1
PENGARUH MODEL PEMBELAJARAN KOOPERATIF TIPE TGT
BERKOLABORASI NHT TERHADAP HASIL BELAJAR MATEMATIKA
SISWA KELAS XI MIA SMA ISLAM SUDIRMAN AMBARAWA
JURNAL
Disusun Untuk Memenuhi Syarat Guna Mencapai Gelar Sarjana Pendidikan
Program Studi S1 Pendidikan Matematika
Oleh
WIDIYA ASTUTI
202012074
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA
SALATIGA
2016
2
3
4
5
6
PENGARUH MODEL PEMBELAJARAN KOOPERATIF TIPE TGT
BERKOLABORASI NHT TERHADAP HASIL BELAJAR MATEMATIKA
SISWA KELAS XI MIA SMA ISLAM SUDIRMAN AMBARAWA
Widiya Astuti1
Erlina Prihatnani2
Tri Nova Hasti Yunianta3
Pendidikan Matematika FKIP Universitas Kristen Satya Wacana
Jl. Diponegoro 52 – 60 Salatiga, Jawa Tengah 50711 1Mahasiswa Pendidikan Matematika FKIP UKSW, e-mail : [email protected]
2Dosen Pendidikan Matematika FKIP UKSW, e-mail : [email protected]
3Dosen Pendidikan Matematika FKIP UKSW, e-mail : [email protected]
Abstrak
Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui ada tidaknya pengaruh model pembelajaran kooperatif tipe TGT
berkolaborasi NHT terhadap hasil belajar matematika dalam materi peluang. Jenis penelitian ini merupakan
penelitian eksperimen semu dengan desain the randomize control group pretest-posttest design. Populasi
dalam penelitian ini adalah semua siswa kelas XI MIA SMA Islam Sudirman Ambarawa Semester 2 Tahun
Pelajaran 2015/2016. Pengambilan sampel dilakukan dengan teknik cluster random sampling dan diperoleh
siswa kelas XI MIA 3 (kelas eksperimen) yang diajar dengan model pembelajaran kooperatif tipe TGT
berkolaborasi NHT dan siswa kelas XI MIA 2 (kelas pembanding) yang diajar dengan model pembelajaran
kooperatif tipe TGT yang masing-masing terdiri dari 32 siswa. Instrumen yang digunakan dalam penelitian
ini adalah posttest untuk mengukur hasil belajar matematika siswa. Uji coba validasi instrumen tes meliputi
validasi ahli, validitas butir soal, dan reliabilitas instrumen. Analisis data terdiri dari uji normalitas dengan
uji kolmogorov-smirnov, uji homogenitas dengan uji Levene dan uji beda rerata dengan independent sample
t-test. Semua uji dilakukan pada taraf signifikansi 5% dengan alat bantu perhitungan software SPSS 16.0 for
windows. Uji beda rerata untuk data pretest menghasilkan signifikansi sebesar 0,756 (lebih dari 0,05),
artinya kondisi kemampuan awal kedua kelas seimbang. Adapun analisis data posttest menghasilkan nilai
rata-rata kelas eksperimen (67,00) lebih tinggi dari kelas pembanding (47,53) dengan hasil uji beda rerata
menghasilkan nilai signifikansi mendekati nol yang kurang dari 0,05. Hal ini berarti hasil belajar siswa yang
dikenai model pembelajaran kooperatif tipe TGT berkolaborasi NHT secara signifikan lebih baik, sehingga
dapat disimpulkan bahwa terdapat pengaruh model pembelajaran kooperatif tipe TGT berkolaborasi NHT
terhadap hasil belajar matematika bagi siswa kelas XI MIA SMA Islam Sudirman Ambarawa.
Kata Kunci : teams games tournament (tgt), numbered head together (nht), hasil belajar, peluang
PENDAHULUAN
Matematika mempunyai peran yang sangat penting baik dalam kehidupan sehari-hari maupun
dalam pengembangan ilmu pengetahuan lain. Tanpa mengesampingkan pentingnya disiplin ilmu
lain, matematika memberikan sumbangan langsung dan mendasar terhadap bidang ekonomi,
kesehatan, pendidikan, pertahanan, ilmu pengetahuan, teknologi, dan lain-lain. Diperlukan
penguasaan matematika yang kuat guna menguasai dan memanfaatkan teknologi di masa depan
(Mulbar, 2012).
Menurut Bruner (Dahar, 2011:79), siswa dalam belajar matematika hendaknya berpartisipasi
secara aktif dengan konsep dan prinsip-prinsip untuk memperoleh pengalaman dan melakukan
eksperimen-eksperimen. Sejalan dengan itu, Cobb (Suherman, 2003:71) menyebutkan bahwa dalam
7
belajar matematika, siswa dituntut untuk terlibat aktif dalam mengkonstruksi pengetahuan
matematika. Tujuan pembelajaran matematika adalah untuk membekali peserta didik dengan
kemampuan berfikir logis, analitis, sistematis, kritis, dan kreatif serta kemampuan bekerjasama
(Permendiknas Nomor 22 Tahun 2006).
Pemerintah telah merumuskan standar minimum suatu proses pembelajaran. Standar ini juga
harus digunakan dalam pembelajaran matematika agar tujuan pembelajaran matematika dapat
tercapai. Standar proses minimum tersebut tercantum dalam Permendikbud Nomor 65 Tahun 2013.
Peraturan tersebut menyebutkan bahwa pembelajaran (matematika) hendaknya diselenggarakan
sesuai dengan perencanaan pembelajaran, pelaksanaan proses pembelajaran, serta penilaian proses
pembelajaran untuk meningkatkan efisiensi dan efektivitas ketercapaian kompetensi lulusan. Akan
tetapi tidak semua pembelajaran telah berjalan seperti yang diharapkan.Masih terdapat
pembelajaran matematika yang berfokus pada guru dan tidak memberi ruang siswa untuk aktif
(Sari, 2013).
Guru hendaknya menerapkan model pembelajaran yang memungkinkan siswa untuk dapat
berpartisipasi aktif dalam pembelajaran matematika. Salah satu model pembelajaran yang memberi
kesempatan siswa untuk aktif dalam pembelajaran adalah model pembelajaran kooperatif. Model ini
menuntut siswa untuk bekerja sama dalam belajar dan bertanggung jawab terhadap teman satu
timnya. Proses ini menjadikan siswa lebih aktif dan guru hanya bertindak sebagai fasilitator. Model
pembelajaran kooperatif menurut Slavin (2005: 4) adalah strategi pembelajaran yang mendorong
siswa bekerja sebagai sebuah tim untuk menyelesaikan sebuah masalah, menyelesaikan suatu tugas
atau mengerjakan sesuatu untuk mencapai tujuan bersama. Pembelajaran kooperatif menurut
Jhonson dalam Huda (2011: 31) adalah working together to accomplish shared goal, artinya
pembelajaran dengan cara bekerjasama untuk mencapai tujuan bersama. Meskipun demikian, proses
ini bukan merupakan proses yang mudah dilakukan di kelas.
Salah satu kendala untuk mewujudkan kerja kelompok yang bagus adalah sulitnya guru untuk
memberi dorongan kepada siswa yang mempunyai kemampuan lebih untuk bersedia membantu
teman yang kurang menguasai materi dan mengatasi keengganan atau ketidakmauan siswa yang
kesulitan untuk bertanya. Salah satu tipe model pembelajaran kooperatif yang dapat meminimalisasi
kelemahan ini adalah Teams Games Tournament (TGT).
Pembelajaran kooperatif tipe TGT adalah salah satu tipe pembelajaran kooperatif yang mudah
diterapkan, melibatkan aktivitas seluruh siswa tanpa harus ada perbedaan status, melibatkan peran
siswa sebagai tutor sebaya dengan adanya reinforcement (bertukar informasi) di dalam kelompok
serta mengandung permainan, dimana dalam permainan tersebut terdapat persaingan individu
dengan kemampuan yang setara dalam turnamen (Slavin, 2005). Menurut Slavin (2005: 166),
8
Suprijono (2009: 65), dan Trianto (2010: 84) terdapat lima tahap dalam TGT, yaitu tahap presentasi
di kelas, tahap tim, tahap game, tahap turnamen, dan tahap penghargaan kelompok.
Tahap presentasi di kelas adalah tahap dimana guru menyampaikan materi dalam penyajian
kelas, biasanya dilakukan dengan pengajaran langsung atau dengan ceramah, dan diskusi yang
dipimpin guru. Tahap tim adalah tahap dimana masing-masing kelompok mengerjakan soal dan
memastikan semua anggota kelompok benar-benar belajar. Satu kelompok terdiri dari siswa-siswa
dengan kemampuan yang berbeda (heterogen). Tahap game adalah tahap dimana dari masing-
masing kelompok adu cepat menjawab pertanyaan-pertanyaan dari guru untuk mendapatkan poin
kelompok. Tahap turnamen adalah tahap dimana dari masing-masing anggota kelompok akan
bertanding dengan anggota kelompok lain yang memiliki kemampuan homogen untuk
memperebutkan poin yang akan dibawa kepada kelompoknya. Tahap penghargaan kelompok
adalah tahap pemberian penghargaan kelompok kepada kelompok yang memiliki poin tertinggi
(hasil poin di game dan turnamen).
Salah satu kelemahan model pembelajaran kooperatif tipe TGT adalah pengelompokan siswa
yang dilakukan secara heterogen sehingga besar kemungkinan pada masing-masing kelompok
terdapat siswa yang mendominasi. Hal ini memang berdampak baik pada tahap tim, namun pada
game dominasi siswa tertentu dalam menjawab pertanyaan yang diberikan akan membuat anggota
lainnya tidak berperan aktif dan hanya bergantung pada siswa tersebut. Oleh karena itu, muncul ide
untuk menggabungkan TGT dengan model pembelajaran lain yang dapat mengatasi kelemahan ini.
Model yang dapat digunakan adalah model yang memberikan peluang yang sama kepada setiap
siswa untuk menjawab pertanyaan yang diajukan sehingga tidak ada dominasi siswa tertentu dalam
mewakili kelompoknya. Salah satu model yang memenuhi kriteria tersebut adalah Numbered Head
Together (NHT).
Adapun langkah-langkah model pembelajaran kooperatif tipe NHT menurut Slavin (2005:
256), Suprijono (2009: 92), Kosasih (2010: 61), dan Trianto (2010: 63) adalah: 1) Penomoran, fase
ini guru membagi siswa ke dalam kelompok yang terdiri dari tiga sampai lima orang dan kepada
setiap anggota kelompok diberi nomor antara satu sampai lima; 2) Pengajuan pertanyaan, guru
mengajukan sebuah pertanyaan kepada siswa atau berbentuk arahan; 3) Berpikir bersama, siswa
menyatukan pendapatnya terhadap jawaban pertanyaan itu dan meyakinkan tiap anggota dalam
timnya mengetahui jawaban tim; 4) Pemanggilan nomor, guru memanggil satu nomor tertentu
kemudian siswa yang nomornya sesuai mengacungkan tangannya dan menjawab pertanyaan untuk
guru. NHT dapat digunakan untuk mengecek pemahaman anak terhadap mata pelajaran dengan cara
melibatkan lebih banyak peserta didik menelaah materi yang tercakup sehingga dapat meningkatkan
penguasaan akademik dan kemampuan berpikir kritis.
9
Model pembelajaran kooperatif tipe TGT dan NHT ini mempunyai persamaan yaitu adanya
pembagian kelompok-kelompok kecil dengan kemampuan siswa secara heterogen di setiap
kelompoknya. Pembelajaran kooperatif tipe TGT dan NHT ini mengutamakan kerja sama dan
memberikan kesempatan bagi anggota kelompok untuk saling bertukar pikiran atau informasi
kemudian membuat kesimpulan untuk mendapatkan jawaban yang paling tepat (Slavin, 2005).
Keberhasilan suatu model pembelajaran salah satunya dapat dilihat dari hasil belajar
matematika. Hasil belajar menurut Sudjana (2010) merupakan kemampuan-kemampuan yang
diterima siswa setelah menerima pengalaman belajar. Lebih lanjut Arikunto (2006) menyebutkan
bahwa hasil belajar merupakan penilaian yang dicapai seorang siswa untuk mengetahui sejauh mana
materi pelajaran atau materi yang diajarkan sudah diterima oleh siswa. Dimyati dan Mudjiono
(2006) mengatakan bahwa hasil belajar adalah hasil yang dicapai dalam bentuk angka-angka atau
skor setelah diberi tes pada setiap akhir pelajaran. Adapun hasil belajar menurut Soedijarto (2003)
adalah tingkat penguasaan yang dicapai oleh siswa dalam mengikuti program belajar mengajar
sesuai dengan tujuan pendidikan yang akan diperlihatkan melalui skor yang diperoleh dalam tes.
Beberapa penelitian tentang penerapan model pembelajaran kooperatif tipe TGT terhadap hasil
belajar telah dilakukan, diantaranya penelitian Atik (2011) pada materi logaritma bagi siswa kelas X
MAN, penelitian Yanti (2014) pada materi persamaan garis lurus bagi siswa kelas VIII SMP,dan
penelitian Roji’ah, dkk (2015) pada materi aljabar bagi siswa kelas VIII SMP. Ketiga hasil
penelitian tersebut menunjukkan bahwa TGT dapat menghasilkan hasil belajar yang lebih baik.
Selain itu, ada pula penelitian yang meneliti pengaruh kolaborasi antara TGT dengan model
lain, diantaranya penelitian Hermia, dkk (2014) dengan model Make A Match, Affan (2015) dengan
model Quiz-Quiz Trade, dan Annisa, dkk (2015) dengan model Kancing Gemerincing. Ketiga
penelitian tersebut juga menyimpulkan bahwa dengan penggunaan model TGT yang berkolaborasi
dengan model-model tersebut menghasilkan hasil belajar yang lebih baik. Penelitian ini dilakukan
pada materi peluang. Hal ini dikarenakan soal terkait peluang memiliki waktu yang singkat dan
lebih cepat pada saat mengerjakan soal team, game, dan turnamen.
Berdasarkan uraian tersebut maka dilakukan penelitian tentang penerapan TGT baik yang
berkolaborasi dengan NHT maupun tidak berkolaborasi dengan NHT. Penelitian ini dilakukan pada
pembelajaran matematika siswa kelas XI MIA SMA Islam Sudirman Ambarawa dalam materi
peluang. Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui ada tidaknya pengaruh model pembelajaran
kooperatif tipe TGT berkolaborasi NHT terhadap hasil belajar matematika siswa kelas XI MIA
SMA Islam Sudirman Ambarawa. Penelitian ini diharapkan dapat mewujudkan proses
pembelajaran yang lebih berfokus pada siswa, sehingga dapat dijadikan referensi yang
10
menginspirasi guru dalam memilih dan menerapkan model pembelajaran yang sesuai dengan
standar proses.
METODE PENELITIAN
Jenis penelitian yang digunakan dalam penelitian ini adalah penelitian eksperimen semu.
