(Studi Kasus Data Penumpang Bandara Juanda 2008-2016)
(Skripsi)
Oleh
RASYD ROSIDI
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG
2017
PEMBANDINGAN METODE PENGHALUSAN EKSPONENSIAL GANDA
DUA PARAMETER HOLT DAN METODE BOX-JENKINS PADA
PERAMALAN DATA DERET WAKTU TREND
ABSTRAK
PEMBANDINGAN METODE PENGHALUSAN EKSPONENSIAL GANDA
DUA PARAMETER HOLT DAN METODE BOX-JENKINS PADA
PERAMALAN DATA DERET WAKTU TREND
Oleh
RASYD ROSIDI
Tujuan dari penelitian ini adalah menentukan metode terbaik untuk meramalkan
jumlah penumpang di Bandara Juanda dengan menggunakan metode penghalusan
eksponensial ganda dua parameter Holt dan Box-Jenkins berdasarkan nilai Mean
Square Error (MSE) terkecil.
Hasil penelitian menunjukkan bahwa peramalan jumlah penumpang di Bandara
Juanda dengan menggunakan metode penghalusan eksponensial ganda dua
parameter Holt lebih baik dibandingkan dengan menggunakan metode Box-
Jenkins.
Kata kunci: Peramalan, Metode Penghalusan Eksponensial Ganda Dua Parameter
Holt, Metode Box-Jenkins.
ABSTRACT
A COMPARISON TWO PARAMETER DOUBLE EXPONENTIAL
SMOOTHING HOLT METHOD AND BOX-JENKINS METHOD IN
FORECASTING TREND TIME SERIES
By
RASYD ROSIDI
The aim of this study is to determine the best method to predict the number of
passengers at Juanda airport by using two parameter double exponential
smoothing Holt method and Box-Jenkins method based on the smallest value of
Mean Square Error (MSE).
The result showed that forecasting the number of passengers at Juanda airport by
using two parameter double exponential smoothing Holt method is more
appropriate than using Box-Jenkins method.
Key words : Forecasting, Two Parameter Double Exponential Smoothing Holt
Method, Box-Jenkins Method.
PEMBANDINGAN METODE PENGHALUSAN EKSPONENSIAL GANDA
DUA PARAMETER HOLT DAN METODE BOX-JENKINS PADA
PERAMALAN DATA DERET WAKTU TREND
(Studi Kasus Data Penumpang Bandara Juanda 2008-2016)
Oleh
RASYD ROSIDI
Skripsi
Sebagai Salah Satu Syarat untuk Mencapai Gelar
SARJANA SAINS
Pada
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG
2017
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Bandar Lampung pada tanggal 14 Maret 1995 sebagai anak
pertama dari dua bersaudara pasangan bapak Amari, ST dan Ibu Ratna Juwita.
Penulis telah menyelesaikan jenjang pendidikan mulai dari Pendidikan Taman
Kanak-Kanak di TK Handayani Bandar Lampung lulus pada tahun 2001, Sekolah
Dasar (SD) Kartika II-6 Bandar Lampung diselesaikan pada tahun 2007, Sekolah
Menengah Pertama (SMP) Negeri 10 Bandar Lampung diselesaikan pada tahun
2010, dan Sekolah Menengah Atas (SMA) YP Unila Bandar Lampung
diselesaikan pada tahun 2013.
Pada tahun 2013 penulis terdaftar sebagai mahasiswa Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung melalui
jalur SNMPTN. Selama menjadi Mahasiswa, penulis pernah menjadi Anggota
Biro Dana dan Usaha HIMATIKA dan Natural Fmipa Unila periode 2014/2015.
Kemudian penulis menjadi Kepala Biro Dana dan Usaha HIMATIKA periode
2015/2016. Pada awal tahun 2016, penulis melakukan kegiatan Kuliah Praktik
(KP) selama satu bulan di Badan Pusat Statistik (BPS) Kota Bandar Lampung. Di
Tahun yang sama, pada bulan Juli 2016 penulis juga melakukan kegiatan Kuliah
Kerja Nyata (KKN) selama 40 hari di Desa Way Petay, Kecamatan Sumber Jaya,
Kabupaten Lampung Barat.
PERSEMBAHAN
Dengan segala rasa syukur kehadirat Allah SWT atas segala
nikmat dalam hidupku dan dengan segala kerendahan hati,
kupersembahkan sebuah karya kecil ini untuk:
Ayah dan Ibu tercinta yang tak henti-hentinya mendoakan
dan memberikan dukungan moril untuk kesuksesanku.
Adikku Rahma Rosita yang menjadi penyemangatku untuk
menjadi kakak yang bisa dibanggakan.
Dosen Pembimbing dan Penguji yang sangat berjasa, seluruh
sahabat-sahabatku
dan Almamaterku Universitas Lampung.
KATA INSPIRASI
“Sesungguhnya sesudah kesulitan ituada kemudahan. Maka
apabila kamu telah selesai dari suatu urusan kerjakanlah
dengan sungguh-sungguh urusan yang lain. Dan hanya
kepada Tuhanmulah hendaknya kamu berharap”
(Q.S. Al-Insyirah:6-8).
