PERSAMAAN DIFFERENSIAL SIMULTANOleh :
Agung Surancoyo
BIODATA MAHASISWA
NAMA: AGUNG SURANCOYO KELAS : A”ANGKATAN IV” P. STUDI : MATEMATIKA MAKUL : KOLOKIUM DOSEN : Drs. Jefferson R. Watulingas,MM
PENGERTIAN Persamaan diferensial (PD) adalah
persamaan yang melibatkan turunan (derivatif) dari suatu fungsi yang tak diketahui dan juga fungsi itu sendiri. Persamaan differensial yang mengandung beberapa variabel terikat (lebih dari satu) tetapi memiliki satu variabel bebas, sulit untuk diselesaikan secara langsung. Persamaan seperti itu membentuk suatu sistem persamaan yang simultan atau bisa di sebut Persamaan Diferensial Simultan.
METODE PENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL SIMULTAN
1. Metode Eliminasi dan Subtitus2. Metode Matriks dan Determinan
BENTUK UMUM PERSAMAAN DIFFERENSIAL SIMULTAN
solusi) konstanta 2 2(punya tingkat sistem
),,(
),,(
2
1
yxtfdt
dy
yxtfdt
dx
solusi) konstanta 3 3(punya tingkat sistem
),,,(
),,,(
2
1
zyxtfdt
dy
zyxtfdt
dx
METODE ELIMINASI DAN SUBTITUSI
Langkah-langkah penyelesaian Menghilangkan salah satu variabel terikat
dan turunannya Menyelesaikan persamaan differensial yang
tertinggal Di subtitusikan kembali ke dalam persamaan
semula agar mendapatkan jawaban variabel yang tereliminasi
CONTOH SOAL
Berikut adalah sistem persamaan differensial :
1.
2.
Prinsip : x dan y disubtitusikan (y di turunkan sehingga dapat
disubtitsikan)
yxdt
dx4
xydt
dy2
dx
dy
Masih ada y (subtitusikan lagi)
Di subtitusikan antara lain
dt
dy
dt
dx
dt
xd4
2
2
)2(42
2
xydt
dx
dt
xd
yxdt
dx4 x
dt
dxy 4
Kembali ke Persamaan yang tadi
)2(42
2
xydt
dx
dt
xd x
dt
dx
dt
xd2) (4
2
2
xdt
dx4
0652
2
xdt
dx
dt
xd Persamaan homogen tingkat n
0)65( xDD
Persamaan karakteristik
Solusi untuk x
065 0)3)(2( 3 2 21
tt ececx 32
21
tt
tttt
ececy
ececececy
xdt
dxy
32
21
32
21
32
21
2
)(432
4
Solusi untuk y
Back
METODE MATRIKS DAN DETERMINAN
Metode ini menggunakan operator differensial dalam membentuk matrik dan determinan untuk mendapatkan jawaban umum dan setiap variabel terikat sebagai fungsi variabel bebasnya.
BENTUK UMUM METODE MATRIKS DAN DETERMINAN
)(bxaadt
y (1) 212
2
212
2
xhybdt
dy
dt
yd
dt
dxd
)(dxccdt
x (2) 212
2
212
2
xhyddt
dy
dt
yd
dt
dxd
(D2 + a1 D + a2) x + (D2 + b1 D + b2) y = h(x)
(D2 + c1 D + c2) x + (D2 + d1 D + d2) y = g(x)
)(bxaadt
y (1) 212
2
212
2
xhybdt
dy
dt
yd
dt
dxd
)(dxccdt
x (2) 212
2
212
2
xhyddt
dy
dt
yd
dt
dxd
Dari kedua persamaan tadi dapat dibuat matriks
Dengan metode cramer dapat diubah menjadi:
)(
)(
)()(
)()(
212
212
212
212
xg
xh
y
x
ydDdDcDcD
ybDbDaDaD
DetA
DetA
ydDdDcDcD
ybDbDaDaD
ydDdDxg
ybDbDxh
tx 1
212
212
212
212
212
212
)()(
)()(
)()(
)()(
)(
DetA
DetA
ydDdDcDcD
ybDbDaDaD
xgcDcD
xhaDaD
ty 2
212
212
212
212
212
212
)()(
)()(
)()(
)()(
)(
Bila det A1=0, det A2=0
Maka akan di peroleh persamaan differensial yang homogen.
Contoh :Tentukan jawaban dari persamaan :
41479x3dt
y 2 (1)
2
2
2
2
ydt
dy
dt
yd
dt
dxd
teydt
dtd 282xdt
x (2)
Persamaan dibuat menjadi persamaan Differensial
1. (2D2 + 3D -9) x + (D2 + 7D -14) y = 42. (D+1) x + (D+2) y = -82t
Bentuk matriks utamnya
DetA =(2D2+3D-9)(D+2)-(D2+7D-14)(D+1)=(2D3+2D2-9D+4D2+4D2+6D-18-
(D3+7D2-14D+D2+7D-14)= D3-D2+4D-4= D(D2+4)(D2+4)=(D-1)(D2+4)
ty
x
DD
DDDD2
22
8
4
)2()1(
)147()932(
DetA1 = 4(D+2)+8e2t(D2+7D-14)
= 4D+8+D28e2t+7D8e2t+112e2t
= 8+32e2t+112e2t-112e2t
=32e2t+8
DetA2 = -8e2t(2D2+3D-9)-4(D+1)
= -16e2e2t-24De2t-72e2t-D4-4= -64e2t-48e2t+72e2t-4= -40e2t-4
Penyelesaian untuk bentuk x=f(t)
(D-1)(D2+4)x=32e2t+8Fungsi komplementer(m-1)(m2+4)=0
fungsi komplementer dalam bentuk x=f(t)
xc=c1et+c2cos2t+c3sin2t
)4)(1(
832)(
2
2
DD
etx
t
im
m
2
1
2
1
Penyelesaian untuk bentuk y=f(t)
(D-1)(D2+4)y=-40e2t-8Fungsi komplementer(m-1)(m2+4)=0
fungsi komplementer dalam bentuk y=f(t)
yc=c1cos2t+c2sin2t+c3et-5e2t+1
)4)(1(
440)(
2
2
DD
ety
t
im
m
2
1
2
1
SEKIAN &
TERIMAKASIH
End
Top Related