1
PLANDE MEJORAMIENTO DE TRIGONOMETRIA PARA GRADO 10 2016
I. IDENTIFICACION DE FUNCIONES NOMBRE : ......................................................... CURSO :
Determinar la alternativa correcta en cada uno de los siguientes ejercicios y problemas que
se plantean, escribiendo el desarrollo respectivo y encerrando con un círculo la alternativa elegida.
1. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera respecto al gráfico de una función? a. La variable dependiente se representa en el eje X. b. La variable independiente se representa en el eje Y. c. Siempre es necesario unir los puntos que se ubican en el plano. d. El gráfico es una forma de representar una función. e. Todas las anteriores son verdaderas.
2. Cuál es el valor de la coordenada y, en 12)( xxf , si x toma el valor de 9?
a) 1 b) 9 c) 10 d) 18 e) 19
3. Según el gráfico, ¿Cuál es el dominio de la función? a. 3 b. -3 c. El conjunto de los enteros (Z). d. -3 a infinito ( ). e. El conjunto de los reales (R).
4. En relación a la función xy 5 , ¿qué se puede afirmar?
a) Pasa por el origen b) Cuando x = 0, y = 5
c) Su gráfica no es una recta
d) El dominio son los x > 5.
5. Dada la función 52 xy , se puede afirmar que la representación gráfica es una recta que
corta al eje Y en el punto. a) (0,-5) b) (0,2) c) (0,-2) d) (0,5)
6. El grafico de una función constante es: a) Una recta paralela
al eje X b) Una recta paralela
al eje Y c) Una recta que
pasa por el origen d) Una recta
creciente 7. ¿Qué tipo de función representa la gráfica?
a) Una función lineal. b) Una función afín c) Una función constante d) Una función identidad
8. ¿Cuál es la representación algebraica de la función de la gráfica?
2
a) y = 6 b) y = -6 c) x = -6 d) y = 6x
9. ¿Cuál es la representación algebraica de la función de la gráfica? a) y = 45x b) y= -45x c) y = -x d) y = x
Lee y luego responde las preguntas 10, 11 y 12.
Sea 5
5
1
3)(
x
x
six
sixxf
10. ¿Cuál es el valor de )5(f ?
a. -15 b. -5 c. -3 d. 5 e. 6
11. ¿Cuál es el valor de )2(f ?
a. -6 b. -3 c. -2 d. 3 e. 6
12. ¿Cuál es el valor de )5(f + )2(f ?
a. -16 b. -12 c. -11 d. -7 e. -1
13. ¿Cuál de las siguientes representaciones corresponde a la función 2)( xxf ?
a. b. c.
d. e.
14. Respecto a la pregunta anterior ¿Cuál es el dominio y recorrido de la función?
a. Dom. 4,3,2,1 , Rec. 8,6,4,1
3
b. Dom. 4,3,2,1 , Rec. 12,6,4,1
c. Dom. 4,3,2,1 , Rec. 12,9,8,1
d. Dom. 4,3,2,1 , Rec. 16,9,2,1
e. Dom. 4,3,2,1 , Rec. 16,9,4,1
15. ¿Cuál de las siguientes rectas tiene una pendiente positiva?
a) Solo I. b) Solo II c) II y III d) Solo IV e) IV y V
16. Respecto a la pregunta anterior, ¿Cuál de las rectas tiene una pendiente negativa? a) Solo I. b) Solo II c) II y III d) Solo IV e) IV y V
17. Representar a través de un gráfico cada una de las siguientes funciones:
a) 35 xy .
b) 23)( xxf
Luego determine en cada caso: a) La pendiente b) Intercepto con los ejes c) Dominio d) Recorrido
18. Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f−1 que cumple que: Si f(a) = b, entonces f−1(b) = a Como se obtiene la inversa? Despejando la variable x y luego se intercambian de puesto dichas variables. Ej Dada la función f(x) = 2x + 4 o y=2x+4
Al despejar x queda: 𝒙 =𝒚−𝟒
𝟐 y luego se intercambian las variables queda: 𝒚 =
𝒙−𝟒
𝟐
La función inversa de la función real f(x) = 3x + 5 o y=3x+5 es:
a) 3
)5()(1 x
xf b) 53)(1 xxf
c) 3
)5()(1 x
xf d) 53
)(1 xxf
19. Reconocer en los diagramas que se presentan a continuación, cuales representan una
función y cuáles no, justificando cada una de las respuestas:
4
20. Reconocer de las funciones del ejercicio anterior, ¿cuáles son funciones biyectivas?
II. SISTEMAS ANGULARES, MEDICION DE ANGULOS Y CONVERSIONES ENTRE SISTEMAS ANGULARES
Ejercicios
Los ángulos se pueden medir en grados sexagesimales y radianes. Un ángulo de 1 radián es aquel
cuyo arco tiene longitud igual al radio.
