ROSÁRIO LAUREANO 1
PRIMITIVASMÉTODOS DE PRIMITIVAÇÃO––––––––––––––––––––––––––––––––—
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�Ano letivo: 2013/2014 - 2o Sem.� Turma: GA4
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�Elaborado por ROSÁRIOLAUREANO
�DM — Dpto de Matemática (ISTA)
ROSÁRIO LAUREANO 2
1 Primitivas (ou antiderivadas)
1.1 Primitivas imediatas e quase-imediatasSeja f uma função real (escalar) na variável real x, f : D ⊆ R→ R.
Definição 1 Uma função F (x) é uma primitiva de f(x) (ou uma an-tiderivada de f(x)), e denota-se por
F (x) =
∫f(x) dx, ou simplesmente, F (x) = P f(x),
se F ′(x) = f(x) (dx indica a variável de primitivação).
Dado que o cálculo de uma primitiva envolve um processo inverso daderivação, a primitiva de uma dada função não é única. Vejamos o seguinteexemplo.
Exemplo 2 As funções x3, x3+2 e x3−√5 são (diferentes) primitivas da
função f(x) = 3x2 pois
(x3)′=(x3 + 2
)′=(x3 −
√5)′
= 3x2.
Todas estas primitivas da função f(x) = 3x2 diferem por uma constante reale pertencem à família de funções x3+C, com C ∈ R (no 1o caso C = 0, no2o caso C = 2 e no 3o caso C = −
√5).
Não devemos escrever∫ (
3x2)dx = x3, nem
∫ (3x2)dx = x3+2, nem
∫ (3x2)dx = x3 −
√5, pois tal levaria às proposições falsas 0 = 2 = −
√5.
Na verdade, devemos escrever∫ (
3x2)dx = x3 +C [ou ainda, P
(3x2)= x3 +C],
para todo C ∈ R (ou seja, ∀C ∈ R), como a expressão geral de todas asprimitivas da função f(x) = 3x2. Tal expressão é assim x3 + C, qualquerque seja C ∈ R.
Atendendo à notação da Definição 9, temos F (x) = x3 + C, ∀C ∈ R.Se soubermos uma condição relativa à função F (x), podemos então calcularC e obter uma determinada primitiva de f(x). Por exemplo, com F (3) =10, obtemos 33 + C = 10. Temos então C = 10 − 27 = −17 e obtemosa primitiva "particular" F (x) = x3−17 (aquela que passa no ponto (3, 10)).
ROSÁRIO LAUREANO 3
Se F (x) é uma primitiva de f(x) então também F (x)+C é uma primitivade f(x), ∀C ∈ R, pois
[F (x) +C]′ = F ′(x) +C ′ = F ′(x) + 0 = f(x), ∀C ∈ R.
Podemos assim dizer que F (x) + C é a expressão geral das primitivasde f(x). Assim, todas as primitivas de uma dada função f(x) diferem entresi por uma constante real C arbitrária.
Exemplo 3 As funções definidas por x+C, com C ∈ R, são as primitivasda função (constante) f(x) = 1,
∫1 dx = x+C [ou ainda, P1 = x+C], ∀C ∈ R,
pois(x+C)′ = x′ +C′ = 1+ 0 = 0.
Exemplo 4 As funções definidas porx2
2+C, com C ∈ R, são as primitivas
da função (constante) f(x) = x,∫x dx =
x2
2+C [ou ainda, Px = x2
2+C], ∀C ∈ R,
pois (x2
2+C
)′=1
2
(x2)′+C′ =
1
2(2x) + 0 = x.
Exemplo 5 As funções definidas por sinx+C, com C ∈ R, são as primi-tivas da função f(x) = cosx,
∫cos (x) dx = sin (x) +C [ou ainda, P cosx = sinx+C], ∀C ∈ R,
pois[sin (x) +C]′ = cos (x) + 0 = cos(x).
Exemplo 6 A família de funções − cosx+C, com C ∈ R, é a família dasprimitivas da função f(x) = sinx,∫sin (x) dx = − cos (x) +C [ou ainda, P sinx = − cosx+C], ∀C ∈ R,
pois[− cos (x) +C]′ = sin (x) + 0 = sinx.
ROSÁRIO LAUREANO 4
Exemplo 7 A família de funções exp (x) +C, com C ∈ R, é a família dasprimitivas da função f(x) = expx,∫exp(x)dx = exp(x) +C [ou ainda, P expx = exp(x) +C], ∀C ∈ R,
pois[exp(x) +C]′ = expx.
Note que usamos a notação expx com o mesmo significado de ex (exponen-cial na base de Neper e = 2.7182818284...).
Exemplo 8 A expressão geral das primitivas de f(x) = 1/x é ln |x|+C,∫1
xdx = ln |x|+C [ou ainda, P 1
x= ln |x|+C], ∀C ∈ R,
pois(ln |x|+C)′ = 1/x.
O módulo garante, desde logo, que o logaritmo Neperiano (ln) atua sobrevalores positivos (note que x = 0 pelo enunciado), mas verificamos que:
— para x > 0 temos |x| = x, logo
[ln |x|+C]′ = [ln (x) +C]′ = 1
x+ 0 =
1
x.
— para x < 0 temos |x| = −x, logo
[ln |x|+C]′ = [ln (−x) +C]′ = −1−x + 0 =
1
x.
É então válido que, para todo x = 0,
[ln |x|+C]′ = 1
x.
Conhecemos as regras de derivação da soma, da diferença e do produtopor uma constante real. São destas regras que resultam as seguintes pro-priedades operacionais no cálculo de primitivas.
Proposição 9 (Propriedades operacionais da soma, da diferença edo produto por uma constante) Dadas funções reais f e g na variávelreal x e uma constante k ∈ R, são válidas as igualdades
∫[f(x)± g(x)] dx =
∫f(x)dx±
∫g(x)dx
ROSÁRIO LAUREANO 5
e ∫[k · f(x)] dx = k ·
∫f(x)dx .
Proof. Das regras de derivação da soma e da diferença
[F (x)±G(x)]′ = F ′(x)±G′(x)
resulta que
F (x)±G(x) =∫ [
F ′(x)±G′(x)]dx. (1)
Para F ′(x) = f(x) temos F (x) =∫f(x)dx. Para G′(x) = g(x) temos
G(x) =
∫g(x)dx. Assim, a igualdade (1) pode ser escrita como
∫f(x)dx±
∫g(x)dx =
∫[f(x)± g(x)] dx.
Analogamente, da regra de derivação com uma constante real multiplica-tiva k,
[k · F (x)]′ = k · F ′(x) em que k ∈ R,resulta que
k · F (x) =∫ [
k · F ′(x)]dx. (2)
Para F ′(x) = f(x) temos F (x) =∫f(x)dx. Assim, a igualdade (2) pode
ser escrita como
k ·∫f(x)dx =
∫[k · f(x)] dx.
Atendendo às igualdade da Proposição 17, podemos afirmar que a prim-itiva goza de linearidade, ou seja,
∫[k · f(x)±K · g(x)] dx =
[k ·∫f(x)dx
]±[K ·
∫g(x)dx
]
para constantes reais k,K ∈ R. Com base nesta propriedade é possível efec-tuar primitivação por decomposição quando tal for conveniente. Ve-jamos os seguintes exemplos.
ROSÁRIO LAUREANO 6
Exemplo 10 Considere as seguintes primitivas, em que C1, C2, C são nú-meros reias arbitrários (∀C1, C2, C ∈ R):∫[3 + 5 exp(x)] dx = 3 ·
∫1 dx+ 5 ·
∫exp (x) dx
= 3 · (x+C1) + 5 · [exp(x) +C2]
= 3 · x+ 3 ·C1 + 5 · exp(x) + 5 · C2
= 3 · x+ 5 · exp(x) + 3 · C1 + 5 · C2
= 3 · x+ 5 · exp(x) +C, com C = 3 · C1 + 5 · C2,
∫[sin (x)− 2 cosx] dx =
∫sin (x) dx− 2 ·
∫cos (x)dx
= − cos (x) +C1 − 2 · [sin (x) +C2]
= − cos (x)− 2 · sin (x) +C1 − 2 ·C2
= − cos (x)− 2 · sin (x) +C, com C = C1 − 2 ·C2
∫ (x
5+1
6x
)dx =
1
5·∫x dx+
1
6·∫1
xdx
=1
5·(x2
2+C1
)+1
6· (ln |x|+C2)
=1
5· x
2
2+1
5· C1 +
1
6· ln |x|+ 1
6·C2
=x2
10+1
6· ln |x|+ 1
5·C1 +
1
6· C2
=x2
10+1
6· ln |x|+C, com C =
1
5·C1 +
1
6· C2.
