Clase 3: Optimizacin de Portafolios
Finanzas I ENFIN 400Profesor: Erwin HansenUniversidad de Chile
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Diversicacin y riesgo de portafolio
I Riesgo de MercadoI Sistmico o no diversicable
I Riesgo especco a la rmaI Diversicable o no sistmico
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Riesgo del portafolio como funcin del nmero de accionesen el portafolio
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Diversicacin del portafolio
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Covarianza y correlacin
I El riesgo del portafolio depende de la correlacin entre losretornos de los activos en el portafolio
I La covarianza y el coeciente de correlacin miden la maneraen que dos activos varan.
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Retorno del portafolio: el caso de 2 activos
rp = wD rD + wE rE
I rp : retorno del portafolioI wD :ponderador bono, rD : retorno bonoI wE : ponderador accin, rE : retorno accin
E (rp) = wDE (rD ) + wEE (rE )
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Riesgo: el caso de 2 activos
2P = w2D
2D + w
2E
2E + 2wDwE cov(rD , rE )
I 2D : varianza activo DI 2E : varianza activo EI cov(rD , rE ) : covarianza entre retornos D y E
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Covarianza
cov(rD , rE ) = DE DE
I DE : coeciente de correlacin entre los retornosI D : desvo estndar de los retornos de DI E : desvo estndar de los retornos de E
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Coecientes de correlacin: valores posibles
I Rango de valores de 1,2
1 > 1,2 > 1I Si = 1, los activos estarn perfectamente positivamentecorrelacionados.
I Si = 1, los securities estarn perfectamentenegativamente correlacionados.
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Ejemplo
I Estadsticas descriptivas para dos fondos mutuos
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Ejemplo
I El retorno esperado del portafolio P es
E (rp) = 8wD + 13wE
I El desvo estndar del portafolio P es
2P = 122w2D + 20
2w2E + 2(12)(20)(0.3)wDwE
=) P =q2P
I para un nivel de correlacin dado , dierentes combinacionesde (wD ,wE ) produce distintos retornos esperados y desvosestndares.
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Retornos esperados y desvos estndares para diferentescorrelaciones
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Retorno esperado del portafolio como funcin deponderadores
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Desvo estndar del portafolio como funcin deponderadores
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Retorno esperado portafolio como funcin del desvoestndar del portafolio
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Efecto de las correlaciones
I La relacin depende del coeciente de correlacin
1.0 < < +1.0
I Mientras ms pequeo es , mayor es la potencial reduccinde riesgo.
I Si = +1.0, no es posible reducir el riesgo.
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Conjunto de oportunidades de inversin generado por bonoy accin, y dos lneas de asignacin de capital
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El ratio de Sharpe
I Maximizar la pendiente de la lnea de asignacin de capitalpara cualquier portafolio, p
I La funcin objetivo es :
SP =E (rP ) rf
P
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Conjunto de oportunidades de inversin generado por bonoy accin, con CAL ptima y el portafolio riesgoso ptimo
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El portafolio ptimo
Maximizar la razn de Sharpe
MaxwiSp =
E (rP ) rfp
st.wi = 1donde E (rp) = wDE (rD ) + wEE (rE ) y
P =w2D
2D + w
2E
2E + 2wDwE cov(rD , rE )
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El portafolio ptimo
Para el caso de 2 activos riesgosos, existe una solucin cerrada:
wD =E (RD )2E E (RE )cov(RD ,RE )
E (RD )2E + E (RE )2D [E (RD ) + E (RE )] cov(RD ,RE )
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Ejemplo (cont.)
I w D = 0.40 & wE = 0.60
I E (rp) = 11%I p = 14.2%I La lnea CAL del portafolio ptimo de activos riesgosos tienependiente
Sp =11 514.2
= 0.42
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El portafolio ptimo considerando el activo libre de riesgo
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Asignacin ptima entre P y el activo libre de riesgo
I La proporcin ptima invertida en el activo riesgoso (para elcaso de 1 activo riesgoso (P) y un activo libre de riesgo)
y =E (rp) rfA2p
I En este ejemplo
y =0.11 0.054(0.142)2
= 0.7439
I El inversionista invierte 74.39% en el portafolio riesgoso P y25.61% el activo libre de riesgo.
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El portafolio ptimo
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Resmen para obtener portafolio ptimo
I Encontrar retornos esperados, varianzas, correlaciones, etc. delos activos potenciales.
I Resolver el portafolio riesgoso ptimo (P)I Encontrar la asignacin ptima entre P y el activo libre deriesgo.
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Referencias
I Captulo 7 en "Investments"de Bodie, Keane & Marcus. 8vaEdicin.
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