PDR 1 PGS
1. Vyřešte rovnici 222 ( ), ( , ) xzz z x y z x x e
y∂
= + =∂
.
2. Vyřešte rovnici 0z zx y∂ ∂
+ =∂ ∂
s okrajovou podmínkou ( ,2 ) .xz x x e=
3. Určete obecné řešení rovnice .z z yy zx y x∂ ∂
+ =∂ ∂
4. Řešte počáteční problém 2
2 6 10 0,z z zyy
∂ ∂− + =
∂∂
( ,0)( ,0) sin , 3sin cos .z xz x x x xy
∂= = +
∂
5. Rovnici z z xyx y∂ ∂
=∂ ∂
řešte substitucí ( , ) ( ). ( )z x y X x Y y= .
6. Načrtněte charakteristiky a vyřešte rovnici
2 2
2 2 3 , 0, 0.z zx y x y x yx yx
∂ ∂− = + ≠ ≠
∂ ∂∂
7. Vyřešte: 2 2
2 2( ,0)4 0, ( ,0) sin , 1u u u xu x x
tt x∂ ∂ ∂
− = = =∂∂ ∂
.
8. Řešte Laplaceovu rovnici za podmínky (4, ) sin 3 cos 4u ϕ ϕ ϕ= + .
PDR 2 PGS
1. Vyřešte rovnici 3
2 2, ( ,2 3)3
z xx y z x xx∂
= + + =∂
.
2. Vyřešte rovnici , ( ,2 ) 32
z yz x z x x xy∂
= + =∂
.
3. Vyřešte rovnici 2 2 2, ( , 2)z zx y z x y z x x xx y∂ ∂
+ = − − − = −∂ ∂
.
4. Řešte okrajový problém
2
3
1 1 ,
( ,0) , 0 1,
z zx y x y x
z x x x
∂ ∂− =
∂ ∂ ∂
= ≤ ≤
3
2
( , ) 2 , 0 1,
(1, ) (1 , 0 1.
z x x x x x
z y y y y
= − ≤ ≤
= − + ≤ ≤
5. Rovnici 2
2z z x yx x y∂ ∂
=∂ ∂ ∂
řešte substitucí ( ). ( )z X x Y y= .
6. Načrtněte charakteristiky a vyřešte rovnici
2 2
2 2 3 , 0, 0.z zx y x y x yx yx
∂ ∂+ = + ≠ ≠
∂ ∂∂
7. Vyřešte rovnici: 2 2
2 2 ,u ut x
∂ ∂=
∂ ∂.
( ,0)( ,0) 0,01 ( ), 0,
(0, ) 0, ( , ) 0.
u xu x x xt
u t u t
π
π
∂= − =
∂= =
8. . Určete řešení Laplaceovy rovnice uvnitř kruhu o poloměru R a středu v počátku
soustavy souřadnic, které na obvodu kruhu nabývá hodnot 22sinu ϕ= .
PDR 3 PGS
1. Určete obecné řešení rovnice dczbyaxxz
+++=∂∂ .
2. Vyřešte rovnici yzxz=
∂∂ s okrajovou podmínkou xexxz =)ln,( .
3. Najděte řešení dané rovnice splňující určenou podmínku:
2 2sin cosz zx tgz zx y∂ ∂
+ =∂ ∂
, xyyyxV =),,( 2 .
4. Řešte počáteční problém
2 2
2(1, )0, (1, ) 1 2 ,z z z yx y z y y y
x y xx∂ ∂ ∂
+ = = + =∂ ∂ ∂∂
.
5. Rovnici 2z yzx y∂
=∂ ∂
řešte substitucí ( ). ( )z X x Y y= .
6. Převeďte na kanonický tvar rovnici 2 2
2 2
12
z z zy x yx y y∂ ∂ ∂
+ + = −∂ ∂ ∂
, 0>y .
7. Najděte řešení rovnice 09 2
2
2
2
=∂∂
−∂∂
tz
xz za podmínek
( ) 0,0 =tz , ( ) 0, =tz π ,
( ) xxz sin0, = , ( ) xtxz sin30,
=∂
∂ .