Penelitian eksperimen semu adalah penelitian eksperimen yang mempunyai kelompok kontrol,
tetapi tidak dapat berfungsi sepenuhnya untuk mengontrol variabel-variabel luar yang
mempengaruhi pelaksanaan eksperimen (Sugiyono, 2012: 114). Penelitian ini dilaksanakan di SMA
Islam Sudirman Ambarawa yang berlokasi di Jalan Jendral Sudirman No. 2A, Ambarawa 50612.
Populasi dalam penelitian ini adalah siswa kelas XI MIA SMA Islam Sudirman Ambarawa
Semester 2 Tahun Pelajaran 2015/2016 yang terdiri dari 128 siswa yang terbagi dalam 4 kelas.
Teknik pengambilan sampel dalam penelitian ini menggunakan teknik Cluster Random
Samplingdan diperoleh dua kelas sampel yaitu kelas XI MIA 3 (kelas eksperimen) yang diajar
dengan model pembelajaran kooperatif tipe TGT berkolaborasi NHT dan siswa kelas XI MIA 2
(kelas pembanding) yang diajar dengan model pembelajaran kooperatif tipe TGT, masing-masing
terdiri dari 32 siswa. Pelaksanaan pembelajaran terdiri dari 6 kali pertemuan dimana setiap
pertemuan berlangsung selama 2 jam pelajaran (2 x 45 menit) untuk masing-masing kelas.
Variabel penelitian ini terdiri dari dua jenis yaitu variabel bebas dan variabel terikat. Variabel
bebas dalam penelitian ini berupa model pembelajaran yang terbagi dua jenis, yaitu model
pembelajaran kooperatif tipe TGT berkolaborasi NHT dan model pembelajaran kooperatif tipe
TGT. Adapun variabel terikat dalam penelitian ini adalah hasil belajar matematika. Desain
penelitian ini menggunakan the randomized control group pretest-posttest design, yaitu
menggunakan dua kelas yang dipilih secara acak, kemudian mengambil data pretest untuk
mengetahui keseimbangan kondisi awal kedua kelompok sampel dan data posttest untuk
mengetahui hasil belajar kedua kelompok sampel setelah diberi perlakuan yang berbeda sebagai
dasar uji hipotesis.
Teknik pengumpulan data menggunakan metode dokumentasi yang digunakan untuk
memperoleh data nilai ulangan tengah semester yang dijadikan data pretest, metode observasi yang
digunakan untuk mengukur pelaksanaan model pembelajaran yang telah dirancang dan untuk
mengetahui aktivitas siswa dalam proses pembelajaran, dan metode tes yang digunakan untuk
mengambil data hasil belajar matematika siswa setelah adanya perlakuan. Instrumen yang
digunakan dalam penelitian ini adalah lembar observasi guru dan tes. Dalam lembar observasi
responden cukup memberikan tanda centang pada kolom “2” bahwa kegiatan dilaksanakan sesuai
aspek dengan sangat baik, kolom “1” bahwa kegiatan dilaksanakan sesuai aspek dengan cukup baik,
11
dan kolom “0” bahwa kegiatan tidak dilaksanakan sesuai aspek yang digunakan untuk mengamati
tingkah laku peneliti sewaktu mengajar. Instrumen tes dalam penelitian ini berupa posttest yaitu tes
yang digunakan untuk mengukur hasil belajar setelah adanya perbedaan perlakuan antara dua
kelompok sampel. Tes berbentuk soal pilihan ganda yang pada awalnya terdiri dari 20 butir yang
terbagi atas empat indikator yaitu mendeskripsikan dan menerapkan berbagai aturan pencacahan
melalui beberapa contoh nyata serta menyajikan alur perumusan aturan pencacahan (perkalian,
permutasi, dan kombinasi) melalui diagram atau cara lainnya; menerapkan berbagai konsep dan
prinsip permutasi dan kombinasi dalam pemecahan masalah nyata; memilih dan menggunakan
aturan pencacahan yang sesuai dalam pemecahan masalah nyata serta memberikan alasannya; serta
mengidentifikasi masalah nyata dan menerapkan aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi dalam
pemecahan masalah tersebut. Sebelum instrumen tes digunakan terlebih dahulu dilakukan uji
validitas konstruktor yang divalidasi tiga pakar yaitu oleh Marcus Subagya, S.Si., M.Pd., Irnawati,
S.Pd., dan Wagino, S.Pd. Ketiga validator menyatakan bahwa instrumen layak untuk digunakan.
Sedangkan, untuk menentukan nilai hasil belajar berdasarkan hasil pengerjaan tes oleh sampel,
dilakukan uji validitas butir soal dan reliabilitas instrumen. Uji ini menghasilkan 19 butir yang valid
dengan tingkat reliabilitas sebesar 0,813 lebih dari 0,7 (sangat reliabel). Oleh karena itu, hasil
belajar dari sampel hanya diperoleh dari penjumlahan skor 19 butir soal tersebut.
Analisis data dalam penelitian ini terbagi menjadi dua bagianyaitu analisis deskriptif dan
analisis inferensial. Analisis deskriptif digunakan untuk mendeskriptifkan hasil belajar matematika
dari kedua kelas sampel. Sebaran nilai kelompok baik pretest maupun posttest dibagi menjadi 3
kategori, yaitu rendah, sedang, dan tinggi. Penentuan panjang kelas interval untuk masing-masing
kategori yaitu dengan mengurangkan nilai terbesar dikurangi nilai terkecil kemudian dibagi jumlah
kelas interval. Menentukan panjang kelas interval, panjang kelas
(Sugiyono, 2012: 80). Selanjutnya, dilakukan analisis inferensial untuk menguji keseimbangan
kondisi awal dan hipotesis dari penelitian ini.
Hipotesis dalam penelitian ini adalah terdapat pengaruh penggunaan model pembelajaran
kooperatif tipe TGT berkolaborasi NHT terhadap hasil belajar matematika siswa kelas XI MIA
SMA Islam Sudirman Ambarawa. Hipotesis penelitian diuji dengan Independent sample t-test
dengan terlebih dahulu menguji normalitas data dengan uji Kolmogorov-Smirnov dan uji
homogenitas dengan Levene’s. Uji normalitas digunakan untuk mengetahui apakah data berasal dari
populasi yang berdistribusi normal atau tidak sedangkan uji homogenitas digunakan untuk menguji
apakah data berasal dari populasi yang homogen atau tidak. Jika hasil uji homogen maka
menggunakan Independent sample t-test dengan tipe Equal variances assumed dan jika hasil uji
12
tidak homogen maka menggunakan Independent sample t-test dengan tipe Equal variances not-
assumed. Keseluruhan uji dilakukan dengan taraf signifikansi 5% menggunakan alat bantu
perhitungan berupa software SPSS 16.0 for windows.
HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN
A. Deskripsi Pelaksanaan Pembelajaran
Pelaksanaan pembelajaran dengan menggunakan model kooperatif tipe TGT berkolaborasi
NHT dilaksanakan selama 6 kali pertemuan yang masing-masing terdiri dari 2 jam pelajaran (2
x 45 menit). Pelaksanaan pembelajaran dalam penelitian ini mengambil materi peluang dengan
kompetensi inti (1) menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya, (2) menghayati
dan mengamalkan perilaku jujur, disiplin, tanggungjawab, peduli (gotong royong, kerjasama,
toleran, damai), santun, responsif dan pro-aktif dan menunjukkan sikap sebagai bagian dari
solusi atas berbagai permasalahan dalam berinteraksi secara efektif dengan lingkungan sosial
dan alam serta dalam menempatkan diri sebagai cerminan bangsa dalam pergaulan dunia, (3)
memahami, menerapkan, dan menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, prosedural, dan
metakognitif berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya,
dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait
penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian
yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah, (4) mengolah,
menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah abstrak terkait dengan pengembangan dari
yang dipelajarinya di sekolah secara mandiri, bertindak secara efektif dan kreatif, serta mampu
menggunakan metoda sesuai kaidah keilmuan. Adapun kompetensi dasar dalam materi peluang
adalah mendeskripsikan dan menerapkan berbagai aturan pencacahan melalui beberapa contoh
nyata serta menyajikan alur perumusan aturan pencacahan (perkalian, permutasi, dan
kombinasi) melalui diagram atau cara lainnya; menerapkan berbagai konsep dan prinsip
permutasi dan kombinasi dalam pemecahan masalah nyata; memilih dan menggunakan aturan
pencacahan yang sesuai dalam pemecahan masalah nyata serta memberikan alasannya; serta
mengidentifikasi masalah nyata dan menerapkan aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi
dalam pemecahan masalah tersebut.
1. Pertemuan Pertama
Guru membagi siswa menjadi 8 kelompok secara heterogen berdasarkan peringkatnya,
kemudian siswa diminta bergabung dengan kelompoknya. Selanjutnya, guru membagikan
LKS I kepada siswa dan menjelaskan materi mengenai ruang sampel dan kejadian serta
kaidah pencacahan tentang jalur dengan tanya jawab kepada siswa (kode yang disebutkan
13
guru wajib menjawab pertanyaan). Guru membagikan Lembar Kerja Team I pada setiap
kelompok dan guru meminta siswa mengerjakan soal tersebut. Setelah diskusi selesai,
selanjutnya guru akan memanggil salah satu kode dan kode yang disebutkan wajib
menuliskan hasil diskusinya di depan kelas dan menjelaskan kepada teman-temannya.
Kemudian, guru menjelaskan kaidah pencacahan tentang pelat mobil dan angka dengan
melakukan tanya jawab kepada siswa (kode yang disebutkan guru wajib menjawab
pertanyaan). Guru membagikan Lembar Kerja Team II pada setiap kelompok dan guru
meminta siswa mengerjakan soal tersebut. Setelah diskusi selesai, selanjutnya guru akan
memanggil salah satu kode dan kode yang disebutkan wajib menuliskan hasil diskusinya di
depan kelas dan menjelaskan kepada teman-temannya. Pada akhir kegiatan, guru
menayangkan Game I untuk semua kelompok, namun gurulah yang memilih secara acak
anggota tim yang boleh menjawab. Pemanggilan nomor dilakukan terus menerus oleh guru,
sehingga setiap siswa memiliki peluang untuk menjawab pertanyaan dari guru.
2. Pertemuan Kedua
Guru meminta siswa untuk berkumpul dengan kelompok seperti pada pertemuan
sebelumnya. Guru membagikan LKS II kepada siswa dan menjelaskan materi mengenai
faktorial dengan tanya jawab kepada siswa (kode yang disebutkan guru wajib menjawab
pertanyaan). Guru membagikan Lembar Kerja Team III pada setiap kelompok dan guru
meminta siswa mengerjakan soal tersebut. Setelah diskusi selesai, selanjutnya guru akan
memanggil salah satu kode dan kode yang disebutkan wajib menuliskan hasil diskusinya di
depan kelas dan menjelaskan kepada teman-temannya. Pada akhir kegiatan, guru
menayangkan Game II untuk semua kelompok, namun gurulah yang memilih secara acak
anggota tim yang boleh menjawab. Pemanggilan nomor dilakukan terus menerus oleh guru,
sehingga setiap siswa memiliki peluang untuk menjawab pertanyaan dari guru.
3. Pertemuan Ketiga
Guru membagi siswa menjadi 8 kelompok secara homogen berdasarkan peringkatnya,
kemudian siswa diminta bergabung dengan kelompoknya. Guru mengajak siswa bermain
turnamen, dimana guru membagikan kartu soal kepada setiap meja. Siswa mengambil
undian untuk menentukan pembaca soal pertama. Setiap meja memiliki kesepakatan waktu
tersendiri dalam mengerjakan soal turnamen. Siswa yang berhasil menjawab selanjutnya
akan menjadi pembaca dan soal yang tidak bisa dijawab akan diberikan di kotak yang telah
disediakan. Soal turnamen dikerjakan secara bergantian dan semua soal dapat terselesaikan.
Selanjutnya, setelah setiap meja selesai menyelesaikan pertandingan, siswa diminta untuk
14
kembali kekelompok lagi dan menghitung hasil skor setiap kelompok. Pada akhir kegiatan,
guru memberikan penghargaan kelompok kepada kelompok yang memiliki poin tertinggi.
4. Pertemuan Keempat
Guru meminta siswa untuk berkumpul dengan kelompok seperti pada pertemuan
pertama dan kedua. Guru membagikan LKS III kepada siswa dan menjelaskan materi
mengenai permutasi tentang tempat duduk, duduk berjajar, dan juara dengan tanya jawab
kepada siswa (kode yang disebutkan guru wajib menjawab pertanyaan). Guru membagikan
Lembar Kerja Team IV pada setiap kelompok dan guru meminta siswa mengerjakan soal
tersebut. Setelah diskusi selesai, selanjutnya guru akan memanggil salah satu kode dan kode
yang disebutkan wajib menuliskan hasil diskusinya di depan kelas dan menjelaskan kepada
teman-temannya. Kemudian, guru menjelaskan permutasi unsur sama dan permutasi siklis
dengan melakukan tanya jawab kepada siswa (kode yang disebutkan guru wajib menjawab
pertanyaan). Guru membagikan Lembar Kerja Team V pada setiap kelompok dan guru
meminta siswa mengerjakan soal tersebut. Setelah diskusi selesai, selanjutnya guru akan
memanggil salah satu kode dan kode yang disebutkan wajib menuliskan hasil diskusinya di
depan kelas dan menjelaskan kepada teman-temannya. Pada akhir kegiatan, guru
menayangkan Game III untuk semua kelompok, namun gurulah yang memilih secara acak
anggota tim yang boleh menjawab. Pemanggilan nomor dilakukan terus menerus oleh guru,
sehingga setiap siswa memiliki peluang untuk menjawab pertanyaan dari guru.
5. Pertemuan Kelima
Guru meminta siswa untuk berkumpul dengan kelompok seperti pada pertemuan
pertama, kedua, dan keempat. Guru membagikan LKS IV kepada siswa dan menjelaskan
materi mengenai kombinasi dengan tanya jawab kepada siswa (kode yang disebutkan guru
wajib menjawab pertanyaan). Guru membagikan Lembar Kerja Team VI pada setiap
kelompok dan guru meminta siswa mengerjakan soal tersebut. Setelah diskusi selesai,
selanjutnya guru akan memanggil salah satu kode dan kode yang disebutkan wajib
menuliskan hasil diskusinya di depan kelas dan menjelaskan kepada teman-temannya. Pada
akhir kegiatan, guru menayangkan Game IV untuk semua kelompok, namun gurulah yang
memilih secara acak anggota tim yang boleh menjawab. Pemanggilan nomor dilakukan terus
menerus oleh guru, sehingga setiap siswa memiliki peluang untuk menjawab pertanyaan dari
guru.
6. Pertemuan Keenam
Guru meminta siswa untuk berkumpul dengan kelompok seperti pada pertemuan ketiga.
Guru mengajak siswa bermain turnamen, dimana guru membagikan kartu soal kepada setiap
15
meja. Siswa mengambil undian untuk menentukan pembaca soal pertama. Setiap meja
memiliki kesepakatan waktu tersendiri dalam mengerjakan soal turnamen. Siswa yang
berhasil menjawab selanjutnya akan menjadi pembaca dan soal yang tidak bisa dijawab akan
diberikan di kotak yang telah disediakan. Soal turnamen dikerjakan secara bergantian dan
semua soal dapat terselesaikan. Selanjutnya, setelah setiap meja selesai menyelesaikan
pertandingan, siswa diminta untuk kembali kekelompok lagi dan menghitung hasil skor
setiap kelompok. Pada akhir kegiatan, guru memberikan penghargaan kelompok kepada
kelompok yang memiliki poin tertinggi.
