Facharbeit
Mathematische Betrachtung von Primzahlen und deren Bedeutung in
außermathematischen Anwendungen
Märkische Schule Mathe-Leistungskurs 12 2009/03
Herr Martschin
René Mathieu
Rene Mathieu
2 PRIMZAHLEN
1 Inhaltsverzeichnis 2 Einleitung ........................................................................................................................................................ 3
3 Definition......................................................................................................................................................... 3
4 Die eindeutige Primfaktorzerlegung ................................................................................................... 3
5 Anzahl der Primzahlen .............................................................................................................................. 5
5.1 Beweis der Unendlichkeit nach Euklid ..................................................................................... 5
5.2 Beweis der Unendlichkeit nach Métrod .................................................................................... 5
5.3 Beweis der Unendlichkeit nach Euler ........................................................................................ 6
6 Ermittlung von Primzahlen ..................................................................................................................... 8
6.1 Das Sieb des Eratosthenes .............................................................................................................. 8
6.2 Formeln zur Konstruktion von Primzahlen ............................................................................ 9
6.2.1 Fermatzahlen .......................................................................................................................... 10
6.2.2 Mersenne-Zahlen ................................................................................................................... 11
6.3 Der kleine Satz von Fermat ......................................................................................................... 11
6.4 Der Satz von Wilson ....................................................................................................................... 13
7 Verteilung von Primzahlen ................................................................................................................... 14
7.1 Die grafische Darstellung der Primzahlverteilung ............................................................ 15
8 Anwendung von Primzahlen in der Kryptographie ................................................................... 15
8.1 Einleitung ........................................................................................................................................... 15
8.2 Symmetrische Kryptographie .................................................................................................... 15
8.3 Asymmetrische Kryptographie ................................................................................................. 16
8.4 RSA-Verfahren .................................................................................................................................. 16
8.4.1 Einwegfunktion ...................................................................................................................... 16
8.4.2 Schlüsselerzeugung .............................................................................................................. 17
8.4.3 Ver- und Entschlüsselung .................................................................................................. 17
8.4.4 Sicherheit des Verfahrens .................................................................................................. 17
9 Schlussbemerkung ................................................................................................................................... 18
10 Literaturverzeichnis ........................................................................................................................... 19
10.1 Bücher .................................................................................................................................................. 19
10.2 Internetseiten ................................................................................................................................... 19
10.2.1 Biographien.............................................................................................................................. 19
10.2.2 Allgemein .................................................................................................................................. 19
11 Anhang...................................................................................................................................................... 21
12 Selbstständigkeitserklärung ............................................................................................................ 25
Rene Mathieu
3 PRIMZAHLEN
2 EINLEITUNG „Die Mathematik ist die Königin der Wissenschaften, und die Zahlentheorie ist die Königin
der Mathematik“ (Carl Friedrich Gauss)
Wenn man diesem Ausspruch glaubt, oder zumindest einen gewissen Funken Wahrheit
beimisst, so werde ich mich in dieser Arbeit mit einem Teilgebiet dieser „Königin“
beschäftigen, nämlich den Primzahlen als ein Teil der Zahlentheorie. Die Primzahlen
haben schon viele Mathematiker in der Geschichte fasziniert und einige ihrer Namen
kommen auch in dieser Facharbeit vor. Aber was ist das Besondere an diesen Zahlen, dass
sich so viele berühmte Mathematiker sich mit ihnen intensiv auseinander gesetzt haben?
Nun, es ist so, dass die Primzahlen zum einen sehr einfach zu definieren sind und sie die
Grundlage für viele mathematische Sätze bilden. Zum anderen entziehen sie sich
anscheinend teilweise Gesetzmäßigkeiten und bieten bis jetzt noch ungelöste Probleme1.
So ist es nicht verwunderlich, dass auch gerade Probleme bzw. noch nicht bewiesene
Theorien von Primzahlen bei Auflistungen von ungelösten mathematischen Problemen
auftauchen2.
3 DEFINITION
Jede natürliche Zahl n besitzt in jedem Fall die Teiler 1 und n. Diese Teiler bezeichnet man
auch als triviale Teiler. Und als Primzahlen werden nun alle jene natürlichen Zahlen mit n
> 1 bezeichnet, die nur die trivialen Teiler besitzen.
Laut Definition ist 1 selber keine Primzahl, weil es sich als sinnvoll erwiesen hat, die 1
auszulassen, da sie als Teiler in beliebiger Potenz einer jeden Zahl auftaucht. Die erste
Primzahl ist somit die 2 und ist so gesehen einzigartig, denn sie ist die einzige gerade
Primzahl, da jede weitere gerade Zahl ein Vielfaches von 2 ist.
4 DIE EINDEUTIGE PRIMFAKTORZERLEGUNG
Viele der natürlichen Zahlen lassen sich in kleine Faktoren zerlegen, können also als
Produkt zweier Zahlen geschrieben werden. Dass dies so ist, wenn die Zahl n keine
Primzahl ist, lässt sich durch den Satz „Jede Zahl ist entweder eine Primzahl oder wird von
1 z.B. die Vermutungen von Riemann oder Goldbach siehe 10.2.2. 11. / 12. 2 Hilbertsche Probleme oder Ungelöste Probleme der Mathematik siehe 10.2.2. 13. / 14.
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4 PRIMZAHLEN
einer Primzahl gemessen“3 nachvollziehen. Aus diesem ersten Satz über Primzahlen lässt
sich der Satz der Eindeutigen Primfaktorzerlegung ableiten:
„Ist n > 1 eine natürliche Zahl, so gibt es nicht notwendig verschiedene Primzahlen 𝑝1 ,… ,𝑝𝑟 ,
sodass n=𝑝1 ∗ …∗ 𝑝𝑟gilt. Diese Darstellung ist bis auf ihre Reihenfolge der Faktoren
eindeutig.“4
Um diesen Satz zu beweisen, muss man erst einmal zeigen, dass man jede natürliche Zahl
n als Produkt von Primfaktoren schreiben kann. Notwendig ist es hierfür, den obigen Satz,
dass jede Zahl außer den Primzahlen als Produkt von Primzahlen geschrieben werden
kann, häufig genug anzuwenden. Wenn n selber prim ist, dann haben wir bereits seine
Primfaktorzerlegung, die aus den trivialen Teiler von n besteht. Andernfalls lässt sich n als
Produkt 𝑛 = 𝑝1 ∗ 𝑎 schreiben, wobei stets gilt 1 > 𝑎 > 𝑛, und man hätte den ersten
Primfaktor von n, nämlich p1. Nun geht es mit a weiter. Entweder ist a selber prim und
damit der zweite und letzte Primteiler von n oder es ist zusammengesetzt und lässt sich
als 𝑎 = 𝑝2 ∗ 𝑏 schreiben und es gilt wiederum 1 < 𝑏 < 𝑎 < 𝑛. Setzt man diese Gleichung
nun in die vorangegangene Gleichung ein, so erhält man 𝑛 = 𝑝1 ∗ 𝑝2 ∗ 𝑏. Man sieht
dadurch, dass die Faktoren, die zu überprüfen sind, stetig kleiner werden und das
Verfahren somit einmal abbrechen muss. Dabei ist die Darstellung von n die am Ende für n
steht dann die gesamte Primfaktorzerlegung.
Im nächsten Schritt muss jetzt noch bewiesen werden, dass diese Darstellung der
Primfaktorzerlegung einer jeder Zahl n für diese eindeutig ist. Dazu gibt es angenommen
zwei verschiedene Darstellungen von n als Produkt:
𝑛 = 𝑝1 ∗ …∗ 𝑝𝑟 = 𝑞1 ∗ …∗ 𝑞𝑠 (1)
Weil nun p1 in der linken Zerlegung von n vorkommt, teilt es auch die rechte 𝑞1(𝑞2 ∗ …∗
𝑞𝑠). Daraus folgt 𝑝1|𝑞1 oder 𝑝1|(𝑞2 ∗ … ∗ 𝑞𝑠), dazu analog kann man wiederum 𝑝1|𝑞2
oder 𝑝1|(𝑞3 ∗ …∗ 𝑞𝑠) folgern. Wenn man dieses bis 𝑝1|𝑞𝑠 weiterführt, erkennt man, dass es
nun mindestens einen Faktor qj geben muss, für den 𝑝1|𝑞𝑗 gilt . Aufgrund der Eigenschaft,
dass beides Primzahlen sind, muss p1 = qj gelten. Wenn man diese aus der Gleichung (1)
heraus kürzt und analog zu p1 mit p2 verfährt, kommt man auf dasselbe Ergebnis p2 = qk.
Am Ende erkennt man, dass es zu jedem Faktor der ersten Zerlegung einen äquivalenten
in der zweiten Zerlegung gibt. Somit sind die Zerlegungen gleich und es ist bewiesen, dass
es nur eine, bis auf ihre Reihenfolge verschiedene, Primfaktorzerlegung gibt.