8. V kruhu 0222 ≤++ xyx řešte Dirichletovu úlohu za podmínky 164 3 −+= xxu pro
0222 =++ xyx
PDR 4 PGS
1. Určete obecné řešení rovnice 2 3 4z x y zx∂
= + + +∂
.
2. Vyřešte rovnici 3 4 0z zx y∂ ∂
+ =∂ ∂
s okrajovou podmínkou ( , ) 3 .z x x x=
3. Určete obecné řešení rovnice ( 2 ) .z zxy x z yzx y∂ ∂
+ − =∂ ∂
4. Řešte okrajový problém 0222
=−∂∂
+∂∂
∂ yxzy
yxz
2
2
(0, ) 0 1,1( ,1) (1 ) 0 1,
( , ) (1 ) 0 1.
y
x
z y e y
z x x x xe
z x x x e x x
−
−
= ≤ ≤
= + − ≤ ≤
= + − ≤ ≤
5. Rovnici2 2
2 22 2 0 z zt x
t x∂ ∂
− =∂ ∂
řešte substitucí ( ) ( )z T t X x= + .
6. Převodem na kanonický tvar najděte obecné řešení rovnice
0 ,2
22
2
2
>∂∂
=∂∂
−∂∂ y
yzy
yzy
xz
.
7. Najděte řešení rovnice ideální struny délky l za podmínek:
3
(0, ) 0, (1, ) 0,( ,0)( ,0) 0, sin .
u t u tu x xu x
t lπ
= =∂
= =∂
8. Řešte Laplaceovu rovnici za podmínky
2 22 2 2 2
2( , ) 1 1 pro 1.x yu x y x yx y x y
⎛ ⎞⎜ ⎟= + + + =⎜ ⎟+ +⎝ ⎠
PDR 5 PGS
1. Určete obecné řešení rovnice 1z x y zx∂
= + + +∂
.
2. Vyřešte rovnici 2 3, ( , )z zx y xyz z x x xx y∂ ∂
− = =∂ ∂
.
3. Najděte řešení dané rovnice za dané podmínky:
02 =∂∂
−∂∂
yzx
xzy , 2( , ) lnz x x x= .
4. Řešte okrajový problém
22 2
2
( 1) , ( ,0) 1 , 0 1,
( , ) ( 1) 1 , 0 1,
(1, ) ( 1) 2, 0 1,
z zx x x z x x xx y y
z x x x x x x
z y y y
∂ ∂+ − = = + ≤ ≤
∂ ∂ ∂
= + + − ≤ ≤
= + ≤ ≤
.
5. Rovnici2 2
2 22 2 0 z zt x
t x∂ ∂
+ =∂ ∂
řešte substitucí ( ). ( )z T t X x= .
6. Načrtněte charakteristiky a převodem na kanonický tvar najděte obecné řešení rovnice
2 22
2 2 , 0z z zy y x y yx y y∂ ∂ ∂
− − = − >∂ ∂ ∂
.
7. . Vyřešte: 2 2
2 2( ,0)4 0, ( ,0) sin , 1u u u xu x x
tt x∂ ∂ ∂
− = = =∂∂ ∂
.
8. Vyřešte rovnici: 2
2 ,u ut x
∂ ∂=
∂ ∂
( ,0) (4 ),(0, ) 0, (4, ) 0.
u x x xu t u t
= −= =
PDR 6 PGS 1. Vyřešte rovnici z xz
y∂
=∂
s okrajovou podmínkou ( , ln ) xz x x e= .
2. Vyřešte rovnici 0z zy xx y∂ ∂
− =∂ ∂
s okrajovou podmínkou 4( ,0)z x x= .
3. Najděte řešení dané rovnice za dané podmínky:
2 2z zx y z x yx y∂ ∂
+ = + +∂ ∂
, 2( ,2)z x x x= + .
4. Řešte počáteční problém 2 2
2 0z zx yx x y∂ ∂
− =∂ ∂ ∂
,
( ) yyz 21,1 += , ( ) yx
yz=
∂∂ ,1 .
