BAB 1
PENDAHULUAN
A. TEORI
PYTHAGORAS
Pythagoras (582 SM – 496 SM) adalah seorang matematikawan dan filsuf
Yunani yang paling dikenal melalui teoremanya.
Dikenal sebagai "Bapak Bilangan", dia memberikan sumbangan yang
penting terhadap filsafat dan ajaran keagamaan pada akhir abad ke-6 SM.
Kehidupan dan ajarannya tidak begitu jelas akibat banyaknya legenda dan kisah-
kisah buatan mengenai dirinya.
Salah satu peninggalan Pythagoras yang terkenal adalah teorema
Pythagoras, yang menyatakan bahwa kuadrat hipotenusa dari suatu segitiga siku-
siku adalah sama dengan jumlah kuadrat dari kaki-kakinya (sisi-sisi siku-sikunya).
Walaupun fakta di dalam teorema ini telah banyak diketahui sebelum lahirnya
Pythagoras, namun teorema ini dikreditkan kepada Pythagoras karena ia yang
pertama kali membuktikan pengamatan ini secara matematis.
Pythagoras dan murid-muridnya percaya bahwa segala sesuatu di dunia ini
berhubungan dengan matematika, dan merasa bahwa segalanya dapat
diprediksikan dan diukur dalam siklus beritme. Ia percaya keindahan matematika
disebabkan segala fenomena alam dapat dinyatakan dalam bilangan-bilangan atau
perbandingan bilangan. Terdapat legenda yang menyatakan bahwa ketika
muridnya Hippasus menemukan bahwa , hipotenusa dari segitiga siku-siku
sama kaki dengan sisi siku-siku masing-masing 1, adalah bilangan irasional,
murid-murid Pythagoras lainnya memutuskan untuk membunuhnya karena tidak
dapat membantah bukti yang diajukan Hippasus.
Dalam matematika, teorema Pythagoras adalah suatu keterkaitan dalam
geometri Euklides antara tiga sisi sebuah segitiga siku-siku. Teorema ini
dinamakan menurut nama filsuf dan matematikawan Yunani abad ke-6 SM,
Pythagoras. Pythagoras sering dianggap sebagai penemu teorema ini meskipun
sebenarnya fakta-fakta teorema ini sudah diketahui oleh matematikawan India
(dalam Sulbasutra Baudhayana dan Katyayana), Yunani, Tionghoa dan Babilonia
jauh sebelum Pythagoras lahir. Pythagoras mendapat kredit karena ialah yang
pertama membuktikan kebenaran universal dari teorema ini melalui pembuktian
matematis.
Berikut ini terdapat beberapa pembuktian teorema Phytagoras :
1. Bukti dari sekolah Pythagoras
Sifat pada segitiga siku-siku ini sebenarnya telah dikenal berabad-abad sebelum
masa Phytagoras, seperti di Mesopotamia, Mesir dan juga Cina. Tetapi catatan
tertulis pertama yang memberi bukti berasal dari Phytagoras. Bukti dari sekolah
Phytagoras tersebut tersaji dengan diagram di atas. Perhatikan bahwa :
Luas daerah yang diarsir pada gambar (1) adalah : a2 + b2
Luas daerah yang diarsir pada gambar (2) adalah : c2
Dengan demikian : a2 + b2 = c2
2. Bukti dengan menggunakan diagram Phytagoras
Perhatikan gambar di atas. Keempat segitiga siku-siku yang kongruen disusun
membentuk gambar. Dengan menghitung luas bangun persegi yang terjadi melalui
2 cara akan kita peroleh:
( a+b )2
=c2
+4⋅12⋅ab
a2
+2 ab+b2
=c2
+2ab
a2
+b2
=c2
3. Bukti dari Bhaskara
Pembuktian teorema Phytagoras berikut pertama kali dipublikasikan oleh
Bhaskara, seorang matematikawan India, sekitar abad X. Bangun ABC diatas
berupa bujur sangkar dengan sisi c. Di dalamnya dibuat empat buah segitiga siku-
siku dengan panjang sisi a dan b. Dengan konstruksi bangun tersebut maka:
Luas PQRS + 4 x Luas ABQ = Luas ABCD
(b−a )2
+4⋅12⋅ab=c
2
b2
−2 ab+a2
+2⋅ab=c2
a2
+b2
=c2
B. PERMASALAHAN
1. Pembelajaran tentang Dalil Pythagoras di sekolah masih menggunakan cara-cara manual.
2. Dalam pembuktian Dalil Pythagoras akan sangat menarik apabila disajikan dalam bentuk alat peraga.
3. Pada saat ini dibutuhkan banyak konsep pembelajaran untuk memudahkan para siswa dalam mencerna dan memahami konsep pembelajaran dalam matematika terkhusus dalam hal pembuktian Dalil Pythagoras.
