SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU
ODJEL ZA FIZIKU
Mario Jerbić
Viskoznost tekućina
Diplomski rad
Osijek, 2014.
i
SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU
ODJEL ZA FIZIKU
Mario Jerbić
Viskoznost tekućina
Diplomski rad
predložen Odjelu za fiziku Sveučilišta Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku
radi stjecanja zvanja magistra edukacije fizike i informatike
Osijek, 2014.
ii
Ovaj diplomski rad izrađen je pod vodstvom dr. sc. Marine Poje i izv. prof. dr. sc.
Branka Vukovića u sklopu Sveučilišnog diplomskog studija fizike i informatike na Odjelu za
fiziku Sveučilišta Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku.
iii
SADRŽAJ
1. Uvod .................................................................................................................................... 1
2. Dinamika fluida .................................................................................................................. 2
2.1. Idealni fluid .................................................................................................................. 4
2.1.1. Jednadžba kontinuiteta ......................................................................................... 4
2.1.2. Bernoullijeva jednadžba ....................................................................................... 6
2.2. Viskoznost ili unutrašnje trenje ................................................................................... 8
2.2.1. Protjecanje realnog fluida kroz cijev (Poiseuillev zakon) .................................. 12
2.2.2. Stokesova sila otpora sredstva ............................................................................ 14
2.2.3. Laminarno i turbulentno strujanje - Reynoldsov broj ........................................ 15
3. Eksperimentalni dio .......................................................................................................... 18
3.1. Hopplerov viskozimetar ............................................................................................ 19
3.2. Baždarenje Hopplerovog viskozimetra-konstanta kuglice ....................................... 22
3.2.1. Određivanje gustoće kuglice .............................................................................. 25
3.2.2. Određivanje gustoće tekućina ............................................................................ 25
3.3. Određivanje dinamičkog koeficijenta viskoznosti .................................................... 27
4. Rezultati i rasprava ........................................................................................................... 29
4.1. Glicerol ...................................................................................................................... 29
4.2. INA Delta SAE 15W-40 motorno ulje ...................................................................... 34
4.3. Jestivo suncokretovo ulje ........................................................................................... 37
4.4. Ricinusovo ulje .......................................................................................................... 40
4.5. Bademovo ulje ........................................................................................................... 43
5. Zaključak........................................................................................................................... 46
6. Literatura ........................................................................................................................... 48
7. Životopis ........................................................................................................................... 49
iv
Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Diplomski rad
Odjel za fiziku
Viskoznost tekućina
Mario Jerbić
Sažetak
U prvom dijelu rada opisani su i izvedeni neki osnovni zakoni dinamike fluida.
Opisana je teorija koja je potrebna kako bi se razumio eksperiment. Drugi, eksperimentalni,
dio sastoji se od detaljnog objašnjavanja aparature (Hopplerov viskozimetar) i izvođenja
pokusa za određivanje dinamičkog koeficijenta viskoznosti. Računski su određene vrijednosti
za koeficijent viskoznosti te uspoređene s tabličnim vrijednostima. Odstupanja su najmanja za
glicerol, dok su kod ostalih ulja odstupanja veća.
Rad je pohranjen u knjižnici Odjela za fiziku
Ključne riječi: viskoznost / Hopplerov viskozimetar / dinamika fluida
Mentor: izv. prof. dr. sc. Branko Vuković
Sumentor: dr. sc. Marina Poje
Ocjenjivači: izv. prof. dr. sc. Vanja Radolić
izv. prof. dr. sc. Branko Vuković
dr. sc. Marina Poje
mr. sc. Slavko Petrinšak
Rad prihvaćen: 09.07. 2014.
v
J. J. Strossmayer University in Osijek Bachelor of Science Thesis
Department of Physics
Viscosity of liquids
Mario Jerbić
Abstract
In the first part of the paper some basic laws of fluid dynamics are described and
derived. The theoretical framework for understanding the experiment is also provided. The
second, experimental part consists of a detailed description of the apparatus (Hoppler
viscometer) and conducting the experiment for determining the coefficient of dynamic
viscosity. Values of the coefficient of viscosity are calculated and compared with table values.
While gylcerol deviates the least, other oils show larger deviations
Thesis deposited in Department of Physics library
Keywords: viscosity/ Hoppler viscometer/ fluid dynamics
Supervisor: Branko Vuković, PhD, Associate Professor
Co-supervisor: Marina Poje, PhD.
Reviewers: Vanja Radolić, PhD, Associate Professor
Branko Vuković, PhD, Associate Professor
Marina Poje, PhD.
Slavko Petrinšak, Msc.
Thesis accepted: 9th
of July 2014.
1
1. Uvod
Odabrana tema, „Viskoznost tekućina“, dio je mehanike fluida u fizici. Mehanika
fluida jedna je od najopširnijih i najzahtjevnijih grana fizike, razvija se neprestano i tema je
proučavanja mnogih fizičara. Dijeli se na statiku i dinamiku fluida. Viskoznost je isključivo
vezana uz dinamiku fluida jer se u statici ova pojava viskoznosti ne pojavljuje. Fluidi nisu
samo tekućine, nego plinovi i plazme, ali u ovom diplomskom radu bit će riječ isključivo o
viskoznosti tekućina. Naslov zvuči jednostavno, ali iza toga krije se mnogo matematičkog
računa, te je za obrađivanje i razumijevanje ove teme potrebno znanje iz drugih područja
fizike.
Viskoznost je vrlo bitna karakteristika fluida. Svaka tekućina ima različiti koeficijent
viskoznosti, o kojemu će više riječi biti u nastavku ovog diplomskog rada. Krvožilni sustav
čovjeka odličan je primjer za pokazivanje koliko je bitno poznavati viskoznost. Hoće li čovjek
imati šum na srcu ili negdje drugdje usko je povezano s gibanjem krvi kroz žile i srce. Ovisi o
krvnom tlaku, brzini strujanja, ali i o viskoznosti krvi u tijelu. Tekućine do neke određene
brzine teku u slojevima, laminarno, ali ako prijeđu tu neku graničnu brzinu dolazi do
turbulencija i nepredvidljivih gibanja tekućine. Granična ili kritična brzina različita je za
svaku vrstu tekućine, a ovisi o koeficijentu viskoznosti i gustoći tekućine. Nove teorije
determinističkog kaosa bave se upravo ovim turbulentnim pojavama kod fluida, a spektar je
primjena širok, od meteorologije do ljudskog organizma. [17]
Sve navedeno vezano je uz dinamiku fluida, što je općenito vrlo zanimljivo, ali je
preopširno za diplomski rad pa se u radu obrađuje samo manji dio, a to je viskoznost i to ne
fluida, nego samo tekućina. Diplomski rad mogao bi biti koristan za buduće generacije jer će
na jednom mjestu imati objedinjene neke osnove dinamike fluida i malo opširnije razrađenu
pojavu same viskoznosti.
2
2. Dinamika fluida
Tekućine i plinovi razlikuju se, između ostaloga, od čvrstih tijela lakom pokretljivošću
svojih čestica. U pogledu promjene svoga volumena promjenom tlaka, tekućine se znatno
razlikuju od plinova. Promjene volumena koje se javljaju pri kretanju tekućina uvijek su tako
neznatne zbog njihove nestlačivosti da se mogu potpuno zanemariti. Međutim, kod plinova
promjena volumena može se zanemariti samo ako im brzina kretanja ne prelazi 50 m/s niti
visinsku razliku od 100 m. Samo su u tom slučaju promjene volumena plina neznatne pa za
strujanje plinova vrijede isti zakoni kao i za strujanje tekućina.
Znanost koja proučava kretanje tekućina zove se hidrodinamika, a znanost koja
proučava kretanje plinova aerodinamika. Kao što je već naglašeno u uvodu, u ovom
diplomskom radu proučavat će se samo tekućine, ne i plinovi. Neki zakoni primjenjivi su
jednako na tekućine i plinove.
Za lakše razumijevanje tekućina koje protječu kroz neku cijev ili koje protječu tako da
im se na putu nalazi neko tijelo, potrebno je definirati određene pojmove. [2]
Strujanje fluida može se predočiti pomoću strujnica (Slika 1.). Strujnice su zamišljene
prostorne krivulje (linije u fluidu) takve da brzina u bilo kojoj točki fluida leži duž tangente na
strujnicu. Gustoća strujnica razmjerna je brzini; tamo gdje su strujnice gušće, brzina je veća.
