ1γ2γ1γ
1γ1γ
1γ2γ1γ1γ2γ1γ
1γ
2γ1γ
1γ
2γ1γ
Sustituyendo esta última ecuación en el trabajo total tendremos el trabajo mínimo
1
V
VV5P2
V
V2R
2
5nT2
V
2VTnC
2
V
V
V
VTnC2
V
VV
VV
VTnCW
21γ
21γ
21γ
21γ
21γ
21γ
21γ
21γ
1γ2
1γ
21γ
1γ
2
oo0
2
oo
2
ooV
2
o
2
ooV
2
2o
2o
ooVT
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13
b) En las ecuaciones (4) y (5) sustituimos la (3)
1V
V
TCn1VV
V
TCnW
2
2
o
oV
22o
0
oV1
1γ
1γ
1γ
1V
VTCn1
V
VVTCnW
2
2
ooV
2
22ooV2
1γ
1γ
1γ
Los trabajos de ambos compresores son iguales.
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14
14
9.- Dos gases ideales, uno monoatómico y el otro diatómico, estánmezclados para formar un gas de comportamiento ideal. La ecuación que
r ige un proceso adiabáti co de esta mezcla de gases es : χ PV , donde
7
11χ . Sean n 1 el número de moles del gas monoatómico y n 2 del gas
diatómico en la mezcla. Determinar la relación2
1
n
n .
Imaginemos que los gases están en compartimientos diferentes, separados por un
tabique pero a la misma presión P y temperatura T, el gas monoatómico ocupa un
volumen V1 y el diatómico V2. Luego, se rompe el tabique de separación y los gases se
mezclan. Al ser gases de comportamiento ideal el volumen resultante es la suma de
V1+V2.
Designaremos respectivamente los calores específicos de cada gas a volumen y presión
constante, como: CV(1); CP(1) y CV(2); CP(2).
Teniendo en cuenta que la energía interna y la entalpía son magnitudes extensivas, la
energía interna de la mezcla es la suma de las energías internas de cada gas y la entalpía
es la suma de las entalpías de cada gas.
La energía interna de cada uno de los gases es:
oV22oV11 TT(2)CnU;TT(1)CnU
Siendo T , la temperatura del gas y To la temperatura de referencia a la cual se la da el
valor nulo a la energía interna .
Designando como CV(M) al calor específico a volumen constante de la mezcla y con
UM a su energía interna, resulta:
0V21M TT(M)CnnU
)1(nn
(2)Cn(1)Cn(M)C
TT(M)CnnTT(2)CnTT(1)Cn
21
V2V1V
oV21oV2oV1
La entalpía de cada uno de los gases es:
XP22XP11 TT(2)CnH;TT(1)CnH
P, V1, T, n1 P, V2, T , n2 P, V1+V2, T , n1+n2
U1, H1, CV(1) U2,H2, CV(2) UM, HM, CV(M)
Fig.1
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15
Siendo T , la temperatura del gas y TX la temperatura de referencia a la cual se la da el
valor nulo de la entalpía. Designamos con CP(M) al calor específico a presión constante
de la mezcla.
La entalpía de la mezcla XP21M TT(M)CnnH
)2(nn
(2)Cn(1)Cn(M)C
TT(M)CnnTT(2)CnTT(1)Cn
21
P2P1P
XP21XP2XP1
Dividiendo la ecuación (2) por la (1)
3(2)Cn(1)Cn (2)Cn(1)Cn711χ (M)C (M)C V2V1P2P1
V
P
Para los gases ideales se cumple: R CC VP , y además para los gases monoatómicos
R 2
3CV y para los diatómicos, R 2
5CV , por lo que la ecuación (3) queda así:
3
n
n49
n
n3555
n
n33
5nn3
7n
n5
7
11
2
5
2
3
n
n2
7
2
5
n
n
2
5n
2
3n
2
7n
2
5n
R 2
5nR
2
3n
R 2
5nR nR
2
3nR n
7
11
(2)Cn(1)Cn
(2)CnR n(1)CnR n
(2)Cn(1)Cn
(2)Cn(1)Cn
7
11χ
(M)C
(M)C
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
21
21
21
2211
V2V1
V22V11
V2V1
P2P1
V
P
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17
17
Adiabática DE
DE V 3 2 DE DE DE V 3 2ΔU C T T Q W W C T T
Isoterma EF
F
E
F
E
V
V
V
V E
F3
3EF V
VlnTR dV
V
TR dVPW
E
F3EFEFEFEF V
VlnTR QWQ0ΔU
Siendo QEF un calor negativo y por lo tanto cedido, al ser VF
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18
18
El rendimiento del ciclo es el cociente entre el trabajo y el calor recibido. El signo
menos que aparece en la expresión anterior indica el trabajo realizado por el ciclo sobre
los alrededores
21
3
21
3
21
21
21
321
C
D2
A
B1
321
TTT21
TTT2
TTTT
lnβRTlnβRTT2TTlnβR
V
VlnRT
V
VlnRT
2TTTlnβR η
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19
19
11.-Un mol de un gas ideal monoatómico (C V =3/2 R) ejecuta un procesodesde 1 a 2 tal como se indica en el esquema inf er ior.
a) Encontrar la máxima temperatura del gas durante el citado proceso.
b) Determinar para quévalor del volumen, Q es máximo.
c) Dibujar las gráficas T-V y Q-V cuando P o =10 atm , V o = 20 L , P 1 = 8atm y P 2 = 2 atm.
a) Designamos con Px,Vx y Tx a las variables del gas para un punto cualquiera
comprendido entre 1 y 2. De la figura 1 se deduce:
(1)PPVV
P
V
PP
V
Pxox
o
o
x
xo
o
o
De acuerdo con la ecuación de los gases perfectos xxx RTVP . Sustituyendo en (1)
R
V
V
P
R
VPTRTVPV
V
P
V
RTPV
V
P 2x
o
oxoxxxo
2x
o
o
x
xox
o
o (2)
Como nos piden la temperatura máxima derivamos la ecuación anterior respecto de Vx e
igualamos a cero.
2VV0V2V10VR V2PR PdVdT ox
o
xxo
oo
x
x
1
2.Po
Vo V
P
Po
Px
Vx Vo
Fig.1
1
2
.
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20
20
4R
VPT
4R
V
V
P
2R
VP
R
V
V
P
R
VPT oox
2o
o
ooo2x
o
oxox
El valor de la presión es:
2
P
2
V4R
VPR
V
RTP o
o
oo
x
xx
En el punto medio de los valores Po y Vo se produce la temperatura máxima.
b) Calculamos cómo evoluciona Q en función de la presión, para ello hacemos uso del
primer principio de la Termodinámica, escrito en la forma WQΔU , lo que suponeque si Q y W son positivos los recibe el sistema y si son negativos los emite el sistema a
los alrededores.
xxdVPW Volviendo a la figura 1.
x
o
ox
o
ox
o
oxox
x
xo
o
o dPP
VdV
P
VP1
P
VPPV
V
PP
V
P
212xo
o2
1
o
o
1x
2x
o
o
xo
o
xxx
PP2P
VW
2
P
P
VCte
0WPPcuandoCte;2
P
P
V
dPP
V
PdVPW
Para un gas perfecto
)3(PP2P
VVP
P
P1VP
2
3Q
PP2P
VVP
P
VPPP
2
3PP
2P
VVPVP
2
3Q
PP2P
VQVPVP
2
3
R
VP
R
VPR
2
3TTCΔU
21
2x
o
o11
o
xox
21
2x
o
o11
o
oxox
21
2x
o
o11xx
21
2x
o
o11xx
11xx1xV
Para calcular el valor máximo de Q derivamos la expresión anterior respecto de P x e
igualamos a cero.
