UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE
FACULTAD DE CIENCIA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y CIENCIA DE LA COMPUTACIÓN
Informe Escrito
Correspondiente al eje “Algebra” del nivel “Segundo Año Medio de
Enseñanza Media”
Autor: Fernanda Espinoza
Marjorie Lagos.
Profesor: Michael Yáñez
Enrique Pérez
Asignatura: Metodología de la Enseñanza
Matemática y Computación II
Carrera: Licenciatura en Educación Matemática
y Computación
Fecha: 26.junio.2012
Índice
Introducción 3
Análisis didáctico de la Unidad. 4
Resultado del Análisis Didáctico 5
Actividades Claves 7
Justificación 12
Actividad: Simplifiquemos fracciones algebraicas 18
Orientaciones Metodológicas 18
Material del estudiante N°1 22
Actividad: “Sumemos fracciones algebraicas” 27
Orientaciones Metodológicas 27
Material del estudiante N°2 31
Actividad: Encontrando Soluciones. 37
Orientaciones Metodológicas 37
Descripción en términos metodológicos para los momentos de la clase 37
Material del estudiante N°3 40
Actividad: “Observando soluciones en el plano cartesiano” 43
Orientaciones Metodológicas 43
Material del Estudiante N°4 46
Actividad: “Jugando a analizar la función Exponencial” 51
Orientaciones Metodológicas 51
Material del estudiante N°5 54
Actividad: ¿Qué pasará si cambiamos los parámetros? 60
Orientaciones Metodológicas 60
Material del estudiante N°6 63
Conclusión 68
Bibliografía 69
Cd de apoyo 70
Fernanda Espinoza C Marjorie Lagos J Página 3 Algebra Segundo Medio
Introducción A la hora de referirnos a una planificación de un eje, el docente debe ser capaz de analizar
diversos aspectos, siendo estos los contenidos mínimos obligatorios, que son descritos en
diversos programas de estudio y el marco curricular, de los que obtenemos aprendizajes
esperados para desarrollar ciertas habilidades especificas que forman parte de un
procedimiento general, los que apuntan a observar las competencias que los estudiantes
deben lograr y que cada docente debe enseñar.
Es por ello que a continuación se presentará una planificación del eje de algebra
correspondiente al nivel de segundo medio, realizando en primera instancia un análisis
didáctico del eje, que consta en realizar un análisis del este explicitando los conceptos claves,
habilidades especificas, habilidad general , las actitudes que se pretenden fomentar y el
contexto que se puede desarrollar.
Cada habilidad especifica tiene asociado una actividad claves que ayuda a desarrollarla,
donde se ha considerado aspectos importantes para el aprendizaje significativo del
alumno, buscando la reflexión de a los alumnos , en diversas situaciones, donde se vea
cuestionado el concepto de aprendizaje; cada actividad tiene asociada orientaciones
metodológicas que pueden ser llevadas a cabo por el profesor a la hora de enfrentarse al
concepto a enseñar, además de los conceptos claves, las conductas de entrada y la
fundamentación de esta.
La argumentación teórica detalla la investigación que sustenta la propuesta metodológica
basada en Duval, y en investigaciones de los errores de la matemáticas específicamente el
algebra, además de diversas metodologías que se utilizan para el desarrollo de los
aprendizajes.
Finalmente en la sección del Material del estudiantes encontraremos las Guías con las
cuales los estudiantes trabajara en la clase, siendo un material de apoyo para el alumno
que ayudara a que se refuercen contenidos, se enfrenten a una situación problemática y
formalicen lo conceptos utilizados.
Fernanda Espinoza C Marjorie Lagos J Página 4 Algebra Segundo Medio
Análisis didáctico de la Unidad.
Matemáticas “el mundo del algebra”
Aprendizajes esperados
Contenidos
Analizar gráficamente la función exponencial, en forma manual y con herramientas tecnológicas.
Analizar gráficamente la función logarítmica, en forma manual y con herramientas tecnológicas.
Analizar gráficamente la función raíz cuadrada, en forma manual y con herramientas tecnológicas.
Analizar la validez de una expresión algebraica fraccionaria.
Establecer estrategias para operar fracciones algebraicas simples, con binomios en el numerador y en el denominador, y determinar los valores que indeterminan estas expresiones.
Resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas, grafica y algebraicamente.
Modelar y aplicar la función exponencial, raíz cuadrada y logarítmica en la resolución de problemas, y resolver problemas que involucren sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.
Función exponencial y
representación gráfica
Función logarítmica y
representación gráfica
Función raíz cuadrada y
representación gráfica
Sistemas de ecuaciones lineales con
dos incógnitas
Métodos de resolución de un
sistema de ecuaciones lineales con
dos incógnitas
Gráfica de un sistema de
ecuaciones
Operaciones de Expresiones
algebraicas fraccionarias
expresiones algebraicas
fraccionarias
Fernanda Espinoza C Marjorie Lagos J Página 5 Algebra Segundo Medio
Resultado del Análisis Didáctico
Conceptos Clave
Procedimiento (Habilidad General)
Función exponencial
Función logarítmica
Función raíz cuadrada
Sistemas de ecuaciones
lineales con dos
incógnitas
Expresiones algebraicas
fraccionarias.
Procedimiento General:
Reconoce el tipo de situaciones que modelan las
funciones exponencial, logarítmica y raíz cuadrada.
Transforma expresiones algebraicas de forma
fraccionaria haciendo uso de convenciones del álgebra.
Resuelve sistemas de ecuaciones lineales en forma
algebraica y gráfica. Resuelve problemas que involucran
sistemas de ecuaciones lineales y justifica la pertinencia
del modelo aplicado y de las soluciones obtenidas.
Procedimientos Específicos
Expresiones algebraicas fraccionarias
Reconocer y analizan distintos tipos de
fracciones algebraicas
Reducir y simplificar expresiones algebraicas
fraccionarias.
Operar Expresiones Algebraicas Fraccionarias.
Analizar y determinar cuándo una fracción
algebraica toma valores que las indefinan.
Resolver ecuaciones y problemas de planteo
que involucre expresiones algebraicas
fraccionarias.
Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas
Conocer y analizar los sistemas de ecuaciones.
Utiliza un software para determinar si un
sistema de dos ecuaciones lineales con dos
incógnitas tiene una, infinitas o no tiene
solución.
Conocer y aplicar los distintos métodos de
resolver un sistema de ecuaciones.
Modelar situaciones mediantes sistemas de
ecuaciones lineales con dos incógnitas.
Resolución de problemas que involucren
sistemas de ecuaciones lineales con dos
incógnitas analizando la pertinencia de la
soluciones
Analizan gráficamente:
Interpretar por medio de un software grafico función exponencial, logarítmica y raíz
Fernanda Espinoza C Marjorie Lagos J Página 6 Algebra Segundo Medio
cuadrada.
Analizar situaciones que modelan funciones exponencial, logarítmica y raíz cuadrada.
Analizar e interpretar las variaciones de los parámetros de las funciones exponencial, logarítmica y raíz cuadrada.
Sujeto (Actitudes) Contexto
Se pretende que el alumno desarrolle:
Interés por conocer la realidad y utilizar el
conocimiento.
El pensamiento reflexivo y metódico.
El valor del trabajo personal.
Una adecuada autoestima y confianza en sí
mismo.
La creatividad y la capacidad de auto-
aprendizaje.
Construcción, música, arte, moda,
tecnologías, naturaleza, y en general
en el ámbito en que se desenvuelve
el estudiante.
Fernanda Espinoza C Marjorie Lagos J Página 7 Algebra Segundo Medio
Actividades Claves
Nombre del Eje: Algebra
Tiempo: 80 horas.
Habilidad general (procedimiento): Reconoce el tipo de situaciones que modelan las funciones exponencial, logarítmica y raíz cuadrada. Transforma
expresiones algebraicas de forma fraccionaria haciendo uso de convenciones del álgebra. Resuelve sistemas de ecuaciones
lineales en forma algebraica y gráfica. Resuelve problemas que involucran sistemas de ecuaciones lineales y justifica la
pertinencia del modelo aplicado y de las soluciones obtenidas.
Habilidades cognitivas:
Operar fracciones algebraica utilizando diferentes métodos y en distintos contexto
Resolver diversas problemática, a la hora de enfrentarse a la resolución de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.
Determinar y describir relaciones entre variables u objetos en situaciones matemáticas
Conectar conocimientos nuevos con conocimientos existentes.
Realizar conexiones entre diferentes elementos de conocimiento y representaciones relacionadas
Vincular ideas u objetos matemáticos.
Actitudes (desafío ético): Interés por conocer la realidad y utilizar el conocimiento.
El pensamiento reflexivo y metódico.
El valor del trabajo personal.
Una adecuada autoestima y confianza en sí mismo.
La creatividad y la capacidad de auto-aprendizaje.
Habilidad Especifica Reconocer y analizan distintos tipos de fracciones algebraicas
Conceptos Claves Fracción
Termino algebraico.
Termino semejante
Reducción de términos algebraicos
Actividad Clave Se les presenta a los alumnos una actividad introductoria la que consta de varios ejercicios en la
que aparezcan distintas fracciones para que puedan identificar cuál de ellas son fracciones
algebraicas.
Materiales Plumón y borrador
Habilidad Especifica Reducir y simplificar expresiones algebraicas fraccionarias.
Conceptos Claves Fracción
Fracción irreductible
Fracción algebraica
Fernanda Espinoza C Marjorie Lagos J Página 8 Algebra Segundo Medio
Factorización
Simplificación
Actividad Clave Alumnos desarrollan Guía ”Simplifiquemos Fracciones Algebraicas”, en la cual se pretende que
por medio de la composición de factores primos simplifiquen fracciones numéricas con el fin de
establecer la relación que existe con la factorización de fracciones algebraicas, para lograr
reconocer el procedimiento que se debe realizar para simplificar fracciones algebraicas
fraccionarias, asociándolo con simplificación de fracciones numérica.
Materiales Material del Estudiante N°1
Habilidad Especifica Operar Expresiones Algebraicas Fraccionarias.
Conceptos Claves Fracción
Fracción irreductible
Fracción algebraica
Factorización
Simplificación
Mínimo común múltiplo
Actividad Clave Alumnos desarrollan Guía “Sumemos Fracciones Algebraicas”, la cual contiene una serie de
problemáticas donde se pretende que los estudiantes puedan encontrar la relación que existe
entre la adición y sustracción de fracciones algebraicas con las fracciones numéricas.
Materiales Material del estudiante N°2
Habilidad Especifica Analizar y determinar cuándo una fracción algebraica toma valores que las indefinan.
Conceptos Claves Fracción
Fracción irreductible
Fracción algebraica
Factorización
Simplificación
Restricción
Expresión indefinida
Actividad Clave Se le presenta a los alumnos una actividad en la que deben verificar la validez de la expresiones
algebraicas, para ello se utilizara un recurso digital que se llama “Calculadora Wiris”, donde ellos
interactuaran con el recurso y podrán darse cuenta en que valores la fracción algebraica se
indetermina.
Materiales Recurso Digital: http://www.wiris.net/demo/wiris/es/index.html
Habilidad Especifica Resolver ecuaciones y problemas de planteo que involucre expresiones algebraicas fraccionarias
Conceptos Claves Ecuación lineal
Fracción
Fracción irreductible
Fracción algebraica
Factorización
Fernanda Espinoza C Marjorie Lagos J Página 9 Algebra Segundo Medio
Simplificación
Actividad Clave Se presenta una guía donde trabajen con situaciones donde la respuesta sea encontrada
mediante la modelación de una ecuación algebraica.
