ArGEnCo – MS²F - Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH)
Pompes et turbines Eléments de théorie
Cours de « Compléments d’Hydraulique » 3ème Bac Architectes & Constructions
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La pompe (ou turbine) et la puissance hydraulique…
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• Amener de l’eau d’un niveau donné à un niveau supérieur…
• … « Produire de l’énergie » en mobilisant l’écoulement
=> Egyptiens, romains, …
Turbomachines (résistance à l’avancement mobilisée sans considérations physiques…)
=> Mécanique des Fluides « absente »…
Historique de l’étude des pompes (turbines)
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• Euler (1754) Mécanisme de transfert d’énergie entre fluide et
machine (parallélisme lois de Newton, conservation du moment angulaire)
• Smeaton (1752) Etude de modèles réduits
=> Début d’une approche scientifique dans la conception des turbomachines
Historique de l’étude des pompes (turbines)
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• Vis d’Archimède
Pompes (ou turbines) « célèbres »
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• Pompes à eau potable
Pompes (ou turbines) « célèbres »
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• Turbine Pelton
Pompes (ou turbines) « célèbres »
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• Turbine Kaplan
Pompes (ou turbines) « célèbres »
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• Turbine Francis
Pompes (ou turbines) « célèbres »
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Etude qualitative des pompes Accroissement d’énergie; origine & bilan
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• Pompe, moteur, réservoir et tuyauterie…
La pompe: fonctionnement qualitatif…
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Accroissement d’énergie mécanique par unité de poids du fluide entre les sections d’entrée et de sortie de la pompe
La pompe: fonctionnement qualitatif…
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• Entre A et B… Utilisation de l’équation de Bernoulli (valide…)
• Entre A et E
• Entre S et B
• Entre A et B… => Σ
Origine de l’accroissement d’énergie…
A E AEH H h= + ∆∑
S B SBH H h= + ∆∑
A S E B AE SBH H H H h h+ = + + ∆ + ∆∑ ∑
2
2Upavec H z
g gρ= + +
( ) ( )Hydrt tuyau
S E B A AE SB
HH h
H H H H h h∆
− = − + ∆ + ∆∑ ∑
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• Entre A et B… Utilisation de l’équation de Bernoulli (valide…) Hauteur manométrique Hauteur hydraulique
Origine de l’accroissement d’énergie…
0
0A
B
E S
E S
U
U
U U
z z
≈
≈
≈
≈
S Et
p pH
gρ−
≈
Hydr t réseauH H h= − ∆∑
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Etapes… – (1) Fourniture d’énergie par le moteur – (2) accroissement dans la roue – (3) accroissement conséquent entre l’entrée (E) et la sortie (S) – (4) accroissement conséquent entre A et B
Hypothèses: – Machine en régime – Ecoulement permanent
Origine de l’accroissement d’énergie…
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Illustration sur une pompe centrifuge…
• (1) distributeur (aubes ou pas) • (2) roue mobile (aubes) • (3) diffuseur (aubes ou pas) • (4) canal en volute
Aubes: guidage du fluide => imposent les trajectoires
Origine de l’accroissement d’énergie…
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• Entre l’entrée (E) et la sortie (S) de la pompe… (→Hauteur manométrique)
• Hauteur indiquée Hi
Origine de l’accroissement d’énergie…
= − ∆∑t i ESH H hFuites, chocs, frottements, recirculation,…
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Pe
Pi Pt
Phyd
Origine de l’accroissement d’énergie… Synthèse
Pe, Puissance effective Puissance fournie par le moteur
Pi (Hi), Puissance (Hauteur) indiquée Puissance fournie au fluide par la roue mobile
Pt (Ht), Puissance (Hauteur) manométrique Puissance fournie au fluide entre l’entrée et la sortie de la pompe
Phyd (Hhyd), Puissance (Hauteur) hydraulique Puissance reçue effectivement par le fluide
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Pe
Pi
Pt
Phyd
Origine de l’accroissement d’énergie… Bilan énergétique
Rendement mécanique
Rendement indiqué
ti
i
PP
η =
im
e
PP
η =t
ee
PP
η =
hydtuy
t
PP
η =
Rendement effectif
Rendement tuyauterie
hydhyd
e
gQHP
ρη =
Rendement hydraulique de
l’installation
hyd tuy eη η η=
hyd tuy i mη η ηη=
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Sortie du distributeur(en 1) – Entrée dans la roue Sortie de la roue (en 2) ⇒Théorie nécessaire: • Principe du « triangle de vitesses » • Loi d’Euler
Origine de l’accroissement d’énergie…