ROSÁRIO LAUREANO 7
REGRAS DE PRIMITIVAÇÃO: Dada uma função real de variávelreal u = u(x) e uma constante k ∈ R, são válidas as regras seguintes:
•∫k dx = k · x+C , ∀C ∈ R
•∫u′
udx = ln |u|+C , ∀C ∈ R
•∫(uα · u′)dx = uα+1
α+ 1+C com α ∈ Q \ {−1}, ∀C ∈ R
•∫(au · u′) dx = au
lna+C com a ∈ R+ \ {1}, ∀C ∈ R
— Em particular,∫(u′ · expu) dx = exp(u) +C , ∀C ∈ R
•∫
u′
a2 + u2dx =
1
aarctan
(ua
)+C , ∀C ∈ R
— Em particular,∫
u′
1 + u2dx = arctan (u) +C , ∀C ∈ R
•∫
u′√a2 − u2
dx = arcsin(ua
)+C , ∀C ∈ R
— Em particular,∫
u′√1− u2
dx = arcsin (u) +C , ∀C ∈ R
•∫(u′ · sinu) dx = − cos (u) +C , ∀C ∈ R
•∫(u′ · cosu) dx = sin (u) +C , ∀C ∈ R
•∫ (
u′ · sec2 u)dx =
∫u′
cos2 udx = tan (u) +C , ∀C ∈ R
ROSÁRIO LAUREANO 8
•∫ (
u′ · csc2 u)dx =
∫u′
sin2 udx = − cot (u) +C , ∀C ∈ R
•∫(u′ · secu) dx = ln |sec (u) + tanu|+C , ∀C ∈ R
•∫(u′ · cscu) dx = ln |csc (u)− cotu|+C , ∀C ∈ R
Exemplo 11 Considere as seguintes primitivas, em que C1, C2, C são nú-meros reias arbitrários (para quaisquer C1, C2, C ∈ R)
∫ (7 + x2
)dx = 7
∫1 dx+
∫x2 dx = (7x+C1) +
(1
3x3 +C2
)
= 7x+1
3x3 +C1 +C2 = 7x+
1
3x3 + C︸︷︷︸
C1+C2
,
∫5
x2dx = 5·
∫1
x2dx = 5·
∫x−2 dx = 5 ·
(x−2+1
−2 + 1 +C1)
= 5 ·(x−1
−1 +C1)= −5
x+ 5 ·C1 = −
5
x+ C︸︷︷︸
5·C1
,
∫ [sin (2x) + cos
x
3
]dx =
∫sin (2x)dx+
∫cos(x3
)dx
=1
2·∫2 · sin (2x)dx+ 3 ·
∫ [1
3· cos
(1
3· x)]dx
=1
2· [− cos (2x) +C1] + 3 ·
[sin
(1
3· x)+C2
]
= −12· cos (2x) + 3 · sin
(x3
)+1
2·C1 + 3 · C2
= −12· cos (2x) + 3 · sin
(x3
)+ C︸︷︷︸1
2·C1+3·C2
.
ROSÁRIO LAUREANO 9
1.2 Exercícios propostos1. Determine a expressão geral das primitivas de cada uma das seguintesfunções:
(a) f(x) = 5x6 +3
x2+4
x
(b) f(x) =(3x− 1)23x
(c) f(x) =(x+
√x)2
x5
(d) f(x) = x(x2 + 2)3
(e) [TA] f(x) = 3√x2 + 2 5
√x
(f) [TA] f(x) = (8− 3x) 5√8− 3x
(g) [TA] f(x) = (x+ 1)15
(h) [TA] f(x) =x3
5√3− x4
2. Determine a expressão geral das primitivas de cada uma das seguintesfunções:
(a) f (x) =3x
1 + x2
(b) f (x) =3
1 + x2
(c) f (x) =3
4 + x2
(d) f (x) =3x2
1 + x2
ROSÁRIO LAUREANO 10
(e) f (x) =3
(1 + x)2
3. Determine a expressão geral das primitivas de cada uma das seguintesfunções:
(a) f (x) =5x√1− x2
(b) f (x) =5√1− x2
(c) f (x) =5√4− x2
(d) [TA] f(x) =5√
16− 9x2
(e) f(x) =1
√2− (x− 3)2
(f) f(x) =1√
−x2 + 2x+ 3
4. Prove as seguintes igualdades [note que as alíneas 2.c) e 3.c) d) sãocasos particulares do que é proposto neste exercício]:
(a)∫
1
a2 + b2x2dx =
1
abarctan
(b
ax
)+C, ∀C ∈ R;
(b)∫
1√a2 − b2x2
dx =1
barcsin
(b
ax
)+C, ∀C ∈ R.
5. [TA] Determine a expressão geral das primitivas de cada uma dasseguintes funções:
(a) f (x) =x2√1− x6
(b) f (x) =x5√1− x6
ROSÁRIO LAUREANO 11
6. Determine a expressão geral das primitivas de cada uma das seguintesfunções:
(a) f(x) = 5x exp(x2)
(b) f(x) =exp (1/x)
x2
(c) f (x) = exp [2 sin (x) cosx] cos (2x)
(d) [TA] f(x) =1
exp(−x) (1 + 4 expx)
(e) [TA] f(x) =exp (6x)
√1− exp (6x)
(f) [TA] f(x) = (1 + expx)2
(g) [TA] f(x) =exp tanx
cos2 x
7. [TA] Seja v(x) = exp (2x). Determine a expressão geral das primitivasdas funções
f (x) =v(x)
1 + exp (4x), g(x) =
v(x)
2− v(x) e h(x) =v(x)− 1expx
.
8. [TA] Seja w(x) = lnx. Determine a expressão geral das primitivasdas funções
f (x) =1
x ·w(x) , h(x) =1
x(3 +w2 (x))e j(x) =
3
√w(x) + sinw(x)
x.
9. [TA] Considere q(x) =√x. Determine a expressão geral das primiti-
vas das funções
f (x) =1
q(x)√1− x
, g(x) =1
(1 + x)q(x)e h(x) =
1
q(x)√1 + q(x)
.
10. Determine a expressão geral das primitivas de cada uma das seguintesfunções:
ROSÁRIO LAUREANO 12
(a) f(x) = x2 cos(x3)
(b) f(x) = tan (3x)
(c) f(x) = cot(5x− 7)
(d) f(x) =cos (5x)
sin (5x)
(e) [TA] f(x) = x sinx2
3
(f) [TA] f(x) = sin3 (x) cosx
(g) [TA] f(x) =sinx
cos4 x
(h) [TA] f(x) =sin (x) + cosx
sin3 x
(i) [TA] f(x) =cosx3√sin2 x
11. Prove as seguintes igualdades (p ∈ Q, p = −1) [note que as alíneas10.f) - i) são casos particulares do que é proposto neste exercício]
(a)∫[sinp (x) cosx] dx =
1
p+ 1sinp+1 (x) +C, ∀C ∈ R;
(b)∫[cosp (x) sinx] dx = − 1
p+ 1cosp+1 (x) +C, ∀C ∈ R.
12. [TA] Considere as funções
f(x) = sin3 x, g(x) = cos4 x, h(x) = cos5 x e j(x) = sin2 (3x)
definidas por potências (pares ou ímpares) de seno ou de coseno. De-termine a expressão geral das primitivas de cada uma destas funções.
13. Determine a expressão geral das primitivas de cada uma das seguintesfunções:
ROSÁRIO LAUREANO 13
(a) f(x) = x tan(x2)
(b) f(x) = sec2 (7x)
(c) f(x) =sec2 x
tan5 x
(d) [TA] f(x) = tan(x2
)sec2
x
2
(e) [TA] f(x) =1
[2 + 3 tan (5x)] cos2 (5x)
(f) [TA] f(x) =2arctan3 x
1 + x2
(g) [TA] f(x) =x+ arcsinx√
1− x2
(h) [TA] f(x) =cosx
1 + sin2 x
(i) [TA] f(x) =cos (2x)
1 + sin (x) cosx
14. [TA] Seja j(x) = sin (2x) . Determine a expressão geral das primitivasdas funções
f(x) =j(x)
1 + cos2 x, g(x) =
j(x)
1 + cos4 xe h(x) =
j(x)
cos2(sin2 x
) .