Materiales Guía n°1
Habilidades Especifica Conocer y analizar los sistemas de ecuaciones.
Conceptos Claves Ecuación lineal
Actividad Clave Los alumnos desarrollan la Guía “Busquemos Soluciones”, donde se le presenta una
problemática, la que deben modelar a través de una ecuación lineal con dos incógnitas, para así
analizar las diversas soluciones que puede tomar las variables identificando que existen infinitas
soluciones , además que necesitan de información adicional para saber exactamente la solución
que satisface al problema, formalizando en primera instancia que están en la presencia de un
sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas, cuya solución es un par ordenado de la forma
(x,y).
Materiales Material del estudiante N°3
Habilidades Especifica Utiliza un software para determinar si un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas
tiene una, infinitas o no tiene solución.
Conceptos Claves Ecuación lineal
Graficar
Pendiente
Recta
Rectas secantes
Rectas coincidentes
Rectas paralelas
Plano cartesiano
Sistema de Ecuaciones
Actividad Clave Los estudiantes mediante GeoGebra y sus aprendizajes previos conjeturan con ayuda del
material del estudiante la representación gráfica de los sistemas de ecuaciones lineales con dos
incógnitas y mediante un análisis grafico de los sistemas puedan determinan la existencia de las
soluciones.
Materiales Material del estudiante N°4, Software Geométrico GeoGebra
Habilidades Especifica Conocer y aplicar los distintos métodos de resolver un sistema de ecuaciones.
Conceptos Claves Sistemas de ecuaciones
Actividad Clave El profesor les plantea en pizarra un sistema de ecuaciones con dos incógnitas, donde los
alumnos mediante la intuición encuentren diversas maneras de resolución del problema, con la
información recopilada el profesor les menciona cada uno de los métodos.
De manera de formalizar cada uno de los métodos mediante la explicación de cada uno y su
ejercitación respectiva.
Fernanda Espinoza C Marjorie Lagos J Página 10 Algebra Segundo Medio
Materiales Guía N°2,Guia N°3, Guía N°4, Guía N°5
Habilidades Especifica Modelar y resolver situaciones mediantes sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas
analizando la pertinencia de las soluciones.
Conceptos Claves Sistemas de ecuaciones
Método de Reducción
Método de Sustitución
Método de Igualación
Método de Cramer
Actividad Clave El profesor le entrega una guía con problemas en contexto, en donde los estudiantes modelen
mediante sistemas de ecuaciones, utilizando los diversos métodos para su resolución.
Materiales Guia N°6
Habilidad Especifica Interpretar por medio de un software grafico función exponencial, logarítmica y raíz cuadrada.
Conceptos Claves Función creciente
Función decreciente
Función
Numero e
Logaritmo
Propiedad cambio de base
Dominio
Recorrido
Constante
Grafica de una función
Actividad Clave En el laboratorio de computación, los estudiantes en parejas desarrollan una guía, la que será
apoyada por un recurso digital llamado”Graficador NLVM”, para graficar y evaluar la función,
pudiendo así identificar las distintas graficas de las funciones y las condiciones que deben
cumplir.
Materiales Material del Estudiante N°5
Recurso digital: http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_109_g_4_t_2.html
Habilidad Especifica Analizar situaciones que modelan funciones exponencial, logarítmica y raíz cuadrada.
Conceptos Claves Función creciente
Función decreciente
Función
Numero e
Logaritmo
Propiedad cambio de base
Dominio
Recorrido
Fernanda Espinoza C Marjorie Lagos J Página 11 Algebra Segundo Medio
Constante
Grafica de una función
Actividad Clave Se les presenta a los estudiantes un trabajo de investigación, con el objetivo de encontrar
situaciones que se puedan modelar mediantes función exponencial, logarítmica o raíz cuadrada
para luego formular un problema al que le den solución.
Materiales Trabajo de investigación.
Habilidad Especifica Analizar e interpretar las variaciones de los parámetros de las funciones exponencial, logarítmica
y raíz cuadrada.
Conceptos Claves Función creciente
Función decreciente
Función
Numero e
Logaritmo
Propiedad cambio de base
Dominio
Recorrido
Constante
Grafica de una función
Actividad Clave Los alumnos en el laboratorio de computación trabajarán una guía con la ayuda del recurso
digital llamado “Graficador NLVM”, que les permite graficar funciones y compararlas. Para luego
poder analizar y responder ciertas interrogantes. Pudiendo así analizar los tipos de variaciones
de los parámetros de las funciones exponencial, logarítmica y raíz cuadrada.
Materiales Material del estudiante N°6
Recurso digital: http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_109_g_4_t_2.html
Fernanda Espinoza C Marjorie Lagos J Página 12 Algebra Segundo Medio
Justificación El eje de algebra correspondiente al nivel de segundo medio, tiene como objetivo cumplir
con los aprendizaje esperado, basados en los Contenido Mínimo Obligatorio y Objetivos
Fundamentales, que están propuestos en el marco curricular Chileno.
Es por esto que considerando los aprendizajes esperados se diseñaron diversas
actividades claves que apuntan al desarrollo de habilidades específicas nombradas
anteriormente, con el objetivo que al finalizar esta unidad se logre en completitud la
habilidad general, siendo este el objetivo principal propuesto para esta.
Para el desarrollo de las habilidades especificas, es necesario considerar diversas
metodologías que son esenciales para construir un aprendizaje significativo para el
estudiantes, algunas de ellas son: la integración curricular TICs, utilizar diversas estrategias
metodológicas para la enseñanza que son secuencias integradas de procedimientos y
recursos utilizados por el formador con el propósito de desarrollar en los estudiantes
capacidades para la adquisición, interpretación y procesamiento de la información; y la
utilización de estas en la generación de nuevos conocimientos, su aplicación en las
diversas áreas en las que se desempeñan la vida diaria para, de este modo, promover
aprendizajes significativos. Las estrategias deben ser diseñadas de modo que estimulen a
los estudiantes a observar, analizar, opinar, formular hipótesis, buscar soluciones y
descubrir el conocimiento por sí mismos.
Existen varias estrategias metodológicas para la enseñanza de la matemática algunas son
la resolución de problemas, actividades lúdicas y modelaje. Las cuales desarrollan la
preocupación de proponer el uso de recursos variados que permitan atender a las
necesidades y habilidades de los diferentes estudiantes, además de incidir en aspectos
tales como:
• Potenciar una actitud activa.
• Despertar la curiosidad del estudiante por el tema.
• Debatir con los colegas.
• Compartir el conocimiento con el grupo.
• Fomentar la iniciativa y la toma de decisión.
• Trabajo en equipo.
Para realizar la planificación nos basamos en la propuesta metodológica que trata de los
Cambio de Registro de Representación de la Teoría de Raymond Duval.
Según Duval (1996), hay al menos dos características de la actividad cognitiva
implicada en las estrategias matemáticas. Por una parte se recurre a varios registros de
representación semiótica, algunos de los cuales han sido específicamente desarrollados
para efectuar tratamientos matemáticos; y por otra, los objetos matemáticos no son
accesibles mediante la percepción, como ocurre con la mayoría de los objetos en las otras
Fernanda Espinoza C Marjorie Lagos J Página 13 Algebra Segundo Medio
disciplinas. A partir de esto, Duval plantea dos interrogantes claves en relación con el
aprendizaje: ¿Cómo aprender a cambiar de registro? y ¿Cómo aprender a no confundir un
objeto con la representación que se hace de él? .Puesto que una estrategia matemática
combina generalmente tratamientos y conversiones, la diferenciación funcional de
registros de representación y la coordinación entre ellos constituyen los dos puntos claves
para el aprendizaje.
El traslado entre registros no se efectúa espontáneamente a menos que se trate de
representaciones congruentes entre el registro de partida y el de llegada, pero puede ser
obstáculo serio cuando no hay congruencia. En efecto, en el traslado entre registros se
trata de la confrontación de representaciones de naturaleza diferente de un mismo objeto.
Este traslado da lugar a fenómenos de congruencia y no congruencia semántica.
Para el éxito de la coordinación de registros, es esencial la discriminación de
unidades o de valores pertinentes a la representación semiótica. Raymond Duval sostiene
que las representaciones semióticas son aquellas en las cuales la producción no puede
hacerse sin la movilización de un sistema semiótico. Así las representaciones semióticas
pueden ser producciones discursivas (en lenguaje natural o formal) o no discursivas
(figuras, gráficos, esquemas, etc.). Esta producción no responde únicamente o
necesariamente a una función de comunicación, puede responder también a una función
de objetivación o a una función de tratamiento.
Según el autor citado, para comprender la producción de las representaciones
semióticas hay que tomar en cuenta tres aspectos: el aspecto estructural, relativo a la
determinación de la significación de los signos y de las posibilidades de representación que
ofrecen; el aspecto fenomenológico, relativo a las exigencias psicológica de producción o
de aprehensión de los signos y el aspecto funcional, relativo al tipo de actividad que los
signos permiten llevar a cabo.
Por otra parte, el objeto representado no debe confundirse con el contenido de la
representación, pues el contenido de la representación depende en parte de la forma, en
la medida en que el “contenido” es lo que el registro utilizado permite presentar
explícitamente del objeto representado. Por ejemplo, la ecuación de una parábola y el
gráfico de la parábola se refieren al mismo objeto matemático, pero no tienen
exactamente el mismo contenido puesto que no dan cuenta de las mismas propiedades del
objeto.
En el párrafo sobre estructura de multirregistro de la representación y actividad
Fernanda Espinoza C Marjorie Lagos J Página 14 Algebra Segundo Medio
conceptual, Duval afirma que la diversificación de los registros de representación semiótica
es la constante del desarrollo de los conocimientos tanto desde el punto de vista individual
como del científico y del cultural.
La importancia para el funcionamiento del pensamiento, generalmente se explica
por las dificultades o limitaciones que encuentra la función de comunicación que existe
entre los registros (Duval ,1995).
Otro punto importante a tener en consideración para la planificación, fue entender la
importancia del error en la matemática, siendo esto “la capacidad de considerar
verdaderos conceptos y procedimientos que están deficientemente desarrollados, que
incluyen ideas contradictorias y justificaciones falsa” (rama de la filosofía llamada
gnoseologia).donde es importante recordar que los errores al igual que el fenómeno
educativo son la manifestación exterior de un proceso complejo en el que interactúan
muchas variables; por ejemplo profesor, alumno, currículo, y contexto socio cultural,
dando cuenta que en el algebra es recurrente que ocurran errores tales como:
Errores producidos por al cambio conceptual de la aritmética al álgebra
Los cambios conceptuales entre la aritmética y el álgebra tienen una importante
incidencia en la consecución de errores. El mayor cambio conceptual en el
aprendizaje del álgebra se centra alrededor de su diferencia con la aritmética en
el significado de los símbolos e interpretaciones de las letras. El discernimiento
del significado de los valores simbólicos les puede llevar a dar como resultado
de que tiene que ver con su interpretación del símbolo +, en aritmética.
En lo que se refiere a la maduración del concepto de igualdad, se presenta un
cambio conceptual aún más crítico. En aritmética, el signo = es usado para
conectar un problema con su resultado numérico, como ; para unir
una secuencia de pasos que conducen a un resultado final:
y, con menor frecuencia, para relacionar dos procesos que dan el mismo
resultado, como, por ejemplo:
Las ecuaciones, a diferencia de las expresiones aritméticas anteriores, no son
afirmaciones verdaderas universalmente; es decir, el signo no pone en conexión
identidades, sino que obliga a la incógnita a tomar un valor (o valores) para que la
expresión sea verdadera.
