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1
Prof. A.F.Guimarães Física 2 – Questões 6
Questão 1
Uma onda ultrassônica possui frequência de
30 kHz. Esta onda quando se propaga num
determinado meio, possui comprimento de onda
igual a 2 dm; ao passar para outro meio, o
comprimento de onda torna-se igual a 3 dm.
Calcule a velocidade de propagação desta onda
ultrassônica: (a) no meio onde λ = 2 dm, (b) no
meio onde λ = 3 dm.
Resolução:
a) 3
1 1 1
1
1
0,2 30 10
6
v v
v km s
λυ−
= ⇒ = ⋅ ⋅
∴ = ⋅
(1.1)
b) 3 1
2 20,3 30 10 9v v km s−= ⋅ ⋅ ∴ = ⋅
(1.2)
Questão 2
Os morcegos emitem ultrassônicas. O
comprimento de onda mínimo, no ar, da onda
emitida por um morcego é aproximadamente
igual a 0,33 m. Calcule a frequência máxima que
pode ser emitida por um morcego.
Resolução:
331,31003
0,33
vHzυ
λ= = =
(2.1)
Questão 3
O módulo de elasticidade de um tipo de aço
vale 2,4 x 1011 N·m-2. A massa específica deste aço
vale ρ0 = 7,8 g·cm-3. Calcule a velocidade de
propagação do som neste material.
Resolução: 12
0
Bv
ρ
=
111 2
1
3
2,4 105547
7,8 10v m s− ⋅
= ≅ ⋅ ⋅
(3.1)
Questão 4
A velocidade do som em um determinado
metal é V. Uma das extremidades de um tubo
longo desse metal, de comprimento l, recebe um
golpe forte. Uma pessoa, na outra extremidade,
ouve dois sons, um oriundo da onda que se
propagou através do tubo e o outro, da onda que
se propagou no ar. (a) Se v é a velocidade do som
no ar, qual o intervalo de tempo t que decorre
entre os dois sons? (b) Suponha t = 1,0 s e que o
metal seja ferro. Determine o comprimento l.
Resolução:
a)
No metal:
m
lt
V=
(4.1)
No ar:
ar
lt
v=
(4.2)
A diferença será:
1 1m ar
ar m
t t lV v
V vt t t l
Vv
− = −
− ∴ = − =
(4.3)
b)
5130 331,31 354,2
5130 331,3l l m
− = ∴ ≅ ⋅
(4.4)
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2
Questão 5
No caso particular de um sólido homogêneo, o
módulo de elasticidade B é numericamente igual
ao módulo de Young Y. (a) Escreva a expressão
da velocidade de propagação do som numa barra
sólida em função do módulo de Young do
material. (b) O módulo de Young do alumínio é
dado aproximadamente por: Y = 6,9 x 1010 N·m-2;
calcule a velocidade de propagação do som numa
barra de alumínio. Supor ρ = 2,6 g·cm-3.
Resolução:
a) 12
0
Yv
ρ
=
(5.1)
b) Utilizando a expressão de (5.1), teremos:
1
10 2
1
3
6,9 105151,5
2,6 10v m s− ⋅
= = ⋅ ⋅
(5.2)
Questão 6
O número de onda k para a propagação de uma
onda sonora na água vale 2 m-1. Seja ym a
amplitude da onda de uma partícula no interior
da água. Escreva a expressão do deslocamento y
para esta onda.
Resolução:
( )
( )2
1
;
2 1450 2900
2 2900
m
H O
m
y y cos kx t
kv s
y y cos x t
ω
ω −
= −
= = ⋅ =
∴ = −
(6.1)
Questão 7
Seja B = kx – ωt. Considere as seguintes ondas:
( ) ( )1 2 1 3 2; 2 ; 4y sen B y sen B y sen Bϕ ϕ= = − = − .
Obtenha a equação da onda resultante da
superposição destas três ondas. As unidades são
homogêneas e y é dado em centímetros.
Considere 1 20,4; .