15. Determine a expressão geral das primitivas da função
f(x) =1
x ln (x) ln(lnx).
16. [TA] Seja∫f(x)dx = 5 − 1
2ln [1 + 2 exp(−x)]. A função f(x) pode
ser definida pela expressão:
A f(x) = 2 + expx
B f(x) =1
2 + expx
C f(x) = 2 exp(−x)
ROSÁRIO LAUREANO 14
17. [TA] A expressão geral das primitivas da função
f(x) =cosx
√1− sin2 x
+ 2 exp(−x)
é:
A√1− sin2 x− 2 exp(−x) +C, ∀C ∈ R
B√1− sin2 x+ 2exp(x) +C, ∀C ∈ R
C x− 2 exp(−x) +C, ∀C ∈ R
18. A expressão geral das primitivas da função
f(x) = 3 exp(−x) + 3 cosx√1− sin2 x
é:
A 3√1− sin2 x− 3 exp(−x) +C, ∀C ∈ R
B 3x− 3 exp(−x) +C, ∀C ∈ RC 3
√1− sin2 x+ 3 exp(x) +C, ∀C ∈ R
19. Seja∫f(x)dx = 3 − ln [1 + 3 exp(−x)]. A função f(x) pode ser
definida pela expressão:
A f(x) =3
3 + expx
B f(x) = 3 exp(−x)C f(x) = 3 expx
20. [TA] Seja g(x) =ln2 x
2− 4 cos
(x2)+2 uma primitiva de certa função
f(x). A função f(x) pode ser definida pela expressão:
A f(x) =lnx
x+ 8x sin
(x2)
B f(x) =1
x lnx+ 8x sin
(x2)
C f(x) = x ln (x)− 4 cos(x2)
ROSÁRIO LAUREANO 15
21. A expressão geral das primitivas da função
f(x) =cosx
√1− sin2 x
+ exp(−x)
é:
A x− exp(−x) +C, ∀C ∈ RB
√1− sin2 x− exp(−x) +C, ∀C ∈ R
C x+ exp(−x) +C, ∀C ∈ R
22. Seja g(x) =ln2 x
2− 4 cos
(x2)+2 uma primitiva de certa função f(x).
A função f(x) pode ser definida pela expressão:
A f(x) =1
x lnx+ 8x sin
(x2)
B f(x) =lnx
x+ 8x sin
(x2)
C f(x) = x ln (x)− 4 cos(x2)
23. [TA] Sabendo que∫f(x)dx =
1
3sin(x3)+2arctan (
√x)+3, a função
f(x) pode ser definida pela expressão:
A f(x) =
√x
1 + x+ x2 cos
(x3)
B f(x) =1
1 + x+ cos
(x3)
C f(x) =1
(1 + x)√x+ x2 cos
(x3)
24. [TA] A expressão geral das primitivas da função
f(x) =4x
x2 + 1− 1
x2
é:
A 4 ln(x2 + 1
)− ln
(x2)+C, ∀C ∈ R
B 2 ln(x2 + 1
)+1
x+C, ∀C ∈ R
C 2 arctan (x) +1
x+C, ∀C ∈ R
ROSÁRIO LAUREANO 16
25. Sabendo que∫f(x)dx = 2arctan (
√x)+
1
3sin(x3)+4, a função f(x)
pode ser definida pela expressão:
A f(x) =1
1 + x+ cos
(x3)
B f(x) =
√x
1 + x+ x2 cos
(x3)
C f(x) =1
(1 + x)√x+ x2 cos
(x3)
26. A expressão geral das primitivas da função f(x) =2x
x2 + 1+1
x2é:
A 2 ln(x2 + 1
)+ ln
(x2)+C, ∀C ∈ R
B arctan (x)− 1
x+C, ∀C ∈ R
C ln(x2 + 1
)− 1
x+C, ∀C ∈ R
1.3 Primitivas de funções racionaisDefinição 12 Uma função diz-se racional se é o quociente de funções poli-nomiais, ou seja, se é uma fração de polinómios.
Exemplo 13 São racionais as funções
f(x) =2x
x2 + 1, g(x) =
x3 + 5
x+ 3e h(x) =
10x
x+ 5.
Considere a função racional
f (x) =N (x)
D (x),
em que os polinómios N (x) (polinómio numerador) e D (x) (polinómio de-nominador) são polinómios na variável x (N (x) ≡polinómio numerador;D (x) ≡polinómio denominador). A função racional f(x) diz-se própria seN (x) tem grau inferior a D (x). Caso contrário (i.e, se N (x) tem grausuperior ou igual a D (x)), a função racional f(x) diz-se não-própria.
ROSÁRIO LAUREANO 17
Exemplo 14 Temos a seguinte classificação das funções racionais do Ex-emplo 21:
f(x) — própria,
porque grau(2x) = 1 < 2 =grau(x2 + 1
), e
g(x) e h(x) — não-próprias
porque grau(x3 + 5) = 3 > 1 =grau(x+ 3) e grau(10x) = 3 =grau(x+ 5) .
Relativamente ao cálculo das primitivas de uma função racional f (x), háque considerar os seguintes procedimentos iniciais (apenas se a primitivaçãonão for imediata pelas regras de primitivação):
FUNÇÕES PRÓPRIAS Quando a função racional f (x) é própria,
1. determinam-se as raízes do polinómio denominador D (x).
2. procede-se à decomposição de D (x) em factores de grau 1 se assuas raízes forem reais, e/ou em factores de grau 2 (factores quesão somas de quadrados) se as suas raízes forem complexas (nestecaso são pares de raizes conjugadas).
3. fazem-se corresponder frações simples às raizes encontradas paraD(x) do seguinte modo:
(a) A cada raíz real α de multiplicidade k fazem-se corresponderk frações simples do tipo
A1
(x− α)k,
A2
(x− α)k−1, ... ,
Ak−1
(x− α)2e
Akx− α,
(b) a cada par de raízes complexas a ± bi de multiplicidade ktambém se fazem corresponder k frações simples do tipo
A1x+B1[(x− a)2 + b2
]k ,A2x+B2
[(x− a)2 + b2
]k−1 , ...,Ak−1x+Bk−1[(x− a)2 + b2
]2 eAkx+Bk
(x− a)2 + b2.
As constantes presentes Ai e Bi presentes nos numeradoresdas frações simples de 3.(a)e 3.(b) são calculadas pelo Métododos Coeficientes Indeterminados ou por outros métodos con-hecidos (por exemplo, o método de Taylor também conhecidopor "método do tapa").
ROSÁRIO LAUREANO 18
4. Procede-se ao cálculo da primitiva de f(x) efectuando primiti-vação por decomposição. De notar que as frações simples em3.(a)e 3.(b) são fáceis de primitivar pelas regras de primitivaçãousuais.
FUNÇÕES IMPRÓPRIAS Quando a função racional f (x) é imprópria,
1. procede-se à divisão do polinómio N (x) pelo polinómio D (x),obtendo-se um polinómio quociente Q(x) (chamada parte inteirade f(x)) e um polinómio resto R(x) com grau inferior ao grau deD(x) (isto é, grau(R(x))<grau(D (x)). Temos então
N(x) = D(x) ·Q(x) +R(x)de que resulta
f(x) =N(x)
D(x)=D(x) ·Q(x) +R(x)
D(x)=D(x) ·Q(x)D(x)
+R(x)
D(x),
ou seja,
f(x) = Q(x) +R(x)
D(x)
Como R(x) tem necessariamente grau inferior a D(x), pois é esseo critério para considerar terminada a divisão de N (x) por D (x),a nova função racional R(x)/D(x) é própria.
2. procede-se então conforme o indicado nos pontos 2., 3. e 4. parafunções próprias.
Há casos em que a divisão dos polinómios (em funções não-próprias)pode ser evitada por pequenos "truques" operacionais. Vejamos os seguintesexemplos.