4. Kurangnya kemampuan siswa dalam memahami konsep Pythagoras.
5. Sulitnya para siswa dalam memahami tentang Pythagoras.
C. TUJUAN
1. Memahami konsep Pythagoras.
2. Memahami beberapa pembuktian Dalil Pythagoras.
3. Menemukan persamaan umum Dalil Pythagoras dengan menggunakan alat peraga.
4. Mempermudah dalam pembelajaran tentang Dalil Pythagoras dengan menggunakan alat peraga.
5. Menemukan pengaplikasian Dalil Pythagoras dalam kehidupan sehari - hari.
D. ALAT DAN BAHAN
No Nama alat dan bahan Jumlah
1 Mistar 1 buah
2 Karton 1 kajang
3 Double tip 1 buah
4 Pensil 2 buah
5 Gunting 3 buah
6 Triplek 1 buah
7 Kardus secukupnya
8 Kertas Origami 1 kajang
9 Spidol 1 buah
BAB II
ISI
PEMBAHASAN
Dari beragamnya konsep pembelajaran matematika yang ada,
pembelajaran menggunakan media alat peraga sangat membantu dalam
menyampaikan materi kepada siswa. Disamping itu, dengan menggunakan alat
peraga, pembelajaran yang sedang berlangsung di dalam kelas tidak terlalu
monoton sehingga memacu siswa untuk lebih aktif, tidak seperti pembelajaran
konvensional yang selama ini , dimana guru lebih aktif dari siswanya
Pembelajaran menggunakan alat peraga ini, selain memudahkan siswa
dalam memahami konsep, juga sangat membantu pengajar dalam menyampaikan
materi.
Oleh sebab itu , kreatifitas para pengajar dalam membuat alat peraga
sangat dibutuhkan dalam menunjang keaktifan siswa dalam pembelajaran. Akan
tetapi, pada kenyataannya media pembelajaran menggunakan alat peraga kurang
diaplikasikan dalam proses belajar – mengajar. Hal ini mungkin disebabkan
terbatasnya kemampuan pengajar dalam membuat alat peraga tersebut.
Dalam makalah ini , penulis akan menguraikan cara pembuatan alat
peraga, salah satunya tentang model Pythagoras.
Dalam pembuatannya penulis menggunakan model alat peraga untuk
mempermudah pembelajaran dalam pemodelan Pythagoras.
Berikut cara kerja dalam membuat alat peraga:
1. Mengambil kardus, lalu membuat gambar 4 buah segitiga siku – siku berukuran a = 6 cm, b = 8 cm, dan c = 10 cm, sebuah persegi berukuran sisi 14 cm, sebuah persegi berukuran sisi 6 cm, sebuah persegi berukuran sisi 8 cm, dan sebuah persegi berukuran 10 cm.
2. Menggunting kedelapan model lingkaran tersebut.
3. Menyusun gambar 4 buah segitiga siku – siku berukuran a = 6 cm, b = 8 cm, dan c = 10 cm dan sebuah persegi berukuran sisi 14 cm menurut gambar berikut :
c
a
bc
a
bc
a
bc
a
b
a + ba + b
a + b
a + b
Disusun menjadi bangun datar
berikut ini
a
Dari bangun diatas, dapat dicari luas daerah persegi yang terbentuk dengan dua cara, yaitu
a. Dengan cara langsung, yaitu :
Luas daerah persegi = sisi x sisi
= (a + b) x (a + b)
= (a + b)2
b. Dengan menjumlahkan luas daerah bangun – bangun yang membentuk persegi tersebut, yaitu :
Luas daerah persegi = (4.luas daerah segitiga siku-siku) + (luas daerah persegi kuning)
= (4.
12 ab) + (c x c)
Dari kedua bentuk tersebut, didapatlah :
(a + b)2 = (4.
12 ab) + (c x c)
a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2
a2 + b2 = c2
Melalui percobaan diatas, terbuktilah Dalil Pythagoras, yaitu a2 + b2 = c2 .