Fernanda Espinoza C Marjorie Lagos J Página 15 Algebra Segundo Medio
Un error bastante frecuente en la resolución de ecuaciones, es efectuar
operaciones en el primer miembro de la misma sin modificar el segundo. Este error
es debido a que pierden el sentido de igualdad (de equilibrio) entre ambos
miembros de la ecuación. En este sentido es muy útil el recurso de las balanzas
para el estudio de las ecuaciones.
En la misma línea está el error de cambiar el signo de uno de los miembros de la
ecuación sin modificar el signo del otro miembro.
Por último, una de las diferencias más obvias entre la aritmética y el álgebra reside
en el significado de las letras. Las letras también aparecen en aritmética, pero de
forma diferente, por ejemplo, las letras m y g pueden usarse en aritmética para
representar metros y gramos, respectivamente, más que para representar el
número de metros o el número de gramos, como en álgebra, aunque la diferencia
más significativa se da en la letra como variable.
Incluso cuando los alumnos interpretan letras que representan números existe una
tendencia a considerar las letras como valores únicos y específicos más que como
números generalizados o como variables. Una de las muchas consecuencias
erróneas en este sentido es que, a veces, los alumnos reducen la validez de una
transformación algebraica a comprobar la verdad aritmética de un ejemplo
concreto.
Por ejemplo, deducen que ya que esta igualdad se cumple para el
número , sin apreciar que, en realidad, no se cumple en ningún otro caso (salvo el
cero, claro está).
Aunque, es cierto, que para describir la expresión algebraica de un enunciado es
necesario que el alumnado piense en ejemplos concretos, hay que hacer hincapié
en que no se limiten a un solo caso, sino que habrá que comprobarlo en
numerosos ejemplos. El número es bastante “traicionero” ya que cumple que su
doble es igual que su cuadrado o que el resultado de sumarle dos; es decir:
, pero no sucede lo mismo con el resto de números y esto
puede llevar a conclusiones erróneas.
Fernanda Espinoza C Marjorie Lagos J Página 16 Algebra Segundo Medio
Errores de cálculo y uso incorrecto de fórmulas o procedimientos
A veces los errores que los alumnos presentan en álgebra no son tanto dificultades
en álgebra como problemas que se quedan sin corregir en la aritmética.
Así, por ejemplo, los alumnos que no dominan las operaciones con números
enteros o con fracciones traducen estos errores al campo algebraico.
El signo menos, sobre todo cuando va colocado delante de un paréntesis o de una
fracción, genera frecuentes errores como:
Algunos errores se deben también al mal uso de una fórmula o regla conocida.
Muchos de estos errores derivan del mal uso de la propiedad distributiva como:
. Llegando incluso algunos
alumnos a aplicarla correctamente cuando el valor que multiplica está a la
izquierda del paréntesis y no saber qué hacer si está a su derecha. Este error es un
tanto culpa nuestra, pues por inercia solemos escribir la expresión que multiplica al
paréntesis a la izquierda del mismo, por lo tanto, los profesores tenemos que
acostumbrarnos a ponerles todo tipo de ejemplos, con todos los casos posibles.
En este grupo podemos considerar también los errores debidos a generalización
incorrecta de propiedades aritméticas. Con bastante frecuencia encontramos
errores como que la raíz de una suma es la suma de las raíces deducida
erróneamente de la propiedad para la raíz del producto o del cociente.
En las identidades notables los errores son bastante frecuentes, girando siempre
en torno a los siguientes tipos: ;
O bien, deducidas
de la propiedad distributiva.
A la hora de simplificar encontramos numerosos errores como:
Fernanda Espinoza C Marjorie Lagos J Página 17 Algebra Segundo Medio
; o incluso, , deducida erróneamente de: , o bien
de:
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Actividad: Simplifiquemos fracciones algebraicas
Orientaciones Metodológicas
Conceptos clave: Expresión algebraica fraccionaria, factorización de expresiones
algebraicas, simplificación de fracciones numéricas, fracción irreductible.
Descripción del recurso que utilizara: El recurso que se utilizará es el material del
estudiante, el cual consiste en una guía que se desarrollará de manera individual y que se
seguirá en conjunto con el profesor en pizarra.
Fundamentación de la Actividad:
La actividad “Simplifiquemos fracciones algebraicas” pretende que los estudiantes
simplifiquen expresiones algebraicas simples utilizando el método de factorización de
expresiones algebraicas de tal manera que se consiga una fracción algebraica irreductible.
Ésta actividad se sitúa según los Planes y Programas propuestos por el Ministerio de
Educación en el Nivel de 2º Año de Enseñanza Media, en el eje de Álgebra, teniendo en
cuenta el Objetivo Fundamental: “Interpretar la operatoria con expresiones algebraicas
fraccionarias como una generalización de la operatoria con fracciones numéricas,
establecer estrategias para operar con este tipo de expresiones y comprender que estas
operaciones tienen sentido solo en aquellos casos en que estas están definidas” y el
Contenido Mínimo Obligatorio: “Establecimiento de estrategias para simplificar, sumar,
restar, multiplicar y dividir fracciones algebraicas simples, con binomios tanto en el
numerador como en el denominador y determinación de aquellos valores que indefinen
una expresi n algebraica fraccionaria”. Teniendo como resguardo los Mapas de Progreso
del Aprendizaje correspondiente al Nivel 5, donde los alumnos logran transformar
expresiones algebraicas de forma entera y fraccionaria haciendo uso de convenciones del
álgebra, y el Aprendizaje Esperado: “Establecer estrategias para simplificar, sumar, restar,
multiplicar y dividir fracciones algebraicas con binomios tanto en el numerador como en el
denominador”.
A partir de lo anterior se desprende el Objetivo de la clase como: “Simplificar
expresiones algebraicas fraccionarias simples utilizando la factorización de expresiones
algebraicas”.
Esta actividad pretende desarrollar habilidades como realiza cálculos mentales y
escritos, para así poder desarrollar simplificaciones y más adelante adiciones y
sustracciones de expresiones algebraicas fraccionarias simples.
Para el desarrollo de esta actividad es de suma importancia que el estudiante
posea ciertas conductas de entradas que le permitan comprender el nuevo concepto
Fernanda Espinoza C Marjorie Lagos J Página 19 Algebra Segundo Medio
estas corresponden a reconocer expresiones algebraicas fraccionarias, simplificación de
fracciones numéricas, factorización de expresiones algebraicas y fracciones irreductibles.
Al finalizar la actividad “Simplifiquemos fracciones algebraicas” los estudiantes
estarán en condiciones de simplificar expresiones algebraicas fraccionarias simples
utilizando la factorización de expresiones algebraicas hasta obtener una fracción
irreductible, además los estudiantes habrán adquirido gran parte de las herramientas para
que después puedan realizar las cuatro operaciones con expresiones algebraicas
fraccionarias.
Descripción en términos metodológicos para los momentos de la clase
La actividad “Simplifiquemos fracciones algebraicas” se divide en tres secciones: “Un viaje
en el tiempo”, “Manos a la obra” y “¿Son iguales?”, de acuerdo a los tres momentos de la
clase.
Durante Un viaje en el tiempo
Esta sección corresponde al inicio de la clase se plantea una situación problemática
en contexto matemático, donde dos compañeros deben dar respuesta a un problema que
les dejo plantada su profesor de matemáticas la cual consiste en simplificar una fracción
algebraica para poder dar una solución correcta los estudiantes deberán recordar como
simplificaban fracciones numéricas.
Aquí el docente les debe señalar a los estudiantes que para poder dar
solución a estos primero deberán recordar ciertos conceptos previos
(numero primo, fracción irreductible, factorización) que apoyados de la guía
lograrán recordar.
Es importante que el docente se asegure de que el total del curso o gran
parte de el logre responder las preguntas planteadas en esta sección, de no
ser así el docente deberá practicar con mas ejercicios para que lo que
estaba débil sea reforzado.
El propósito de esta sección es que los estudiantes recuerden e identifiquen
cuando dos números se consideran primos, cuando una fracción es irreductible y a demás
puedan reconocer cuando dos expresiones algebraicas son primas entre si.
En esta sección se incorpora la estrategia centrada en el alumno, estos
desarrollaran la guía en forma individual pero sus respuestas las comparten con el curso
con el apoyo del docente ya sea de forma individual o en la pizarra aclarando dudas, es
por esto que también se considera la estrategia centrada en el formador mediante
estrategia expositiva.
Durante Manos a la obra
Esta sección corresponde al desarrollo de la clase, aquí los estudiantes se
encontraran con una nube la cual les permitirá recordar lo que es la simplificación de
Fernanda Espinoza C Marjorie Lagos J Página 20 Algebra Segundo Medio
fracciones numéricas ya que los estudiantes deberán desarrollar unos ejercicios, para
esto se espera que el profesor tenga en consideración:
Que los estudiantes lean la nube y que analicen lo que esta les dice para
que así puedan responder las primeras preguntas.
Si con los ejercicios planteados en la guía los estudiantes aun no logran
recordar la simplificación de fracciones numéricas y el procedimiento que
permite conseguirla será preciso que el profesor les de una serie de
ejercicios en pizarra para que los alumnos los desarrollen en la pizarra.
Para el desarrollo de las siguientes preguntas se recomienda que el docente tenga
en consideración:
Tener un registro de los progresos de los estudiantes en cuanto a las
factorizaciones de expresiones algebraicas, debe asegurarse de que los
estudiantes recuerdan la clase en donde realizaron la factorización de
expresiones algebraicas.
El profesor debe verificar que los alumnos logran identificar factorizaciones
simultáneas entre el numerador y el denominador de expresiones
algebraicas fraccionarias, por lo que se recomienda que pasen a la pizarra a
resolver la factorización involucrada en el problema de Martina y Joaquín.
Cuando los estudiantes conjeturen cual es la respuesta a la simplificación
planteada en el inicio, es posible de que algunos duden en las respuestas
que obtuvieron, es recomendable que se revise el ejercicio en pizarra
aclarando los errores que pueden cometer los alumnos.
En esta sección se pretende que los estudiantes establezcan la solución al
problema que se les presento en el inicio de la clase por lo que se espera que los
estudiantes simplifiquen la fracción algebraica.
La estrategia utilizada es para adquirir o desarrollar procedimientos o habilidades
cognitivas, como lo son las estrategias de aprendizaje donde se adquiere y codifica la
información.
Durante ¿Son iguales?
Para finalizar con el material del estudiante trabajamos en esta sección donde se
pretende que el estudiante pueda verificar por medio de la ejercitación si los
procedimientos que realizan los llevan a la respuesta correcta, además el estudiante
deberá responder una serie de preguntas que le permitirá sintetizar el trabajo realizado
en clases.
Para esto se debe considerar:
Fernanda Espinoza C Marjorie Lagos J Página 21 Algebra Segundo Medio
En la primera parte de esta sección se pretende que el estudiante refuerce
y practiquen lo aprendido en forma individual.
En la segunda parte de las preguntas de síntesis es importante dar un
tiempo pertinente para que los estudiantes puedan dar su respuesta.
Es recomendable revisar cada una de las respuestas como grupo curso, y
que ciertos alumnos a los cuales les costó más el trabajo realizado en clases
den respuestas a esas interrogantes.
