Exemplo 8.5: Suponha um experimento para
o qual ha sete fatores a serem investigados.
O interesse esta na estimacao dos efeitos
principais destes 7 fatores e ter alguma in-
formacao sobre interacoes de ordem 2. As-
sume-se que todos os efeitos de interacao de
ordem 3 ou maior sao desprezıveis. Esta in-
formacao sugere um plano de resolucao IV.
Consultando a tabela 8.14 tem-se dois planos
candidatos de resolucao IV:
um 27−3 com N = 16 ou
um 27−2 com N = 32.
A seguir apresentamos as estruturas de asso-
ciacao entre efeitos correspondentes aos dois
planos acima, retiradas da tabela X do Apendi-
ce.
2
A estrutura de associacao entre efeitos no pla-
no 27−3 e tal que todos os efeitos principais
estao associados com efeitos de ordem 3. Os
efeitos de interacao de ordem 2 estao associ-
ados em grupos de tres. Portanto, este plano
satisfara nossos objetivos: permitira a estima-
cao dos efeitos principais, e fornecera alguma
informacao sobre efeitos de interacao de ordem
2.
Nao e necessario escolher o plano 27−2, que
requer N = 32 observacoes. Na tabela cor-
respondente a estrutura de associacao deste
plano, verifica-se que e possıvel estimar os efei-
tos principais e que 15 dos 21 efeitos de in-
teracao de ordem 2 poderiam ser estimados.
(Lembre que estamos assumindo que efeitos
de ordem 3 ou maior sao desprezıveis.) Isto
provavelmente e mais informacao sobre intera-
coes do que e necessario neste problema.
4
O plano completo 27−3IV e mostrado na figura
a seguir.
Observe que ele foi construıdo comecando com
um 24, N = 16 em A, B, C e D como plano
basico e entao adicionando-se tres colunas E =
ABC, F = BCD e G = ACD.
Os geradores sao I = ABCE, I = BCDF e
I = ACDG.
A relacao de definicao completa e
I = ABCE = BCDF = ACDG = ADEF =
BDEG = CEFG = ABFG.
5
8.4.2 Analise dos fatoriais Fracionarios 2k−p
A analise e feita da mesma forma que os planos
2p com pelo menos uma replicacao completa,
exceto que agora somente calculam-se os con-
trastes dos efeitos estimaveis para construir a
tabela ANOVA.
Efeitoi = ContrasteiN/2
SQi = (Contrastei)2
N
N = 2k−p
Existem 2k−p − 1 efeitos estimaveis.
Pacotes estatısticos.
7
Projecao do fatorial fracionario 2k−p.
O plano 2k−p desdobra-se tanto em um fatorial
completo, como em um fatorial fracionario em
qualquer subconjunto de r ≤ k−p fatores origi-
nais. Os subconjuntos de fatores que fornecem
fatoriais fracionarios nao formam palavras da
relacao de definicao completa do plano.
Isto pode ser util em experimentos de selecao,
quando desconfiamos que a maior parte dos
fatores originais apresentarao efeitos pequenos
sobre a resposta. O fatorial fracionario original
2k−p podera entao ser projetado em um fatorial
completo, por exemplo, na maioria dos fatores
de interesse. Conclusoes obtidas em planos
destes tipos devem ser consideradas experi-
mentais e estao sujeitas a analises adicionais.
Em geral, e possıvel encontrar explicacoes al-
ternativas dos dados envolvendo interacoes de
maior ordem.8
Como um exemplo, considere o plano 27−3IV do
exemplo 8.5. Este e um plano com N = 16
e k = 7. Ele sera projetado em um fatorial
completo em quaisquer subconjuntos de 4 dos
7 fatores originais que nao formam palavras da
relacao de definicao. Existem 35 combinacoes
possıveis, 7 das quais formam palavras da rela-
cao de definicao. Logo, temos 28 escolhas
possıveis. Uma escolha obvia e A, B, C e D.
Para ilustrar a utilidade desta propriedade de
projecao, suponha que estejamos conduzindo
um experimento para melhorar a eficiencia de
um moinho e os sete fatores de interesse sao
velocidade do motor, ganho, taxa de alimen-
tacao, tamanho da alimentacao, tipo de ma-
terial, angulo da tela e nıvel de vibracao da
tela.
9
Estamos quase certos de que a velocidade do
motor, taxa e tamanho de alimentacao e tipo
de material afetarao significativamente a efi-
ciencia e que estes fatores podem interagir.