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21
21
oxo
oxo
o
ox
o
oxo
o
ox
xo
oo
o
x
o0x
x
P8
3PP
V4PV2
3
P
VP
P
VPVP
VP
2
3
02P2P
VV
P
P1
P
1VP
2
3
dP
dQ
Para hallar el volumen sustituimos en la ecuación (1)
8
V5V
8
5P
8
3PPV
V
PPPV
V
P ox
ooox
o
oxox
o
o
Para hallar la temperatura aplicamos la ecuación de los gases perfectos
64R
VP15
R 8
5V8
3P
R
VPT oo
oo
xxx
c) Para construir la gráfica T frente a V, recurrimos a la ecuación (2).
2xx
2x
x2x
o
oxox V6,1V122V0,08220
10
0,082
V10
R
V
V
P
R
VPT
El intervalo de Vx se obtiene aplicando la ecuación (1), resulta: para P1 = 8 atm, V1= 4
L y para P2= 2atm, V2 = 16 L
grafica T-V
300
350
400
450
500
550
600
650
2 4 6 8 10 12 14 16 18
Volumen / L
Temperatu
ra/K
Para construir la gráfica Q frente a V, recurrimos a la ecuación (3).
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22
22
164P30P64P322P20P23
Q
2P
PV
2P
PVVP
P
VPVP
2
3PP
2P
VVP
P
P1VP
2
3Q
2
xx
2
x
2
xx
o
21o
o
2xo
110
o2x
ox2
12x
o
o11
o
xox
A partir de la ecuación (1);
2
V10
20
V110
V
V1PPPPV
V
P xx
o
xoxxox
o
o
Sustituyendo en Q
2xxx
2
xx VV258416V104
V10042
V1030Q
gráfica Q-V
0
10
20
30
40
50
60
70
80
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
volumen, V/L
CalorQ
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23
23
12.-Un mol de gas perfecto con coefi ciente adiabático se expansionó deforma reversible según al ley p = kV, donde k es una constante. Elvolumen ini cial del gas es V o . Como resul tado de la expansión el volumenf inal alcanzado por el gas es nV o . a) Calcular: a) el incremento de
energía interna del gas. b) El trabajo realizado por dicho gas. c) Sucapacidad calorífica molar para este proceso.
a) Calculamos la presión, volumen y temperatura del gas al principio y al final de la
expansión:
Inicial: po=kVo, Vo, To ; Final: pf =kVf =knVo , Vf =nVo,
Para calcular la temperatura final aplicamos la ley de los gases perfectos
o
2
f f
oo
o
oo
TnTT
nVknV
T
VkV
La variación de energía interna para un gas perfecto es:
1nTCTTnCTTCΔU 2oVoo2Vof V
Para un gas ideal1γ
R Cγ
C
C;R CC V
V
PVP
1n1γ
Vk 1n1γ
V p1n1γ
RT1nTCΔU 22o2oo2o2
oV
b) 22o
2o
2o
2
gasext n12
kV
2
V
2
Vnk VdVk dVPdVPW
onV
oV
f V
oV
f V
oV
dado que n>1, W es negativo, lo cual indica que el trabajo lo realiza el sistema al
exterior.
c) A partir del primer principio WQΔU , utilizando como criterio de signos que Qy W son positivos cuando sobre el sistema y desde el exterior se aporta trabajo o calor
1)2(γ
γ11nkV
1)2(γ
1γ21nkVQ
2
1
1γ
11nkVn1
2
kV1n
1γ
kVWΔUQ
22o
22o
22o
22o2
2o
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24
24
1γ
γ1
T2
kV
TTn
1γ
γ11n
2
kV
ΔT
ΔQC
o
2o
oo2
22o
Para un gas perfecto: o2oooo RTkVRTV pRTPV
1γ
γ1
2
R
1γ
γ1
T2
kVC
o
2o
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25
25
13.-Un gas perfecto contiene n moles. Dicho gas se enf ría a volumenconstante y a conti nuación se expande a presión constante hasta que sutemperatura es igual a la inicial y su presión varió k veces la inicial . Sepide el cambio de entropía que ocur re en el proceso total.
Designamos con P1, V1 y T1 las condiciones iniciales del gas (estado 1). Al enfriarlo
isocóricamente (estado 2) sus variables son P2,V1,T2, después del proceso isobárico, las
coordenadas termodinámicas del gas son: P3 = P2 =k
P1 , V3, T1 (estado 3).
El proceso del estado 1 al estado 2 se produce con variación de la presión y de la
temperatura
De acuerdo con el primer principio WδQδdU . Recordando que
dVV
TR -dV pδWy,T
QδdS , resulta:
V
VdR
T
dTCdSdTC
V
dVRTdSTdU VV
Aplicando la ecuación anterior para el proceso del estado 1 al 2.
1
2
1
2V12 V
VlnnR
T
TlnnCSS (1)
El proceso del estado 2 al estado 3 se produce con variación de la temperatura y del
volumen.
V
dVR
T
TdCdSdTCdV
V
TR dST;dTCdV pdSTdU VVV
Aplicando la ecuación anterior para el proceso del estado 2 al 3.
2
3
2
3V23 V
VlnnR
T
TlnnCSS (2)
Sumamos las ecuaciones (1) y (2).
2
3
2
3V
1
2
1
2V13 V
VlnR
T
TlnC
V
VlnR
T
TlnCnSS (3)
Según la ley de los gases perfectos
131
31
3
33
1
11
1
1
1
2
1
2
2
22
1
11 Vk VT
Vk
P
T
VP
T
VPy
k
1
Pk
P
P
P
T
T
T
VP
T
VP
Sustituyendo en la ecuación (3)
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26
26
k lnR nVk
V
lnV
V
lnR nSS
V
Vk lnR
T
TlnC
V
VlnR
k
1lnCnSS
1
2
1
2
13
2
1
2
1V
1
2V13
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27
27
14.-Calcular el aumento de entropía de n moles de un gas perfecto cuyo
exponente adiabáti co es , si el gas suf re un proceso por el que su
volumen aumentó k veces y su presión di sminuyo veces.
Hacer el cálculo para n = 2 moles , =1,30 , k = 2 , =3.
En el estado inicial, las coordenadas del gas son: P1, V1 y T1 y en el estado final f 11 T;kV,
β
P .la
relación entre ambos estado es:
β
k TT
T
Vk β
P
T
VP1f
f
11
1
11
Para calcular el aumento de entropía podemos establecer caminos entre el estado inicial y el
final ya que la entropía es función de estado y no depende del camino seguido sino del estadoinicial y final.
Desde el estado 1 al 2 el gas evoluciona cambiando su presión y temperatura y manteniendoconstante su volumen
De acuerdo con le primer principio WδQδdU R . Recordando que
dVV
TR -dV pδWy,
T
QδdS R , resulta:
)1(V
VdR
T
dTCdSdTC
V
dVRTdSTdU VV
Para un mol de gas
T
Td
V
Vd
P
PddT
VP
R dV
VP
V
VP
dPPdTR dVVdPPRTPV
(2)P
dPR
T
dTC
P
Pd
T
TdR
T
dTC
V
VdR
T
dTCdS PVV
Aplicamos la ecuación (2) para n moles de gas entre los estados 1 y 2.
