PMR3401 - Mecânica Computacional para Mecatrônica
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Elemento Isoparamétrico de 4 nós
Consideremos inicialmente a função interpoladora
para um elemento retangular mostrado na figura:
xybybxbbT(x,y) 4321 +++=
sendo T(x,y) a variável de estado, bi,, os coeficientes e x e
y, as variáveis independentes.
Considerando os valores dessa função T nos nós
do retângulo temos:
WbbT
LWbWbLbbT
LbbT
bT
n
m
j
i
31
4321
21
1
+=
+++=
+=
=
Resolvendo para os bi e substituindo novamente em T(x,y):
[ ]
=
−
−
−
−=
n
m
j
i
nmji
n
m
j
i
T
T
T
T
NNNN
T
T
T
T
L
x
W
y
LW
xy
W
y
L
x
W
y
L
xT(x,y) 1111
Assim obtivemos a temperatura escrita em função das temperaturas nodais do elemento.
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Coordenadas Naturais
Em geral, a função interpoladora de um elemento retangular é definida em relação a um
sistema de coordenadas com centro no centro do elemento denominado sistema de coordenadas
natural como mostrado na figura.
As coordenadas naturais ξ e η são definidas em relação às coordenadas x e y anteriores
através das relações:
;12
−=L
xξ e ;1
2−=
W
yη
e portanto as funções interpoladoras ficam:
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )ηξ
ηξ
ηξ
ηξ
+−=
++=
−+=
−−=
114
1
114
1
114
1
114
1
n
m
j
i
N
N
N
N
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Elemento quadrilátero genérico isoparamétrico
Consideremos o elemento quadrilátero genérico mostrado na figura.
Devido a sua forma genérica é interessante interpolarmos não somente os valores da grandeza
de interesse, mas também as coordenadas dos pontos do interior do elemento. Assim por exemplo, a
interpolação fica:
nnmmjjii
nnmmjjii
yNyNyNyNy
xNxNxNxNx
+++=
+++=
onde xi, xj, ... e yi, yj, ... são as coordenadas x e y dos nós. Como as mesmas funções de forma são
usadas para interpolar a grandeza de interesse (por exemplo, temperatura) como as coordenadas, o
elemento é chamado isoparamétrico. Em casos especiais podemos utilizar funções de forma de grau
maior para interpolar as coordenadas (elemento superparámetrico) o que ocorre quando a fronteira
(contorno) do elemento descreve curvas muito acentuadas. Em outros casos podemos ter funções de
forma de grau menor interpolando as coordenadas (elemento subparámetrico).
Escrever as funções de forma no sistema (x,y) é muito complicado devido a forma genérica
do elemento. Assim , o que se faz é expressar as funções de forma em função das coordenadas locais
(naturais) ξ e η, ο que resulta em equações mais simples, já apresentadas. No entanto, em muitos
casos é necessário calcular as derivadas de T(x,y) em relação à x e y, então nesse caso é necessário
utilizarmos a regra da cadeia:
ηηη
ξξξ
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂=
∂
∂
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂=
∂
∂
y
y
yxTx
x
yxTyxT
y
y
yxTx
x
yxTyxT
),(),(),(
),(),(),(
Na forma matricial:
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4
[ ]
∂
∂∂
∂
=
∂
∂∂
∂
∂
∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
=
∂
∂∂
∂
y
yxTx
yxT
y
yxTx
yxT
yx
yx
yxT
yxT
),(
),(
),(
),(
),(
),(
J
ηη
ξξ
η
ξ
onde a matriz [J] é denominada Jacobiana da transformação de coordenadas. Dessa forma, as
derivadas de T(x,y) em relação a x e y são dadas por:
[ ]
∂
∂∂
∂
=
∂
∂∂
∂
−
η
ξ),(
),(
),(
),(
1
yxT
yxT
y
yxTx
yxT
J
Para o caso do elemento isoparamétrico, a matriz Jacobiana fica:
[ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
( ) ( )( ) ( )
[ ]
−
−=⇒
=
=
−++++−−−−++++−−−
+−++−+−−+−++−+−−=
=
∂
+++∂
∂
+++∂∂
+++∂
∂
+++∂
=
∂
∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
=
−
1121