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Sortie du distributeur(en 1) – Entrée dans la roue Sortie de la roue (en 2)
Origine de l’accroissement d’énergie…
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Principe du triangle des vitesses
On peut définir dans toute section de passage une vitesse moyenne du fluide
• V dans le mouvement absolu
• W dans le mouvement relatif
…avec U la vitesse d’entrainement
Direction absolue (« réelle ») du fluide
Direction relative du
fluide (imposée par les aubages)
Vitesse « débitante »
( )m m mQ V S V dbkρ ρ π= =
Fonction uniquement de la vitesse de rotation…
U W V+ =
d : diamètre b : épaisseur du tube de courant k : coefficient d’obstruction lié à la présence des aubes
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Loi d’Euler
( ) extd mV Fdt
=
( ) extd mr V Cdt
× =
(Loi d’Euler)
(Loi de Newton)
( )( ) ( ) ( )0ext
extext
F
d mVd drr mV r mV r F Cdt dt dt
× = × + × = × =
m r
V
Second principe : conservation de la quantité de mouvement
Corolaire : conservation du moment angulaire :
Par multiplication vectorielle par le vecteur position (O point fixe)
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Application à la veine fluide dans la roue…
Loi d’Euler
Pour =L r Vdm
syst isoleechanges bords
LdL Flux Ldt t
∂= +
∂
( )
( )( )
syst isole
0
echanges bords
0V
stationnaire
S
Lr V dV
t t
Flux L r V V n dS
ρ
ρ
=
∂ ∂= × =
∂ ∂
= ×
∫
∫
( )( )→ = ×∫
S
dL r V V n dSdt
ρ
V
i iS
ddV V n dS
dt t
Rappel : Théorème de transport de Reynolds
Hypothèses
Machine en régime Ecoulement permanent
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Loi d’Euler
( ) ( )( )( ) ( )( )( )
ar
r out in
r out in
ar
r
dLPdt
Q rV rV
Q UV UV
PUV
Q
θ θ
θ θ
θ
ω
ω
=
= −
= −
= ∆
( )r roueQ Q=( )( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
, ,
r out r inout inS
r out in
r V V n d S Q r V Q r V
Q rV rVθ θ
ρ × = × − ×
= −
∫
Application à l’arbre de la pompe…
Puissance à l’arbre de la pompe…
Travail échangé par kilo de fluide
U la vitesse d’entrainement VθComposante tangentielle de la vitesse absolue
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Origine de l’accroissement d’énergie…
Entrée dans la roue Entrée impose direction absolue… Composantes du triangle…
1
1 1 1 1, , ,d r b kα
( )
1 1
11 1 1
1 1 1 1
1 1 1
, ,
mm
m
U rQ
Vd b k
V V f VW V U
θ
θ θ
ω
ρπα
=
=
=
= −
11
1Atan
m
WVθβ
⇒ =
Sortie de la roue Aubes imposent direction
relative…
Composantes du triangle…
2
2 2 2 2, , ,d r b kβ
( )
2 2
22 2 2
2 2 2 2
2 2 2
, ,
mm
m
U rQ
Vd b k
W W f VV W U
θ
θ θ
ω
ρπβ
=
=
=
= +
22
2Atan
m
VVθα
⇒ =
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Origine de l’accroissement d’énergie…
Entrée dans la roue
Sortie de la roue
Puissance indiquée Puissance fournie au fluide par la roue mobile
Hauteur indiquée
( )2 2 1 1i rP Q U V U Vθ θρ= −
( )2 2 1 11i
ir
PH U V U V
gQ g θ θρ= = −
2 2 2 2 2 22 1 2 1 2 1
2 2 2− − −
= − +iV V W W U UH
g g g
Utilisation Δ
2 2 21 1 1 1 12 2 2
2 2 2 2 2
2
2
W V U U V
W V U U Vθ
θ
= + −
= + −
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• Au final, dans la roue…
Origine de l’accroissement d’énergie…
2 2 2 22 1 2 1 2 1
2 1 12 2 2− − −
⇒ + − + ∆ = −∑p p U U W Wz z hg g gρ
Forces de Coriolis Effet du
ralentissement du fluide dans son
mouvement relatif
2 22 1 2 1
2 1 122ip p V VH z z h
g gρ− −
= + + − + ∆∑ (Bernoulli)
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Etude analytique des pompes Courbes de fonctionnement
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Courbes caractéristiques de fonctionnement d’une pompe
Intérêt de l’utilisateur: – Grandeurs hydrauliques (Q, Ht) – Grandeurs mécaniques (Pe, ω)
… pour calculer – Couple à l’arbre – Puissance énergétique totale – Rendement effectif
ee
PC ω=
t tP Q gHρ=t
ee
PPη =
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Courbes caractéristiques de fonctionnement d’une pompe
Principes de conservations…
… représentent des surfaces … … qui, à vitesse de rotation constante, sont
appelées « courbes caractéristiques » de la pompe
( )( )
, , 0, , 0
t
e
F Q HG Q P
ωω
==
( )( )
,,
e e
t t
P P QH H Q
ωω
==
( )( )
e e
t t
P P QH H Q
==
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Courbes caractéristiques de fonctionnement d’une pompe
Obtention des courbes caractéristiques? – Loi d’Euler => modélisation du fonctionnement de
la pompe – Mesures expérimentales des performances sur
une pompe en fonctionnement
Illustration 1: Modélisation des courbes caractéristiques pour une pompe centrifuge
Illustration 2: Courbes caractéristiques expérimentales