En esta sección el docente debe dar especial énfasis a la definición de
simplificación de expresiones algebraicas fraccionarias simples, que los alumnos sigan los
procedimientos que deben realizar para poder simplificar.
La estrategia utilizada en esta sección es centrada en el alumno, la cual hace
referencia a la solución de problemas, en este caso el docente debe explicar de la manera
más clara posible los conceptos, ya sea graficando o ejemplificando para así lograr que
todos los alumnos hayan cumplido con el objetivo propuesto en clases.
Fernanda Espinoza C Marjorie Lagos J Página 22 Algebra Segundo Medio
Material del estudiante N°1
Actividad: Simplifiquemos fracciones algebraicas
Nombre:_________________________________________ Fecha:________
Conceptos claves: máximo común divisor, simplificación de fracciones numéricas,
factorización de expresiones algebraicas, fracción irreductible.
Recurso: Guía
Un viaje en el tiempo: recordemos lo que sabemos.
Martina y Joaquín discuten acerca de un problema que les planteó el profesor en la clase
de matemática. La problemática consistía en simplificar la expresión
Como pista el profesor les dice que pueden utilizar métodos vistos en años anteriores,
Martina y Joaquín no encuentran una respuesta que los convenza de tener la solución
correcta. Ayudémoslos para que encuentren la respuesta.
Es momento de recordemos conceptos ya aprendidos para llegar a la respuesta correcta.
1. ¿Cuándo dos números se consideran primos?
2. Una fracción cuyo numerador y denominador son primos entre sí se llama
irreductible. Escribe un ejemplo de una fracción reductible (que se puede simplificar) y
una irreductible.
Debemos considerar….
En álgebra dos expresiones son primas entre sí cuando no es posible factorizarlas a la vez
por una misma expresión distinta de 1.
Fernanda Espinoza C Marjorie Lagos J Página 23 Algebra Segundo Medio
Ejemplo: Observa las siguientes factorizaciones y su correspondiente factorización.
1.
2. 2.
3. 3.
Expresiones
1 y 2 Se pueden factorizar simultáneamente por . Por lo tanto
las expresiones no son primas entre sí.
1 y 3 Se pueden factorizar simultáneamente por . Por lo tanto,
las expresiones no son primas entre sí.
2 y 3 No tiene factores comunes, por lo tanto las expresiones son
primas entre sí.
3. Escribe 1 ejemplo de expresiones algebraicas fraccionarias irreductibles.
Manos a la obra: hacia un nuevo concepto
1. Utilicemos la descomposición en factores primos para simplificar la siguiente fracción
numérica.
Una expresión algebraica fraccionaria cuyo numerador y denominador son primos entre sí, se
dice irreductible.
Recordemos: Simplificar una fracción es obtener una fracción
equivalente irreductible es decir el numerador y el denominador
de una fracción son primos entre si. En las expresiones
algebraicas fraccionarias el proceso de simplificación se realiza
de manera análoga.
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Volviendo a nuestro problema inicial entre Martina y Joaquín:
2. ¿Cuál será la factorización del numerador de la expresión algebraica fraccionaria?
3. ¿Hay factorizaciones simultáneas entre el numerador y el denominador? ¿Cuáles son?
4. Si simplificamos el numerador y el denominador por el o los factores comunes, la
expresión queda reducida a:
Para simplificar expresiones algebraicas se utilizara el método que consiste en factorizar el numerador y
el denominador.
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¿Son iguales?: verifiquemos las igualdades entre expresiones
A continuación deberás verificar la validez de algunas expresiones fraccionarias
propuestas, desde lo numérico hasta lo algebraico aquí debes utilizar lo que hemos
desarrollado hoy en esta actividad.
1. Verifica la validez de las siguientes igualdades, recuerda mostrar tu procedimiento.
Para finalizar…. Debemos considerar.
2. ¿Qué significa simplificar una expresión algebraica fraccionaria?
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3. ¿Qué operaciones y propiedades debes considerar al momento de simplificar una
fracción algebraica?
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Actividad: “Sumemos fracciones algebraicas”
Orientaciones Metodológicas
Conceptos clave: Mínimo común múltiplo, factorización de expresiones algebraicas,
simplificación de fracciones algebraicas, fracción irreductible.
Descripción del recurso que utilizara: Para instaurar el concepto de Adición de
expresiones algebraicas fraccionarias por medio de la utilización de procedimientos que
utilizábamos en las fracciones numéricas, se les presenta a los estudiantes la actividad
llamada “Sumemos Fracciones Algebraicas”, esta actividad pretende que por medio de los
mecanismo que habitualmente se utilizan en la adición de fracciones numéricas puedan
encontrar un método similar en las expresiones algebraicas fraccionarias, utilizando así
técnicas aprendidas en cursos anteriores.
Fundamentación de la actividad:
La actividad “Sumemos fracciones algebraicas” está desarrollada bajo los Planes y
Programas propuestos por el Ministerio de Educación en el Nivel de 2º Año de Enseñanza
Media, en el eje de Álgebra, teniendo en cuenta el Objetivo Fundamental: “[…]
Establecer estrategias para operar con expresiones algebraicas fraccionarias y comprender
que estas operaciones tienen sentido solo en aquellos casos en que están definidas” y el
Contenido Mínimo Obligatorio: “Establecimiento de estrategias para simplificar, sumar,
restar, multiplicar y dividir fracciones algebraicas simples, con binomios tanto en el
numerador como en el denominador y determinación de aquellos valores que indefinen
una expresi n algebraica fraccionaria”. Teniendo como resguardo los Mapas de Progreso
del Aprendizaje correspondiente al Nivel 5, donde los alumnos logran transformar
expresiones algebraicas de forma entera y fraccionaria haciendo uso de convenciones del
álgebra, y el Aprendizaje Esperado: “Establecer estrategias para simplificar, sumar, restar,
multiplicar y dividir fracciones algebraicas con binomios tanto en el numerador como en el
denominador”.
Según lo anterior se desprende el siguiente objetivo de la clase: “Relacionar la
operatoria de números fraccionarios con la operatoria de las expresiones algebraicas
fraccionarias, y establecer analogías”.
Esta actividad pretende desarrollar habilidades como realiza cálculos mentales y
escritos, para así poder desarrollar simplificaciones y más adelante adiciones y
sustracciones de expresiones algebraicas fraccionarias simples.
Para que la realización de esta actividad sea exitosa es necesario que los alumnos
dominen las expresiones algebraicas fraccionarias, es decir que ellos sean capaces de
Fernanda Espinoza C Marjorie Lagos J Página 28 Algebra Segundo Medio
simplificar fracciones algebraicas, identificar y calcular el m.cm y operar fracciones
numéricas.
Al finalizar esta la actividad “Sumemos fracciones algebraicas” los estudiantes
deberán ser capaces de realizar las cuatro operaciones con fracciones algebraicas
pudiendo así simplificarla y obtener fracciones irreductibles.
Descripción en términos metodológicos para los momentos de la clase
“Sumemos fracciones algebraicas” se divide en tres secciones: “En años anteriores,
¿Cómo sumábamos fracciones numéricas?”, “Y ahora con las fracciones algebraicas
¿existirá alguna relación?” y “¿Sucederá lo mismo con las demás operaciones?”, de
acuerdo a los tres momentos de la clase.
Durante En años anteriores, ¿Cómo sumábamos fracciones numéricas?
Esta sección corresponde al inicio de la clase donde se les plantea a los
estudiantes una problemática a resolver, la cual nos permitirán desarrollar el concepto
que se pretende, para facilitar el desarrollo de la actividad se pretende comenzar
abarcando concepto que los estudiantes ya han visto como lo es: mínimo común múltiplo
y el procedimiento que se realiza para sumar o restar expresiones numéricas ya que esta
guía pretende aplicar los contenidos de simplificación, factorización el cálculo de m.c.m,
para esto se trata en primer lugar las fracciones numéricas para que los estudiantes
puedan reconocer alguna similitud con las expresiones algebraicas fraccionarias y que
entiendan que por más que una fracción tenga letras (términos algebraicos) no es distinta
la operatoria a la que realizamos con los números.
Es importante que el docente tenga en consideración que los estudiantes muchas
veces no logran establecer una relación clara entre lo numérico y lo algebraico. Por otra
parte, el proceso en sí resulta abstracto para los estudiantes que en muchos casos no
logran “ver” lo que están haciendo, es por esto que es muy importante que el docente se
asegure de que el total del curso o gran parte del logre responder las preguntas
planteadas en esta sección, de no ser así el docente deberá practicar con mas ejercicios
para que lo que estaba débil sea reforzado y dejar claro se debe obtener el m.c.m.
En esta sección se incorpora la estrategia centrada en el alumno, estos
desarrollaran la guía en forma individual pero sus respuestas las comparten con el curso
con el apoyo del docente ya sea de forma individual o en la pizarra aclarando dudas, es
por esto que también se considera la estrategia centrada en el formador mediante
estrategia expositiva.
Durante Y ahora con las fracciones algebraicas ¿existirá alguna relación?
Esta sección corresponde al desarrollo de la clase, aquí los estudiantes deberán
encontrar el m.c.m. de expresiones algebraicas, el cual les facilitará reconocer que el
Fernanda Espinoza C Marjorie Lagos J Página 29 Algebra Segundo Medio
procedimiento de adición de expresiones algebraicas es similar al de las fracciones
numéricas, es importante que el docente tenga en consideración los siguiente:
Si con los ejercicios que se han planteado en la guía los estudiantes no han
logrado reconocer y calcular el mínimo común múltiplo es necesario que el
profesor les plantee en la pizarra para que los estudiantes los desarrollen
es está y si es necesario que este los guie.
Para el desarrollo posterior de esta sección el docente deberá:
Destinar tiempo adecuado para que los estudiantes puedan resolver los
ejercicios que se les plantean ya que tanto en la adición como en la
sustracción de fracciones algebraicas, los y las estudiantes pueden
demorarse mucho en resolver cada ejercicio, ya sea porque se demoran en
reconocer los factores de cada expresión algebraica o también porque se
confunden fácilmente con el procedimiento, si lo intentan aplicar
mecánicamente.
Llevar un registro de los procesos y progresos de los estudiantes en cuanto
al cálculo de m.c.m en expresiones algebraicas fraccionarias, es necesario
que el docente se asegure de que sus estudiantes recuerden la clase en
donde realizaron la factorización de expresiones algebraicas y la
simplificación de expresiones algebraicas fraccionarias.
En esta sección se pretende que los estudiantes establezcan la solución al
problema que se les presento en el inicio de la clase por lo que se espera que los
estudiantes sumen la fracción algebraica.
La estrategia utilizada es para adquirir o desarrollar procedimientos o habilidades
cognitivas, como lo son las estrategias de aprendizaje donde se adquiere y codifica la
información.
Durante ¿Sucederá lo mismo con las demás operaciones?
Para finalizar el material del estudiante, esta sección tiene como objetivo que el
estudiantes establezca si la relación existente entre la suma de fracciones algebraicas con
la suma de fracciones numéricas también existirá con las otras tres operaciones (resta,
multiplicación y división), además el estudiante deberá responder una serie de preguntas
las cuales tienen como objetivo sintetizar el trabajo realizado durante esta actividad.