B. Kondisi Awal Hasil Belajar Matematika
Analisis hasil belajar siswa awal menggunakan data nilai Ulangan Tengah Semester (UTS)
matematika siswa kelas XI MIA SMA Islam Sudirman Ambarawa Tahun Pelajaran 2015/2016
sebagai pretest. Hasil analisis statistika deskriptif dapat dilihat pada Tabel 1.
Tabel 1
Hasil Deskriptif Kemampuan Awal Hasil Belajar
N Minimum Maximum Mean Std. Deviation
Eksperimen 32 30.00 95.00 59.8750 14.09129
Pembanding 32 40.00 85.00 58.8125 13.12333
Valid N
(listwise) 32
Tabel 1 menunjukkan bahwa jumlah sampel pada kelas pembanding dan kelas eksperimen
yaitu kelas XI MIA 2 dan XI MIA 3 adalah 32 siswa. Nilai minimum untuk kelas pembanding
(40,00) lebih tinggi dibandingkan kelas eksperimen (30,00). Namun demikian, siswa pada kelas
eksperimen memiliki nilai maksimum (95,00) dan rata-rata (59,88) lebih tinggi dibanding nilai
maksimum kelas pembanding (85,00) dan rata-rata kelas pembanding (58,81). Adapun standar
deviasi siswa pada kelas pembanding (13,12) lebih baik daripada kelas eksperimen (14,09).
Nilai kemampuan awal siswa kelas eksperimen dan kelas pembanding dapat diklasifikasikan
dalam tiga kategori. Hasil sebaran nilai hasil belajar siswa dapat dilihat pada Tabel 2 dan
Gambar 1.
Tabel 2
Pengkategorian Kemampuan Awal Hasil Belajar
Kategori Interval Kelas Eksperimen Kelas Pembanding
Frekuensi Persentase Frekuensi Persentase
Rendah 29,8-51,5 9 14% 11 17%
Sedang 51,6-73,3 17 27% 16 25%
Tinggi 73,4-95,1 6 9% 5 8%
16
Gambar 1. Penyebaran Nilai Kemampuan Awal Hasil Belajar
Berdasarkan Tabel 2 dan Gambar 1, sebagian besar siswa baik pada kelas eksperimen
sebanyak 17 siswa (27%) maupun kelas pembanding sebanyak 16 siswa (25%) masuk dalam
kategori sedang. Meskipun demikian, siswa kelas eksperimen yang masuk dalam kategori tinggi
sebanyak 6 siswa (9%) lebih banyak dari kelas pembanding sebanyak 5 siswa (8%). Adapun
siswa kelas pembanding yang masuk kategori rendah sebanyak 11 siswa (17%) lebih banyak
dari kelas eksperimen sebanyak 9 siswa (14%).
Selain analisis deskriptif, untuk menguji keseimbangan kondisi awal dari hasil belajar
matematika siswa, juga digunakan analisis inferensial. Analisis inferensialterbagi atas 3 uji,
yaitu uji normalitas, uji homogenitas, dan uji independent sample t-test. Adapun hasil uji
normalitas dapat dilihat pada Tabel 3.
Tabel 3
Uji Normalitas Kemampuan Awal Hasil Belajar
Kelas
Kolmogorov-Smirnova
Statistic Df Sig.
Nilai Eksperimen .104 32 .200*
Pembanding .116 32 .200*
a. Lilliefors Significance Correction
*. This is a lower bound of the true significance.
Pada Tabel 3, nilai signifikan hasil uji normalitas dengan uji kolmogorov-smirnovterhadap
hasil belajar pada kelas eksperimen dan kelas pembanding tertulis .200*, artinya nilai signifikan
untuk masing-masing kelompok lebih dari atau sama dengan 0,2. Kedua kelas ini memiliki
signifikan lebih dari 0,05 sehingga dapat disimpulkan bahwa kedua kelas masing-masing
berasal dari populasi yang berdistribusi normal, sehingga dapat dilakukan uji beda rerata dengan
independent sample t-test. Guna menentukan jenis independent sample t-test yang akan
17
digunakan,maka dilakukan uji homogen. Hasil uji homogen dapat dilihat pada Tabel 4 pada
kolom equal variances assumed.
Tabel 4
Hasil Uji Beda Rerata Kemampuan Awal Hasil Belajar
Levene's Test for
Equality of
Variances t-test for Equality of Means
F Sig. T Df
Sig. (2-
tailed)
Mean
Difference
Std. Error
Difference
95% Confidence
Interval of the
Difference
Lower Upper
Nilai awal Equal
variances
assumed
.001 .982 .312 62 .756 1.06250 3.40398 -5.74196 7.86696
Equal
variances
not
assumed
.312 61.689 .756 1.06250 3.40398 -5.74264 7.86764
Berdasarkan Tabel 4, Uji homogenitas menggunakan uji Levene’s menghasilkan nilai
signifikansi 0,982 lebih dari 0,05 yang berarti data berasal dari populasi yang memiliki variansi
sama (homogen). Oleh karena itu, uji independent sample t-test yang digunakan adalah uji
independent sample t-test jenis equal variances assumed. Uji tersebut menghasilkan nilai
signifikan 0,756 (lebih dari 0,05) sehingga dapat disimpulkan bahwa kondisi awal hasil belajar
kedua kelompok sampel seimbang.
C. Kondisi Akhir Hasil Belajar Matematika
Analisis hasil belajar akhir menggunakan data hasilposttestyang diberikan kepada siswa
setelah diberikan perlakuan.Hasil analisis deskriptif posttestdapat dilihat pada Tabel 5.
Tabel 5
Hasil Deskriptif Kemampuan Akhir Hasil Belajar
N Minimum Maximum Mean Std. Deviation
Eksperimen 32 26.00 100.00 67.0000 21.53167
Pembanding 32 16.00 84.00 47.5312 20.11577
Valid N
(listwise) 32
Berdasarkan Tabel 5, terlihat bahwa dari 32 siswa pada kelas eksperimen memiliki nilai
minimum (26,00), maksimum (100,00), dan rata-rata (67,00) lebih baik dibanding nilai
minimum (16,00), maksimum (84,00), dan rata-ratanya (47,53) dari 32 siswa pada kelas
pembanding. Namun jika dilihat dari aspek standar deviasi, maka siswa kelas pembanding lebih
baik karena memiliki standar deviasi (20,11) lebih rendah dibanding standar deviasi pada kelas
eksperimen (21,53). Hasil sebaran nilai hasil belajar siswa dapat dilihat pada Tabel 6 dan
Gambar 2.
18
Tabel 6
Pengkategorian Kemampuan Akhir Hasil Belajar
Kategori Interval Kelas Eksperimen Kelas Pembanding
Frekuensi Persentase Frekuensi Persentase
Rendah 15-43 5 8% 14 22%
Sedang 44-72 11 17% 13 20%
Tinggi 73-101 16 25% 5 8%
Gambar 2. Penyebaran Nilai Kemampuan Akhir Hasil Belajar
Berdasarkan pengkategorian pada Tabel 6 dan Gambar 2, kategori tinggi didominasi oleh
siswa yang berasal dari kelas eksperimen sebanyak 16 siswa (25%), sedangkan siswa kelas
pembanding hanya terdapat 5 siswa (8%). Adapun kategori rendah dan sedang masing-masing
didominasi oleh siswa yang berasal dari kelas pembanding sebanyak 14 siswa (22%) dan 13
siswa (20%), sedangkan siswa yang berasal dari kelas eksperimenhanya terdapat 5 siswa (8%)
dan 11 siswa (17%).
Uji beda rerata kondisi akhir dari kelas eksperimen dan kelas pembanding dilakukan setelah
diberikan perlakuan yang bertujuan untuk mengetahui apakah terdapat pengaruh hasil belajar
siswa yang dikenai model pembelajaran kooperatif tipe TGT berkolaborasi NHT. Hasil uji
normalitas nilai posttest dapat dilihat pada Tabel 7.
Tabel 7
Uji Normalitas Kemampuan Akhir Hasil Belajar
Kelas
Kolmogorov-Smirnova
Statistic Df Sig.
Nilai Eksperimen .127 32 .200*
Pembanding .136 32 .139
a. Lilliefors Significance Correction
*. This is a lower bound of the true significance.
19
Berdasarkan Tabel 7, nilai signifikan untuk hasil belajar pada kelas eksperimen pada kolom
Kolmogorov-Smirnov tertulis .200* hal ini berarti bahwa nilai signifikannya lebih dari atau sama
dengan 0,2, sedangkan nilai signifikan untuk kelas pembanding sebesar 0,139. Kedua kelas ini
memiliki signifikan lebih dari 0,05 sehingga dapat disimpulkan bahwa kedua kelas masing-
masing berasal dari populasi yang berdistribusi normal, maka dapat dilakukan uji selanjutnya
yaitu uji homogenitas dengan Levene’s dan uji beda rerata dengan independent sample t-test
untuk mengetahui ada atau tidaknya pengaruh hasil belajar pada kedua kelas. Hasil perhitungan
dapat dilihat pada Tabel 8.
Tabel 8
Hasil Uji Beda Rerata Kemampuan Akhir Hasil Belajar
Levene's Test
for Equality of
Variances t-test for Equality of Means
F Sig. T Df
Sig. (2-
tailed)
Mean
Difference
Std. Error
Difference
95% Confidence
Interval of the
Difference
Lower Upper
Nilai
akhir
Equal
variances
assumed
.246 .622 3.738 62 .000 19.46875 5.20894 9.05623 29.88127
Equal
variances
not
assumed
3.738 61.715 .000 19.46875 5.20894 9.05528 29.88222
Berdasarkan Tabel 8, nilai signifikan pada uji homogenitas menggunakan uji Levene’s
antara kelas eksperimen dan kelas pembanding sebesar 0,622 (lebih dari 0,05)yang berarti data
kedua kelompok berasal dari populasi yang memiliki variansi sama (homogen).Oleh karena itu,
uji independent sample t-test yang digunakan adalah uji independent sample t-test jenis equal
variances assumed. Uji initertulis .000,artinya nilai signifikan mendekati nol yang kurang dari
0,05. Hal ini berarti pada kondisi akhir (setelah diberikan perlakuan) kedua kelompok sampel
memiliki perbedaan rata-rata yang signifikan dan karena rata-rata skor kemampuan hasil belajar
matematika kelas eksperimen (67,00) lebih tinggi dibandingkan kelas pembanding (47,53),
maka dapat disimpulkan bahwa terdapat pengaruh model pembelajaran kooperatif tipe TGT
berkolaborasi NHT terhadap hasil belajar matematika siswa kelas XI MIA SMA Islam
Sudirman Ambarawa.
D. Pembahasan
Hasil analisis data pretest dengan uji Independent sample t-test menghasilkan nilai
signifikansi sebesar 0,756 (lebih besar dari 0,05).Hal ini berarti kelas eksperimen dan kelas
pembanding memiliki kemampuan awal yang sama (seimbang). Pelaksanaan pembelajaran
20
terdiri dari 6 kali pertemuan untuk proses penerapan model dan 1 kali pertemuan untuk proses
tes dimana setiap pertemuan berlangsung selama 2 jam pelajaran (2 x 45 menit) untuk masing-
masing kelas. Pembelajaran pada kelas eksperimen yaitu kelas XI MIA 3 diberi perlakuan
dengan menggunakan model pembelajaran kooperatif tipe TGT berkolaborasi NHT sedangkan
pada kelas pembanding yaitu kelas XI MIA 2 diberi perlakuan dengan model pembelajaran
kooperatif tipe TGT.
Peneliti sudah menggunakan pedoman sesuai sintaks TGT dan NHT, serta telah melakukan
dengan baik. Hal ini dapat dilihat dari hasil lembar observasi yang diisi oleh guru kelas XI MIA
SMA Islam Sudirman Ambarawa sebagai observer yang mengamati peneliti dalam
melaksanakan pembelajaran di kelas. Peneliti sebagai guru telah menghasilkan persentase rata-
rata sebesar 93,45% masuk dalam kriteria sangat baik. Hal ini menunjukkan bahwa peneliti
telah dapat mempersiapkan media pembelajaran sebelum pelajaran dimulai, menginformasikan
materi yang akan dipelajari serta menyampaikan tujuan pembelajaran sebesar 24,16%,
selanjutnya peneliti telah melakukan pembentukkan kelompok, penomoran, presentasi kelas,
memberikan soal team, game, turnamen, dan penghargaan kelompok sebesar 55,56%, serta
peneliti menyimpulkan materi pelajaran yang telah dilaksanakan dan menyampaikan materi
yang akan dipelajari pada pertemuan berikutnya sebesar 13,73%.
Hasil analisis data posttest dengan ujiIndependent sample t-testtipe equal variances
assumed menghasilkan nilai signifikansi mendekati nol yang kurang dari 0,05. Hal ini berarti
terdapat perbedaan yang signifikan antara rerata kedua kelompok sampel dan karena rata-rata
kelas eksperimen (67,00) lebih tinggi dari kelas pembanding (47,53), maka disimpulkan
terdapat pengaruh model pembelajaran kooperatif tipe TGT berkolaborasi NHT terhadap hasil
belajar matematika siswa kelas XI MIA SMA Islam Sudirman Ambarawa. Hal ini sesuai dengan
hipotesis penelitian dan sesuai pula dengan hasil penelitian Hermia, dkk (2014)dengan model
Make A Match,Affan (2015) dengan model Quiz-Quiz Trade, dan Annisa, dkk (2015) dengan
model Kancing Gemerincing.
Tahapan model pembelajaran kooperatif tipe TGT berkolaborasi NHT diawali dengan
pembagian kelompok. Pada model ini setiap anggota kelompok akan diberi nomor. Penomoran
ini merupakan identitas dari setiap individu yang akan digunakan pada tahap-tahap selanjutnya.
Model pembelajaran TGT tidak hanya mengelompokkan siswa secara heterogen dalam satu
kelompok, namun model ini mempunyai satu karakteristik yang membedakan sekaligus
menunjukkan keunggulan model TGT dibanding model pembelajaran kooperatif lain yaitu
adanya kontrol persaingan individu dengan tingkat yang relatif homogen melalui kegiatan
turnamen. Setiap anggota kelompok mempunyai tanggungjawab yang sama pada keberhasilan
21
kelompoknya dengan memikul beban kapasitas yang sama yaitu harus bertanding dengan teman
yang memiliki kemampuan relatif sama.
Tahap presentasi kelas dimana guru menyampaikan materi dengan melakukan tanya jawab.
Pada tahap pelaksanaan TGT tidak diatur bahwa setiap anggota dari masing-masing kelompok
harus berpartisipasi aktif, sehingga diskusi tersebut hanya terjadi antara guru dan siswa
berkemampuan tinggi. Hal tersebut tidak terjadi jika menggunakan model TGT berkolaborasi
NHT. Model kolaboratif ini ada prosedur bahwa setiap siswa punya peluang terpilih secara acak
untuk menjawab pertanyaan dari guru yang kodenya terpilih dalam proses pemanggilan. Prinsip
ini bisa digunakan saat guru melakukan diskusi melalui tanya jawab pada tahap presentasi di
kelas. Pemilihan secara acak “penjawab” pertanyaan guru akan membuat semua siswa fokus
dalam pembelajaran dan punya tanggungjawab yang sama untuk memikirkan jawaban dari
pertanyaan guru.