Dio fluida omeđen strujnicama naziva se strujna cijev.
Slika 1. Strujnice fluida (zamišljene linije u fluidu)
3
Fluide se može podijeliti na idealne i realne. U nastavku će biti objašnjene te dvije
vrste fluida te njihove značajke.
Važan je problem u hidrodinamici gibanje tijela kroz realni fluid (ova pojava će se kao dio
diplomskog rada proučavati eksperimentalno, uzimajući u obzir sve sile koje djeluju na tijelo
među kojima je i sila otpora u fluidu zbog viskoznosti, a može se proučavati i tako da se
promatra strujanje realnog fluida oko nepomičnog tijela). Strujanje realnog fluida može biti
jako složeno, ali u načelu razlikujemo dva načina strujanja realnog fluida – stacionarno i
nestacionarno.
Stacionarno (laminarno) strujanje (Slika 2.): vektor brzine strujanja fluida, tlak i
gustoća u nekoj točki fluida isti je u svakom trenutku. Brzina strujanja, tlak i gustoća
samo su funkcija koordinata, a ne i vremena ( )(),(),( xxppxvv ). Ne dolazi
do miješanja susjednih slojeva fluida, putanje djelića fluida nikada se ne križaju
(strujnice se ne sijeku).
Nestacionarno (turbulentno) strujanje (Slika 2.): iznad određene kritične brzine javlja
se nestacionarno ili turbulentno strujanje. Brzina, tlak i gustoća funkcije su prostora i
vremena ( ),(),,(),,( txtxpptxvv ) i nastaju vrtlozi.
Slika 2. Laminarno i turbulentno gibanje fluida
4
2.1. Idealni fluid
Idealni fluid karakteriziraju četiri glavne značajke. Sve četiri moraju biti zadovoljene
kako bi se moglo reći da se radi o idealnom fluidu:
Stacionarno strujanje: brzina i tlak funkcije su samo položaja, a ne i vremena
Fluid je nestlačiv: gustoća idealnog fluida konstantna je u svakom dijelu fluida
Nema unutarnjeg (viskoznog) trenja: fluid ne pruža otpor pri gibanju tijela niti pruža
otpor pri prolasku uz čvrste granice cijevi kroz koju struji
Tijela pri prolazu kroz fluid ne rotiraju
Idealni nam fluid omogućuje da izvedemo neke osnovne zakone u području dinamike
fluida. Ti zakoni primjenjivi su u praksi te nam njihova primjena uvelike pomaže u
svakodnevnom životu. U nastavku su izvedene jednadžba kontinuiteta i Bernoullijeva
jednadžba.
2.1.1. Jednadžba kontinuiteta
Jednadžba kontinuiteta jest jednadžba iz područja mehanike fluida, točnije dinamike
fluida, jer u statici nema nikakvu primjenu. Jednadžbu je vrlo jednostavno izvesti, a potrebno
je primijeniti zakon očuvanja mase. Za objašnjenje tog zakona potrebno je definirati tok mase
µ (1), kao masu tvari koja protječe ustaljeno kroz neki presjek cijevi u jedinici vremena.
Zakon očuvanja mase kaže da je taj tok mase µ jednak za bilo koji presjek te cijevi (1). Ovaj
zakon može se iskazati ovako:
.constt
m
(1)
Zbog lakšeg predočavanja izvoda potrebna je Slika 3.
5
Slika 3. Cijev različitih poprečnih presjeka na različitim visinama
Ovdje se promatra dva različita presjeka iste strujne cijevi. Definira se tok mase i sada
se promatra djelić fluida mase 1m za presjek cijevi S1 te djelić mase 2m za presjek cijevi S2
i to u istom vremenskom intervalu Δt. Tok mase jednak je za bilo koji dio te cijevi (2) pa se to
može zapisati na sljedeći način:
2121 mm
t
m
t
m
(2)
Na slici se vidi i l ili pomak sloja fluida, a to je sloj koji se giba brzinom v , u vremenu Δt.
tSvlSVm (3)
Ako se sada jednakost (3) uvrsti u jednadžbu (2) i uzme u obzir da se radi o idealnom fluidu
koji je i nestlačiv pa mu je gustoća u svakom dijelu jednaka 21 dobije se sljedeća
jednadžba (4):
2211222111 vSvStvStvS (4)
Ove jednadžbe (4) i (5) jednadžbe su kontinuiteta za idealan fluid. Brzina u užem dijelu cijevi
veća je, a u širem dijelu manja.
.constSv (5)
Jednadžbe (4) i (5) predstavljaju zakon o neuništivosti tvari, posljedica zakona očuvanja
mase. [17]
6
2.1.2. Bernoullijeva jednadžba
Bernoullijeva jednadžba (1738.) osnovna je jednadžba u području mehanike fluida.
Ona objedinjuje statički, hidrostatski i dinamički tlak u jednoj jednadžbi. Jednadžba je
izvedena iz prirodnih zakona: zakon očuvanja energije (6), zakon neuništivosti tvari (5)
(zakon očuvanja mase). U izvodu koji slijedi koristi se idealni fluid koji ima sve karakteristike
objašnjene ranije. Kada se rade izvodi neke jednadžbe uvijek je dobro, poželjno pa čak i
obavezno imati neku skicu, crtež ili sliku kako bi se lakše predočila situacija koju
promatramo. Slika 4. pokazuje cijev kojoj su otvori na različitim visinama i čiji su presjeci
različitih površina u svakom dijelu.
Slika 4. Cijev različitih poprečnih presjeka na različitim visinama
Primijeni li se zakon očuvanja energije za fluide koji kaže da je zbroj kinetičke
energije i potencijalne energije uzrokovane gravitacijskom silom te izvedenog rada tlačne sile
jednak u položajima gdje je presjek cijevi S1 i S2 , dobije se sljedeći izraz:
222111 WUKWUK (6)
Za ovaj slučaj koristi se sloj fluida mase Δm. Članovi su gore navedene jednadžbe redom:
K... kinetička energija
U... gravitacijsko potencijalna energija
W... rad tlačne sile
7
Sada se redom raspisuju članovi, a prva dva člana od ranije su poznata (kinetička
energija i gravitacijsko potencijalna energija). Potrebno je detaljnije opisati treći član, rad
tlačne sile. Rad je umnožak sile i puta na kojem djeluje sila. Sila je umnožak tlaka i površine
presjeka S. Put ovdje predstavlja djelić cijevi l . Ovaj član l može se raspisati kao
umnožak brzine i vremenskog intervala sloja fluida Δm. Ovako raspisano izgleda izraz za rad
tlačne sile (7):
tvSplSplFW (7)
Sada se može raspisati cijela Bernoullijeva jednadžba i doći do konačnog izraza koji se
primjenjuje u fizici. Jednadžba sada izgleda ovako (8):
tvSpmghmv
tvSpmghmv
2222
2
21111
2
1
22 (8)
Primijenjen je zakon očuvanja energije, a kako bi se došlo do poznatog oblika
jednadžbe potrebno je primijeniti i zakon očuvanja mase (neuništivosti tvari). Zakon je već
ranije primijenjen kod izvoda jednadžbe kontinuiteta (5). Masa fluida koja protječe ustaljeno
kroz neki presjek cijevi u jedinici vremena jednaka je za bilo koji presjek te cijevi (3). [2] [17]
tvStvSm 2211
Uvrštavanjem ovog izraza u jednadžbu i manjim sređivanjem dobije se izraz za
Bernoullijevu jednadžbu (9) i (10).
22
2
222
2
111
vghp
vghp
(9)
.2
2
constv
ghp
(10)
Bernoullijeva jednadžba za stacionarno strujanje idealnog fluida (9) i (10).
p ... statički tlak (prenose ga elastične sile čestica fluida)
gh ... hidrostatski tlak (nastaje zbog visinske razlike pojedinih dijelova fluida)
8
2
2v... dinamički tlak ( nastaje zbog gibanja čestica fluida)
U svakoj točki fluida zbroj statičkog tlaka, hidrostatskog tlaka i dinamičkog tlaka stalan je.