5. Rovnici 2
2 .z z xyyx
∂ ∂=
∂∂ řešte substitucí ( , ) ( ). ( )z x y X x Y y= .
6. Načrtněte charakteristiky a vyřešte rovnici 2 2
2 24 2 2 , 0.z z zx y x xxx y
∂ ∂ ∂− − = − >
∂∂ ∂
7. Řešte Laplaceovu rovnici za podmínky (4, ) sin 3 cos 4u ϕ ϕ ϕ= + .
8. Najděte řešení rovnice 2 2
2 216 0z zx t∂ ∂
− =∂ ∂
za podmínek
( ) 0,0 =tz ( ) 0, =tz π
( ) xxz sin0, = ( ),04sin
z xx
t∂
=∂
.
PDR 7 PGS
1. Vyřešte rovnici 2z xzy∂
=∂
s okrajovou podmínkou ( , ln ) xz x x e= .
2. Vyřešte rovnici z zz x yx y∂ ∂
= +∂ ∂
s okrajovou podmínkou 2 3( , )z t t t= . (2yzx
= )
3. Najděte řešení dané rovnice za dané podmínky:
2 2z zx y z x yx y∂ ∂
− = − −∂ ∂
, 2( ,2)z x x x= + .
4. Řešte počáteční problém 2 2
2 0z zx yx x y∂ ∂
− =∂ ∂ ∂
,
( ) yyz 21,1 += , ( ) yx
yz=
∂∂ ,1 .
5. Rovnici 2
2 .z z xyzyx
∂ ∂=
∂∂ řešte substitucí ( , ) ( ). ( )z x y X x Y y= .
6. Načrtněte charakteristiky a vyřešte rovnici 2 2 2
2 2 22 2 2 , 0z z zx x y xy
x yx y∂ ∂ ∂
− + = − − ≠∂ ∂∂ ∂
.
7. Dokažte, že funkce 2 2
1lnux y
=+
splňuje Laplaceovu rovnici v celé reálné
rovině s výjimkou počátku.
8. Najděte řešení rovnice 2 2
2 24 0z zx t∂ ∂
− =∂ ∂
za podmínek
( ) 0,0 =tz ( ) 0, =tz π
( ) xxz sin0, = ( ),02sin
z xx
t∂
=∂
.
PDR 8 PGS
1. Určete obecné řešení rovnice 3 4z x y zx∂
= + − +∂
.
2. Vyřešte rovnici 4 5 0z zxx y∂ ∂
+ =∂ ∂
s okrajovou podmínkou ( , ln ) 2 .z x x x=
3. Určete obecné řešení rovnice cos .z z xx y∂ ∂
+ =∂ ∂
4. Řešte okrajový problém 2
2 4 .z x yx y∂
= −∂ ∂
2(0, ) 0 1,
( ,0) 0 1,( ,1 ) 0 1.
y
x
z y y e y
z x xe xz x x e x
= ≤ ≤
= ≤ ≤− = ≤ ≤
5. Rovnici 2
22 ( )z z
xy∂ ∂
=∂∂
řešte substitucí ( ) ( )z X x Y y= + .
6. Načrtněte charakteristiky a vyřešte rovnici 2 2
2 24 2 2z z zx x yxx y
∂ ∂ ∂+ + = +
∂∂ ∂.
7. Vyřešte rovnici: 2 2
22 2 , 0u ua a
t x∂ ∂
= >∂ ∂
.
( ,0)( ,0) sin , sin ,
(0, ) 0, ( , ) 0.
u xu x x a xt
u t u tπ
∂= =
∂= =
PDR 9 PGS
1. Určete obecné řešení rovnice z ax by cz dx∂
= + + +∂
.