Para el desarrollo de esta sección es importante que el docente deba considerar lo
siguiente:
En la primera etapa revisar el procedimiento que realizan los estudiantes en
la obtención de los ejercicios, y verificar si el procedimiento que utilizan con
las fracciones numéricas es asertivo o si existe alguna confusión en este, de
Fernanda Espinoza C Marjorie Lagos J Página 30 Algebra Segundo Medio
ser así deberá repasarlo en pizarra para que a todos los integrantes del
grupo curso hayan aclarado su confusión.
En la segunda parte de la síntesis es importante dar un tiempo adecuado
para que todos los estudiantes puedan responder.
Es recomendable que el docente revise las respuestas en forma general y
que los estudiantes a los cuales tuvieron mayores dificultades en el
desarrollo de la guía sean los que expongan sus respuestas.
En esta sección el docente debe dar especial énfasis al establecimiento de los
procedimientos necesarios para realizar las operaciones con expresiones algebraicas
fraccionarias simples y que además ellos al obtener el resultado apliquen la simplificación
de fracciones algebraicas para así poder obtener fracciones irreductibles en el caso que
sea necesario.
La estrategia utilizada en esta sección es centrada en el alumno, la cual hace
referencia a la solución de problemas, en este caso el docente debe explicar de la manera
más clara posible los conceptos, ya sea graficando o ejemplificando para así lograr que
todos los alumnos hayan cumplan con el objetivo propuesto en clases.
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Material del estudiante N°2
Actividad: Sumemos Fracciones Algebraicas.
Nombre:_________________________________________ Fecha:________
Conceptos claves: mínimo común múltiplo, factorización de expresiones algebraicas,
simplificación de fracciones algebraicas, fracción irreductible.
Recurso: Guía
En años anteriores ¿Cómo sumábamos fracciones numéricas?
En una clase de matemática el profesor pretende que sus estudiantes comiencen realizar
operaciones con expresiones algebraicas fraccionarias, para esto le pide que realicen la
siguiente operación:
Recordemos que hacíamos antes con las fracciones numéricas.
4. ¿Qué procedimientos debemos considerar al momento de sumar fracciones?
5. Encontremos el m.c.m entre los siguientes números, ¿Cómo lo obtuviste?
6. Ahora que ya hemos recordado como obtener el m.c.m sumemos las siguientes
fracciones numéricas.
o
o
o
Fernanda Espinoza C Marjorie Lagos J Página 32 Algebra Segundo Medio
7. Compara tus respuestas con las de tus compañeros, ¿existe alguna diferencia entre el
resultado de ellos con el tuyo?, ¿si es que lo hay por qué crees que sucede?
Y ahora con las fracciones algebraicas… ¿existirá alguna relación?
5. Encontremos el m.c.m de los siguientes términos algebraicos.
o
o
o
Fernanda Espinoza C Marjorie Lagos J Página 33 Algebra Segundo Medio
6. ¿Podremos utilizar el procedimiento que utilizábamos con las fracciones numéricas
para encontrar la solución de las siguientes expresiones fraccionarías? Intentémoslo
7. ¿Cuál será la respuesta que los estudiantes deberían darle al profesor?
=
¿Sucederá lo mismo con las demás operaciones?
1. ¿Cuáles son los procedimientos que debemos considerar al momento de sumar
expresiones algebraicas fraccionarias?
Fernanda Espinoza C Marjorie Lagos J Página 34 Algebra Segundo Medio
2. ¿Serán válidos para la resta? Verifiquémoslo
3. Si con la suma y la resta funciona ¿Crees que con la multiplicación y la división
suceda también? ¿Cómo se multiplican las fracciones numéricas?
4. Y con la división de fracciones numéricas ¿Qué debías realizar para realizarla?
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5. Ahora que ya recordaste como se realizaba el proceso de multiplicación y división
de fracciones numéricas, llego el momento de que veamos que pasa con las
fracciones algebraicas, así que realiza las siguientes operaciones y compara tus
respuestas con las de tus compañeros.
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6. ¿Es válido el proceso de las operaciones con fracciones numéricas para las
expresiones algebraicas fraccionarias?
7. ¿Qué debemos considerar para realizar las operaciones con expresiones
algebraicas fraccionarias?
Las actividades que realizaste en esta guía tuvieron como propósito que
encontraras las relaciones que existen entre la operatoria de fracciones algebraicas con las
numéricas, para esto recordamos los procedimientos que aprendimos en años anteriores
y los aplicamos a las expresiones algebraicas fraccionarias.
Ahora solo queda verificar para que valores numéricos estas indefinidas, concepto que
trabajaremos en sesión posteriores.
Fernanda Espinoza C Marjorie Lagos J Página 37 Algebra Segundo Medio
Actividad: Encontrando Soluciones.
Orientaciones Metodológicas Conceptos clave: Ecuaciones lineales con dos incógnitas, planteó de ecuaciones lineales
con dos incógnitas, análisis de las soluciones.
Descripción del recurso que utilizar: Power Point de apoyo para realizar de mejor manera
la actividad.
Fundamentación de la Actividad:
La actividad “Tienda de CD” pretende que los estudiantes generar conjeturas y reconocer
sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Ésta actividad se sitúa según los Planes
y Programas propuestos por el Ministerio de Educación en el Nivel de 2º Año de
Enseñanza Media, en el eje de Álgebra, teniendo en cuenta el Objetivo Fundamental:
“Modelar situaciones o fenómenos cuyos modelos resultantes sean sistemas de ecuaciones
lineales con dos incógnitas.” y el Contenido Mínimo Obligatorio:”Reconocimiento de
sistemas de ecuaciones lineales como modelos que surgen de diversas situaciones o
fenómenos.”Teniendo como resguardo los Mapas de Progreso del Aprendizaje
correspondiente al Nivel 5, donde los alumnos logran resuelven sistemas de ecuaciones
lineales en forma algebraica y gráfica, y el Aprendizaje Esperado: “Identificar sistemas de
ecuaciones lineales con dos inc gnitas algebraicamente.”
A partir de lo anterior se desprende el Objetivo de la clase como: “generar
conjeturas y reconocer sistema de ecuaciones lineales con dos inc gnitas.”
Esta actividad pretende desarrollar habilidades determinar y describir o usar
relaciones entre variables u objetos en situaciones matemáticas; Conectar conocimientos
nuevos con conocimientos existentes; hacer conexiones entre diferentes elementos de
conocimiento y representaciones relacionadas; vincular ideas u objetos matemáticos
relacionados.
Para el desarrollo de esta actividad es de suma importancia que el estudiante posea
ciertas conductas de entradas que le permitan comprender el nuevo concepto estas
corresponden a ecuación de primer grado con una incógnita, expresiones algebraicas,
además de traspasar de lenguaje natural al lenguaje algebraico.
Descripción en términos metodológicos para los momentos de la clase
La actividad “Tienda de CD” está dividida en tres secciones, en donde están presentes los
tres momentos de la clase.
El propósito de esta actividad es que a partir de una problemática de la venda de CD de
una tienda en particular, podamos llevar a los alumnos a modelar a través de ecuaciones
lineales con dos incógnitas, en donde descubrirán la importancia de los sistemas de
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ecuaciones, pudiendo analizar que no es necesaria solo una información del problema
para resolverlo, sino que necesitan la existencia de la información complementaria, para
que este se pueda tener una única solución que es la válida para el problema.
La estrategia utilizada en esta actividad es “La Interrogación Didáctica”, ya que el profesor
les presenta la problemática mencionada anteriormente, y a través de la formulación de
preguntas, relacionada con la actividad los guía hacia el objetivo de esta, que es generar
conjeturas y identificar sistema de ecuaciones lineales de dos incógnitas.
En el momento de inicio en la sección “Tienda de CD”, se presentara una situación
problemática, donde el alumno debe formular una ecuación lineal de dos incógnitas, que
a través de una serie de preguntas presentadas en esta sección, las que tiene el propósito
de que el alumno analice si existe más de una solución para nuestro problema, ahí es
donde el docente juega un papel importante a la hora de llevar la actividad, el debe ser
capaz de conllevar cualquiera sea la situación que se presente, una de ellas puede ser que
en la pregunta tres de esta sección, el alumno le acierte a la respuesta correcta del
problema, se le recomienda al docente no decirles que está mal sino que simplemente es
una solución más al problema, luego él podrá sacar sus propias conclusiones con la
respuesta final, además en esta sección el objetivo es que el alumno analice que existe
más de una solución que acierte al problema.
En el momento de desarrollo ya logrado el objetivo en la primera sección, se continúa
con la sección “investiguemos soluciones”, aquí se le presenta al alumno una tabla con
datos que servirán para comprobar que existen diversos valores para cada variable que
satisfacen la ecuación, con ello se instala en el estudiante que existen infinitas soluciones
que da respuesta a la pregunta inicial, si este no se logra el docente debe saber realizar
énfasis en que ello se dé cuenta de lo anterior mencionado.
Ya que el docente logro instalar lo antes mencionado, se le enfoca en la pregunta número
tres de esta sección donde se les plantea que nos hará falta para saber exactamente las
cantidad de CD que se vendieron en la tienda, es donde este debe darse cuenta que
alguna información adicional nos podrá ayudar a descubrir la solución de nuestra
ecuación, si esto no se logra el docente debe enfatizar de manera de orientar al alumno,
Fernanda Espinoza C Marjorie Lagos J Página 39 Algebra Segundo Medio
de manera que se dé cuenta que nos falta información para responder a la pregunta de el
comienzo.
Y finalmente el momento de cierre en la sección “Necesitamos información” se le
entrega información adicional, pidiendo que analicen si ahora es plausible responder la
pregunta planteada en el problema y cuál es la cantidad de Cd´s de Reggaetón y de Rock
que se vendieron en la tienda, es por ello que el docente le presenta el nuevo concepto,
explicando que lo que acaban de utilizar es un sistema de ecuaciones lineales, donde a
través de la estrategia “complete la oración”, se le formaliza la definición de sistema de
ecuaciones.
Fernanda Espinoza C Marjorie Lagos J Página 40 Algebra Segundo Medio
Material del estudiante N°3 Actividad: Encontrando Soluciones.
Nombre:_________________________________________ Fecha:________ Conceptos claves: Ecuaciones lineales con dos incógnitas, Planteo de ecuaciones lineales
con dos incógnitas, Análisis de las soluciones.
Recurso: Power Point.
“Tienda de CD” Una tienda de música “La Metralleta” recaudó en una semana $ 360 000 pesos por la venta de discos compactos de Reggaetón y de Rock. El precio de los CD de reggaetones es de $6000 pesos cada uno y el de los CD de rock es $8000 pesos cada uno. ¿Cuántos discos de Reggaetón y Rock se vendieron durante la semana?
1. ¿Cuáles son las variables del problema? Ya identificadas, asígnales una letra para distinguirlas.
2. ¿Podrías plantear una ecuación para resolver la situación?, ¿cuál?(Recuerda que cada variable asignada corresponde a la cantidad de Cd vendido en la tienda)
3. ¿Es correcto afirmar que se vendieron 20 CD de reggaetón y 30 de rock? , ¿Sera la única solución? ¿por qué?
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“Investiguemos Soluciones” Ahora que pasa si las variables de la ecuación, toman los siguientes valores, reemplázalo en la ecuación que planteaste en la primera sección:
Cd de Reggaetón 0 25 90
Cd de Rock 25 15
1. ¿Qué puedes decir de lo anterior?, ¿por qué crees que ocurre esto?
