Definisi:
Persamaan diferensial adalah suatu hubungan yang terdapat antara suatu variabel
independen x, suatu variabel dependen y, dan satu atau lebih turunan y terhadap x.
Orde dari suatu persamaan diferensial ditentukan oleh turunan tertinggi dalam
persamaan tersebut.
Contoh:
���
��� � � − �����������������������= ��
�����
��� � ������� − ��������= ��
�� �
���� �
��
��� �� − ������= �� ����
Proses Pembentukan Persamaan Diferensial
Contoh: ��� − ������� � ��������� A, B =konstanta sembarang
��
��− ������� � �������
���
���− � ������� � �������
���
��� − ��������= ����
��� � � − ���������
Contoh:
Bentuk sebuah persamaan diferensial dari fungsi � − � ��
�
Solusi: � − � ��
�− � � �� ��
� ���
��− � � �� �� − � �
�
��
dari persamaan diatas
PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE SATU
PD order satu�
PD order dua�
PD order tiga�
1
�PD order 2)�
�
�− � � ��������= � − � �� � ��
���
��− � �
��� � ��
��− � �
� � �
�−
� � � � �
�−
�� � �
�
���
��− �� � ������������= ��
Contoh: Bentuklah persamaan direfensial untuk � − �� � � ��
Solusi:
� − �� � � ��
��
��− ��� � �
���
���− ������= ��� −
�
�
���
���
Substitusi ���= ���
��− �
���
��� � ��
� −��
��� �
���
���
� − ���
�
���
���� ��
��
��� �
���
����
����−��
�
���
���� �
��
��� ��
���
���
� � − ���
���
��
�
���
���
Catatan:
Fungsi dengan 1 konstanta sembarang menghasilkan persamaan orde-satu
Fungsi dengan 2 konstanta sembarang menghasilkan persamaan orde-dua
Penyelesaian Persamaan Diferensial
Penyelesaian Persamaan Diferensial manipulasi persamaan tersebut sehingga seluruh
turunannya hilang dan harga menyisakan hubungan antara x dan y.
2
PD order 1
Metode 1 : Dengan integrasi secara langsung
Bila persamaan dalam bentuk y’=f(x), maka persamaan tersebut dapat diselesaikan
dengan integrasi sederhana
Catatan selanjutnya ��
�� ditulis y ’
���
��� ditulis y “
Contoh:
�� − �� � � �� � �
� − � ��� � � �� � � ��� − �� � �� � � �� � �
� − �� � �� � � �� � �
Contoh:
��� − �� � � �
�� − �� � ��
������= � − � ���� �
�
�� ��
�� −�
��� � � �� � � �
Contoh: Tentukan penyelesaian khusus dari persamaan ��� − ����= �� −�
�
� − � ��
�� �� − � � �� �� − �� �� � �
Masukkan nilai � − ����= � − �
� − �� �� � ����= � − �
� � − �� �� � �
Metode 2: Dengan pemisahan variabel
Bila persamaan yang diberikan berbentuk �� − ���� ��� variabel � di sisi kanan
menyebabkan persamaan tersebut tidak dapat diselesaikan dengan integrasi langsung.
Contoh: �� −��
�������= �� � � ��� − ����
3
� �� � � ��� − � �����
��
�� � − �� � �
Contoh: �
�� − �� � � ��� � ��
�
�� � ���� − �� � � �
��
�� � ���� − � �� � � ����������=����� � � � − � �
��
�� �
Contoh: �� −������
����� � ���= ���� −������
������
�� −���� � ��
���� � ��������= �
� � �
���� −
�� � ��
����
�� � �
���� − �
�� � ��
��������= �� �
�
�� ��� � �� − � ���� �
�
�� ��
� �� � � ��� − � ��� � �� � � �
� �� � ��
�− �
�
�� �� � � �
Contoh: �� −���
������= �
�
����� −
�
���
��
� � ��� − �
�
���
�� � � � − �� � � �
Contoh: ���� −����
���
��� � � ��� −�� � �
���������= ��� ��� � ���� − � �� �
�
�� ���
= ����
��
��
�−
��
�� �� � � �
4
Contoh: �������� �� − �� � ���� � ��
�
� � ���� −
� � ��
������������= ��� �
�
� � ��� �� − � �
� � ��
�������� ���
�
����� � ��� − �� ����� � �
PERSAMAAN HOMOGEN DENGAN SUBSTITUSI � − ��
Contoh: �� −����
��
Persamaan tersebut tidak dapat dinyatakan sisi kanan dan sisi kiri dalam bentuk “factor
x” dan “factor y”. Dalam kasus ini kita menggunakan substitu�� − �� si , dimana v
adalah fungsi dari x.