“Tetaplah berikhtiar dan tingkatkanlah taqwa kepada Allah
SWT, maka Allah SWT akan memudahkan setiap urusanmu”
(Rasyid Rosidi)
SANWACANA
Puji syukur kehadirat Allah SWT, yang telah melimpahkan rahmat, nikmat iman
serta hidayah-Nya kepada penulis sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi
inidengan judul “Pembandingan Metode Penghalusan Eksponensial Ganda Dua
Parameter Holt Dan Metode Box-Jenkins Pada Peramalan Data Deret Waktu
Trend” sebagai salah satu syarat meraih gelar sarjana pada Fakultas Matematika
dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.
Dalam menyelesaikan skripsi ini penulis banyak mendapat bantuan dan dukungan
dari semua pihak, baik secara langsung maupun tidak langsung. Untuk itu penulis
ingin menyampaikan rasa hormat dan ucapan terima kasih kepada:
1. Bapak Drs. Nusyirwan, M.Si., selaku pembimbing I yang selalu membimbing,
memberikan arahan, ide, saran dan kritik dalam proses penyelesaian skripsi
ini.
2. Bapak Amanto, S.Si., M.Si., selaku pembimbing II yang selalu memberi
dukungan dan semangat serta sabar dalam membimbing penulis dalam proses
penyelesaian skripsi ini.
3. Ibu Ir. Netti Herawati, M.Sc., Ph.D., selaku penguji yang telah memberikan
saran dan nasihatnya dalam menyelesaikan skripsi ini.
4. Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D., selaku Ketua Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
5. Bapak Prof. Warsito, S.Si., DEA., Ph.D., selaku dekan Fakultas Matematika
dan Ilmu Pengetahuan Alam.
6. Seluruh dosen, staf, serta karyawan Jurusan Matematika Fakultas Matematika
dan Ilmu Pengetahuan Alam.
7. Ayah dan Ibu yang senantiasa dengan tulus menyayangi, mendoakan dan
memotivasiku dalam menggapai cita-citaku.
8. Teman-teman, Suyitno, Aiman, Karina, Della, Maimuri, Eka, Suci, Efrizal,
Dimas, Alfan, Musa dan teman-teman angkatan 2013 yang tidak bisa
disebutkan satu persatu, terima kasih telah menjadi teman baik di dalam
maupun diluar kampus.
9. Keluarga besar HIMATIKA yang telah banyak memberikan motivasi dan
kenangan selama di kampus.
Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari kesempurnaan, akan tetapi
sedikit harapan semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi semua pihak yang
membaca. Aamiin.
Bandar Lampung, Juli 2017
Penulis,
Rasyd Rosidi
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR TABEL ..................................................................................... vi
DAFTAR GAMBAR ................................................................................. vii
I. PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang dan Masalah .................................................... 1
1.2. Tujuan Penelitian ..................................................................... 2
1.3. Manfaat Penelitian.................................................................... 2
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Analisis Deret Waktu .............................................................. 3
2.2 Kestasioneran Data Deret Waktu ............................................. 3
2.3 Pemeriksaan Kestasioneran Data Deret Waktu ........................ 4
2.3.1 Uji Stasioner Data Secara Correlogram ....................... 5
2.3.2 Uji Stasioner Secara Kuantitatif .................................... 6
2.4 Metode Box-Jenkins (ARIMA) ................................................ 7
2.4.1 Model Autoregressive (AR(p)) ....................................... 8
2.4.2 Model Moving Average (MA(q)) .................................... 8
2.4.2 Model Autoregressive and Moving Average ................... 9
2.5 Prosedur Box-Jenkins ............................................................... 9
2.5.1 Identifikasi Model ARIMA ............................................. 9
2.5.2 Estimasi Model ARIMA ................................................. 11
2.5.3 Evaluasi Model................................................................ 11
2.5.4 Prediksi atau Peramalan .................................................. 12
2.6 Metode Pemulusan ................................................................... 13
2.7 Metode Pemulusan Eksponensial ............................................. 13
2.8 Metode Pemulusan Eksponensial Ganda Ganda
Dua Parameter dari Holt .......................................................... 15
2.8.1 Proses Inisialisasi ............................................................ 16
2.9 Kriteria Kebaikan Model.......................................................... 17
2.9.1 Mean Absolute Deviation (MAD) ................................. 18
2.9.2 Mean Absolute Percentage Error (MAPE) .................... 18
2.9.3 Mean Square Error (MSE) .................................... 19
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian .................................................. 20
3.2 Data Penelitian ......................................................................... 20
3.3 Metode Penelitian .................................................................... 21
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Peramalan Jumlah Penumpang Bandara Juanda dengan
Menggunakan Metode Box-Jenkins ......................................... 24
4.1.1 Plot Data Deret Waktu .................................................... 24
4.1.2 Identifikasi Model ........................................................... 27
4.1.3 Estimasi Parameter Model .............................................. 28
4.1.4 Evaluasi Model Box-Jenkins ........................................... 29