2.2. Viskoznost ili unutrašnje trenje
Kod tekućina u mirovanju ne javljaju se nikakve sile trenja između različitih slojeva
tekućine, odnosno tekućina u mirovanju predstavlja jedno izotropno tijelo (homogeno tijelo,
kojemu su sva fizikalna svojstva jednaka u svim smjerovima u svakom djeliću tijela).
Međutim, u svakoj tekućini koja se kreće javljaju se sile trenja između djelića koji su u
dodiru, jer pojedini njeni slojevi klize jedni po drugima. Isto tako, sila trenja javlja se između
djelića tekućine i zidova (stijenki) posude ili cijevi u kojoj se tekućina kreće. Taj otpor koji se
javlja u unutrašnjosti tekućine uslijed trenja pri kretanju njihovih čestica zove se unutrašnje
trenje ili viskoznost (lat. viscum – imela). Dakle, pri kretanju tekućina, sila koja djeluje
između djelića razdvojenih elementarnom površinom nije na nju okomita, nego ima jednu
tangencijalnu komponentu koja se protivi relativnom klizanju dvaju susjednih slojeva. Ta
viskozna sila vrši rad trenja koji prelazi u toplinsku energiju. Koliko je unutrašnje trenje veće
toliko je tekućina viskoznija. Sve su tekućine viskozne, odnosno u svakoj tekućini koja se
kreće javlja se otpor koji se protivi promjeni položaja djelića te tekućine.
Pojava viskoznosti može se primijetiti ako u cijev sa slavinom usipamo glicerin, a na
vrh dolijemo obojenog glicerina. Kada otvorimo slavinu, vidimo da sloj obojenog glicerina ne
putuje kako bismo očekivali, stalno u istoj ravnini. Može se zapaziti da je u sredini cijevi
istureniji obojeni glicerin, a povučeniji kako se približava stijenkama cijevi. Dakle, brzina
kretanja tekućine smanjuje se prema stijenci posude, a duž stijenke jednaka je nuli (Slika 6.).
9
Slika 5. Laminarno strujanje
Prema ovoj slici (Slika 5.) može se zaključiti da se tekućina koja protječe u uskoj
cijevi može zamisliti kao da je podijeljena u tanke slojeve paralelne sa stijenkom cijevi. Prvi
je takav sloj gotovo „prilijepljen“ uz stijenku, drugi sloj klizi po prvom sloju nekom malom
brzinom, a treći po drugom većom brzinom itd. [2]
Newton je zaključio (1687. godine) o čemu ovisi ta sila unutrašnjeg trenja.
Matematički se taj zakon može ovako izvesti. Između dvije ploče nalazi se tekućina (Slika 6).
Gornja je ploča pomična i na nju se djeluje silom F u smjeru kako je prikazano na Slici 6.
Slika 6. Gibanje slojeva fluida zbog pomicanja gornje ploče
Prvi se sloj povlači za pločom, a taj prvi sloj povlači za sobom drugi sloj tekućine, pa taj drugi
povlači treći itd. Najveću brzinu ima prvi sloj, najbliži pokretnoj ploči, a ostali imaju sve
manju brzinu. Primjer je sličan kao i kod obojenog glicerina, samo što ovdje ne teče tekućina,
nego mi pokrećemo ploču koja zbog viskoznosti pokreće slojeve tekućine.
10
Newton je to radio eksperimentalno te je izveo izraz za tangencijalnu silu koja se
javlja kada se vuče gornja ploča sa Slike 6. Uzme se da je S površina dvaju susjednih slojeva
tekućina koje se kreću. Brzina djelića u prvom sloju je v , a u drugom dvv , gdje je dv
diferencijalni prirast brzine. Između ta dva sloja koja su u dodiru djeluje sila koja teži da im
izjednači brzine, tj. da brže dijelove uspori, a sporije ubrza. Upravo je to ta tangencijalna sila
P koja je prema Newtonu proporcionalna dodirnoj površini S i gradijentu brzine između dva
promatrana sloja dz
dv. Konstanta proporcionalnosti različita je za različite tekućine, a naziva
se dinamički koeficijent viskoznosti. Sada kad je objašnjeno kako je Newton razmišljao i do
kojih je zaključaka došao, može se i napisati izraz za tangencijalnu silu P (11).
dz
dvSP (11)
Mjerna jedinica za dinamički koeficijent viskoznosti (12):
sPamsm
mN
dvS
dzP
12 (12)
Koeficijent viskoznosti sila je trenja koja postoji između dva sloja tekućine površine
21m , kad je gradijent brzine između njih jednak 11 s .
Lakše pokretljiva tekućina ima manji koeficijent viskoznosti, . Recipročna vrijednost,
odnosno
1 naziva se fluidnost, a to je mjerilo lakoće kojom tekućina može teći.
Pored dinamičkog koeficijenta viskoznosti i njegove recipročne vrijednosti, fluidnosti,
postoje i drugi koeficijenti viskoznosti. Postoji kinematička viskoznost koja se češće koristi u
praksi, a zapravo je količnik dinamičke viskoznosti i gustoće te iste tekućine, a označava se
.
Dinamička viskoznost koristi se kod čistih, homogenih sustava, tzv. Newtonove
tekućine koje se ponašaju prema jednadžbi (11). Ostale tekućine, heterogeni disperzni sustavi,
11
ne ponašaju se u skladu s ovom jednadžbom (11) i nazivaju se Nenewtonovskim tekućinama.
Ako se radi o takvim sustavima, potrebno je definirati i uvesti nove koeficijente viskoznosti:
Relativna viskoznost r predstavlja količnik viskoznosti otapala i otopljene
tvari 0 : 0
r (13)
Specifična viskoznost sp prikazuje prirast viskoznosti otapala iznad jedinice,
prouzročen prisustvom otopljene tvari: 10
0
rsp
(14)
Redukcijska viskoznost predstavlja količnik specifične viskoznosti i koncentracije
otopljene tvari: c
sp
red
(15)
Unutrašnja viskoznost ili granični broj viskoznosti definiran je tako kad koncentracija
iz jednadžbe (15) teži u nulu i to na sljedeći način preko limesa: c
sp
c
lim
0
(16)
Unutrašnja viskoznost može se odrediti grafički tako da na graf nanesemo red i c kao što je
prikazano na Slici 7.
Slika 7. Grafičko određivanje unutrašnje viskoznosti
U eksperimentalnom dijelu ovog diplomskog rada istraživat će se kako koeficijent
viskoznosti ovisi o temperaturi tekućine. Teorija kaže da se koeficijent viskoznosti smanjuje
kod povećanja temperature.
12
2.2.1. Protjecanje realnog fluida kroz cijev (Poiseuillev zakon)
U uvodu je spomenuto kako dinamika fluida ima široku primjenu, od meteorologije do
ljudskog organizma. Protjecanje realnog fluida kroz cijev, odnosno Poiseuillev zakon, može
se primijeniti na ljudski krvožilni sustav. Nakon što se izvede Poiseuillev zakon vidjet će se
kako na protjecanje krvi kroz krvne žile utječe viskoznost i suženje krvne žile na nekom
mjestu te će se to povezati s krvnim tlakom.
Promatramo fluid koji jednoliko teče kroz cijev i to laminarno (stacionarno strujanje),
bez vrtloga i turbulencija. Cijev je polumjera R i strujanje se odvija s lijeva na desno kao što
je prikazano na Slici 8. Kao što je vidljivo, vektori brzine nisu isti u svakom dijelu cijevi,
odnosno brzina strujanja fluida nije jednaka u svakom sloju fluida, to znači da se radi o
realnom fluidu gdje se javlja unutrašnji otpor, odnosno viskoznost. Brzina fluida najveća je u
sredini cijevi, a prema rubovima se smanjuje.
Slika 8. Protjecanje realnog fluida kroz cijev
Tlak 1p veći je od tlaka 2p pa se zato i javlja sila zbog koje fluid struji kroz cijev.
Razlika je tlakova 21 ppp . Kao što je napisano ranije, fluid se giba jednoliko pa je onda
rezultanta sila jednaka nuli. Dakle, sila koja se javlja zbog razlike tlakova mora biti
uravnotežena nekom drugom silom koja je istog iznosa, ali suprotnog smjera, a to je sila
trenja u fluidu, odnosno viskoznost i ta sila je oblika kao jednadžba (11) ranije spomenuta kod
viskoznosti.