Hal yang sama juga akan dilakukan guru pada tahap tim dan game. Pada tahap tim
merupakan tahap pertandingan antar kelompok tim dan tahap game masing-masing kelompok
adu cepat menjawab pertanyaan-pertanyaan dari guru untuk mendapatkan poin kelompok. Pada
model kolaborasi ini kelompok tidak boleh menentukan wakil tim yang akan menjawab
pertanyaan, namun gurulah yang memilih secara acak anggota tim yang boleh menjawab.
Pemanggilan nomor secara acak dilakukan secara terus menerus sehingga setiap siswa dalam
kelompok baik yang memiliki kemampuan tinggi, sedang, atau rendah mendapatkan peluang
untuk menjawab pertanyaan dari guru. Hal ini tidak terjadi pada model pembelajaran kooperatif
tipe TGT saja, dimana siswa yang mewakili kelompok untuk menjawab pertanyaan adalah
siswa yang mempunyai kemampuan tinggi pada kelompok tersebut, sedangkan siswa yang
memiliki kemampuan di bawahnya tidak mau maju untuk mewakili kelompoknya. Sehingga,
tidak memfasilitasi siswa yang mempunyai kemampuan kurang namun akan semakin memberi
peluang siswa berkemampuan tinggi untuk mendominasi.
Meskipun materi dan latihan soal yang digunakan kedua kelompok sampel sama, namun
pada kelas eksperimen siswa dituntut untuk aktif dalam diskusi kelompok karena adanya
peluang yang sama kepada setiap siswa untuk menjawab pertanyaan yang diajukan, sehingga
setiap siswa dituntut untuk memahami penyelesaian soal. Adapun pada kelas pembanding
“penjawab” yang mewakili kelompok tidak ditentukan oleh guru.
PENUTUP
Analisis hasil belajar nilai posttest menggunakan uji independent sample t-test dengan tipe
equal variances assumed menghasilkan nilai signifikansi mendekati nol yang kurang dari 0,05
22
dengan rata-rata nilai kelas eksperimen (67,00) lebih tinggi dibanding rata-rata nilai kelas
pembanding (47,53). Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa terdapat pengaruh model
pembelajaran kooperatif tipe TGT berkolaborasi NHT terhadap hasil belajar matematika siswa
kelas XI MIA SMA Islam Sudirman Ambarawa.
Atas dasar simpulan ini, maka disarankan kepada guru untuk dapat menerapkan model
pembelajaran kooperatif tipe TGT berkolaborasi NHT pada materi peluang bagi siswa kelas XI
SMA, selain itu disarankan bagi guru untuk mendesain pembelajaran serupa pada materi lainnya
sebagai upaya menciptakan proses pembelajaran yang memenuhi standar proses. Adapun bagi
peneliti lainnyadisarankan untuk melakukan penelitian selanjutnya, misalkan meneliti pengaruh
kolaborasi TGT dengan NHT terhadap motivasi belajar atau keaktifan belajar siswa.
DAFTAR PUSTAKA
Affan Afian. 2015. “Penerapan Pembelajaran Kooperatif Model Team Game Tournament
Kolaborasi Quiz-Quiz Trade untuk Meningkatkan Hasil Belajar, Keaktifan Belajar dan Self
Esteem”. Jurnal Inspirasi Pendidikan. Diakses melalui: http://www.ejurnal.com/2015
/09/penerapanpembelajaran-kooperatif.htmlpada tanggal 6 April 2016.
Annisa Swastika, dkk. 2015. “Eksperimentasi Model Pembelajaran Kooperatif Tipe Teams Games
Tournament (TGT) dengan Teknik Kancing Gemerincing pada Pokok Bahasan Bangun Ruang
Sisi Datar Ditinjau dari Kemampuan Komunikasi Matematis Siswa Kelas VIII SMP Negeri Se-
kabupaten Wonogiri Tahun Pelajaran 2013/2014”.Journal of Systems. 3(10). Diakses melalui:
http://jurnal.fkip.uns.ac.id pada tanggal 6 April 2016.
Arikunto, Suharsimi. 2006. Prosedur Penelitian: Suatu Pendekatan Praktik. Jakarta: PTRineka
Cipta.
Atik Liulin Nuha. 2011. Penerapan Model Pembelajaran Kooperatif Tipe TGT (Teams Games
Tournament) dalam Materi Pokok Logaritma Guna Meningkatkan Motivasi Belajar dan Hasil
Belajar Peserta Didik Kelas X A MAN Semarang 2 Semester Gasal Tahun Pelajaran 2009-
2010. Skripsi. Semarang: Fakultas Tarbiyah Institut Agama Islam Negeri Walisongo.
Dahar, Ratna Willis. 2011. Teori-Teori Belajar dan Pembelajaran. Jakarta: Erlangga.
Dimyati dan Mudjiono. 2006. Belajar dan Pembelajaran. Jakarta: PT Rineka Cipta.
Hermia Kurnia Putri, dkk. 2014. “Efektivitas Model Pembelajaran Kolaborasi Antar TGT dan Make
A Match terhadap Hasil Belajar Geografi”. Jurnal Penelitian Geografi (JPG). 2(1). Diakses
melalui: http://jurnal.fkip.unila.ac.id/index.php/JPG/article/view/3613 pada tanggal 6 April
2016.
Huda, Miftahul. 2011. Cooperative Learning: Metode, Teknik, Struktur dan Model Terapan.
Yogyakarta: Pustaka Pelajar.
Kosasih, Andreas. 2010. Optimalisasi Belajar dan Pembelajaran. Salatiga: Widya Sari Press.
Mulbar, Usman. 2012. Aktivitas dalam Pembelajaran Matematika Realistik di Sekolah Menengah
Pertama (Perangkat PMR yang Secara Eksplisit Melibatkan Metakognisi Siswa).
Roji’ah, dkk.2015. “Pengaruh Model Pembelajaran Teams Games Tournament (TGT) Terhadap
Hasil Belajar Matematika Siswa Kelas VIII MTs Thamrin Yahya Rambah Hilir pada Materi
23
Operasi Aljabar”. Jurnal Pendidikan Matematika. 1(1). Diakses melalui: http://ejournal.upp.
ac.id/index.php/mtkfkip/article/view/258 pada tanggal 3 Juli 2015.
Sari, N. M. 2013. “Kemampuan Metakognisi dan Pemecahan Masalah Matematis Siswa SMP
dalam Pembelajaran Matematika dengan Metode Eksplorasi”. Jurnal Pendidikan Matematika.
1(1). Diakses melalui: http://jurnal.stkip-pgrisumbar.ac.id/MHSMAT/index.php/mat20121/
article/view/ 28 pada tanggal 3 Juli 2015.
Slavin, Robert E. 2005. Cooperative Learning: Teori, Riset, dan Praktik. Bandung: Nusa Media.
Soedijarto. 2003. Pengembangan Profesionalisme Guru. Bandung: IKIP.
Sudjana, Nana. 2010. Penilaian Hasil Proses Belajar Mengajar. Bandung: PT Remaja Rosdakarya.
Sugiyono. 2012. Statistika untuk Penelitian. Bandung: Alfabeta.
Suherman, Erman. 2003. Strategi Pembelajaran Matematika Kontemporer. Bandung: JICA-UPI.
Suprijono, Agus. 2009. Cooperative Learning: Teori dan Aplikasi PAIKEM. Yogyakarta: Pustaka
Pelajar.
Trianto. 2010. Mendesain Model Pembelajaran Inovatif – Progresif: Konsep, Landasan, dan
Implementasinya pada Kurikulum Tingkat Satuan Pendidikan (KTSP). Jakarta: Kencana
Prenada Media Group.
Yanti, Annisa Rahmi, dkk. 2014. “Pengaruh Pembelajaran Kooperatif Tipe Teams Games
Tournament terhadap Hasil Belajar Matematika di Kelas VIII SMPN 2 Bukit Tinggi Tahun
Pelajaran 2013/2014”. Jurnal Pendidikan Matematika. 3(1). Diakses melalui:
http://ejournal.unp.ac.id/students/index.php/pmat/article/download/1197/889 pada tanggal 3
Juli 2015.
24
25
LEMBAR KERJA GURU
PERTEMUAN I
RUANG SAMPEL DAN KEJADIAN
Ruang sampel adalah himpunan dari semua hasil yang mungkin muncul pada suatu percobaan.
Ruang sampel dilambangkan dengan huruf “S”.
Titik sampel adalah anggota-anggota dari ruang sampel.
Kejadian atau peristiwa adalah himpunan bagian dari ruang sampel.
Kejadian dibedakan menjadi dua macam, yaitu :
1. Kejadian sederhana adalah kejadian yang hanya mempunyai satu titik sampel.
2. Kejadian majemuk adalah kejadian yang mempunyai lebih dari satu titik sampel.
Contoh 1
Sebuah dadu dilempar satu kali. Tulislah :
a. Ruang sampel percobaan tersebut.
b. Titik sampel percobaan tersebut.
c. Kejadian muncul sisi angka mata dadu ganjil.
Penyelesaian :
Diagram pohon 1
2
3
4
5
6
DADU
26
a. Ruang sampel
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
b. Titik sampel
1, 2, 3, 4, 5, 6
c. Kejadian muncul mata dadu ganjil
{ 1, 3, 5 }
KAIDAH PENCACAHAN
Kaidah pencacahan adalah suatu ilmu yang berkaitan dengan menentukan banyaknya cara
suatu percobaan dapat terjadi. Menentukan banyaknya cara suatu percobaan dapat terjadi dilakukan
dengan aturan penjumlahan, aturan perkalian.
Contoh 2
Dari kota Kendari ke kota Makassar ada 2 jalan dan dari kota Makassar ke kota Poso ada 3 jalan.
Ada berapa cara pergi dari kota Kendari menuju kota Poso melalui kota Makassar?
Penyelesaian :
Hasil yang mungkin : a1, a2, a3, b1, b2, b3
Jadi, banyak cara pergi dari kota Kendari menuju kota Poso melalui kota Makassar adalah
.
a
b
1
3
2 Kendari
Poso
Makassar
27
TEAM I
Kelompok 1 dan 5
1. Tiga uang logam dilempar satu kali. Tentukan ruang sampel percobaan tersebut!
2. Ada 4 jalur bis antara kota A dan kota B dan ada 3 jalur bis antara kota B dan kota C. Ada
berapa cara seseorang dapat mengadakan perjalanan dari kota A ke kota C melalui kota B
dengan menggunakan jalur bis yang sama?
Kelompok 2 dan 6
1. Tulislah ruang sampel pada percobaan melempar dua buah dadu satu kali!
2. Ada 4 jalur bis antara kota A dan kota B dan ada 3 jalur bis antara kota B dan kota C. Ada
berapa cara seseorang dapat mengadakan perjalanan pulang-pergi dari kota A ke kota C melalui
kota B dengan menggunakan jalur bis yang berbeda?
Kelompok 3 dan 7
1. Sekeping mata uang logam dan sebuah dadu dilempar satu kali. Tulislah kejadian munculnya
sisi gambar dan mata dadu sembarang!
2. Sebuah gudang memiliki 6 pintu. Seseorang akan masuk gudang tersebut kemudian keluar,
berapa macam rute yang mungkin dapat dilalui jika pintu keluar boleh sama dengan pintu saat
masuk?
Kelompok 4 dan 8
1. Sekeping mata uang logam dan sebuah dadu dilempar satu kali. Tulislah kejadian munculnya
sembarang sisi mata uang dan mata dadu ganjil!
2. Sebuah gudang memiliki 6 pintu. Seseorang akan masuk gudang tersebut kemudian keluar,
berapa macam rute yang mungkin dapat dilalui jika pintu keluar berbeda dengan pintu saat
masuk?
28
Contoh 3
Ada berapa cara pelat mobil pribadi dapat dibuat, jika setiap pelat memuat 2 huruf yang sama serta
diikuti 3 angka yang sama dengan angka pertama tidak boleh nol?
Penyelesaian :
Contoh 4
Dari angka-angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 akan dibentuk bilangan ribuan. Tentukan :
a. Banyak bilangan ribuan yang dapat dibentuk (pengulangan diperbolehkan)
b. Banyak bilangan ribuan berbeda yang dapat dibentuk (pengulangan tidak diperbolehkan)
c. Banyak bilangan ribuan ganjil berbeda yang dapat dibentuk (pengulangan tidak diperbolehkan)
d. Banyak bilangan ribuan yang lebih dari 3.000 (pengulangan diperbolehkan)
Penyelesaian :
a. Bilangan ribuan (pengulangan diperbolehkan)
Ribuan Ratusan Puluhan Satuan
6 7 7 7
b. Bilangan ribuan berbeda (pengulangan tidak diperbolehkan)
Ribuan Ratusan Puluhan Satuan
6 6 5 4
c. Bilangan ribuan ganjil berbeda (pengulangan tidak diperbolehkan)
Ribuan Ratusan Puluhan Satuan
5 5 4 3
29
d. Bilangan ribuan yang lebih dari 3.000
Ribuan Ratusan Puluhan Satuan
4 7 7 7
Bilangan yang lebih dari 3.000 dimulai dari 3.001 (bilangan 3.000 tidak termasuk) sehingga
bilangan yang dapat dibentuk .
Secara Umum dapat Dirumuskan :
Misalkan :
peristiwa 1 dapat terjadi dalam n1 cara
peristiwa 2 dapat terjadi dalam n2 cara
peristiwa 3 dapat terjadi dnalam n3 cara
.
.
.
peristiwa k dapat terjadi dalam nk cara
banyak cara k peristiwa dapat dilaksanakan secara berurutan adalah :
cara
30
TEAM II
Kelompok 1 dan 8
1. Ada berapa cara pelat mobil pribadi dapat dibuat, jika setiap pelat memuat 2 huruf yang
berbeda serta diikuti 3 angka yang sama dengan angka pertama tidak boleh nol?
2. Dari angka-angka 2, 3, 5, 6, 7, dan 9 akan dibentuk bilangan ribuan dengan pengulangan.
Berapa banyak bilangan ribuan yang lebih dari 4.500?
Kelompok 2 dan 7
1. Ada berapa cara pelat mobil pribadi dapat dibuat, jika setiap pelat memuat 2 huruf yang
sama serta diikuti 3 angka yang berbeda dengan angka pertama tidak boleh nol?
2. Dari angka-angka 2, 3, 5, 6, 7, dan 9 akan dibentuk bilangan ribuan tanpa pengulangan.
Berapa banyak bilangan ribuan yang lebih dari 4.500?
Kelompok 3 dan 6
1. Sebuah pelat nomor polisi Semarang dimulai dengan huruf H diikuti empat angka dengan
angka pertama tidak boleh nol dan diakhiri dua huruf yang sama, terakhir huruf A. Berapa
cara pelat nomor polisi dapat terbentuk?