3 nach II. S. 16 Satz 2 4 nach II. S. 25 Satz 7
Rene Mathieu
5 PRIMZAHLEN
5 ANZAHL DER PRIMZAHLEN
Bei dem Beweis, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, ist etwas Interessantes zu
beobachten. So gibt es gerade hier viele Beweise mit teilweise sehr unterschiedlichen
Ideen5. Jedoch sind die meisten Beweise in einem gleich, denn sie gehen indirekt vor, um
die Unendlichkeit der Primzahlen zu beweisen:
Sie gehen von ihrer Endlichkeit aus und folgern aus dieser Annahme einen Widerspruch.
Ich werde hier zum einen den vermeintlich ältesten und bekanntesten Beweis, den nach
Euklid6, den ebenfalls einfachen aber eher unbekannten Beweis nach Métrod und den von
Euler darstellen , um zu verdeutlichen, wie unterschiedlich die Annahme der
Unendlichkeit bewiesen werden kann.
5.1 BEWEIS DER UNENDLICHKEIT NACH EUKLID
Zu beweisende Behauptung:
Es gibt mehr Primzahlen als jede vorgelegte Anzahl von Primzahlen
Man geht davon aus, dass es nur endlich viele Primzahlen gibt mit p1 = 2 < p2 = 3 < … < pr
wobei pr die größte Primzahl ist. Daraus bildet man die Zahl n = p1 ∙ p2 ∙ … ∙ pr + 1. Diese
besitzt nun, weil sie eine natürliche Zahl ist, eine bis auf ihre Reihenfolge eindeutige
Primfaktorzerlegung und kann keine Primzahl sein, da n > pr gilt. Nun sei q einer dieser
Primteiler, so kann er nicht unter den Primzahlen p1, p2, …, pr zu finden sein, weil sonst
q | n und q | p1 ∙ p2 ∙ … ∙ pr stimmen müsste und daraus q | n - p1 ∙ p2 ∙ … ∙ pr = 1 gefolgert
werden kann, was offenbar nicht möglich ist. Deshalb muss n eine weitere Primzahl sein
und dies beweist, dass p1, p2, …, pr nicht schon alle Primzahlen gewesen sind.
5.2 BEWEIS DER UNENDLICHKEIT NACH MÉTROD
Ähnlich wie der Beweis von Stieltjes, welcher den Beweis von Euklid als Spezialfall enthält,
geht auch Métrod in seinem Beweis vor. Hier bezeichnet man wieder p1 = 2 < p2 = 3 < … <
pr die begrenzte Anzahl verschiedener Primzahlen und bildet ihr Produkt m = p1 ∙ p2 ∙ … ∙
pr. Diesmal betrachtet man jedoch die Zahl
5 Eine Auflistung von verschiedenen Beweisen zur Unendlichkeit der Primzahlen s. 10.2.2. 1. 6 * 330 † 275 v.Chr Seine Elemente (einem dreizehnbändigen Kompendium des gesamten mathematischen Wissens jener Zeit) enthalten neben einer systematischen Darstellung der geometrischen Grundbegriffe auch alles, was zu seiner Zeit über die Zahlentheorie bekannt war. Hier steht auch der 'Fundamentalsatz der Arithmetik' zum ersten Mal: Jede natürliche Zahl >1 ist entweder eine Primzahl oder kann auf eindeutige Weise als Produkt von Primzahlen geschrieben werden. Das Verfahren zur Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers wurde im 7.Buch seiner Elemente erstmals vorgestellt und ist seither unter dem Namen Euklidischer Algorithmus bekannt.
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6 PRIMZAHLEN
𝑠 = 𝑚
𝑝𝑖
𝑟
𝑖=1
und zeigt, dass sie selber lauter neue Primfaktoren besitzt, sofern gilt 𝑠 > 1. Denn würde
eine der Primzahlen aus der Reihe p1, p2, … , pr angenommen p1 s teilen, hieße es für p1
wegen p1 | 𝑚
𝑝𝑖(𝑖 = 2,… , 𝑟) dass auch 𝑝1 | 𝑝2𝑝3 …𝑝𝑟 gilt, da 𝑠 −
𝑚
𝑝𝑖
𝑟𝑖=2 =
𝑚
𝑝1 . Dies ist jedoch
ein Widerspruch, denn p1 ist von jeder anderen Primzahl der Reihe 𝑝2𝑝3 …𝑝𝑟 verschieden.
Dass diese Zahl s nur wirklich neue Primfaktoren besitzt, werde ich hier einmal
exemplarisch an einem Beispiel zeigen:
Alle Primzahlen sollten in der Folge 2,3,5,7 vorkommen. Dann wäre 𝑚 = 2 ∗ 3 ∗ 5 ∗ 7 =
210 und 𝑠 = 𝑚
2+
𝑚
3+
𝑚
5+
𝑚
7= 247 und deren Primfaktorzerlegung 247 = 13 ∗ 19. Man
sieht 2,3,5 und 7 können nicht alle Primzahlen gewesen sein, denn 13 und 19 müssen auch
Primzahlen sein, weil sie die Primfaktorzerlegung von s bilden.
5.3 BEWEIS DER UNENDLICHKEIT NACH EULER
Ein radikal neuer Gedankengang zum Beweis, dass es unendlich viele Primzahlen gibt,
stammt von Euler. Auch er beweist indirekt, dass es so ist, indem er von einer endlichen
Reihe von Primzahlen p1 = 2 < p2 = 3 < … < pr ausgeht und hieraus einen Widerspruch
ableitet. Außerdem benutzt er die eindeutige Primfaktorzerlegung einer Zahl 𝑛 ∈ ℕ, die
sich dann in der Form von 𝑛 = 𝑝1𝑘1 ∗ 𝑝2
𝑘2 ∗ ,… , ∗ 𝑝𝑟𝑘𝑟 (𝑘𝑖 ≥ 0) darstellen ließe. Nun
betrachtet er die Summe der Reziproken der Zahlen 𝑝1𝑘1 ∗ 𝑝2
𝑘2 ∗ ,… , ∗ 𝑝𝑟𝑘𝑟 . Gäbe es nur
eine Primzahl sähe die Summe der Reziproken wie folgt aus:
1
𝑝1𝑘
∞
𝑘=0
Diese Summe ließe sich jedoch mit Hilfe der Summenformel7 für geometrische Reihen
auch so schreiben:
1
1 −1𝑝1
Wäre r nun 2 anstatt 1, so würde sich folgende Summe ergeben:
1
𝑝1𝑘1𝑝2
𝑘2
∞
𝑘1 ,𝑘2≥0
= 1 + 1
𝑝1+
1
𝑝2+
1
𝑝12
+ 1
𝑝1𝑝2+
1
𝑝22
+1
𝑝1𝑝22
+1
𝑝12𝑝2
+1
𝑝12𝑝2
2+⋯
7 siehe Anhang a)
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7 PRIMZAHLEN
Die rechte Seite ließe sich jedoch durch das Produkt von zwei Summen schreiben, wie
durch ausrechnen ersichtlich wird:
1 + 1
𝑝1+
1
𝑝2+
1
𝑝12
+ 1
𝑝1𝑝2+
1
𝑝22
+1
𝑝1𝑝22
+1
𝑝12𝑝2
+1
𝑝12𝑝2
2+⋯
= 1
𝑝1𝑜
+ 1
𝑝11
+1
𝑝12
+⋯ 1
𝑝2𝑜
+ 1
𝑝21
+1
𝑝22
+⋯
= 1
𝑝1𝑘1
∞
𝑘1≥0
1
𝑝2𝑘2
∞
𝑘2≥0
Da man jetzt wieder zwei Summen hat, welche die Gestalt ähnlich wie bei r=1 haben, also
eine geometrische Reihe sind, kann man wiederum einen konkreten Wert angeben,
nämlich 1
1−1
𝑝𝑖
. Da wir jetzt aber kein konkretes r haben, sondern r beliebig ist, da es ja nur
der Index der größten angenommenen Primzahl ist, muss man aus den beiden Beispielen
noch den allgemeinen Fall ableiten:
1
𝑝1𝑘1𝑝2
𝑘2 ,… ,𝑝𝑟𝑘𝑟
∞
𝑘1𝑘2 ,…,𝑘𝑟≥0
= 1
𝑝1𝑘1
∞
𝑘1≥0
∗ 1
𝑝2𝑘2
∞
𝑘2≥0
∗ …∗ 1
𝑝𝑟𝑘𝑟
∞
𝑘𝑟≥0
=1
1−1𝑝1
∗ 1
1−1𝑝2
∗ …∗ 1
1−1𝑝𝑟
= 1
1−1𝑝𝑖
𝑟
𝑖=1
Dadurch, dass die Reihe 𝑝1𝑘1 ∗ 𝑝2
𝑘2 ∗ ,… , ∗ 𝑝𝑟𝑘𝑟 die eindeutige Primfaktorzerlegung
einer jeder natürlichen Zahl n darstellen soll, kann man nun die Summe der Reziproken
aller Primzahlen mit der Summe der Reziproken der natürlichen Zahlen gleichsetzen,
welches die harmonische Reihe darstellt:
1
1 −1𝑝𝑖
= 1
𝑛
∞
𝑛 ≥1
𝑟
𝑖=1
Dies ist der letztendliche Widerspruch, denn auf der linken Seite steht ein endlicher
Ausdruck, da r ein fester Wert ist, und rechts steht die sogenannte harmonische Reihe8, die
bekanntlich divergiert.