5
πϕ ϕ= =
Resolução:
Em Física 2 – 05, página 7, a questão 12 foi
resolvida tomando a derivada para determinar a
amplitude da onda resultante. Aqui, também
poderemos tomar o mesmo caminho. Porém,
vamos resolver de uma forma diferente. A
resultante será dada por:
( )
( )
2 0,4 45
y senB sen B sen B
sen a b sena cosb senbcos a
π = + − + −
− = −
(7.1)
Logo,
[ ]2 0,4 0, 4
45 5
1 2 0,4 45
2 0,4 45
y sen B sen Bcos cos B sen
sen Bcos cos B sen
y cos cos sen B
sen sen cos B
π π
π
π
= + −
+ −
= + + −
+
(7.2)
A resultante da soma de ondas senoidas será uma
senoidal. Logo, teremos:
( )y Acos senB Asen cosB Asen Bφ φ φ= − = −
(7.3)
Utilizando o resultado de (7.2) em (7.3), temos:
1 2 0,92 4 0,81 6,08
2 0,39 4 0,59 3,14
0, 4 0,92; 0,4 0,39;
0,81 0,595 5
Acos
Asen
cos sen
cos e sen
φφ
π π
= + ⋅ + ⋅ =
= ⋅ + ⋅ =
≅ ≅
≅ ≅
(7.4)
E, como ( )2 2 2 2A sen a cos a A+ = , teremos de (7.4):
1 3,146,84;
6,84A senφ −≅ =
(7.5)
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3
Questão 8
Duas ondas produzem variações na pressão,
em um certo ponto do espaço, dadas por:
( )1
2
2
2
p Psen t
p Psen t
πυ
π υ φ
=
= −
Qual a amplitude da onda resultante neste ponto,
para os casos 1 1
0,6 8eφ φ φ= = = ? Os valores de
φ são dados em radianos.
Resolução: Para 0φ = :
1 22 2p p Psen tπυ+ =
(8.1)
Para 1
6φ = :
1 22 2
3
2 23
23
1 2 23 3
p p Psen t Psen t
Psen t P sen tcos
cos t sen
cos Psen t Psen cos t
ππυ πυ
ππυ πυ
ππυ
π ππυ πυ
+ = + −
= + −
= + −
(8.2)
Assim, de (8.2) temos:
2 2
3cos 1,5 ;
2
9 33 1,73
4 4
PA P Asen
A P A P P
φ φ= =
= + ⇒ = ≅
(8.3)
Para 1
8φ = :
1 22 2
4
2 2 24 4
p p Psen t Psen t
Psen t P sen tcos cos t sen
ππυ πυ
π ππυ πυ πυ
+ = + −
= + −
1 2 24 4
cos Psen t Psen cos tπ π
πυ πυ = + −
Logo, cos 1,71 ; 0,71
1,85
A P Asen P
A P
φ φ≅ ≅
∴ ≅
(8.4)
Questão 9
Na figura é mostrado um interferômetro
acústico, usado para demonstrar a interferência
de ondas sonoras. S é um diafragma que vibra sob
a influência de um microfone. O comprimento do
caminho SBD pode ser variado, mas a trajetória
SAD é fixa. O interferômetro contém ar e verifica-
se que a intensidade do som apresenta um valor
mínimo de 100 unidades para certa posição de B
e cresce continuamente até o valor máximo de
900 unidades para uma segunda posição, a 1,65
cm da primeira. Calcule (a) a frequência do som
emitido pela fonte e (b) a relação entre as
amplitudes das ondas que chegam ao detector,
para cada posição de B. (c) Como é possível que
estas ondas tenham amplitudes diferentes, se
foram produzidas pela mesma fonte?
Resolução:
a) Para uma interferência destrutiva temos:
1
2SBD SAD n λ − = −
(9.1)
E para uma interferência construtiva temos:
SB D SAD nλ′ − =
(9.2)
Tomando a diferença entre as equações (9.1) e
(9.2), teremos para o comprimento de onda:
2 0,0165 0,0662
mλ
λ⋅ = ⇒ =
(9.3)
A B
S
D
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4
Com o resultado de (9.3), poderemos determinar
a frequência utilizando a velocidade do som no
ar. Assim, teremos:
331,3 0,066
5019
v
Hz
λυ υυ
= ⇒ =
∴ ≅
(9.4)
b) A intensidade da onda também pode ser
escrita como:
dWv dWdtI
A A v dt
I v e
= = ⋅⋅
∴ = ⋅
(9.5)
Em que e é a densidade de energia, A é a área
transversal e v a velocidade da onda no meio. No
caso, metade da energia é transferida para cada
lado. Como será mostrado na questão 10, a
intensidade da onda também depende da
amplitude da onda. Assim, para o lado direito
(SBD) temos, de (9.5):
2 2 2
0
12
2 2
0
22 ;
4
m
SBD
m
SBD
W
vy e v eA L
Wy
A L
π ρ υ
π ρ υ
= ⋅ =/ /⋅
∴ = ⋅ ⋅
(9.6)
c) A amplitude depende da densidade de energia.
Como o caminho SBD é variável e a densidade de
energia depende do comprimento do caminho,
observa-se que as amplitudes são diferentes.