4.2 Peramalan Jumlah Penumpang di Bandara Juanda dengan
Menggunakan Metode Pemulusan Eksponensial Ganda
Dua Parameter Holt .................................................................. 31
4.2.1 Pemeriksaan Kestasioneran Data .................................... 31
4.2.2 Pemeriksaan Kecenderungan Data .................................. 32
4.2.3 Pendugaan Parameter α dan γ ......................................... 32
4.2.4 Perhitungan nilai Pemulusan Eksponensial
Ganda Dua Parameter Holt ............................................. 35
4.2.5 Pembandingan Metode Box-Jenkins dengan
Pemulusan Eksponensial Ganda Dua Parameter Holt..... 39
4.2.6 Peramalan Jumlah Penumpang di Bandara Juanda
dengan Model Terpilih .................................................... 39
V. KESIMPULAN …………………………………………………… 41
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN
DAFTAR TABEL
Tabel Halaman
1. Pola ACF dan PACF ............................................................................ 11
2. Data Jumlah Penumpang di Bandara Juanda ........................................ 20
3. Pemeriksaan Kestasioneran Data Melalui ADF .................................... 25
4. Pemeriksaan Kestasioneran Data Melalui ADF .................................... 27
5. Estimasi Parameter Model Box-Jenkins ............................................... 29
6. Correlogram Pengujian Keacakan Model ............................................ 30
7. Nilai MSE Parameter α dan γ ................................................................ 33
8. Nilai Pemulusan Jumlah Penumpang Bandara Juanda dengan
Model Terbaik ....................................................................................... 36
9. Pembandingan metode Box-Jenkins dan Pemulusan Eksponensial
Ganda Dua Parameter Holt ................................................................... 39
10. Peramalan Jumlah Penumpang di Bandara Juanda ............................... 40
DAFTAR GAMBAR
Gambar Halaman
1. Plot Data Jumlah Penumpang Bandara Juanda ..................................... 24
2. Plot Autokorelasi Data Jumlah Penumpang Bandara Juanda ............... 25
3. Plot Data Penumpang Bandara Juanda Hasil Diferensiasi ke-1............. 26
4. Correlogram Jumlah Penumpang Bandara Juanda ................................ 28
5. Pengujian Normalitas Galat ................................................................... 30
6. Plot Autokorelasi Jumlah Penumpang Bandara Juanda ......................... 31
7. Plot Kecenderungan Data Jumlah Penumpang di Bandara Juanda ........ 32
8. Grafik Model Pemulusan Eksponensial Ganda Dua Parameter Holt .... 34
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang dan Masalah
Peramalan merupakan suatu teknik untuk memprediksikan suatu nilai pada masa
yang akan datang dengan memperhatikan data masa lalu maupun data saat ini.
Terdapat banyak metode peramalan yang dapat digunakan, namun tidak semua
metode peramalan yang dapat dengan tepat memprediksikan keadaan data di masa
yang akan datang. Untuk menentukan metode peramalan pada data deret waktu perlu
diketahui pola data dari data tersebut sehingga peramalan dengan metode yang sesuai
dengan pola data dapat dilakukan. Pola suatu data deret waktu dapat dibedakan
menjadi empat jenis, yaitu pola trend, pola musiman, pola siklis dan pola yang tidak
beraturan.
Untuk meminimalisir terjadinya kesalahan pada hasil peramalan yang diinginkan
maka perlu digunakan metode yang sesuai. Metode pemulusan eksponensial ganda
dua parameter Holt merupakan salah satu metode yang dapat digunakan untuk
meramalkan data yang memuat pola trend. Sedangkan metode Box-Jenkins
merupakan metode yang dikembangkan oleh Geroge Box dan Gwilym Jenkins yaitu
metode sering digunakan dalam peramalan data deret waktu. Metode Box-Jenkins
2
mencakup proses-proses stasioner dan nonstasioner, Autokorelasi, Autokorelasi
Parsial dan lain-lain.
Dalam rangka meramalkan jumlah penumpang di Bandara Juanda, akan
dibandingkan dua metode peramalan, yaitu metode pemulusan eksponensial ganda
dua parameter Holt dan metode Box-Jenkins. Berdasarkan data yang diperoleh,
jumlah penumpang pesawat terbang di Bandara Juanda menunjukkan pola trend
sehingga metode pemulusan eksponensial ganda dua parameter Holt dan metode
Box-Jenkins dapat digunakan untuk meramalkan jumlah penumpang di masa yang
akan datang.
1.2 Tujuan Penelitian
Adapun tujuan penulisan laporan ini adalah :
1 Mengkaji metode pemulusan eksponensial ganda dua parameter Holt dan
metode Box-Jenkins pada peramalan data deret waktu.
2 Membandingkan metode pemulusan eksponensial ganda dua parameter Holt
dan metode Box-Jenkins pada peramalan data deret waktu.
1.3 Manfaat Penelitian
Manfaat penelitian ini yaitu dapat menjadi referensi bagi pembaca apabila ingin
melakukan penelitian mengenai peramalan dengan data yang memuat trend.
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Analisis Deret Waktu
Deret waktu merupakan serangkaian pengamatan terhadap suatu variabel yang
diambil dari waktu ke waktu dan dicatat secara berurutan menurut urutan waktu
kejadiannya dengan interval waktu yang tetap. Rangkaian data pengamatan deret
waktu dinyatakan dengan variabel Yt, dengan t adalah indeks waktu dari urutan
pengamatan (Wei, 2006).
2.2 Kestasioneran Data Deret Waktu
Menurut Juanda dan Junaidi (2012), data deret waktu dikatakan stasioner jika
memenuhi dua kriteria yaitu nilai tengah dan ragamnya konstan dari waktu ke waktu.
Secara statistik dinyatakan sebagai, ( ) (rata-rata yang konstan) serta Var
( ) ( ) (ragam Y konstan).