Bila � − �� didefinisikan, maka
��
��− ��� � �
��
�������= �
��
��− � � �
��
��
Sehingga
� � ��
��−
� � ���
��−
� � ��
�� � �������� →�������� �����
� � ���
��−
� � ��
�����= ��
��
��−
� � ��
�� � −
� � �� � ��
�−
� � �
�����
���
��−
� � �
������= ��
�
� � ��� − �
�
���
� ���� � � � − �� � � � − �� � � �� �
�� � � �� − ���� ������ − ������= � −�
�
� ��� ��
��
�
− ������= ���� � ��� − �� �
Catatan: �� −�����
���� →������������ �
Substitusi � − �� = ���
��− � � �
��
��
5
�� � ��
��−
�� � ����
���−
� � � �
�
� � ���
��−
� � � �
���������= ��
��
��− �
� � � �
�� � −
� � � � � ��
�−
�
�
���
��−
�
�����= ���� −
�
�������= �� ��� − �
�
��������
��
�− �� � � ���������= �
�
���
��� − �� � � �
�� − ������ � � ��
Catatan: �� −������ �
�������� →������������ �
Substitusi � − �� = ���
��− � � �
��
��
��� � �� �
�� � ���−
���� � �� ���
�� � ����−
�� � �� �
� � ��
� � ���
��−
�� � �� �
� � �������= ��
��
��−
�� � �� �
� � ��� �
���
��−
�� � �� � � � � ���
� � ��−
� � ��
� � ��
���
��−
����
�����������= ��
����
���� �� − ��
���
��� � � ��� − �� � � � − �� � � �� �
� � �� − ��
Karena
� − �������= � −�
�
�
��
��
��− ��������= �� � � � − �� �
Contoh: ��� � ����� − ��
�� −��
��� � ����������������� − �������
6
� − �������= ���
��− � � �
��
��
��
�� � ��−
���
�� � ����−
�
� � � �
� � ���
��−
�
� � � �����= �
��
��−
�
� � � �� � −
� � � � ��
� � � �
���
��−
���
� � � �����= � �
� � � �
��� �� − � �
�
���
� ���� ��
�� �� − � �� � � ��������=
����
�� �� � − � �� � � �� �
�� � � �� � � �� � −�
��� ���������� � − � �� ��
�� ��� −�
�����������= ������ − ���= � −
�
�
�� �� −��
��������������= ��� �� �� − ��
Keujudan dan Ketunggalan
Dibagian sebelumnya kita lihat bahwa persamaan diferensial orde satu terjadi dalam
banyak model. Tentu saja model itu berguna bila persamaan diferensial yang dihasilkan
dapat diselesaikan secara eksplisit, atau paling sedikit jika kita dapat menemukan teknik
yang beraneka ragam untuk menyelesaikan suatu PD, akan sangat bermanfaat
mengetahui apakah PD itu mempunyai penyelesaian atau tidak. Yaitu, apakah PD itu
ujud? Sebagai contoh PD, ����� � �� � � − � tidak mempunyai penyelesaikan real,
karena ruas kiri selalu positif,
Bentuk umum persamaan diferensial orde satu adalah
�� − � ������ � � ���
Bila kita ketahui nilai �� pada saat ��, atau
����� − �� � � � ����
Maka kita akan dapat mengetahui kedudukan/nilai y pada x berikutnya dan y akan
bergerak pada lintasan tunggal. Ini berarti, PD pada pers (1) mempunyai penyelesaian
yang memenuhi syarat (2), dan PD itu mempunyai hanya satu penyelesaian.