Sila koja se javlja zbog razlike tlakova izgleda ovako (17):
pzpSFp 2 (17)
S predstavlja površinu presjeka dijela fluida u cijevi ( Rz ;0 ).
13
Sila unutrašnjeg trenja ili viskoznosti izgleda ovako (18):
dz
dvzl
dz
dvSFt 2 (18)
Član zl2 predstavlja površinu između slojeva djelića fluida, a negativan je predznak
u jednadžbi (18) zbog negativnog gradijenta brzine jer z raste od središta prema rubu, a
brzina v najveća je u središtu cijevi, a prema rubu se smanjuje.
Sada se jednostavno mogu izjednačiti jednadžbe (17) i (18):
dz
dvzlpz 22 z
l
p
dz
dv
2
zdz
l
pdv
2
(19)
Nakon ove separacije varijabli, može se integrirati ovu jednadžbu (19) te dobiti izraz
za brzinu strujanja realnog fluida u cijevi:
0
2v
R
z
zdzl
pdv
)(
4
22 zRl
pv
(20)
Kako bi se došlo do Poiseuillevog zakona za protjecanje realnog fluida, potrebno je
definirati volumni protok fluida i to kao,
t
VQ (21)
odnosno volumen fluida koji proteče kroz cijev u jedinici vremena. Diferencijal volumena je:
dSvtdV , a površina presjeka 2zS i kada se ovaj izraz diferencira, dobije se da je
dzzdS 2 . Dakle, dobije se sljedeći izraz dzzvtdV 2 .
S
dSvtV (22)
U jednadžbu (22) se umjesto brzine uvrsti izraz za brzinu koji je izveden u jednadžbi (20) te
se izraz integrira:
R R R
dzzdzzRtl
pdztzzR
l
pV
0 0 0
3222 24
24
14
Nakon integriranja dobije se izraz za volumen fluida i taj izraz uvrsti se u jednadžbu (21)
kako bi se dobio izraz za volumni protok fluida. [17]
4
8R
l
pQ
(23)
Poiseuillev zakon za protok realnog fluida kroz cijev (23)
Spomenuto je ranije da je ovaj zakon, između ostaloga, primjenjiv i kod ljudskog
organizma, točnije u krvožilnom sustavu. Prema tom zakonu kako bi se zadržao jednak protok
krvi kroz neku žilu, a ako je ona sužena, srce mora ubrzano raditi kako bi povećalo tlak jer
vidimo da protok ovisi čak o četvrtoj potenciji radijusa krvne žile. Povećanje krvnog tlaka kod
ljudi pokazatelj je da postoji suženje krvnih žila, zbog naslaga kolesterola ili zbog nekih
drugih razloga. Vidimo da i u jednadžbi za protok (23) postoji član , dinamički koeficijent
viskoznosti.
2.2.2. Stokesova sila otpora sredstva
Sila otpora na tijelo koje se giba u fluidu ovisi o brzini tijela koje se giba, odnosno o
brzini fluida koje se giba oko nepomičnog tijela. U slučaju koji slijedi promatra se kugla koja
miruje, a fluid se giba oko nje. Fluid se giba malom brzinom v , tako da je strujanje laminarno
(o ovome će više biti napisano u poglavlju 3.3. koje slijedi). Iskustvo pokazuje da na
udaljenosti r3
2 od kugle fluid struji kao da kugle i nema. Kako sloj uz površinu kugle miruje,
sila je otpora zbog viskoznosti prema jednadžbi (11):
rv
r
vr
dz
dvSF 6
3
2
04 2
(24)
r
v
dz
dv
3
2
0 gradijent brzine u blizini kugle (25)
15
Dobiven je sljedeći izraz za silu:
rvF 6 (26)
Stokesova sila trenja (1845.) (26)
Stokesov zakon dobro opisuje silu otpora na tijelo koje se giba u fluidu za male brzine,
dok je strujanje laminarno, odnosno kad je glavni doprinos sili otpora viskoznost fluida, a ne
vrtlozi koji bi nastajali pri većim brzinama fluida. Za veće brzine strujanja gibanje je fluida
turbulentno, sudari tijela s česticama fluida glavni su doprinosi sili otpora na gibanje tijela
kroz fluid ili gibanju fluida oko nepomičnog tijela.
U eksperimentalnom dijelu diplomskog rada mjereno je vrijeme padanja kuglice kroz
različite tekućine, a brzine su bile male, tako da je za računanje sile otpora i koeficijenta
viskoznosti tekućine korištena upravo jednadžba (26), Stokesov zakon.
Slika 9. Protjecanje fluida oko nepomične kugle.
2.2.3. Laminarno i turbulentno strujanje - Reynoldsov broj
Promatranjem protjecanja realne tekućine zapaža se da postoje dva različita stanja
strujanja. Za jedno bi se moglo reći da ostavlja dojam neke pravilnosti: strujnice su paralelne,
ne miješaju se i slobodna je površina, ako postoji, ravna. Takvo kretanje fluida naziva se
laminarno strujanje (strujanje u slojevima).
Drugo strujanje izgleda kao da je uzburkano: pojedine se strujnice miješaju. Na
slobodnoj površini stvaraju se ispupčenja i udubljenja koja nisu postojana. Takva vrsta
strujanja naziva se turbulentno strujanje.
16
Obje vrste strujanja mogu se vidjeti u cijevima i kanalima pri čemu laminarnom
strujanju odgovaraju obično male brzine, a turbulentnom velike. Pri postepenom povećanju
brzine laminarno strujanje prelazi u turbulentno. Obrnuta pojava pojavljuje se smanjenjem
brzine.
Teorija o strujanju realnog fluida dobro se slaže s praksom kada se radi o laminarnom
strujanju i može se reći da je teorija potvrđena, ali to se ne može reći i za turbulentno
strujanje. Do sada se nije stvorila zadovoljavajuća teorija o turbulentnom strujanju i za
rješavanje tehničkih zadataka moraju se upotrijebiti približni obrasci i eksperimentom
određeni koeficijenti. Ne može se reći da je da je postupak turbulencije dovoljno razjašnjen
niti da se razumije mehanizam takvog strujanja.
Razliku između laminarnog i turbulentnog strujanja opazili su još Saint-Venant,
Poncelet, Poiseuille i Hagen, ali su samo Reynoldsovi eksperimenti i zaključci omogućili da
se stvori prava slika o turbulenciji te da se ozbiljnije pozabavi ovom pojavom. Eksperiment
koji je Reynolds radio vrlo je jednostavan. Imao je cijev određenog presjeka kroz koju je
strujala voda, a kroz kapilaru je u tu cijev puštao obojenu tekućinu kako bi mogao promatrati
kako se ponaša u vodi. Temperaturu je držao stalnom, a mijenjao je dimenzije cijevi te brzinu
protjecanja vode. Promatrajući promjenjive brzine strujanja iste tekućine u istoj cijevi, opazio
je da se pri malim brzinama obojena strujnica jasno vidi i da se ne miješa s ostalima.
Međutim, pri većim brzinama strujanja sva tekućina se oboji, odnosno strujnice se izmiješaju.
Slika 10. Reynoldsov eksperiment.
Postepenim povećanjem brzine pri laminarnom strujanju, Reynolds je utvrdio da
prelaženje u turbulentno strujanje nastaje uvijek pri određenoj brzini koja vrlo malo odstupa
17
od slučaja do slučaja. On je tu brzinu nazvao kritičnom. Ako je strujanje turbulentno pa se
smanjuje brzina, onda pri kritičnoj brzini nastaje obrnuta pojava: turbulentno prelazi u
laminarno. Kritična brzina nije ista za sve cijevi ni za sve tekućine, a ovisi o poprečnom
presjeku cijevi te o viskoznosti tekućine. Pri pažljivom provođenju eksperimenta kritična
brzina može biti znatno veća od one koju je Reynolds opazio. Zato se kao kritična brzina
obično smatra najmanja brzina pri kojoj strujanje prelazi iz jednog stanja u drugo. Ako se
pažljivim rukovanjem postigne da laminarno strujanje ostane kao takvo i pri većim brzinama
od kritične vrijednosti, onda se i pri najmanjem poremećaju laminarno strujanje naglo
preobražava u turbulentno. Pojava je slična kao kod labilne ravnoteže. Prijelaz iz turbulentnog
u laminarno strujanje pravilnije je. Ispod određene brzine kretanje je uvijek laminarno i ni na
koji način ne može se postići da se pri toj brzini pojavi turbulencija. Dakle, nikakav
poremećaj ne može izvesti tekućinu iz laminarnog stanja strujanja ako je brzina dovoljno
mala. [2] [16]
Danas postoje snimke koje pokazuju točno kako turbulentno strujanje nastaje i da se
sastoji od mnogo sitnih vrtloga koji neprestano nastaju i lagano nestaju te daju utisak
kaotičnog kretanja. To gibanje nikako nije jednoliko, ali se vidi da se brzine vrte oko neke
stalne vrijednosti koja ne ovisi o vremenu. Međutim, još nisu utvrđeni zakoni takvog strujanja
koje je vrlo složeno. Ne zna se pravi uzrok prelaženja laminarnog strujanja u turbulentno.
