PAM en banda base -‐ Comunicaciones Digitales
Luca Mar8no y Francisco J. Rodríguez Ruiz
Apuntes-‐Laboratorio
no revisados (cuidado!!!)
Modulación lineal
• Desde el punto de vista teórico se han estudiado diferentes casos en este orden (desde Teoría de la Comunicación hasta Com. Digitales)
Trasmisión de un solo símbolo, con N coordenadas de la constelación, y señales entre 0 y T.
Trasmisión indefinida de símbolos, con N coordenadas de la constelación, y señales entre 0 y T.
Trasmisión indefinida de símbolos, con N=1, y señales que duren más que un periodo de símbolo.
…. ….
PAM en banda base
Señal modulada (caso general) • Transmisión indefinida de símbolos en un espacio
mul8dimensional (N)
• Donde asumimos las condiciones (vamos a ver luego el porqué)
€
s(t) = A j[k]φ j (t − kT)j=0
N −1
∑k∑
€
S[k] = A0[k],...,AN −1[k]( )Coordenadas del k-‐esimo Símbolo enviado
€
φi(t)φ j (t)dt = δ i − j[ ]−∞
+∞
∫ Base ortonormal
€
p j (t) nT = φ j (t)∗h(t)∗ f j (t) nT = δ[n]Y luego nos gustaría (no siempre es posible): Criterio de Nyquist
Canal Filtro en el receptor
€
j = 0,....,N −1
Señal modulada (k=0, N genérico) • Supongamos de querer transmi8r un solo símbolo (paso
temporal, n=0) en un espacio mul8dimensional (N) u8lizando una modulación de este 8po
• En este caso la única condición es
• Este es el caso que se ha estudiado en profundidad en Teoría de la Comunicación.
€
s(t) = A jφ j (t)j=0
N −1
∑
€
φi(t)φ j (t)dt = φi(t)φ j (t)dt0
T∫ = δ i − j[ ]
−∞
+∞
∫€
S = [A0,...,AN −1]Coordenadas del símbolo
Donde estamos considerando solo señales entre 0 y T.
PAM banda base (k genérico, N=1) • En este caso
€
s(t) = A0[k]φ0(t − kT)k∑ = A0[k]g(t − kT)
k∑
€
φ0(t − kT) = g(t − kT)
Ejemplo constelación con 4 símbolos
€
A0[k]
€
0
¿Por que más de un periodo de símbolo?
• Las señales s(t) de duración finita en el 8empo (entre 0 y T, por ejemplo) ocupan un ancho de banda infinito. Este fenómeno empeora a medida que T0 (aumentamos la velocidad de transmisión), dado que en este caso s(t) Delta(t) y S(w)1 (la señal con8ene todas las frecuencias, “excitadas” en igual medida).
• En las aplicaciones reales, podemos u8lizar sólo un ancho de banda finito. Por esto hay que plantearse el uso de señales que excedan el intervalo símbolo [nT, (n+1)T].