7
Syarat (2) disebut syarat awal; dan pers (1) dan syarat (2) disebut MASALAH NILAI AWAL
(MNA) atau Initial Value Problem.
PERSAMAAN LINEAR – Penggunaan Faktor Integrasi
Tinjau persamaan ��� �� − ��
Metode sebelumnya tidak dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan ini.
= kalikan kedua sisi dengan ��
�� ���� ��� �� − ��� �� − ��
Merupakan turunan dari �� ��
�
����� �� �− �� �������= ��� �� − � �� �� −
��
�� �
� � − ��
�� �� ���
Persamaan diatas dapat dinyatakan dalam bentuk ��� �� − ���persamaan ini disebut
persamaan linear orde pertama.
Untuk menyelesaikan persamaan ini, kalikan kedua sisi dengan sebuah factor integrasi
yang selalu berbentuk � ��� . Hal ini akan mengubah sisi kiri menjadi turunan dari hasil
kali.
Dari contoh sebelumnya ��� �� − �����P = 5
� ��� − �����= faktor integrasinya adalah �� .
Contoh: ��� � − ����= ���� �� − � (P=-1; Q=x)
Factor integrasi � ��� ���= �� ��� − � � �� − � �
Jadi factor integrasi = � ��
Kalikan kedua sisi dengan ��
= � � ����� �� � � − �� � �
�
��� � ����− �� � � ��= �� � � − � �� � ���
8
Integral disisi kanan dapat diselesaikan dengan integrasi perbagian.
� ���� − ��� � � ���
�� � � − ��� � ��� � � ��� − ��� � � � � � � �
� − �� � � � �� �
Tinjau ����� �� − � ; dimana P&Q fungsi dari x
Faktor integral − �� − � ���
����� � ��� � ��� � ��� − �� � ���
Turunan dari �� � ���
�
����� � ��� �− �� � ��� �����
�� � ��� − � �� � ��� ��
�
� − �� − � �������
Definisi Dasar Logaritma
����������− ������ � �� � − ������ − ��
�� � − � � �� ���� − ������� �� − ���� �
�� �����− ����� � �� � − ������ � − ��� −�
�
Contoh: ����� �� − � ��
Solusi: bagi kedua sisi dengan x
����
�� − ���������= ���� ��� − �
� − ��
��� − � �
Gunakan rumus ���� − � �������
9
�= diintegralkan terhadap x�
�� − � ��� − � ���
�� − �� �� � − �� ���− ��� −
�
��
���
��− � � �
�
���� − � �
�
��� − � �� � � �
Contoh: ��� ������� − �����
Selesaikan persamaan diferensial tersebut
��� ������� − �����������= ��� ��� − �
� − ������� − �����
�� − � ��� − � �������� − �����������
�� − �� �����− �����
���� − � �����������= ������� − �� ��������������
������� − ��
������ � �����= �� −
�
������ �
�
�����
� −�
������ � ����� ���
Contoh: Selesaikan PD berikut
�� � � ���� � − �� � �� �
Solusi: Bagi kedua sisi dengan � � �
����
� � ��� − �� � � ���������= � −
�
� � ��� − �� � � �
�� − � ��� − ��
������ − ������ � − � � �
���� − � ������������= ���� � � � − � �� � � ��� � � ���
���� � � � − � �� � � ���� −�� � � ��
�� �
� −�� � � ��
��
�
� � �
Contoh: selesaikan persamaan diferensial berikut
10
���� �� − � �
Solusi: �
���� �� − � � ����= ������ ���������� ������
����
�� − �� ������= � − �
�
��� − ��
� ��� − � ��
��� − � � �� �
�� − � ��� − �� �� � − �� ���− ��� −
�
��
���� − � ������������= ���
��− � ��
�
���� − � ����
���
��−
�
��� � �����������= � −
��
�� �� �
Contoh: carilah penyelesaian masalah nilai awal (MNA) atau Initial Value Problem
��� ��� − ������������ − �
Solusi: ��� ��� − ��������= � − � ���� − �
�� − � ��� − � � ���� − ���
���� − � ������� − � �� �����
�� �� �− � �� �� �
�� − ��
� �� �
� �
� − ��
��
�
�� � �������= � − ��
�� �� ��
���� − ���������= � − ��
�� �� � ������= ��� −
�
�
� − ��
��
�
� ��
Contoh: selesaikan PD berikut:
�� � � ����� �� − �
Solusi: kita bagi kedua sisi � � � �
11
����
� � � �� −
�
� � � ����������= � −
��
� � � ��� −
�
� � � �
� ��� − ���
� � � ��� −
�
����� � ���
�� − ��
�������� − ���������� − �� � � ��
��
���� − � �����������������= ��� � � � � − ��
� � � �� � � � ��� − �
�
� � � � ���
��� � � � � − ����� � � �
Contoh: selesaikan persamaan �� � ����� � − �� � ��� � jika diketahui � − ��
untuk � − �
Solusi: �� � ����� � − �� � ��� � bagi kedua sisi � � �
����
� � �� − �� � ������� − �
�
� � ��� − �� � ���
� ��� − ���
� � ��� − ����� � ��
�� − �������� − ���������− �� � ���� −
�
� � �
��
� � �− � �� � ���
�
� � ��� − � �� � ���� −
�� � ���
�� ������
= � −�� � ���
�� � �� � ��
� − ��� − �������= �� −�
�� ��� = � − �����
�� − �� � ��� � ��� � ��
PERSAMAAN BERNOULLI
Persamaan Bernoulli:
��� ��� − ��� � P & Q fungsi dari x
Bagi kedua sisi dengan �� �
12
��� ��� ������ − ��� � � �� �
Masukkan � − � ��� ��=��
��− �� � � ������ �
��
��
Jika persamaan (1) dikalikan dengan �� � � � menjadi
�� � � ���� ��� �� � � ������ − �� � � ���
��
��� �� � − � � ; dimana �� ��� � adalah fungsi dari x. selanjutnya dapat
diselesaikan dengan menggunakan sebuah factor integrasi.
�Contoh:
Selesaikan ��
��� � − �� ��
Solusi: bagi kedua sisi dengan ��� didapat ��� ��
��� ��� − �� � � ���
Bila � − � ��� − ���� − ���
� − � �� �����=��
��−
��
�����
��− � ��� �
��
��
��
��− ���� �
��
��
Maka persamaan (*) menjadi
���
��� � − �� �����= �
��
��� � − � ��
��
��� � − � �� �������= �� ������ �����
��
��� �� − �
� − ��� − � �� ����= ����������� ���������������→���� �→���
�� − � ��� − � �� − �
���� − � ������������= �� � − � � �� � ���
�� � − � � �� − �� � ������→ ���� − � �� ������� �� � � − �� � ����
= � − �
���
Bila kita cek kembali untuk melihat apakah y menyelesaikan persamaan asal
13
� − �
�������= ������→������ −
�
����� −
������ �
��
��������
��−
�� � � � � � �
�� � �� �−
�
�� � � ��
�
�� � � ��
��
��− � �
�� ��
�� � � ��
��
��− � � �� �
�
�����
�
− � � �� ���
��
��� � − �� ��� ��������= sesuai dengan soal
Contoh: selesaikan persamaan berikut
��� � ����
��− �������
Solusi: =�solusi dasar ��
��� �� − �� �
Bagi kedua sisi dengan �� �� � menghasilkan ��
���
�
�� −
�� ������
�� ���
Bagi kedua sisi dengan ��
�����
���
�
���� −
������
��� � � ���
Misal � − � ��� − ��� ����=��
��−
��
���
��
��− ��� �� ��
��
Kalikan persamaan (*) dengan -3; maka
��� ����
���
�
���� −
�����
������=
��
���
�
�� −
�����
��
Selesaikan persamaan dengan metode ���� −�
��� −
������
��
�� − � ��� − ���
�� − ��� � − �� �� − ��
���� − � ������������= ��� � − �������
���� ��
��� � − � ��������� − ������� � ����
Karena � − � �� � maka ��� �� − �������� � ����
14
��
��− �������� � �������= � � −
��
�������� � �
� �� −��
�������� � �
Contoh: selesaikan � � �� ���
��− ��� � ��� �
Solusi: bagi kedua sisi dengan � ��
��
���
�
��� − �
�����
��� � merupakan bentuk dasar
��
��� �� − �� �
Bagi kedua sisi dengan ��
��� ���
���
�
����� − �
�� � ��
������������������ − ���� − ���
��
��−
��
�����
��− ����� �
��
��
Kalikan ��� dengan ������=
����� ���
���
�
���� − �� � � ������=
��
���
�
��� − � � �
Selesaikan dengan factor integral; � −�
��� − � � �
�� − � ��� − ���
�� − �� � − �
���� − � ������������= ��� − � �� � � �� �� − � ��� � ����
��� −��
��
��
�� ��� karena � − � ��
��� �� −��
��
��
�� ���������=
�
��−
��� � �� � �
��� − ��
�� −��
��� � �� � � �
15
Aplikasi PDB Order Satu
��� Masalah Dalam Mekanik
Misal �x adalah perubahan jarak yang ditimbulkan benda bergerak selama
waktu �t maka kecepatan rata�rata dide�nisikan
vr ��x
�t�
xB � xAtB � tA
�
Selanjutnya kecepatan sesaat adalah
v � lim���
vr � lim�t��
�x
�t
v �dx
dt�m�dt��
v �dv
dt�m�dt��
Hukum ����� �Hukum Newton I� Hukum ini juga disebut hukum Kelemba�
man Newton yang berbunyi� setiap benda akan tetap berada pada keadaan diam
atau bergerak lurus beraturan kecuali jika benda itu dipaksa oleh gaya�gaya yang
bekerja pada benda itu
16
Hukum ����� �Hukum Newton II� Percepatan yang ditimbulkan oleh gaya
yang bekerja pada sebuah benda berbanding lurus �sebanding� dengan besar
gaya itu dan berbanding terbalik dengan massa kelembaman banda itu Se�
cara matematis dapat ditulis sebagai a � F�m atau F � ma dimana F adalah
gaya dan m suatu massa
Analog dengan hukum Newton II ini gerak jatuh bebas suatu benda dengan
berat W tanpa mengikutsertakan gaya gesek udara adalah
W � mg�
F dalam hal ini direpresentasikan dengan W dan a � g sehingga bisa kita tulis
mg � W
ma � F
mdv
dt� F
mdv
dx
dx
dt� F
mvdv
dx� F
adalah model dari PDB order satu
Contoh ����� Benda dengan berat � newton dijatuhkan dari suatu ketinggian
tertentu� yang bearawal dari keadaan diam� Jika kecepatan benda jatuh itu v�
dan kecepatan gravitasi bumi adalah g � ��m�dt�� serta gaya gesek udara adalah
��v� Tentukan ekspresi kecepatan v dan jarak x pada saat tertentu�
17
Penyelesaian ����� Hukum newton mengatakan F � ma atauP
F � ma
Dalam hal ini f� � W � � newton �gaya kebawah� dan F� �gaya gesek udara
� ��v �gaya keatas� sehingga
mdv
dt� F� � F�
�
��
dv
dt� �� �v
�
�� �vdv �
��
�dt
Karena benda berawal dari keadaan diam maka v��� � � sehingga model PDB
sekarang adalah
�
�� �vdv �
��
�dt
v��� � �
Integralkan kedua ruasnya didapat
��
�ln��� �v� � c� �
��
�t� c�
ln��� �v� � ��
�t� c�
��� �v� � e��
�t�c�
�v � �Ce��
�t � �
v ��
���� Ce�
�
�t�
Dengan memasukkan nilai awal v��� � � maka c � � sehingga ekspresi kecepatan
adalah
v�t� � �� �e��
�t�
Selanjutnya untuk menentukan ekspresi jarak maka rubah v�t� kedalam v � dxdt
18
sehingga model PDB sekarang adalalah
dx
dt� �� �e�
�
�t
x��� � �
Dengan cara yang sama untuk solusi PDB ini maka ekspresi jarak terhadap waktu
adalah
x�t� � �t��
�e�
�t �
�
�
��� Pertumbuhan dan Peluruhan
Jika Q menunjukkan jumlah kuantitas atau kualitas sesuatu dalam waktu t
maka perubahan �bertambah�pertumbuhan atau berkurang�peluruhan� yang