Inicial ,1 Intermedio,
Final, 3 P1, V1 , T1
n moles
P2 , V1, Tfn, moles
molesn
β
k TT,kV;
β
P1f 1
1
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28
28
β
k lnCnSS
β
k lnR n
β
k lnCn
V
TR V
β
k RT
lnnR T
β
k T
lnnCP
PlnnR
T
TlnnCSS
V12
P
1
1
1
1
1
1
P1
2
1
f P12
Desde el estado 2 al 3 el gas evoluciona cambiando su presión y volumen y manteniendo
constante su temperatura.. Sustituyendo en (1)
(3)V
dVC
P
dPC
V
VdR
V
dV
P
dPC
V
VdR
T
dTCdS PVVV
Aplicamos la ecuación (3) para n moles de gas entre los estados 2 y 3.
k lnCnk
1lnCnSS
k lnCn
β
k Tβ
TlnnCk lnCn
V
TR nVβ
TR n
lnCnV
Vk lnCn
P
β
P
lnnCSS
PV23
P
1
1VP
1
f
1
1
V1
1P
2
1
V23
k lnCk lnR k lnCnβlnCk lnCnSS
βlnCk lnCk lnCk lnCnSS
βk lnCnk lnCn
k 1lnCnSSSSSS
VVVP13
VVPV13
VPV131223
La diferencia de las capacidades caloríficas es igual a R
1γ
R C
C
R 1
C
CR CC V
vV
PVP
K
J10,93ln2ln1,30
11,30
K mol
J8,31mol2
βlnk lnγ1γ
R nSS
βlnk ln1γk ln1γ
R nβln
1γ
R k Rlnk ln
1γ
R nSS
13
13
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29
29
15.- En la figura inf er ior el cil indro lleva un émbolo que se puededesplazar sin rozamiento. I ni cialmente el émbolo se encuentra sujeto y elmuelle tiene su longitud natural (no está esti rado ni compr imido). En laparte izquierda existe un mol de gas perfecto cuyas coordenadas
termodinámicas son ( P o , T o , V o ). En la parte derecha se ha hecho elvacío y el sistema está termoaislado. Si se deja en libertad el émbolo, elgas adquiere un volumen 2V o . Calcular los valores de la temperatura ypresión del gas, suponiendo despreciables los calores específicos delémbolo y del cil indro.
Al dejar en libertad el émbolo el gas se expansiona hasta un volumen 2Vo y adquiere
una presión Pf y una temperatura Tf . El muelle se comprime una longitud x. En
consecuencia el muelle almacena una energía potencial elástica de valor 2Δxk 2
1.
De acuerdo con el primer principio de la termodinámica WQΔU , y al estar elsistema termoaislado, Q=0 . La disminución de energía interna del gas es igual al
trabajo realizado, y ese trabajo se acumula en energía potencial en el muelle.
2of V Δxk 21TTCΔU
El signo menos aparece porque el trabajo ha sido realizado por el gas contra el exterior.
En la figura 1, designamos con S la sección de la base del cilindro. x es la altura
inicial cuando el émbolo está sujeto, por tanto, ΔxSVo . El émbolo está en equilibrio
y en dirección horizontal actúan de izquierda a derecha la fuerza que ejerce el gas de
valor SPf , y de derecha a izquierda la fuerza con que el muelle empuja al émbolo de
valor Δxk . Estas dos fuerzas son iguales en módulo, puesto que el émbolo está enequilibrio.
Po, Vo To
S
x2 x
Muelle
comprimidoFig.1
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30
30
2of f
f Δx
VP
Δx
SPk Δxk SP
Por otra parte se cumple que
2f
2
oo
f
o
f f f of
Δx2
RT
Δx
VV2
RT
k V2
RTPRT2VP
Llevando el valor de k a la ecuación (1)
V
of oVVf
f 22f
of V
C4
R 1
TTTC
4
R CT
4
TR Δx
Δx2
TR
2
1TTC
En la ecuación de los gases perfectos
v
o
f
vo
oo
vo
of
v
of 0f
4C
R 12
P
P
4C
R 1V2
VP
4C
R 12V
RTP
4C
R 1
TR RT2VP
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31
31
16.- Un kilogramo de agua hierve cuando la presión exterior es 1atmósfera, tr ansformándose íntegramente en vapor. Calcular lavar iación de entr opía y de energía interna en el proceso. Se supone que elvapor de agua se comporta como un gas perfecto.
Dato .-Calor de vaporización del agua = 2,25 kJ/g
La entropía es función de estado y por consiguiente su valor no depende del camino
mediante el cual se realiza el proceso de ebullición del agua, podemos calcular la
variación de entropía mediante la ecuación:
K
kJ6,0
K 373
g
kJ2,25g1000
T
ΔQΔS
La variación de energía interna viene dada por la ecuación WQΔU
Q representa el calor suministrado al sistema kJ2,25.102,251000Q 3
W es el trabajo que ejecuta el sistema y vale L)v VVPΔVP , siendo P la presión exterior, Vv el volumen del vapor de agua y VL el volumen del líquido. El
volumen del líquido es aproximadamente un litro y el volumen del vapor de agua lo
calculamos mediante la ecuación de los gases perfectos
3v
32
2
vv
m1,70V
Nm N1,70
NmJ1,70
mol
g18
m
N101300
K 373K mol
J
8,3g1000PM
TR gVRTMgVP
kJ2,1.101,72.102,25.10ΔU
kJ1,72.10m10m1,70m
N101300W
323
233-32
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32
32
17.- Un mol de un gas ideal cuyo coeficiente adiabático es R 2
5 γ ,
efectúa la transformación indicada en la figura inferior
Calcular a) el trabajo reali zado por el sistema cuando pasa de A a B.
b) El calor que se debe sumini strar al sistema para pasar de B a C. c) Lavariación de energía interna en el pr oceso ABC.
b) La expresión del trabajo de expansión es : f
V
iV
dVP . La relación entre la presión
y el volumen en la transformación AB es una línea recta, cuya ecuación la calculamos
mediante la expresión que nos da la ecuación de una recta que pasa por dos puntos.
1,5V0,1P0,5V0,11P510
5V
10,5
1P
xx
xx
yy
yy
12
1
12
1
Resolvemos la integral
Latm3,755)101,52
5100,1dV1,5V0,1W
2210
5
El signo negativo indica que el trabajo es efectuado por el gas hacia el exterior.
Una forma mucho más rápida para calcular el trabajo, es medir el área comprendidaentre la recta AB y el eje de abscisas. La figura es un trapecio
J380101013253,75Latm3,75W3,7552
0,51Área 3
b) Calculamos primero la variación de energía interna entre B y C
CCCCVBBCC
VBCVBC VPVPR
C
R
VP
R
VPCTTCΔU
P/atm
V/L
1
0,5
5 10 15
A
B
C
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33
33
Según el dato del problema R 2
3C
C
R
3
2
C
R 1
C
R C
C
C
3
5γ V
VvV
V
V
P
Latm151023
100,5151R
R
2
3
WQΔU BCBCBC
El trabajo BC lo calculamos por el área como se hizo anteriormente
J1,9.10Latm18,753,75)(15WΔUQ
Latm3,75W3,755102
10,5Área
3BCBCBC
BC
c) La variación de energía interna en el proceso ABC es igual a la suma siguiente
J1,5.10m10m
N10132515Latm15ΔU
R
100,5
R
51CΔU
ΔUR
VP
R
VPCΔUTTCΔUΔUΔU
3332BCVABC
BCBBAA
VBCABVBCABABC
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34
34
18.-Un mol de un gas ideal reali za una transformación reversible desdeun estado ini cial ( 291 K, 21 L) hasta un estado final ( 305 K, 12,7 L).En el diagrama P-V esta transformación queda representada por unalínea recta. Determinar a) el trabajo y el calor impl icados en la
mencionada transformación. Dato C v =(5/2)R.