4. Menyusun sebuah persegi berukuran sisi 6 cm, sebuah persegi berukuran sisi 8 cm, dan sebuah persegi berukuran 10 cm menjadi bentuk berikut :
a
a
a
a
bb
b
b
c
c
c
c
5. Partisi persegi yang berukuran b menjadi 3 buah partisi, lalu labelilah persegi yang terbentuk, sehingga :
a
a
a
a
bb
b
b
cc
cc
a
a
a
a
bb
b
b
cc
cc
I
IIIII
IV
6. Susunlah hasil partisi tersebut kedalam persegi merah, sehingga :
Karena partisi – pertisi
tersebut dapat menutupi dengan tepat
pada persegi merah, berarti luas
daerah dari persegi bersisi c adalah gabungan dari
luas daerah persegi bersisi a dan luas daerah persegi bersisi b, sehingga :
a2 + b2 = c2
Terbuktilah Dalil Pythagoras.
Langkah tersebut merupakan salah satu dari model Pythagoras dari lima model
yang lainnya. Keempat model yang lainnya sebagai berikut :
Model Pythagoras II :
a
a
a
a
bb
b
b
cc
cc
Model Pythagoras III :
Model Pythagoras IV :
Model Pythagoras V :
Sehingga terdapat 5 model Pythagoras yang makin ke bawah semakin tinggi
tingkat kesulitannya. Dari masing-masing model ini translasikan potongan-
potongan persegi pada bujursangkar kecil dan sedang ke bujursangkar besar (sisi
miring segitiga). Setelah potongan-potongan tersebut tepat memenuhi luasan
bujursangkar sisi miring, maka kita telah membuktikan kebenaran rumus
Pythagoras.
Beberapa pembuktian Dalil Pythagoras yang terkenal adalah :
1. Bukti dari J. A. Garfield
Pembuktian teorema Phytagoras berikut pertama kali dipublikasikan oleh J. A.
Garfield tahun 1876. Luas daerah trapesium di samping dapat dihitung dengan
dua cara hingga kita dapat membuktikan teorema Phytagoras seperti di bawah ini.
Luas daerah Trapesium =
12 [(Jumlah dua sisi sejajar) x tinggi]
=
12
(a+b ) (a+b )
=
a2
+2 ab+b2
2 …………………….(1)
Dipihak lain diperoleh luas trapesium:
Luas daerah Tapesium = jumlah luas daerah segitiga siku – siku
= [2 (
12 ab) +
12 (c.c) ]
= ab +
12 c2 …………………….(2)
Dari persamaan 1 dan 2 diperoleh :
a2
+2 ab+b2
2 = ab +
12 c2
a2
+2 ab+b2
= 2ab + c2
a
2
+b2
=c2
2. Bukti dengan cara “tambah lalu geser”
Susunlah empat segitiga siku-siku yang kongruen dengan segitiga ABC,
seperti pada gambar kiri, lalu tambahkan sebuah bujursangkar dengan sisi b — a.
Maka akan kita peroleh bahwa:
Luas(KMNPQR) = luas(KSQR) + luas(SMNP)
= a2 + b2
Kemudian pindahkan segitiga 1 dan 4 sehingga membentuk bangun kanan.
Bangun yang terjadi adalah bujursangkar dengan sisi c, sehingga luasnya c2.
3. Bukti dengan menggunakan tinggi dan sifat segitiga sebangun
Perhatikan gambar disamping:
ABC ACD sehingga : bc=c 1
b , atau b2 = c.c1 ………..(1)
ABC ACD sehingga : ac=c 2
a , atau a2 = c.c2 ………..(2)
Dari (1) dan (2) diperoleh:
a2 + b2 = c.c2 + c.c1
a2 + b2 = c (c1 + c2)
a2 + b2 = c . c
a2 + b2 = c2
4. Bukti dengan dasar perbandingan
Pembuktian teorema Phytagoras berikut dipublikasikan oleh Birkhoff.
Diberikan segitiga ABC yang siku-siku di C. Kalikan setiap sisi dengan c, lalu
bentuk dua segitiga sebangun dengan ABC seperti gambar di bawah. Dengan
perbandingan sisi pada segitiga – segitiga sebangun, diperoleh panjang sisi-sisi
lain pada bangun di atas. Dari konstruksi tersebut, jelas telihat bahwa a2 + b2 = c2.
5. Bukti dari Leonardo da Vinci
Diberikan segitiga siku-siku ABC. Buatlah segitiga JHI kongruen dengan
ABC.