Kako bi se dobila vrijednost Reynoldsova broja, moramo znati da vrijedi zakon
očuvanja energije kod protjecanja fluida kroz cijev pa tako imamo dio energije u obliku
kinetičke energije koja ovisi o poprečnom presjeku cijevi, odnosno promjeru d , gustoći
tekućine , te o brzini tekućine v , te imamo dio energije koji prelazi u rad trenja, za koji je
zaslužna viskoznost tekućine, a ovisi o dinamičkom koeficijentu viskoznosti . Kada se te
dvije energije stave u omjer dobije se sljedeći izraz za Reynoldsov broj (27):
dvRe (27)
Reynoldsov broj nema dimenziju, on je samo brojčana vrijednost, što se može vrlo
jednostavno pokazati:
18
13
222
kg
sm
sm
kgm
sm
kgs
m
m
kgm
sPa
s
m
m
kgm
Re
Prema Reynoldsovim eksperimentima kritična vrijednost, kada strujanje prelazi iz
laminarnog u turbulentno i obrnuto, ista je za sve tekućine i iznosi 2000, a novija točnija
vrijednost iznosi 2320. Ako se izvodi eksperiment za bilo koju tekućinu kojoj znamo gustoću
i brzinu strujanja te nam je poznat promjer presjeka cijevi, možemo predvidjeti hoće li
strujanje biti laminarno ili turbulentno.
U pravilu, ako je Reynoldsov broj manji od 2000, strujanje će biti laminarno, a ako je
veći, moguće je da je turbulentno jer ta granica nije strogo određena i ovisi koliko se pažljivo
izvodi eksperiment. Postoji određeno kritično područje u sljedećem intervalu gdje je moguće i
laminarno i turbulentno strujanje: 2000< eR <4000. Također je vidljivo iz jednadžbe (27) da
viskoznije tekućine daju manji Reynoldsov broj, odnosno „žele“ duže ostati u laminarnom
strujanju. [2]
3. Eksperimentalni dio
Do sada se u diplomskom radu opisivalo općenito strujanje fluida te je težište bilo na
sustavima gdje viskoznost igra bitnu ulogu. Statika fluida nije opisivana jer se u takvim
sustavima ne pojavljuje viskoznost. Sve što je spomenuto teorijski je dio fizike na području
dinamike fluida. Međutim, diplomski rad sastoji se i od eksperimentalnog dijela kojemu je
težište bilo za više različitih fluida odrediti dinamički koeficijent viskoznosti, η. Mjerenja su
vršena na Odjelu za fiziku u Osijeku, a koeficijent viskoznosti mjeren je pomoću
Hopplerovog viskozimetra. Više o Hopplerovom viskozimetru bit će riječi dalje u tekstu
(poglavlje 3.1.). Mjereno je vrijeme padanja staklene kuglice koja je bila uronjena u neku od
tekućina. Rađena su mjerenja za pet različitih tekućina, svaka tekućina na tri različite
temperature tekućina i to deset mjerenja za svaku temperaturu, odnosno sveukupno 150
mjerenja. Također, određivana je konstanta viskozimetra eksperimentalno te gustoća svake od
tekućina kao i gustoća kuglice. Za određivanje gustoća tekućina potrebna je masa i volumen
19
tih tekućina, a korištena je analitička vaga s točnošću do tisućinke grama za masu, te menzure
za volumen.
Slika 11. Analitička vaga i pomična mjerka.
Masa kuglice mjerena je analitičkom vagom, a promjer je mjeren pomičnom mjerkom
pa se iz tih podataka mogla izračunati gustoća kuglice. Više o ovim mjerenjima bit će riječi
kasnije u tekstu (poglavlje 3.2.).
3.1. Hopplerov viskozimetar
Ovaj viskozimetar (Slika 12.) sastoji se od staklene cilindrične posude u koju se stavlja
tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti i staklena kuglica. Oko te posude jedna je veća
posuda koncentrično postavljena i u njoj se nalazi voda. Dvije tekućine ne mogu se miješati, a
voda je oko prve cijevi i služi kao medij da bi se lakše zagrijala tekućina za koju se određuje
koeficijent viskoznosti. U spremniku gdje je voda također se nalazi termometar, kako bi se
mogla odrediti temperatura na kojoj se mjeri jer, kako je ranije objašnjeno, koeficijent
viskoznosti ovisi o temperaturi. U tom spremniku nalazi se i električni grijač koji se uključuje
u gradsku mrežu (220 V, 50 Hz) te služi za zagrijavanje vode koja tada prenosi toplinu i na
tekućinu unutar druge posude te joj povećava temperaturu. [18]
20
Slika 12. Hopplerov viskozimetar.
Hopplerovim viskozimetrom mjeri se vrijeme padanja staklene kuglice u tekućini
kojoj se želi odrediti koeficijent viskoznosti. Mjeri se vrijeme padanja između dva prstena
otisnuta na unutrašnjoj cijevi viskozimetra (Slika 13.).
Slika 13. Padanje kuglice između dva otisnuta prstena.
Viskozimetar za vrijeme mjerenja ne stoji vodoravno s podlogom, nego se mora
namjestiti tako da bude u skladu s libelom (Slika 14.) koju viskozimetar ima na vrhu. Ovo je
potrebno napraviti za Newtonovske tekućine koje se i proučavaju u diplomskom radu. Kut
nagiba mora biti 10o
u skladu s normom DIN53015 [1]. Viskozimetar se mora iznivelirati,
baš kao i analitička vaga. Niveliranje se vrši pomoću tri vijka koji su ujedno i noge
21
viskozimetra i postupak je vrlo jednostavan. Ovo je potrebno napraviti kako bi kuglica bila
dovoljno udaljena od stijenki posude kroz koju prolazi, a proizvođač se pobrinuo da nagib
bude baš takav da kuglica baš između ova dva prstena bude na dozvoljenoj udaljenosti od
stijenki.
Slika 14. Libela na viskozimetru.
Viskozimetar ima cjevčice na dnu pomoću kojih se može ispuštati voda kako bi se
ponekad promijenila, a bitno je da se ulijeva destilirana voda kako se ne bi razvile alge i
zamutile vodu koja mora biti bistra kako bi se moglo uspješno promatrati kuglicu dok pada.
Na vrhu je glavni zatvarač (Slika 15.) za tekućinu kojoj se mjeri koeficijent viskoznosti i ona
se može mijenjati tako da se jednostavno skine zatvarač i izlije tekućina te nakon toga ulije
druga. Kuglica se također vadi kroz isti otvor.
Hopplerov viskozimetar koristi se vrlo jednostavno. Viskozimetar se okrene naopako i
čeka se da kuglica dođe na vrh viskozimetra, tada ga se okrene i postavi u položaj za mjerenje
(iznivelirani položaj) i promatra se kuglica dok pada. Bitno je, pomoću zaporne ure mjeriti
vrijeme potrebno da kuglica prođe od jednog prstena do drugog, te očitati temperaturu na
termometru (Slika 13. i 14.) na kojoj se mjeri. Podaci se upisuju u tablicu.
U viskozimetar je ugrađen i grijač koji omogućuje mjerenje vremena padanja na
različitim temperaturama. Grijač se jednostavno priključi na gradsku mrežu i vrlo brzo zagrije
vodu do željene temperature. Ovdje je problem što se ne može točno namjestiti određena
temperatura, nego je potrebno subjektivno odrediti vrijeme grijanja i tada pričekati neko
vrijeme da toplina preko vode prijeđe i na unutarnju tekućinu koju istražujemo. Viskozimetar
je potrebno malo promućkati kako bi se temperature izjednačile u svakom dijelu jer je grijač
postavljen na jednu stranu viskozimetra (ondje gdje se vidi kabel, Slika 13.).