Exemplo 15 Considere as seguintes operações válidas em frações:
f(x) =x− 1x+ 2
=x+ 2− 3x+ 2
=x+ 2
x+ 2+
−3x+ 2
= 1− 3
x+ 2
g(x) =2x− 1x+ 2
=x+ 2 + x− 3
x+ 2=x+ 2
x+ 2+x− 3x+ 2
= 1 +x− 3x+ 2
= 1 +x+ 2− 5x+ 2
= 1 +x+ 2
x+ 2+
−5x+ 2
= 1 + 1− 5
x+ 2= 2− 5
x+ 2
ROSÁRIO LAUREANO 19
h(x) =x2 − 1x2 + 2
=x2 + 2− 3x2 + 2
=x2 + 2
x2 + 2+
−3x2 + 2
= 1− 3
x2 + 2
u(x) =x2 + 2x+ 1
x+ 2=x (x+ 2) + 1
x+ 2=x (x+ 2)
x+ 2+
1
x+ 2= x+
1
x+ 2
v(x) =x2 + x+ 1
x+ 2=x2 + 2x− x+ 1
x+ 2=x (x+ 2)− x+ 1
x+ 2
=x (x+ 2)
x+ 2+−x+ 1x+ 2
= x− x− 1x+ 2
= x− x+ 2− 3x+ 2
= x−(x+ 2
x+ 2+
−3x+ 2
)= x− 1− −3
x+ 2= x− 1 + 3
x+ 2.
Contudo, para a maioria destas funções é mais fácil recorrer à divisão dospolinómios obtendo-se (obviamente) os mesmos resultados finais (e num sópasso, exceptuando o caso da função v(x)). Confirme os resultados obtidosmas recoorendo à divisão.
1.4 Exercícios propostos1. Determine a expressão geral das primitivas de cada uma das seguintesfunções racionais:
(a) f(x) =x2 + 1
x3 + 3x
(b) [TA] f(x) =x+ 4
x2 + 8x+ 7
(c) f(x) =x5
1 + x6
(d) [TA] f(x) =x
3x4 + 1
(e) [TA] f(x) =1
x2 + 2
ROSÁRIO LAUREANO 20
2. [TA] Considere os polinómios de grau 2
d1(x) = x2 + 6x+ 9, d2(x) = x
2 + 6x+ 8 e d3(x) = x2 + 6x+ 10.
(a) Averigue a possibilidade de factorizar cada um dos polinómiosanteriores em polinómios de grau 1.
(b) Determine a expressão geral das primitivas das funções racionais
f(x) =1
d1(x), g(x) =
1
d2(x)e h(x) =
1
d3(x).
(c) Determine a expressão geral das primitivas das funções racionais
j(x) =x+ 1
d1(x), k(x) =
x+ 1
d2(x)e l(x) =
x+ 1
d3(x).
3. [TA] Escreva cada uma das funções racionais
f(x) =x4 + x2 + 5
x3 + 2x2 + xe g(x) =
2x3 + 2
8x+ 6x2 + x3
com base numa fracção própria e, de seguida, determine a expressãogeral das suas primitivas.
4. Determine a expressão geral das primitivas de cada uma das seguintesfunções racionais:
(a) f(x) =2x+ 1
x3 + 6x2 + 10x
(b) f(x) =x2 − x+ 14
(x− 4)3 (x− 2)
(c) [TA] f(x) =3
(x2 − 4)2
(d) [TA] f(x) =x
x4 − 1
5. [TA] Sabendo que 2 é raíz do denominador da função racional
f(x) =x
x3 − 6x2 + 12x− 8 ,
determine a expressão geral das primitivas da função f .
ROSÁRIO LAUREANO 21
6. [TA] Mostre que
F (x) = − 1
(x− 2)2− 1
x− 2 +1
4
é a primitiva def(x) =
x
(x− 2)3
que passa no ponto (0, 1/2).
1.5 Métodos de primitivação (por partes e por subs-tituição)
1.5.1 Primitivação por partesDadas funções reais de variável real f(x) e g(x), é valida a regra opera-
cional de derivação do produto
(f · g)′ = f ′ · g + f · g′.
Então ∫ (f ′ · g + f · g′
)dx = f · g +C.
Esta igualdade é equivalente a∫ (
f ′ · g)dx+
∫ (f · g′
)dx = f · g +C,
ou ainda a ∫ (f ′ · g
)dx = f · g −
∫ (f · g′
)dx+C.
Temos então a igualdade com primitivas
∫(f ′ · g)dx = f · g −
∫(f · g′)dx . (3)
A fórmula (3) justifica o método de primitivação por partes que éefectivamente útil nos casos em que o produto f ·g′ é mais difícil de primitivardo que o produto (original) f́ · g.
Quando pretendemos aplicar o método de primitivação por partes a umproduto f ′ ·g de funções (que não possa ser visto como primitiva imediata ouquase-imediata), escolhe-se uma das funções para primitivar (f ′) e a outra
ROSÁRIO LAUREANO 22
para derivar (g). Há que escolher f ′ como algo que se sabe primitivar (paraobter facilmente f), tendo em conta que a derivada g′ de g é sempre fácil deobter. Conforme já foi referido, esta escolha deve ainda cumprir o objectivo
de encontrar em∫(f · g′) dx uma primitiva imediata ou quase-imediata.
Exemplo 16 Pretendemos calcular a primitiva∫(x lnx) dx. Tomando
f ′ = x e g = lnx há que calcular
f =
∫f ′dx =
∫x dx =
x2
2
eg′ = (lnx)′ =
1
x.
Pela fórmula de primitivação por partes (3) obtemos
∫(x · lnx) dx =
x2
2· lnx−
∫ (x2
2· 1x
)dx =
x2
2· lnx− 1
2·∫x dx
=x2
2· lnx− 1
2·(x2
2+C1
)=x2
2· lnx− x
2
4+C,
com C = −12·C1 ∈ R.
Exemplo 17 Pretendemos calcular a primitiva∫ (
x2 expx)dx. Tomando
f ′ = expx e g = x2 há que calcular
f =
∫f ′dx =
∫exp (x)dx = expx
eg′ =
(x2)′= 2x.
Pela fórmula de primitivação por partes (3) obtemos∫ (
x2 · expx)dx = exp (x) · x2 −
∫[exp (x) · (2x)] dx
= exp (x) · x2 − 2 ·∫[exp (x) · x] dx.
ROSÁRIO LAUREANO 23
Notemos que∫[exp (x) · x] dx ainda não é uma primitiva imediata. Con-
tudo, conseguimos baixar o grau do polinómio que faz produto com a expo-nencial expx. É então necessário proceder de novo à aplicação do métodode primitivação por partes, tomando de novo f ′ = expx e agora g = x.Temos f = expx e g′ = 1 logo∫ (
x2 · expx)dx = exp (x) · x2 − 2 ·
∫[exp (x) · x] dx
= exp (x) · x2 − 2 ·[exp (x) · x−
∫(exp (x) · 1)dx
]
= exp (x) · x2 − 2 · [exp (x) · x− exp (x)−C1]
= exp (x) ·(x2 − 2x+ 2
)+C,
com C = 2 · C1 ∈ R.
A tabela seguinte fornece algumas sugestões para uma escolha adequadade f́ e de g (note que em muitos casos p(x) é um polinómio):
(f ′ · g) f ′ g
p (x) · expxp (x) · sinxp (x) · cosxp (x) · tanxp (x) · cotx
expx
sinx
cosx
tanx
cotx
p(x)
p (x) · lnxp (x) · arcsinxp (x) · arccosxp (x) · arctanxp (x) · arccotx
p(x)
lnx
arcsinx
arccosx
arctanx
arccotx
Notemos que não decorrem das regras de derivação quaisquer regrasde primitivação para as funções inversas ln, arcsin, arccos, arctan e arccot.Como tal, estas funções são, em geral, escolhidas como função g, sobre a qual
ROSÁRIO LAUREANO 24
apenas é necessário derivar. Já para as respectivas funções directas exp, sin,cos, tan e cot são conhecidas algumas regras elementares de primitivação, etemos em vista aplicá-las sempre que possível.
1.5.2 Primitivação por substituição (ou por mudan-ça de variável)
Para determinar a expressão geral das primitivas F (x) de uma funçãof(x),
F (x) =
∫f (x) dx
pode ser conveniente substituir a variável x por uma nova variável t (mu-dança de variável (m.v.)).Tomemos x = g(t) em que g é uma função injectiva. Dada F (x) =∫f (x) dx temos F uma função na variável x e, por sua vez, x = g(t) uma
função na variável t. Como tal, F pode ser considerada função da variávelt obtida por composição de funções. Atendendo à regra de derivação dafunção composta (ou regra da cadeia) temos
dF (x)
dt=dF (g(t))
dt=dF (x)
dx· dxdt=dF
dx· dgdt
e, dada a forma como foi definida a função F (é uma primitiva de f(x))segue que
dF (x)
dt= f(x) · dg
dt= f(x) · g′(t) = f [g(t)] · g′(t).