Questão 10
Mostre que a intensidade de uma onda sonora
(a) quando expressa em função da amplitude de
pressão, P, é dada por
2
02
PI
vρ= ,
onde v é a velocidade da onda e ρ0 é a densidade
do ar em condições normais e (b) quando
expressa em função da amplitude de
deslocamento, ym, é dada por
2 2
02 mI vyπ ρ υ= ,
(c) Admitindo agora que duas ondas sonoras,
uma no ar e a outra na água, tem a mesma
intensidade, qual é a razão entre as amplitudes
de pressão da onda na água e da onda no ar?(d)
Se, em vez disso, fossem iguais as amplitudes de
pressão, qual seria a razão entre as intensidades
das duas ondas?
Resolução:
a) De (9.5), temos:
3 2 2
0
2
2
0
0
1 1;
2
;2
m
m
v y kW WI
A t A t
PI P k v y
v
ρ
ρρ
∂ ∂⋅ = = ⋅
∂ ∂
∴ = =
(10.1)
b) De (10.1), temos:
3 2 2 2
20
2
2 2 2
0
; ; 22
2
m
m
v y kI v
k
I vy
ρ ωω πυ
π ρ υ
= = =
∴ =
(10.2)
c) Para 2ar H OI I= , temos:
2
2 2
2 2 2
22
12
2 2
H Oar
ar ar H O H O
H O H O H O
ar ar ar
PP
v v
P v
P v
ρ ρ
ρ
ρ
=
=
2 2
13 2
10 146057,7
1, 29 340
H O H O
ar ar
P P
P P
⋅= ∴ ≅ ⋅
(10.3)
d) Para 2ar H OP P= , temos:
( ) ( )2 2 2
2 2
2
11222 2
3328,8
ar ar ar H O H O H O
H O H Oar
H O ar ar
I v I v
vI
I v
ρ ρ
ρ
ρ
⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅
⋅= =
⋅
(10.4)
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5
Questão 11
Uma nota cuja frequência é de 400 Hz possui
uma intensidade igual a 1,5 μW·m-2. Estime a
amplitude das vibrações do ar, causadas por este
som.
Resolução:
Sejam 31,29ar kg mρ −= ⋅ e 1
340arv m s−= ⋅ , logo,
teremos, de (10.2):
6 2
8
1,5 10 19,7 1,29 340 160000
3,29 10
m
m
y
y m
−
−
⋅ ≅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
∴ = ⋅
(11.1)
Questão 12
Duas fontes de som estão separadas por uma
distância d = 8 m. Ambas emitem sons com a
mesma amplitude e com a mesma frequência (de
400 Hz), mas estas ondas possuem uma diferença
de fase de 1800. Considere a reta mediatriz
perpendicular ao segmento que une as duas
fontes. Determine os pontos ao longo desta reta
para os quais a intensidade do som terá valores
mínimos por causa da interferência destrutiva.
Resolução:
O comprimento de onda para essa frequência
vale: 340 400
0,85
v
m
λυ λλ
= ⇒ = ⋅
∴ =
(12.1)
Sabemos que sobre a mediatriz, as ondas devem
percorrer a mesma distância para que ocorra
uma interferência destrutiva. Logo:
1 2L L nλ= =
(12.2)
Onde n é um número inteiro. Assim, para que,
1 24L L m= > devemos ter 5n ≥ . Assim sobre a
mediatriz, teremos, para n = 5:
( )22 24 5 0,85
1, 44
med
med
x
x m
+ = ⋅
∴ =
(12.3)
Para n = 6:
( )22 24 6 0,85
3,16
med
med
x
x m
+ = ⋅
∴ ≅
(12.4)
Questão 13
Um certo alto-falante produz um som com
uma frequência de 2000 Hz e uma intensidade de
9,6 x 10-4 W·m-2 a uma distância de 6,1 m. Admita
que não haja reflexões e que o alto-falante emite
igualmente em todas as direções. (a) Qual seria a
intensidade a 30 m?(b) Qual é a amplitude de
deslocamento a 6,1 m? (c) Qual é a amplitude de
pressão a 6,1 m?