2. Berapa banyak kertas yang harus disediakan, jika tiap kertas ditulisi tiga angka yang
dibentuk dari lima angka 1, 3, 5, 7, dan 9 dengan pengulangan?
Kelompok 4 dan 5
1. Sebuah pelat nomor polisi Semarang dimulai dengan huruf H diikuti empat angka dengan
angka pertama tidak boleh nol dan diakhiri dua huruf yang berbeda, terakhir huruf A.
Berapa cara pelat nomor polisi dapat terbentuk?
2. Berapa banyak kertas yang harus disediakan, jika tiap kertas ditulisi tiga angka yang
dibentuk dari lima angka 1, 3, 5, 7, dan 9 tanpa pengulangan?
31
GAME I
1. Seorang ingin pergi dari kota A ke kota C. Pada jalur utara ia harus melalui kota B dan apabila
diambil jalur selatan ia harus melalui kota D. Dari kota A ke kota B ada 3 jalur, sedangkan dari
kota B ke kota C terdapat 2 jalur. Untuk ke kota D dari kota A ada 2 jalur dan dari kota C ke
kota D ada 4 jalur. Banyak jalur alternatif yang dapat dilalui dari kota A ke kota C adalah . . .
a. 8 jalur c. 12 jalur e. 16 jalur
b. 10 jalur d. 14 jalur
2. Banyak bilangan antara 1.000 dan 4.000 yang dapat disusun dari angka-angka 1, 2, 3, 4, 5, dan 6
dengan tidak ada angka yang sama adalah . . .
a. 72 c. 96 e. 180
b. 80 d. 120
3. Soni akan membuat password yang terdiri atas satu angka selain nol dan diikuti 3 huruf berbeda
dengan huruf kedua harus huruf vokal. Banyak password yang mungkin dibuat Sonia dalah . . .
a. 26.000 c. 28.125 e. 30.420
b. 27.000 d. 29.250
4. Seorang ibu akan pergi ke undangan, memiliki 3 stel baju yang layak digunakan, 3 pasang
sepatu dan 2 buah tas. Pilihan pasangan baju, sepatu, dan tas yang dapat digunakan ke undangan
tersebut adalah . . .
a. 8 c. 18 e. 28
b. 10 d. 20
5. Dari angka 2, 3, 5, 6, 7, dan 9 dibuat bilangan yang terdiri atas tiga angka berlainan. Banyaknya
bilangan yang dapat dibuat kurang dari 400 adalah . . .
a. 40 c. 55 e. 80
b. 45 d. 72
6. Banyaknya bilangan yang terdiri dari tiga angka yang dapat dibentuk dari angka-angka 2, 4, 5,
7, 8, dan 9. Apabila angka-angka itu tidak boleh berulang adalah . . .
a. 64 c. 128 e. 366
b. 120 d. 360
32
7. Dari Jakarta ke Surabaya terdapat 4 jalan berlainan yang dapat ditempuh. Dari Surabaya ke Bali
terdapat 3 jalan berlainan yang dapat ditempuh. Cara seseorang dapat mengadakan perjalanan
pulang-pergi dari Jakarta ke Bali melalui Surabaya dengan menggunakan jalan yang sama
adalah . . .
a. 72 c. 120 e. 144
b. 85 d. 210
8. Bila kita perhatikan nomor rumah yang terdiri atas dua angka, tanpa angka nol maka banyaknya
rumah yang dimaksud dengan nomor ganjil ada . . .
a. 90 c. 40 e. 5
b. 45 d. 9
9. Banyaknya bilangan yang kurang dari 1.000 tetapi jumlah angka penyusunannya sama dengan 6
adalah . . .
a. 25 c. 27 e. 29
b. 26 d. 28
10. Rido mempunyai 3 baju berwarna merah, biru, dan cokelat. Ia juga memiliki 2 celana warna
hitam dan putih berbeda. Banyaknya baju dan celana yang dapat dipakai dengan pasangan
berbeda adalah . . .
a. 3 c. 6 e. 12
b. 4 d. 9
11. Dari 5 buah angka, yaitu 0, 2, 3, 5, dan 7 akan disusun suatu bilangan yang terdiri atas 4 angka.
Banyak bilangan dengan angka-angka tidak boleh berulang adalah . . .
a. 54 c. 96 e. 192
b. 72 d. 156
12. Sebuah rumah makan mempunyai 6 menu makanan dan 10 menu minuman. Banyaknya
pasangan menu makanan dan minuman yang dapat disajikan adalah . . .
a. 16 c. 32 e. 60
b. 30 d. 40
13. Tersedia 12 gambar yang berbeda, 4 dari gambar tersebut akan dipasang dalam sebuah baris.
Banyaknya cara yang dapat dikerjakan adalah . . .
a. 11.088 c. 11.080 e. 11.890
b. 11.880 d. 11.980
33
14. Dari angka 2, 3, 4, 6, 7, 8, dan 9 akan dibuat bilangan ribuan berlainan. Banyaknya bilangan
genap adalah . . .
a. 480 c. 720 e. 1.273
b. 840 d. 1.372
15. Panitia jalan sehat akan membuat sebuah kupon bernomor yang terdiri atas empat angka yang
disusun oleh angka 0, 1, 3, 5, dan 7. Jika angka pertama atau terakhir tidak nol, banyak kupon
yang dapat dibuat adalah . . .
a. 600 c. 610 e. 625
b. 605 d. 620
PERTEMUAN II
FAKTORIAL
Faktorial dinotasikan atau dilambangkan dengan n! (dibaca n faktorial).
n! adalah hasil perkalian semua bilangan asli dari 1 sampai n, sehingga didefinisikan sebagai
berikut :
dengan dan
Contoh 1
Hitunglah nilai dari :
a. b. c.
Penyelesaian :
a.
b.
c.
34
Contoh 2
Hitunglah nilai dari :
a. b. c. d.
Penyelesaian :
a.
b.
c.
d.
Contoh 3
Tulislah dalam bentuk notasi faktorial
a. b. c.
Penyelesaian :
a.
b.
c.
35
Contoh 4
Tentukan nilai n, jika
Penyelesaian :
Kesimpulan
1. atau
2. Jika n = I diperoleh
sehingga dan
36
TEAM III
Kelompok 1 dan 7
1. Hitunglah
2. Tulislah dalam bentuk notasi faktorial
3. Tentukan n, jika
Kelompok 2 dan 8
1. Hitunglah
2. Tulislah dalam bentuk notasi faktorial
3. Tentukan n, jika
Kelompok 3 dan 5
1. Hitunglah
2. Tulislah dalam bentuk notasi faktorial
3. Tentukan n, jika
Kelompok 4 dan 6
1. Hitunglah
2. Tulislah dalam bentuk notasi faktorial
3. Tentukan n, jika
37
GAME II
1. Hitunglah
a. 60 c. 270 e. 330
b. 720 d. 300
2. Hitunglah
a. 55 c. 165 e. 336
b. 112 d. 275
3. Tulislah dalam bentuk notasi faktorial
a. c. e.
b. d.
4. Tulislah dalam bentuk notasi faktorial
a. c. e.
b. d.
5. Sederhanakan
a. c. e.
b. d.
6. Hitunglah
a. 200 c. 273 e. 741
b. 250 d. 714
7. Tulislah dalam bentuk notasi faktorial
a. c. e.
b. d.
38
8. Hitunglah
a. 280 c. 285 e. 458
b. 295 d. 488
9. Hitunglah
a. 1.260 c. 2.260 e. 3.560
b. 1.560 d. 3.600
10. Hitunglah
a. 6.500 c. 6.720 e. 6.870
b. 6.670 d. 6.270
11. Tulislah dalam bentuk notasi faktorial
a. c. e.
b. d.
12. Hitunglah
a. 376 c. 566 e. 764
b. 476 d. 656
13. Tulislah dalam bentuk notasi faktorial
a. c. e.
b. d.
14. Hitunglah
a. 168 c. 350 e. 375
b. 250 d. 355
15. Tentukan n, jika
a. 5 c. 7 e. 9
b. 6 d. 8
39
PERTEMUAN III
TURNAMEN I
1. Jalur penerbangan sebuah pesawat udara dari Bali ke Jakarta dapat melalui 3 jalur, dari Jakarta
ke Medan dapat melalui 2 jalur, dan dari Medan ke London melalui 4 jalur. Banyaknya jalur
penerbangan yang dapat dipilih untuk penerbangan dari Bali ke London melalui Jakarta dan
Medan adalah . . .
a. 20 jalur c. 24 jalur e. 62 jalur
b. 22 jalur d. 54 jalur
2. Dari angka-angka 2, 3, 5, 6, 7, dan 9 akan dibentuk bilangan ribuan dengan pengulangan.
Banyak bilangan ribuan genap yang dapat dibentuk adalah . . .
a. 432 cara c. 1.296 cara e. 216 cara
b. 864 cara d. 864 cara
3. Hitunglah
a. 504 c. 480 e. 450
b. 840 d. 660
4. Tulislah dalam bentuk notasi faktorial
a. c. e.
b. d.
5. Tentukan n, jika
a. 5 c. 7 e. 9
b. 6 d. 8
40
6. Bilangan terdiri atas 4 angka disusun dari angka-angka 1, 2, 3, 5, 6, dan 7. Banyak susunan
bilangan dengan angka-angka yang berlainan (angka-angka tidak boleh berulang) adalah . . .
a. 20 c. 80 e. 360
b. 40 d. 120
7. Tulislah dalam bentuk notasi faktorial
a. c. e.
b. d.
8. Hitunglah
a. 45 c. 65 e. 85
b. 50 d. 75
9. Hitunglah
a. 420 c. 240 e. 430
b. 440 d. 320
10. Dari angka-angka 2, 3, 5, 6, 7, dan 9 akan dibentuk bilangan ribuan tanpa pengulangan. Banyak
bilangan ribuan yang merupakan kelipatan 5 adalah . . .
a. 360 c. 24 e. 216
b. 120 d. 60
11. Hitunglah
a. 210 c. 360 e. 650
b. 150 d. 630
12. Tentukan nilai n, jika
a. 5 c. 7 e. 9
b. 6 d. 8
41
13. Seseorang ingin melakukan pembicaraan telepon di sebuah wartel. Ada 4 buah kamar bicara
dan ada 6 buah nomor yang akan dihubungi . Banyak
pasangan kamar bicara dengan nomor telepon yang akan dihubungi adalah . . .
a. 24 c. 32 e. 10
b. 42 d. 12
14. Hitunglah
a. 456 c. 478 e. 360
b. 567 d. 576
15. Tulislah dalam bentuk notasi faktorial
a. c. e.
b. d.
16. Hitunglah
a. 10 c. 25 e. 40
b. 20 d. 30
17. Dari angka 0, 2, 4, 5, 7, dan 9 akan dibentuk bilangan yang terdiri atas 3 angka berbeda. Banyak
bilangan yang dapat dibentuk bilangan ganjil adalah . . .
a. 64 c. 48 e. 94
b. 125 d. 84
18. Hitunglah
a. 14 c. 16 e. 18
b. 15 d. 17
19. Hitunglah
a. 270 c. 120 e. 210
b. 720 d. 180
20. Tentukan nilai n, jika
a. 4 c. 6 e. 8
b. 5 d. 7
42
PERTEMUAN IV
PERMUTASI
Definisi
Permutasi adalah cara membentuk susunan terurut (urutan di perhatikan) dari sebagian atau
seluruh anggota himpunan yang disediakan.
Banyaknya permutasi r unsur yang diambil dari n unsur yang berbeda adalah
(P(n, r) = )!rn(
!n
untuk r ≤ n.
Rumus
P(n, r) = nPr =
Contoh 1
Tiga orang guru masuk ruang rapat. Tempat yang masih kosong ada 5 kursi, berapa cara mereka
dapat menempati 5 kursi tersebut ?
Penyelesaian :
Contoh 2
Terdapat 4 orang perempuan dan 3 orang laki-laki duduk berjajar pada sebuah bangku panjang,
jika orang laki-laki harus duduk di pinggir. Ada berapa urutan orang tersebut duduk?
Penyelesaian :
43
Contoh 3
Pada lomba Matematika yang diselenggarakan sebuah perguruan tinggi terkemuka terseleksi 17
finalis. Dari 17 finalis tersebut akan dipilih masing-masing 1 orang yang menjadi juara I, II, dan
III. Berapa banyak kemungkinan susunan juara yang terbentuk ?
Penyelesaian :
TEAM IV
Kelompok 1 dan 6
1. Terdapat 5 orang perempuan dan 4 orang laki-laki duduk berjajar pada sebuah bangku
panjang, jika orang perempuan harus duduk di pinggir. Ada berapa urutan orang tersebut
duduk?
2. Dalam kompetisi bola basket yang terdiri atas 10 regu peserta akan dipilih juara I, II, dan III.
Berapa banyak susunan juara yang terbentuk ?
Kelompok 2 dan 9
1. Ada berapa cara 3 pria dan 2 wanita dapat duduk dalam satu baris?
2. Dari 12 orang pengurus suatu organisasi akan dipilih seorang ketua, wakil ketua, dan
sekretaris. Berapa banyak cara pemilihan pengurus organisasi?
Kelompok 3 dan 7
1. Ada berapa cara jika ketiga pria dan kedua wanita tersebut masing-masing duduk
berdampingan?
2. Dalam kompetisi bola basket yang terdiri atas 12 regu peserta akan dipilih juara I dan II.
Berapa banyak susunan juara yang terbentuk ?
44
Kelompok 4 dan 8
1. Ada 3 pria dan 2 wanita duduk dalam satu baris. Berapa cara jika duduknya berselang-seling
pria wanita?
2. Di sebuah sekolah ada 10 orang guru yang dicalonkan untuk mengisi posisi ketua, wakil
ketua, bendahara, dan sekretaris. Berapa banyaknya cara yang dapat digunakan untuk
mengisi posisi tersebut?
Permutasi dari n unsur yang mengandung qp dan r unsur yang sama
Rumus
Keterangan :
n = banyaknya elemen seluruhnya
p = banyaknya elemen kelompok 1 yang sama
q = banyaknya elemen kelompok 2 yang sama
r = banyaknya elemen kelompok 3 yang sama
Contoh 1
Tentukan banyaknya susunan kata yang dapat dibentuk dari kata DADU !
Penyelesaian :
Terdapat 4 huruf, huruf D sebanyak 2, huruf A sebanyak 1, dan huruf U sebanyak 1.
Banyaknya susunan huruf adalah :
kata
45
Contoh 2
Ada berapa cara 9 buku yang berbeda dapat disusun dalam sebuah rak buku yang memanjang,
jika ada 3 buku yang selalu bersama-sama. Ada berapa penyusunan yang mungkin?
Penyelesaian :
cara
PERMUTASI SIKLIS
Definisi
Permutasi siklis adalah permutasi melingkar (urutan melingkar).
Rumus
Banyaknya permutasi melingkar n unsur atau
Contoh 3
Sekelompok siswa yang terdiri dari 4 orang duduk melingkar sebuah meja bundar. Berapa cara
lima orang siswa duduk mengelilingi meja bundar tersebut ?
Penyelesaian :
cara.