Os demais fatores sao menos conhecidos, mas
sao, provavelmente desprezıveis.
Uma estrategia razoavel e designar os fatores
importantes as 4 primeiras colunas na tabela
8.15. Os demais ficariam nas colunas restantes.
Se estamos corretos, seremos levados a um
fatorial completo 24 nas variaveis chaves do
processo.
10
8.4.3 Blocagem em Fatoriais Fracionarios
Ha situacoes nas quais o plano fatorial fra-
cionario requer um numero grande de observa-
coes de tal modo que todas elas nao tem como
ser realizadas sob condicoes homogeneas. Nes-
tas situacoes, os fatoriais fracionarios podem
ser confundidos em blocos.
As tabelas X do Apendice do livro-texto contem
arranjos recomendados de blocos para a maior
parte dos fatoriais fracionarios apresentados na
tabela 8.14. O tamanho mınimo dos blocos
para estes planos e de 8 observacoes.
11
Considere o plano 26−2IV com relacao de defini-
cao dada por I = ABCE = BCDF = ADEF
mostrado na tabela 8.10.
Este plano contem 16 combinacoes de trata-
mento. Suponha que desejamos realizar o pla-
no em dois blocos de tamanho 8.
12
Na selecao de uma interacao para ser confun-
dida com blocos, observamos a partir da es-
trutura de associacao de efeitos deste plano
na tabela X(f) que existem dois conjuntos de
efeitos associados envolvendo somente efeitos
de interacao de ordem 3.
13
A tabela sugere a interacao ABD para ser con-
fundida com blocos. Os blocos resultantes sao
apresentados a seguir.
14
Observe que o bloco principal contem as com-
binacoes de tratamento que tem um numero
par de letras comuns com ABD, que tambem
sao as combinacoes de tratamento para as quais
L = x1 + x2 + x4 = 0(mod2).
Sugestao: Resolver o exemplo 8.6.
15
8.5 Estruturas de Associacao em Fatoriais Fra-cionarios e Outros Planos
Ha um metodo geral para encontrar as asso-ciacoes que funciona bem em diversas situa-coes. O metodo usa a representacao do mo-delo polinomial ou modelo de regressao, a sa-ber,
y = X1β1 + ε
em que y e o vetor de respostas n × 1, X1 euma matriz n×p1 contendo a matriz de plane-jamento expandida para formar o modelo que oexperimento esta ajustando, β1 e o vetor p1×1de parametros do modelo, e ε e o vetor n × 1de erros.
A estimativa de mınimos quadrados de β1 edada por
β1 = (XT1X1)−1XT
1 y
16
Suponha que o modelo verdadeiro seja
y = X1β1 +X2β2 + ε
com X2 uma matrix n× p2 contendo variaveis
adicionais que nao foram ajustadas no modelo
e β2 e um vetor p2×1 de parametros associados
com estas variaveis. Pode ser mostrado que
E[β1] = β1 + (XT1X1)−1XT
1X2β2 = β1 +Aβ2
A matriz A = (XT1X1)−1XT
1X2 e chamada ma-
triz de associacao (alias matrix). Os elementos
desta matriz operados sobre β2 identificam as
relacoes de associacao para os parametros do
vetor β1.
17
Suponha que conduzimos um plano 23−1 com
relacao de definicao I = ABC. O modelo que
o experimentador planeja ajustar e o modelo
contendo apenas efeitos principais, a saber,
y = β0 + β1x1 + β2x2 + β3x3 + ε
Na notacao usada aqui, temos β1 =
β0β1β2β3
e
X1 =
1 −1 −1 11 1 −1 −11 −1 1 −11 1 1 1
.
Suponha que o modelo verdadeiro contenha
todas as interacoes de ordem 2, a saber,
y = β0 + β1x1 + β2x2 + β3x3 + β12x1x2 + β13x1x3 + β23x2x3 + ε
.
18
Neste caso, β2 =
β12β13β23
e X2 =
1 −1 −1−1 −1 1
1 1 1
.
XT1X1 = diag{4,4,4,4, } = 4I4 e XT
1X2 =
0 0 00 0 40 4 04 0 0
.
Portanto, (XT1X1)−1 = 1
4I4 e
E[β1] = β1 +Aβ2 =
β0
β1 + β23β2 + β13β3 + β12
.