22
3.2. Baždarenje Hopplerovog viskozimetra-konstanta kuglice
Za određivanje konstante kuglice potrebno je krenuti od činjenice da se kuglica giba
kroz tekućinu i to na početku ubrzano, a zatim konstantnom brzinom 0v i to u području u
kojem se mjeri vrijeme padanja. Kada se kuglica giba jednoliko znači da je rezultanta sila na
kuglicu jednaka nuli. Na kuglicu djeluje sila teža prema dolje ( gF ), sila uzgona prema gore
( uzF ) te Stokesova sila zbog viskoznosti tekućine također prema gore ( StokesF ), jer ona djeluje
suprotno od smjera brzine ( 0v ) gibanja tijela. U ovom slučaju tijelo je kuglica polumjera kr ,
mase km , volumena kV i gustoće k . Masa kuglice eksperimentalno je određena pomoću
analitičke vage, a polumjer pomoću pomične mjerke, te se iz tih podataka računao volumen i
kasnije gustoća kuglice. Tekućina kojoj želimo odrediti koeficijent viskoznosti, i u koju je
uronjena kuglica, ima gustoću t .
U pokusu se mjeri vrijeme padanja kuglice u razmaku između dva prstena otisnuta na
viskozimetru. Razmak između dva prstena ( H ) put je koji kuglica pređe u vremenu t , koje
se mjeri zapornom urom. Kako je već spomenuto, kuglica se giba jednoliko pa se brzina
padanja kuglice može definirati na sljedeći način: t
Hv 0 .
Sada kada su definirane veličine koje se koriste u pokusu, može se pristupiti izvodu za
računanje dinamičkog koeficijenta viskoznosti i određivanje konstante kuglice. Jednadžba
gibanja kuglice glasi:
Stokesuzg FFF (29)
Raspisivanjem svake od sila i kraćim sređivanjem doći će se do jednadžbe kojom se računa
dinamički koeficijent viskoznosti. Slijedi postupak:
06 vrgVgm kktk
t
HrgVgV kktkk 6
23
tgr
H
gr
t
Hr
kk
k
tk 23 2
9
3
4
6
tH
grtk
k
9
2 2
(Izvod za eksperimentalno dobivanje koeficijenta viskoznosti, η) (30)
U eksperimentu se mjeri vrijeme t , padanja kuglice na putu H koji je stalan za sve
pokuse jer je otisnut na viskozimetru i ne može se mijenjati. Za sva mjerenja korištena je ista
kuglica, a tekućine su se mijenjale, dakle .constk (postupak dobivanja gustoće kuglice u
poglavlju 3.2.1.)
Konstanta je kuglice u jednadžbi (30) član u prvoj zagradi, dakle: H
grk k
9
2 2
.
Sada jednadžba za računanje viskoznosti izgleda ovako:
tk tk (31)
Jednadžba (31) se koristi za određivanje dinamičkog koeficijenta viskoznosti, ali za
baždarenje viskozimetra potrebno je odrediti k iz ove jednadžbe kako bi bila određena
konstanta kuglice, čija se vrijednost kasnije koristi za određivanje koeficijenta viskoznosti za
različite tekućine. Baždarenje se izvodi na sljedeći način: nađe se tablična vrijednost
dinamičke viskoznosti za neku tekućinu (u ovom slučaju glicerol) i mjeri se deset vremena
padanja kuglice u glicerolu. Temperatura je glicerola Co20 , kao što je u tablici. Tablična
vrijednost za dinamički koeficijent viskoznosti glicerola na Co20 iznosi sPaGlicerol 41,1 .
Za baždarenje viskozimetra potrebno je jednadžbu (31) napisati u drugačijem obliku:
tk
tk
(32)
24
Dinamička viskoznost glicerola na Co20 poznata je ( sPaGlicerol 41,1 ), razlika u
zagradi razlika je gustoća kuglice i glicerola (ove gustoće određene su u poglavljima 3.2.1. i
3.2.2.), t su vremena padanja kuglice za 10 mjerenja, a k je konstanta kuglice za svako
vrijeme (računa se jednadžbom 32), (Tablica 1.). Uzima se srednja vrijednost za k te je
izračunata i standardna devijacija za ta mjerenja. (standardna devijacija:
9
10
1
2
i
i kk
)
Tablica 1. Vremena padanja kuglice u glicerolu pri Co20
mjerenje 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
st 95 89 90 92 86 85 84 84 80 80
522 10/ smk 1,22 1,29 1,28 1,25 1,34 1,36 1,37 1,37 1,44 1,44
tmkgmkg
sPa
tk
tk
33 /1218/63,2437
41,1
225
10
1 /1033,110
sm
k
k i
i
225
1010 /10)07,033,1()( smkk
25
3.2.1. Određivanje gustoće kuglice
Gustoća kuglice određena je eksperimentalno, kao što je već spomenuto. Masa je
izmjerena pomoću analitičke vage, a promjer pomoću pomične mjerke (Slika 12.).
Masa kuglice: kggmk
310576,3576,3
Polumjer kuglice: mmmmd
r k
k 05,72
1,14
2
Volumen kuglice: 3633 10467,105,73
4
3
4mmmrV kk
Gustoća kuglice: 3
36
3
/63,243710467,1
10576,3mkg
m
kg
V
m
k
k
k
3.2.2. Određivanje gustoće tekućina
U ovom poglavlju bit će prikazano određivanje gustoća pet tekućina koje su bile
podvrgnute mjerenju u svrhu određivanja njihove viskoznosti. Masa tekućine određena je
analitičkom vagom tako što se od ukupne mase menzure i tekućine oduzimala masa menzure.
U menzuru je u svakom mjerenju bilo usipano točno 310cm . Slijede tekućine:
Glicerol je prva tekućina mjerena u eksperimentu. To je vrlo viskozna tekućina,
prozirna tekućina gušća od vode. Koristi se za proizvodnju eksploziva (glicerol-
trinitrat ili nitroglicerin), te u kozmetičkoj i farmaceutskoj industriji za proizvodnju
krema i sapuna. Također se koristi kao lubrikant, laksativ i antifriz. Umjesto naziva
glicerol, upotrebljava se još i naziv glicerin.
Izmjerena masa glicerola: kggm 210218,1180,12
Volumen glicerola: 353 1010 mcmV
Gustoća glicerola: 3
35
2
/121810
10218,1mkg
m
kg
V
mGlicerol
26
INA Delta SAE 15W-40 motorno ulje druga je tekućina mjerena u Hopplerovom
viskozimetru. To je kvalitetno mineralno motorno ulje namijenjeno podmazivanju
četverotaktnih benzinskih i dizelskih motora.
Izmjerena masa motornog ulja: kggm 310764,8764,8
Volumen motornog ulja: 353 1010 mcmV
Gustoća motornog ulja: 3
35
3
4015 /4,87610
10764,8mkg
m
kg
V
mWSAE
Jestivo suncokretovo ulje jest ulje koje se dobiva od suncokreta kao glavne sirovine i
to mehaničkim prešanjem bez organskih otapala. Koristi se kao dodatak jelima, a
može se i pržiti na njemu.
Izmjerena masa jestivog ulja: kggm 310217,9217,9
Volumen jestivog ulja: 353 1010 mcmV
Gustoća jestivog ulja: 3
35
3
/7,92110
10217,9mkg
m
kg
V
mSuncokret
Ricinusovo ulje dobiva se od biljke ricinus. Ima široku primjenu, od njege kose do
poboljšanja probave. Djeluje kao laksativ ako se konzumira, dakle djelotvoran je
protiv zatvora. Može se stavljati kao oblog za poboljšanje cirkulacije ili kod različitih
upalnih pojava.
Izmjerena masa ricinusovog ulja: kggm 310325,9325,9
Volumen ricinusovog ulja: 353 1010 mcmV
Gustoća ricinusovog ulja: 3
35
3
/5,93210
10325,9mkg
m
kg
V
mRicinus
Bademovo ulje jest ulje svijetložute boje i blagog mirisa. Koristi se kao ulje za
masažu te je dobro za osjetljivu i suhu kožu. Ima veliku primjenu u kozmetici jer je
pogodno za sve tipove kože i lako se upija.