Contoh 4
Dalam suatu rapat osis yang terdiri dari 5 orang dalam posisi yang melingkar. Jika ketua, wakil
ketua harus selalu duduk bersebelahan. Berapa formasi duduk yang bisa dibentuk ?
46
Penyelesaian :
TEAM V
Kelompok 1 dan 7
1. Berapa banyak susunan huruf yang dapat dibentuk dari KOMBINASI?
2. Ada berapa cara 7 buku Biologi yang berbeda dapat disusun dalam sebuah rak buku yang
memanjang, jika ada 4 buku Biologi yang selalu bersama-sama. Ada berapa penyusunan
yang mungkin?
3. Fania mempunyai 7 bunga yang berbeda akan ditanam dalam taman yang berbentuk
lingkaran, jika ada 2 bunga harus ditanam berdampingan. Berapa cara menanam bunga
tersebut?
Kelompok 2 dan 6
1. Berapa banyak susunan huruf yang dapat dibentuk dari MATEMATIKA?
2. Ada berapa cara 8 buku PKN yang berbeda dapat disusun dalam sebuah rak buku yang
memanjang, jika ada 2 buku PKN yang selalu bersama-sama. Ada berapa penyusunan yang
mungkin?
3. Terdapat 6 pohon yang berbeda dapat ditanam dalam taman yang berbentuk lingkaran, jika
ada 3 pohon harus ditanam berdampingan. Berapa cara menanam pohon tersebut?
Kelompok 3 dan 9
1. Berapa banyak susunan huruf yang dapat dibentuk dari KALKULUS?
2. Ada berapa cara 6 buku Kimia yang berbeda dapat disusun dalam sebuah rak buku yang
memanjang, jika ada 3 buku Kimia yang selalu bersama-sama. Ada berapa penyusunan yang
mungkin?
3. Andi, Budi, Anisa, Fendy, Asoka, dan Candra hendak duduk mengelilingi sebuah meja, jika
Anisa dan Fendy selalu berdampingan. Berapakah banyak cara mereka dapat duduk
mengelilingi meja tersebut?
47
Kelompok 4 dan 8
1. Berapa banyak susunan huruf yang dapat dibentuk dari PENCACAHAN?
2. Ada berapa cara 9 buku Fisika yang berbeda dapat disusun dalam sebuah rak buku yang
memanjang, jika ada 4 buku Fisika yang selalu bersama-sama. Ada berapa penyusunan yang
mungkin?
3. Suatu kelompok belajar yang beranggotakan 7 orang dalam posisi yang melingkar, jika
ketua dan wakil ketua kelompok duduk berdampingan. Berapa banyak cara mereka dapat
duduk melingkar?
GAME III
1. Dari 7 orang pengurus suatu organisasi akan dipilih seorang ketua, wakil ketua, dan sekretaris.
Banyak cara pemilihan pengurus adalah . . .
a. 120 c. 210 e. 840
b. 250 d. 420
2. Bu Tuti mengundang 7 orang temannya untuk makan malam. Mereka duduk melingkar
mengelilingi meja makan. Jika dari 7 orang tersebut terdapat sepasang suami istri sehingga
harus duduk berdampingan, banyak cara mereka duduk melingkar mengelilingi meja makan
adalah . . .
a. 5.040 c. 720 e. 240
b. 120 d. 420
3. Banyak cara memasang 5 bendera dari negara yang berbeda disusun dalam satu baris adalah . . .
a. 20 c. 126 e. 120
b. 24 d. 132
4. Suatu kelompok belajar yang beranggotakan 8 orang dalam posisi yang melingkar, jika ketua,
wakil ketua, dan sekretaris duduk berdampingan. Banyak cara mereka dapat duduk melingkar
adalah . . .
a. 720 c. 270 e. 4.050
b. 120 d. 5.040
48
5. Terdapat 3 orang Indonesia, 2 orang Belanda, dan 2 orang Jerman. Banyak urutan jika
duduknya berjajar berkelompok menurut kewarganegarannya adalah . . .
a. 7 c. 24 e. 42
b. 12 d. 144
6. Pada lomba Fisika yang diselenggarakan sebuah perguruan tinggi terkemuka terseleksi 10
finalis. Dari 10 finalis tersebut akan dipilih masing-masing 1 orang yang menjadi juara I, II, dan
III. Banyak kemungkinan susunan juara yang terbentuk adalah . . .
a. 720 c. 210 e. 250
b. 270 d. 120
7. Enam orang akan berjajar untuk foto bersama. Banyaknya kemungkinan yang dapat terjadi
adalah . . .
a. 36 c. 720 e. 5.040
b. 360 d. 1.440
8. Banyaknya cara menyusun huruf pada kata “MERDEKA” dengan syarat huruf A selalu di
depan dan huruf M selalu di belakang adalah . . .
a. 36 c. 42 e. 240
b. 60 d. 120
9. Terdapat 3 orang perempuan dan 3 orang laki-laki duduk berjajar pada sebuah bangku panjang,
jika orang laki-laki harus duduk di pinggir. Banyak urutan orang tersebut duduk adalah . . .
a. 9 c. 36 e. 144
b. 24 d. 120
10. Terdapat enam orang guru masuk ruang rapat dan hanya tersedia empat kursi. Banyak urutan
orang tersebut duduk adalah . . .
a. 360 c. 120 e. 60
b. 210 d. 90
11. Ada berapa cara 7 buku berbeda yang terdiri dari 3 buku Matematika, 2 buku Kimia, dan 2 buku
Fisika dapat disusun dalam sebuah rak buku yang memanjang, jika buku tersebut harus satu
kelompok. Banyak penyusunan buku yang mungkin adalah . . .
a. 24 c. 120 e. 420
b. 144 d. 210
49
12. Terdapat 6 pohon yang berbeda dapat ditanam dalam taman yang membentuk lingkaran.
Banyak cara seseorang menanam pohon tersebut adalah . . .
a. 120 c. 280 e. 360
b. 210 d. 720
13. Nilai n yang memenuhi adalah . . .
a. 5 c. 7 e. 9
b. 6 d. 8
14. Banyak susunan kata yang dapat dibentuk dari kata FILIPINA adalah . . .
a. 5.270 c. 6.270 e. 40.320
b. 5.720 d. 6.720
15. Banyak cara mengatur 4 orang laki-laki dan 4 perempuan duduk mengelilingi meja bundar jika
setiap orang perempuan duduk di antara dua orang laki-laki (berselang-seling) adalah . . .
a. 36 c. 96 e. 576
b. 144 d. 256
PERTEMUAN V
KOMBINASI
Definisi Kombinasi
Kombinasi adalah cara memilih (tidak memperhatikan urutan) r unsur berbeda yang diambil
dari n unsur yang tersedia.
Rumus Kombinasi ( r ≤ n )
50
Disediakan huruf X, Y, dan Z
Permutasi dari 3 huruf diambil dua-dua Kombinasi dari 3 huruf diambil dua-dua
XY
YX berbeda
6 permutasi
YZ
ZY berbeda
ZX
XZ berbeda
Urutan diperhatikan
XY = YX
YZ = ZY 3 kombinasi
ZX = XZ
Urutan tidak diperhatikan
Contoh 1
Suatu tim bola basket terdiri dari 5 orang akan dipilih dari 10 pemain. Berapa macam susunan
dapat dipilih?
Penyelesaian:
Susunan yang dapat dipilih adalah pengambilan 5 orang dari 10 orang yang urutannya tidak
diperhatikan, jadi menggunakan banyaknya kombinasi 5 orang yang dipilih dari 10 orang
Contoh 2
Sebuah kelompok seni tari terdiri atas 6 pria dan 5 wanita. Kelompok ini akan mengirimkan 3
pria dan 2 wanita untuk mengikuti festival. Hitunglah banyak cara yang dapat dilakukan untuk
memilih 5 wakil, jika :
51
a. Setiap anggota kelompok berhak dipilih
b. Seorang wakil wanita sudah pasti dipilih
c. Ada 2 anggota pria yang sakit (tidak dapat dipilih)
Penyelesaian :
a.
b.
c.
Contoh 3
Sebuah kotak berisi 5 bola biru dan 9 bola merah. Dari kotak tersebut diambil 3 bola sekaligus
secara acak. Tentukan banyak cara pengambilan jika bola yang diambil :
a. Ketiganya berwarna merah
b. Ketiganya berwarna biru
c. Tepat 2 bola biru
d. Minimal 1 bola merah
Penyelesaian :
a.
b.
c.
d.
52
Contoh 4
Seorang siswa diminta mengerjakan 12 soal dari soal nomor 40 sampai 60. Jika soal bernomor
ganjil harus dikerjakan, berapa banyak pilihan soal yang dapat diambil siswa tersebut?
Penyelesaian :
TEAM VI
Kelompok 1 dan 5
1. Suatu tim sepak bola terdiri dari 11 orang akan dipilih dari 15 pemain. Berapa macam
susunan dapat dipilih?
2. Di dalam almari berisi 6 baju merah, 4 baju putih, dan 5 baju biru. Dari almari tersebut
diambil tiga baju sekaligus secara acak. Berapa banyak cara pengambilan tiga baju terdiri
dari 2 baju merah dan 1 baju putih?
Kelompok 2 dan 8
1. Sebuah kotak berisi 10 kartu kuning dan 6 kartu merah. Dari kotak tersebut diambil empat
kartu sekaligus secara acak. Berapa banyak cara pengambilan jika kartu yang diambil
keempatnya berwarna kuning?
2. Sebuah kotak berisi 8 kelereng kuning, 5 kelereng merah, dan 6 kelereng hijau. Dari kotak
tersebut diambil 3 kelereng sekaligus secara acak. Berapa banyak cara pengambilan tiga
kelereng paling sedikitnya terdapat 2 kelereng hijau?
Kelompok 3 dan 6
1. Suatu tim takraw terdiri dari 6 orang akan dipilih dari 13 pemain. Berapa macam susunan
dapat dipilih?
2. Di meja terdapat 8 buah buku novel, 6 buku komik, dan 5 buku dongeng. Diambil empat
buku sekaligus secara acak. Berapa banyak cara pengambilan jika buku yang diambil 2 buku
novel, 1 buku komik, dan 1 buku dongeng?
53
Kelompok 4 dan 7
1. Sebuah kotak terdapat 10 bolpoint hitam dan 12 bolpoint biru. Dari kotak tersebut diambil
tiga bolpoint sekaligus secara acak. Berapa banyak cara pengambilan jika bolpoint yang
diambil ketiganya berwarna biru?
2. Sebuah kantong berisi 5 buah naga, 7 buah apel, dan 8 buah mangga. Dari kantong tersebut
diambil tiga buah sekaligus secara acak. Berapa banyak cara pengambilan tiga buah paling
sedikitnya terdapat 2 buah apel?
GAME IV
1. Dalam sebuah pertemuan yang dihadiri oleh 10 orang anggota, akan dipilih 3 orang untuk
berbicara. Banyak cara memilih ketiga orang tersebut adalah . . .
a. 720 c. 240 e. 72
b. 360 d. 120
2. Dalam suatu ruangan terdapat 40 orang. Setiap orang saling bersalaman, banyaknya salaman
yang dilakukan seluruhnya adalah . . .
a. 1.560 c. 835 e. 780
b. 1.630 d. 870
3. Suatu perusahaan yang baru berdiri akan membeli 10 kendaraan yang terdiri atas 2 truk, 3
mobil, dan 5 motor. Jika ada 5 merk truk, 7 merk mobil, dan 8 merk motor, banyak cara untuk
memilih 10 kendaraan tersebut adalah . . .
a. 280 c. 8.400 e. 1.411.200
b. 6.950 d. 19.600
4. Andre beserta 9 orang temannya akan membentuk suatu tim bola voli yang terdiri atas 6 orang.
Banyak tim yang mungkin dibentuk adalah . . .
a. 126 c. 210 e. 252
b. 162 d. 216
5. Di meja terdapat 8 potongan kue dan 10 potongan semangka. Andi akan mengambil 2 potongan
kue dan 3 potongan semangka. Banyak cara Andi mengambil 2 potongan kue dan 3 potongan
semangka adalah . . .
54
a. 148 c. 1.680 e. 3.360
b. 1.090 d. 2.180
6. Sebuah kotak berisi 6 kelereng merah dan 4 kelereng kuning. Dari kotak tersebut diambil tiga
kelereng sekaligus secara acak. Banyak cara pengambilan jika kelereng yang diambil ketiganya
berwarna merah adalah . . .
a. 20 c. 15 e. 35
b. 25 d. 30
7. Suatu perkumpulan beranggotakan 12 orang pria dan 8 orang wanita. Dari kelompok tersebut
dibentuk suatu panitia yang terdiri dari 5 orang secara acak. Banyak cara pembentukkan panitia
paling sedikit terdapat 4 orang pria adalah . . .
a. 3.960 c. 6.160 e. 5.752
b. 4.752 d. 4.572
8. Seorang murid diminta mengerjakan 9 dari 10 soal ulangan, tetapi soal nomor 1 sampai dengan
nomor 5 harus dikerjakan, banyaknya pilihan yang dapat diambil murid adalah. . .
a. 4 c. 6 e. 10
b. 5 d. 9
9. Sebuah kotak terdapat 5 pensil biru dan 4 pensil hijau. Dari kotak tersebut diambil tiga pensil
sekaligus secara acak. Banyak cara pengambilan jika sekurang-kurangnya 2 pensil biru
adalah….
a. 150 c. 84 e. 50
b. 100 d. 80
10. Suatu tim bola basket terdiri dari 4 orang akan dipilih dari 11 pemain. Banyaknya susunan yang
dapat dipilih adalah . . .
a. 300 c. 450 e. 530
b. 330 d. 500
11. Dari warna merah, jingga, kuning, hijau, biru, nila, dan ungu akan dibuat beberapa warna baru.
Warna baru tersebut diperoleh dengan mencampurkan dua warna yang berlainan. Banyaknya
warna baru yang dapat dibuat adalah . . .
a. 21 c. 28 e. 56
b. 14 d. 42
55
12. Nilai n yang memenuhi n C 2 = 100 C 98 adalah . . .
b. 98 c. 100 e. 102
c. 99 d. 101
13. Suatu tim karya ilmiah terdiri atas 5 orang siswa putra dan 6 siswa putri. Akan dibentuk tim
kecil terdiri atas 3 orang untuk mewakili lomba karya ilmiah. Jika tim harus beranggotakan
paling sedikit 1 putri, banyak cara memilih anggota tim tersebut adalah. . .
a. 155 c. 200 e. 695
b. 75 d. 600
14. Sebuah kotak berisi 7 bola kuning dan 9 bola biru. Dari kotak tersebut diambil tiga bola
sekaligus secara acak. Banyak cara pengambilan jika bola yang diambil 2 bola kuning dan 1
bola biru adalah . . .
a. 504 c. 378 e. 189
b. 210 d. 119
15. Dari kelompok guru ada 5 guru matematika dan 7 guru fisika. Akan dibuat tim kerja yang terdiri
atas 2 guru matematika dan 3 guru fisika. Banyak cara untuk membuat tim jika dua guru fisika
tidak boleh ikut dalam tim itu adalah . . .