Berdasarkan nilai tengah dan ragamnya, terdapat dua jenis kestasioneran data yaitu
data stasioner pada nilai tengahnya, jika data berfluktuasi disekitar suatu nilai tengah
yang tetap dari waktu ke waktu dan data stasioner pada ragamnya, jika data
berfluktuasi dengan ragam yang tetap dari waktu ke waktu.
4
Untuk mengatasi data yang tidak stasioner pada nilai tengahnya, dapat dilakukan
proses pembedaan atau diferensiasi terhadap deret data asli. Proses diferensiasi
adalah proses mencari perbedaan antara data satu periode dengan periode
sebelumnya secara berurutan. Data yang dihasilkan disebut data diferensiasi tingkat
pertama. Selanjutnya, jika diferensiasi pertama belum menghasilkan deret yang
stasioner, dilakukan diferensiasi tingkat berikutnya. Pembedaan data diferensiasi
tingkat pertama akan menghasilkan diferensiasi tingkat kedua. Pembedaan data
diferensiasi tingkat kedua akan menghasilkan diferensiasi tingkat ketiga, dan
seterusnya.
Untuk mengatasi data yang tidak stasioner pada ragamnya, umumnya dilakukan
transformasi data asli kebentuk logaritma natural atau akar kuadrat. Data yang tidak
stasioner pada ragam dapat juga disebabkan oleh pengaruh musiman, sehingga
setelah dihilangkan pengaruh musimnya dapat menjadi data stasioner. Selanjutnya,
jika data tidak stasioner baik pada nilai tengah maupun ragamnya, dilakukan proses
diferensiasi dan transformasi Ln atau akar kuadrat.
2.3 Pemeriksaan Kestasioneran Data Deret Waktu
Terdapat dua cara untuk menguji data bersifat stasioner atau tidak, yaitu dengan cara
grafik berupa tampilan correlogram dengan nilai ACF (Autocorrelation Function),
dan PACF (Partial Autocorrelation Function) beserta nilai statistiknya, atau secara
kuantitatif berupa uji Unit Root dengan metode ADF (Dickey-Fuller Test) dengan uji
hipotesis.
5
2.3.1 Uji Stasioner Data Secara Correlogram
Uji stasioner secara correlogram dengan tampilan grafik batang berupa nilai
koefisien ACF dan PACF dari lag yang tidak lain merupakan data runtun waktu dari
jumlah penumpang Bandara Juanda Tahun 2008-2016 maupun nilai galat. Koefisien
autokorelasi menunjukan tingkat keeratan hubungan antara nilai dari variabel yang
sama untuk periode waktu yang berbeda yang disebut time lag. Pengidentifikasian
sifat stasioner data mengacu kepada penurunan nilai koefisien ACF maupun PACF,
bila nilai koefisien baik ACF maupun PACF menurun secara eksponensial seiring
dengan meningkatnya k (lag), hal tersebut menunjukan data sudah dalam kondisi
stasioner. Sebaliknya data tidak stasioner, bila nilai koefisien ACF dan PACF tidak
menurun menuju nol seiring dengan meningkatnya k.
Fungsi ACF yang dipergunakan untuk identifikasi sifat stasioner data tidak lain
adalah memberikan informasi mengenai korelasi antara data-data runtun waktu yang
berdekatan. Secara matematis, fungsi autokorelasi lag ke k ditulis sebagai:
= kovarian lag ke k / varian
( ) ( ) ( ) (2.1)
Untuk data yang bersifat stasioner, maka nilai varian akan konstan, sehingga
( ) ( ). Dengan demikian persamaan akan menjadi,
( ) ( )
(2.2)
6
2.3.2 Uji Stasioner Secara Kuantitatif
Yang dimaksud dengan pengujian sifat stasioner data secara kuantitatif adalah uji
akar-akar unit yang menggunakan metode ADF. Pengujian secara kuantitatif apakah
data deret waktu jumlah penumpang di Bandara Juanda bersifat stasioner atau tidak
stasioner, sangatlah penting agar hasil kesimpulan tidak bersifat subjektif
sebagaimana bila dalam bentuk tampilan grafik.
Pengujian dengan menggunakan metode ADF mensyaratkan data bersifat stasioner
jika hasil ADF lebih kecil dari nilai kritis 5%.
( )
(2.3)
Dengan kata lain, jika ( ) atau yang berarti data tidak bersifat
stasioner atau sebaliknya. Metode transformasi dengan cara pembedaan untuk
mengatasi data deret waktu yang tidak stasioner menjadi stasioner adalah sebagai
berikut:
(2.4)
Persamaan (2.4) merupakan model yang tidak stasioner. Dengan transformasi
pembedaan pertama, yaitu dikurangi , maka nilai rata-rata dan varian menjadi:
( ) ( ) (2.5)
7
( ) ( ) (2.6)
Tampak jelas bahwa setelah ditransformasi, baik nilai rata-rata maupun varian telah
konstan, yang berarti data ( ) sudah stasioner.
2.4 Metode Box-Jenkins (ARIMA)
Model ARIMA dipelajari secara mendalam oleh George Box dan Gwilym Jenkins,
dan nama mereka sering disinonimkan dengan proses ARIMA yang ditetapkan untuk
analisis deret waktu, peramalan, dan pengendalian. Model autoregressive (AR)
pertama kali diperkenalkan oleh Yule dan kemudian dikembangkan oleh Walker,
sedangkan model moving average (MA) pertama kali digunakan oleh Slutzky. Akan
tetapi Wold-lah yang menghasilkan dasar-dasar teoritis dari proses kombinasi
ARMA. Wold membentuk model ARMA yang dikembangkan pada tiga arah yaitu
identifikasi, efisiensi, dan prosedur penafsiran (untuk proses AR, MA, dan ARMA).