12221
1121
1211
det
1
)1()1()1()1()1()1()1()1(
)1()1()1()1()1()1()1()1(
4
1
JJ
JJ
JJ
JJ
yyyyxxxx
yyyyxxxx
yNyNyNyNxNxNxNxN
yNyNyNyNxNxNxNxN
yx
yx
nmjinmji
nmjinmji
nnmmjjiinnmmjjii
nnmmjjiinnmmjjii
JJ
J
ξξξξξξξξ
ηηηηηηηη
ηη
ξξ
ηη
ξξ
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Exemplo de aplicação em problemas de transferência de calor usando um
elemento retangular
Consideremos o mesmo problema em que foi descrito a aplicação do elemento triangular na
apostila anterior. Vamos considerar agora um elemento retangular (caso particular do quadrilátero
genérico) mostrado na figura. Nesse caso não é necessário considerar o jacobiano. As funções de
forma ficam (ver dedução acima):
−=
=
−=
−
−=
L
x
W
yN
LW
xyN
W
y
L
xN
W
y
L
xN
n
m
j
i
1
1
11
⇒
( )
( )
LW
y
x
N
LW
y
x
N
yWLWx
N
yWLWx
N
n
m
j
i
−=
∂
∂
=∂
∂
−=∂
∂
+−=∂
∂
1
1
⇒
( )
LW
xL
y
N
LW
x
y
N
LW
x
y
N
yLLWy
N
n
m
j
i
)(
1
−=
∂
∂
=∂
∂
−=
∂
∂
+−=∂
∂
Definindo o vetor: { }
=
n
m
j
i
N
N
N
N
N , portanto: { } { } { }
==
n
m
j
i
nmji
T
T
T
T
T
NNNNT TN~
Considerando a formulação de MEF para o problema de transferência de calor discutido no
capítulo anterior:
( ) ( ) { } { } { } { }{ }
{ }{ }
( ){ } { } { }
{ } [ ]{ }TKT
T
TN
N
NNNNN
=
−−
−−
−−
−−
+
−−
−−
−−
−−
=
=
−−+−
−
−
+−
+−−+−
−
−
+−
=
=
∂
∂∂
∂
∂
∂
∂
∂=
∂
∂∂
∂
∂
∂
∂
∂=∇⋅∇
∫∫
∫∫∫∫∫∫
2112
1221
1221
2112
6
2211
2211
1122
1122
6
~
~
~
2
W
kL
L
kW
dAxLxxxL
xL
x
x
xL
yyyWyW
y
y
yW
yW
LW
k
dA
y
x
yxkdA
y
Tx
T
yxkdATk
e
eee
A
AT
T
AA
T
Portanto considerando o caso particular de um elemento retangular ainda é possível obter
uma formulação analítica para a matriz de condutividade térmica. Os demais termos da formulação
(vetores de carregamento) são obtidos de forma análoga ao caso do elemento triangular.
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MEF Aplicado à Problemas de Mecânica dos Sólidos
Como visto no curso de Resistência de Materiais, a relação entre tensão e deformação
mecânica é dada por (“Lei de Hooke”):
{ } [ ]{ }εCσ =
onde { }σ é o vetor de tensões mecânicas e { }ε o vetor de deformações mecânicas que no caso de
sólidos tridimensionais são dados por:
{ } { }
∂
∂+
∂
∂∂
∂+
∂
∂∂
∂+
∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂
=
=
=
x
w
z
u
y
w
z
v
x
v
y
uz
w
y
vx
u
xz
yz
xy
zz
yy
xx
xz
yz
xy
zz
yy
xx
γ
γ
γ
ε
ε
ε
ε
τ
τ
τ
σ
σ
σ
e σ
e:
( )( )( )
( )
( )
( )
−
−−
−−
−−−
−−
−−
−+
−=
xz
yz
xy
zz
yy
xx
xz
yz
xy
zz
yy
xx
E
γ
γ
γ
ε
ε
ε
ν
νν
νν
νν
ν
ν
νν
ν
ν
νν
ν
ν
ν
νν
ν
τ
τ
τ
σ
σ
σ
12
2100000
012
210000
0012
21000
000111
0001
11
00011
1
211
1
No entanto, grande parte dos problemas de simulação em mecânica dos sólidos podem ser
resolvidos usando um modelo bidimensional. Logicamente, todo sólido é tridimensional, sendo a sua
modelagem usando um modelo bidimensional apenas um recurso para reduzir o custo
computacional, pois resulta num problema com menor número de variáveis a ser resolvido. Existem
duas abordagens em mecânica dos sólidos para a aproximação de um sólido tridimensional por um
modelo bidimensional: estado plano de tensões e estado plano de deformações.
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Estado Plano de Tensão
Esse modelo supõe que as tensões ocorrem num plano do sólido. O sólido é modelado como
uma “fatia” com espessura unitária. A figura abaixo ilustra alguns exemplos que podem ser
modelados dessa forma: uma placa com furo sujeita a um carregamento no seu plano e uma viga (por
exemplo, o braço de um robô) sujeita a carregamento no seu plano. Outro exemplo seria uma
membrana sujeita a carregamentos no seu plano. Vários estruturas na engenharia mecânica podem
ser modeladas usando esse modelo.
