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1. En la viga de la figura, determinar:
a) Reacciones en los apoyos.
b) Diagrama de momentos flectores.
c) Diagrama de esfuerzos cortantes.
Solución:
a) Aplicamos las ecuaciones de equilibrio para determinar las reacciones
en los apoyos.
Σ F Y = 0 ; R A+ R B +103 N - 5 · 10 3 N =0
Σ M B =0 ; R A · 4 m + 103 N · 3 m – 5 · 10 3 N · 1m = 0
Resolviendo el sistema:
R A = 500 N ; R B = 3 500 N
b) Calculamos los momentos flectores, tomando distancias a lo largo deleje longitudinal de la viga, a partir del punto A.
Para 0 ≤x≤1 m; M1X= R A · x = 500 ·x (N · m)
Para 1m≤x ≤3m; M2X= R A · x + 10
3 N · ( x-1 ) =
= 500 · x + 1000 · ( x - 1) = 1500 · x - 1000 (N · m)
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Para 3m≤ x ≤ 4 m; M3X = R A · x + 10
3 N · ( x – 1 ) – 5 · 10 3 N ( x – 3 )=
= - 3500 · x + 14000 ( N · m)
c) Para hallar los esfuerzos cortantes derivamos respecto a x lasexpresiones de los momentos flectores:
Para 0≤ x ≤ 1 m; F1X =
dX
dM1X = R A = 500 N
Para 1 m ≤ x ≤ 3 m; F2X =
dX
dM2X = 1500 N
Para 3 m ≤ x ≤4 m; F3X =
dX
dM3X = - 3500 N
Estos valores nos dan los diagramas de la figura:
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2. Hallar los diagramas de momentos flectores y de esfuerzos
cortantes correspondientes a la viga que se indica en la figura.
Solución:
En primer lugar se determinan las reacciones en los apoyos, R A y R B ,para conocer el sistema de fuerzas exteriores que actúa sobre la viga.
Debemos tener en cuenta que la carga distribuida equivale a una cargatotal de 100 000 N ( 50 · 10³N · 2 m ) aplicada en un punto que dista 2 m delapoyo A.
Σ F Y = 0; R A + R B - 100 000 N = 0
Σ M B = 0; R A · 6 m – 100 000N · 4 m = 0
Resolviendo el sistema, se obtiene:
R A =3
200000 N; R B =
3
100000 N
Momentos flectores.
Tomando distancias a partir de A, y considerando los trozos A-1, 1-2 y2-B de la viga, tenemos:
Para 0 ≤ x ≤ 1m; M X1 = R A · x =3
200000 · x ( )m· N
Para 1m ≤ x ≤ 3m; M X2 = R A · x – q ·( )
2
1-x2
=3
200000 · x -
2
50000 · ( )21-x = - 25000 x 2 +
3
350000 · x – 25000 (N · m)
El momento será máximo en aquel punto en que la derivada primera se
anule:
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dX
dM = -50000 · x +
3
350000 = 0 ; x= 7/3 m = 2,3 m
El momento máximo vale:
M máx =9
1000000 N · m
Para 3 m ≤ x ≤ 6 m: M X3 = R B · ( )x-6 = 200000 -3
100000 · x ( N ·m )
Esfuerzos cortantes:
Aplicando la expresión F =dX
dM tenemos:
Para 0 ≤ x ≤ 1m; F X1 =dX
dMX1 = R A =3
200000 N
Para 1m ≤ x ≤ 3m; F X2 =dX
dMX2 = - 50000 · x +3
350000 N
Para 3 m ≤ x ≤ 6 m: F X3 =dX
dMX3 = -3
100000 N
Los diagramas de momentos flectores y de esfuerzos cortantes:
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3. Hallar los diagramas de momentos flectores y de esfuerzos
cortantes correspondientes a la viga en voladizo que se indica en la figura.
Solución:
Momentos flectores.
Trazando secciones y aislando en cada caso la parte de la izquierda, los
momentos flectores son los siguientes:
Para 0 ≤ x ≤ 2m; M X1 = -2
q·x2 = - 2500 x 2 N · m
para x = 2; M = -2500 · 2 2 = - 10 000 N · m.
Para 2 m ≤ x ≤ 3 m: M X2 = - q · a ·
2a -x = - 10000 · ( )1-x N · m
para x = 3 m; M = -20000 N · m.