8 „Obwohl die Elemente der harmonischen Folge schnell kleiner werden und sich an null annähern, ist die aus ihnen gebildete Reihe divergent. Der Wert der Reihe überschreitet beliebige Werte,
Rene Mathieu
8 PRIMZAHLEN
Nun könnte man vermuten, dass Eulers Beweis eigentlich vollkommen überflüssig ist,
denn er beweist nur etwas, das schon viel früher von Euklid auf erheblich einfacherem
Wege geschafft wurde. Auch ist Eulers Beweis im Gegensatz zu Euklids nicht konstruktiv,
denn dessen Beweis zeigt, wie man von einer gegebenen Menge an Primzahlen an eine
Neue herankommt, sie also „konstruiert“. Dennoch ist Eulers Beweis von erheblichem
Wert, da er neue Fragen über Primzahlen aufwirft, die zu tieferen Erkenntnissen führen.
Diese würden jedoch das Niveau dieser Facharbeit übersteigen9.
6 ERMITTLUNG VON PRIMZAHLEN
Nachdem man nun weiß, dass es unter den natürlichen Zahlen unendlich viele Primzahlen
gibt, ist die nächste Fragestellung, wie man diese erkennt. Im Gegensatz zu geraden
Zahlen, die ja bekanntlich auf eine gerade Ziffer enden, sieht man den Primzahlen nicht an,
dass sie solche sind. Gesucht werden nun also Verfahren und Formeln, wie man solche
Primzahlen erkennen bzw. konstruieren kann.
6.1 DAS SIEB DES ERATOSTHENES
Das folgende Verfahren zum Bestimmen aller Primzahlen bis zu einer gegebenen Schranke
n stammt von Eratosthenes10 und ist das einfachste Prinzip zum Auffinden von
Primzahlen. Um mit Hilfe des „Siebs“ an alle Primzahlen bis zur gegebenen Zahl n zu
gelangen, schreibt man alle Zahlen größer 1 bis n auf. Nun muss man nur alle
zusammengesetzten, also nicht primen, Zahlen durchstreichen. Durch den Satz11 haben
alle solche Zahlen m < n einen Primteiler p mit 𝑝 ≤ 𝑚 ≤ 𝑛 und man muss alle echten
Vielfachen der Primzahlen aussortieren. Diese Primzahlen müssen jedoch nicht gekannt
werden, da sie sich durch das „Sieb“ von selbst ergeben, nämlich die Zahlen sind, die nicht
durchgestrichen wurden. Ich zeige das Verfahren nun anhand eines Beispiels:
wenn n nur groß genug gewählt wird.“ nach 10.2.2. 6.. Für den Beweis der Divergenz siehe Anhang b). 9 z.B. Verhalten der unendlichen Reihe
1
𝑝𝑝 𝑝𝑟𝑖𝑚 nach II. S. 42.
10 * um 284 oder 274 v. Chr † um 202 oder um 194 v. Chr. Griechischer Gelehrter und Dichter Leiter der berühmten Bibliothek von Athen nach Alexandria. Hier ging Eratosthenes seinen philosophischen und lexikographischen Studien nach. Als erster unternahm Eratosthenes eine umfassende kartographische Aufnahme der zu seiner Zeit bekannten Erde, die er zu diesem Zweck mit einem Gradnetz überzog, sowie — unter Annahme der Kugelform(!)— eine Bestimmung ihres Umfangs. In der Mathematik befasste er sich mit dem delischen Problem, der Verdoppelung des Würfelvolumens unter Wahrung seiner Gestalt, und entwickelte das „Sieb des Eratosthenes“, eine Methode zur Ermittlung der Primzahlen. 11„Ist die natürliche Zahl n > 1 zusammengesetzt, so besitzt sie einen Primteiler p mit 𝑝 ≤ 𝑛 .“ Nach II. S. 16
Rene Mathieu
9 PRIMZAHLEN
Wir suchen alle Primzahlen in der Reihe von 2 bis 35 und schreiben diese Reihe zunächst
einmal auf:
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33
34 35
Nun fängt man bei der kleinsten Primzahl, der 2, an und streicht in der ganzen Liste alle
Vielfachen von 2 durch. Dabei bleibt die 2 selber stehen, das heißt sie ist eine Primzahl.
2 3 412 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33
34 35
Die erste nicht durchgestrichene Zahl 3 ist die nächste Primzahl. Analog zur 2 werden nun
alle Vielfachen der 3 durchgestrichen.
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33
34 35
Alle Zahlen, die nun doppelt durchgestrichen wurden, sind keine echten Vielfachen von 3,
sondern von 2 und waren deshalb schon weggestrichen. Deswegen muss man nur alle
echten Vielfachen der jeweiligen Primzahl durchstreichen. Genauso verfährt man noch mit
der 5, danach ist man fertig, da das Verfahren nur so lange durchgeführtwird wird, wie
𝑝 ≤ 𝑛 gilt . Anscheinend sind alle nun erhaltenen Zahlen k wirklich Primzahlen, denn
wenn p eine eben solche ist, dann wird sie niemals durchgestrichen und muss dadurch
irgendwann an die erste Stelle der noch stehengebliebenen Zahlen rücken. Außerdem sind
alle zusammengesetzten Zahlen 𝑧 ≤ 𝑛, die ja ein Vielfaches einer Primzahl 𝑝 ≤ 𝑛 sind,
irgendwann gestrichen worden. Daraus ergibt sich für folgende Reihe von Primzahlen
𝑝 ≤ 𝑛 :
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31
6.2 FORMELN ZUR KONSTRUKTION VON PRIMZAHLEN
Eine weitere Frage, die sich bei den Primzahlen auftut ist die, ob es Wege,
beziehungsweise Formeln zur Konstruktion jener Zahlen gibt. Heute gibt es eine Vielzahl
solcher, die zum Beispiel in dem Buch „The Book of Prime Number Records“13 in einer
ausführlichen Fülle erläutert werden. Ich werde hier zwei verschiedene Arten von
speziellen Primzahlen vorstellen, denen besondere Bedeutung zugemessen wird.
12 Die 4 ist als Vielfaches von 2 durchgestrichen, auch wenn dies schlecht zu erkennen ist. 13 siehe 11.1 VI.
Rene Mathieu
10 PRIMZAHLEN
6.2.1 FERMATZAHLEN
Fermatzahlen sind benannt nach ihrem Entdecker dem Mathematiker Pierre de Fermat14
und haben die Form 𝐹𝑛 = 2𝑛 + 1. So sind die ersten Primzahlen, die mit der Formel
konstruiert werden können, 3,5,17,257 mit den jeweiligen Werten 1,2,4,8 für n. Dass die
Werte, die n annimmt, nur Potenzen von 2 sein können, wird durch folgende Überlegung
ersichtlich:
Wenn n eine Zahl mit einem ungeraden Primteiler p wäre, würde 𝑛 = 𝑞 ∗ 𝑝 gelten und
daraus könnte
2𝑛 + 1 = 2𝑞∗𝑝 + 1 = 2𝑞 + 1 (2𝑞 𝑝−1 − 2𝑞 𝑝−2 + 2𝑞(𝑝−3) −⋯+ 1)
gefolgert werden. Dies würde aber für 2𝑛 + 1 bedeuten, dass es keine Primzahl sein kann,
denn die Zahl hätte die Zerlegung der rechten Seite der obigen Gleichung. Deshalb muss
𝑛 = 2𝑘 mit 𝑘 ∈ ℕ stets gelten. So kann man die Formel auch in einer anderen Weise
schreiben 𝐹𝑚 = 22𝑚 + 1. Die Frage, ob Fm immer prim ist, wird hierdurch aber nicht
geklärt. Fermat vermutet, dass alle auf diese Weise konstruierten Zahlen prim seien,
konnte dies jedoch nur mit den ersten Zahlen F1 bis F4 nahe legen. Dass schon F515 nicht
mehr prim ist wurde später von Euler bewiesen. Jedoch hat er nicht solange jede Primzahl
𝑝 ≥ 𝐹5~ 65536 ausprobiert, sondern es auf formalen Weg nachgewiesen. Er hat
nachgewiesen, dass jeder Primfaktor von Fm die Form 2𝑚+2𝑘 + 1 besitzen muss. Durch
5=m folgt daraus 27𝑘 + 1 = 128𝑘 + 1. Wenn man nacheinander für k 1,2,3,4,5 einsetzt
und überprüft, ob nun die erhaltene Zahl in diesem Fall F5 teilt, kommt man schon bei k=5
auf 641 und erkennt, dass dies einer der Primteiler von F5 ist. Somit hatte Euler bewiesen,
dass nicht alle Fermatzahlen Primzahlen sind. Bis heute hat man mit anderer
theoretischer Überlegung und Hilfe von Computern nachgewiesen, dass die Zahlen Fm mit
m<22 allesamt nicht prim sind.