El trabajo viene determinado por la integral FV
IvdVPW , para poder resolverla
necesitamos conocer la relación entre las variables P y V. Hallamos mediante la
ecuación de los gases perfectos las presiones de los dos estados.
atm1,97L12,7
K 305K mol
Latm0,0821.mol
PTR 1molVP
atm1,14L21
K 291K mol
Latm0,0821.mol
PTR 1molVP
IFFF
IIII
En el diagrama, PV tenemos dos puntos de coordenadas (1,14 atm , 21 L) y (1,97 atm ,
12,7 L) unidos por una recta. La ecuación general de la recta es P=m V+ b, siendo m la
pendiente y b la ordenada en el origen. La pendiente y ordenada en el origen son:
3,24 b b210,11,14 bV0,1P0,12112,7
1,141,97αtag
Sustituyendo la ecuación p-V en la integral
J1,3.10Latm
m10m
N
101325L12,9atmL12,9atmW
2112,73,242112,70,053,242
V0,1dV3,24V0,1W
3
33
2
22
12,7
21
212,7
21
Como el trabajo es positivo es un trabajo que se realiza desde fuera sobre el sistema.
J1,0.101,3.10148,312,5Q
1,3.10291305R 2
5WTTCQWQTTCΔU
33
3If VIf V
Un calor con signo negativo significa que el sistema cede ese calor al medio exterior.
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35
35
19.-Hallar la temperatura máxima posible de un gas perfecto en cadauno de los procesos siguientes.
αV e o p p b) ; 2 αV o p p a)
donde p 0 , y son constantes positivas y V el volumen de un mol de gas.
a) Si se trata de un gas perfecto obedece a la ecuación de los gases
R
3o2
0
αV
R
V pTRTVαV pRT pV
Calculamos la derivada de la temperatura respecto del volumen e igualamos a cero.
α3
pVαV3 p0
R
αV3
R
p
dV
dT o2o
2o
Llevamos este valor a la ecuación de la temperatura
3α
p
R
p
3
2
3α
pα p
R 3α
p
αV pR
VT oo0o
o
2om
b)
β
1V0βV1
βV-βV
βV-
βV-βV
βV-V-β
βV-
ee
0eeR
p
dV
dT
R
Ve p
TRTVe pRT pV oo
o
Llevando el valor de V a T
βeR
p
β
1e
R
pT oomin
β
1β
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37
37
1γ2
γ1R
R
11γ2
γ1
C
R
12
1
1γ
1
1ηR
12
1η1η
1γ
1
R
aV
R
aVη
η1
2
aV1ηaV
1γ
1
TTWΔUC
TTCWΔUQWQΔU
2
22
2o
2o2
22o22
o
o1
o1
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38
38
21.-0,1 mol de un gas ideal r ealiza los dos ciclos siguientes: ABCA yBDCB. Las coordenadas termodinámicas de los puntos A B C y D son l assiguientes:A (P A , 1 L, 280 K) ; B (P B , 1 L, T B )
C (P C , 1,5 L , T B ) ; D (P D , 1,5 L, 629 K )Los puntos B y D en el diagrama V-T se encuentran sobre una recta quepasa por el origen de coordenadas.a) Dibujar los diagramas V-T y P-V de las dos transformaciones.b) Calcular el trabajo que ejecuta el gas en cada transformación.
Calculamos PA y PD aplicando la ecuación de los gases perfectos.
atm44,3P2960,0820,11,5P
atm2,30P2800,0820,11P
AD
AA
Teniendo en cuenta que B y D se encuentran en una recta que pasa por el origen de
coordenadas en el diagrama V-T, designamos con el ángulo que forma la recta con eleje de abscisas.
K 4191,5
6291
V
TVT
T
V
T
Vαtag
D
DBB
B
B
D
D
Haciendo uso de la ecuación de los gas perfectos
atm2,30
1,5
13,44
V
VPPVPVP
atm3,444190,0820,11P
C
BBCCCBB
B
Los puntos C y A están también sobre una recta que pasa por el origen de coordenadas
ya que
280T
1V
419T
1,5Vβtag
A
A
C
C
Los puntos By C están unidos por una isoterma.
Los diagramas V-T y P-V son los siguientes
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39
39
Trabajo del ciclo ACBA
J24,5116,5141W
J116,5L
m.10
atmm
N101325
Latm1,15
Latm1,151,512,3VV-PdVPW
J1411,0
1,5ln4198,310,1
V
VnRTlndV
V
nRTdVPW
;0dVPW
ciclo
33
2
CACA
B
CBC
AB
Av
Cv
Cv
Bv
Cv
Bv
Bv
Av
Trabajo del ciclo BDCB
J2,33174,2141W
J0141WW
0dVPW
J174,2L
m10
atmm
M 325101
L-atm-1,72
L1,72atmL11,5atm3,44VVPdVPW
ciclo
BCCB
DC
33
2
BDBD
Bv
Av
Dv
Bv
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40
40
22 .- Un gas ideal realiza el ciclo indicado en la figura infer ior .
La presión P B =2P A , V D =2V A . El coeficiente adiabático del gas es: =7/5.a) Calcular el rendimiento del ciclo. b) Calcular el calor evacuadodurante el ciclo.
a) El rendimiento del ciclo es el cociente entre el trabajo efectuado y el calorsuministrado
SQ
Wη
El trabajo efectuado corresponde numéricamente al área encerrada por el ciclo
AAAABAD nRTPVPPVVW
Con el convenio de signos empleado (calor y trabajo positivos los recibe el sistema,
calor y trabajo negativos los cede el sistema) ese trabajo debe ir precedido de signonegativo.
Calculamos las temperaturas en A, B, C, y D.
AAAA
AAc
CC
DDD
D
DD
C
CC
AAA
A
BBB
CC
CC
CC
B
BB
AAAA
AAA
AA
BBB
B
BB
A
AA
T22TVP
VPT
VP
VPT
T
VP
T
VP
T42TV
2V
TVP
VP
TT
VP
T
VP
T2TVP
V2PT
VP
VPT
T
VP
T
VP
Observando las temperaturas se deduce que el calor absorbido se hace de A a B y de B a
C.
V
P
A
B C
D
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41
41
19
2
γ21
1γ
CC21
1C
C
C2C
CC
C2C
R
C2CnT
nRT
Q
Wη
T2nCTCnTTnCTTCnQ
V
P
V
P
PV
VP
PVPVA
A
S
APAVBCPABVS
b) El calor cedido se verifica desde C a D y de D a A.
VPAAPAVDAPCDVE C2CnTTnC2TCnTTCnTTCnQ
El signo negativo indica que el calor sale del sistema.
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42
42
23.- Un mol de un gas ideal reali za reversiblemente, el ciclo indicado enla f igura.