Isto implica que
F (x) =
∫f [g(t)] · g′(t) dt
ou seja, ∫f (x) dx =
∫f [g(t)] · g′(t) dt . (4)
A fórmula (4) justifica o método de primitivação por substituição1.Após resolver a primitiva do lado direito (resultante da mudança de
variável) procedemos à ”recuperação” da variável original x atendendo a
1Para x = g(t), onde g é uma função injectiva, temos a taxa de variação
dx
dt=dg
dt= g′(t)
ROSÁRIO LAUREANO 25
que t = g−1(x) (notemos que a função g foi tomada como injectiva). Temosentão
∫f (x)dx =
∫f [g (t)] g′ (t) dt = φ (t) = φ(g−1 (x)) = F (x).
O quadro seguinte indica as substituições apropriadas quando estão pre-sentes certos radicais quadráticos que envolvam uma função u = u(x) euma constante real a ∈ R. Estas substituições dizem-se substituiçõestrigonométricas.
função com u = g (t) u′= g′ (t) t = g−1 (u)√a2 − u2 u = a · sin t u′ = a · cos t t = arcsin
u
a√a2 + u2 u = a · tan t u′ = a · sec2 t t = arctan
u
a√u2 − a2 u = a · sec t u′ = a · sec t tan t t = arcsec
u
a
Exemplo 18 A primitiva∫exp(5x) dx é imediata:
∫exp(5x) dx =
1
5·∫5 · exp(5x)dx = 1
5· [exp(5x) +C1] =
1
5· exp(5x) +C,
com C = C1/5 ∈ R. No entanto, se efectuarmos a mudança de variável
dada pela relação 5x = t, temos x =t
5= g(t) logo g′(t) =
1
5. Pelo método
de primitivação por substituição (4) temos então∫exp(5x) dx =
∫ [exp(t) · 1
5
]dt =
1
5·∫exp(t)dt
=1
5· [exp(t) +C1] =
1
5· exp(t) +C,
donde dx = g′(t)dt, logo∫f (x) dx =
∫f [g (t)] · g′ (t) dt.
ROSÁRIO LAUREANO 26
com C = C1/5 ∈ R. Voltando à variável original x, obtemos finalmente∫exp(5x) dx =
1
5· exp(5x) +C.
Notemos que foi essencial considerar a derivada g′(t) =1
5. Caso contrário,
obteríamos erradamente∫exp(5x) dx =
∫exp(t) dt = exp(t) +C = exp(5x) +C
(note que [exp(5x) +C]′ = 5 exp(5x) = exp(5x)). Obviamente que, nestecaso de uma primitiva imediata, foi mais fácil recorrer diretamente á regrade primitivação aplicável (sendo a substituição perfeitamente dispensável!).
Exemplo 19 Pretendemos calcular a primitiva∫(√x+ 1)
3dx. Consider-
amos a mudança de variável obtida pela relação√x = t. Temos x = t2 =
g(t) logo g′(t) = 2t. Pelo método de primitivação por substituição (4) temosentão
∫ (√x+ 1
)3dx =
∫ [(√t2 + 1
)3· 2t]dt =
∫ [(t+ 1)3 · 2t
]dt
= 2 ·∫ [(
t2 + 2t+ 1)(t+ 1) · t
]dt
= 2 ·∫ (
t4 + 3t3 + 3t2 + t)dt
= 2 ·(t5
5+ 3
t4
4+ t3 +
t2
2+C1
)
=2t5
5+3t4
2+ 2t3 + t2 +C,
com C = 2 · C1 ∈ R. Voltando à variável original x, obtemos então∫ (√
x+ 1)3dx =
2x2√x
5+3x2
2+ 2x
√x+ x+C
(atenda a que√x5 =
√x2 · x2 · x =
√x2 ·
√x2 · √x = x · x · √x = x2√x e a
que, analogamente,√x3 = x · √x). Notemos que, se optarmos por obter a
ROSÁRIO LAUREANO 27
expressão das primitivas sem recorrer a substituição, também temos∫ (√
x+ 1)3dx =
∫ (√x+ 1
)2 (√x+ 1
)dx
=
∫ (x+ 2
√x+ 1
) (√x+ 1
)dx
=
∫ (x√x+ 3x+ 3
√x+ 1
)dx
=
∫ (x3
2 + 3x+ 3x1
2 + 1)dx
=x5
2
5
2
+ 3x2
2+ 3
x3
2
3
2
+ x+C
=2x2√x
5+3x2
2+ 2x
√x+ x+C,
com C ∈ R. Este exemplo é aqui apresentado, tal como o Exemplo 26, tam-bém com o objectivo de evidenciar a importância de considerar a derivadag′(t). De facto, se não for considerada essa derivada
∫ (√t2 + 1
)3dt =
∫(t+ 1)3 dt
=
∫ (t2 + 2t+ 1
)(t+ 1)dt
=
∫(t3 + 3t2 + 3t+ 1)dt
=t4
4+ 3
t3
3+ 3
t2
2+ t+C
=x2
4+ x
√x+
3x
2+√x+C
(com C ∈ R) obtemos um resultado errado. Confirma-se, fazendo o cálculoda derivada, que
(x2
4+ x
√x+
3x
2+√x+C
)′=(√x+ 1
)3.
ROSÁRIO LAUREANO 28
1.6 Exercícios propostos1. Determine a expressão geral das primitivas de cada uma das seguintesfunções:
(a) f (x) = x ln (x+ 3)
(b) [TA] f (x) = x2 sinx
(c) [TA] f(x) = (x2 + 6x− 2) exp x3
(d) f (x) = arctanx
2
(e) [TA] f(x) = x3 expx2
(f) [TA] f (x) = arcsin (2x)
(g) f(x) = exp(x) sin (2x)
(h) [TA] f(x) = sin(x2
)cos (3x)
(i) f (x) =x
cos2 x
(j) [TA] f(x) = (x+ 3) expx
2
(k) [TA] f(x) = (2x2 + 1) exp (3x)
(l) f (x) = x exp (2x)
(m) f(x) = arcsinx
3
(n) f(x =x+ 2
3cos (5x)
(o) [TA] f(x) = arctan (3x)
ROSÁRIO LAUREANO 29
(p) [TA] f(x = exp (2x) sin (3x)
(q) [TA] f (x) = (2x− 1) sin (2x)
(r) [TA] f(x) = x7 expx4
(s) [TA] f (x) =x
sin2 x
(t) f(x) = sin (2x) cos (3x)
(u) [TA] f (x) = ln(x+
√1 + x2
)
(v) f (x) = exp (3x) [sin (2x)− cos (2x)]
(w) [TA] f(x) = x arctan2 x
2. [TA] Seja a(x) = lnx. Determine a expressão geral das primitivas dasfunções
a(x), f(x) = xa(x), g(x) =a(x)√x, h(x) =
a2(x)
x2
j(x) = cos [a (x)] , k(x) =ln [a(x)]
xe l(x) = cos2 [a (x)]
3. Considere a função f(x) = (√x+ 3)4.
(a) Desenvolva a função f em potências de x e calcule a expressãogeral das suas primitivas.
(b) Utilize a mudança de variável dada pela relação√x = t para
confirmar a expressão das primitivas obtida na alínea anterior.