Anhand der Fermatzahlen kann man zeigen, wie individuell sich die Primzahlen verhalten
und wie vorsichtig man bei Verallgemeinerungen sein muss, welche man aus einer
begrenzten Anzahl von richtigen Ergebnissen geschlossen hat.
14 * Ende 1607 oder Anfang 1608 in Beaumont-de-Lomagne; † 12. Januar 1665 Der Jurist und Parlamentsrat Fermat entwickelte fast gleichzeitig mit René Descartes die Vorstufen der analytischen Geometrie. Als Privatgelehrter wirkte er bahnbrechend auch in der Infinitesimalrechnung und vor allem in der Zahlentheorie mit seinen Fermatschen Sätzen sowie in der Differential- und Integralrechnung. In einer ausgedehnten Korrespondenz mit Blaise Pascal entwickelte er 1654 die Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung anhand der Glücksspieltheorie. 15 F5 = 225
+ 1 = 232 + 1 = 641 ∗ 6700417
Rene Mathieu
11 PRIMZAHLEN
6.2.2 MERSENNE-ZAHLEN
Primzahlen der Form 𝑀𝑛 = 2𝑛 − 1 sind benannt nach Marin Mersenne16. Dabei muss aber
n immer selber prim sein, denn wäre 𝑛 = 𝑎 ∗ 𝑏 gelte
2𝑛 − 1 = 2𝑎∗𝑏 − 1 = 2𝑎 − 1 (2𝑎 𝑏−1 + 2𝑎 𝑏−2 + 2𝑎 𝑏−3 +⋯+ 2𝑎 + 1)
und damit wäre Mn keinesfalls eine Primzahl.
Bis heute wurden 39 dieser Zahlen gefunden. Jedoch gibt es schon größere nach den
bekannten 39, jedoch werden diese meist nicht hinzugerechnet, da man noch nicht mit
Gewissheit weiß, ob zwischen ihnen nicht auch noch weitere solcher Primzahlen liegen.
Vorangetrieben wird die „Jagd“ nach diesen Zahlen vor allem durch das GIMPS17 - Projekt.
Dieses bietet die Möglichkeit, eine spezielle Software auf dem eigenen Rechner zu
installieren, welches dann, während der Rechner in Betrieb ist, die zu berechnende Zahl
aus dem Internet herunterlädt und während des normalen Betriebs im Hintergrund die
Berechnungen durchführt.
Viele Fragen über die Mersenne-Zahlen sind jedoch noch nicht geklärt. So konnte die
Annahme, dass es unendlich viele Zahlen Mp gibt, die prim sind, noch nicht bewiesen
werden. Auch ob es anders herum unendlich viele nichtprime Zahlen der Form Mp gibt, ist
bis heute nur eine Vermutung.
6.3 DER KLEINE SATZ VON FERMAT
Der französische Mathematiker Pierre de Fermat stellte einen entscheidenden Satz über
Primzahlen auf, welcher selber ein Spezialfall des Satzes von Euler18 ist, der hier nicht viel
weiter erläutert werden soll. Der kleine Satz von Fermat lautet:
𝑎𝑝−1 ≡ 1 (𝑚𝑜𝑑 𝑝)
Die folgende Art des Beweises dieses Satzes ist nur eine Möglichkeit , es gibt auch noch
weitere19.
16 Marin Mersenne,* 8. September 1588; † 1. September 1648, war ein französischer Theologe, war Mathematiker und Musiktheoretiker. Jedoch nicht nur als Vermittler, auch als Forscher leistete Mersenne Bedeutendes. So veröffentlichte er 1626 eine Textsammlung Synopsis mathematica zur Mathematik und Mechanik und lieferte Beiträge zur Akustik und Musiktheorie wie auch zur Optik. Weiter untersuchte er Zykloiden. Berühmt ist seine Liste von – seiner Vermutung nach – Primzahlen. Seine Liste enthielt jedoch Fehler und war zudem nicht vollständig. Gleichwohl regte sie Generationen von Zahlentheoretikern zu weitergehenden Untersuchungen an. 17 GIMPS (engl.: Great Internet Mersenne Prime Search) 18 𝑎𝜑(𝑛) ≡ 1 (𝑚𝑜𝑑 𝑛) unter der Bedingung ggT(a,n) = 1, wobei φ(n) die Eulersche φ-Funktion bezeichnet, nämlich die Anzahl der zu n teilerfremden Reste modulo n. Da für prime Moduli p gilt φ(p) = p-1, geht für diese der Satz von Euler in den kleinen Satz von Fermat über. nach 10.2.2 7.
Rene Mathieu
12 PRIMZAHLEN
Wir betrachten zuerst einmal die p-1 Vielfachen der Zahl a anhand eines Beispiels. Hierbei
sind 𝑎 ∗ 𝑛 und 𝑏 ∗ 𝑛 zwei unterschiedliche Vielfache von n, mit 0 < 𝑎 < 𝑏 < 𝑝 . Bei der
Division mit p ergeben sich jeweils die Quotienten qa und qb ,mit den jeweiligen Resten ra
und rb.
𝛼 ∗ 𝑛 = 𝑞𝑎𝛼 ∗ 𝑝 + 𝑟𝛼 (1)
𝛽 ∗ 𝑛 = 𝑞𝛽 ∗ 𝑝 + 𝑟𝛽 (2)
Als nächstes muss gezeigt werden, dass die Reste ra und rb nicht gleich sein können. Dazu
geht man zunächst davon aus, dass sie es sind und zieht (1) von (2) ab. Daraus ergibt sich:
(𝛽 − 𝛼) 𝑛 = (𝑞𝛽 − 𝑞𝛼) 𝑝 (3)
Weil rechts nun ein positives Vielfaches von p steht, müsste links auch ein Vielfaches von p
sein. Das führt jedoch zu einem Widerspruch, denn p kann kein Teiler von a oder b sein, da
diese laut Definition kleiner als p sind. Auch n kann nach den Voraussetzungen kein
Vielfaches von p sein. Somit ist gezeigt, dass die beiden sich ergebenden Reste
voneinander verschieden sind.
Dies gilt nicht nur für die Vielfachen 𝑎 ∗ 𝑛 und 𝑏 ∗ 𝑛 sondern für alle p-1 Vielfachen von n,
und somit sind alle Reste verschieden. Als nächstes bildet man das Produkt aus den p-1
Vielfachen und fasst dieses zusammen:
𝑎 · 2𝑎 · 3𝑎 · 4𝑎 · . . .· (𝑝 − 1)𝑎 = 1 · 2 · 3 · 4 ·. . .· (𝑝 − 1) · 𝑎𝑝−1 (4)
Dadurch dass wir gezeigt haben, dass sich die Vielfachen von n auch in der Form
𝑎 = 𝑞1 ∗ 𝑝 + 𝑟1 schreiben lassen und analog dazu auch 𝑝 − 1 𝑎 = 𝑞𝑝−1 ∗ 𝑝 + 𝑟𝑝−1 gilt
ergibt sich:
(𝑞1 ∗ 𝑝 + 𝑟1) ∗ … 𝑞𝑝−1 ∗ 𝑝 + 𝑟𝑝−1 = 1 · 2 · 3 · 4 ·. . .· (𝑝 − 1) · 𝑎𝑝−1
Wenn man dies nun durch p dividiert, erkennt man, dass die Produkte aus 𝑞𝑖 ∗ 𝑝 den Rest
bei einer Division mit p nicht verändert. Deswegen muss man dafür nur das Produkt der
Reste r1 bis rp-1 betrachten, welches gleichbedeutend mit dem Produkt aller ganzen Zahlen
von 1 bis p-1 [ 1 ∗ 2 ∗ 3 ∗ …∗ (𝑝 − 1) ] ist. Den Rückschluss welchen man daraus ziehen
kann ist, dass der Rest des Produktes aller ganzen Zahlen bis p-1 gleich dem Rest der
ersten p-1 Vielfachen ist. Wenn wir diese Überlegungen mit der Gleichung (4) in
Verbindung bringen, haben wir sowohl links, als auch rechts bis auf 𝑎𝑝−1 , den gleichen
19 siehe 10.2.2 5.
Rene Mathieu
13 PRIMZAHLEN
Rest bei einer Division durch p. Dies bedeutet nun für 𝑎𝑝−1, dass bei der Division durch p,
der Rest 1 ist20.
Dieser Satz kann leider nicht als hinreichendes Kriterium für Primzahlen dienen, weil es
sogenannte Carmichael-Zahlen gibt, für die der Satz auch gilt. Jedoch kann man ihn
andersherum als notwendige Bedingung benutzen, denn sollte die Zahl n den Satz nicht
erfüllen, kann sie keine Primzahl sein.
