Prática de Ensino em Matemática I
Aula 11
Curso de Licenciatura em Matemática
Prof. M.S.c. Fabricio Eduardo Ferreira
Divisível, Múltiplo e Divisor (I)
Quando um número é divisível por outro?
Quando a divisão do primeiro pelo segundo for exata.
27 3
0 9
43 5
3 8Podemos dizer que 27 é
divisível por 3,
porque a divisão de 27 por
3 é exata.
Podemos dizer que 43 não é
divisível por 5,
porque a divisão de 43 por 5
não é exata.
Podemos dizer que 3 é
divisor de 27.
Podemos dizer que 5 não é
divisor de 43.
Pelo mesmo motivo também podemos
dizer que:
Divisível, Múltiplo e Divisor (II)
Quando um número é múltiplo de outro?
Quando há um número natural que multiplicado
pelo primeiro resulta no segundo.
Podemos dizer que 27 é
múltiplo de 3,
pois 3 x 9 é exatamente 27.
Podemos dizer que 43 não é
múltiplo de 5,
pois não existe nenhum
número natural que
multiplicado por 5 resulta em
43.
27 3
0 9
43 5
3 8
Observações: O 1 é considerado divisor universal pois todo número é divisível por 1; O 0 é considerado múltiplo universal pois todo número multiplicado por 0
resulta em 0; Nenhum número é divisível por zero, pelo motivo citado anteriormente; O zero é divisível por qualquer número (exceto si mesmo); Todo número (exceto zero) é divisível por si mesmo.
Números Pares e Números ÍmparesO que é um número
par?É todo número natural divisível por dois.
2 4 6 8
O que é um número ímpar?
É todo número natural não divisível por dois.
1 3 5
7 9
0
Identificando números pares e ímpares
Como reconhecer um número par?
É todo número natural terminado em 0, 2, 4, 6 ou 8.
14
17
Como reconhecer um número ímpar?
É todo número natural terminado em 0, 2, 4, 6 ou 8.
O número 1.735.916 é par pois termina em 6.
O número 2.864.203 é ímpar pois termina em 3.
Critérios de divisibilidade (I)Quando um número é divisível
por 2?Um número é divisível por 2 quando for
par.
O número 1.735.916 é divisível por 2
pois é par.
O número 2.864.203 não é divisível
por 2 pois é ímpar.Quando um número é divisível
por 3?Verifique se o número 495 é
divisível por 3.
495 3
0 165
4+9+5=18
Verifique se o número 361 é
divisível por 3.361 3
1 120
3+6+1=10
e 18 é divisível por 3 e 10 não é divisível por 3
Um número é divisível por 3 quando asoma de seus algarismos for divisível
por 3.
Critérios de divisibilidade (II)Quando um número é divisível
por 5?Um número é divisível por 5 quando
terminar em 0 ou 5.O número 3.971.860 é divisível por
5
pois termina em 0.
O número 5.405.268 não é divisível
por 5
pois termina não termina nem em
0 nem em 5.Quando um número é divisível
por 6?
Um número é divisível por 6 quando for divisível
por 2 e 3 simultaneamente.Verifique se o número 930 é
divisível por 6.930 {é divis í vel por 2é divis í vel por 3
⇒ é divis í vel por 6
930 6
0 155
Verifique se o número 640 é
divisível por 6.6 40 {é divis í vel por 2n ão é divis í vel por 3
⇒ nã o é divis í vel por 6
640 6
4 106
Critérios de divisibilidade (III)
Quando um número é divisível por 4?
Um número é divisível por 4 quandoseus dois últimos algarismos forem
divisíveis por 4.
80 4
0 20
Verifique se o número 680 é
divisível por 4.42 4
2 10
Verifique se o número 842 é
divisível por 4.
Quando um número é divisível por 8?
Um número é divisível por 8 quandoseus três últimos algarismos forem
divisíveis por 8.
728 8
0 91
Verifique se o número 1728 é
divisível por 8.436 8
4 54
Verifique se o número 8436 é
divisível por 8.
Critérios de divisibilidade (IV)
Quando um número é divisível por 9?
Verifique se o número 540 é
divisível por 9.