4. Determine a expressão geral das primitivas de cada uma das seguintesfunções:
(a) f(x) =x
1 + 3√x
ROSÁRIO LAUREANO 30
(b) [TA] f(x) =1
2 + expx
(c) f(x) =1
1 +√x+ 1
(d) [TA] f(x) = cos 3√x
(e) f(x) =6√x+ 1
6√x7 +
4√x5
(f) [TA] f(x) =√x
x+ 1
(g) f(x) =√x√
x− 4√x
(h) f(x) =x2 + 3
√(2x− 5)3
(i) [TA] f(x) =√x
1 + 3√x
(j) [TA] f(x) =lnx
x√1 + lnx
(k) f(x) =x3
√(2 + 3x2)3
(l) [TA] f(x) =
√3x+ 1
1 + 5√3x+ 1
(m) [TA] f(x) =x
3√x− 1
5. Utilize substituições trigonométricas para determinar a expressão geraldas primitivas de cada uma das seguintes funções:
ROSÁRIO LAUREANO 31
(a) [TA] f(x) =
√x2 − 4x4
(b) [TA] f(x) =
√1 + x2
x2
(c) [TA] f(x) =1
√4 + (x− 5)2
6. Determine a expressão geral das primitivas de cada uma das seguintesfunções:
(a) f(x) =x arctanx√1 + x2
(b) f(x) =arcsinx
x2
(c) f(x) =1
x2
√x− 1x+ 1
2 Soluções dos exercícios propostos
2.1 Primitivas imediatas e quase-imediatas
1. (a)5
7x7 − 3
x+ 4 ln |x|+C, com C ∈ R
(b)3
2x2 − 2x+ 1
3ln |x|+C, com C ∈ R
(c) C − 1
2x2− 4
5x2√x− 1
3x3, com C ∈ R
(d)1
8(x2 + 2)4 +C, com C ∈ R
(e)3
5x
3√x2 +
5
3x 5√x+C, com C ∈ R
ROSÁRIO LAUREANO 32
(f) C − 5
33(8− 3x)2 5
√8− 3x, com C ∈ R
(g)(x+ 1)16
16+C, com C ∈ R
(h) C − 5
165
√(3− x4)4, com C ∈ R
2. (a)3
2ln∣∣1 + x2
∣∣+C =3
2ln(1 + x2
)+C, com C ∈ R
(b) 3 arctan (x) +C, com C ∈ R
(c)3
2arctan
(x2
)+C, com C ∈ R
(d) 3 (x− arctanx) +C, com C ∈ R
(e) 3
((1 + x)−1
−1
)
+C = C − 3
1 + x, com C ∈ R
3. (a) C − 5√1− x2, com C ∈ R
(b) 5 arcsin (x) +C, com C ∈ R
(c) 5 arcsin(x2
)+C, com C ∈ R
(d)5
3arcsin
(3x
4
)+C, com C ∈ R
(e) arcsin(x− 3√2
)+C, com C ∈ R
(f)∫
1√−x2 + 2x+ 3
dx = (...) =
∫1
√4− (x− 1)2
dx
= (...) = arcsin
(x− 12
)+C, com C ∈ R
ROSÁRIO LAUREANO 33
4. (a)1
abarctan
(b
ax
)+C, com C ∈ R
(b)1
barcsin
(b
ax
)+C, com C ∈ R
5. (a)1
3arcsin
(x3)+C, com C ∈ R
(b) C − 13
√1− x6, C ∈ R
6. (a)5
2exp
(x2)+C, com C ∈ R
(b) C − exp(1
x
), com C ∈ R
(c)1
2exp [sin (2x)] +C, com C ∈ R
(d)1
4ln |1 + 4 expx|+C = 1
4ln (1 + 4 expx) +C, com C ∈ R
(e) C − 13
√1− exp (6x), com C ∈ R
(f) x+ 2exp (x) +exp2 x
2+C, com C ∈ R
(g) exp tanx+C, com C ∈ R
7.∫f (x) dx =
1
2arctan [exp (2x)] +C, com C ∈ R
∫g(x)dx = C − 1
2ln |2− exp (2x)| , com C ∈ R
∫h(x)dx = exp (x) + exp (−x) +C, com C ∈ R
ROSÁRIO LAUREANO 34
8.∫f (x)dx = ln |lnx|+C, com C ∈ R
∫h(x)dx =
1√3arctan
(lnx√3
)+C, com C ∈ R
∫j(x)dx =
3
4ln (x) 3
√lnx− cos (lnx) +C, com C ∈ R
9.∫f (x) dx = 2arcsin (
√x) +C, com C ∈ R
∫g(x)dx = 2arctan (
√x) +C, com C ∈ R
∫h(x)dx = 4
√1 +
√x+C, com C ∈ R
10. (a)1
3sin(x3)+C, com C ∈ R
(b) C − 13ln |cos(3x)| , com C ∈ R
(c)1
5ln |sin (5x− 7)|+C, com C ∈ R
(d)1
5ln |sin (5x)|+C, com C ∈ R
(e)3
2
[− cos
(1
3x2)]+C = −3
2cos
(1
3x2)+C, com C ∈ R
(f)(sinx)4
4+C =
1
4sin4 (x) +C, com C ∈ R
(g) −(cosx)−3
−3 +C =1
3 cos3 x+C, com C ∈ R
ROSÁRIO LAUREANO 35
(h) C − cot (x)− 1
2 sin2 x, com C ∈ R
(i) 3 3√sinx+C, com C ∈ R
11. (a)(sinx)p+1
p+ 1+C =
1
p+ 1sinp+1 (x) +C, com C ∈ R
(b) −(cosx)p+1
p+ 1+C = C − 1
p+ 1cosp+1 (x) , com C ∈ R
12.∫sin3 (x) dx =
∫ [sin (x) sin2 x
]dx =
∫ [sin (x)
(1− cos2 x
)]dx
= (...) = − cos (x) + cos3 x
3+C, com C ∈ R
∫cos4 (x) dx =
∫ [cos2 x
]2dx =
∫ [1 + cos (2x)
2
]2dx
= (...) =1
4
[x+ sin (2x) +
1
2
(x+
1
4sin(4x)
)]+C, com C ∈ R
∫cos5 (x) dx =
∫ [(cos2 x
)2cosx
]dx =
∫ [(1− sin2 x
)2cosx
]dx
= (...) = sin (x)− 23sin3 (x) +
1
5sin5 (x) +C, com C ∈ R
∫sin2 (3x)dx =
∫1− cos (6x)
2dx =
1
2
[x− 1
6sin (6x)
]+C,
com C ∈ R
13. (a) C − 12ln∣∣cosx2
∣∣ , com C ∈ R
(b)1
7tan (7x) +C, com C ∈ R
ROSÁRIO LAUREANO 36
(c) C − 1
4 tan4 x, com C ∈ R
(d) tan2(x2
)+C, com C ∈ R
(e)1
15ln |2 + 3 tan (5x)|+C, com C ∈ R
(f) 2arctan4 x
4+C =
arctan4 x
2+C, com C ∈ R
(g)arcsin2 x
2−√1− x2 +C, com C ∈ R
(h) arctan sinx+C, com C ∈ R
(i) ln |2 + sin (2x)|+C = ln [2 + sin (2x)] +C, com C ∈ R
14.∫f(x)dx =
∫sin (2x)
1 + cos2 xdx =
∫2 sin (x) cosx
1 + cos2 xdx
= (...) = − ln∣∣1 + cos2 x
∣∣+C = C − ln(1 + cos2 x
), com C ∈ R
ou∫f(x)dx =
∫sin (2x)
1 + cos2 xdx =
∫sin (2x)
1 +1 + cos(2x)
2
dx
= (...) = − ln |3 + cos(2x)|+C = C − ln [3 + cos(2x)] , com C ∈ R∫g(x)dx = C − arctan cos2 x, com C ∈ R
∫h(x)dx = tan sin2 x+C, com C ∈ R
15.∫f(x)dx = ln |ln lnx|+C, com C ∈ R
ROSÁRIO LAUREANO 37
2.2 Primitivação de funções racionais
1. (a)1
3ln∣∣x3 + 3x
∣∣+C, com C ∈ R
(b)1
2ln∣∣x2 + 8x+ 7
∣∣+C, com C ∈ R
(c)1
6ln∣∣1 + x6
∣∣+C =1
6ln(1 + x6
)+C, com C ∈ R
(d)1
2√3arctan
(√3x2)+C, com C ∈ R
(e)1√2arctan
(x√2
)+C, com C ∈ R
2. (a) d1(x) = (x+ 3)2, d2(x) = (x+ 2) (x+ 4) e d3(x) = (x+ 3)
2+1
(b)∫f(x)dx = − 1
x+ 3+C, com C ∈ R
∫g(x)dx =
1
2ln |x+ 2| − 1
2ln |x+ 4|+C, com C ∈ R
∫h(x)dx = arctan (x+ 3) +C, com C ∈ R
(c)∫j(x)dx = −2(x+ 3)
−1
−1 + ln |x+ 3|+C
=2
x+ 3+ ln |x+ 3|+C, com C ∈ R
∫k(x)dx = −1
2ln |x+ 2|+ 3
2ln |x+ 4|+C, com C ∈ R
∫l(x)dx =
1
2ln∣∣∣(x+ 3)2 + 1
∣∣∣− 2 arctan (x+ 3) +C, com C ∈ R
ROSÁRIO LAUREANO 38
3. f(x) = x− 2 + 4x2 + 2x+ 5
x3 + 2x2 + x︸ ︷︷ ︸fracção própria
.
