1
============================================================
OS PRISMAS
1) Conceito :
Dados dois planos paralelos αααα e ββββ , um polígono convexo qualquer contido em ββββ e uma reta r concorrente com αααα e ββββ , chamamos de PRISMA o conjunto de todos os segmentos de reta paralelos a r , com uma extremidade pertencente ao polígono e outra pertencente a αααα . Exemplo : Na figura abaixo , o polígono considerado , pertencente a ββββ é um pentágono . Observe como será a figura resultante : Parece uma caixa , é um prisma pentagonal .
SÍNTESE DE CONTEÚDO – MATEMÁTICA SEGUNDA SÉRIE - ENSINO MÉDIO ASSUNTO : OS PRISMAS NOME : ..............................................NÚMERO : ...... TURMA :.......
2
Outros exemplos de prismas :
2) Elementos dos prismas :
Tomemos como exemplo o prisma abaixo para definirmos os elemen- tos principais dos prismas em geral :
a) As bases são os dois polígonos congruentes contidos nos planos
paralelos que geraram o prisma : ABCDEF e A’B’C’D’E’F’ (he- xágonos) .
3
b) As arestas são todos os segmentos que limitam o prisma . Então , temos arestas da base (AB , BC , CD , DE , EF , FA e A’B’ , B’C’ , C’D’ , D’E’ , E’F’ , F’A’ ) e as arestas laterais ( AA’ , BB’ , CC’ , DD’ , EE’ e FF’ ) .
c) Os vértices são todos os pontos onde as arestas se cruzam , ou seja A , B , C , D , E , F , A’, B’, C’ , D’, E’ e F’ .
d) A altura é a distância entre as bases .
e) As faces laterais são os paralelogramos que têm como lados opostos duas arestas das bases e duas arestas laterais . No nosso caso : ABB’A’ , BCC’B’ , CDD’C’ , DEE’D’ , EFF’E’ e FAA’F’. 3) Classificação dos Prismas :
→→→→ Se as arestas laterais de um prisma são perpendiculares aos pla- nos das bases , então esse prisma é RETO . Se as arestas laterais não são perpendiculares aos planos das bases , então o prisma é INCLINADO ou OBLÍQUO . Exemplos :
4
→→→→ Um prisma é REGULAR quando é reto e tem base regular ( O que significa ter base regular ? ) : Exemplos :
4) Prismas Notáveis : O paralelepípedo e o Cubo
a) O prisma cujas faces são paralelogramos é chamado de Paralele- pípedo . Exemplos :
5
b) Se num paralelepípedo todas as faces são quadradas , então esse pa-
ralelepípedo é um Cubo .
5) Cálculo da diagonal do paralelepípedo :
Observe que na figura temos um paralelepípedo cujo comprimento ,largura e altura medem, respectivamente a , b e c , a diagonal do paralelepípedo mede D e digamos que a diagonal da base inferior mede x . Então , temos pelo teorema de pitágoras : D2 = x2 + c2 , mas também x2 = a2 + b2 . Então , temos
D2 = a2 + b2 + c2 e , finalmente : 222 c b a ++=D
6
Para o cubo teremos a = b = c :
E como o cubo é um paralelepípedo , temos : AG = 222 aaa ++ = 23a = 3a
Exemplos :
a) Calcule a diagonal do paralelepípedo mostrado na figura a seguir , Considerando que as medidas são dadas em metros :
Resolução : Como a = 4 m , b = 3 m e c = 2 m , temos :
29 4 9 16 (2) (3) (4) 222 =++=++=D m
b) Calcule a aresta de um cubo e a diagonal de uma de suas faces , sabendo que sua diagonal mede 75 cm .
7
Resolução : Consideremos que a medida da aresta do cubo é a , a diagonal da face inferior é d1 e a dia- gonal do cubo é d = 75 cm . Então temos :
a) 75 3 =a . Então cm 325 3
375
3
75 ===a .
b) Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo ABD :
22221 2a aad =+= Então 2a 1 ==d cm 625 2 . 325 =
6) Áreas relacionadas aos prismas :
a) Área da base : É a área do polígono que representa a base . Exemplos : 1) Se um prisma tem base triangular com as arestas da base medin-
do 2 cm , 5 cm e 6 cm , calcule a área da base do prisma . 5 2
6
A base é irregular , mas como as arestas são conhecidas , podemos usar a fórmula de Heron , vista no último trabalho : Seja A b a área da base . Como o semi-
perímetro da base é p = cm2
13
2
652 =++ ,
Temos : ( Ab)2 = )6
2
13)(5
2
13)(2
2
13(
2
13 −−−
e Ab = 2cm 4
393
8
2) Se um prisma regular tem base hexagonal com arestas da base medindo 2 cm , então calcule a área da base desse prisma . 2 cm
b) Área Lateral : Você já deve ter percebido que : ⇒ As faces laterais de um prisma oblíquo são paralelogramos , e ⇒ As faces laterais de um prisma reto são retângulos .
paralelogramo retângulo
Então :
- No prisma reto : Área de uma face = Área de retângulo . - No prisma oblíquo : Área de uma face = Área de paralelogramo
Como a área do hexagono regular é dada em função do lado pela fórmula já conhecida
Ahex = 2
33 2a , temos no caso do prisma :
Ab = 22
cm 36 2
3)2(3 =
9
Área lateral de um prisma é a soma das áreas de todas as faces laterais do prisma .
Exemplos :
1) A figura abaixo mostra um prisma hexagonal regular com aresta com aresta da base medindo = 8 cm e altura h = 10 cm . Calcule a área da base e a área lateral do prisma .