2. Vyřešte rovnici 3 0z zx y∂ ∂
+ =∂ ∂
s okrajovou podmínkou ( ,5 ) ln .z x x x=
3. Vyřešte rovnici 0z zx zx y∂ ∂
+ − =∂ ∂
s podmínkou (1, ) .z y y=
4. Řešte okrajový problém 2
2 6 sin cos .z x x yx∂
= −∂
( , ) cos (1 sin ), 0 1,z x x x x x= + ≤ ≤
2 3 5 2( , ) cos (1 sin ), 0 1.z x x x x x x x= − + + ≤ ≤
5. Rovnici 2
2z z x yx x y∂ ∂
=∂ ∂ ∂
řešte substitucí ( ). ( )z X x Y y= .
6. Načrtněte charakteristiky a vyřešte rovnici
2 2 2
22 2 2 0, 0z z zx x xy
x yx y∂ ∂ ∂
− + = ≠∂ ∂∂ ∂
7. Vyřešte rovnici: 2 2
22 2 , 0u ua a
t x∂ ∂
= >∂ ∂
.
( ,0)( ,0) sin , sin ,
(0, ) 0, ( , ) 0.
u xu x x a xt
u t u tπ
∂= =
∂= =
PDR 10 PGS
1. Určete obecné řešení rovnice 2 3 4z x y zx∂
= − − +∂
.
2. Vyřešte rovnici 0z zx y∂ ∂
+ =∂ ∂
s okrajovou podmínkou ( ,2 ) .xz x x e=
3. Vyřešte rovnici z zx y xyx y∂ ∂
+ =∂ ∂
s podmínkou 2 3( , )z x x x= .
4. Řešte počáteční problém 2
2 4 0,z zxx
∂ ∂− =
∂∂
2 2 4 2 2 2 4( , )( , ) , 2 2 .x x x x xz x xz x x x e xe xe x e ey
∂= + = + +
∂
5. Rovnici 2( )z zxzx y∂ ∂
=∂ ∂
řešte substitucí ( ). ( )z X x Y y= .
6. Převeďte na kanonický tvar rovnici
2 2
2 2 2 22 2 , 0, 0.z zy x x y x y
x y∂ ∂
+ = + ≠ ≠∂ ∂
7. Řešte počáteční problém pro rovnici 2 2
22 2 0, 0u ua a
t x∂ ∂
− = >∂ ∂
,
2 ( ,0)( ,0) , 1u xu x xt
∂= =
∂.
PDR 11 PGS
1. Určete obecné řešení rovnice 2 3 4z x y zx∂
= + + +∂
.
2. Najděte řešení dané rovnice za určené podmínky:
22 0, ( , ) ln z zy x z x x xx y∂ ∂
− = =∂ ∂
.
3. Vyřešte rovnici z z yy zx y x∂ ∂
+ =∂ ∂
.
4. Řešte okrajový problém
22
2
( 1) ,
( ,0) 1 , 0 1,
z zx x xx y y
z x x x
∂ ∂+ − =
∂ ∂ ∂
= + ≤ ≤
2( , ) ( 1) 1 , 0 1,
(1, ) ( 1) 2, 0 1.
z x x x x x x
z y y y
= + + − ≤ ≤
= + ≤ ≤
5. Rovnici z z xyx y∂ ∂
=∂ ∂
řešte substitucí ( , ) ( ). ( )z x y X x Y y= .
6. Načrtněte charakteristiky a převeďte na kanonický tvar rovnici: 2 2
2 2 , 0, 0.z zx y x y x yx y∂ ∂
− = − > >∂ ∂
7. Řešte počáteční problém pro rovnici 04 2
2
2
2=
∂∂
−∂∂
xu
tu , ( ,0)( ,0) , 1u xu x x
t∂
= =∂
.
PDR 12 PGS
1. Vyřešte rovnici 4
3 2, ( ,3 2)4
z xz x y z x xy∂
= + − =∂
.
2. Vyřešte rovnici 3 4 0z zx y∂ ∂
+ =∂ ∂
s okrajovou podmínkou ( , ) 3 .z x x x=
3. Vyřešte rovnici 2 22z zx y x yx y∂ ∂
− = +∂ ∂
s podmínkou 2( ,1)z x x= .