2. Ayudando por tu tabla ¿Qué valores, de la cantidad de CD, es correcto que se vendan en la tienda?
3. Ahora con la información analizada, ¿Podemos saber exactamente cuántos CD se vendieron de cada uno? ¿Qué crees que nos falta para saberlo?
Recuerda: Una ecuación de primer grado con dos incógnitas tiene infinitas soluciones.
Fernanda Espinoza C Marjorie Lagos J Página 42 Algebra Segundo Medio
“Necesitamos Información” Si a la situación anterior se agrega el hecho de que la cantidad de Cd de Rock es 55 Cd menos la cantidad de Cd de Reggaetón.
1. Como planteamos la nueva ecuación
2. Ahora con ambas ecuaciones podremos responder nuestra pregunta inicial que decía ¿Cuántos discos de Reggaetón y Rock se vendieron durante la semana?
Completa Junto con tu profesor
“Es importante destacar, una situación que se modela por una ecuación con dos incógnitas no
tiene necesariamente infinitas soluciones, pues se debe comprobar la pertinencia de las
soluciones encontradas.”
Un _________________________es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas. Una ___________ al sistema corresponde a un valor para cada incógnita, de modo que al remplazarlas en las ecuaciones se satisface la igualdad.
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Actividad: “Observando soluciones en el plano cartesiano”
Orientaciones Metodológicas
Conceptos clave: Ecuación lineal, sistemas de ecuaciones lineales, ecuación de la recta,
puntos que representan la recta en el plano cartesiano, grafica en el plano cartesiano,
resolver sistemas de ecuaciones lineales de dos incógnitas, intersección de rectas.
Descripción del recurso que utilizara: El recurso que se utilizará es el material del
estudiante, el cual consiste en una guía que se desarrollará de manera individual, además
del software grafico GeoGebra que permite conectar representaciones geométricas,
algebraicas y numéricas.
Fundamentación de la actividad
La actividad “Observando soluciones en el plano cartesiano” pretende que los estudiantes
relacionen lo aprendido de sistemas de ecuaciones lineales y graficas en el plano
cartesiano. Ésta actividad se sitúa según los Planes y Programas propuestos por el
Ministerio de Educación en el Nivel de 2º Año de Enseñanza Media, en el eje de Álgebra,
teniendo en cuenta el Objetivo Fundamental: “Modelar situaciones o fenómenos cuyos
modelos resultantes sean sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.” y el
Contenido Mínimo Obligatorio: “Resolución de problemas asociados a sistemas de
ecuaciones lineales con dos incógnitas, en contextos variados; representación en el plano
cartesiano usando un software gráfico y discusión de la existencia y pertinencia de las
soluciones”Teniendo como resguardo los Mapas de Progreso del Aprendizaje
correspondiente al Nivel 5, Utiliza un software para determinar si un sistema de dos
ecuaciones lineales con dos incógnitas tiene una, infinitas o no tiene solución.”, y el
Aprendizaje Esperado: “Resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas,
grafica y algebraicamente”
A partir de lo anterior se desprende el Objetivo de la clase como: “Relacionar la
intersección de rectas en el plano cartesiano con la solución de los sistemas de ecuaciones
lineales de dos incógnitas”.
Para ello, es necesario utilizar la gráfica de las dos rectas que componen el sistema
de ecuación, ya que de esta manera el estudiante puede conjeturar que la solución de
dicho sistema se representa geométricamente con la intersección de la recta y usando
esto analizar la existencia de soluciones.
Para un correcto desarrollo de la actividad, es necesario que los estudiantes dominen
aprendizajes anteriores tales como la representación gráfica de las rectas, y la resolución
de sistemas de ecuaciones lineales de dos incógnitas. Ya que el objetivo principal de la
actividad es que los estudiantes relacionen la solución de los sistemas mediante la
intersección de las rectas, y así analizar de forma gráfica de las distintas soluciones.
Fernanda Espinoza C Marjorie Lagos J Página 44 Algebra Segundo Medio
Por ende esta actividad deberá ser llevada a cabo después de haber trabajado
anteriormente con desarrollo de sistemas de ecuaciones lineales, que corresponde a la
misma unidad, y también que se haya abordado la gráfica de funciones lineales.
El alumno, después de la actividad, estará preparado para representar los sistemas
de ecuaciones lineales en el plano cartesiano y analizar mediante esto sus soluciones.
Descripción en términos metodológicos para los momentos de la clase
Para comenzar la actividad el docente debe realizar recolección de aprendizajes previos,
rescatando así los diversos contenidos a utilizar en la actividad, mediante el recurso lluvia
de ideas y a apoyado por el recurso visual Power point donde el profesor deberá ayudar al
alumno a recordar y fortalecer los conocimientos de las clases anteriores, los cuales son
necesario para el correcto desarrollo de la actividad.
“Observando soluciones en el plano cartesiano “se divide en tres secciones:
“Representemos las rectas en el plano cartesiano y relación con sistemas de ecuaciones”,”
¿Dónde se encuentran las soluciones?”, y Reforcemos lo aprendido”, de acuerdo a los tres
momentos de la clase.
En la sección Representemos las rectas en el plano cartesiano y relación con sistemas de
ecuaciones esta sección es el inicio, donde se le presenta en primera instancia dos
ecuaciones lineales con dos incógnitas, las cuales se representan de manera grafica y
puedan observar que su solución es la intersección de las rectas, pudiendo obtener
conclusiones sobre ello. Esta actividad pretende que los estudiantes conjeturen la relación
que existe entre la forma gráfica y la algebraica de los sistemas de ecuaciones. El docente
debe tener en cuenta que no todos los estudiantes dominan el contenido visto, es por ello
que para asegurase de terminar con éxito esta sección debe procurar que los estudiantes
recuerden resolver sistemas de ecuaciones. Además se le recomienda al docente tener
mucha rigurosidad a la hora de prestarle atención a la manera que los alumnos grafiquen
las rectas, pues suele suceder que no recuerdan como graficarlas y conllevaría al fracaso
de la actividad. Al responder la pregunta es necesario recordar además de que las
ecuaciones lineales de primer grado de dos incógnitas representan rectas , necesario que
el docente ratifique que todos los alumnos grafiquen las mismas rectas, además que este
de el tiempo necesario para que los estudiantes desarrollen la sección, pudiendo así
apoyar cualquier tipo de duda que le surja al alumno, un error frecuente que comenten
los estudiante es dibujar mal las rectas debido a que no usan los instrumentos adecuados,
es por esta razón que se recomienda que el docente exija orden y que lo hagan de forma
Fernanda Espinoza C Marjorie Lagos J Página 45 Algebra Segundo Medio
ordenada o que el profesor tenga una diapositiva con las gráficas desarrolladas y listas
para continuar con la actividad, ya que de esta manera identifiquen correctamente el
punto de intersección, teniendo en cuenta que el estudiante puede observar otros
elementos diferente al objetivo.
En momentos sucede que el estudiante no esté seguro de lo que está descubriendo, para
ello se le sugiere al docente poder realizar otro ejemplo para así este pueda comprobar
que es correcto lo que acaba de construir.
En la sección ¿Dónde se encuentran las soluciones?, en esta parte de la actividad se le
presentan tres situaciones al estudiante donde cada una de ella representa a los tipos de
soluciones de un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas que son solución
única, no existe solución y soluciones infinitas.
Además durante esta sección es estudiantes es apoyado a través del software grafico
GeoGebra.
Durante la sección se recomienda que los alumnos grafiquen las rectas de manera ordena
ósea representar un sistema a vez y sepan manipular de manera correcta el procesador
geométrico. A continuación se propone discutir en grupo las diversas preguntas
presentada, con el objetivo que estos puedan darse cuenta de las diversas situaciones en
la resolución de sistemas de ecuaciones con dos incognitas.se le recomienda al docente a
ser énfasis en las discusión de las preguntas, pudiendo establecer las tres situaciones sin
que quede ninguna sin conclusión en forma particular la tercera situación que
corresponde al sistema que posee solución única.
Al responder las preguntas el docente debe insistir en que se enfaticen la relación que
existen entre la forma gráfica y algebraica de las soluciones y de cómo reconocer cuando
los sistemas tiene o no tiene solución y cuantas.
Para finalizar en la sección Reforcemos lo aprendido se le resume al estudiante cual fue
el propósito de la guía. Además de poder acentuar los aprendizajes para asegúranos que
todos los estudiantes formalicen de la misma manera.
Se les presentas las tres soluciones donde ellos mediante la estrategia “complete la
oración” puedan formalizar el objetivo de la guía, logrando así que el estudiante relacione
la solucione de los sistemas de ecuaciones con dos incógnitas de manera grafica.
Se le recomienda al docente seleccionar estudiantes al azar, de preferencias los que
estuvieron más desatentos durante el desarrollo de la guía, para asegurarse que todos
aprendieron y si se suscitan errores deben utilizarlos de manera de corregir el error para
así reforzar el conocimiento.
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Material del Estudiante N°4
Actividad: “Observando soluciones en el plano cartesiano”
Nombre:___________________________________________ Fecha:________ Conceptos claves: ecuación lineal, sistemas de ecuaciones lineales, ecuación de la recta, puntos que representan la recta en el plano cartesiano, grafica en el plano cartesiano, resolver sistemas de ecuaciones lineales de dos incógnitas, intersección de rectas. Recurso: Presentación en Power Point. Objetivo: Relacionar la intersección de rectas en el plano cartesiano con la solución de los sistemas de ecuaciones lineales de dos incógnitas. “Representemos las rectas en el plano cartesiano y relación con sistemas de ecuaciones” Sabemos que las ecuaciones lineales y , pueden ser representadas por separados en el plano cartesiano, te invitamos a descubrir que es lo que representan.
1. Completa la tabla con sus respectivos datos y luego lleva los resultados a los gráficos.
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0
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De lo anterior responde: ¿Qué es lo que representan en el plano cartesiano?
2. Ahora toma las dos rectas anteriores y grafícalas en un solo plano cartesiano, responde las siguientes preguntas.
Tenemos las rectas:
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Ayudándote por la grafica:
3. ¿Se intersectan las rectas? ¿Cuál es el punto donde intersección de las rectas?
4. ¿Si resolvemos el sistema de ecuaciones lineales de dos incógnitas, cual es la solución?
5. ¿Qué relación podemos establecer, con la intersección de rectas y la solución de los sistemas de ecuaciones de esas dos rectas?
Fernanda Espinoza C Marjorie Lagos J Página 49 Algebra Segundo Medio
¿Dónde se encuentran las soluciones? Ahora, usando el recurso digital, podrás observar y comparar distintos tipos de sistemas de ecuaciones lineales según el tipo de solución que posean.
1. Usa GeoGebra para graficar los sistemas de ecuaciones lineales:
Situación N°1 Situación N° 2 Situación N°3
2. Discute junto con tus compañeros/as las siguientes preguntas.
¿Qué ocurre con la gráfica del primer sistema?, ¿por qué GeoGebra traduce la ecuación 3x -9y = 15 como x -3 y = 5?, ¿qué valores de x e y satisfacen ambas ecuaciones?
¿Qué diferencia hay entre la gráfica del primer sistema y la del segundo?, ¿qué valores de x e y satisfacen el segundo sistema de ecuaciones?
¿Qué sucede con la solución del tercer sistema?
3. ¿Qué puedes concluir con respecto a las soluciones de estos tres sistemas de ecuaciones?