Ancho de banda finito Duración infinita
Esquema general (PAM banda base) • Diagrama de bloque
€
g(t)
€
A[n]
€
h(t)
€
n(t)Canal
……
Modulador
€
s(t)
€
r(t)
€
r(t) = s(t)∗h(t) + n(t)
€
f (t)
€
q(t)
€
q[n]
€
nTDemodulador
€
q[n]Decisor
€
ˆ A [n]
€
q(t) = r(t)∗ f (t)q(t) = s(t)∗h(t)∗ f (t) + n(t)∗ f (t) = s(t)∗h(t)∗ f (t) + z(t)
€
z(t)
€
s(t) = A0[k]φ0(t − kT)k∑ = A0[k]g(t − kT)
k∑
Demodulación (PAM banda base) • Volvemos a la señal
€
q(t) = r(t)∗ f (t)
€
q(t) = s(t)∗h(t)∗ f (t) + n(t)∗ f (t)
€
q(t) = s(t)∗h(t)∗ f (t) + z(t)
€
q(t) = A0[k]g(t − kT)k∑⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ∗h(t)∗ f (t) + z(t)
q(t) = A0[k] g(t − kT)∗h(t)∗ f (t)( )k∑ + z(t)
€
p(t − kT)
€
q(t) = A0[k]p(t − kT)k∑ + z(t)
Intercambiamos el orden de los integrales y de la suma
€
p(t) = g(t)∗h(t)∗ f (t)
€
P(ω) =G(ω )H(ω )F(ω )
€
r(t)
€
f (t)
€
q(t)
€
q[n]
€
nTDemodulador
Canal discreto equivalente
• Muestreando cada nT instantes
€
q n[ ] = A0[k]p(nT − kT)k∑ + z(nT) = A0[k]p((n − k)T)
k∑ + z(nT)
€
q n[ ] = A0[k]p n − k[ ]k∑ + z[n] = A0 n[ ]p 0[ ] + A0[k]p n − k[ ]
k≠n∑ + z[n]
€
p(t) = g(t)∗h(t)∗ f (t)ISI
€
p(t) nT = p(nT) = p[n]
€
z(t) nT = z(nT) = p[n]
“Fuentes” de error
• Dada la expresión
• En general, tenemos 2 fuentes de error:
ISI ruido z[n] • nos gustaría que el ruido fuera blanco (además que nos exista
ISI), para que el decisor símbolo a símbolo fuera óp8mo (no necesitamos más información para decidir de forma óp8ma).
€
q n[ ] = A0 n[ ]p 0[ ] + A0[k]p n − k[ ]k≠n∑ + z[n]
Criterio de Nyquist para ausencia de ISI • Hemos visto que nos gustaría que
• La condición de arriba, es equivalente a escribir
• Y en frecuencia
• el criterio de Nyquist es también conocido como forzador de ceros.
€
p n[ ] = p(t) nT = p(nT) = δ n[ ]
€
p(nT)δ(t − nT)n=−∞
+∞
∑ = δ(t)
€
P(ω)∗ 2πT
δ ω −2πkT
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
k=−∞
+∞
∑ =1
€
1T
P ω −2πkT
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
k=−∞
+∞
∑ =1€
p(t) δ(t − nT)n=−∞
+∞
∑ = δ(t)
Dado que es no nulo solo para t=nT
Hay un factor 1/(2*pi) porque es una convolución con deltas en w (es decir,2*pi* f)….
Ruido z[n] • Vamos a analizar el ruido
€
n(t)
€
f (t)
€
z(t)
€
z[n]
€
nTDemodulador
€
Sz(ω) = Sn (ω )F(ω)2
Si
€
Sn (ω) = N02
€
Sz(ω) = N02 F(ω)
2
€
Sz(ejω ) =
N0
2TF ωT−2πkT
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ 2
k=−∞
+∞
∑
Ruido z[n] • El ruido z[n] será blanco si
• Nota que, aparte de una constante, es exactamente igual al criterio de Nyquist para la ausencia de ISI.
• Entonces si
• el ruido z[n] será blanco.
€
n(t)
€
f (t)
€
z(t)
€
z[n]
€
nTDemodulador
€
Sz(ejω ) =
N0
2TF ωT−2πkT
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ 2
k=−∞
+∞
∑ = const.
€
rf (t) nT = f (t)∗ f (−t) nT ∝δ[n]Es importante notar que en ningún momento estamos haciendo referencia al filtro transmisor.
El hecho de escalar en frecuencia no afecta a la condición
Proporcional (luego u8lizaremos siempre un =)
Lo que nos gustaría • En general buscamos conseguir 3 cosas:
ausencia de ISI
que z[n] sea blanco
maximizar la SNR
• en el caso general (canal con distorsión, ruido etc.), no podemos conseguir que se cumplan las tres condiciones simultáneamente.
Si se cumplen estas 2 condiciones, decidir símbolo a símbolo es óp8mo.
Es evidente que a mayor SNR, menor probabilidad de error en decisión.