Perluasan hasil tersebut untuk mencangkup deret waktu musiman dan pengembangan
sederhana yang mencangkup proses-proses non stasioner (ARIMA). Box dan Jenkins
secara efektif telah berhasil mencapai kesepakatan mengenai informasi relevan yang
diperlukan untuk memahami dan memakai model-model ARIMA. Metode ARIMA
akan bekerja dengan baik apabila data deret berkala yang dipergunakan bersifat
dependen atau berhubungan satu sama lain secara statistik (Makridakis dkk, 1999).
8
2.4.1 Model Autoregressive (AR(p))
Model Autoregressive (AR) merupakan regresi deret Yt terhadap amatan waktu
sebelumnya Yt-k dari dirinya sendiri, untuk k = 1,2,…p. banyaknya nilai sebelumnya
yang digunakan oleh model (sebanyak p) menentukan tingkat model ini. Bentuk
umum model Autoregressive (AR)(p) adalah:
(2.7)
dengan:
Yt : nilai variabel pada waktu ke-t
αi : koefisien autoregressive, I : 1,2,3,…,p
t : nilai galat pada waktu ke-t
2.4.2 Model Moving Average (MA(q))
Model moving average pertama kali diperkenalkan oleh Slutsky. Model ini
regresinya melibatkan selisih nilai variabel sekarang dengan nilai dari variabel
sebelumnya. Model moving average disingkat sebagai MA(q), persamaannya adalah:
(2.8)
dengan:
Yt : nilai variabel pada waktu ke-t
βi : parameter model moving average (MA)
t : nilai galat pada waktu ke-t
t-q : nilai kesalahan pada saat t-q
Q : orde MA
9
2.4.3 Model Autoregressive dan Moving Average (ARMA(p,q))
ARMA(p,q) merupakan suatu model yang terdiri dari penggabungan antara model
AR dan MA. Nilai Yt tidak hanya dipengaruhi oleh nilai peubah tersebut, tetapi juga
oleh galat peubah tersebut pada periode sebelumnya. Bentuk umum model
ARMA(p,q) adalah sebagai berikut:
(2.9)
2.5 Prosedur Box-Jenkins
Untuk menentukan apakah perilaku data mengikuti pola AR, MA, ARMA atau
ARIMA dan untuk menentukan ordo AR, MA serta tingkat proses diferensiasi untuk
menjadi data stasioner. Box dan Jenkins (1982), telah mengembangkan suatu
prosedur yang dikenal dengan prosedur Box-Jenkins, yaitu
1. Identifikasi Model
2. Estimasi Parameter Model
3. Evaluasi Model
4. Prediksi atau Peramalan
2.5.1 Identifikasi Model ARIMA
Langkah pertama yang perlu dilakukan dalam membangun model adalah mendeteksi
masalah stasioner data yang digunakan. Jika data tidak stasioner pada level,
diperlukan proses diferensiasi untuk mendapatkan data yang stasioner (baik pada
level maupun pada differens), langkah selanjutnya adalah mengidentifikasi model.
10
Metode yang umum digunakan untuk pemilihan model melalui correlogram
Autocorrelation Function (ACF) dan Partial Autocorrelation Function (PACF).
Misalnya, jika dimiliki data deret waktu sebagai berikut , maka dapat
dibangun pasangan nilai ( ) ( ) ( ). Autocorrelation untuk
lag k (korelasi antara dengan ) dinyatakan sebagai , yaitu:
∑ ( ̅)( ̅)
∑ ( ̅)
(2.10)
Dimana = koefisien autokorelasi untuk lag k dan ̅ = rata-rata data deret waktu.
Karena merupakan fungsi dari k, maka hubungan autokorelasi dengan lagnya
dinamakan fungsi autokorelasi (Autocorrelation Function = ACF). Fungsi
autokorelasi pada dasarnya memberikan informasi bagaimana korelasi antara data-
data ( ) yang berdekatan. Selanjutnya , jika fungsi autokorelasi tersebut
digambarkan dalam bentuk kurva, dikenal dengan istilah correlogram ACF.
PACF didefinisikan sebagai korelasi antara dan setelah menghilangkan
pengaruh autokorelasi lag pendek dari korelasi yang diestimasi pada lag yang lebih
panjang. Algoritma untuk menghitung PACF sebagai berikut:
{
∑ ̂ ̂
∑ ̂ ̂
} (2.11)
dengan, ̂ : partial autocorrelation pada lag k dan adalah autocorrelation pada
lag k. pemilihan modelnya dengan ACF maupun PACF secara grafis mengikuti
ketentuan sebagai berikut:
11
Tabel 1. Pola ACF dan PACF
Model Pola ACF Pola PACF
AR(p)
Exponential, Exponential
oscillation atau sinewave
Menurun drastis pada lag
tertentu
MA(q)
Menurun drastis pada lag
tertentu
Exponential, Exponential
oscillation atau sinewave
ARMA(p,q)
Exponential, Exponential
oscillation atau sinewave
Exponential, Exponential
oscillation atau sinewave
2.5.2 Estimasi Model ARIMA
Tahap selanjutnya dilakukan estimasi parameter model untuk mencari parameter
estimasi yang paling efisien untuk model. Pada tahap ini dilakukan pengujian
kelayakan model dengan mencari model terbaik. Model terbaik didasarkan pada
goodness of fit, yaitu tingkat signifikasi koefisien peubah independen (termasuk
konstanta) melalui uji t, uji F, maupun nilai koefisien determinasi (R2) serta dengan
menggunakan MSE.