Izmjerena masa bademovog ulja: kggm 310318,8318,8
27
Volumen bademovog ulja: 353 1010 mcmV
Gustoća bademovog ulja: 3
35
3
/8,83110
10318,8mkg
m
kg
V
mBadem
3.3. Određivanje dinamičkog koeficijenta viskoznosti
Dinamički koeficijent viskoznosti određivan je za pet različitih tekućina (poglavlje 4.)
Hopplerovim viskozimetrom. Za svaku tekućinu vršeno je deset mjerenja vremena padanja i
to na tri različite temperature. Na ovaj način moći će se vidjeti kako koeficijent viskoznosti
opada s porastom temperature. Sve potrebne veličine za računanje koeficijenta viskoznosti
izračunate su u prethodnim poglavljima (3.2.-3.2.1-3.2.2.), osim vremena padanja koja će biti
uvrštena u tablice. Dinamički koeficijent viskoznosti računa se pomoću jednadžbe (31).
U prethodnim poglavljima spomenuto je da viskoznost ovisi o temperaturi, a pomoću
podataka iz tablice moguće je prikazati i na koji način ovisi. Najjednostavnije je to napraviti
pomoću grafa. U teoriji, dinamički koeficijent viskoznosti ovisi o temperaturi ovako:
T
B
eA (33)
A i B su konstante i ovise o tome koja se tekućina promatra, a T je temperatura na
kojoj se mjeri viskoznost. Ove konstante mogu se dobiti računski iz podataka dobivenih pri
mjerenju. Mogu se dobiti tako da se rješava sustav dviju jednadžbi (33) s dvije nepoznanice
na različitim temperaturama na kojima se mjerila viskoznost. Za ta dva mjerenja odredi se
koeficijent viskoznosti η, tako da su nepoznanice konstante A i B. Konstante se provjeravaju
tako da se vrijednosti uvrste i u treću jednadžbu (33) gdje je mjerenje vršeno na različitoj
temperaturi od dviju prethodnih.
Ovdje su te konstante dobivene pomoću Microsoft Office Excela 2007. Pomoću
izmjerenih podataka napravljena je regresijska krivulja kojoj je automatski dodijeljena
jednadžba. Iz te jednadžbe iščitane su vrijednosti A i B. Rezultati su u skladu s teorijom što se
može vidjeti i na grafovima (1, 2, 3, 4, 5).
28
Na grafu je na ordinati prikazan dinamički koeficijent viskoznosti ( sPa ), a na
apscisi temperatura ( CT 0 ).
Pomoću krivulje na grafu moguće je odrediti viskoznost na bilo kojoj temperaturi za
promatranu tekućinu. Također je upisana i jednadžba koja opisuje svaku krivulju pa je
moguće koeficijent viskoznosti odrediti i računski, tako da se željena temperatura uvrsti u
jednadžbu te se dobije dinamički koeficijent viskoznosti.
29
4. Rezultati i rasprava
4.1. Glicerol
Gustoća glicerola: 3
35
2
/121810
10218,1mkg
m
kg
V
mGlicerol
Gustoća kuglice: 3
36
3
/63,243710467,1
10576,3mkg
m
kg
V
m
k
k
k
Konstanta kuglice: 225 /1033,1 smk
Tablica 2. Dinamički koeficijent viskoznosti glicerola
Mje
renje
CT o2,231 CT o372 CT o413
st sPa st sPa st sPa
1 55,56 0,901 21,27 0,345 16,52 0,268
2 54,94 0,891 20,34 0,329 16,24 0,263
3 55,24 0,896 20,27 0,329 16,31 0,264
4 55,61 0,902 20,01 0,325 16,03 0,260
5 54,85 0,889 20,09 0,326 16,14 0,262
6 53,87 0,874 19,69 0,319 16,40 0,266
7 55,24 0,896 19,90 0,323 16,01 0,260
8 53,71 0,871 20,13 0,326 16,09 0,261
9 54,30 0,881 19,72 0,319 16,20 0,263
10 52,02 0,844 20,14 0,327 16,74 0,271
- - 1T =0,885 -
2T =0,330 - 3T =0,264
U tablicama su određene tri srednje vrijednosti dinamičkog koeficijenta viskoznosti za
tri različite temperature. Za glicerol će biti moguće napraviti i relativnu pogrešku, odnosno,
30
moći će se usporediti poznate vrijednosti s dobivenim vrijednostima. To je moguće jer postoji
web stranica [3] na kojoj se mogu upisati bilo koje vrijednosti temperatura i automatski se
dobije iznos za dinamički koeficijent viskoznosti. Relativna pogreška u tablici 3. računa se na
sljedeći način: %100
Tablicno
TTablicno
mr
Tablica 3. Relativna pogreška
- 1T [Pa s]
2T [Pa s] 3T [Pa s]
Tablična vrijednost [3] 1,078 0,350 0,263
Eksperimentalna vrijednost 0,885 0,330 0,264
Relativna pogreška [%] 17,90 5,71 0,38
Najveća je relativna pogreška na najnižoj temperaturi, a kako se temperatura povećava
pogreška je sve manja.
Za dinamičke koeficijente viskoznosti moguće je izračunati standardnu devijaciju
(
9
10
1
2
i
Ti
) i to za svaku temperaturu kako bi se vidjela odstupanja u mjerenju, te
konačni zapis rezultata dobivenih u eksperimentu i to u obliku: sPa 10)( (Tablica
4.).
31
Tablica 4. Standardna devijacija i rezultat mjerenja
- CT o2,231 CT o371 CT o411
Standardna devijacija,
[Pa s] 0,018 0,007 0,004
Rezultat
mjerenja, [Pa s] 10)018,0885,0( 10)007,0330,0( 10)004,0264,0(
Jednadžba krivulje koja najbolje opisuje dobivene eksperimentalne podatke u skladu je
s teorijom, odnosno ima očekivani oblik. (Jednadžba 33, T
B
eA )
Računski su određene konstante A i B: A=0,061 Pa s B=62,217 oC
Te
217,62
061,0 (34)
Pomoću jednadžbe (34) moguće je odrediti dinamički koeficijent viskoznosti za
glicerol na željenoj temperaturi.
32
Graf 1. Ovisnost η-T za glicerol
Dodatni račun potrebno je napraviti za glicerol zbog usporedbe relativne pogreške za
glicerol sa relativnim pogreškama ulja koja slijede. Relativna pogreška za glicerol izračunata
je tako da su uspoređivane točne vrijednosti za temperature na kojima je izvođen eksperiment
sa tabličnim vrijednostima na istim temperaturama. Kod ostalih ulja usporedba se radila
drugačije zbog nemogućnosti pronalaženja tabličnih vrijednosti koeficijenta viskoznosti na
temperaturama na kojima je mjeren koeficijent. Kod ostalih ulja pronađena je vrijednost
koeficijenta viskoznosti na nekoj određenoj temperaturi. Ta vrijednost uspoređivana je sa
vrijednošću koja se dobije pomoću jednadžbe krivulje (33). Svako ulje ima svoju jednadžbu
(34, 35, 36, 37, 38) te se u svaku jednadžbu uvrsti pronađena tablična temperatura i dobije
koeficijent viskoznosti. Na taj način je izračunata relativna pogreška za sva ostala ulja osim
glicerola pa je potrebno to napraviti i za glicerol kako bi se mogle međusobno uspoređivati te
vrijednosti. Temperatura za glicerol u ovom dodatnom računu je 27 oC, a tablična vrijednost
koeficijenta viskoznosti iznosi: sPaC
764,0027 . Vrijednost koju glicerol ima na 27
oC
prema jednadžbi (34) je sPa 607,0 .