P o = 1 atm ; V o = 1 L ; R = 0,082 atm L/(mol K)
a) Construi r los diagramas T-V y y T-P. b) Determinar las coordenadastermodinámicas correspondientes al punto de máxima temperatura.
a)
Transformación 1-2
Hallamos la ecuación que relaciona la presión con el volumen. Aplicamos la ecuaciónde una recta que pasa por dos puntos
)1(9
38
9
VP
9
2
9
V4P2V
229
414Px-x
xx
yyy-y o
o1
o1o
Dado que el gas es perfecto, podemos deducir la relación entre T y V.
)2(9R
VV38TRTV
9
V38RTnPV
2
La ecuación que relaciona T con P es la siguiente:
)3(R
9P38PTRT9P38P9P38V
9
38P
9
V 2
Transformación 2-3
La transformación es una isóbara. Si P y V representan la presión y el volumen en
cualquier punto de la recta 2-3
1
23
Po
Vo
4Po
2Vo 29 Vo
P
V
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43
atm1CteP;)4(R
VT
R
2929
T
VRT1.29;
T
29
T
V
T
V2
22
2
Transformación 3-1
Hallamos la ecuación que relaciona la presión con el volumen. Aplicamos la ecuaciónde una recta que pasa por dos puntos
(5)2V3P3V31P1V12
1-41Px-x
xx
yyy-y o
o1
o1o
Dado que el gas es perfecto, podemos deducir la relación entre T y V.
)(6R
2VV3TRTV2V3RTPV
2
La ecuación que relaciona T con P es la siguiente:
)7(R 3
2PPTRT
3
2PP
3
2PV
2
Los cálculos están hechos con Excel. Se dan valores a V o a P en las ecuaciones según
que estas magnitudes aparezcan en las fórmulas como variables independientes. Así en
las ecuaciones (1), (2), (4), (5), (6) la variable independiente es el volumen, y en las
ecuaciones (3) y (7) es la presión.
0
100
200
300
400
500
600
0 5 10 15 20 25 30 35
Volumen, V/L
Te
mperatura,T/K
1
2
3
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44
44
0
100
200
300
400
500
600
0 1 2 3 4 5
Presión, P/atm
Temperatura,T
/K
1
2
3
b) Elegimos la ecuación (2)R 9
V-V38T
2
, Derivamos respecto a la variable V e
igualamos a cero
L19V0R 9
V238
dV
dT
La máxima temperatura se produce cuando el volumen es 19 L y la temperatura
K 4890,0829
19-1938T
2
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45
24.- Un ci l indro rígido de paredes adiabáti cas tiene un pistón, tambiénadiabático, que se desplaza sin rozamiento dentro del cil indro.I nicialmente el pistón divide al cil indro en dos volúmenes iguales A y Bque contienen cada uno de ellos un mol de gas ideal de C v =20,9 J/mol K ,
a la presión de 1 atmósfera y a 300 K de temperatura. En A existe uncalentador que sumini stra energía de manera muy lenta al gas de A,hasta que su temperatura se eleva a 600 K. Se desprecian las capacidadescaloríficas del pistón y del cil indro y se pide:a) Presiones, volúmenes y temperaturas finales de ambos gasesb) Energía eléctr ica suministradac) Var iación de entropía en el proceso.
a) En la figura inferior se representan los estados inicial y final. Cuando se alcance un
equilibrio las presiones en los compartimientos A y B son iguales.
Calculamos el valor numérico del volumen inicial, aplicando la ecuación de los gases
perfectos
L24,6V300K K molLatm0,0821Vatm1 ii
Cuando en el compartimento A se suministra energía el gas de ese lugar aumenta
lentamente su temperatura y presión al mismo tiempo que el émbolo móvil se desplaza
hacia la derecha comprimiendo al gas de B. El gas de B sufre un proceso adiabático ya
que no intercambia calor con el exterior.
Aplicamos para ese gas entre los estados inicial y final la ecuación de una adiabática
1γ1γBB VT24,6300
De la ecuación de los gases perfectos aplicada a ambos, resulta:
BB
A
B
BA
T
600
V
V
T
VP
300
24,61;
600
VP
300
24,61
Como el cilindro es de paredes rígidas
BAiBA V49,2VL49,2V2VV
Operando con estas tres ecuaciones
P= 1atm, Vi
Ti=300 K
n= 1 mol
P=1 atm , Vi
Ti=300K
n=1mol
A B
P, VA, 600K,
n= 1 mol
P,VB,TB
n=1mol
A B
Estado inicial Estado final
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46
46
)1(V49,2
V600
24,6300
VV49,2
V60024,6300
V49,2
V600T
T
600
V
V49,2
B
B
BB
B
B
BB
BB
B
γ1γ
1γ1γ
El valor numérico del coeficiente adiabático lo calculamos a partir del dato del
problema Cv.
1,40
K mol
J20,9
K mol
J20,9
K mol
J8,31
C
CR
C
Cγ
V
V
V
P
Si en la ecuación (1) sustituimos el valor de .
B
B
B
B
V49,2
V80,1
V49,2
V224,6
1,401,400,40
La ecuación la resolvemos por tanteo
Si VB=17 L el segundo miembro vale 1,64
Si VB=18L el segundo miembro vale 1,83
Si VB=17,8 L el segundo miembro vale 1,79
Tomando como solución de la ecuación el valor aproximado de 17,8 L resulta que:
atm1,57P3400,082117,8P
K 340TT
600
17,8
31,4
V
V;L31,417,849,2V B
BB
AA
b) Escogemos como sistema termodinámico todo el cilindro y aplicamos el primer
principio de la Termodinámica. Como el cilindro es de paredes rígidas no se ejerce
trabajo sobre el exterior y por consiguiente:
J7,11.10300)340C300600CΔUΔUQΔU 3VVBA
c) La variación de entropía de un gas perfecto esta dada por la ecuación
i
f
i
f v V
VlnR nT
TlnCnΔS
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47
Aplicamos la citada ecuación para los dos gases
K
J0,07
24,6
17,8ln8,311
300
340ln20,91ΔS
;K
J16,5
24,6
31,4ln8,311
300
600ln20,91ΔS
B
A
La variación de entropía es:
K
J16,4ΔSΔSΔS BAT
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48
25.- Un ci l indro está cerrado por uno de sus bases y la otra es un pistónque puede deslizarse por el cilindro sin rozamiento. El interior delcil indro contiene una pared fij a, tal como se muestra en la figura. Lasparedes del cil indr o y el pistón son adiabáticas y sus capacidades
caloríficas despreciables.
Por la parte exterior del pistón actúa una presión P o que se suponeconstante. El compartimento A, de volumen V A , contiene n moles de un
gas perfecto y el B, de volumen V B , está vacío. I nicialmente el sistema seencuentra en equi li brio.
Se practica un ori f icio en la pared fi ja y se alcanza el equi li brioquedando gas en los dos compartimentos. 1) Determinar la presión,volumen y temperatura fi nales. Dar el resul tado en función de n, P o , V A , V B , y R. Calcular la variación de entropía en el proceso.
2) Suponer ahora que todo el gas abandona el compart imento A con loque el pistón móvil está finalmente pegado a la pared fi ja. Calcular elvalor umbral de V B para que todo el gas pase del compartimento A al BDeterminar la presión, volumen y temperatura fi nales, si V B es mayorque el valor umbral. Dar el resul tado en función de n, P o , V A , V B , y R.Calcular la variación de entropía en el proceso.