6.4 DER SATZ VON WILSON
Ein weiterer Satz über Primzahlen, ist der Satz von Wilson, welcher vom englischen
Mathematiker John Wilson21entdeckt wurde und erstmals 1771 von dem französischen
Mathematiker Joseph- Louis Lagrange22 bewiesen wurde. Der Satz besagt:
„ Wenn p eine Primzahl ist, dann gilt 𝑝 − 1 ! ≡ −1 (𝑚𝑜𝑑 𝑝).“
Um diesen Satz zu beweisen, benötigt man den schon zuvor bewiesenen Satz von Fermat,
welcher besagt: Wenn p eine Primzahl ist und a zu p teilerfremd, wie es alle Zahlen der
Reihe 1, 2,… , 𝑝 − 1 sind, dann gilt 𝑎𝑝−1 ≡ 1 (𝑚𝑜𝑑 𝑝). Anders geschrieben heißt das
𝑎𝑝−1 = 𝑛 ∗ 𝑝 + 1. Nun muss man zuerst einmal die 1 auf die andere Seite bringen 𝑎𝑝−1 −
1 = 𝑛 ∗ 𝑝.Wenn man dieses nun für ℤ𝑝23 deutet, wird aus dem 𝑛 ∗ 𝑝 auf der rechten Seite 0,
da 𝑛 ∗ 𝑝 als Vielfaches von p in der Restklasse für ℤ𝑝 0 ist. Anders ausgedrückt kann man
jetzt sagen, dass die Gleichung 𝑥𝑝−1 − 1 = 0 in ℤ𝑝 die (𝑝 − 1) verschiedenen Lösungen
1, 2,… ,𝑝 − 1 besitzt. Nun kann man das linke Polynom mit Hilfe des Wurzelsatzes von
Vièta24 durch eine Linearfaktorzerlegung schreiben:
20 Beweis dafür siehe Anhang c) 21 John Wilson,* 6. August 1741; † 18. Oktober 1793,war ein britischer Mathematiker. Wilson studierte in Cambridge bei Edward Waring und lehrte dort von 1764 bis 1766 Mathematik. Der Satz von Wilson wurde auf Grund seiner Entdeckung, nicht aber auf Grund des Beweises nach ihm benannt. 22 Adrien-Marie Legendre,* 18. September 1752 in Paris; † 10. Januar 1833, war ein französischer Mathematiker. Hervorzuheben wären seine Arbeit aus 1784, "Sur la figure des planetes", in der erstmals seine "Legendre-Polynome" vorkamen, Arbeiten zur Zahlentheorie und seine Arbeiten zur Theorie der elliptischen Funktionen. Seine Arbeiten über Zahlentheorie enthielten bereits Ergebnisse, die heute (auch zurecht) anderen Mathematikern zugesprochen werden, nämlich das quadratische Reziprozitätsgesetz, das er nur zum Teil bewies und das erst von Gauß vollständig bewiesen wurde. 23 ℤ𝑝 = {0, 1 ,… , 𝑝 − 1 } bezeichnet die Restklassen von p.
24 * 1540, † 13.(?) 2.(?) 1603, französischer Mathematiker. Er befasste sich mit Problemen der Dreieckslehre und erstellte trigonometrische Tafeln Er führte erstmals die systematisch-logische Anwendung von Buchstaben in der Algebra ein, wodurch er Gleichungen jeden Grades darstellen konnte, und erkannte den Zusammenhang zwischen den Koeffizienten und den Lösungen von algebraischen Gleichungen (Vietasche Wurzelsätze. Ferner entwickelte er ein Iterationsverfahren zur Nullstellenbestimmung von Gleichungen und bestimmte die Kreiszahl p als unendlichen Produktausdruck.
Rene Mathieu
14 PRIMZAHLEN
𝑥𝑝−1 − 1 = 𝑥 − 1 ∗ 𝑥 − 2 ∗ …∗ (𝑥 − 𝑝 − 1 )
Dabei sind diese beiden Polynome über ℤ𝑝aufzufassen. Wenn man nun für x in dieser
Gleichung 0 einsetzt, kommt man auf −1 = −1 ∗ (−2 ∗ …∗ (− 𝑝 − 1 ). Überträgt man
dieses aus ℤ𝑝 in eine Kongruenz lautet diese:
−1 ≡ −1 ∗ −2 ∗ … ∗ − 𝑝 − 1 = (−1)𝑝−1 ∗ 𝑝 − 1 ! (𝑚𝑜𝑑 𝑝) und weil p als
Primzahl ungerade ist, muss 𝑝 − 1 gerade sein. Somit kann (−1)𝑝−1 vernachlässtig
werden, weil es 1 ergibt25. Somit erhält man hier am Ende den Satz von Wilson.
7 VERTEILUNG VON PRIMZAHLEN
Die Primzahlen sind in ihrer Erscheinung höchst merkwürdig und entziehen sich, bezogen
auf ihre Verteilung, jedem System. Im Lauf der Jahrhunderte konnte bis heute kein
Algorithmus gefunden werden, der alle Primzahlen nacheinander erkennt. So weiß man
zwar, dass die Dichte der Primzahlen abnimmt, umso größer die Zahlen des Intervalls
sind, in dem man sucht, aber sie verhalten sich trotztdem sonderbar. Neben der Tatsache,
dass es unendliche viele Primzahlen gibt, klingt die Behauptung, es gäbe beliebig große
Lücken zwischen zwei Primzahlen, unglaubwürdig. Jedoch lässt sich letzteres einfach
beweisen, wie dieses Beispiel zeigt:
Betrachtet man die n aufeinanderfolgenden Zahlen 𝑚 + 1 ! + 2,…, 𝑚 + 1 ! +𝑚 + 1 ist
keine Primzahl zu finden, weil die erste dieser Zahlen durch 2, die nächste wiederum
durch 3, und die letzte durch m+1 teilbar wäre.
Jedoch zeigt die Existenz von Primzahlzwillingen, dass es auch minimal große Lücken
zwischen Primzahlen gibt. Diese Zwillinge sind 2 aufeinanderfolgende Primzahlen p1 und
p2 mit dem minimalsten Abstand von 2, wie zum Beispiel die Paare 17/19, 41/43 oder
1229/1231. Ob es jedoch unendlich viele, oder doch nur eine begrenzte Anzahl solcher
Zwillinge gibt, ist nicht bekannt bzw. bewiesen.
Außerdem gibt es noch weitere Erscheinungen wie Primzahldrillinge oder –Vierlinge26. Da
hier nicht alle aufeinanderfolgende ungerade Zahlen prim seien können, ist der
Minimalabstand für Drillinge 6 und für Vierlingen 11.
25 Dieses gilt zwar für p=2 nicht, jedoch behält auch bei p=2 der Satz seine Richtigkeit, weil 𝑝 − 1)! ergibt 1 und 1 ≡ −1 (𝑚𝑜𝑑 2) nur besagt, dass 2|1 − −1 = 2 gilt. 26 für Beispiele siehe Anhang i)
Rene Mathieu
15 PRIMZAHLEN
7.1 DIE GRAFISCHE DARSTELLUNG DER PRIMZAHLVERTEILUNG
Mit der Verteilung der Primzahlen beschäftigt sich auch Prof. Dr. Otto Forster vom
mathematischen Institut der Ludwig-Maximilians-Universität München. Er stellt die
Primzahlen dazu durch eine Grafik dar, was einen guten Eindruck über deren Verteilung
und vor allem deren Unregelmäßigkeit verschafft. Dabei zeigt das erste Bild27 mit einer
Auflösung von 64 mal 64 ,also 4096, kleinen Quadraten alle ungeraden Primzahlen p <
8192. Die Quadrate sind Nummer in der größer werdenden Reihe von 0 bis 4095. Das n-te
Quadrat ist dann schwarz, wenn die Zahl 2𝑛 + 1 eine Primzahl ist. So steht zum Beispiel
das schwarze Quadrat in der oberen rechten Ecke für die Primzahl 127 (= 2 ∗ 64 + 1),
oder das in der unteren rechten Ecke für die Primzahl 8191. Neben den vielen
Primzahlzwillingen kann man auch die zwei verschiedenen Erscheinungen der Drillinge,
der Form ▄ ▄ _ ▄ oder ▄ _ ▄ ▄ , oder sogar einige Vierlinge, der Form ▄ ▄ _ ▄ ▄ erkennen.
Neben diesem Bild, sind noch weitere Bilder im Anhang zu finden, wie zum Beispiel das zweite,
welches in einer 256 mal 128 Matrix alle ungeraden Primzahlen p < 65536 zeigt.
8 ANWENDUNG VON PRIMZAHLEN IN DER KRYPTOGRAPHIE
8.1 EINLEITUNG
Die Notwendigkeit schriftliche Nachrichten zu verschlüsseln, ist wahrscheinlich schon so
alt, wie die Schrift selbst. Es gibt eine Vielzahl von Gründen, warum ein gewisser Text nur
von bestimmten Leuten gelesen werden soll, und dieser deshalb verschlüsselt wird. Vor
allem in unserer heutigen Zeit, mit der fortschreitenden Vernetzung der weltweiten Daten,
ist es sowohl für den Privatmenschen, als auf für Firmen, von großer Wichtigkeit ihre
elektronischen Daten vor Fremden zu schützen und diese deshalb zu verschlüsseln. Im
Folgenden werde ich zunächst einmal die zwei unterschiedlichen Arten der
Verschlüsselung kurz vorstellen und danach die Bedeutung der Primzahlen für die
asymmetrische Verschlüsselung anhand des RSA-Verfahren verdeutlichen.