19
A interpretacao deste resultado, e que cada
efeito principal esta associado com uma in-
teracao de ordem 2 (nos outros dois fatores),
que nos ja sabemos que e o caso para este
plano.
Apesar deste exemplo ser muito simples, o me-
todo e bem geral e pode ser aplicado para
planos bem mais complexos.
20
8.6 Planos de Resolucao III
Planos de resolucao III sao muito uteis em
situacoes de selecao de fatores: existem muitos
fatores, mas somente poucos deles exercerao
efeitos significativos sobre a resposta.
E possıvel construir planos de resolucao III para
investigar ate k = N − 1 fatores com somente
N observacoes, em que N e um multiplo de 4.
Estes planos sao frequentemente uteis em ex-
perimentacao industrial. Planos para os quais
N e uma potencia de 2 podem ser construıdos
por metodos ja apresentados neste capıtulo.
De importancia particular sao os planos que re-
querem 4 observacoes para explicar 3 fatores,
8 observacoes para explicar 7 fatores, 16 ob-
servacoes para explicar 15 fatores. Se k =
N − 1, o plano fatorial fracionario e dito ser
saturado.
21
Um plano para analisar tres fatores em 4 ob-
servacoes e o plano 23−1III apresentado na secao
8.2.
Outro fatorial fracionario saturado e um plano
para estudar 7 fatores com 8 observacoes, a
saber, o plano 27−4III . Este plano e uma fracao
de um dezesseis-avos do plano 27. Ele pode
ser construıdo primeiro escrevendo-se o plano
basico com 3 fatores A, B e C e, entao asso-
ciando os nıveis de 4 fatores adicionais com as
interacoes dos tres fatores do plano basico, a
saber, D = AB, E = AC, F = BC e G = ABC.
Assim, os geradores para este plano sao I =
ABD, I = ACE, I = BCF e I = ABCG. O
plano e apresentado na tabela a seguir.
22
A relacao de definicao completa para este plano
e obtida multiplicando-se os quatro geradores
2 a 2, 3 a 3 e os 4, o que produzira:
I = ABD = ACE = BCF = ABCG = BCDE =
ACDF = CDG =
= ABEF = BEG = AFG = DEF = ADEG =
CEFG = BDFG = ABCDEFG
Para encontrar os associados de qualquer efeito,
simplesmente multiplique o efeito por cada pala-
vra na relacao de definicao.
Por exemplo, os associados de B sao
B = AD = ABCE = CF = ACG = CDE =
ABCDF = BCDG =
= AEF = EG = ABFG = BDEF = ABDEG =
BCEFG = DFG = ACDEFG
24
Este plano e uma fracao de um dezesseis-avos,
e dado que os sinais escolhidos dos geradores
sao positivos ele e a fracao principal. Ele tam-
bem e de resolucao III, pois a quantidade de le-
tras da menor palavra na relacao de definicao e
tres. Qualquer uma das 16 fracoes dos planos
27−4III nesta famılia poderia ser construıda usan-
do-se os geradores com um dos 16 arranjos
possıveis de sinais em I = ±ABD, I = ±ACE,
I = ±BCF e I = ±ABCG.
Os sete graus de liberdade neste plano podem
ser usados para estimar os sete efeitos princi-
pais. Cada um destes efeitos tem 15 associ-
ados; porem, se assumimos que interacoes de
ordem 3 ou maior sao desprezıveis, entao tere-
mos consideravel simplificacao na estrutura de
associacao deste plano.
25
Fazendo esta suposicao, teremos
[A]→ A+BD + CE + FG,
[B]→ B +AD + CF + EG,
[C]→ C +AE +BF +DG,
[D]→ D +AB + CG+ EF ,
[E]→ E +AC +BG+DF ,
[F ]→ F +BC +AG+DE,
[G]→ G+ CD +BE +AF .
26
O plano saturado 27−4III que acabamos de des-
crever, pode ser usado para obter planos de
resolucao III para estudar menos do que 7 fa-
tores em oito observacoes. Por exemplo, para
gerar um plano para seis fatores em 8 ob-
servacoes, simplesmente descarte uma coluna
da tabela 8.19, a coluna G por exemplo. Isto
produz a tabela a seguir, a partir da qual e facil
verificar que o plano tambem e de resolucao
III; de fato, ele e um 26−3III , ou uma fracao um
oitavo do plano 26.