4. Řešte okrajový problém 2
22 3 3 0,z zy y z
yy∂ ∂
− + =∂∂
2 2( , ) (1 ), 0 1,x x xz x e xe x e x= + ≤ ≤
2 2( , ) (1 ), 0 1,x x xz x e xe x e x− − −= + ≤ ≤
3 1(1, ) , .z y y y y ee
= + ≤ ≤
5. Rovnici 2 2
2 2z z xy
x y∂ ∂
=∂ ∂
řešte substitucí ( ) ( )z X x Y y= + .
6. Převeďte na kanonický tvar rovnici: 2 2
2 2 , 0, 0.z zx y x y x yx y∂ ∂
− = − < >∂ ∂
7. Vyřešte rovnici: 2 2
22 2 , 0u ua a
t x∂ ∂
= >∂ ∂
.
( ,0)( ,0) sin , sin ,
(0, ) 0, ( , ) 0.
u xu x x a xt
u t u tπ
∂= =
∂= =
PDR 13 PGS
1. Vyřešte rovnici 222 ( ), ( , ) xz z x y z x x e
y∂
= + =∂
.
2. Vyřešte rovnici 0z zx y∂ ∂
− =∂ ∂
s okrajovou podmínkou 3( ,5 6) .z x x x− =
3. Určete obecné řešení rovnice 2 .z zxy x yzx y∂ ∂
− =∂ ∂
4. Řešte počáteční problém
2 2
2(0, )0, (0, ) 0, 1.z z z z yz y y
x y x xx∂ ∂ ∂ ∂
+ + = = = − −∂ ∂ ∂ ∂∂
5. Rovnici 2 zx zx y∂
=∂ ∂
řešte substitucí ( ). ( )z X x Y y= .
6. Načrtněte charakteristiky a převeďte na kanonický tvar rovnici: 2 2
2 2 , 0, 0.z zx y x y x yx y∂ ∂
− = − < <∂ ∂
7. Řešte počáteční problém pro rovnici 2 2
22 2 0, 0u ua a
t x∂ ∂
− = >∂ ∂
,
2 2 ( ,0)( ,0) , 1b x u xu x e
t− ∂
= =∂
.
PDR 14 PGS
1. Určete obecné řešení rovnice 3 4z x y zx∂
= + − +∂
.
2. Vyřešte rovnici 4 5 0z zxx y∂ ∂
+ =∂ ∂
s okrajovou podmínkou ( , ln ) 2 .z x x x=
3. Určete obecné řešení rovnice 2 2 20, ( , )2
z z xx y z x xx y∂ ∂
+ = =∂ ∂
.
4. Řešte okrajový problém 2
2 4 .z x yx y∂
= −∂ ∂
2(0, ) 0 1,
( ,0) 0 1,( ,1 ) 0 1.
y
x
z y y e y
z x xe xz x x e x
= ≤ ≤
= ≤ ≤− = ≤ ≤
5. Rovnici 2
22 ( )z z
xy∂ ∂
=∂∂
řešte substitucí ( ) ( )z X x Y y= + .
6. Převeďte na kanonický tvar rovnici: 2 2
2 2 , 0, 0.z zx y x y x yx y∂ ∂
− = − > <∂ ∂
7. Vyřešte rovnici: 2 2
22 2 , 0u ua a
t x∂ ∂
= >∂ ∂
.
( ,0)( ,0) sin , sin ,
(0, ) 0, ( , ) 0.
u xu x x a xt
u t u tπ
∂= =
∂= =
PDR 15 PGS
Vyřešte rovnici 21, ( ,2 )zz x y z x x xx∂
= + + =∂
.
2. . Vyřešte rovnici 3 4 0z zx y∂ ∂
+ =∂ ∂
s okrajovou podmínkou ( , ) 3 .z x x x=
3. Vyřešte rovnici 2z zxy x yzx y∂ ∂
− =∂ ∂
s podmínkou 3( , 2 )z x x x= .