a) 360º = 2 radianes (una vuelta completa) b) Un ángulo recto mide
2
radianes (un cuarto
de vuelta) c) 180º = radianes (media vuelta)
d) Como 180º = rad, resulta que 1º = 180
rad
Un ángulo de 1 radian tiene
180 = 57,29578 grados = 57º 17’ 45”
Para transformar de una unidad a otra, usamos la regla de tres:
º
º180
y
rad
x
ejemplo: 40º a rad
º40
º180
y
rad y =
º180
º40 rad
18
4 rad
9
2 rad
Ejercicios:
Transformar el ángulo de grados a rad:
1) 15º 2) 35º 3) 80º 4) 150º 5) 200º
6) 90º 7) 60º 8) 45º 9) 30º
Transformar el ángulo de rad a grados:
5
1) rad5
2) rad
10
3) rad 3 4) rad
4
17
Aplicaciones de la medida en radianes
De la definición de la medida en radianes se deduce que la longitud de un arco circular de radio r y
ángulo igual a radianes es:
S = r · , S: arco circunferencia, r: radio y : ángulo en rad
Ya que conocemos el perímetro de una circunferencia de radio unitario ( 22 r ), entonces el
ángulo de una circunferencia completa, medido en radianes es 2 .
Ejemplo aplicación
6
Ahora tu
1) ¿Qué ángulo forman las agujas de un reloj a las cuatro y media en punto? Y a las 10:20 hrs.? 2) Halla el radio r de una rueda que gira 300 vueltas por minuto impulsada por una correa que se
mueve a 45 m/s. 3) La rueda de un vehículo tiene un diámetro de 90 cm. ¿Cuántas vueltas da aproximadamente
por minuto cuando viaja a 120 km/h?
1- Expresar en grados.
a) 53016’50’’ b) 170036’50’’ c) 28010’ d) 45036’ e) 276009’07’’ R/53,2805550
R/170,61388890
R/28,166666670
R/45,010
R/276,15194440
III. TEOREMA DE PITAGORAS Ejercicios de aplicación del Teorema de Pitágoras
1. En los triángulos siguientes hallar el perímetro y el área
2. Halla el área y el perímetro del triángulo equilátero, rombo y rectángulo siguientes:
7
3. Hallar el área y el perímetro de las siguientes figuras:
Soluciones: 1) 6cm2,12cm ; 54cm2,36cm ; 60m2,40cm ; 240dm2,75’24dm
2) 84’84cm2,42cm ; 384mm2,80mm ; 19’2cm2,18’4cm
3) 198mm2,130mm ; 8cm2,12cm
IV. ANGULOS ENTRE PARALELAS CORTADAS POR UNA TRANSVERSAL OBJETIVO FUNDAMENTAL:
Utilizar sistemáticamente razonamientos ordenados y comunicables para la resolución de problemas geométricos.
OBJETIVOS FUNDAMENTALES TRANSVERSALES:
Desarrollar el pensamiento reflexivo y metódico y el sentido de crítica y autocrítica. Promover el interés y la capacidad de conocer la realidad, utilizar el conocimiento y
seleccionar información relevante.
CLASIFICACION DE LOS ANGULOS: Dado un ángulo x se llamara
Agudos: 0º<x< 90º Rectos: x = 90º
Obtusos: 90º<x<180º
Extendidos: x = 180º
Completos: x = 360º
Ángulos congruentes: son los que tienen la misma medida, su signo es
Ángulos suplementarios: son pares de ángulos cuyas medidas suman 180º cada ángulo es el
suplemento del otro.
Ángulos complementarios : son pares de ángulos cuyas medidas suman 90º cada ángulo es
complemento del otro.