∫f(x)dx =
x2
2− 2x+ 5 ln |x|+ 7
x+ 1− ln |x+ 1|+C, com C ∈ R.
g(x) = 2 +−12x2 − 16x+ 2x3 + 6x2 + 8x︸ ︷︷ ︸fracção própria
∫g(x)dx = 2x− 2
[−18ln |x| − 7
8ln |x+ 2|+ 63
8ln |x+ 4|
]+C
= 2x+1
4ln |x|+ 7
4ln |x+ 2| − 63
4ln |x+ 4|+C, com C ∈ R.
4. (a)1
10ln |x| − 1
10
[1
2ln∣∣∣(x+ 3)2 + 1
∣∣∣− 17 arctan (x+ 3)]+C,
com C ∈ R
(b) − 13
2 (x− 4)2+
3
x− 4 + 2 ln |x− 4| − 2 ln |x− 2|+C
= − 13
2 (x− 4)2+
3
x− 4 + 2 ln∣∣∣∣x− 4x− 2
∣∣∣∣+C, com C ∈ R
(c) 3[− 1
16 (x− 2) −1
32ln |x− 2| − 1
16 (x+ 2)+1
32ln |x+ 2|
]+C
= 3
[− 1
16
(1
x− 2 +1
x+ 2
)+1
32ln
∣∣∣∣x+ 2
x− 2
∣∣∣∣
]+C, com C ∈ R
(d) ln |x− 1|+ 14ln |x+ 1| − 1
4ln∣∣x2 + 1
∣∣+C
=1
4ln|(x− 1) (x+ 1)|
x2 + 1+C, com C ∈ R
5. − 1
(x− 2)2− 1
x− 2 +C, com C ∈ R.
ROSÁRIO LAUREANO 39
2.3 Métodos de primitivação (por partes e por subs-tituição)
1. (a)x2
2ln (x+ 3)− 1
2
(x2
2− 3x+ 9 ln (x+ 3)
)+C
=1
2
[(x2 − 9
)ln (x+ 3)− x
2
2+ 3x
]+C, com C ∈ R
(b) −x2 cos (x) + 2x sin (x) + 2 cos (x) +C
=(2− x2
)cos (x) + 2x sin (x) +C, com C ∈ R
(c) 3(x2 + 6x− 2) exp(x3
)− 9 (2x+ 6) exp
(x3
)+ 54 exp
(x3
)+C
=(3x2 − 6
)exp
(x3
)+C, com C ∈ R
(d) x arctan(x2
)− ln
∣∣4 + x2∣∣+C
= x arctan(x2
)− ln
(4 + x2
)+C, com C ∈ R
(e)x2
2exp(x2)− 1
2exp(x2)+C =
1
2
(x2 − 1
)exp(x2)+C, com C ∈ R
(f) x arcsin (2x) +1
2
√1− 4x2 +C, com C ∈ R
(g)∫[exp(x) sin (2x)] dx = (...)
= exp(x) sin (2x)− 2 exp(x) cos(2x)− 4∫[exp(x) sin (2x)] dx
logo∫[exp(x) sin (2x)] dx
=1
5[exp(x) sin (2x)− 2 exp(x) cos(2x)] +C
=1
5exp (x) [sin (2x)− 2 cos(2x)] +C, com C ∈ R
ROSÁRIO LAUREANO 40
(h)∫ [
sin(x2
)cos (3x)
]dx = (...) = −2 cos
(x2
)cos (3x)
−12 sin(x2
)sin (3x) + 36
∫ [sin(x2
)cos (3x)
]dx
∫ [sin(x2
)cos (3x)
]dx =
−2−35 cos
(x2
)cos (3x)
− 12
−35 sin(x2
)sin (3x) +C
=2
35
[cos(x2
)cos (3x) + 6 sin
(x2
)sin (3x)
]+C, com C ∈ R
(i) x tanx+ ln |cosx|+C, com C ∈ R
(j) 2(x+ 3) exp(x2
)− 4 exp
(x2
)+C = (2x+ 2) exp
(x2
)+C,
com C ∈ R
(k)1
3(2x2 + 1) exp (3x)− 4
9x exp (3x) +
4
9
1
3exp (3x) +C
=
(2x2 + 1
3− 49x+
4
27
)exp (3x) +C, com C ∈ R
(l)x
2exp(2x)− 1
2
1
2exp(2x)+C =
(x
2− 14
)exp(2x)+C, com C ∈ R
(m) x arcsin(1
3x
)+ 3
√
1− x2
9+C
= x arcsin
(1
3x
)+√9− x2 +C, com C ∈ R
(n)x+ 2
15sin (5x) +
1
75cos (5x) +C, com C ∈ R
(o) x arctan(3x)− 16ln∣∣1 + 9x2
∣∣+C
= x arctan(3x)− 16ln(1 + 9x2
)+C, com C ∈ R
ROSÁRIO LAUREANO 41
(p)∫[exp (2x) sin (3x)] dx = (...)
=1
2
[sin (3x)− 3
2cos (3x)
]exp (2x)− 9
4
∫[exp (2x) sin(3x)] dx
∫[exp (2x) sin(3x)] dx =
1
213
4
[sin (3x)− 3
2cos (3x)
]exp (2x) +C
=1
13[2 sin (3x)− 3 cos (3x)] exp (2x) +C,com C ∈ R
(q)1− 2x2
cos (2x) +1
2sin(2x) +C, com C ∈ R
(r)x4
4exp
(x4)− 14exp
(x4)+C
=1
4
(x4 − 1
)exp
(x4)+C, com C ∈ R
(s) −x cot (x) + ln |sinx|+C, com C ∈ R
(t)∫[sin (2x) cos (3x)] dx = (...) = −1
2cos(2x) cos (3x)
−34sin(2x) sin (3x) +
9
4
∫[sin(2x) cos (3x)] dx
∫[sin(2x) cos (3x)] dx
= −45
[−12cos(2x) cos (3x)− 3
4sin(2x) sin (3x)
]+C
=2
5cos(2x) cos (3x) +
3
5sin(2x) sin (3x) +C, com C ∈ R.
(u) x ln(x+
√1 + x2
)−√1 + x2 +C, com C ∈ R
ROSÁRIO LAUREANO 42
(v)∫[exp (3x) (sin (2x)− cos (2x))] dx = (...)
=1
9exp (3x) [sin (2x)− 5 cos (2x)]
−49
∫[exp (3x) (sin(2x)− cos(2x))] dx
∫[exp (3x) (sin(2x)− cos(2x))] dx =
1
913
9
exp (3x) sin (2x)
− exp (3x) 5 cos (2x) +C
=1
13[exp (3x) (sin (2x)− 5 cos (2x))] +C, com C ∈ R
(w)(x2
2+ 1
)arctan2 (x)−x arctan (x)+1
2ln∣∣1 + x2
∣∣− arctan2 x
2+C
=1
2
(x2 + 1
)arctan2 (x)− x arctan (x) + 1
2ln∣∣1 + x2
∣∣+C,
com C ∈ R
2.∫a(x)dx = x ln (x)− x+C = x [ln (x)− 1] +C, com C ∈ R
∫f(x)dx =
x2
2ln (x)− 1
2
x2
2+C =
x2
2
[ln (x)− 1
2
]+C, com C ∈ R
∫g(x)dx = 2
√x ln (x)−2x
1/2
1/2+C = 2
√x [ln (x)− 2]+C, com C ∈ R
∫h(x)dx = −1
x
[ln2 (x) + 2 ln (x) + 2
]+C, com C ∈ R
∫j(x)dx = (...) = x cos lnx+ x sin lnx−
∫cos lnx dx
(...)∫cos lnx dx =
1
2[x cos lnx+ x sin lnx] +C
=x
2[cos lnx+ sin lnx] +C, com C ∈ R
ROSÁRIO LAUREANO 43
∫k(x)dx = ln (x) ln lnx− ln (x) +C = ln (x) [ln lnx− 1] +C,
com C ∈ R∫l(x)dx = x cos2 lnx− 2x
2[cos lnx+ sin lnx] +C
= x[cos2 lnx− cos lnx− sin lnx
]+C, com C ∈ R
3. (a) f(x) = x2 + 12x√x+ 54x+ 108
√x+ 81
∫f(x)dx =
x3
3+ 12
x5/2
5/2+ 54
x2
2+ 108
x3/2
3/2+ 81x+C
=x3
3+24x2
√x
5+ 27x2 + 72x
√x+ 81x+C, com C ∈ R
(b)∫f(x)dx = 2
(t6
6+ 12
t5
5+ 54
t4
4+ 108
t3
3+ 81
t2
2
)+C
=t6
3+24t5
5+ 27t4 + 72t3 + 81t2 +C
=x3
3+24x2
√x
5+ 27x2 + 72x
√x+ 81x+C,, com C ∈ R
4. (a) 3(t5
5− t
4
4+t3
3− t
2
2+ t− ln |t+ 1|
)+C
= 3
(3√x5
5−
3√x4
4+x
3−
3√x2
2+ 3√x− ln | 3√x+ 1|
)
+C
=3
5x
3√x2 − 3
4x 3√x+ x− 3
23√x2 + 3 3
√x
−3 ln | 3√x+ 1|+C, com C ∈ R
ROSÁRIO LAUREANO 44
(b) −12(ln |t+ 2| − ln |t|) +C = −1
2ln
∣∣∣∣t+ 2
t
∣∣∣∣+C
= −12ln
∣∣∣∣exp (x) + 2
expx
∣∣∣∣+C = −1
2ln
(1 +
2
expx
)+C
= −12ln
(1 +
2
expx
)+C, com C ∈ R
Note que esta primitiva pode ser resolvida como quase-imediata.