Resolução:
a) Para a intensidade temos:
dWdWdtI I A
A dt= ⇒ = ⋅
(13.1)
Assim, de (13.1), teremos:
2 2
6 30
4
30
5 2
30
4 6,1 4 30
9,6 10 37,21 900
3,97 10
I I
I
I W m
π π−
−
⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
⋅ ⋅ = ⋅
∴ = ⋅ ⋅
(13.2)
b) Da expressão de (10.2), teremos:
4 2 2 6
7
9,6 10 2 1,29 340 4 10
1,7 10
m
m
y
y m
π−
−
⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
∴ = ⋅
(13.3)
c) Da expressão de (10.1), temos:
2 4
2
9,6 10 2 1,29 340
0,92
P
P N m
−
−
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
∴ = ⋅
(13.4)
Questão 14
Dois alto-falantes, A e B, emitem sons de
frequência 172 Hz uniformemente em todas as
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6
direções (ondas tridimensionais), no ar a 200C. A
potência acústica emitida por A é igual a 8,00 x
10-4 W, e a potência de B é igual a 6,00 x 10-5 W.
Os alto-falantes estão vibrando em fase e estão
distanciados 7,0 m. Considere um ponto P que
está a 4,0 m de A e 3,0 m de B. (a) Qual é a
diferença de fase entre as duas ondas que chegam
a P? Qual é a intensidade de som em P se (b) B for
desligado (A ligado), (c) A for desligado (B ligado)
e (d) com A e B ligados?
Resolução:
A velocidade do som na temperatura de 200 é de
344 m·s-1. Logo o comprimento de onda para essa
frequência vale:
344 172
2
v
m
λυ λλ
= ⇒ =
∴ =
(14.1)
a) Estando P a 4 m de A, temos:
4 42 2
2AP λ
λ= = ⇒ =
(14.2)
E estando P a 3 m de B, temos:
3 31,5 1,5
2BP λ
λ= = ⇒ =
(14.3)
Tomando a diferença dos resultados de (14.2) e
(14.3), teremos:
0,5AP BP λ− = (14.4)
Assim, para a diferença de fase vale:
0,5λ π=
(14.5)
b) A intensidade para A ligado e S2 desligado:
( )2
4
6 2
4
8,00 103,98 10
4 16
AA
A
A
dWdt
Ir
I W m
π
π
−− −
=
⋅= ≅ ⋅ ⋅
⋅
(14.6)
c) Para S2 ligado e S1 desligado, teremos:
( )2
5
7 2
4
6,00 105,31 10
4 9
BB
B
B
dWdt
Ir
I W m
π
π
−− −
=
⋅= ≅ ⋅ ⋅
⋅
(14.7)
d) Poderemos determinar a amplitude das duas
ondas utilizando a expressão de (10.2)
juntamente com os resultados de (14.6) e (14.7).
Assim, teremos:
6 2 2 2
7
3,98 10 2 1,29 340 172
1,24 10
mAP
mAP
y
y m
π−
−
⋅ = ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅
(14.8)
7 2 2 2
8
5,31 10 2 1,29 344 172
4,53 10
mBP
mBP
y
y m
π−
−
⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅
(14.9)
A amplitude resultante em P será:
( )( )8 7
8
4,53 10 1 1,24 10
7,87 10
mP mBP mAP
mP
mP
y y cos y
y
y m
π− −
−
= +
= ⋅ ⋅ − + ⋅
∴ ≅ ⋅
(14.10)
Assim, em P teremos uma intensidade dada por:
( )22 8 2
6 2
2 1,29 344 7,87 10 172
1,61 10
P
P
I
I W m
π −
− −
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
∴ ≅ ⋅ ⋅
(14.11)
Questão 15
Uma corda de violino de 31,6 cm, cuja
densidade linear é de 0,65 g·m-1 está colocada
junto a um alto-falante que é alimentado por um
oscilador de áudio de frequência variável.
Verifica-se que quando a frequência do oscilador
varia continuamente na faixa de 500 a 1500 Hz, a
corda oscila apenas nas frequências de 880 Hz a
1320 Hz. Qual é a tensão da corda?
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7
Resolução:
Para as frequências de ressonância na corda
temos:
2n
nv
lυ = ⋅
(15.1)
Assim, utilizando as frequências de oscilação da
corda, teremos:
880 5561663,2
nvnv= ⇒ =
(15.2)
e
1320 8342463,2
n vn v
′′= ⇒ =
(15.3)
Agora, sabendo que n’=n+1 (os dois modos de
ressonância devem ser consecutivos), teremos:
( )1 83424
83424
n v
nv v
+ =
+ =
(15.4)
Agora substituindo o valor de (15.2) em (15.4),
teremos:
1
55616 83424
27808
v
v m s−
+ =
∴ = ⋅
(15.5)
Agora que temos a velocidade da onda na corda,
poderemos utilizar o valor da densidade linear e
determinar a tensão na corda:
2
3
5
278080,65 10
5 10
F
F N
−=
⋅
∴ = ⋅
(15.6)
Questão 16
Um tubo de 1,0 m de comprimento é fechado
em um dos extremos. Um arame esticado é
colocado junto à extremidade aberta. O
comprimento do arame é de 0,30 m e sua massa é
de 0,010 kg. Está fixado por ambas as pontas e
vibra na sua frequência fundamental. Ele faz com
que a coluna de ar no tubo vibre na sua
frequência fundamental, por ressonância. Ache
(a) a frequência de oscilação da coluna de ar e (b)
a tração no arame.