Ángulos en rectas secantes:
8
1) Ángulos adyacentes: son los que tiene un rayo y el vértice en común y sus interiores no se
intersectan. Los ángulos adyacentes en dos rectas secantes son suplementarios.
2) Ángulos opuestos por el vértice: no tienen rayo en común solo el vértice. Los ángulos
opuestos por el vértice en dos rectas secantes son congruentes.
Ángulos en rectas paralelas cortadas por una transversal: dos rectas paralelas forman una cinta
o banda y al ser cortadas por una transversal forman 8 ángulos. Si comparamos los ángulos de la R1
con los de la R2, reciben los siguientes nombres:
1) Ángulos correspondientes: están ubicados al mismo lado de la transversal, uno se encuentra en
el interior de la cinta y el otro en el exterior. Son congruentes
2) Ángulos alternos internos: están a distinto lado de la transversal y los dos se encuentran en el
interior de la cinta. Son congruentes
3) Ángulos alternos externos: están a distinto lado de la transversal y los dos se encuentran en el
exterior de la cinta. Son congruentes.
4) Ángulos contrarios o conjugados: están a distinto lados de la transversal, uno en el interior de la
cinta y el otro en el exterior. Son suplementarios.
5) Ángulos contrarios o conjugados: están a distinto lados de la transversal, uno en el interior de la
cinta y el otro en el exterior. Son suplementarios
6) Ángulos del mismo lado: están en el mismo lado transversal, los dos se encuentran el interior o
exterior de la cinta. Son suplementarios.
EVALUACION 1) Traza la bisectriz con el compás y mide los ángulos pedidos :
2) Calcula, sin medir, la medida de los siguientes ángulos :
9
3) Observa la figura y completa el cuadro, si R1 // R2 y S : secante
4) Calcula las medidas de los ángulos que faltan y justifica tu respuesta , en la figura anterior: m<a = 56º
m<b = ______ porque _________________________________________________
m<c = ______ porque _________________________________________________
m<d = ______ porque _________________________________________________
m<e = ______ porque _________________________________________________
m<f = ______ porque _________________________________________________
m<g = ______ porque _________________________________________________
m<h = ______ porque _________________________________________________
5) Calcula la medida de los ángulos que faltan :
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V. TIPOS DE TRIANGULOS Y PROPIEDADES DE LOS TRIANGULOS
EL TRIANGULO
Los triángulos son figuras geométricas formadas por tres lados. Existen diferentes clases de
triángulos y de ángulos.
TRIANGULOS SEGÚN SUS LADOS
1. EQUILATERO 2. ESCALENO 3. ISOSCELES
Tres lados iguales Tres lados desiguales Dos lados iguales
TRIANGULOS SEGÚN SUS ANGULOS
1. RECTANGULO 2.ACUTANGULO 3. OBTUSANGULO
11
Un ángulo recto 900 Tres ángulos agudos Un ángulo obtuso más de 900
En un triangulo existen dos líneas de gran importancia: la altura y la mediana, llamadas líneas
notables.
a. Altura: Es la línea perpendicular trazada desde un vértice hasta el lado opuesto de un triangulo
b. Mediana: Es la línea que une un vértice con el punto medio del lado opuesto. Para trazarlo, debe primero hallarse el punto medio de cada lado.
c. Bisectriz: divide al ángulo es dos ángulos iguales
El perímetro del siguiente rectángulo es la suma de la medida de todos sus lados
1. Halla el perímetro de los siguientes triángulos
MEDIDAS DE SUPERFICIE
Cuando se dibuja una figura, como un triángulo, un cuadrilátero u otro polígono o una circunferencia,
obtenemos en su parte interna una superficie plana. La medida de esa superficie interna se conoce
como área.
EL AREA es la cantidad de unidades cuadradas que tiene la superficie de una figura
APLICA:
1. Determino el área de cada figura
12
VI. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
Funciones trigonométricas
Utilizaremos un triángulo rectángulo para definir las funciones trigonométricas: seno (sen), coseno
(cos), tangente (tan), cotangente (cot), secante (sec) y cosecante (cosec).