Para 3 m ≤ x ≤ 5 m: M X3 = - q · a ·
2
a -x - P · ( )[ ] ba-x + =
= 25000 – 15000 x N · m
para x = 5 m; M = - 50000 N · m.
Esfuerzos cortantes.
Los esfuerzos cortantes se obtienen derivando las expresiones de losmomentos flectores:
Para 0 ≤ x ≤ 2m: F X1 =dX
dMX1 = - 5000 · x N
Para 2 m ≤ x ≤ 3 m: F X2 = dXdMX2 = - 10000 N
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Para 3 m ≤ x ≤ 5 m: F X3 =dX
dMX3 = - 15000 N
Los diagrama de esfuerzos cortantes y momentos flectores son lossiguientes:
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4. Determinar las reacciones en los soportes A y B de la viga de la
figura. Realizar también el diagrama de fuerzas cortantes y momentosflectores. A continuación, determina el tipo de perfil laminado “IPN” para
el ejercicio de la figura, si la tensión admisible del perfil es de 12000
N/cm2.
Solución:
Dibujaremos en primer lugar el diagrama del sólido libre.
En el soporte A tendremos dos reacciones: una horizontal RAX y otra
vertical RAY ; en el soporte B tendremos una reacción vertical R BY , ya que la
viga está sustentada en un rodillo.
Determinación de las reacciones en los soportes:
Las ecuaciones de equilibrio que deberán cumplirse serán:
Σ F X = 0; Σ F Y = 0, Σ M 0 = 0
Σ F X = 0; R AX = 0.
Σ F Y = 0; R AY + R BY - 7000 N – 6000 N = 0;
Σ M 0 = 0; 7000 N · 1 m + 6000 N · 2,5 m - R BY · 4 m = 0
Resolviendo; R BY = 5500 N ↑ ; R AY = 7000 N ↑
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Determinacón de fuerzas cortantes y de momentos flectores.
Hay que determinarlos en cada tramo de la viga. Por lo tanto, iremoscogiendo uno a uno los distintos tramos y determinando la fuerza cortante y elmomento flector del mismo.
Tramo AC ; 0 ≤ x ≤1 m
T AC = 7500 N
M AC = T AC · x= 7500 N · x
x= 0; M AC = 0
x= 1; M AC = 7500 N · m
Tramo CD ; 1 ≤ x ≤ ,5 m
T CD = 7500 N – 7000 N = 500 N
MCD = 7000 N · 1 m + T CD · x
MCD = 7000 N · 1 m + 500 N · x
x= 1 m; M CD = 7000 N m
x= 2,5 m; M CD = 8250 N · m
Tramo DB; 2,5 ≤ x ≤ 4 m
T DB = 7500 N – 7000 N – 6000 N = - 5500 N
M DB = ( )m1· N7000 + ( )m2,5· N6000 - T DB · x
M DB = 22000 N m – 5500 N · x
x = 2,5 m; M DB = 8250 N m
x = 4 m; M DB = 0
La representación gráfica de los esfuerzos cortantes y momentos
flectores es la siguiente:
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Determinación del tipo de perfil.
Sabemos que el momento flector máximo vale:
M DB = 8250 N · m
Por tanto, el módulo resistente de la viga que necesitamos lodeterminaremos a partir de la ecuación:
adm
f máxMWσ
=
W =2
2
cm12000
cm N10·8250 = 68,75 cm 3
Una vez determinado el módulo resistente iremos a una tabla (que
deben proporcionarnos para la resolución del problema)y el perfil que cumpleeste módulo resistente en una IPN 40.
IPN40:
I X = 573 cm3
W X = 81,9 cm3
Comprobación de la tensión de trabajo que puede resistir:
admσ =W
Mfmax
admσ
= 3
2
cm81,9
cm N10·8250
= 10073,26 N/cm
2
(valor por debajo del máximo
admisible, luego el resultado es correcto)
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5. Se considera una viga simplemente apoyada sometida a dos
cargas puntuales antimétricas y cuya sección es una simple T con lasdimensiones indicadas en la figura.
Se pide:
Valor de la carga P para que en la sección más solicitada la tensiónnormal sea igual al límite elástico del material.
Dato: ( )2
e Kg/cm1800=σ
Solución:
A partir de la expresión admσ =W
Mfmax obtendremos el valor de la carga
máxima P que nos piden. Pero previamente hemos de conocer la distribuciónde momentos flectotes en la viga.