Maka segiempat ABHI, JHBC, ADGC dan EDGF adalah kongruen. Bukti
Teorema Pythagoras dilakukan sebagai berikut:
luas(ADGC) + luas(EDGF) = luas(ABHI) + luas(JHBC)
luas(ADEFGC) = luas(ABCJHI)
Tetapi kedua bangun memuat 2 segitiga yang kongruen dengan segitiga ABC,
sehingga:
luas(ADEFGC) – 2. luas(ABC) = luas(ABCJHI) – 2.luas(ABC)
luas(ABED) + luas(BCGF) = luas(ACJI)
a2 + b2 = c2
BAB III
PENUTUP
A. KESIMPULAN
- Pembuktian – pembuktian Dalil Phytagoras adalah manipulasi aljabar
yang akan menambah pengetahuan dan tentunya akan meningkatkan
pemahaman konsep Dalil Phytagoras
- Dalam membuat alat peraga diperlukan ketelitian dalam menggambar dan
menggunting bidang persegi berserta partisi - partisinya dan segitiga siku -
siku yang terbentuk karena kesalahan dalam menggambar dan
menggunting akan mempengaruhi bangun datar yang terbentuk.
- Model Pythagoras yang dapat disusun oleh penulis ada lima model dimana
tingkat kesulitannya semakin lama semakin tinggi dikarenakan banyaknya
partisi – partisi persegi yang dibuat untuk menutupi persegi besar.
- Banyak sekali pembuktian Dalil Pythagoras yang dapat dilakukan, yaitu
dengan perbandingan geometri, perbandingan luas daerah suatu bangun
datar, transformasi daerah – daerah pembatas, dll.
- Dalam membuktikan dalilnya, Pythagoras menggunakan perbandingan
luas daerah persegi yang didapat dengan penggabungan segitiga – segitiga
dengan persegi kecil yang dibandingkan dengan luas daerah persegi yang
dicari dengan cara langsung.
- Berdasarkan hasil pengerjaan diatas, dapat disimpulkan bahwa kuadrat sisi
miring (hipotenusa) suatu segitiga adalah jumlah dari kuadrat sisi – sisi
lainnya dengan syarat bahwa segitiga tersebut adalah segitiga siku – siku
atau dapat dinotasikan sebagai : a2
+b2
=c2
.
- Dalil Pythagoras sangat berguna dalam kehidupan sehari – hari, terutama
dalam bidang geometri, arsitektur, dll yang sangat membutuhkan
perbandingan jarak antara dua titik.
B. FOTO-FOTO
KEGIATAN PENGERJAAN ALAT PERAGA
HASIL
ALAT DAN BAHAN
DAFTAR PUSTAKA
Mulyono . 2012 . Buku Praktikum Alat Peraga . Medan : UNIMED
filetram.com/4shared/model-pythagoras-pdf-8806920538
http://ebook.p4tkmatematika.org/2010/05/petunjuk-penggunaan-alat-peraga- matematika-loncat-katak/
http://www.slideshare.net/NASuprawoto/pemanfaatan-alat-peraga-sebagai-media-pembelajaran/download
http://id.wikipedia.org/wiki/Pythagoras
http://id.wikipedia.org/wiki/Teorema_Pythagoras
http://www.slideshare.net/guesteb59bed6/beberapa-alternatif-bukti-teorema-pythagoras/download
http://www.scribd.com/doc/53070342/MakalahBerbagaiPembuktianTheoremaPhytagoras
ASISTEN LAB
( Nailul Himmi Hasibuan ) ( Wes Waruwu )
NIM: 409411030NIM: 409111087
NAMA ANGGOTA : BETHESDA BUTAR-BUTAR
CHAIRUNISA
DINAR KRISTINA LUBIS
EKA DENNY FRANATA TARIGAN
ESRON FRANANTA TARIGAN
NOVI TARI SIMBOLON
KELAS : PEND. MATEMATIKA 2010 A
DAFTAR ISI
Daftar Isi ..........................................................................................................i
BAB I : Pendahuluan........................................................................................1
a. Teori......................................................................................................1
b. Permasalahan........................................................................................4
c. Tujuan...................................................................................................4
d. Alat dan Bahan......................................................................................5
BAB II : Isi........................................................................................................6
Pembahasan...........................................................................................6
BAB III : Penutup.............................................................................................17
a. Kesimpulan...........................................................................................17
b. Foto – foto.............................................................................................18
Daftar Pustaka...................................................................................................20
Asisten Lab.......................................................................................................20