2.5.3 Evaluasi Model
Pada tahap ini dilakukan pengujian terhadap galat model yang diperoleh. Model
yang baik memiliki galat yang bersifat acak. Analisis galat dilakukan dengan
correlogram, baik melalui ACF maupun PACF. Jika koefisien ACF maupun PACF
12
secara individual tidak bersifat acak, harus kembali ketahap sebelumnya untuk
memilih model yang lain. Pengujian signifikasi ACF dan PACF dapat dilakukan
melalui uji Ljung-Box.
2.5.4 Prediksi atau Peramalan
Tahap terakhir adalah melakukan peramalan berdasarkan model terpilih. Menurut
Assauri (1993), peramalan merupakan seni dan ilmu dalam memprediksikan
kejadian yang mungkin dihadapi pada masa yang akan datang.
Masalah dalam peramalan biasanya dibagi kedalam tiga istilah. Istilah pendek,
sedang, dan panjang dalam peramalan. Istilah pendek menyangkut kejadian yang
hanya beberapa waktu periode (hari, minggu, dan bulan) kedepannya. Lalu istilah
sedang artinya peramalannya secara luas dari satu sampai dua tahun kedepannya.
Istilah panjang sendiri dalam masalah peramalan dapat diperluas menjadi dua tahun
atau lebih (Shewhart and Wilks, 2007).
Dengan metode peramalan yang tepat, hasil peramalannya dapat dipercaya
ketetapannya. Oleh karena masing-masing metode peramalan berbeda-beda, maka
penggunannya harus hati-hati terutama dalam pemilihan metode dalam peramalan.
Untuk mengevaluasi kesalahan peramalan bisa menggunakan Mean Square Error
(MSE), Mean Absolute Error (MAE), dan Mean Absolute Percentage Error
(MAPE).
13
2.6 Metode Pemulusan Eksponensial
Pemulusan eksponensial merupakan suatu model peramalan rata-rata bergerak yang
melakukan pembobotan terhadap data masa lalu dengan cara eksponensial sehingga
data paling akhir mempunyai bobot atau timbangan lebih besar dalam rata-rata
bergerak. Metode pemulusan eksponensial telah digunakan selama beberapa tahun
sebagai suatu metode yang sangat berguna pada begitu banyak situasi peramalan.
Pada tahun 1957 C. C. Holt mengusulkan metode eksponensial yang berlaku untuk
data deret waktu yang tidak memiliki unsur trend dan musiman. Kemudian pada
tahun 1957 diusulkan suatu prosedur pemulusan eksponensial untuk data deret waktu
yang memuat pola trend yang kemudian biasa disebut metode penghalusan
eksponensial ganda dua parameter dari Holt (Makridakis, dkk., 1999).
2.7 Metode Pemulusan Eksponensial Tunggal
Metode pemulusan eksponensial tunggal dikenal juga sebagai pemulusan
eksponensial sederhana yang digunakan pada peramalan jangka pendek. Model
mengasumsikan bahwa data berfluktuasi di sekitar nilai rata-rata yang tetap, tanpa
trend atau pola pertumbuhan konsisten (Makridakis, dkk., 1999).
Rumus untuk pemulusan eksponensial tunggal adalah sebagai berikut :
( )
( )
14
( ) (2.12)
dengan:
= pemulusan eksponensial pada tahun ke-
= pemulusan eksponensial pada tahun ke-
= data pada periode waktu ke-
= konstanta pembobot pemulusan eksponensial ( )
Nilai α disebut pemulusan konstan, dalam model pemulusan eksponensial tunggal,
nilai α bisa ditentukan secara bebas, artinya tidak ada suatu cara yang pasti untuk
mendapatkan nilai α. Pemilihan nilai α dapat dilakukan dengan cara coba-coba, akan
tetapi untuk mencari nilai α yang optimal dapat dilakukan dengan bantuan software
(Brockwell, 2002).
2.8 Metode Pemulusan Eksponensial Ganda Dua Parameter dari Holt
Pada metode pemulusan eksponensial tunggal tidak dapat digunakan untuk data yang
memuat pola trend, sehingga Holt (1957) mengembangkan metode ini dengan
memasukkan unsur trend pada persamaan tersebut yang kemudian biasa disebut
metode pemulusan eksponensial ganda dua parameter dari Holt. Rumus untuk
pemulusan eksponensial ganda dari Holt adalah sebagai berikut :
( )
( )
( ) ( )
( )( ) (2.13)
15
dengan :
= pemulusan eksponensial pada tahun ke-
= pemulusan eksponensial pada tahun ke-
= data pada periode waktu ke-
= konstanta pembobot pemulusan eksponensial ( )
= nilai pemulusan unsur trend pada periode ke-
Untuk menghitung pemulusan unsur trend digunakan persamaan sebagai berikut:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) (2.14)
dengan :
= konstanta pembobot pemulusan unsur trend ( )
= pemulusan eksponensial pada tahun ke-
= pemulusan eksponensial pada tahun ke-
= pemulusan unsur trend pada periode ke-
= pemulusan unsur trend pada periode ke-
Peramalan menggunakan metode pemulusan eksponensial ganda dari Holt yaitu
dengan menghitung pemulusan eksponensial dan pemulusan unsur trend. Setelah
kedua faktor ditemukan nilai pemulusannya, langkah terakhir adalah peramalan data
pada periode m yang akan datang dengan rumus:
16
(2.15)
dengan :
= nilai yang ingin diramalkan
= pemulusan eksponensial pada tahun ke-
= pemulusan unsur trend pada periode ke-
= periode waktu yang akan diramalkan
(Makridakis, dkk., 1999).