En un triángulo rectángulo, estas funciones se definen como sigue:
sen = hipotenusa
opuestocateto tan =
adyacentecateto
opuestocateto
sec =
adyacentecateto
hipotenusa
cos =hipotenusa
adyacentecateto cot =
opuestocateto
adyacentecateto
cosec =
opuestocateto
hipotenusa
Aquí podemos darnos cuenta que basta con conocer las funciones sen y cos para poder
calcular las otras funciones, veamos por qué:
tan =
cos
sen cot =
cos
sen sec =
cos
1 cosec =
1
sen
Aplica los contenidos de matemática común y calcula los valores de los ángulos de 30º, 45º y 60º
Demostrar que: 1cos22 sen , usa los valores de los ángulos anteriores y después demuéstralo
para cualquier valor del ángulo.
Ejemplo:
1) Un ángulo agudo tiene 5
3sen . Halla las restantes razones trigonométricas de este ángulo.
13
1º método: Usando triángulos
Ahora aplicamos las definiciones de las funciones trigonometricas y encontramos:
5
3sen
5
4..cos
hip
adc
4
3
..
..tan
adc
opc
3
4
..
..cot
opc
adc
4
5
..sec
adc
hip
3
5
.cos
opc
hipec
2º método: Usando las identidades básicas
Por la identidad 1cos22 sen tenemos que:
22 1cos sen 2
2
5
31cos
25
91cos2
25
16cos2
5
4cos
Luego, usando estos dos valores, del seno y coseno, calculamos todas las demás funciones:
4
3
5
45
3
.cos
.tan
sen
Así sucesivamente……
Ejercicios:
1) Si 4
7cos , encuentra las otras funciones. Entrega los valores simplificados y
racionalizados. 2) Si 2,0cos , encuentra las otras funciones.
3) Si 9
5tan , encuentra las otras funciones.
Angulos complementarios:
En el triángulo rectángulo siguiente:
Ejemplos de uso de las cofunciones:
1) Calcular sen 30º.
Sen 30º = sen (90º - 30º) =cos 60º = ½
2) Expresar los siguientes valores de funciones trigonometricas como el valor de la función de un
ángulo positivomenor que 45º.
a) sen 72º sen 72º = sen (90º - 72º) = cos 18º
Por teorema de Pitágoras
buscamos el otro cateto del
triángulo, es que es 4
14
b) cos 46º cos 46º = cos (90º - 46º) = sen 44º
Ejercicios:
1) Expresar el valor de la función trigonométrica en términos de un ángulo no mayor que 45º: a) sen 60º b) cos 84º c) tan 49,8º d) sen 79,6º
2) Resolver los triángulos rectángulos para los datos dados. Usa calculadora.
a) = 24º y c =16.
b) a = 32.46 y b = 25,78 c) = 24º y a =16
d) = 71º , c = 44
e) a = 312,7 ; c = 809 f) b = 4.218 ; c = 6.759 g) = 81º12’ ; a = 43,6
5
.
15
8. Desde un punto A en la orilla de un río, cuya anchura es de 50m., se ve un árbol justo enfrente. ¿Cuánto tendremos que caminar río abajo, por la orilla recta del río, hasta llegar a un punto B desde el que se vea el pino formando un ángulo de 60º con nuestra orilla?
9. Una persona se encuentra en la ventana de su apartamento que está situada a 8m. del suelo y
observa el edificio de enfrente. La parte superior con un ángulo de 30 grados y la parte inferior con
un ángulo de depresión de 45 grados. Determine la altura del edificio señalado.
16
12.
13.
17
16. Sobre un plano horizontal, un mástil está sujeto por dos cables, de modo que los tirantes quedan
a lados opuestos. Los ángulos que forman estos tirantes con respecto al suelo son 27 grados y 48
grados. Si la distancia entra las cuñas es de 50 m. ¿cuánto cable se ha gastado?, ¿cuál es la altura
a la cual están sujetos los cables?
17. Desde lo alto de una torre de 300 m. de altura se observa un avión con un ángulo de elevación
de 15 grados y un automóvil en la carretera, en el mismo lado que el avión, con un ángulo de
depresión de 30 grados. En ese mismo instante, el conductor del automóvil ve al avión bajo un
ángulo de elevación de 65 grados. Si el avión, el auto y el observador se encuentran en un mismo
plano vertical: calcule la distancia entre el avión y el automóvil, también calcule la altura a la que
vuela el avión en ese instante.