2) Calcule a área lateral do paralelepípedo mostrado na figura a seguir , sabendo que o comprimento é o quíntuplo da altura , a largura é o dobro da altura e a diagonal mede 302 cm . P x
2x
Q 5x
→ A base é mostrada na fi- gura da direita . Sua área é
Ab = 22
3962
3)8(3cm=
→ Como o prisma é regu – lar , cada uma de suas faces laterais é um retângulo xh e tem área = 8.10 = 80 cm2. Logo , como são 6 faces la- terais , AL = 6. 80 =480cm2. .
a)Cálculo das dimensões do paralelo- gramo :Como a diagonal foi dada , te -
mos: 222 )()2()5(302 xxx ++=
Elevando ambos os lados ao quadrado , temos 120 = 30x2 de onde x = 2 cm .As dimensões do paralelogramo são 10 cm , 4cm e 2 cm . b) Cálculo da área lateral do paralele- pípedo : A área lateral compreende : 2 retângulos 10x2 e 2 retângulos 4x2 . Então : AL= 2.10.2 + 2.4.2 = 40 + 16 = = 56 cm2 .
10
c) Área total do prisma :
É a soma das áreas das bases com a área lateral . Então , temos :
Exemplo : Calcule a área total do prisma reto abaixo .
1) Se o prisma é regular com aresta da base a e altura h , podemos ter : AL = n . ah e AT = n.ah + 2. Ab , onde n é o número de arestas da base .
AT = AL + 2. Ab
1) Como a base é um triângulo retângulo isósceles ,
temos : 2)23( = a2 + a2 ⇒ a 2 = 9 e a = 3 cm .
2) A b = cm 2
9
2
3.3 = .
3) AL = 2. ( 3 . 6) + ( 23 . 6) = 36 + 18 2 cm2.
4) AT = AL + 2. Ab = (36 + 18 2 ) + 2.2
9 =
= 45 + 18 2 = 9( 5 + 2 2 ) cm2 .
EM ALGUNS CASOS ESPECIAIS É POSSÍVEL CRIAR FÓRMULAS
GERAIS ! VEJA !
11
2) Num paralelepípedo retângulo , em geral , temos as dimensões in-
dicadas na figura abaixo . Então vale a fórmula : c b
a
3) No cubo , temos 6 faces quadradas e congruentes com arestas
de medida a . Vale então a fórmula :
a
a
a
AT = 2.(ab + ac + bc)
A T = 6 a 2
12
7) VOLUME DOS PRISMAS : A secção transversal de um prisma é a intersecção não vazia , des- se prisma com qualquer plano , paralelo às suas bases . Veja figura :
Num prisma , todas as secções transversais têm mesma área já que todas as secções transversais são paralelas às bases e as arestas laterais são paralelas entre sí . Isso significa que , se você empilhar várias por- ções congruentes do plano , terá um sólido de volume equivalente às áreas de todas as porções juntas , no caso do prisma , a área de um po- lígono várias vezes . Em outras palavras , podemos fatiar um prisma em prismas congruentes de altura unitária :
13
Como todas as fatias têm altura unitária , e todas elas têm a mesma área que é Ab , podemos enunciar o seguinte : * A altura do prisma é a soma das alturas unitárias dos prismas menores (fatias) .
Em linguagem matemática teremos :
Exemplos :
1) Calcule a área total e o volume do paralelepípedo retângulo da figura a seguir : ( medidas dadas em cm )
A B D C 13
E F 5
H 3 G 2) Na figura seguinte , a base do prisma regular está inscrito na circunferência de perímetro igual 6π cm . Se a altura do prisma é igual a 8 cm , calcule seu volume .
O VOLUME DE UM PRISMA É O PRODUTO DA ÁREA DE SUA BASE POR SUA ALTURA*
Resolução : a) O triângulo EGH é retângulo em H . Então : (5)2 = (3)2 + (EH)2 , de onde sai que EH = 4 cm b) O triângulo AEG é retângulo em E . Então : (13)2 = (5)2 + (AE)2 , de onde sai que AE = 12 cm c) AT = 2.( 3.4 + 3.12 + 4.12) = 192 cm2 d) V = Ab . h = 3.4.12 = 144 cm3
VPRISMA = Ab . h
14
Resolução : Sabemos que o perímetro de uma circunferência de raio r é igual a 2ππππr que ,
neste caso , é igual a 6π . Então : 2π = 6π , de onde = 3 cm
Como a base é um hexágono regular , temos : A b = 22
cm 2
327
2
3)3(3 =
Logo V = Ab . h = 3cm 3108 8 . 2
327 =
3) Se a diagonal de um cubo mede 6 dm , calcule sua área total e seu volume . Resolução : 6 dm a a
a
→→→→ Como , nos paralelepípedos de dimensões a , b e c , a base pode ter área ab , bc ou ac com alturas c , a ou b , respectiva – mente , podemos registrar :
→→→→ Então , para os cubos de aresta a , teremos
Sabemos que a diagonal de um cubo com aresta a é
3a . Então temos 6 3 =a ⇒ a = 32 dm e teremos ainda :
a) AT = 6 . 22 dm 72 )32( =
b) V = Ab . h = a .a . a = a3 = 324 )32( 3 = dm3
AQUI TAMBÉM É POSSÍVEL CRIAR FÓRMULAS PARA OS PARALELEPÍPEDOS
Vparal = abc
Vcubo = a3
15
Top Related