No estado plano de tensões a “Lei de Hooke” acima é simplificada. Essa simplificação
decorre da hipótese que as tensões normais são nulas na direção normal ao plano, bem como as
tensões de cisalhamento correspondentes, ou seja:
0=== yzxzzz ττσ
Substituindo na equação da Lei de Hooke acima, obtemos:
−−=
xy
yy
xx
xy
yy
xxE
γ
ε
ε
νν
ν
ντ
τ
σ
2
100
01
01
1 2
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Estado Plano de Deformação
Esse modelo supõe que as deformações ocorrem num mesmo plano do sólido. O modelo
bidimensional representa a seção de um sólido prismático de comprimento infinito. A figura abaixo
ilustra alguns exemplos: o comportamento mecânico da represa pode ser modelado a princípio
considerando apenas um modelo bidimensional de sua seção. Nesse caso supõe-se que o
comprimento da represa é muito maior do que as dimensões de sua seção e portanto a hipótese de
deformações nulas no plano normal à seção é válida.
No estado plano de deformação a “Lei de Hooke” acima também é simplificada. Essa
simplificação decorre da hipótese que as deformações normais são nulas na direção normal ao plano,
bem como as deformações de cisalhamento correspondentes, ou seja:
0=== yzxzzz γγε
Substituindo na equação da Lei de Hooke acima, obtemos:
( )( )
−
−
−
−+=
xy
yy
xx
xy
yy
xxE
γ
ε
ε
ν
νν
νν
νντ
τ
σ
2
100
01
01
211
Utilizando-se as expressões da Lei de Hooke modificada apresentadas acima, de acordo com
o modelo escolhido (estado plano de tensão ou de deformação), podemos obter a formulação das
matrizes dos elementos em MEF que são aplicados na solução de problemas de mecânica dos
sólidos. Vamos considerar o elemento isoparamétrico de 4 nós apresentado no capítulo anterior, por
se tratar de um elemento muito usado nas simulações de mecânica dos sólidos.
Para obter a matriz do elemento de uma forma mais direta e simples (porém menos formal)
do que a apresentada até então, vamos utilizar o conceito de energia. A energia do elemento é dada
por:
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{ } [ ]{ } ( ) { } [ ]{ } { } [ ]{ })()()()(
2
1
2
1
2
1 eeTe
A
T
eV
TedAtdV UKUεCεεCε ∫∫ ===Λ
onde {U(e)
} e [K(e)
] são os deslocamentos nodais e a matriz de rigidez (matriz do elemento)
respectivamente. Assim, calculando a energia do elemento e considerando a igualdade das
expressões acima, podemos obter a matriz de rigidez do elemento. Assim temos:
∂
∂∂
∂
−
−=
∂
∂∂
∂
∂
∂∂
∂
−
−=
∂
∂∂
∂
η
ξ
η
ξv
v
JJ
JJ
y
vx
v
u
u
JJ
JJ
y
ux
u
1121
1222
1121
1222
det
1 e
det
1
JJ
e portanto:
{ } [ ]
∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂
=
∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂
−−
−
−
=
∂
∂+
∂
∂∂
∂∂
∂
=
η
ξ
η
ξ
η
ξ
η
ξ
ε
v
v
u
u
v
v
u
u
JJJJ
JJ
JJ
x
v
y
u
y
vx
u
AJ
12221121
1121
1222
00
00
det
1
Mas considerando o elemento isoparamétrico temos:
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
[ ]{ } { } [ ][ ]{ } [ ]{ }UBUDAεUD ==⇒=
=
−++−−−
+−+−−−
−++−−−
+−+−−−
=
∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂
ny
nx
my
mx
jy
jx
iy
ix
U
U
U
U
U
U
U
U
v
v
u
u
ξξξξ
ηηηη
ξξξξ
ηηηη
η
ξ
η
ξ
10101010
10101010
01010101
01010101
4
1
O próximo passo é fazer uma mudança de coordenadas de maneira a integrar a energia do
elemento nas coordenadas locais do elemento (-1,1;-1,1), ou seja:
( ) { } [ ]{ } ( ) { } [ ]{ } ηξddtdAtT
eA
T
e
e JεCεεCε det2
1
2
1 1
1
1
1
)(
∫ ∫∫ − −==Λ
onde: ηξdddxdydA Jdet==
Substituindo {ε} na equação acima, obtém-se:
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( ) { } [ ] [ ][ ]{ } { } ( ) [ ] [ ][ ] { }
{ } [ ]{ })()()(
)(1
1
1
1
)()(1
1
1
1
)()(
2
1
det2
1det
2
1
eeTe
eT
e
TeeTTe
e
eddtddt
UKU
UJBCBUJUBCBU
=
===Λ ∫ ∫∫ ∫ − −− −ηξηξ
Dessa forma, temos que a matriz [K(e)
] é dada por:
[ ] [ ] [ ][ ] ηξddtT
e
e JBCBK det1
1
1
1
)(
∫ ∫− −=
Note que não é possível resolver a integral acima analiticamente para o caso do elemento
quadrilátero genérico pois a matriz Jacobiana e a matriz [B] são função das coordenadas ξ e η. Essa
integral é resolvida numericamente usando o método de Gauss-Legendre, já apresentado
anteriormente.
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