VII. LEY O TEOREMA DEL SENO Y LEY O TEOREMA DEL COSENO
Objetivo:
A partir de una situación establecer la estrategia adecuada para su solución con base en la ley de los
senos y ley del coseno.
En trigonometría el teorema del seno es una relación de proporcionalidad entre las longitudes de los
lados de un triángulo, y los senos de los ángulos respectivamente opuestos.
El teorema del seno, es en trigonometría uno de los enunciados más importantes, debido a las
múltiples aplicaciones en el campo de la topografía, la ingeniería, la física. Se aplica en triángulos en
los que se conoce la medida de dos de sus lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. También se
puede aplicar si se conocen la medida de dos de sus ángulos interiores y un lado opuesto a uno de
ellos
Teorema o Ley del Seno
En todo triangula ABC, las longitudes de los lados son directamente proporcionales a los Senos de
los ángulos opuestos a dichos lados.
18
Recomendaciones:
Para la solución de este tipo de problemas, es recomendable proceder así:
1. Tratar de imaginarse el problema. 2. Realizar un gráfico ilustrativo del problema para mejor su comprensión. 3. Ubicar en el gráfico los datos suministrados por el problema. 4. Aplicar la ecuación de la Ley del Seno.
Problema Una antena de radio está sujeta con cables de acero, como se muestra en la figura. Hallar
la longitud de los cables.
El ángulo en el vértice C, sería de 72º, de modo que podemos plantear la ley del Seno así:
Ahora:
Problemas Propuestos
mSen
Senma
Sen
m
Sen
a3,74
º72
º6280
º72
80
º62
mSen
Senmb
Sen
m
Sen
b5,60
º72
º4680
º72
80
º46
19
1. Un incendio es detectado por dos puestos de observación A y B, que están separados 30 km. Si el punto de observación B reporta el incendio en un ángulo ABF de 53°, y el punto A lo reporta con un ángulo BAF de 30°. ¿A qué distancia está el incendio del punto A?
2. Un avión vuela entre dos ciudades A y B, si en determinado instante se halla que el ángulo de elevación del avión desde la ciudad A es de 60° y desde la ciudad B es de 48°. Además la distancia entre ambas ciudades es de 120 Km. Realiza un esquema y calcula la distancia del avión hasta cada ciudad en ese preciso instante.
3. En las orillas opuesta de un río se sitúan dos puntos A y B. en la orilla donde está situado el punto A, se determina un segmento de recta AC = 275 m y se miden los ángulos CAB = 125° y ángulo ACB = 48°. Encontrar la longitud de AB.
4. Una diagonal de un paralelogramo tiene 24,8 unidades de longitud y forma ángulos de 42° y 27° con los lados. Hallar los lados.
5. Dos puntos A y B situados al mismo lado de una carretera distan 30 pies. Un punto C del otro lado de la carretera está situado de manera que el ángulo CAB mide 70° y el ángulo ABC mide 80°. ¿Cuál es el ancho de la carretera?
6. Dos puestos de observación A y B (separados 10 millas) en la costa, vigilan barcos que entran ilegalmente en un límite de 3 millas. El puesto A reporta un barco S en un ángulo BAS = 37° y el puesto B reporta el mismo barco en un ángulo ABS = 20°. ¿A qué distancia está el barco de la costa?
7. Un asta de bandera que está colocada sobre la parte superior de un edificio tiene 35 pies de altura. Desde un punto que está en el mismo plano horizontal que la base del edificio, los ángulos de elevación de la parte superior del asta y de la parte inferior de la misma son respectivamente 61° y 56°. Hallar la altura del edificio.
Teorema o Ley del Coseno
En todo triangula ABC, el cuadrado de la longitud de uno de los lados, es igual a la suma de los
cuadrados de las longitudes de los otros dos lados, menos el doble producto de estos, por el coseno
del ángulo comprendido entre dicho lados.
20
Recomendaciones:
Para la solución de este tipo de problemas, es recomendable seguir las mismas instrucciones
propuestos en el teorema o ley del Seno.