4. Řešte okrajový problém
2
3
1 1 ,
( ,0) , 0 1,
z zx y x y x
z x x x
∂ ∂− =
∂ ∂ ∂
= ≤ ≤
3
2
( , ) 2 , 0 1,
(1, ) 1 , 0 1.
z x x x x x
z y y y y
= − ≤ ≤
= − + ≤ ≤
5. Rovnici 2 2
2 2z z xy
x y∂ ∂
=∂ ∂
řešte substitucí ( ) ( )z X x Y y= + .
6. Načrtněte charakteristiky a převeďte na kanonický tvar rovnici: 2 2
2 2 , 0.z zy x y yx y∂ ∂
− = − >∂ ∂
7. Řešte počáteční problém pro rovnici 2 2
22 2 0, 0u ua a
t x∂ ∂
− = >∂ ∂
,
2 ( ,0)( ,0) , 1u xu x xt
∂= =
∂.
PDR 16 PGS
1. Vyřešte rovnici 4
3 2, ( ,3 2)4
z xz x y z x xy∂
= + − =∂
.
2. Najděte řešení dané rovnice za určené podmínky:
22 0, ( , ) ln z zy x z x x xx y∂ ∂
− = =∂ ∂
.
3. Vyřešte rovnici 0z zx zx y∂ ∂
+ − =∂ ∂
s podmínkou (1, ) .z y y=
4. Vyřešte rovnici 2
2 4 4cos 2 .z z xx∂
+ =∂
5. Rovnici2 2
2 22 2 0 z zt x
t x∂ ∂
− =∂ ∂
řešte substitucí ( ) ( )z T t X x= + .
6. Převeďte na kanonický tvar rovnici: 2 2
2 2 , 0.z zy x y yx y∂ ∂
− = − <∂ ∂
7. Najděte řešení rovnice ideální struny délky l za podmínek:
3
(0, ) 0, (1, ) 0,( ,0)( ,0) 0, sin .
u t u tu x xu x
t lπ
= =∂
= =∂
PDR 17 NS
1. Určete obecné řešení rovnice zz ax by dx∂
= + +∂
.
2. Najděte řešení dané rovnice za určené podmínky:
22 0, ( , ) ln z zy x z x x xx y∂ ∂
− = =∂ ∂
.
3. Určete obecné řešení rovnice cos .z z xx y∂ ∂
+ =∂ ∂
4. Řešte okrajový problém 2
22 3 3 0,z zy y z
yy∂ ∂
− + =∂∂
2 2( , ) (1 ), 0 1,x x xz x e xe x e x= + ≤ ≤
2 2( , ) (1 ), 0 1,x x xz x e xe x e x− − −= + ≤ ≤
3 1(1, ) , .z y y y y ee
= + ≤ ≤
5. Rovnici 2 zx zx y∂
=∂ ∂
řešte substitucí ( ). ( )z X x Y y= .
6. Načrtněte charakteristiky a převeďte na kanonický tvar rovnici
2 2
2 214 22
z z z x yyx y
∂ ∂ ∂− + = −
∂∂ ∂.
7. Vyřešte rovnici: 42 2
2 2 ,u ut x
∂ ∂=
∂ ∂.
0 1 ( ,0)( ,0) , 0,2 1 2
(0, ) 0, (2, ) 0.
x x u xu xtx x
u t u t
≤ ≤ ∂= =
∂− ≤ ≤
= =
PDR 18 NS
1. Vyřešte rovnici 3
2 2, ( ,2 3)3
z xx y z x xx∂
= − + =∂
.
2. Vyřešte rovnici , ( ,2 ) 32
z yz x z x x xy∂
= + =∂
.
3. Vyřešte rovnici 2 2 2, ( , 2)z zx y z x y z x x xx y∂ ∂
+ = − − − = −∂ ∂
.
4. Řešte okrajový problém
2
3
1 1 ,
( ,0) , 0 1,
z zx y x y x
z x x x
∂ ∂− =
∂ ∂ ∂
= ≤ ≤
3
2
( , ) 2 , 0 1,
(1, ) (1 , 0 1.
z x x x x x
z y y y y
= − ≤ ≤
= − + ≤ ≤
5. Rovnici 2
2z z x yx x y∂ ∂
=∂ ∂ ∂
řešte substitucí ( ). ( )z X x Y y= .