(c) 2 (t− ln |t+ 1|) +C = 2(√x+ 1− ln
∣∣√x+ 1 + 1∣∣)+C
= 2[√x+ 1− ln
(√x+ 1+ 1
)], com C ∈ R
(d) 3∫ [
t2 · cos t]dt = (...) (por partes)
= 3t2 sin (t) + 6t cos (t)− 6 sin (t) +C
= 33√x2 sin ( 3
√x) + 6 3
√x cos ( 3
√x)− 6 sin ( 3√x) +C, com C ∈ R
(e) Visto o m.m.c. (6, 4) = 12, consideramos a mudança de variávelx = t12.
∫6√x+ 1
6√x7 +
4√x5dx = 12
∫ (A
t3+B
t2+C
t+
D
1 + t
)dt = (...)
(f) 2 [t− arctan t] +C = 2 (√x− arctan√x) +C, com C ∈ R
(g) 4(t4
4+t3
3+t2
2+ t+ ln |t− 1|
)+C
= t4 +4
3t3 + 2t2 + 4t+ 4 ln |t− 1|+C
= x+4
34√x3 + 2
√x+ 4 4
√x+ 4 ln | 4√x− 1|+C, com C ∈ R
ROSÁRIO LAUREANO 45
(h)1
4
(t3
3+ 10t+ 37
t−1
−1
)+K =
1
4
(t3
3+ 10t− 37
t
)+C
=1
4
[(2x− 5)
√2x− 5
3+ 10
√2x− 5− 37√
2x− 5
]+C
=1
4
(2x+ 25
3
√2x− 5− 37√
2x− 5
)+C, com C ∈ R
(i) Visto o m.m.c. (2, 3) = 6, consideramos a mudança de variávelx = t6.
∫ √x
1 + 3√xdx = 6
(t7
7− t
5
5+t3
3− t+ arctan t
)+C
= 6
(6√x7
7−
6√x5
5+
√x
3− 6√x+ arctan 6
√x
)
+C
=6
7x 6√x− 6
56√x5+2
√x− 6 6
√x+6arctan ( 6
√x) +C, com C ∈ R
(j) m.v. lnx = t seguida de m.v.√1 + t = z
∫lnx
x√1 + lnx
dx = 2
(z3
3− z)+C =
2
3
√(1 + t)3−2
√1 + t+C
=2
3
√(1 + lnx)3 − 2
√1 + lnx+C
=2
3(1 + lnx)
√1 + lnx− 2
√1 + lnx+C
=
[2
3(1 + lnx)− 2
]√1 + lnx+C
=
(2
3ln (x)− 4
3
)√1 + lnx+C, com C ∈ R
ROSÁRIO LAUREANO 46
(k) Embora a mudança de variável 2 + 3x2 = t2 permita resolvera primitiva, é mais conveniente efectuar primitivação por partesconsiderando x3
(2 + 3x2
)−3/2
= x2 ·[x ·(2 + 3x2
)−3/2
]
∫ [x3(2 + 3x2
)−3/2
]dx = − x2
3√2 + 3x2
+2
3
1
6
(2 + 3x2
)1/2
1/2+C
= − x2
3√2 + 3x2
+2
9
√2 + 3x2 +C, com C ∈ R
(l) Visto o m.m.c. (2, 5) = 10, consideramos a mudança de variável3x+ 1 = t10
∫ √3x+ 1
1 + 5√3x+ 1
dx
=10
3
(t13
13− t
11
11+t9
9− t
7
7+t5
5− t
3
3+ t− arctan t
)+C
=10
39t13− 10
33t11+
10
27t9− 10
21t7+
2
3t5− 10
9t3+
10
3t− 10
3arctan t+C
=10
3910
√(3x+ 1)13 − 10
3310
√(3x+ 1)11 +
10
2710
√(3x+ 1)9
−1021
10
√(3x+ 1)7 +
2
3
√3x+ 1− 10
910
√(3x+ 1)3 +
10
310√3x+ 1
−103arctan
(10√3x+ 1
)+C
=10
39(3x+ 1) 10
√(3x+ 1)3 − 10
33(3x+ 1) 10
√3x+ 1
+10
2710
√(3x+ 1)9 − 10
2110
√(3x+ 1)7 +
2
3
√3x+ 1
−109
10
√(3x+ 1)3 +
10
310√3x+ 1
−103arctan
(10√3x+ 1
)+C, com C ∈ R
ROSÁRIO LAUREANO 47
(m) 3(t5
5+t2
2
)+K = 3
3
√(x− 1)5
5+
3
√(x− 1)2
2
+C
=3
5(x− 1) 3
√(x− 1)2 + 3
23
√(x− 1)2 +C
= 3
(x− 15
+1
2
)3
√(x− 1)2 +C = 32x+ 3
103
√(x− 1)2 +C
5. (a)1
4
sin3 t
3+K =
1
12sin3 t+C =
1
12
√(x2 − 4)3
x3+C, com C ∈ R
(b) − 1
sin t+ ln |sec (t) + tan t|+C = − 1
sin t+ ln |sec t+ x|+C
= −√1 + x2
x+ ln
∣∣∣√1 + x2 + x
∣∣∣+C, com C ∈ R
(c) ln |sec (t) + tan t|+K = ln
∣∣∣∣∣∣
√4 + (x− 5)2
2+x− 52
∣∣∣∣∣∣+C
= ln
∣∣∣∣x− 5 +√4 + (x− 5)2
∣∣∣∣
2+C, com C ∈ R
6. (a)∫f(x)dx = (...) =
√1 + x2 arctan (x)−
∫1√1 + x2
dx
mas o cálculo desta última primitiva exige uma mudança de va-riável (m.v.) por substituição trigonométrica:
∫1√1 + x2
dx = (...) = ln |sec (t) + tan t|+C
= ln∣∣∣√1 + x2 + x
∣∣∣+C, com C ∈ R
ROSÁRIO LAUREANO 48
(b)∫f(x)dx = (...) = −1
xarcsin (x) +
∫1
x√1− x2
dx
Efectuamos a mudança de variável dada por√1− x2 = t, (...)
∫1
x√1− x2
dx = (...) = −12[− ln |1− t|+ ln |1 + t|] +C
=1
2[ln |1− t| − ln |1 + t|] +C = 1
2ln
∣∣∣∣1− t1 + t
∣∣∣∣+C
=1
2ln
∣∣∣∣∣1−
√1− x2
1 +√1− x2
∣∣∣∣∣+C
(c) 4∫ [
t2
(t2 + 1)2
]dt = 4
∫ [t · t
(t2 + 1
)−2]dt = (...)
(por partes) =−2tt2 + 1
+ 2arctan (t) +C
=
−2√x− 1x+ 1
x− 1x+ 1
+ 1+ 2arctan
(√x− 1x+ 1
)+C
= −2√x− 1 (x+ 1)2x√x+ 1
+ 2arctan
(√x− 1x+ 1
)+C
= −√x− 1
√x+ 1
x+ 2arctan
(√x− 1x+ 1
)+C, com C ∈ R
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