a. 350 c. 210 e. 250
b. 140 d. 100
PERTEMUAN VI
TURNAMEN II
1. Dalam latihan bulutangkis terdapat 8 orang pemain putra dan 6 orang pemain putri. Banyak
pasangan ganda yang dapat diperoleh untuk ganda campuran adalah . . .
a. 52 c. 48 e. 92
b. 84 d. 79
2. Lima anak akan berdiri dalam satu baris. Mereka adalah Andre, Monika, Susan, Dhea, dan
Reza. Jika Reza harus berdiri di salah satu ujung, banyak urutan yang terbentuk adalah . . .
a. 48 c. 108 e. 140
b. 78 d. 128
56
3. Tujuh siswa kelas X dan delapan siswa kelas XI akan membentuk suatu delegasi yang terdiri
atas 5 orang. Jika setiap kelas diwakili oleh sedikitnya 2 siswa, banyak cara membentuk
delegasi tersebut adalah . . .
a. 1.176 c. 1.256 e. 2.156
b. 2.165 d. 2.566
4. Dari sekelompok remaja terdiri atas 10 pria dan 7 wanita, dipilih 2 pria dan 3 wanita, banyaknya
cara pemilihan tersebut adalah . . .
a. 1.557 c. 1.595 e. 5.715
b. 1.575 d. 5.175
5. Dari 7 pengurus sebuah organisasi akan dipilih seorang ketua, wakil ketua, sekretaris, dan
bendahara. Banyaknya cara pemilihan tersebut adalah . . .
a. 210 c. 252 e. 420
b. 250 d. 840
6. Suatu kelompok pengajian ibu-ibu mempunyai anggota 10 orang. Apabila setiap pengajian
duduknya melingkar, banyaknya cara posisi ibu-ibu dalam duduk melingkar adalah . . .
a. 720 c. 3.528 e. 3.628.800
b. 1.008 d. 362.880
7. Dari 10 orang finalis karya tulis akan dipilih juara I, II, dan III. Banyaknya cara memilih urutan
adalah . . .
a. 7 c. 120 e. 720
b. 30 d. 240
8. Banyak susunan kata yang dapat dibentuk dari kata STATISTIKA adalah . . .
a. 151.200 c. 75.600 e. 85.600
b. 76.500 d. 86.500
9. Ada berapa cara 8 buku Biologi yang berbeda dapat disusun dalam sebuah rak buku yang
memanjang, jika ada 4 buku Biologi yang selalu bersama-sama. Banyak penyusunan buku
Kimia yang mungkin adalah . . .
a. 2.880 c. 2.800 e. 2.890
b. 2.088 d. 2.980
57
10. Seorang siswa diminta mengerjakan 10 soal dari soal nomor 20 sampai 35. Jika soal bernomor
ganjil harus dikerjakan, banyak pilihan soal yang dapat diambil siswa tersebut adalah . . .
a. 32 c. 21 e. 14
b. 28 d. 16
11. Dalam suatu ruangan terdapat tujuh orang dan hanya tersedia empat kursi. Banyaknya cara
memilih urutan adalah . . .
a. 35 c. 840 e. 360
b. 120 d. 480
12. Sebuah kotak terdapat 9 buah apel dan 6 buah jeruk. Dari kotak tersebut diambil 3 buah
sekaligus secara acak. Banyak cara pengambilan jika buah yang diambil minimal 1 buah apel
adalah . . .
a. 216 c. 300 e. 435
b. 275 d. 325
13. Sebuah kotak berisi 8 kelereng hijau dan 6 kelereng biru. Dari kotak tersebut diambil empat
kelereng sekaligus secara acak. Banyak cara pengambilan jika kelereng yang diambil
keempatnya berwarna hijau adalah . . .
d. 45 c. 50 e. 70
e. 56 d. 65
14. Nilai n yang memenuhi n P 5 = 9 × (n - 1) P 4 adalah . . .
a. 9 c. 17 e. 20
b. 12 d. 19
15. Sembilan buah permata berbeda ukuran yang terdiri atas 2 permata berwarna merah, 1 permata
berwarna hijau, dan yang lainnya berwarna putih akan disusun menjadi sebuah gelang. Jika
permata hijau disusun diantara permata merah, banyak cara menyusun permata tersebut adalah .
. .
a. 720 c. 120 e. 60
b. 240 d. 1.440
16. Kelompok tani Suka Maju terdiri atas 6 orang yang berasal dari dusun A dan 8 orang yang
berasal dari dusun B. jika dipilih 2 orang dari dusun A dan 3 orang dari dusun B untuk
mengikuti penelitian di tingkat Kabupaten, banyaknya susunan kelompok yang mungkin terjadi
adalah . . .
58
a. 840 c. 560 e. 120
b. 720 d. 350
17. Suatu sekolah membentuk tim delegasi yang terdiri atas 4 anak kelas X, 5 anak kelas XI, dan 6
anak kelas XII. Kemudian akan ditentukan pimpinan yang terdiri atas ketua dari kelas XII,
wakil ketua dan sekretaris harus dari kelas yang sama. Wakil ketua dan sekretaris tidak boleh
dari kelas XII. Banyak kemungkinan susunan pimpinan ada . . . cara.
a. 156 c. 546 e. 720
b. 192 d. 600
18. Banyaknya diagonal pada bangun datar segi-10 adalah . . .
a. 22 c. 35 e. 47
b. 25 d. 45
19. Dari 20 siswa yang lolos seleksi akan dipilih 3 siswa untuk mewakili sekolah dalam lomba
cerdas cermat. Banyak cara untuk memilih ketiga siswa tersebut adalah . . .
a. 6.840 c. 2.320 e. 1.140
b. 2.440 d. 1.820
20. Diketahui 5 buku yang berbeda. Dari 5 buku tersebut diambil 3 buku dan diletakkan secara
berderetan. Banyak cara mengambil dan meletakkan buku tersebut adalah . . .
a. 10 c. 40 e. 120
b. 20 d. 60
59
LEMBAR KERJA SISWA I
RUANG SAMPEL DAN KEJADIAN
Ruang sampel adalah himpunan dari semua hasil yang mungkin muncul pada suatu percobaan.
Ruang sampel dilambangkan dengan huruf “S”.
Titik sampel adalah anggota-anggota dari ruang sampel.
Kejadian atau peristiwa adalah himpunan bagian dari ruang sampel.
Kejadian dibedakan menjadi dua macam, yaitu :
3. Kejadian sederhana adalah kejadian yang hanya mempunyai satu titik sampel.
4. Kejadian majemuk adalah kejadian yang mempunyai lebih dari satu titik sampel.
Contoh 1
Sebuah dadu dilempar satu kali. Tulislah :
d. Ruang sampel percobaan tersebut.
e. Titik sampel percobaan tersebut.
f. Kejadian muncul sisi angka mata dadu ganjil.
Penyelesaian :
Diagram pohon
1
2
3
4
5
DADU
6
60
d. Ruang sampel
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
e. Titik sampel
1, 2, 3, 4, 5, 6
f. Kejadian muncul mata dadu ganjil
{ 1, 3, 5 }
KAIDAH PENCACAHAN
Kaidah pencacahan adalah suatu ilmu yang berkaitan dengan menentukan banyaknya cara
suatu percobaan dapat terjadi. Menentukan banyaknya cara suatu percobaan dapat terjadi dilakukan
dengan aturan penjumlahan, aturan perkalian.
Contoh 2
Dari kota Kendari ke kota Makassar ada 2 jalan dan dari kota Makassar ke kota Poso ada 3 jalan.
Ada berapa cara pergi dari kota Kendari menuju kota Poso melalui kota Makassar?
Penyelesaian :
Hasil yang mungkin : a1, a2, a3, b1, b2, b3
Jadi, banyak cara pergi dari kota Kendari menuju kota Poso melalui kota Makassar adalah
.
KEGIATAN SELANJUTNYA TEAM I
a
b
1
3
2 Kendari
Poso
Makassar
61
Contoh 3
Ada berapa cara pelat mobil pribadi dapat dibuat, jika setiap pelat memuat 2 huruf yang sama serta
diikuti 3 angka yang sama dengan angka pertama tidak boleh nol?
Penyelesaian :
Contoh 4
Dari angka-angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 akan dibentuk bilangan ribuan. Tentukan :
e. Banyak bilangan ribuan yang dapat dibentuk (pengulangan diperbolehkan)
f. Banyak bilangan ribuan berbeda yang dapat dibentuk (pengulangan tidak diperbolehkan)
g. Banyak bilangan ribuan ganjil berbeda yang dapat dibentuk (pengulangan tidak diperbolehkan)
h. Banyak bilangan ribuan yang lebih dari 3.000 (pengulangan diperbolehkan)
Penyelesaian :
a. Bilangan ribuan (pengulangan diperbolehkan)
Ribuan Ratusan Puluhan Satuan
6 7 7 7
b. Bilangan ribuan berbeda (pengulangan tidak diperbolehkan)
Ribuan Ratusan Puluhan Satuan
6 6 5 4
c. Bilangan ribuan ganjil berbeda (pengulangan tidak diperbolehkan)
Ribuan Ratusan Puluhan Satuan
5 5 4 3
62
d. Bilangan ribuan yang lebih dari 3.000
Ribuan Ratusan Puluhan Satuan
4 7 7 7
Bilangan yang lebih dari 3.000 dimulai dari 3.001 (bilangan 3.000 tidak termasuk) sehingga
bilangan yang dapat dibentuk .
Secara Umum dapat Dirumuskan :
Misalkan :
peristiwa 1 dapat terjadi dalam n1 cara
peristiwa 2 dapat terjadi dalam n2 cara
peristiwa 3 dapat terjadi dnalam n3 cara
.
.
.
peristiwa k dapat terjadi dalam nk cara
banyak cara k peristiwa dapat dilaksanakan secara berurutan adalah :
cara
KEGIATAN SELANJUTNYA TEAM II
KEGIATAN SELANJUTNYA GAME I
63
LEMBAR KERJA SISWA II
FAKTORIAL
Faktorial dinotasikan atau dilambangkan dengan n! (dibaca n faktorial).
n! adalah hasil perkalian semua bilangan asli dari 1 sampai n, sehingga didefinisikan sebagai
berikut :
dengan dan
Contoh 1
Hitunglah nilai dari :
b. b. c.
Penyelesaian :
d.
e.
f.
64
Contoh 2
Hitunglah nilai dari :
b. b. c. d.
Penyelesaian :
e.
f.
g.
h.
Contoh 3
Tulislah dalam bentuk notasi faktorial
b. b. c.
Penyelesaian :
d.
e.
f.
65
Contoh 4
Tentukan nilai n, jika
Penyelesaian :
Kesimpulan
1. atau
2. Jika n = I diperoleh
sehingga dan
KEGIATAN SELANJUTNYA TEAM III
KEGIATAN SELANJUTNYA GAME II
PERTEMUAN BERIKUTNYA TURNAMEN I
66
LEMBAR KERJA SISWA III
PERMUTASI
Definisi
Permutasi adalah cara membentuk susunan terurut (urutan di perhatikan) dari sebagian atau
seluruh anggota himpunan yang disediakan.
Banyaknya permutasi r unsur yang diambil dari n unsur yang berbeda adalah
(P(n, r) = )!rn(
!n
untuk r ≤ n.
Rumus
P(n, r) = nPr =
Contoh 1
Tiga orang guru masuk ruang rapat. Tempat yang masih kosong ada 5 kursi, berapa cara mereka
dapat menempati 5 kursi tersebut ?
Penyelesaian :
67
Contoh 2
Terdapat 4 orang perempuan dan 3 orang laki-laki duduk berjajar pada sebuah bangku panjang,
jika orang laki-laki harus duduk di pinggir. Ada berapa urutan orang tersebut duduk?
Penyelesaian :
Contoh 3
Pada lomba Matematika yang diselenggarakan sebuah perguruan tinggi terkemuka terseleksi 17
finalis. Dari 17 finalis tersebut akan dipilih masing-masing 1 orang yang menjadi juara I, II, dan
III. Berapa banyak kemungkinan susunan juara yang terbentuk ?
Penyelesaian :
KEGIATAN SELANJUTNYA TEAM IV
Permutasi dari n unsur yang mengandung qp dan r unsur yang sama
Rumus
68
Keterangan :
n = banyaknya elemen seluruhnya
p = banyaknya elemen kelompok 1 yang sama
q = banyaknya elemen kelompok 2 yang sama
r = banyaknya elemen kelompok 3 yang sama
Contoh 1
Tentukan banyaknya susunan kata yang dapat dibentuk dari kata DADU !
Penyelesaian :
Terdapat 4 huruf, huruf D sebanyak 2, huruf A sebanyak 1, dan huruf U sebanyak 1.
Banyaknya susunan huruf adalah :
kata
Contoh 2
Ada berapa cara 9 buku yang berbeda dapat disusun dalam sebuah rak buku yang memanjang,
jika ada 3 buku yang selalu bersama-sama. Ada berapa penyusunan yang mungkin?
Penyelesaian :
cara
PERMUTASI SIKLIS
Definisi
Permutasi siklis adalah permutasi melingkar (urutan melingkar).
Rumus
Banyaknya permutasi melingkar n unsur atau
69
Contoh 3
Sekelompok siswa yang terdiri dari 4 orang duduk melingkar sebuah meja bundar. Berapa cara
lima orang siswa duduk mengelilingi meja bundar tersebut ?
Penyelesaian :
cara.
Contoh 4
Dalam suatu rapat osis yang terdiri dari 5 orang dalam posisi yang melingkar. Jika ketua, wakil
ketua harus selalu duduk bersebelahan. Berapa formasi duduk yang bisa dibentuk ?
Penyelesaian :
KEGIATAN SELANJUTNYA TEAM V
KEGIATAN SELANJUTNYA GAME III
70
LEMBAR KERJA SISWA IV
KOMBINASI
Definisi Kombinasi
Kombinasi adalah cara memilih (tidak memperhatikan urutan) r unsur berbeda yang diambil
dari n unsur yang tersedia.
Rumus Kombinasi ( r ≤ n )
Disediakan huruf X, Y, dan Z
Permutasi dari 3 huruf diambil dua-dua Kombinasi dari 3 huruf diambil dua-dua
XY
YX berbeda
6 permutasi
YZ
ZY berbeda
ZX
XZ berbeda
Urutan diperhatikan
XY = YX
YZ = ZY 3 kombinasi
ZX = XZ
Urutan tidak diperhatikan
71
Contoh 1
Suatu tim bola basket terdiri dari 5 orang akan dipilih dari 10 pemain. Berapa macam susunan
dapat dipilih?
Penyelesaian:
Susunan yang dapat dipilih adalah pengambilan 5 orang dari 10 orang yang urutannya tidak
diperhatikan, jadi menggunakan banyaknya kombinasi 5 orang yang dipilih dari 10 orang
Contoh 2
Sebuah kelompok seni tari terdiri atas 6 pria dan 5 wanita. Kelompok ini akan mengirimkan 3
pria dan 2 wanita untuk mengikuti festival. Hitunglah banyak cara yang dapat dilakukan untuk
memilih 5 wakil, jika :
a. Setiap anggota kelompok berhak dipilih
b. Seorang wakil wanita sudah pasti dipilih
c. Ada 2 anggota pria yang sakit (tidak dapat dipilih)
Penyelesaian :
a.
b.
c.