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Conservation Q
Utilisation Δ
• Hauteur indiquée Loi d’Euler
Courbes caractéristiques – Illustration 1
( )
( )
2 2 1 1
2 2 2 1 1 1
1
1 sin sin
ii
r
PH U V U V
gQ g
U V U Vg
θ θρ
α α
= = −
= −
2
2 2 2 2 2
connusin sinV U W
βα β= +
22 2 2 22 cos
rQWk r bπ β
=
11 1 1 1 1 1 1 12 cos 2 cos
rQ QVk r b k r bπ α π α
= ≈
( )22 2 2 2 1 1 1
1 sin siniH U U W U Vg
β α= + −
2 22 2 1
2 2 1 1
tan tan2 2i r
rH Qg g k b k b
ω β αωπ π
= + −
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• Hauteur indiquée
Courbes caractéristiques – Illustration 1
2 22 2 1
2 2 1 1
tan tan2 2i r
rH Qg g k b k b
ω β αωπ π
= + −
i rH A BQ= +
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• Hauteur manométrique
Courbes caractéristiques – Illustration 1
i t ESH H h= + ∆∑
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• Hauteur manométrique Débit dans la roue… Débit « réel »
Courbes caractéristiques – Illustration 1
( ) ( )'t t rH Q H Q=
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• Puissance indiquée
Courbes caractéristiques – Illustration 1
2 2 2 2 12
2 2 1 1
tan tan2 2i r i r rP Q gH r Q Q
k b k bβ α
ρ ρω ρωπ π
= = + −
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• Courbes expérimentales
Courbes caractéristiques – Illustration 2
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Fonctionnement d’une pompe sur une installation
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• Pompe >< Installation... – Hauteur manométrique d’une pompe par rapport à
l’installation
– Fonctionnement de la pompe
Point de fonctionnement d’une pompe sur une installation
t hyd tuyH H h= + ∆∑
( )tH F Q= ( )tP G Q= ( )e H Qη =
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• Pompe >< Installation... – Système…
Point de fonctionnement d’une pompe sur une installation
( )2
t
t hyd tuy ii
H F QpH H h z k Qgρ
=
∆ = + ∆ = + ∆ +
∑ ∑
Point de fonctionnement P de la pompe sur l’installation
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• Association de pompes
Point de fonctionnement d’une pompe sur une installation
Pompes en série
Pompes en parallèle
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La cavitation dans le cas particulier des pompes
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• Pression varie en fonction de la vitesse (Bernoulli) U ↗ => p↘ - Valeur limite: tension de vapeur ⇒ apparition phase gazeuse ⇒ « bulles » de gaz emportées par l’écoulement
⇒ implosion des bulles lorsque la pression redevient acceptable
Description du phénomène
vp
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– Concerne zone d’aspiration (p la plus faible) – Vitesse ↗ par l’entrainement du rotor
– Dégâts dans les zones d’implosion des bulles
Description du phénomène… Cas particulier des pompes
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Baisse de pression… – Générale
• Haspiration ↗ • patm ↘ • paspiration ↘
– Locale
• Vfluide ↗ • Décollement ou contraction des filets fluides • Changement des directions des lignes de courant
Description du phénomène… Cas particulier des pompes
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• « Rêve »: mesure sur l’extrados
• paspiration… Bernoulli entre E (entrée pompe) et 1 (entrée roue)
• Energie disponible
Contrôle/Mesure de la pression minimale
20 1
min 1 2E EUp p g hρ ρ= − ∆ −∑
0min Ep p≈
2
2v
dispp p Ueρ−
= +
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• NPSE (Net Positive Suction Energy)
• NPSH (Net Positive Suction Head)
– [m] – f(machine, vitesse de rotation, débit) – Courbes du NPSH caractéristique
Contrôle/Mesure de la pression minimale
2
02
dispe
p UNPSEρ
= +
2
02
dispe
NPSE p UNPSHg g gρ
= = +
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• Critère de début de cavitation
Contrôle/Mesure de la pression minimale
• Présence de bulles d’une certaine taille; • Niveau de bruit; • Perte d’énergie d’un certain pourcentage; • Perte de matière; • …
2
2vp p UNPSHA
g gρ−
= +
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• Coefficient critique de Thoma
Contrôle/Mesure de la pression minimale
t
NPSHH
σ =
4 3cr sk nσ =
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Rappel, Bernoulli
• Condition de non-cavitation
Contrôle/Mesure de la pression minimale
NPSHA NPSH≥
( )
2
2
2
2
E v E
A v AA E AE
p p UNPSHAg g
p p U z z hg g
NPSH
ρ
ρ
−⇒ = +
−= + + − − ∆
≥
∑
2 2
2 2A A E E
A E AEp U p Uz z h
g g g gρ ρ+ + = + + + ∆∑
min Ep p≈
• pa • hauteur géométrique • pertes de charge • température eau (→ pv)
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