1) En la figura1 se representa el estado inicial y final del proceso
En el estado inicial, al existir equilibrio, la presión de gas en A es igual a la presión
atmosférica y su temperatura es:
R n
VPTnRTVP Aoo0Ao
Pistón Pared fija
A B
inicial final
A B A B
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Al abrir el agujero el gas comienza a pasar al compartimento B. El proceso cesa
cuando la presión en todo el conjunto es la misma Po.
Designamos con VF al volumen final entre A y B y con tF la temperatura del conjunto
Durante el proceso se ha producido un aumento de la energía interna del sistema debido
al trabajo exterior realizado por la fuerza debida a la presión atmosférica.
AFovAoFo
voFv VVR
PC
nR
VP
R n
VPCnTTCnΔU
Recordemos que:
1γ
R CR 1γCγ
C
C;R CC VV
V
PVP
La expresión final de U es:
AFo
AF
o
VV1γ
PVV
R
P1-γ
R
ΔU
El aumento de energía interna se debe al trabajo realizado desde el exterior sobre el
sistema
FBAoBAFoo VVVPVVVPΔVPdVPW
Igualando la variación de energía interna con el trabajo puesto que el proceso es
adiabático.
)1(γ
1γVVV1γVVγVγVVγVVγ0
VVVVγVVγVVVVV1γVV
BAFBAFBFBA
FBAFBAAFFBAAF
Para calcular la temperatura TF hacemos uso de la ecuación de los gases perfectos:
A
BoF
BAA
o
BAo
FoFFFo
V
V
γ
1γ1TT
Vγ
1γVVT
R n
Vγ
1γVP
R nVPTnRTVP
Para calcular la variación de entropía en el proceso, utilizamos la relación
termodinámica que relaciona los estados 1 y 2, para un mol de gas
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50
A
BPB
A
BP
A
BA
o
A
Bo
V1
2
1
2V
V
V
γ
1γ1lnCV
γ
1γ1lnR
V
V
γ
1γ1lnR C
V
Vγ
1γV
lnR T
V
V
γ
1γ1T
lnCV
VRln
T
TlnCΔS
Como son n moles
A
BPn V
V
γ
1γ1lnCnΔSnΔS
2) El valor del volumen umbral de B, ocurrirá cuando en la ecuación (1) hagamos
VF=VB
ABB
BABBAB VγVγ
VVVV
γ
1γVVV
Designamos con P2 a la presión en el recinto B y con T2 a la temperatura, siendo el
volumen V2=VB. Aplicamos la ecuación de los gases perfectos.
2B2 TR nVP
La variación de energía interna entre el estado inicial y final es:
1γ
VPVP
R n
VP
R n
VPCnTTCnΔU AoB2AoB2Vo2V
El trabajo es:
AoAoo VPV0PΔVPdVPW
Igualando el trabajo realizado sobre el sistema con la variación de su energía interna por
tratarse de un proceso adiabático, resulta:
B
Ao2B2AoAoB2Ao V
VPγPVP11γVPVPVPVP1γ
La temperatura es:
oAo
BB
Ao
B22 TγR n
VPγ
R n
VV
VPγ
R n
VPT
Para calcular la variación de entropía en el proceso, utilizamos la relación
termodinámica que relaciona los estados 1 y 2, para un mol de gas.
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51
1γ1γ
A
BP
A
BvA
Bv
A
BvV
A
B
o
oV
1
2
1
2V
VVγlnγCVVln
γlnCVVln1γγlnC
V
Vln1γCγlnC
V
VlnR
T
TγlnC
V
VRln
T
TlnCΔS
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52
26.-El ciclo termodinámico denominado Otto consiste en una compresiónadiabática seguida de una isocora, de una expansión adiabática y de otraisocora. Tal ciclo está representado en la figura y sirve comoaproximación al comportamiento de un motor de explosión.
Sea un ciclo de Otto reali zado por ai re, el cual se comporta como un gasdiatómico ideal, en el punto A, el aire se encuentr a a la presión de unaatmósfera y a la temperatura de 20ªC. El ciclo se realiza en un cil indrode V = 1,5 li tros y con una relación de compresión 7
B /V
AV . El aire
recibe una cantidad de calor de 21 kJ/mol.
a) Calcular el rendimiento del ciclob) Determinar las coordenadas termodinámicas de A, B, C y Dc) Calcular el trabajo en las distintas partes del ciclod) Calcular el calor evacuado al ambiente.
Inicialmente el aire es admitido en el cilindro a la presión de una atmósfera y a la
temperatura de 20ºC, por tanto, las coordenadas termodinámicas de A son: P A=1 atm,
VA=1,5 L , TA= 293 K.
Mediante la ecuación de los gases perfectos determinamos el número de moles de aireque penetran en el cilindro.
mol0,062293K
K mol
atm.L0,082
1,5Latm1
TR
VPn
A
AA
a) El rendimiento de un ciclo es el cociente del trabajo obtenido dividido por el calor
aportado. Calculamos el trabajo entre A y B, que al ser una adiabática y según el primer
principio de la Termodinámica Q=0.
)T(TCnWWQΔU ABVAB
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53
El trabajo de B a C es nulo por no haber variación de volumen.
El trabajo de C a D que es una expansión adiabática vale
)T(TCnWWQΔU CDVCD
El trabajo de D a A es nulo, por no haber variación de volumen..
El trabajo total es.
CDABVCDABT TTTTCnWWW (1)
El calor suministrado en la isocora BC es:
BCv1 TTnCQ
(2)
Observando el ciclo deducimos:
ADADA
DAD
A
A
D
D
BCBCB
CBC
C
C
B
B
TTPPcomo;P
PTT
T
P
T
P
TTPPcomo;P
PTT
T
P
T
P
Aplicamos la ecuación de la adiabática entre A y B y entre C y D.
B
A
BC
AD
B
BC
A
AD
B
C
A
DADBC
ABBABBAA
T
T
TT
TT
T
TT
T
TT
T
T
T
TVTVT
TTdeducese;VcomoVVTVT
1γ1γ
1γ1γ
Para efectuar la operación anterior, hemos supuesto que restábamos -1 a cada miembro
del modo siguiente:
B
BC
A
AD
B
B
B
C
A
A
A
D
B
C
A
D
B
C
A
D
T
TT
T
TT
T
T
T
T
T
T
T
T1.
T
T1
T
T
T
T
T
T
El rendimiento es un valor positivo
B
A
B
A
BC
AD
BC
BC
BCV
CDABV
1
T
T
T1
T
T1
TT
TT
TT
TT
TTCn
TTTTCn
Q
Wη
El rendimiento lo podemos expresar en la relación de volúmenes
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54
54
1γ1γ
A
B
A
B
B
A
V
V1η
V
V
T
T
b) El cálculo de la temperatura TB lo hacemos a partir del rendimiento
K 637TT
29310,54
7
11η B
B
11,4
Aplicamos la ecuación de los gases perfectos entre A y B
atm15,2293
63771
T
TV
VP
PT
VP
T
VP
A
BB
AA
BB
BB
A
AA
L0,217
1,5VB
Para calcular la temperatura en C aplicamos la ecuación (1)
K 1642TK 1005637T637TK mol
J20,9
mol
J21.10 CCC
3
atm39637
164215,2P
T
P
T
PC
C
C
B
B
Aplicamos la ecuación de una adiabática entre C y D
K 7547
11642
V
VTTVTVT
0,4
D
CCDDDCC
1γ1γ1γ
atm2,6293
7541P
T
P
T
PD
D
D
A
A
c)
J44629363720,90,062)T(TCnW ABVAB
El trabajo es positivo puesto que se le suministra al sistema desde el exterior.