2.8.1 Proses Inisialisasi
Proses inisialisasi atau penentuan nilai awal memiliki peranan cukup penting dalam
melakukan peramalan dengan metode pemulusan eksponensial. Hal ini dapat dilihat
pada persamaan pemulusan eksponensial tunggal pada persamaan (2.12). Misalkan
untuk menghitung pemulusan periode ke depan maka
( ) (2.16)
Bila t = 1, persamaan (2.17) menjadi
( ) (2.17)
Untuk memperoleh nilai S2, S1 harus diketahui terlebih dahulu. Nilai S1 tersebut
adalah:
17
( ) (2.18)
Akan tetapi, nilai X1 dan S0 tidak ada. Begitu juga dengan nilai S1 yang harus
diketahui untuk menghitung nilai S2. Akan tetapi nilai tersebut tidak diperoleh dari
data yang ada. Oleh karena itu, diperlukan suatu cara untuk menentukan nilai S1
(nilai awal) tersebut. Banyak cara dalam menentukan nilai awal, berikut ini adalah
beberapa cara penentuan nilai awal untuk beberapa jenis metode pemulusan
eksponensial:
a. Metode pemulusan eksponensial tunggal
(2.19)
b. Metode pemulusan eksponensial ganda ( dua parameter dari Holt)
(2.20)
( ) ( )
(2.21)
(Pindyck, 1998).
2.9 Kriteria Kebaikan Model
Dalam melakukan peramalan ada beberapa metode yang digunakan untuk mencari
ramalannya. Sebuah model dengan galat peramalan terkecil tentunya akan dipilih
untuk melakukan prediksi di masa mendatang. Besarnya galat tersebut dapat dihitung
melalui ukuran galat peramalan, sebagai berikut:
18
2.9.1 Mean Absolute Deviation (MAD)
Simpangan rata-rata MAD mengukur akurasi peramalan dengan meratakan nilai
absolut galat peramalan. Nilai galat diukur dalam unit yang sama seperti pada data
aslinya.
(| 1 1| | 2 2| | 3 3| | n n|)
(∑ | t t|
) (2.22)
dengan:
n = banyaknya data yang diamati
= peramalan ke-t
= data ke-t
(Makridakis, dkk., 1999).
2.9.2 Mean Absolute Percentage Error (MAPE)
MAPE digunakan untuk melakukan perhitungan perbedaan antara data asli dan data
hasil peramalan. Perbedaan tersebut diabsolutkan, kemudian dihitung ke dalam
bentuk persentase terhadap data asli. Hasil persentase tersebut kemudian didapatkan
nilai mean-nya. Suatu model mempunyai kinerja sangat bagus jika nilai MAPE
berada di bawah 10%, dan mempunyai kinerja bagus jika nilai MAPE berada di
antara 10% dan 20%. Adapun diberikan persamaan untuk menghitung MAPE yaitu:
19
(|
| |
| |
| |
|)
(∑ |
|
) (2.23)
dengan:
n = banyaknya data yang diamati
= peramalan ke-t
= data ke-t
2.9.3 Mean Squared Error (MSE) atau Mean Squared Deviation (MSD)
Mean Square Error merupakan salah satu metode yang digunakan untuk
menganalisis atau mengukur kesalahan metode peramalan. Pada metode ini hampir
mirip dengan metode MAD, rumus MSE adalah
(∑ | |
) (2.24)
dengan:
n = banyaknya data yang diamati
= peramalan ke-t
= data ke-t
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dilakukan pada semester ganjil dan semester genap tahun ajaran
2016/2017 di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Alam, Universitas Lampung.
3.2 Data Penelitian
Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data penumpang Bandara Juanda
pada tahun 2008-2016. Data tersebut merupakan data sekunder yang diperoleh dari
Badan Pusat Statistik (BPS). Data tersebut adalah sebagai berikut:
Tabel 2. Data Jumlah Penumpang di Bandara Juanda
Bulan Tahun
2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016
Jan 328446 331528 388819 457763 530692 624398 617838 565027 656208
Feb 282242 289383 349148 413489 494799 518487 479197 474994 571726
Mar 310829 319658 337764 436203 544229 585913 538497 501031 618357
Apr 275959 311808 405263 429024 522512 560613 510996 513301 596085
Mei 281806 337949 422810 448132 542413 590532 554213 568271 675702
Jun 281428 356683 441067 518562 528568 627701 609753 518583 523451
Jul 313235 391103 476358 529225 602625 512111 455747 608491 825715
Agt 298881 381083 367383 386770 528977 658784 743304 699259 792232
Sep 221823 308402 455251 548400 651697 682269 604342 545042 649375
Okt 340406 433271 477450 504393 586731 685386 636143 605010 718451
Nov 294919 427065 449044 516875 607904 593909 593137 587291 699285
Des 309608 417994 474367 521433 608329 624290 644533 671396 693048
21
3.3 Metode Penelitian
Adapun langkah-langkah dalam penelitian ini adalah sebagai berikut :
A. Metode Box Jenkins
1. Membuat Plot data jumlah penumpang Bandara Juanda.
2. Memeriksa kestasioneran data dengan melihat grafik ACF dan uji hipotesis
ADF. Jika data tidak stasioner dilakukan proses diferensiasi pada data.