6. Převeďte na kanonický tvar rovnici 2 2 2
2 22 5 2 .z z z x yx yx y
∂ ∂ ∂+ + = −
∂ ∂∂ ∂
7. Vyřešte rovnici: 2 2
2 2 ,u ut x
∂ ∂=
∂ ∂.
( ,0)( ,0) 0,01 ( ), 0,
(0, ) 0, ( , ) 0.
u xu x x xt
u t u t
π
π
∂= − =
∂= =
PDR 19 NS
1. Určete obecné řešení rovnice 2 1z x zx∂
= + +∂
.
2. Vyřešte rovnici yzxz=
∂∂ s okrajovou podmínkou ( , ln ) xz x x e= .
3. Určete obecné řešení rovnice .z zx xx y∂ ∂
+ =∂ ∂
4. Řešte počáteční problém
2 2
2(1, )0, (1, ) 1 2 ,z z z yx y z y y y
x y xx∂ ∂ ∂
+ = = + =∂ ∂ ∂∂
.
5. Rovnici yzx
z=
∂∂
2
2
řešte substitucí ( ). ( )z X x Y y= .
6. Načrtněte charakteristiky a vyřešte rovnici
2 2 2
2 23 2 4 .z z z yx yx y
∂ ∂ ∂− + =
∂ ∂∂ ∂
7. Najděte řešení rovnice 09 2
2
2
2
=∂∂
−∂∂
tz
xz za podmínek
( ) 0,0 =tz , ( ) 0, =tz π ,
( ) xxz sin0, = , ( ) xtxz sin30,
=∂
∂ .
PDR 20 PGS 1. Vyřešte rovnici 21, ( ,2 )zz x y z x x x
x∂
= + + =∂
.
2. Vyřešte rovnici 3 4 0z zx y∂ ∂
+ =∂ ∂
s okrajovou podmínkou ( , ) 3 .z x x x=
3. Vyřešte rovnici 2 22z zx y x yx y∂ ∂
− = +∂ ∂
s podmínkou 2( ,1)z x x= .
4. Řešte okrajový problém
2
3
1 1 ,
( ,0) , 0 1,
z zx y x y x
z x x x
∂ ∂− =
∂ ∂ ∂
= ≤ ≤
3
2
( , ) 2 , 0 1,
(1, ) 1 , 0 1.
z x x x x x
z y y y y
= − ≤ ≤
= − + ≤ ≤
5. Rovnici 2 2
2 2z z xy
x y∂ ∂
=∂ ∂
řešte substitucí ( ) ( )z X x Y y= + .
6. Načrtněte charakteristiky a vyřešte rovnici
2 2
2 2 3 4 2 , 0z z z zy x y x xyx yx y
∂ ∂ ∂ ∂− + − = + >
∂ ∂∂ ∂.
7. Řešte počáteční problém pro rovnici 2 2
22 2 0, 0u ua a
t x∂ ∂
− = >∂ ∂
,
2 ( ,0)( ,0) , 1u xu x xt
∂= =
∂.
PDR 21 PGS
1. Vyřešte rovnici 4
3 2, ( ,3 2)4
z xz x y z x xy∂
= + − =∂
.
2. Najděte řešení dané rovnice za určené podmínky:
22 0, ( , ) ln z zy x z x x xx y∂ ∂
− = =∂ ∂
.
3. Vyřešte rovnici 0z zx zx y∂ ∂
+ − =∂ ∂
s podmínkou (1, ) .z y y=
4. Vyřešte rovnici 2
2 4 4cos 2 .z z xx∂
+ =∂
5. Rovnici2 2
2 22 2 0 z zt x
t x∂ ∂
− =∂ ∂
řešte substitucí ( ) ( )z T t X x= + .
6. Převeďte na kanonický tvar rovnici 2 2
2 2 2 , 0z zx y y x xyx y∂ ∂
+ = − >∂ ∂
.