J11511642-75420,90,062)T(TCnW CDVCD
El trabajo es negativo ya que lo suministra el sistema al exterior.
El trabajo total vale:
J7051151446WWW CDABT
d) El calor evacuado al ambiente lo podemos calcular a partir de
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27-.Un ci l indro adiabático, de sección S =1 m 2 , dotado de un émboloadiabático de masa M= 1000 kg, capacidad calorífica despreciable y quepuede desplazarse sin rozamiento, está dividido en dos cámaras por untabique diatérmano (que deja pasar el calor con facil idad) rígido y fi jo,
(ver la f igura).
La pr esión exter ior que actúa sobre el émbolo es P o = 10 5 Pa. Elcompart imento A contiene 10 moles de un gas ideal con C v =21 J/mol K, ala temperatura de T o =300K. El compart imento B, 100 moles del mismogas, a la misma temperatura y presión 10 6 Pa. En estas condiciones secomunica al gas del compartimento B, 1000 kJ de calor y luego se rompeel tabique, el sistema evoluciona hasta una situación de equi l ibri o.
Calcular: a) el desplazamiento vertical del émbolo, b) la temperaturaf inal y c) la variación de entropía.
a, b). Calculamos los volúmenes de los compartimentos A y B, por aplicación de la ley
de los gases ideales. La presión que soporta el gas de A es Po más la que ejerce el
émbolo de masa M.
3
66oB
B3
5o
oAA m0,249
10
3008,31100
10
TR nV;m0,227
1
9,8100010
3008,3110
S
gMP
TR nV
Podemos suponer que rompemos el tabique y justamente la situación es: una
temperatura de 300 K y un número de moles 110 de una mezcla de gases ideales. Ahora
le comunicamos los 1000 kJ de energía calorífica y el émbolo se eleva aumentando el
volumen y la temperatura. El proceso termina cuando la presión interior de la mezcla de
gases es igual a la que soporta el émbolo desde el exterior.
Aplicamos el primer principio de la Termodinámica:
)1(0,476V10980010300T21110
0,2490,227V10980010PdV10WQ300TCnΔU
F6
F
F66
FV
A
B
Po
M=1000 kg
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La ecuación de los gases perfectos aplicada cuando se ha alcanzado el equilibrio, nos
permite escribir:
F3
FFF T8,33.10VT8,31110V109800 (2)
Combinando (2) y (1)
m4,031
0,4764,51ΔxSΔxΔVm4,515418,33.10V
K 541T0,476T8,33.1010980010693000T2310
33F
FF36
F
Cuando un gas ideal cambia su temperatura de T1 a T2 y su volumen de V1 a V2, el
cambio de entropía está dado por la ecuación.
1
2
1
2v V
VlnR
T
TlnCnΔS
Aplicamos la ecuación anterior a los gases contenidos en A y al B
K
kJ3,9
K
J38983645253SΔS
K
J3645
0,249
4,51ln8,31
300
541ln21100ΔS
;J
2530,227
4,51ln8,31
300
541ln2110ΔS
B
B
A
AS
K
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28.- Un pistón móvil de masa y rozamiento despreciables, separa unrecipiente rígido en dos partes ini cialmente a la misma presión p i .. Elrecipiente está aislado del exterior . Una parte conti ene 3,00 gramos dehidrógeno molecular a la temperatura de 300 K y la otra 16,00 g de
oxígeno molecular a la temperatura de 400 K. El pistón conducesuavemente el calor entr e el oxígeno y el hidrógeno, por lo que latemperatura de ambos gases se iguala. Todos los procesos soncuasiestáticos. Calcular .a) La temperatura final del sistemab) La relación entre la presión final p f y la inicial p i .c) La canti dad de calor Q tr ansferi da desde el oxígeno al hidrógenoDatos: Masa molar del hidrógeno 2,00g/mol, Masa molar del oxígeno32 ,00 g/mol, R=8,31 J/(mol K).Propu esto en l as Olimpiad as A siáticas de Físi ca
a) Inicialmente el sistema no está en equilibrio porque existe un gradiente de
temperatura entre sus partes. En consecuencia pasa energía calorífica desde el oxígeno
al hidrógeno hasta alcanzar el equilibrio mecánico, lo cual implica que exista
uniformidad de temperatura y presión.
Designamos con T la temperatura de los gases en el equilibrio, VH el volumen inicial
del hidrógeno y VO el volumen inicial del oxígeno, VH1 el volumen final del
hidrógeno, VO1 el volumen final del oxígeno, y con pi la presión inicial y pf la final.
Consideramos como sistema el recipiente, que está aislado del exterior, lo que supone
que no pueda intercambiar ni calor ni trabajo y por ello la variación de energía interna
del sistema es cero. Ahora bien, dentro del sistema hay un aumento de energía interna
por parte del hidrógeno y una disminución por parte del oxígeno, ambas variaciones
deben sumar cero. La variación de energía interna es ΔU= nCV(T-Ti) y CV =5R/2 por
tratarse de un gas diatómico.
K 325T400TC32,00
16,00300TC
2,00
3,000ΔU
400TC32,00
16,00ΔU;300TC
2,00
3,00ΔU
vvsistema
vOvH
b) Aplicamos a los gases la ecuación de los gases perfectos antes y después del proceso
f O1
iO
f H1
iH p
3250,5R V;
p
4000,5R V;
p
3251,5R V;
p
3001,5R V
Dado que el recipiente es rígido la suma de volúmenes antes y después del proceso es el
mismo
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59
f iiif ii
f f iiO1H1OH
p p p
650
p
650
p
162,5
p
487,5
p
200
p
450
p
3250,5R
p
3251,5R
p
4000,5R
p
3001,5R VVVV
c) Aplicamos el primer principio de la termodinámica al oxígeno: OOO WQΔU ,
siendo QO el calor perdido por el oxígeno y que es transferido al hidrógeno y WO es el
trabajo recibido por el oxígeno y suministrado por el hidrógeno.
J77975R 2
50,5400325C0,5ΔU Vo
Calculamos el trabajo realizado por el hidrógeno y tenemos en cuenta que el proceso es
cuasiestático, lo cual implica que en todo el proceso se puede sustituir la presiónexterior, esto es, pO por la del hidrógeno
J123258,311,53003251,5R dT1,5R dV pdV pW32 5
30 0
HOH
El signo menos indica que es un trabajo perdido por el hidrógeno y que es ganado por el
oxígeno, luego Wo =+312 J
J1091312779WΔUQ OOO
El signo menos indica que es un calor perdido por el oxígeno y que ha ganado el
hidrógeno.
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29.- (343) Comprobar que para un gas perfecto que realiza un procesoadiabático se cumple la siguiente ecuación
1 γ1 γ
1 P
2 P
1 γ
1 T R γ
1 H
2 H
El subíndice 2 señala el estado f inal y el 1 el i nicial .
Para un gas perfecto, que efectúa un proceso adiabático reversible entre los estados
termodinámicos 1 y 2, se cumplen las siguientes ecuaciones.