8.2 SYMMETRISCHE KRYPTOGRAPHIE
Bei der symmetrischen Kryptographie wird zur Ver- und Entschlüsselung der Nachricht
ein und derselbe Schlüssel benutzt. Dabei ist die Vorgehensweise beim Gebrauch von
symmetrisch verschlüsselten Nachrichten immer der gleiche. Die Person A möchte an
Person B eine Nachricht senden, ohne dass Unbefugte imstande sind diese zu lesen. Dafür
benutzt A einen geheimen Schlüssel, um aus seinem Klartext eine kodierte Nachricht zu
27 die Bilder sind im Anhang e) zu finden
Rene Mathieu
16 PRIMZAHLEN
erstellen. Danach ist es egal, wer oder wie viele andere Personen diesen Text, die
sogenannte Chiffre, lesen, denn ohne den geheimen Schlüssel ist der Text unverständlich.
Das Problem, welches hier schnell klar wird ist, dass der Schlüssel der Schwachpunkt
dieses Verfahrens darstellt und am Besten sicher und separat zum Empfänger B
transportiert wird. Denn bekommt jemand beides in die Hände, kann er den Klartext
rekonstruieren, genau so, wie es B machen würde, wenn beides sicher bei ihm
angekommen wären.28 Dieser Umstand der gesonderten Übermittlung des Schlüssels,
bedeutet jedoch einen erhöhten Aufwand bzw. Kosten.
8.3 ASYMMETRISCHE KRYPTOGRAPHIE Bei der asymmetrischen Verschlüsselung werden, im Gegensatz zu Symmetrischen, zwei
Schlüssel verwendet. Der Grundgedanke hierbei ist, dass die beiden Schlüssel, der eine
zum Verschlüsseln, der andere zum Entschlüsseln, ohne Zusatzinformationen oder enorm
großen Aufwand, nicht den Anderen erschließen lassen. Jedoch sind beide Schlüssel in der
Lage, die jeweils andere Funktion auszuüben. Derjenige Schlüssel, den der Urheber besitzt
und mit diesem die Nachrichten entschlüsselt, heißt „Private Key“ (= privater Schlüssel).
Der andere zum verschlüsseln der Nachricht heißt „Public Key“ (= öffentlicher Schlüssel).
8.4 RSA-VERFAHREN
„RSA wurde 1977 von Ronald L. Rivest, Adi Shamir und Leonard Adleman am MIT
entwickelt. Der Name RSA steht für die Anfangsbuchstaben dieser Namen. Es galt damals
als das erste asymmetrische Verschlüsselungsverfahren.“29 Dabei macht sich das
Verfahren die Faktorisierung, also das Auffinden der Primfaktorzerlegung, großer Zahlen
zum Vorteil, weil diese für Zahlen, die aus großen Primzahlen zusammengesetzt sind, sehr
rechenintensiv ist. Dem gegenüber ist das Erzeugen einer solchen Zahl durch einfache
Multiplikation sehr einfach. Dieses ist eine Einwegfunktion.
8.4.1 EINWEGFUNKTION
Eine Einwegfunktion, wie unter anderem beim RSA-Verschlüsselungsverfahren verwendet
,zeichnet sich dadurch aus, dass sie sich leicht berechnen lässt, die Umkehrung aber fast
unmöglich ist.30 Jedoch ist diese Funktion, die bei RSA zum Einsatz kommt, eine spezielle,
denn sie enthält eine sogenannte „Falltür“. Denn kennt man die Zusatzinformation, also
eine der ursprünglichen Primzahlen, kann man leicht rückwärts rechnen.
28 Ein sehr einfaches Beispiel für eine symmetrische Verschlüsselung ist im Anhang d) zu finden. 29 zitiert aus 10.2.2. 9. 30 mathematische Definition im Anhang e)
Rene Mathieu
17 PRIMZAHLEN
8.4.2 SCHLÜSSELERZEUGUNG
Der Ausgangspunkt für die Erzeugung des Private- und Public-Keys sind zwei Primzahlen
p und q. Aus diesen beiden Zahlen, die aus Gründen der Sicherheit dieses Verfahren in der
Größenordnung von 10200 liegen sollten, wird die Zahl 𝑛 = 𝑝 ∗ 𝑞 errechnet und bildet
zusammen mit einer fast beliebigen zahl e zusammen den Public-Key. Dabei muss e
teilerfremd zu 𝑝 − 1 ∗ (𝑞 − 1) sein, also der ggT 𝑒, 𝑝 − 1 ∗ 𝑞 − 1 = 1. Nun
berechnet sich der Private-Key d mit der Gleichung 𝑒 ∗ 𝑑 𝑚𝑜𝑑 𝑝 − 1 ∗ 𝑞 − 1 = 1 und
ist somit das modulare Inverse von e zu 𝑝 − 1 ∗ (𝑞 − 1)31.
8.4.3 VER- UND ENTSCHLÜSSELUNG
Nachdem der Private- und der Public-Key erzeugt wurden, können die Zahlen p und q
gelöscht werden und man kann den Public-Key veröffentlichen, damit andere Personen
die Nachrichten für einen selbst mit diesem verschlüsseln können. Dabei erfolgt die
Verschlüsselung nach der Gleichung 𝐶 = 𝑀𝑒𝑚𝑜𝑑 𝑛. Dabei ist M die Message(= Nachricht),
die zu verschlüsseln ist und kleiner sein sollte als n, e und n bilden den öffentlich
zugänglichen Public-Key und C ist die cipher(=Chiffre). Dafür muss der Text jedoch als
Zahl vorliegen, was jedoch kein Problem ist, da alle Zeichen auf den Computern, die bei der
Verschlüsselung eingesetzt werden, als Zahlen z.B. in ASCII32 vorliegen. Anders herum
bekommt der Empfänger der verschlüsselten Nachricht, mit Hilfe seines Privat-Keys d,
durch die Gleichung 𝐶𝑑𝑚𝑜𝑑 𝑁 = 𝑀, die ursprüngliche Nachricht. Dabei steht fest,ass bei
entschlüsselsn wirklich wieder die Nachricht herauskommt 33.
8.4.4 SICHERHEIT DES VERFAHRENS
Die Sicherheit des Verfahren steht und fällt mit den Primzahlen p und q die zur Erstellung
der Schlüssel verwendet werden. Stellt die Berechnung von n auch eine Einmalfunktion
da, so heißt dass nicht, dass das rückwärtsrechnen von n zu p und q unmöglich ist,
sondern lediglich sehr viel Aufwand erfordert. So müssen nämlich, wenn man von einem
schlechten Algorithmus zur Primfaktorzerlegung ausgeht, jede Zahl 𝑎 < 𝑛, wobei a
selber prim, ausprobiert werden, ob diese einer der Teiler ist. Dies ist bei großen
Primzahlen für p und q mit sehr viel Rechenaufwand verbunden und ist selbst für heutige
Rechner bei genügend Großen Zahlen ein Vorgang der jeden zeitlichen Rahmen sprengt.
Jedoch werden nicht ganz so große Zahlen verwendet, ist es durch die fortschreitende
31 Nähere Erläuterung hierzu im Anhang g) 32American Standard Code for Information Interchange für mehr Informationen siehe 10.2.2. 16. 33 Der Beweis hierfür wird in Anhang h) geführt.
Rene Mathieu
18 PRIMZAHLEN
Steigerung der Leistungsfähigkeit privater Rechner möglich auch diese Verschlüsselugn zu
knacken34.
9 SCHLUSSBEMERKUNG
Dieser Text entstand im Rahmen einer Facharbeit im Leistungskurs Mathematik. Es war
interessant, sich mit einem Thema der Mathematik auseinander zu setzen, welches in der
Schule nur oberflächlich behandelt bzw. höchstens mal kurz angesprochen wird. Eine neue
Erfahrung war außerdem der Umgang mit wissenschaftlichen Texten aus dem Bereich
Mathematik, die auf dem Niveau von Hochschulmathematik waren. Auch war es ein neues
methodisches Vorgehen, wie es später an Hochschulen als Mindestmaß vorausgesetzt
wird und somit eine gute Vorbereitung auf spätere Ausarbeitungen. Leider muss ich sagen,
dass das Thema Primzahlen auch hier eigentlich nur kurz angerissen wurde, weil es
einfach eine Fülle und Komplexität besitzt, die den Rahmen der Facharbeit und meiner
mathematischen Kompetenzen übersteigen würde. Eine Vertiefung des Themas wäre für
mich dennoch interessant, jedoch mit erheblich mehr Aufwand und Einarbeitung
verbunden.
34 „Passwortsicherheit: Stefan Arbeiter, Matthias Deeg – Bunte Rechenknechte, Grafikkarten beschleunigen den Passowort Cracker“,c’t magazin 6. 2009, Heise Zeitschriften Verlag GmbH & Co. KG, Hannover. Dieser Artikel berichtet über das „knacken“ von Passwörtern zur Authentifizierung im Netzwerk, beschreibt jedoch sehr eindrucksvoll die Rechnenleistung moderne Grafikkarten im vergleich zu normalen Processzoren. Dieses wäre mit gewissen Aufwand auch für das Errechnen von Primzahlen nutzbar.