7. Najděte řešení rovnice ideální struny délky l za podmínek:
3
(0, ) 0, (1, ) 0,( ,0)( ,0) 0, sin .
u t u tu x xu x
t lπ
= =∂
= =∂
PDR 22 PGS
1. Určete obecné řešení rovnice zz ax by dx∂
= + +∂
.
2. Najděte řešení dané rovnice za určené podmínky:
22 0, ( , ) ln z zy x z x x xx y∂ ∂
− = =∂ ∂
.
3. Určete obecné řešení rovnice cos .z z xx y∂ ∂
+ =∂ ∂
4. Řešte okrajový problém 2
22 3 3 0,z zy y z
yy∂ ∂
− + =∂∂
2 2( , ) (1 ), 0 1,x x xz x e xe x e x= + ≤ ≤
2 2( , ) (1 ), 0 1,x x xz x e xe x e x− − −= + ≤ ≤
3 1(1, ) , .z y y y y ee
= + ≤ ≤
5. Rovnici 2 zx zx y∂
=∂ ∂
řešte substitucí ( ). ( )z X x Y y= .
6. Převeďte na kanonický tvar rovnici 2 2
2 2 3 4 2 , 0z z z zy x y x xyx yx y
∂ ∂ ∂ ∂− + − = + <
∂ ∂∂ ∂.
7. Vyřešte rovnici: 42 2
2 2 ,u ut x
∂ ∂=
∂ ∂
0 1 ( ,0)( ,0) , 0,2 1 2
(0, ) 0, (2, ) 0.
x x u xu xtx x
u t u t
≤ ≤ ∂= =
∂− ≤ ≤
= =
PDR 23 PGS
1. Vyřešte rovnici 3
2 2, ( ,2 3)3
z xx y z x xx∂
= − + =∂
.
2. Vyřešte rovnici , ( ,2 ) 32
z yz x z x x xy∂
= + =∂
.
3. Vyřešte rovnici 2 2 2, ( , 2)z zx y z x y z x x xx y∂ ∂
+ = − − − = −∂ ∂
.
4. Řešte okrajový problém
2
3
1 1 ,
( ,0) , 0 1,
z zx y x y x
z x x x
∂ ∂− =
∂ ∂ ∂
= ≤ ≤
3
2
( , ) 2 , 0 1,
(1, ) (1 , 0 1.
z x x x x x
z y y y y
= − ≤ ≤
= − + ≤ ≤
5. Rovnici 2
2z z x yx x y∂ ∂
=∂ ∂ ∂
řešte substitucí ( ). ( )z X x Y y= .
6. Načrtněte charakteristiky a vyřešte rovnici 2 2
2 2 , 0, 0z zx y y x x yx y∂ ∂
+ = − > >∂ ∂
.
7. Vyřešte rovnici: 2 2
2 2 ,u ut x
∂ ∂=
∂ ∂
( ,0)( ,0) 0,01 ( ), 0,
(0, ) 0, ( , ) 0.
u xu x x xt
u t u t
π
π
∂= − =
∂= =
PDR 24 PGS
1. Určete obecné řešení rovnice 2 1z x zx∂
= + +∂
.
2. Vyřešte rovnici yzxz=
∂∂ s okrajovou podmínkou ( , ln ) xz x x e= .
3. Určete obecné řešení rovnice .z zx xx y∂ ∂
+ =∂ ∂
4. Řešte počáteční problém
2 2
2(1, )0, (1, ) 1 2 ,z z z yx y z y y y
x y xx∂ ∂ ∂
+ = = + =∂ ∂ ∂∂
.
5. Rovnici yzx
z=
∂∂
2
2
řešte substitucí ( ). ( )z X x Y y= .
6. Načrtněte charakteristiky a vyřešte rovnici 2 2
2 2 , 0z zx y y x xyx y∂ ∂
+ = − <∂ ∂
.
7. Najděte řešení rovnice 09 2
2
2
2
=∂∂
−∂∂
tz
xz za podmínek
( ) 0,0 =tz , ( ) 0, =tz π ,
( ) xxz sin0, = , ( ) xtxz sin30,
=∂
∂ .
Top Related