Condición 1) ausencia de ISI • Primero, nos gustaría que
• Se cumple si elegimos
€
q n[ ] = p 0[ ]A0 n[ ] + z[n]
O directamente
€
q n[ ] = A0 n[ ] + z[n]
Esto ocurre si
€
p n[ ] = p(t) nT = δ n[ ]
€
f (t) = g(−t)
€
G(ω) =Y (ω )H(ω )
Donde
€
Y (ω) Es cualquier función que cumple Nyquist, es decir
€
y(t) nT = δ[n]
1)
2)
y
Condición 1) ausencia de ISI • De hecho si elegimos
• Tenemos
€
f (t) = g(−t)
€
G(ω) =Y (ω )H(ω )
Donde
€
Y (ω) Es cualquier función que cumple Nyquist, es decir
€
y(t) nT = δ[n]
1)
2)
y
€
P(ω) =G(ω )H(ω )F(ω )
P(ω) =G(ω )H(ω )G*(ω ) = H(ω)G(ω ) 2
P(ω) = H(ω ) Y (ω)H(ω)
=Y (ω )
Condición 2) z[n] blanco • Para que el ruido z[n] sea blanco
• Hemos ya visto que esto se cumple si
• donde f(t) es el filtro en el demodulador.
€
Sz(ejω ) = const.
€
rf (t) nT = f (t)∗ f (−t) nT = δ[n]
€
n(t)
€
f (t)
€
z(t)
€
z[n]
€
nTDemodulador
Condición 3) maximizar SNR • Ahora intentamos maximizar la relación señal a ruido.
• Asumimos, ahora, enviar un único símbolo. En este caso
• pasando por el canal y filtrando
€
s(t) = A[0]g(t)
€
r(t) = A[0]g(t)∗h(t) + n(t)
€
q(t) = A[0]g(t)∗h(t)∗ f (t) + n(t)∗ f (t)
€
q(t) = A[0]gr (t)∗ f (t) + z(t)
€
q[0] = q(t) t=0 = A[0] gr(t)∗ f (t)( )t=0
+ z[0] Variable de decisión
Condición 3) maximizar SNR • Seguimos desarrollando
€
q[0] = q(t) t=0 = A[0] gr (τ) f (t −τ)dτ−∞
+∞
∫t=0
+ n(τ) f (t −τ)dτ−∞
+∞
∫t=0
q[0] = A[0] gr (τ) f (−τ)dτ−∞
+∞
∫ + n(τ) f (−τ)dτ−∞
+∞
∫€
q(t) t=0 = A[0] gr (t)∗ f (t)( )t=0
+ z[0]
€
E q[0]2[ ] = Es gr(τ) f (−τ)dτ−∞
+∞
∫( )2
+N0
2f 2(−τ)dτ
−∞
+∞
∫
€
Es = E A2 0[ ][ ]
€
N0
2= E n(t)[ ]
Valor cuadrá8co medio
Determinista Determinista
Condición 3) maximizar SNR • La SNR es en
• por la desigualdad de Cauchy-‐Schwarz tenemos
€
SN⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ q
=Es gr(τ) f (−τ)dτ−∞
+∞
∫( )2
N0
2f 2(−τ)dτ
−∞
+∞
∫
€
gr (τ) f (−τ)dτ∫( )2≤ gr
2(τ)dτ∫( ) f 2(−τ)dτ∫( )
€
SN⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ q
=Es gr(τ) f (−τ)dτ−∞
+∞
∫( )2
N0
2f 2(−τ)dτ
−∞
+∞
∫≤Es gr
2(τ)dτ−∞
+∞
∫ f 2(−τ)dτ−∞
+∞
∫N0
2f 2(−τ)dτ
−∞
+∞
∫=Es2N0
gr2(τ)dτ
−∞
+∞
∫
Condición 3) maximizar SNR • Hemos llegado a
• donde la igualdad se cumple sólo cuando
• donde K es una constante.
€
SN⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ q
=Es gr(τ) f (−τ)dτ−∞
+∞
∫( )2
N0
2f 2(−τ)dτ
−∞
+∞
∫≤Es2N0
gr2(τ)dτ
−∞
+∞
∫
€
f (t) = Kgr (−t)
€
gr(t) = g(t)∗h(t)
Condición 3) maximizar SNR
• Entonces, cuando f(t) es adaptado a gr(t) (respuesta conjunta del canal h(t) y g(t)) se maximiza la SNR cuando enviamos un sólo símbolo.