540 9
0 60
5+4+0=9
Verifique se o número 960 é
divisível por 3.960 9
6 106
9+6+0=15
e 9 é divisível por 9 e 15 não é divisível por 9
Um número é divisível por 9 quando asoma de seus algarismos for divisível
por 9.
Quando um número é divisível por 10?
Um número é divisível por 10 quando terminar em zero.
O número 3.951.540 é divisível
por 10
pois terminou em 0.
O número 5.480.025 não é divisível
por 10
pois não terminou em 0.
RevisãoQuando um número é divisível
por 2?Um número é divisível por 2 quando for
par.
Quando um número é divisível por 3?
Um número é divisível por 3 quando asoma de seus algarismos for divisível
por 3.Quando um número é divisível
por 4?
Um número é divisível por 4 quandoseus dois últimos algarismos forem
divisíveis por 4.Quando um número é divisível
por 5?Um número é divisível por 5 quando
terminar em 0 ou 5.Quando um número é divisível
por 6?
Um número é divisível por 6 quando for divisível
por 2 e 3 simultaneamente.Quando um número é divisível
por 8?
Um número é divisível por 8 quandoseus três últimos algarismos forem
divisíveis por 8.Quando um número é divisível
por 9?
Um número é divisível por 9 quando asoma de seus algarismos for divisível
por 9.Quando um número é divisível
por 10?Um número é divisível por 10 quando
terminar em zero.
Número Primo
O que é um número primo?É todo número natural que é divisível
APENAS por 1 e si mesmo.
𝐷 (11)=¿{1,11 } 𝐷 (6 )=¿{1,2,3,6 } 𝐷 (7 )=¿{1,7 } 𝐷 (8 )=¿{1,2,4,8 }Percebemos que alguns números possuem vários divisores, enquanto outros
possuem apenas dois divisores.
Observações:
A palavra primo deriva de primeiro, pois utilizando os números primos
podemos obter todos os demais números naturais;
Os números que não são primos recebem o nome de compostos,
precisamente pelo fato de poderem ser obtidos através da multiplicação de
números primos.
Crivo de EratóstenesÉ um procedimento desenvolvido por Eratóstenes de Cirene (século III a.C.) que permite
descobrir números primos.
Eratóstenes de
Cirene
( 276 a.C.; 194
a.C.)
2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
1. Escreve-se a sequência de números desejada a partir de 2;
2. Circula-se o primeiro número (o dois) e criva-se (risca) seus múltiplos;
3. Circula-se o novo primeiro número da sequência (três) e criva-se seus múltiplos;
4. Repete-se o procedimento até acabarem os números;
5. Os números circulados são os primos e os crivados os compostos.
Um pouco mais sobre números primos
𝑃= {2 ,3 ,5 ,7 ,11 ,13 ,17 ,19 ,23 ,29 ,31,37 ,… }
Observações:
Os números primos são infinitos (prova foi feita por Euclides de
Alexandria);
O único número primo e par é o dois (por quê?);
Nem todos os números ímpares são primos (dê contraexemplos).
Como saber se determinado
número é primo ou composto?
Reconhecendo um número primo (I)Exemplo 1) Verifique se o
número 101 é primo.101 2
1 50
𝑃= {2 ,3 ,5 ,7 ,11 ,13 ,17 ,19 ,23 ,29 ,31,37 ,… }
101 3
2 33
101 5
1 20
101 7
3 14
101 9
2 11
101 11
2 9
Logo 101 é
primo.Exemplo 2) Verifique se o
número 121 é primo.121 2
1 60
121 3
1 40
121 5
1 24
121 7
2 17
121 9
4 13
121 11
0 11
Logo 121 é
composto.
Reconhecendo um número primo (II)Como saber se determinado número é primo ou composto?
Divida o número desejado pela sequência dos números primos até que uma
das duas opções ocorra:
a divisão der não exata; continue dividindo até que o resultado dê igual ou
menor que o divisor. Neste caso o número é primo;
a divisão der exata. Neste caso o número é composto.
Qual a importância dos números
primos?A dificuldade de verificar se um número é primo é chave de todo sistema de
criptografia computacional.
Em outras palavras o fato de ser difícil verificar se grandes números são primos
acaba
protegendo transações bancárias, senhas de internet, compras on-line,
etc.
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