Fernanda Espinoza C Marjorie Lagos J Página 50 Algebra Segundo Medio
Reforcemos lo aprendido Las actividades que realizaste en esta guía tuvieron como propósito que usaras el computador para graficar y resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante el método gráfico En estos momentos sabemos que los sistemas de ecuaciones lineales de dos incógnitas representan por separado una recta en el plano cartesiano. Es posible entonces graficar y conectar lo algebraico con lo geométrico. Ahora responde:
1. Al resolver un sistema de ecuaciones lineales se pueden encontrar distintos escenarios. ¿Cuáles son los casos posibles con respecto a la solución del sistema?, ¿qué significa cada uno de ellos?
Se cortan en un punto se dice que tiene solución ________.
Que no se corten, ósea son rectas paralelas, se dice que tiene solución _______.
Ambos coincidan, la misma recta, se dice que tiene ________ soluciones.
Los sistemas de ecuaciones lineales de dos incógnitas, pueden representarse en el plano cartesiano, cuya solución geométricamente es el punto de __________ de ambas rectas.
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Actividad: “Jugando a analizar la función Exponencial”
Orientaciones Metodológicas
Conceptos clave: Función exponencial, función creciente, función decreciente,, plano
cartesiano, gráfica de una función.
Descripción del recurso que utilizara: El recurso que se utilizará es el material del
estudiante, el cual consiste en una guía que se desarrollará de manera individual , además
del recurso “Graficador NLVM” que consiste es un manipulativo virtual que permite
graficar diferentes funciones, variar coeficientes, la escala y rastrear la curva.
Fundamentación de la actividad:
La actividad “jugando a analizar la función exponencial” pretende que los estudiantes
adquieran estrategias para realizar el estudio analítico de la gráfica de la función
exponencial. Ésta actividad se sitúa según los Planes y Programas propuestos por el
Ministerio de Educación en el Nivel de 2º Año de Enseñanza Media, en el eje de Álgebra,
teniendo en cuenta el Objetivo Fundamental: “Utilizar las funciones exponencial,
logarítmica y raíz cuadrada como modelos de situaciones o fenómenos en contextos
significativos y representarlas gráficamente en forma manual o usando herramientas
tecnológicas.” y el Contenido Mínimo Obligatorio: “Uso de un software gráfico en la
interpretación de funciones exponenciales, logarítmicas y raíz cuadrada; análisis de las
situaciones que modela y estudio de las variaciones que se producen por la modificación
de sus parámetros.”Teniendo como resguardo los Mapas de Progreso del Aprendizaje
correspondiente al Nivel 5, “Reconoce el tipo de situaciones que modelan las funciones
exponencial, logarítmica y raíz cuadrada, y las representa a través de tablas, gráficos y
algebraicamente”, y el Aprendizaje Esperado: “Analizar gráficamente la función
exponencial, en forma manual y con herramientas tecnol gicas.”
A partir de lo anterior se desprende el Objetivo de la clase como: “Lograrán
analizar la situaciones que modelan la funci n exponencial”
Para el desarrollo de esta actividad es importante que el estudiante posea ciertas
conductas de entradas que le permitan comprender el nuevo concepto estas
corresponden, al concepto de potencia, contenidos que se relacionan de forma directa
con la función exponencial y que facilitan el análisis e interpretación de la misma. Además
para obtener un buen desarrollo de la clase los estudiantes deben ser capaces de
reconocer un plano cartesiano, la gráfica de la función. Esto es porque deberán saber
cómo graficar una función, que independiente de la función que sea, podrán obtener un
trazo que deberán interpretar más adelante (esto por medio de una tabla de valores que
realizarán en el comienzo de la clase).
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Al finalizar esta la actividad “juguemos a analizar la función exponencial” los estudiantes
deberán ser capaces de analizar las situaciones que modelan la función exponencial.
Descripción en términos metodológicos para los momentos de la clase
“juguemos a analizar la función exponencial” se divide en tres secciones: “Juguemos”, “la
función exponencial aplicada” y “Síntesis”, de acuerdo a los tres momentos de la clase.
En la sección “Juguemos”: En la sección es el inicio de la actividad, donde se realizan
preguntas previas a los estudiantes buscando introducir el concepto de función
exponencial, mediante la tabla de datos donde se le pide dar valores a cada función y
luego graficarlas pudiendo responder a cada preguntas, en segunda instancia se les
cambia la base de la potencia y se les pide que realicen lo mismo realizando
anteriormente, con el objetivo de introducir al alumno al concepto. Es por ello que se le
sugiere al docente realizar énfasis en que los alumnos desarrollen de manera correcta el
cálculo de las potencias, para ello del docente debe preguntar si recuerdan bien como
realizar, pudiendo así lograr que los alumnos interactúen entre ellos para así poder
desprender ideas que se les vaya ocurriendo. Se les recomienda que el docente aborde las
dudas de las preguntas posteriores, donde deben evaluar la función en el valor “0”,
dejando que los alumnos concluyan para luego formalizar lo que ocurre, sobre todo
cuando comiencen a graficar. Una vez más, el profesor esperará las conclusiones de los
estudiantes con respecto a si la gráfica de la función es creciente o decreciente. Debe
acogerse las mismas recomendaciones con las funciones exponenciales que han variado
su base.
Luego en la sección “la función exponencial aplicada”, se desarrolla la actividad, donde se
les plantea una problemática, la que pretende analizar situaciones que modela la función
exponencial, se realizan preguntas donde se pretende que alumno analice y responda con
respecto a lo pedido. Se recomienda que el docente realice una lectura pausada de la
actividad principal para esta clase. Este paso es fundamental, el profesor debe entregar
claridad, ya que los alumnos tendrán esta aplicación por primera vez, dado que la función
logarítmica será en un contexto cotidiano. Una vez que empiecen con el cálculo, se le
recomienda al docente que les haga ver a sus alumnos que pasa a media que los meses de
campaña aumentan con respecto a la cantidad de viviendas que se venden., con ello se
recomienda guiarlos a construir el grafico pudiendo apoyar en la actividad de la primera
sección y, mediante una pregunta clave, pedirles que entreguen ideas de la directa
comparación de los datos en el gráfico, esto con el fin de que comprendan la función en su
totalidad, como así determinen que va creciendo a cada valor asignado.
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Para finalizar en la sección “Síntesis”, se pretende que el estudiante junto con el profesor
mediante la estrategia lluvia de ideas puedan concluir sobre características de la función
exponencial y cuál es su dominio y recorrido, para así el docente realizar un resumen de
lo aprendido, esto es a modo de reforzamiento para los que adquirieron el conocimiento y
ayudar a los que no fueron capaces de hacerlo, ya sea por desconcentración u otro
motivo. Se le recomienda al docente orientar a sus estudiantes en la optima utilización del
software, para que este esa significativo en términos de poder obtener conocimiento, una
vez obtenida la grafica, este debe orientar a los alumnos en las conclusiones, esto es por
podrían haber confusiones con el programa. Para esto el mismo docente es quién les hará
visualizar el objetivo principal, el cual es haber modelado la función exponencial.
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Material del estudiante N°5
Actividad: Jugando a analizar la función exponencial
Nombre:_________________________________________ Fecha:________
Conceptos claves: Grafica de una función, Recorrido, Dominio, Función creciente, Función
decreciente, Función.
Recurso: Graficador NLVM
Objetivo: Lograrán analizar la situaciones que modelan la función exponencial.
Juguemos
1. Mediante la siguiente tabla de valores, grafica las funciones exponenciales.
x
-2
-1
0
1
2
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2. ¿Qué sucede al evaluar en ?
3. ¿Y en ?
4. ¿Estas funciones son crecientes o decrecientes?, ¿porqué?
Ahora desarrollen de la misma manera que en la actividad anterior las siguientes gráficas,
en caso que la base a, tome valores entre 0 < a < 1.
x
-2
-1
0
1
2
3
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1. ¿Qué sucede al evaluar en ?
2. ¿Y en ?
3. ¿Estas funciones son crecientes o decrecientes?, ¿Porqué?
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La función exponencial aplicada
Ya que hemos analizado las diferentes graficas correspondientes, veamos la situación
que modela la siguiente función exponencial:
En una empresa dedicada a vender viviendas decide colocar en marcha una campaña
publicitaria. La agencia proyecta que el número de viviendas que se venderán esta dado
por la siguiente expresión
En que x representa la cantidad de meses que transcurren una vez que empieza la
campaña.
1. Antes del comienzo de la campaña, ¿Cuántas viviendas se vendían?
2. ¿Cuántas se venden después de 5 meses? ¿7 meses? ¿9 meses?
3. ¿Cuál es el máximo que se espera vender?
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4. Con la ayuda del software “Graficador NLVM”, esboza la función
5. Escriba la función exponencial en la entrada.
6. Analice los puntos x=0 e y=0 y concluya como lo hizo en las actividades anteriores.
7. ¿Es creciente o decreciente?¿por que?
¿Sabías Que? La función exponencial se utiliza en el mundo de los negocios, en la biología y en las ciencias sociales, el estudio del crecimiento de las variables es de mucho interés, ya que permite por ejemplo, predecir valores de las monedas, número de bacterias o poblaciones en el futuro.
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Síntesis
Las actividades que realizaste en esta guía tuvieron como propósito que usaras el
computador para representar gráficamente distintas funciones exponenciales, analizar lo
que ocurre al variar sus parámetros en especial en la base y revisaras una aplicación en la
vida real. Ahora responde lo siguiente:
1. ¿Explica por qué en la función exponencial ( ) xf x a , “a” no puede ser un número
negativo?
2. ¿Cuál es el dominio y recorrido de una función exponencial?
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Actividad: ¿Qué pasará si cambiamos los parámetros?
Orientaciones Metodológicas
Conceptos clave: Función, dominio, recorrido, función raíz cuadrada, constante,
parámetro, grafica de una función.
Descripción del recurso que utilizara: El recurso que se utilizara para el desarrollo de esta
clase es el Graficador de funciones el cual es un recurso virtual que permite graficar
funciones, modificar sus coeficientes, cambiar la escala y rastrear la curva, en particular se
pueden estudiar las diferentes componentes de una gráfica. Este manipulativo permite,
variar la escala, acotar el dominio, incluir parámetros, rastrear la curva y graficar hasta
tres funciones en paralelo.
Fundamentación de la Actividad:
La actividad “¿Qué pasará si cambiamos los parámetros?” pretende que los
estudiantes interpreten cual es el comportamiento de la grafica de la función raíz
cuadrada, tanto de forma manual y con herramientas tecnológicas, identificando
características como el dominio, recorrido; y argumentar acerca de las variaciones que se
producen en la gráfica al modificar los parámetros de la función raíz cuadrada. Esta
actividad está situada según los Planes y Programas propuestos por el Ministerio de
Educación en el Nivel de 2º Año de Enseñanza Media, en el eje de Álgebra, teniendo en
cuenta el Objetivo Fundamental: “Utilizar las funciones exponencial, logarítmica y raíces
cuadrada como modelos de situaciones o fenómenos en contextos significativos y
representarlas gráficamente en forma manual o usando herramientas tecnol gicas” y el
Contenido Mínimo Obligatorio: “Uso de software gráfico en la interpretación de funciones
exponenciales, logarítmica y raíz cuadrada; análisis de las situaciones que modela y
estudio de las variaciones de sus parámetros”. Teniendo como resguardo los Mapas de
Progreso del Aprendizaje correspondiente al Nivel 5, donde los alumnos los alumnos
logran reconocer el tipo de situaciones que modelas las funciones lineal, afín, exponencial,
logarítmica y raíz cuadrada, y las representan a través de tablas, gráficos y
algebraicamente, y el Aprendizaje esperado: “Analizar gráficamente la funci n raíz
cuadrada, en forma manual y con herramientas tecnol gicas”.