• Hallar una expresión parecida (que maximice la SNR) cuando hay una transmisión indefinida de símbolos es bastante complejo.
Filtro en el demodulador • En general:
ausencia de ISI
que z[n] sea blanco
maximizar la SNR
€
f (t) = g(−t)
€
G(ω) =Y (ω )H(ω )
€
y(t) nT = δ[n]
€
rf (t) nT = f (t)∗ f (−t)nT
= δ[n]
€
gr(t) = g(t)∗h(t)
€
f (t) = gr (−t)
Pero maximiza la relación señal a ruido cuando se considera la transmisión de un único símbolo (esta hipótesis no se cumple en un sistema real).
Resumen: diseño f(t)
• Hemos visto 3 criterios para diseñar f(t): 1) para eliminar la ISI, 2) para que el ruido z[n] sea blanco, 3) para maximizar la SNR cuando transmi8mos solo un símbolo.
• En general, cuando hay un canal con distorsión lineal no se pueden cumplir las tres condiciones simultáneamente.
• Hay también otros posibles criterios. Por ejemplo, maximizar la relación potencia del símbolo deseado frente a ISI y ruido:
€
E A[n]p[0]( )2[ ]E A[k]p[n − k]
k≠n∑ + z[n]⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
2⎡
⎣ ⎢ ⎢
⎤
⎦ ⎥ ⎥
Diseño f(t) -‐ posibilidad 4) • Realmente hay otra posibilidad, que permite eliminar
(teóricamente) la ISI y al mismo 8empo hacer que el ruido z[n] sea blanco (las dos cosas simultáneamente).
sin ISI z[n] blanco
1) ELEGIMOS f(t) tal que
€
rf (t) nT = f (t)∗ f (−t)nT
= δ[n]
3) ELEGIMOS g(t) tal que
€
G(ω) =Y (ω )
H(ω )F(ω )
2) ELEGIMOS y(t) tal que
€
y(t) nT = δ[n]
De este modo tenemos
€
P(ω) =G(ω )H(ω )F(ω ) =Y (ω)
H(ω)F(ω)H(ω )F(ω ) =Y (ω) que cumple el criterio de Nyquist para la
ausencia de ISI
Así que el ruido z[n] será blanco
Diseño f(t) -‐ posibilidad 4) • Pero de todas formas este esquema 8enes unos inconveniente.
• Aparte de que se necesita el conocimiento de la respuesta del canal H(w) (como en todos los otros casos), H(w) aparece en el denominador, así que la transformada G(w) puede ser infinita cuando H(w)0. Esto significa que necesitaríamos una potencia infinita en el transmisor (o, más en general, necesitamos una potencia muy elevada cuando la respuesta del canal H(w) es cercana a 0).
€
G(ω) =Y (ω )
H(ω )F(ω )
Canal sin distorsión • Cuando suponemos un canal sin distorsión, podemos lograr las 3
condiciones simultáneamente
ausencia de ISI
que z[n] sea blanco
maximizar la SNR
• esto puede ser logrado u8lizando un filtro adaptado. De hecho, con
€
n(t)Canal
€
s(t)
€
r(t)
€
f (t)
€
q(t)
€
g(t)
€
f (t) = g(−t)
€
p(t) nT = rg (t) nT = g(t)∗g(−t)nT
= δ[n]
se cumplen las 3 condiciones anteriores!
Canal sin distorsión • En este caso, con la elección
€
n(t)Canal
€
s(t)
€
r(t)
€
g(−t)
€
q(t)
€
g(t)
€
p(t) nT = rg (t) nT = g(t)∗g(−t)nT
= δ[n]
se cumplen las 3 condiciones anteriores!
€
rf (t) = rg (t)
€
gr(t) = g(t)€
p(t) = rg (t) = g(t)∗g(−t)
€
f (t) = g(−t)
€
rf (t) nT = rg (t) nT = δ[n]
€
f (t) = gr (−t) = g(−t)
€
y(t) = p(t)
ADEMÁS ELEGIMOS g(t) tal que
1) Ausencia de ISI
2) z[n] blanco 3) SNR máxima
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