γγ2211
2
22
1
11 VPVP;T
VP
T
VP
Para un proceso adiabático 12P12 TTCHH (1)
Observando la ecuación del enunciado vamos a eliminar T2, ya que no aparece en la
ecuación del enunciado, utilizando las ecuaciones anteriores:
)2(P
PT
P
PTT
TP
P
P
PT
P
P
TP
TP
P
P
V
V;
TP
TP
V
V
γ1γ
γ11
γ11
γ1
γ1
γ1
1
21
1
212
12
1
1
22
1
2
21
12
1
2
2
1
21
12
2
1
Ahora relacionamos C p con .
)3(1γ
R γ
γ
11
R CR
γ
CC
γ
CCγ
C
C;R CC P
PP
PV
V
PVP
Sustituyendo en (1) , las ecuaciones (2) y (3) resulta:
1
γ1γ
1T
γ1γ
1
21
1
2112 P
P
1γ
TR γ
P
PT
1γ
R γHH
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30.- (350) Un gas ideal se encuentra confi nado en un cil indro verticaldotado de un pistón. Se le sumini stran al gas 5,79 kJ de energía con el finde aumentar su temperatura. El peso del pistón se ajusta de tal modo queel estado termodinámico del gas cambia del punto A al punto B a lo
largo del semicírculo mostrado en la figura. Determinar el cambio deenergía interna del gas.
Prop uest o Olim piadas de Físic a (Univ ersid ad de Toron to)
La variación de energía interna del gas viene dado por la ecuación
WQΔU El W es positivo si se le suministra al gas y negativo si es el gas el que lo hace contra el
exterior.
Si nos fijamos en la gráfica el trabajo viene determinado por el área comprendida entre
la transformación y el eje del volumen. Basta medir esa área para saber el valor del
trabajo.
La citada área se compone de un rectángulo y de un círculo. El cálculo del área del
rectángulo es inmediato
J1440m10m
N
4,810300A
Lm
N4,810300L1,26,0
m
N300.10)V(VPΔVPAr
33
2
3
r
23
23
ABA
Aparentemente en la figura aparece un semicírculo pero en la realidad esto no es así ya
que las escalas de los ejes son distintas. Lo que existe es una semi-elipse cuyos semiejes
son respectivamente.( 6,0-3,6) medido en L y (500-300) medido en kPa.
El área de una elipse es: baπAE , por tanto, el área de la semi-elipse es:
J754m10
m
N754.10LkPa754
2
kPa300500L3,66,0π
2
baπA 33
23
SE
Este trabajo es negativo ya que lo realiza el sistema. Obsérvese que aumenta el
volumen.J3596754)(14405790ΔU
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Al ser la figura una elipse es posible encontrar una ecuación explicita, pero si la curva
fuese tal que no se encontrase una ecuación de la misma, el problema solamente se
podría resolver por un método numérico de aproximación. Vamos a aplicar este método
al caso que nos ocupa y veremos que se puede cometer un error tan pequeño como
deseemos.
Imaginemos un área que tenga por altura la Presión y por base un incremento de
volumen V, su área es P.V . El procedimiento es dividir la superficie en rectángulos
y sumar las áreas de esos rectángulos.
En la figura 2 hemos tomado dentro del semicírculo una banda de superficie limitada
por las presiones Pn y Pn+1 y los volúmenes Vn Vn+1. Calculamos Pn y Pn+1 hallamos la
media aritmética
2
PPP 1nnm
A continuación calculamos Vn y Vn+1 y hallamos n1n VVΔV
El producto Pm· V nos da el área de la banda elegida. Operamos con el resto de las
bandas y sumamos todos los términos con lo que obtenemos la mitad del área.
Primero vamos a determinar los valores de la presión y sus correspondientes volúmenes.
Observemos la figura 3,.AB es el radio de la circunferencia, pero su valor depende de la
escala de los ejes. Si nos referimos al eje de los volúmenes, entonces AB =6,0-3,6 L,
pero si nos referimos al eje de las presiones AB = 500-300 kPa.
Para un ángulo cualquiera representado en 3 por , el volumen es:
θ3,6)cos(6,0θcosAB
Para ese mismo ángulo y referido a las presiones:
θsen300)(500θsenAB
Fig.2
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Escogemos intervalos de ángulos de 10º en 10 º y el valor del volumen es, tal como se
ha explicado, (6,0-3,6)*coseno(ángulo) y la presión es. (500-300)*seno(ángulo). Los
valores los agrupamos en una tabla
ángulo 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Volumen/L 2,4 2,36 2,26 2,08 1,84 1,54 1,2 0,82 0,42 0
Presión/kPa 0 34,7 68,4 100 128,6 153,2 173,2 187,9 197 200
V 0,04 0,10 0,18 0,24 0,3 0,34 0,38 0,40 0,42
Pmedio 17,35 51,55 84,2 114,3 140,9 163,2 180,6 192,5 198,5
Pmedio*V 0,69 5,16 14,3 27,4 42,3 55,5 68,6 77 83,4
La suma de los términos de la última fila es 374,4 kPa..L. Como es la mitad del círculoAc= 748,7 kJ.L.
El error cometido es:
%7,0100754
7,748754
Si en lugar de escoger intervalos de 10º en 10º los escogemos de 5º en 5º y hacemos el
mismo procedimiento el resultado es:753 kJ.
El error cometido es:
%13,0100754
753754
A
B
V
P
Fig.3
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31.- (354) Un ki logramo de aire T 1 = 523 K, presión P 1 =1 atm, densidadd 1 =0,675 kg/m 3 , describe el siguiente ciclo termodinámico:1.2Compresión adiabática hasta 25 atm. 2.3 I soterma recibiendo 400 kJ de
energía caloríf ica. 3.4. Expansión adiabáti ca hasta la pr esión inicial . 4.1Transformación isobárica hasta el estado ini cial .a) Determinar las coordenadas termodinámicas de 1, 2 , 3 y 4.b) Calcular la var iación de entropía en las cuatro transformaciones deque consta el ciclo.c) Calcular la vari ación de energía interna en los cuatro tramos delciclo.d) Trabajo total del ciclo.e) Representación del ciclo en los diagramas P-V y T- SDatos. El aire se considera como gas perfecto con C p = 29 J/mol* K. Lastransformaciones efectuadas en el ciclo son procesos reversibles .
a) Calculamos el volumen de aire: 3
31
m1,48
m
kg0,675
kg1
d
mV
Calculamos los moles de aire: mol34,5K 523
K mol
Latm0,082
L1,48.10atm1
TR
VPn
3
Coordenadas termodinámicas de 1: P1 = 1 atm, V1=1,48 L , T1 = 523 K
Transformación adiabática de 1 a 2.
Calculamos CV y . CV=Cp-R=29-8,3=20,7 J/mol K ; 1,4020,7
29
C
Cγ
v
P
32
1,4
121,42
1,4γ22
γ
11 m0,149V
25
1,48VV251,481VPVP
Para calcular T2 , utilizamos la ecuación de los gases perfectos.
K 13170,08234,5
0,149.1025
R n
VPT
322
2
Coordenadas termodinámicas de 2: P2 = 25 atm, V1=0,149 m3 , T1 = 1317 K
Calentamiento isotérmico de 2 a 3.
Primer principio de la termodinámica. WQΔU (criterio de signos, calor y trabajorealizado desde el exterior sobre el sistema positivo y si lo realiza el sistema hacia el
exterior negativo).
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0,149
Vln13178,3134,5dV
V
nRTdVPW 32
3V
0,149
3V
0,149
En una transformación isoterma de un gas perfecto U=0
33
1,05833353
m0,43V
e0,149
V0,149
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