Rene Mathieu
19 PRIMZAHLEN
10 LITERATURVERZEICHNIS
10.1 BÜCHER I. Paulo Ribenboim – Die Welt der Primzahlen Geheimnisse und Rekorde
Aktualisierte Übersetzung der englischen Ausgabe The Little Book of Bigger Primes
von Paulo Ribenboim, Springer New York, 2. Aufl. 2004
II. Mathematisch-Astronomische Blätter Neue Folge Band 18:
Gerhard Kowol – Primzahlen, Ein mathematischer Zugang zu ihren Qualitäten
III. Ernst Trost – Primzahlen von Ernst Trost
Basel, Stuttgart : Birkhaeuser 1953. 95 S.
IV. Wolfgang Schwarz - Über einige Probleme aus der Theorie der Primzahle
Stuttgart Steiner-Verl. Wiesbaden 1985
V. H. Dallmann K.-H. Elster – Einführung in die höhere Mathematik 1
2. überarbeitete Auflage VEB Gustav Fischer Verlag Jena, 1987
VI. Paulo Ribenboim - The book of prime number records
Springer New York, 1988
10.2 INTERNETSEITEN
10.2.1 BIOGRAPHIEN 1. Euklid http://www.mathematik.ch/mathematiker/euklid.php 18.02.09
2. Eratosthenes von Kyrene http://www.arndt-
bruenner.de/mathe/Allgemein/bios.htm 18.02.09
3. Fermat http://www.arndt-bruenner.de/mathe/Allgemein/bios.htm 18.02.09
4. Adrien-Marie Legendre 18.02.09
http://www.math.tugraz.at/~predota/old/history/mathematiker/legendre.html
5. Seite „John Wilson (Mathematiker)“. In: Wikipedia, Die freie Enzyklopädie.
Bearbeitungsstand: 9. August 2008, 16:43 UTC. URL:
http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=John_Wilson_(Mathematiker)&oldid=4
9356690 (Abgerufen: 22. März 2009, 12:55 UTC)
6. Seite „Marin Mersenne“. In: Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. Bearbeitungsstand:
6. März 2009, 09:29 UTC. URL:
http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Marin_Mersenne&oldid=57510541
(Abgerufen: 22. März 2009, 13:00 UTC)
10.2.2 ALLGEMEIN 1. Eine Auflistung von verschiedenen Beweisen zur Unendlichkeit der Primzahlen
http://www.beweise.mathematic.de/ 18.02.09
2. Grafische Darstellung von Primzahlen http://www.mathematik.uni-
muenchen.de/~forster/ 18.02.2009
3. Beweise für die Unendlichkeit der Primzahlen
http://www.beweise.mathematic.de/ 18.02.2009
4. RSA-Verschlüsselungsverfahren http://www.matheprisma.uni-
wuppertal.de/Module/RSA/ 18.02.2009
Rene Mathieu
20 PRIMZAHLEN
5. Die verschiedenen Arten zur Führung des Beweises zum Satz von Fermat
http://de.wikibooks.org/wiki/Beweisarchiv:_Zahlentheorie:_Elementare_Zahlenth
eorie:_Kleiner_Satz_von_Fermat
6. Seite „Harmonische Reihe“. In: Wikipedia, Die freie Enzyklopädie.
Bearbeitungsstand: 23. Februar 2009, 07:23 UTC. URL:
http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Harmonische_Reihe&oldid=57017220
(Abgerufen: 10. März 2009, 12:40 UTC) Anhang
7. Seite „Satz von Euler“. In: Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. Bearbeitungsstand:
14. Januar 2009, 19:11 UTC. URL:
http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Satz_von_Euler&oldid=55334706
(Abgerufen: 10. März 2009, 13:05 UTC)
8. Diese Seite entschlüsselt jeden „einfachen Caesar“
http://weddige.eu/tools/kryptix/ 13.03.09
9. Seite „RSA-Kryptosystem“. In: Wikipedia, Die freie Enzyklopädie.
Bearbeitungsstand: 19. Dezember 2008, 18:43 UTC. URL:
http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=RSA-Kryptosystem&oldid=54327862
(Abgerufen: 18. Februar 2009, 19:29 UTC)
10. Katrin Schäfer - RSA-Verschlüsselung, Dezember 2002
http://www.matheprisma.uni-wuppertal.de/Module/RSA/index.htm (Abgerufen
18. Februar 2009, 18:55 UTC)
11. Seite „Goldbachsche Vermutung“. In: Wikipedia, Die freie Enzyklopädie.
Bearbeitungsstand: 13. Februar 2009, 08:42 UTC. URL:
http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Goldbachsche_Vermutung&oldid=565
98249 (Abgerufen: 19. März 2009, 14:26 UTC)
12. Seite „Riemannsche Vermutung“. In: Wikipedia, Die freie Enzyklopädie.
Bearbeitungsstand: 19. März 2009, 11:00 UTC. URL:
http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Riemannsche_Vermutung&oldid=580
77632 (Abgerufen: 19. März 2009, 14:27 UTC)
13. Seite „Ungelöste Probleme der Mathematik“. In: Wikipedia, Die freie Enzyklopädie.
Bearbeitungsstand: 13. Dezember 2008, 22:19 UTC. URL:
http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Ungel%C3%B6ste_Probleme_der_Mat
hematik&oldid=54104477 (Abgerufen: 19. März 2009, 14:41 UTC)
14. Seite „Hilbertsche Probleme“. In: Wikipedia, Die freie Enzyklopädie.
Bearbeitungsstand: 4. März 2009, 06:08 UTC. URL:
http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Hilbertsche_Probleme&oldid=574203
06 (Abgerufen: 19. März 2009, 14:41 UTC)
15. Seite „Erweiterter euklidischer Algorithmus“. In: Wikipedia, Die freie
Enzyklopädie. Bearbeitungsstand: 21. März 2009, 15:55 UTC. URL:
http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Erweiterter_euklidischer_Algorithmus
&oldid=58157145 (Abgerufen: 21. März 2009, 17:13 UTC)
16. Seite „American Standard Code for Information Interchange“. In: Wikipedia, Die
freie Enzyklopädie. Bearbeitungsstand: 9. März 2009, 19:08 UTC. URL:
http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=American_Standard_Code_for_Informa
tion_Interchange&oldid=57665248 (Abgerufen: 21. März 2009, 17:30 UTC)
Rene Mathieu
21 PRIMZAHLEN
17. Seite „Satz von Euler“. In: Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. Bearbeitungsstand:
14. Januar 2009, 19:11 UTC. URL:
http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Satz_von_Euler&oldid=55334706
(Abgerufen: 22. März 2009, 10:44 UTC)
11 ANHANG a) Die Folge 𝑞𝑣𝑛
𝑣=0 ist für −1 < 𝑞 < 1 konvergent:
lim𝑛 → ∞
(1 + 𝑞 +⋯+ 𝑞𝑛) = 1
1− 𝑞
Beweis: Wegen (1 + 𝑞 +⋯+ 𝑞𝑛) ∗ 1− 𝑞 = 1 − 𝑞𝑛+1 ergibt sich für die
gegebene Folge 𝑎𝑛 = 1 + 𝑞 +⋯+ 𝑞𝑛 = 1−𝑞𝑛+1
𝑞−1 (q ≠ 1) und daraus folgt:
lim 𝑎𝑛 = 1− lim 𝑞𝑛+1
1−𝑞=
1
1−𝑞 für −1 < 𝑞 < 1
Übernommen aus V. Seite 127 B. 4.28
b) (1 +1
2+⋯+
1
𝑛) divergiert gegen ∞
Wegen 𝑎𝑛+1 = 1 +1
2+⋯+
1
𝑛+
1
𝑛+1= 𝑎𝑛 +
1
𝑛+1 hat man 𝑎𝑛+1 > 𝑎𝑛 ∀𝑛 ∈ ℕ; die
gegebene Folge ist also streng zunehmend. In an fassen wir nun die Summanden zusammen gemäß
𝑎𝑛 = 1 +1
2 +
1
3+
1
4 +
1
5+⋯+
1
8 +
1
9+⋯+
1
16 +⋯ ;
dann gilt für jede beliebige Zahl 𝑘 ∈ ℕ und für 𝑛 ≥ 2𝑘+1
𝑎𝑛 >1
2+ 2
1
4+ 4
1
8+ 8
1
16+⋯+ 2𝑘 ∗
1
2𝑘+1= 𝑘 + 1
1
2
Dadurch dass man k beliebig groß wählen kann, ist gezeigt, dass die Glieder an nach oben nicht beschränkt sind. Durch „Jede monotone und nicht beschränke Zahlenfolge {an} ist bestimmt divergent; ist die Folge zunehmend (abnehmend), so divergiert sie gegen∞ (−∞)“
ergibt sich, dass (1 +1
2+⋯+
1
𝑛) gegen ∞ divergieren muss.