72
Contoh 3
Sebuah kotak berisi 5 bola biru dan 9 bola merah. Dari kotak tersebut diambil 3 bola sekaligus
secara acak. Tentukan banyak cara pengambilan jika bola yang diambil :
a. Ketiganya berwarna merah
b. Ketiganya berwarna biru
c. Tepat 2 bola biru
d. Minimal 1 bola merah
Penyelesaian :
a.
b.
c.
d.
73
Contoh 4
Seorang siswa diminta mengerjakan 12 soal dari soal nomor 40 sampai 60. Jika soal bernomor
ganjil harus dikerjakan, berapa banyak pilihan soal yang dapat diambil siswa tersebut?
Penyelesaian :
KEGIATAN SELANJUTNYA TEAM VI
KEGIATAN SELANJUTNYA GAME IV
PERTEMUAN BERIKUTNYA TURNAMEN II
74
Kisi-Kisi Soal Posttest
Mata Pelajaran : Matematika Wajib
Kelas/Semester : XI/2
Kompetensi Inti :
1. Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya.
2. Menghayati dan mengamalkan perilaku jujur, disiplin, tanggungjawab, peduli (gotong royong,
kerjasama, toleran, damai), santun, responsif dan pro-aktif dan menunjukkan sikap sebagai
bagian dari solusi atas berbagai permasalahan dalam berinteraksi secara efektif dengan
lingkungan sosial dan alam serta dalam menempatkan diri sebagai cerminan bangsa dalam
pergaulan dunia.
3. Memahami, menerapkan, dan menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, prosedural, dan
metakognitif berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya,
dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait
penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian
yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah.
4. Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah abstrak terkait dengan
pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah secara mandiri, bertindak secara efektif dan
kreatif, serta mampu menggunakan metoda sesuai kaidah keilmuan.
Kompetensi Dasar :
1.1 Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya.
2.2 Mampu mentransformasikan diri dalam berperilaku jujur, tangguh menghadapi masalah, kritis
dan disiplin dalam melakukan tugas belajar matematika.
2.3 Menunjukkan sikap bertanggungjawab, rasa ingin tahu, jujur, dan berperilaku peduli
lingkungan.
3.13 Mendeskripsikan dan menerapkan berbagai aturan pencacahan melalui beberapa contoh nyata
serta menyajikan alur perumusan aturan pencacahan (perkalian, permutasi, dan kombinasi)
melalui diagram atau cara lainnya.
3.14 Menerapkan berbagai konsep dan prinsip permutasi dan kombinasi dalam pemecahan masalah
nyata.
4.10 Memilih dan menggunakan aturan pencacahan yang sesuai dalam pemecahan masalah nyata
serta memberikan alasannya.
4.11 Mengidentifikasi masalah nyata dan menerapkan aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi
dalam pemecahan masalah tersebut.
75
Materi : Aturan Pencacahan, Permutasi, dan Kombinasi
Jenis Soal : Pilihan Ganda
Jumlah Soal : 20 Soal
Alokasi Waktu : 90 menit
No Indikator Sub Indikator Jumlah
Soal
Contoh Soal
1. Menyelesaikan
soal yang
berhubungan
dengan aturan
pencacahan
Menentukan
banyaknya
cara suatu
percobaan
yang
berhubungan
dengan
permasalahan
sehari-hari
5 Jalur penerbangan sebuah pesawat udara dari Bali
ke Jakarta dapat melalui 5 jalur, dari Jakarta ke
Medan dapat melalui 4 jalur, dan dari Medan ke
London melalui 3 jalur. Banyaknya jalur
penerbangan pulang-pergi yang dapat dipilih
untuk penerbangan dari Bali ke London melalui
Jakarta dan Medan dengan menggunakan jalur
penerbangan yang berbeda adalah . . .
a. 3.400 c. 3.800 e. 1.440
b. 3.600 d. 4.410
Shinta mempunyai baju warna merah, hijau, biru,
dan ungu, celana warna hitam, putih, dan coklat.
Shinta juga mempunyai sepatu warna hitam dan
coklat. Banyak pasangan baju, celana, dan sepatu
yang dapat dipakai Shinta adalah . . .
a. 24 c. 42 e. 62
b. 32 d. 54
Sebuah pelat mobil pribadi dapat dibuat, jika
setiap pelat memuat 2 huruf yang berbeda serta
diikuti 3 angka yang berbeda dengan angka
pertama tidak boleh nol adalah . . .
a. 585.000 c. 421.200 e. 234.000
b. 438.048 d. 608.400
Menentukan
banyaknya
cara suatu
percobaan
yang
berhubungan
dengan
bilangan
Dari angka-angka 2, 3, 4, 5, dan 6 akan dibentuk
bilangan ribuan tanpa pengulangan. Banyak
bilangan ribuan genap yang dapat dibentuk adalah
. . .
a. 24 c. 60 e. 75
b. 42 d. 72
Dari angka-angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9
akan dibentuk bilangan ribuan tanpa pengulangan.
Banyak bilangan ribuan yang kurang dari 3.000
dan genap adalah . . .
a. 560 c. 840 e. 504
b. 640 d. 448
Menyelesaikan
soal yang
berhubungan
dengan
faktorial
Menentukan
nilai faktorial
5 Hitunglah
a. 55 c. 65 e. 75
b. 60 d. 70
Hitunglah
a. 150 c. 216 e. 376
76
b. 126 d. 276
Menuliskan
perkalian
dalam bentuk
faktorial
Tulislah dalam bentuk notasi faktorial
a. c. e.
b. d.
Tulislah dalam bentuk notasi faktorial
a. c. e.
b. d.
Menentukan
nilai sebuah
variabel jika
dari suatu
persamaan
yang
melibatkan
operasi
faktorial
Nilai n yang memenuhi adalah . . .
a. 8 c. 10 e. 12
b. 9 d. 11
2. Menyelesaikan
soal yang
berhubungan
dengan
permutasi
Menentukan
nilai
persamaan
permutasi
5 Diketahui (n+1) P 2 = (n-1) P 2 . Nilai 2n + 5 adalah. . .
a. 5 c. 7 e. 9
b. 6 d. 8
Menentukan
permutasi r
unsur yang
diambil dari n
unsur yang
berbeda
Enam anak akan berdiri dalam satu baris. Mereka
adalah Fandi, Shinta, Lidya, Febri, Fanny, dan
Satria. Jika Shinta harus berdiri di salah satu
ujung, banyak urutan yang terbentuk adalah . . .
a. 120 c. 210 e. 720
b. 180 d. 240
Dari 8 pengurus sebuah organisasi akan dipilih
seorang ketua, wakil ketua, sekretaris, dan
bendahara. Banyaknya cara pemilihan tersebut
adalah . . .
a. 1.860 c. 2.800 e. 3.860
b. 1.680 d. 2.680
Menentukan
permutasi dari
beberapa
elemen yang
sama
Banyak susunan kata yang dapat dibentuk dari
kata MATEMATIKA adalah . . .
a. 75.600 c. 181.440 e. 184.400
b. 151.200 d. 5.040
Menentukan
permutasi
siklis
Suatu kelompok belajar yang beranggotakan 9
orang dalam posisi yang melingkar, jika ketua,
wakil ketua, dan sekretaris duduk berdampingan.
Banyak cara mereka dapat duduk melingkar
adalah . . .
77
a. 40.320 c. 4.320 e. 720
b. 40.230 d. 5.040
3. Menyelesaikan
soal yang
berhubungan
dengan
kombinasi
Dipilih r unsur
berbeda yang
diambil dari n
unsur yang
tersedia
5 Dari 15 siswa yang lolos seleksi akan dipilih 4
siswa untuk mewakili sekolah dalam lomba cerdas
cermat. Banyak cara untuk memilih keempat siswa
tersebut adalah . . .
a. 32.760 c. 2.365 e. 1.365
b. 32.670 d. 1.356
Dari dua
kelompok
masing-masing
dipilih r unsur
berbeda yang
diambil dari `n
unsur yang
tersedia pada
masing-masing
kelompok
Dalam latihan bulutangkis terdapat 10 orang
pemain putra dan 8 orang pemain putri. Banyak
pasangan ganda yang dapat diperoleh untuk ganda
campuran adalah . . .
a. 45 c. 80 e. 95
b. 56 d. 90
Sebuah kotak berisi 12 kelereng hijau dan 9
kelereng biru. Dari kotak tersebut diambil empat
kelereng sekaligus secara acak. Banyak cara
pengambilan jika kelereng yang diambil
keempatnya berwarna hijau adalah . . .
a. 495 c. 549 e. 621
b. 459 d. 126
Dari dua
kelompok
masing-masing
dipilih minimal
r unsur berbeda
yang diambil
dari n unsur
yang tersedia
pada masing-
masing
kelompok
Enam siswa kelas X dan tujuh siswa kelas XI akan
membentuk suatu delegasi yang terdiri atas 5
orang. Jika setiap kelas diwakili oleh sedikitnya 2
siswa, banyak cara membentuk delegasi tersebut
adalah . . .
a. 6.300 c. 525 e. 945
b. 5.040 d. 420
Sebuah kotak terdapat 7 buah apel dan 5 buah
jeruk. Dari kotak tersebut diambil 3 buah
sekaligus secara acak. Banyak cara pengambilan
jika buah yang diambil minimal 1 buah apel
adalah . . .
a. 35 c. 135 e. 70
b. 105 d. 210
78
POSTTEST
SOAL UJI KOMPETENSI DASAR
PENDIDIKAN MATEMATIKA
UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA
BEKERJA SAMA DENGAN SMA ISLAM
SUDIRMAN AMBARAWA
Petunjuk Pengisian :
1. Isilah data identitas (Nama, No.absen, dan Kelas) pada lembar jawab yang diberikan.
2. Waktu mengerjakan soal adalah 90 menit.
3. Kerjakan soal dengan memberi tanda silang (X) di lembar jawaban yang telah diberikan.
4. Siswa tidak diperbolehkan menggunakan kalkulator, membuka buku catatan, buku cetak, dan
sumber lainnya.
5. Bekerjalah dengan kemampuan sendiri dan berlatih kejujuran.
Berilah tanda silang (X) pada salah satu jawaban a, b, c, d, dan e yang kamu anggap benar!
1. Jalur penerbangan sebuah pesawat udara dari Bali ke Jakarta dapat melalui 5 jalur, dari Jakarta
ke Medan dapat melalui 4 jalur, dan dari Medan ke London melalui 3 jalur. Banyaknya jalur
penerbangan pulang-pergi yang dapat dipilih untuk penerbangan dari Bali ke London melalui
Jakarta dan Medan dengan menggunakan jalur penerbangan yang berbeda adalah . . .
a. 3.400 c. 3.800 e. 1.440
b. 3.600 d. 4.410
2. Shinta mempunyai baju warna merah, hijau, biru, dan ungu, celana warna hitam, putih, dan
coklat. Shinta juga mempunyai sepatu warna hitam dan coklat. Banyak pasangan baju, celana,
dan sepatu yang dapat dipakai Shinta adalah . . .
a. 24 c. 42 e. 62
b. 32 d. 54
3. Sebuah pelat mobil pribadi dapat dibuat, jika setiap pelat memuat 2 huruf yang berbeda serta
diikuti 3 angka yang berbeda dengan angka pertama tidak boleh nol adalah . . .
a. 585.000 c. 421.200 e. 234.000
b. 438.048 d. 608.400
4. Dari angka-angka 2, 3, 4, 5, dan 6 akan dibentuk bilangan ribuan tanpa pengulangan. Banyak
bilangan ribuan genap yang dapat dibentuk adalah . . .
a. 24 c. 60 e. 75
b. 42 d. 72
5. Dari angka-angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9 akan dibentuk bilangan ribuan tanpa
pengulangan. Banyak bilangan ribuan yang kurang dari 3.000 dan genap adalah . . .
79
a. 560 c. 840 e. 504
b. 640 d. 448
6. Hitunglah
a. 55 c. 65 e. 75
b. 60 d. 70
7. Hitunglah
a. 150 c. 216 e. 376
b. 126 d. 276
8. Tulislah dalam bentuk notasi faktorial
a. c. e.
b. d.
9. Tulislah dalam bentuk notasi faktorial
a. c. e.
b. d.
10. Nilai n yang memenuhi adalah . . .
a. 8 c. 10 e. 12
b. 9 d. 11
11. Diketahui (n+1) P 2 = (n-1) P 2 . Nilai 2n + 5 adalah . . .
a. 5 c. 7 e. 9
b. 6 d. 8
12. Enam anak akan berdiri dalam satu baris. Mereka adalah Fandi, Shinta, Lidya, Febri, Fanny, dan
Satria. Jika Shinta harus berdiri di salah satu ujung, banyak urutan yang terbentuk adalah . . .
a. 120 c. 210 e. 720
b. 180 d. 240
13. Dari 8 pengurus sebuah organisasi akan dipilih seorang ketua, wakil ketua, sekretaris, dan
bendahara. Banyaknya cara pemilihan tersebut adalah . . .
a. 1.860 c. 2.800 e. 3.860
b. 1.680 d. 2.680
80
14. Banyak susunan kata yang dapat dibentuk dari kata MATEMATIKA adalah . . .
a. 75.600 c. 181.440 e. 184.400
b. 151.200 d. 5.040
15. Suatu kelompok belajar yang beranggotakan 9 orang dalam posisi yang melingkar, jika ketua,
wakil ketua, dan sekretaris duduk berdampingan. Banyak cara mereka dapat duduk melingkar
adalah . . .
a. 40.320 c. 4.320 e. 720
b. 40.230 d. 5.040
16. Dari 15 siswa yang lolos seleksi akan dipilih 4 siswa untuk mewakili sekolah dalam lomba
cerdas cermat. Banyak cara untuk memilih keempat siswa tersebut adalah . . .
a. 32.760 c. 2.365 e. 1.365
b. 32.670 d. 1.356
17. Dalam latihan bulutangkis terdapat 10 orang pemain putra dan 8 orang pemain putri. Banyak
pasangan ganda yang dapat diperoleh untuk ganda campuran adalah . . .
a. 45 c. 80 e. 95
b. 56 d. 90
18. Sebuah kotak berisi 12 kelereng hijau dan 9 kelereng biru. Dari kotak tersebut diambil empat
kelereng sekaligus secara acak. Banyak cara pengambilan jika kelereng yang diambil
keempatnya berwarna hijau adalah . . .
a. 495 c. 549 e. 621
b. 459 d. 126
19. Enam siswa kelas X dan tujuh siswa kelas XI akan membentuk suatu delegasi yang terdiri atas 5
orang. Jika setiap kelas diwakili oleh sedikitnya 2 siswa, banyak cara membentuk delegasi
tersebut adalah . . .
a. 6.300 c. 525 e. 945
b. 5.040 d. 420
20. Sebuah kotak terdapat 7 buah apel dan 5 buah jeruk. Dari kotak tersebut diambil 3 buah
sekaligus secara acak. Banyak cara pengambilan jika buah yang diambil minimal 1 buah apel
adalah . . .
a. 35 c. 135 e. 70
b. 105 d. 210
Top Related