De lo anterior se desprende el Objetivo de la clase como: “Relacionar las
variaciones en los parámetros de una función exponencial con la grafica de esta con ayuda
de un software grafico”.
Para poder desarrollar esta actividad es necesario que ésta se realice en el
laboratorio de computación que cuente con internet, ya que se trabajara en “Graficador
NLVM”. Esta herramienta es una calculadora grafica disponible en la web que no necesita
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ser descargada ni instalada en el sistema, sino que se puede utilizar mediante un
navegador, que permite graficar hasta tres funciones a la vez diferenciándolas.
Se recomienda usar este software por lo fácil de usar, pero también se puede utilizar otras
calculadoras graficas disponibles en la web o programas como GeoGebra.
Además de contar con una herramienta tecnológica, para enfrentar con éxito la
actividad, los estudiantes deben manejar los conceptos tratados en la unidad en las clases
anteriores. Los alumnos deben reconocer una función raíz cuadrada, establecer el dominio
y recorrido de una función.
Al finalizar la actividad “¿Qué pasará si cambiamos los parámetros?” los
estudiantes estarán en condiciones de identificar la grafica de la función raíz cuadrada al
modificar sus parámetros además de que a partir de la grafica puedan identificar cual es la
función (en términos algebraicos) que les corresponde.
Descripción en términos metodológicos para los momentos de la clase
La actividad “¿Qué pasará si cambiamos los parámetros?” se divide en tres secciones:
“Preguntas previas”, “Estudiando la gráfica de la función raíz cuadrada con el
computador” y “En búsqueda de algunas generalidades”, de acuerdo a los tres momentos
de la clase.
Durante Preguntas previas
Esta sección corresponde al inicio de la clase, donde los estudiantes realizarán un
pequeño repaso de lo que trabajaron en las clases anteriores para esto se les presenta
una serie de preguntas que ellos deben responder.
Una vez presentada la actividad, se sugiere pasar rápidamente por las palabras
claves. En esta sección se sugiere NO entrar en demasiados detalles con la gráfica de la
función raíz cuadrada, sus coeficientes, dominio y recorrido, ya que estos temas se
trabajan en el desarrollo y se formalizan en la síntesis.
El propósito de esta sección es que los estudiantes recuerden las condiciones
necesarias para que la función raíz cuadrada exista analizando el dominio y el recorrido
de esta.
En esta sección se incorpora la estrategia centrada en el alumno, estos
desarrollaran la guía en forma individual pero sus respuestas las comparten con el curso
con el apoyo del docente ya sea de forma individual o en la pizarra aclarando dudas, es
por esto que también se considera la estrategia centrada en el formador mediante
estrategia expositiva.
Durante Estudiando la gráfica de la función raíz cuadrada con el computador
Esta sección corresponde al desarrollo de la clase, aquí los estudiantes se
encontraran con la presentación de recurso digital se sugiere proyectarlo y dar unos
minutos para que los estudiantes lo exploren. El profesor puede mostrar algunos ejemplos
Fernanda Espinoza C Marjorie Lagos J Página 62 Algebra Segundo Medio
de gráficas de funciones usando el recurso digital, en esta oportunidad puede aprovechar
de partir con algo que los estudiantes ya conocen, por ejemplo, con algunas gráficas de
funciones lineales que den un sentido al recurso.
Esta sección permite flexibilidad de trabajo, por lo que se sugiere al profesor dar la
oportunidad de que se realice tanto trabajo individual con el recurso digital como de
puesta en común a la hora de plantear las conjeturas.
El trabajo consiste en poner a prueba el estudio hecho hasta aquí, realizando
pequeñas variaciones en la función inicial, para así ampliar el estudio de las gráficas y
poner a prueba el sentido que tiene estos cambios según el contexto dado.
Si con los ejercicios planteados en la guía los estudiantes aun no logran identificar
las variaciones que se produce en la grafica al modificar los parámetros de la función, será
preciso que el profesor les de una serie de ejercicios en pizarra para que los alumnos los
desarrollen en la pizarra.
La estrategia utilizada es para adquirir o desarrollar procedimientos o habilidades
cognitivas, como lo son las estrategias de aprendizaje donde se adquiere y codifica la
información.
Durante En búsqueda de algunas generalidades
El objetivo de esta sección es que se formalicen los conceptos y procedimientos
trabajados en la actividad, cabe destacar que el objetivo de esta actividad es que los
estudiantes sean capaces de relacionar la gráfica de la función raíz cuadrada con sus
coeficientes, estudiar su comportamiento, interpretar los resultados obtenidos según el
contexto y determinar el dominio y recorrido.
Es recomendable, dar unos minutos para que los estudiantes discutan acerca del
dominio y recorrido de la función escrita en forma general, para relacionarlo con la
sección “Preguntas previas”, aquí es fundamental que el profesor cuestione a los
estudiantes, respecto al dominio y recorrido de la función raíz cuadrada. Se sugiere al
docente que enfatice la discusión para responder cuando la función esta definida y
cuando no lo está.
Para finalizar se sugiere al docente una vez formalizado el trabajo de la actividad, y
si lo considera necesario volver a validar las preguntas.
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Material del estudiante N°6 Actividad: ¿Qué pasará si cambiamos los parámetros?
Nombre:_________________________________________ Fecha:________
Conceptos claves: Función, dominio, recorrido, función raíz cuadrada, constante,
parámetro, grafica de una función.
Recurso: Graficador NLVM
Preguntas previas: recordemos lo que hemos aprendido
1. ¿Qué condiciones deben cumplir para que exista?
2. ¿Cuál era la grafica de la función raíz cuadrada?
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3. ¿Cuál es dominio y recorrido de dicha función?
Estudiando la gráfica de la función raíz cuadrada con el computador
En el siguiente apartado podrás ver la representación gráfica de una función raíz
cuadrada, variar sus coeficientes, cambiar la escala y rastrear la curva.
Con el recurso digital grafica la función
y registra la grafica en el siguiente
cuadro, en la opción “Ventana” establece , para visualizar mejor la gráfica.
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1. ¿Se modifico en algo la grafica de la función? ¿que crees que afecto en la grafica?
Ahora en el recurso digital grafica simultáneamente , +1
2. ¿Qué sucede con la gráfica de las funciones?
3. ¿Qué sucede con la gráfica de con respecto a ?
4. ¿Y con +1 con respecto a ?
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En búsqueda de algunas generalidades
Como puedes notar pequeñas variaciones en los coeficientes que acompañan a las “x” de
una función raíz cuadrada, producen cambios notorios en la gráfica de ésta. En esta
sección estudiarás algunas generalidades que es posible encontrar al variar los
coeficientes.
Para esto debes reiniciar el recurso digital e ingresa que
corresponde a la forma general de una función raíz cuadrada.
1. Pincha en la pestaña “Parámetros”
y usa la barra deslizante para variar los
valores de a, b y c. Describe con tus
palabras qué puedes observar.
2. Reúnete junto a dos compañeros/as más y conjeturen acerca de qué sucede al
variar cada uno de los parámetros. Ocupa el espacio destinado para responder.
Al variar el parámetro a:
Al variar el parámetro b:
Al variar el parámetro c:
Fernanda Espinoza C Marjorie Lagos J Página 67 Algebra Segundo Medio
En esta guía estudiaste la representación gráfica y analítica de la función raíz cuadrada,
con la ayuda del recurso digital Graficador de funciones.
Junto a tu profesor/a, define formalmente cuál es el dominio y recorrido de la
función
En forma general : ¿existe alguna restricción para las
constantes a, b y c? ¿Siempre pueden tomar cualquier valor estos parámetros?
Fernanda Espinoza C Marjorie Lagos J Página 68 Algebra Segundo Medio
Conclusión
Al comenzar a realizar este trabajo cuyo objetivo es dejar en evidencia la totalidad de las
competencias asociadas al curso. Se espera que los estudiantes muestren autonomía la
preparación de diseños de clases a partir del necesario análisis didáctico y definición de
actividades claves asociadas, lo anterior, enriquecido con las diversas estrategias de
enseñanza y de integración de tecnologías de la información y comunicación.
Al realizar el análisis didáctico debimos tomar decisiones de como secuenciar los
contenidos del eje de algebra de 2° medio, estas decisiones fueron tomadas en base a los
conocimientos previos y habilidades que deben poseer los estudiantes en este nivel. Una
habilidad general en este eje fue otro de los conflictos con los que nos encontramos en
esta etapa del trabaja ya que a primeras no sabíamos como generar un procedimiento que
contuviera expresiones algebraicas fraccionarias, sistemas de ecuaciones lineales y
además las funciones logarítmica, exponencial y raíz cuadrada; pero con la ayuda de los
mapas de progresos establecimos que nuestra habilidad general sería: “Reconoce el tipo
de situaciones que modelan las funciones exponencial, logarítmica y raíz cuadrada.
Transforma expresiones algebraicas de forma fraccionaria haciendo uso de convenciones
del álgebra. Resuelve sistemas de ecuaciones lineales en forma algebraica y gráfica.
Resuelve problemas que involucran sistemas de ecuaciones lineales y justifica la
pertinencia del modelo aplicado y de las soluciones obtenidas”. Teniendo establecido
nuestro procedimiento general para el eje y teniendo en consideración con las habilidades
se debió desprender de este procedimiento habilidades específicas para las cuales se
diseñaron actividades claves donde se pretende que los estudiantes desarrollen estas
habilidades. Al momento de diseñar estas actividades es importante como lo vimos
durante el desarrollo de la asignatura, ser capaces de definir orientaciones metodológicas
para que cualquier docente de matemáticas que utilice este material sepa que se
pretende desarrollar con la actividad, que hacer si sucede b en vez que suceda a y que
estrategias de aprendizaje se pueden utilizar al momento de aplicar esta actividad.
A través de este trabajo hemos podido construir una serie de clases que
contemplan todas las perspectivas presentes en el proceso de enseñanza-aprendizaje que
se lleva a cabo en la sala de clases.
El ideal de este trabajo es que sirva como material de apoyo a otros docentes
cuando busquen el mismo objetivo que nosotros queremos, el cual es desarrollar de
manera óptima una clase matemática.
Fernanda Espinoza C Marjorie Lagos J Página 69 Algebra Segundo Medio
Bibliografía Brousseau, G. (1977). Etude locale des processus d’acquisition en situation scolaire.
Brousseau, G. Investigaciones en Educación Matemática.
Guzmán, I. (1998). Registros de Representación, el aprendizaje de nociones relativas a funciones. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa .
Ministerio de Educación, (2009). Objetivos Fundamentales y Contenidos Minimos Obligatorios de la Eduación Básica y Media. Santiago.
Ministerio de Educación, (2011). Programa de Estudio Segundo Año Medio. Matemática. Santiago.
Zañartu, Mario-Darrigrandi, Florencia- Ramos, Mauricio, (2010). Texto para el estudiante de Matemática de 2º Año de Enseñanza Media. Santiago: Santillana.
Henostroza, José Luis, (1997). Los errores en el aprendizaje de la matemática. Lima
Blog de Formación inical docente. Estrategias metodológicas para la enseñanza de
la matemática.
Profes. net. Errores comunes en álgebra.
Fernanda Espinoza C Marjorie Lagos J Página 70 Algebra Segundo Medio
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