Problema En el triángulo siguiente, se dan las medidas de los lados y el ángulo de 30º. Calcular el
lado desconocido a
Problemas Propuestos
1. Dos lados adyacentes de un paralelogramo se cortan en un ángulo de 35° y tienen longitudes de de 3 y 8 pies. ¿Cuál es la longitud de la diagonal más corta del paralelogramo?
2. ISLAS PARADISÍACAS:
En el mar de Gera, hay tres islas. Si sabemos que la
distancia entre las islas 1 y 2 es de 18 Km., la distancia entre
las islas 1 y 3 es de 22 Km. y además se sabe que el ángulo
que se forma desde la isla 1 al mirar hacia las demás islas
es de 75°. Entonces:
a. Calcular la distancia entre las islas 2 y 3.
b. Hallar los ángulos B y C de la gráfica.
3. TRENES:
De la estación de tricentenario parten dos trenes, uno hacia el centro con una velocidad de 70 Km. /h
y el otro hacia San Javier por la vía de reparaciones con una velocidad de 60 Km. /h. Si se sabe que
el ángulo entre las vías es de 35° y que los trenes viajan en línea recta, entonces:
a. Realiza un esquema de la situación
b. ¿A qué distancia se encontrarán después de media hora de viaje?
4. Y DELE CON LOS TRENES:
C
21
Dos trenes parten simultáneamente de una estación en diferentes direcciones, uno de ellos viaja a 80
Km. /h y el otro viaja a 100 Km./h. Si se sabe que el ángulo comprendido entre las vías es de 120°.
Responde:
a. ¿Qué distancia habrá entre los trenes después de dos horas de viaje? b. ¿Qué distancia habrá entre los trenes después de hora y media de viaje
5. Un solar triangular tiene frentes de 90 pies y 130 pies a dos calles que se cortan en un ángulo de 82°. Hallar el área del solar.
6. Las longitudes de los lados de un solar triangular son de 240 pies y de 300 pies, y el ángulo opuesto al lado mayor mide 75°. Hallar el tercer lado.
7. Dos trenes parten simultáneamente de una misma estación, en direcciones tales que forman un ángulo de 30º. Uno va a 20 Km. /h y el otro va a 30 km./h. después de dos horas de viaje ¿A que distancia se encuentran?
8. Una carrilera (en línea recta) de 150 km. de longitud tiene por extremos las ciudades C y D; otra carrilera (en línea recta) de 200 km. de longitud, continua el recorrido de la ciudad D a la ciudad E. si las dos carrileras forman entre si un ángulo de 130º, calcule la distancia entre las ciudades C y D
9. Un colegio tiene un parque de forma triangular cuyos lados son de 75m, 85m y 100m respectivamente. Hallar las medidas de los ángulos internos que dichos lados forman entre si.
10. Un faro está situado a 18 km. y a 45° al norte del este de un muelle. Un barco sale del muelle a las 10:0 a.m. y navega hacia el oeste a razón de 24 Km. /h. ¿A qué hora se encontrará a 14 Km. del faro?
11. Dos fuerzas de 50 Newtons y de 60 Newtons son aplicadas a un cuerpo de masa M, produciéndole una fuerza resultante de 85 Newtons. Calcule el ángulo comprendido entre dichas fuerzas en el punto de aplicación.
12. Las diagonales de un paralelogramo son 10 m y 12 m y forman entre 49° hallar la longitud de los lados.
13. Una escalera de 5,20 metros de largo es colocada a 2 m de la base de un muro inclinado como muestra la figura, y, alcanza una altura de 4,6 m sobre dicho muro. Hállese la inclinación del muro.
14. Hallar el mayor ángulo de un triángulo de lados 4, 7, y 10 cm.
15. ¿Bajo qué ángulo se ve un objeto de 7 m de largo por un observador cuyo ojo está a 5 m de uno de Los extremos del objeto y a 8 m del otro extremo?
22
16. Los lados de un triángulo son 3,8 y 9. Hallar la altura del triángulo correspondiente al vértice del ángulo más pequeño.
17. Un aeroplano lleva una velocidad de 185 Km. /h en dirección sur; el viento que sopla a 20° en dirección al oeste del sur, lleva una velocidad de 40 Km. /h, lo desvía de su ruta y altera su velocidad ¿En qué dirección viajará el aeroplano y a qué velocidad?
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