Übernommen aus V. Seite 131 B. 4.34 c) Den Beweis kann man anhand eines einfachen Beispiels führen:
𝛼 = 𝛽 ∗ 𝛾 (1) wobei hier α und β beide den gleichen Rest r bei einer Division durch p haben sollen. Wiederum formt man die Gleichungen zu 𝛼 = 𝑞𝛼 ∗ 𝑝 + 𝑟 um und kommt zu folgenden 3 Gleichungen: 𝛼 = 𝑞𝛼 ∗ 𝑝 + 𝑟 (2) 𝛽 = 𝑞𝛽 ∗ 𝑝 + 𝑟 (3)
𝛾 = 𝑞𝛾 ∗ 𝑝 + 𝑟𝛾 (4)
Wenn man nun (3) von (2) subtrahiert, nach α hin auflöst und dies für α in (1) einsetzt kommt man auf: 𝑞𝛼 − 𝑞𝛽 ∗ 𝑝 + 𝛽 = 𝛽 ∗ 𝛾 (5)
Jedoch kann man nun 𝛾 in (5) durch den rechten Teil von (4) ersetzen:
𝑞𝛼 − 𝑞𝛽 ∗ 𝑝 + 𝛽 = 𝛽 ∗ (𝑞𝛾 ∗ 𝑝 + 𝑟𝛾)
Durch geeignetes Umformen kommt man zu der Gleichung:
𝑞𝛼− 𝑞𝛽− 𝑏∗𝑞𝛾 ∗𝑝
𝑏+ 1 = 𝑟𝛾 (6)
Nun muss jedoch der Bruch auf der linken Seite ganzzahlig sein, denn sowohl 1 als auch der Rest rγ sind ganzzahlig. Desweiteren kann der Nenner b kein Teiler von p sein, weil p laut Voraussetzung eine Primzahl ist. Somit muss der Bruch ein Vielfaches von p sein. Das bedeutet für γ, dass bei der Division von p ein Rest von 1
Rene Mathieu
22 PRIMZAHLEN
übrig bleibt, denn der Rest rγ ist 1 plus ein Vielfaches von p und dieses Vielfache von p beeinflusst den Rest nicht, da es durch p dividiert 0 ergibt.
d) Der Text „Eine Mathefacharbeit ist mehr Arbeit als man denkt“ soll verschlüsselt werden. Ein einfacher Ansatz hierfür ist es jeden Buchstaben durch seinen achten rechten Nachbarn im Alphabet zu ersetzten: aus A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V Q X Y Z wird I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H So wird „Eine“ zu „MQVM“ und aus obigem Satz entsteht „Mqvm Uibpmnikpizjmqb qab umpz Izjmqb ita uiv lmvsb“. Dass dieser noch sehr leicht, ohne Kenntnis des Schlüssels, zu dekodieren ist, zeigt sich auf der Internetseite unter 10.2.2 8.. Um es sicherer zu machen, könnte man generell die zu verschlüsselnden Vokale rotieren lassen, und gleichzeitig die Zwischenräume mit Blendern füllen. Blender sind nichts anderes als Buchstaben, von z.B. Z rückwärts, in die Leerstellen oder zwischen jedem Buchstaben eingesetzt. Der Schlüssel, der dem Empfänger bei dieser Methode mitgeteilt werden müsste, wäre nur die Verschiebung im Alphabet und die eventuellen Blender.
e) Eine Einwegfunktion (engl. one-way-function) ist eine injektive Funktion 𝑓:𝑋 → 𝑌 für die folgendes gilt: -Es gibt ein effizientes (!) Verfahren zur Bestimmung von 𝑦 = 𝑓 𝑥 ∀𝑥 ∈ 𝑋. -Die Umkehrung ist praktisch (!) unmöglich, d.h. es gibt kein effizientes Verfahren zur Bestimmung von 𝑥 = 𝑓−1 𝑦 ∀𝑦 ∈ 𝑓(𝑋) . Nach 11.2.2 10.
f)
Matrix 1 Die Primzahlen p < 8192
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23 PRIMZAHLEN
Matrix 2 Die Primzahlen p < 65536
Diese Bilder und weitere sind in besserer Qualität auf der beigefügten CD unter
„grafische Darstellung der Primzahlverteilung“ zu finden.
g) Sind zwei Zahlen 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ teilerfremd, so gibt es eine ganze Zahl c, für die gilt:
𝑏 ∗ 𝑐 (𝑚𝑜𝑑 𝑎) = 1
Man sagt, b ist modulo a invertierbar und nennt c die modulare Inverse von c.
Mit Hilfe des erweiterten euklidischen Algorithmus35 ergibt sich die Gleichung
𝑔𝑔𝑇 𝑎, 𝑏 = 𝑥 ∗ 𝑎 + 𝑦 ∗ 𝑏. Nach der Voraussetzung, sind nun jedoch a und b bzw.
beim RSA-Verfahren e und 𝑝 − 1 ∗ (𝑞 − 1) teilerfremd, sodass 𝑔𝑔𝑇 𝑎, 𝑏 = 1 gilt.
Nun ergibt sich die Gleichung 𝑔𝑔𝑇 𝑎, 𝑏 = 𝑥 ∗ 𝑎 + 𝑦 ∗ 𝑏 = 1 und wenn man nun
modulo a rechnet mit 𝑥 ∗ 𝑎 𝑚𝑜𝑑 𝑎 = 0 kommt man auf 𝑥 ∗ 𝑎 + 𝑦 ∗ 𝑏 𝑚𝑜𝑑 𝑎 = 𝑦 ∗
𝑏 (𝑚𝑜𝑑 𝑎) = 1. Damit wäre bewiesen, dass es eine Zahl 𝑐 = 𝑦 gibt, die zu b modulo
a invers ist.
h) Nun ist die Frage ,ob sich aus dem Geheimtext C mit der Formel 𝐶𝑑𝑚𝑜𝑑 𝑁 = 𝑀
wieder die Nachricht M ergibt. Dazu schreibt man C so auf, wie es gebildet wurde:
𝐶𝑑 𝑚𝑜𝑑 𝑛 = 𝑀𝑒 𝑑 𝑚𝑜𝑑 𝑛 = 𝑀𝑒∗𝑑 𝑚𝑜𝑑 𝑛
Somit müsste für M = 𝑀𝑒∗𝑑(𝑚𝑜𝑑 𝑛) gelten. Hierfür benötigt man den Satz von
Euler36.Voraussetzung ist nun, dass M und n, also 𝑝 ∗ 𝑞, teilerfremd ist. Dies ist
jedoch von vornherein gegeben, weil 𝑀 < 𝑁 = 𝑝 ∗ 𝑞. Nun ergibt sich folgende
Beweiskette:
Es gilt 𝑒 ∗ 𝑑 ≡ 1 𝑚𝑜𝑑 𝑝 − 1 ∗ 𝑞 − 1 woraus sich folgern lässt 𝑒 ∗ 𝑑 = 𝑘 ∗
𝑝 − 1 ∗ 𝑞 − 1 + 1. Draus ergibt sich
𝑀𝑒∗𝑑 𝑚𝑜𝑑 𝑝 ∗ 𝑞 = 𝑀𝑘∗ 𝑝−1 ∗ 𝑞−1 +1 𝑚𝑜𝑑 𝑝 ∗ 𝑞 = (𝑀 𝑝−1 ∗ 𝑞−1 )𝑘 ∗
𝑀 𝑚𝑜𝑑 𝑝 ∗ 𝑞 = 1𝑘 ∗ 𝑀 𝑚𝑜𝑑 𝑝 ∗ 𝑞 = 1 ∗ 𝑀 = 𝑀
35 Für eine nähere Erläuterung siehe 11.2.2 15. 36 „φ(n) ist die Eulersche φ-Funktion, die die Anzahl der zu n teilerfremden Reste modulo n ergibt.“ Wenn n eine Primzahl ist, dann gilt 𝜑 𝑝 = 𝑝 − 1 weil alle zahlen bis 𝑝 − 1 teilerfremd zu p sind. Der eulersche satz besagt nun 𝑎𝜑(𝑛) ≡ 1 (𝑚𝑜𝑑 𝑛). In unserem Falle ist n aber ein produkt aus zwei Primzahlen, nämlich 𝑛 = 𝑝 ∗ 𝑞 und somit ergibt sich für 𝜑 𝑝 ∗ 𝑞 = 𝜑 𝑝 ∗ 𝜑 𝑞 = 𝑝 − 1 ∗ (𝑞 − 1)
Rene Mathieu
24 PRIMZAHLEN
Damit ist gezeigt, dass die Nachricht M durch Ver- und Entschlüsselung nicht
verändert wird.
Nach 11.2.2. 8. RSA5
i) Einige Beispiele für hintereinander auftauchende Primzahlen:
Primzahldrillinge:
5, 7, 11; 7, 11, 13; 11, 13, 17; 13, 17, 19
Primzahlvierlinge:
11, 13, 17, 19; 101, 103, 107, 109; 191, 193, 197, 199
Rene Mathieu
25 PRIMZAHLEN
12 SELBSTSTÄNDIGKEITSERKLÄRUNG
Ich, René Mathieu, erkläre hiermit, dass ich die Facharbeit ohne fremde
Hilfe angefertigt habe und nur die im Literaturverzeichnis angeführten Quellen und
Hilfsmittel benutzt habe.
………………… , den ….……………. …………………………………………
Ort Datum Unterschrift
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