A relacao de definicao e igual a relacao de
definicao original em que deletam-se quaisquer
palavras contendo a letra G. Assim, I = ABD =
ACE = BCF = BCDE = ACDF = ABEF =
DEF
27
Em geral, quando d fatores sao descartados
para produzir um novo plano, a nova relacao
de definicao e obtida a partir das palavras na
relacao de definicao original que nao contem
letras correspondentes aos fatores descartados.
Quando construımos planos por este metodo,
cuidado deve ser tomado para obter o melhor
arranjo possıvel.
Se descartamos as colunas B, D, F e G da
tabela 8.19, obtemos um plano a tres fatores
em oito observacoes e as combinacoes de trata-
mento correspondem a duas replicacoes de um
23−1. O experimentador poderia preferir rodar
um fatorial 23 completo em A, C e E.
29
Tambem e possıvel obter um plano de resolucao
III para estudar ate 15 fatores com N = 16.
Este plano saturado, 215−11III pode ser gerado
escrevendo-se primeiro o plano basico com 4
fatores e, depois, equacionando-se 11 novos
fatores em funcao dos 4 primeiros com in-
teracoes de ordem 2, 3 e 4.
Neste plano cada um dos 15 efeitos principais
esta associado com sete interacoes de ordem
2.
Um procedimento similar pode ser construıdo
para investigar 31 fatores com N = 32.
30
8.6.2 Duplicacao de Planos de Resolucao III
para Separar Efeitos Associados
Combinando-se planos fatoriais fracionarios nos
quais certos sinais estao trocados, pode-se iso-
lar simbolicamente efeitos de interesse poten-
cial.
Este tipo de experimento sequencial e chamado
“duplicacao” do plano original (fold over).
A estrutura de associacao para qualquer fracao
com os sinais para um ou mais fatores e obtida
trocando-se apropriadamente os sinais dos fa-
tores na estrutura de associacao da fracao ori-
ginal.
Considere o plano 27−4III da tabela 8.19.
31
Suponha que junto com esta fracao principal,
um segundo fatorial fracionario com os sinais
trocados na coluna do fator D seja tambem
realizado.
A coluna D para a segunda fracao e −+ + −−+ +−.
Os efeitos que podem ser estimados desta fracao
sao mostrados a seguir, assumindo que interacoes
de ordem 3 ou maior sao desprezıveis.
33
[A]′ → A−BD − CE + FG,
[B]′ → B −AD + CF + EG,
[C]′ → C +AE +BF −DG,
[D]′ → D −AB − CG− EF ,
[E]′ → E +AC +BG−DF ,
[F ]′ → F +BC +AG−DE,
[G]′ → G− CD +BE +AF .
34
8.7.1 Planos de Resolucao IV
Um plano fatorial fracionario 2k−p e de re-
solucao IV , se os efeitos principais estao
livres de efeitos de interacao de ordem 2 e
alguns efeitos de ordem 2 estao associados
entre si. Assim, se interacoes de ordem 3 ou
maior podem ser suprimidas, os efeitos princi-
pais podem ser diretamente estimados em um
plano 2k−pIV .
Qualquer plano 2k−pIV deve conter pelo menos
N = 2k. Planos de resolucao IV que contem
exatamente 2k observacoes sao chamados pla-
nos mınimos.
Planos de resolucao IV podem ser obtidos a
partir de planos de resolucao III usando o pro-
cesso de duplicacao
37
8.7.2 Planos de Resolucao V
Planos fatoriais fracionarios de resolucao V sao
planos nos quais os efeitos principais e as in-
teracoes de ordem 2 nao tem como efeitos
associados outros efeitos principais ou in-
teracoes de ordem 2. Consequentemente,
eles permitem uma estimacao unica de todos
os efeitos principais e de interacao de ordem
2, se as interacoes de ordem 3 ou maior sao
desprezıveis.
A menor palavra na relacao de definicao num
plano de resolucao V tem 5 letras. O plano
25−1 com I = ABCDE e, talvez, o plano de
resolucao V mais utilizado, permitindo num
problema a 5 fatores estimar os 5 efeitos prin-
cipais e as 10 interacoes de ordem 2 com N =
16.
38
8.8 Planos Supersaturados
Um plano saturado e um fatorial fracionario
com k = N − 1.
Em anos recentes, esforco consideravel tem
sido dado a planos com k > N − 1, chamados
planos supersaturados.
Satterthwaite (1959), Lin (1993,2000), Li e
Wu (1997), Holcomb e Carlyle (2002).
Exercıcios do Capıtulo 8.
39
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