disimbulkan dengan dQdt
berbanding lurus dengan kuantitas Q dengan kata lain
dQ
dt� rQ pertumbuhan
dQ
dt� �rQ peluruhan
����� Pertumbuhan Populasi
Jika y adalah jumlah populasi dalam waktu t k adalah konstanta proportionalitas
atau tingkat pertumbuhan maka model PDB pertumbuhan populasi adalah
dy
dt� ky
y�t�� � y�
19
Selanjutnya bila k berubah�ubah maka dapat kita ganti dengan h�y� yang dapat
dipilih h�y� � r � ay maka model pertumbuhan menjadi dydt� �r � ay�y
dy
dt� r���
y
K�y dimana K �
r
a
y�t�� � y�
PDB ini dikenal dengan persamaan Verhulst atau persamaan Logistik Solusi
kualitatif persamaan ini untuk r dan K positip adalah tertera dalam Gambar
��
-3
-2
-10123
y(x)
-1
-0.5
0.5
11.5
22.5
x
Asymptotic solution
Gambar ��� Solusi kualitatif persamaan pertumbuhan populasi
Contoh ����� Pertumbuhan populasi memenuhi model sebagai berikut
dx
dt�
�
���x�
�
�����x�
Bila tahun ���� jumlah populasinya ������� maka
�� berapa besar populasi tahaun ����
�� tahun berapa jumlah populasi akan menjadi �� tahun ����
� berapa jumlah populasi terbesar untuk t � ����
20
Penyelesaian ����� Bila tahun ���� jumlah populasi ��� ��� maka dapat dikatakan
x������ � ���� ��� sehingga model PDB sekarang adalah
dx
dt�
�
���x�
�
�����x�
x�t�� � x�
Rubah kedalam kedalam PD dengan variabel terpisah
�
������x� ������x�dx � dt
Integralkan kedua ruasnya
Z�
������x��� ������x�dx �
Zdt
���
Z�
x�
������
�� ������xdx �
Zdt
����ln x� ln��� ������x�
�� c� � t� c�
lnx
�� ������x�
t
���� c�
x
�� ������x� e
t
����c�
x
�� ������x� ce
t
���
x �ce
t
���
� � ������cet
���
Terapkan nilai awal x������ � ���� ��� didapat c � �����
e����sehingga
x�t� ����
� � �e����t��������
Dengan demikian beberapa pertanyaan itu dapat diselesaikan sebagai berikut
� jumlah populasi tahun ���� artinya t � ���� Substitusikan nilai t ini
kedalam persamaan �� didapat x � ���� ��� Dengan demikian jumlah
populasi tahun ���� adalah ��� ��� orang
21
� jumlah populasi �� tahun ���� berarti x � ���� ��� Substitusikan nilai
x ini kedalam persamaan �� didapat t � ���� Dengan demikian jumlah
populasi akan dua kali lipat tahun ���� dicapai pada tahun ����
� Besar populasi untuk waktu yang tidak terbatas �t��� berarti
x � limt��
���
� � �e����t����
x � limt��
���
� � �e���et����
x � ��� � �� ���� ���
Dengan demikian jumlah maksimum populasi untuk waktu yang tidak ter�
batas adalah satu juta orang
����� Peluruhan Radioaktif
Contoh ����� Radioaktif isotop Thorium�� meluruh pada tingkat yang seband�
ing dengan jumlah isotop� Jika ��� mg dari material meluruh menjadi ���� mg
dalam satu minggu� maka
�� tentukan ekspresi jumlah pada saat tertentu
�� tentukan interval waktu sehingga isotop itu meluruh menjadi setengah dari
jumlah semula�
Penyelesaian ����� Gunakan rumus peluruhan MisalQ jumlah isotop Thorium�
��� maka dalam waktu t model peristiwa peluruhan itu adalah
dQ
dt� �rQ
Q��� � ���
22
Kemudian selesaikan PDB ini akan diperoleh
Q�t� � ���e�rt
Kemudian terapkan sarat kedua yakni dalam satu minggu �� hari� isotop men�
jadi ���� mg artinya Q��� � ����� mg akan didapat nilai r sedemikian hingga
ekspresi jumlah terhadap waktu �hari� adalah
Q�t� � ���e��������t�
Dengan mengetahui ekspresi ini akan menjadi mudah untuk mengerjakan pertanyaan�
pertanyaan diatas �Teruskan sebagai latihan�
��� Hukun Pendinginan Newton
Perubahan suhu suatu benda atau bahan yang mengalami proses pendinginan
sebanding dengan perbedaan antara suhu benda dan suhu disekitarnya Dengan
demikian bila Suhu benda itu adalah x dan suhu sekitarnya itu adalah xs maka
proses pendinginan Newton terhadap waktu t digambarkan dengan
dx
dt� k�x� xs�� k � �
dimana k adalah konstanta tingkat pendinginan
Contoh ����� Suatu benda dengan suhu ��oC diletakkan diruangan yang bersuhu
��oC pada saat t � �� Dalam waktu � menit suhu benda tersebut menjadi ��oC�
maka
�� tentukan fungsi suhu pada saat tertentu
�� tentukan besarnya suhu benda pada �� menit terakhir
23
� kapan suhu menjadi ��oC
Penyelesaian ����� Dengan memahami persoalan ini maka model PDB proses
pendinginan dapat ditulis sebagai
dx
dt� k�x� ���
x��� � �� dan x��� � ��
Solusi dari persamaan itu adalah
ln�x� ��� � c� � kt� c�
�x� ��� � cekt
x � �� � cekt
Masukkan nilai awal maka nilai c � �� sehingga persamaan menjadi
x � �� � ��ekt
Dan masukkan kondisi kedua didapat
ek ����
� �
�
sehingga ekspresi terakhir menjadi
x�t� � �� � �����
� t
�
Selanjutnya anda selesaikan pertanyaan diatas dengan memakai ekspresi ini
��� Campuran
Suatu bahan dengan konsentrasi terterntu dicampur dengan bahan lain dalam
suatu tempat sehingga bahan bercampur dengan sempurna dan menjadi campu�
ran lain dengan konsentrasi berbeda Bila Q menunjukkan jumlah bahan pada
24
saat tertentu maka perubahan Q terhadap t ditunjukkan dengan dQdt Kemudian
bila proses yang terjadi adalah terdapat campuran masuk dan campuran yang
keluar dimana laju jumlah bahan masuk dinyatakan dengan proses IN dan laju
jumlah bahan keluar dinyatakan dengan proses OUT maka
dQ
dt� IN � OUT
K= L literQ(0) = Q_0 gram
v =r liter/mink =s gram/liter
v =r liter/min
Gambar ��� Proses campuran dalam tangki
Dimana bila laju masuk sama dengan laju keluar maka
IN � kv � sr gram�liter
OUT �Q
Kv �
Qr
Lgram�liter
Contoh �����
Suatu tangki mula�mula berisi ��� liter larutan yang mengandung ��� gram garam�
Larutan �lain yang mengandung garam dengan konsentrasi � gram�liter masuk
kedalam tangki dengan laju liter�menit dan bercampur dengan sempurna� ke�
mudian campuran itu diperkenankan keluar dengan laju liter�menit�
�� Formulasikan masalah nilai awal tersebut
25
�� Tentukan jumlah garam Q setiap saat�
Penyelesaian ����� Formula campuran adalah
dQ
dt� IN �OUT�
Diketahui s � � gram�liter� r � � liter�menit� L � ��� liter dan Q��� � ���
didapat
IN � kv � s gram�liter � r liter�menit � � gram�liter
OUT �Q
Kv �
Q
Kgram�liter � r liter�menit �
�Q
���gram�liter
Sehingga
� Model PDBnya adalah
dQ
dt� ��
�Q
���� ��
Q
��
Q��� � ���
� Dengan menyelesaikan PDB ini didapat ekspresi jumlah garam setiap saat
Q�t� � ���� ���e�t��
26
Top Related