Por lo tanto procedemos a calcularla:
1. Cálculo de reacciones.
Σ F Y = 0; R A+ P + R B = P
Σ M A = 0; P · 2 m – P · 4 m - R B · 6 m =0
Resolviendo el sistema, obtenemos:
R A=3
P; R B = -
3
P (sentido contrario al supuesto)
2. Diagrama de momentos flectores:
Sección 1; 0 ≤ x ≤ 2 m
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M(x) = R A · x =3
P· x
M(x=0) = 0; M(x=2) =3
P2
Sección 2; 2 ≤ x ≤ 4 m
M(x)= R A · x – P (x - 2) =3
P· x – P (x - 2)
M(x=2) =3
P2; M(x=4) = -
3
P2
Calculamos ahora el punto donde el momento se hace nulo:
M(x) = 0 ⇒ 3
P· x – P (x - 2) = 0 ⇒ x = 3 m.
Sección 3; 0 ≤ x́ ≤ 2 m
M(x) = - R B · x´ = -3
P · x´
M(x´=0) = 0 ; M(x´=2) = -3
P2
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El siguiente paso es el de calcular el momento de inercia de la viga
Es necesario también calcular previamente el centro de gravedad de laviga.
S·ySy iiG Σ=
= )2·6()2·10(2)·(61)2·10(7
++
= 4,75 cm.
Y max= h - yG
Para determinar el momento de inercia respecto a z, aplicamos elteorema de Steiner.
ZI =22
32
3
cm67,440)75,3(2·612
2·64,75)-(72·10
12
10·2=+++
Finalmente, aplicamos la expresión del momenro resistente:
adm
f máxMWσ
=
maxY
I W Z =
Igualando la tensión máxima al límite elástico, según nos indican en elenunciado del problema:
max
Z
f max
I
máxMY ⋅=σ = eσ
Se toma admσ de tracción. Para x= 2 m , Mmáx =3
P2kg · m
1800 =
3
P2· 100
67,440
1· 7,25 ⇒ P= 1641 kg.
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6. Dada la viga representada en la figura, se pide:
a) Diagrama de momentos flectores y esfuerzos cortantes.b) Perfil IPN necesario.
Dato: admσ = 1400 kg/cm²
Solución:
En primer lugar calculamos las reacciones en los apoyos:
Σ F Y = 0; R A+ R B = 12 Tm
Σ M A = 0; 4 Tm · 1 m + 4 Tm · 5 m + 4 Tm · 6 m - R B · 4 m = 0
Resolviendo el sistema, R A= 2 Tm ; R B = 14 Tm
Momentos flectores y los esfuerzos cortantes en cada tramo de la viga.
0 ≤ x ≤ 2 m
M(x) = - RA
· x – 2 · x ·2
x = - 2 · x - x² ;
M(x=0) = 0 M(x=2) = - 8 Tm
T(x) = - R A - q · x = -2 – 2 · x = -2 (x+1)
T(x=0) = - 2 Tm T(x=2) = - 6 Tm
2 ≤ x ≤ 3 m
M(x) = - R A · x – 4 (x-1) + 8 = -2 · x – 4 · x + 4 + 8 = - 6 · x + 12
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M(x=2) = -8 Tm; M(x=3) = -6 Tm
T(x) = -2 – 4 = -6
T(x=2) = -6 Tm; T(x=3) = -6 Tm
0 ≤ x´ ≤ 2 m
M(x´)= - 4 · x´ - 2 · x´ ·2
x´ = - 4 · x´ - x´²
M(x´=0) = 0; M(x´=2) = - 12 Tm
T(x´)= 4 + 2 · x´
T(x´=0) = 4 Tm; T(x´=2) = 8 tm
2 ≤ x´ ≤ 3 m
M(x´) = - 4 · x´ - 4 (x´-1) + 14 (x´-2) = 6· x´- 24
M(x´=2) = -12 Tm; M(x´=3) = - 6 Tm
T(x´) = 4 + + -14 = -6 Tm
T(x´=2) = -6 Tm; T(x´=3) = -6 Tm
Determinamos a continuación el perfil que soporte las cargas:
3
2
23
cm14,857/1400
·101012max=
⋅⋅==
cm Kg
cm Kg M W
adm
f
σ
Vamos a una tablas (que deben proporcionarnos) y el módulo resistenteinmediatamente superior es de 923 cm³, que correpsonde a IPN 340
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