3. Mengidentifikasi model Box-Jenkins dengan menggunakan metode pemilihan
model melalui ACF dan PACF.
4. Mengestimasi parameter model Box-Jenkins terbaik melalui
a. uji signifikansi koefisien peubah independen termasuk konstanta dengan p-
value < α = 0,05
b. Kritieria nilai MSE
5. Mengevaluasi model Box-Jenkins terhadap model dengan pengujian
normalitas galat menggunakan Model Jargue-Bera.
B. Metode Pemulusan Eksponensial Ganda Dua Parameter Holt
1. Memeriksa kestasioneran data dengan melihat grafik ACF
2. Pemeriksaan kecenderungan data dengan menyajikan grafik analisis
kecenderungan. Apabila grafik analisis kecenderungan menunjukkan
kecenderungan naik atau turun, maka data memuat unsur kecenderungan.
22
3. Pendugaan parameter α dan γ untuk mengestimasi parameter model dengan
cara simulasi, yakni mensimulasikan kisaran α dan γ pada interval (0,1).
Kemudian menentukan parameter α dan γ terbaik dengan mempertimbangkan
nilai MSE.
4. Perhitungan nilai pemulusan eksponensial ganda dua parameter Holt dengan
cara sebagai berikut:
a. Perhitungan Mencari Nilai Pemulusan ( )
( )( )
b. Perhitungan mencari nilai trend pemulusan ( )
( ) ( )
c. Peramalan pemulusan eksponensial ganda dua parameter Holt
dengan:
= pemulusan eksponensial pada tahun ke-
= pemulusan eksponensial pada tahun ke-
= data pada periode waktu ke-
= konstanta pembobot pemulusan eksponensial ( )
= konstanta pembobot pemulusan unsur trend ( )
= pemulusan unsur trend pada periode ke-
= pemulusan unsur trend pada periode ke-
= nilai yang ingin diramalkan
= periode waktu yang akan diramalkan
C. Pembandingan Metode Box-Jenkins dan Metode Pemulusan Eksponensial
Ganda Dua Parameter Holt
23
Hasil pemilihan model yang diperoleh dari metode Box-Jenkins kemudian
dibandingkan dengan hasil yang diperoleh dari metode pemulusan eksponensial
Ganda Dua Parameter Holt. Pembandingan dilakukan dengan
mempertimbangkan nilai MSE untuk dua model tersebut.
D. Peramalan Jumlah Penumpang Bandara Juanda Dengan Model Terpilih
Melakukan peramalan penumpang di Bandara Juanda dengan menggunakan
model terpilih selama satu tahun kedepan.
V. KESIMPULAN
Kesimpulan dari penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Metode Box-Jenkins dan metode pemulusan eksponensial ganda dua parameter
Holt dapat digunakan untuk meramalkan data jumlah penumpang Bandara
Juanda dikarenakan data mengandung faktor trend.
2. Model Box-Jenkins yang paling tepat dengan data adalah ARIMA (0,1,1) atau
Dengan nilai MSE sebesar 59883,12.
3. Model pemulusan eksponensial ganda dua parameter Holt yang paling tepat
adalah dengan parameter pemulusan α = 0,23 dan γ = 0,001. Dengan nilai MSE
sebesar 59465,56.
4. Peramalan jumlah penumpang Bandara Juanda tahun 2008 sampai 2016 lebih
tepat menggunakan metode pemulusan eksponensial ganda dua parameter Holt
karena menghasilkan nilai MSE yang lebih kecil dibandingkan metode Box-
Jenkins.
DAFTAR PUSTAKA
Assauri, S. 1984. Teknik dan Metoda Permalan. Fakultas Ekonomi Universitas
Indonesia, Jakarta.
Brockwell, J.P. and Davis, A.R.2002. Introduction to Time Series and Forecasting.
Springer, New York.
Juanda, B. dan Junaidi. 2012. Ekonometrika Deret Waktu Teori dan Aplikasi. IPB
Press, Bogor.
Makridakis, S., Wheelwright, S. C., dan McGee, V. E. 1992. Metode dan Aplikasi
Peramalan. Edisi Kedua. Terjemahan Untung Sus Andriyanto. Erlangga, Jakarta.
Makridakis, S., Spyros, and Wheelwright, S. C. 1999. Forecasting Methods and
Application. Erlangga, Jakarta.
Shewhart, W.A. and Wilks, S.S. 2008. Wiley Series in Probability and Statistics.
John Wiley & Sons, Inc., New York.
Pindyck, R. dan Rubinfeld, D. 1998. Mikroekonomi. PT. Ikar Mandiri Abadi,
Indonesia.
Wei, W.W.S. 2006. Time Series Analysis: Univariate and Multivariate Methods.
Second Edition. Pearson Education Inc., Canada.
Top Related