Resolução:
a) A frequência fundamental do arame é igual à
frequência do tubo de ar. E por sua vez, a
frequência do tubo vale:
4 1 4
340 4
85
T
T T T T
T
m
v
Hz
λ
λ υ υ
υ
= ⋅ =
= ⋅ ⇒ =
∴ =
(16.1)
b) Com a frequência do tubo, poderemos
determinar a velocidade da onda no arame e
consequentemente a tração. Logo:
1
2 1
; 2 0,60
51
; 0,0330,033
86
AT A A
A
A
A
vl m
v m s
T mv kg m
l
T N
υ υ λλ
µ
−
−
= = = =
= ⋅
= = = ⋅
≅
(16.2)
Questão 17
Duas cordas de piano idênticas têm frequência
fundamental de 600 Hz quando mantidas à
mesma tensão. Que aumento relativo de tensão
de uma das cordas provocará a ocorrência de seis
batimentos por segundo quando as cordas
vibrarem simultaneamente?
Resolução:
A diferença de frequência será igual ao número
de batimentos por segundo. Assim, teremos:
1 1600 6 606Hzυ υ′ ′− = ∴ =
(17.1)
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8
A relação de velocidade será dada por:
1
1
1
1
2 600
2 606
600
606
v l
v l
v
v
= ⋅
′ = ⋅
∴ =′
(17.2)
Assim, podemos determinar a relação de tensão.
Assim:
1 2
1
11
2
1 1
600 600
606 606
606
600
TT
TT
T T
µ
µ
= ⇒ = ′′
′∴ =
(17.3)
Para determinar o aumento relativo:
2
12 2
1 1
2
1 1
1 1
1
6061
600 606 600
600
0,02 2%
TT T
T T
T T
T
− ′− − = =
′−∴ ≅ =
(17.4)
Questão 18
Um avião reflete as micro-ondas emitidas por
uma fonte distante, da qual ele se aproxima; a
velocidade de propagação das micro-ondas é a
mesma da luz. Quando as ondas refletidas se
superpõem às ondas emitidas pela fonte,
produzem-se batimentos cuja frequência é de
990 Hz. Determinar a velocidade com a qual o
avião se aproxima da fonte, sabendo que o
comprimento das micro-ondas é de 0,10 m.
Resolução:
A frequência das micro-ondas vale:
8
93 103 10
0,1
cHzυ
λ⋅
= = = ⋅
(18.1)
A frequência que chega até o avião devido ao
movimento do mesmo é dado por:
93 10 10Av
Av
c vv
cυ υ
+ ′ = = ⋅ +
(18.2)
O avião por sua vez reflete essas ondas e para o
observador o avião passa a ser uma fonte em
movimento. Logo:
81 ;3 10
AvAv
vc vυ υ ′′ ′≅ + ⋅ ≫
(18.3)
Substituindo (18.2) em (18.3), teremos:
2
9
73 10 20
3 10
AvAv
vvυ′′ − ⋅ = +
⋅
(18.4)
A frequência da amplitude dos batimentos é dada
por:
2amp
υ υυ
′′ −=
(18.5)
Assim, utilizando a expressão de (18.5), teremos:
2 8 10
1
6 10 5,94 10 0
356,4
Av Av
Av
v v
v km h−
+ ⋅ − ⋅ =
∴ ≅ ⋅
(18.6)
Questão 19
Uma fonte sonora se desloca com velocidade u
da direita para a esquerda. Um observador, que
se move com velocidade u’ da esquerda para a
direita, detecta uma frequência υ (em vez da
frequência υ0 da fonte). O meio se desloca da
esquerda para a direita com velocidade vm. Ache
a razão υ/υ0.
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9
Resolução:
Para vm = 0, temos:
0
v u
v uυ υ
′+ = −
(19.1)
Em que v é a velocidade do som no meio. Agora
para vm≠0, o som sofre arreste. Logo vsom = v±vm.
No caso, vsom = v – vm. Logo:
0
m
m
v v u
v v u
υυ
′− +=
− −
(19.2)
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