33
Tablica 5. Relativna pogreška (dodatak)
- sPaC
027
Tablična vrijednost [3] 0,764
Računski dobivena vrijednost (34) 0,607
Relativna pogreška [%] 20,55
34
4.2. INA Delta SAE 15W-40 motorno ulje
Gustoća motornog ulja: 3
35
3
4015 /4,87610
10764,8mkg
m
kg
V
mWSAE
Gustoća kuglice: 3
36
3
/63,243710467,1
10576,3mkg
m
kg
V
m
k
k
k
Konstanta kuglice: 225 /1033,1 smk
Tablica 6. Dinamička viskoznost INA Delta SAE 15W-40 motornog ulja
Mje
renje
CT o2,221 CT o5,302 CT o5,383
st sPa st sPa st sPa
1 16,15 0,326 10,27 0,207 6,67 0,136
2 15,80 0,319 10,30 0,208 6,84 0,138
3 15,87 0,320 9,93 0,200 6,92 0,140
4 16,21 0,327 9,78 0,197 6,74 0,136
5 15,77 0,318 9,80 0,198 6,78 0,137
6 15,65 0,316 10,08 0,203 6,86 0,138
7 16,06 0,324 10,23 0,206 6,56 0,132
8 15,67 0,316 9,70 0,196 6,68 0,135
9 16,03 0,323 9,94 0,200 6,82 0,138
10 15,84 0,319 9,96 0,201 6,59 0,133
- - =0,321 - =0,202 - =0,136
Relativna pogreška može se računati tako da se usporedi tablična vrijednost za
dinamički koeficijent viskoznosti na temperaturi od 40 oC [10] [11] i vrijednost koja se
računski može dobiti iz jednadžbe (35) za tu temperaturu. Ovdje je potrebno pogrešku
računati na ovaj način jer je poprilično teško naći bilo kakvu poznatu vrijednost za dinamički
35
koeficijent viskoznosti za ovo ulje i za sva sljedeća ulja, a nemoguće je pronaći točne
vrijednosti na kojima su izvođena mjerenja. Poznata je vrijednost na temperaturi od 40 oC.
Jednadžba krivulje (35) opisuje opadanje koeficijenta viskoznosti za ovo ulje porastom
temperature i moguće je pomoću nje odrediti koliki bi koeficijent bio na 40 oC prema
podacima dobivenim eksperimentom.
Tablica 7. Relativna pogreška
- sPaC
040
Tablična vrijednost [10] [11] 0,102
Računski dobivena vrijednost (35) 0,149
Relativna pogreška [%] 46,07
Tablica 8. Standardna devijacija i rezultat mjerenja
- CT o2,221 CT o5,301 CT o5,381
Standardna devijacija,
[Pa s] 0,004 0,004 0,002
Rezultat mjerenja,
[Pa s] 10)004,0321,0( 10)004,0202,0( 10)002,0136,0(
Računski su određene konstante A i B: A=0,057 Pa s B=38,599 oC
Jednadžba krivulje: Te
599,38
057,0 (35)
36
Graf 2. Ovisnost η-T za INA Delta SAE 15W-40 motorno ulje
37
4.3. Jestivo suncokretovo ulje
Gustoća jestivog ulja: 3
35
3
/7,92110
10217,9mkg
m
kg
V
mSuncokret
Gustoća kuglice: 3
36
3
/63,243710467,1
10576,3mkg
m
kg
V
m
k
k
k
Konstanta kuglice: 225 /1033,1 smk
Tablica 9. Dinamička viskoznost jestivog suncokretovog ulja
Mje
renje
CT o7,241 CT o302 CT o7,363
st sPa st sPa st sPa
1 3,12 0,063 2,71 0,055 2,08 0,042
2 3,24 0,065 2,64 0,053 2,09 0,042
3 3,24 0,065 2,52 0,051 2,05 0,041
4 3,20 0,065 2,50 0,050 2,04 0,041
5 3,20 0,065 2,61 0,053 2,10 0,042
6 3,11 0,063 2,73 0,055 2,11 0,043
7 3,18 0,064 2,58 0,052 2,02 0,041
8 3,23 0,065 2,68 0,054 2,00 0,040
9 3,14 0,063 2,61 0,053 2,07 0,042
10 3,10 0,063 2,54 0,051 2,06 0,042
- - =0,064 - =0,053 - =0,042
Relativna pogreška može se računati tako da se usporedi tablična vrijednost za
dinamički koeficijent viskoznosti na temperaturi od 25 oC [7] i vrijednost koja se računski
može dobiti iz jednadžbe (36) za tu temperaturu:
38
Tablica 10. Relativna pogreška
- sPaC
025
Tablična vrijednost [7] 0,049
Računski dobivena vrijednost (36) 0,064
Relativna pogreška [%] 30,61
Tablica 11. Standardna devijacija i rezultat mjerenja
- CT o7,241 CT o301 CT o7,361
Standardna devijacija,
[Pa s] 0,001 0,002 0,001
Rezultat mjerenja,
[Pa s] 10)001,0064,0( 10)002,0053,0( 10)001,0042,0(
Računski su određene konstante A i B: A=0,022 Pa s B=26,995 oC
Jednadžba krivulje: Te
995,26
022,0 (36)
39
Graf 3. Ovisnost η-T za jestivo suncokretovo ulje
40
4.4. Ricinusovo ulje
Gustoća ricinusovog ulja: 3
35
3
/5,93210
10325,9mkg
m
kg
V
mRicinus
Gustoća kuglice: 3
36
3
/63,243710467,1
10576,3mkg
m
kg
V
m
k
k
k
Konstanta kuglice: 225 /1033,1 smk
Tablica 12. Dinamička viskoznost ricinusovog ulja
Mje
renje
CT o4,281 CT o352 CT o403
st sPa st sPa st sPa
1 34,88 0,698 21,49 0,430 15,67 0,314
2 34,98 0,700 22,20 0,444 17,48 0,350
3 34,42 0,689 21,52 0,431 15,72 0,315
4 34,59 0,692 22,30 0,446 16,52 0,331
5 34,52 0,691 21,69 0,434 16,34 0,327
6 34,68 0,694 20,80 0,416 17,01 0,341
7 34,73 0,695 22,53 0,451 15,52 0,311
8 34,69 0,694 21,48 0,430 16,35 0,327
9 34,88 0,698 20,14 0,403 16,55 0,331
10 35,02 0,701 22,61 0,453 17,00 0,340
- - =0,695 - =0,434 - =0,329
Relativna pogreška može se računati tako da se usporedi tablična vrijednost za
dinamički koeficijent viskoznosti na temperaturi od 27 oC [9] i vrijednost koja se računski
može dobiti iz jednadžbe (37) za tu temperaturu:
41
Tablica 13. Relativna pogreška
- sPaC
027
Tablična vrijednost [9] 0,650
Računski dobivena vrijednost (37) 0,790
Relativna pogreška [%] 21,53
Tablica 14. Standardna devijacija i rezultat mjerenja
- CT o4,281 CT o351 CT o401
Standardna devijacija,
[Pa s] 0,004 0,016 0,013
Rezultat
mjerenja, [Pa s] 10)004,0695,0( 10)016,0434,0( 10)013,0329,0(
Računski su određene konstante A i B: A=0,066 Pa s B=67,233 oC
Jednadžba krivulje: Te
233,67
066,0 (37)
42
Graf 4. Ovisnost η-T za ricinusovo ulje
43
4.5. Bademovo ulje
Gustoća bademovog ulja: 3
35
3
/8,83110
10318,8mkg
m
kg
V
mBadem
Gustoća kuglice: 3
36
3
/63,243710467,1
10576,3mkg
m
kg
V
m
k
k
k
Konstanta kuglice: 225 /1033,1 smk
Tablica 15. Dinamička viskoznost bademovog ulja
Mje
renje
CT o281 CT o342 CT o5,363
st sPa st sPa st sPa
1 3,70 0,079 2,42 0,052 2,33 0,050
2 4,10 0,088 2,74 0,059 2,28 0,049
3 3,20 0,068 2,57 0,055 2,29 0,049
4 3,52 0,075 2,63 0,056 2,31 0,049
5 3,72 0,079 2,35 0,050 2,21 0,047
6 3,94 0,084 2,67 0,057 2,34 0,050
7 3,35 0,072 2,71 0,058 2,31 0,049
8 4,04 0,086 2,62 0,056 2,30 0,049
9 3,20 0,068 2,58 0,055 2,32 0,050
10 4,13 0,088 2,45 0,052 2,34 0,050
- - =0,079 - =0,055 - =0,049
Relativna pogreška može se računati tako da se usporedi tablična vrijednost za
dinamički koeficijent viskoznosti na temperaturi od 35 oC [8] i vrijednost koja se računski
može dobiti iz jednadžbe (38) za tu temperaturu:
44
Tablica 16. Relativna pogreška
- sPaC
035
Tablična vrijednost [8] 0,034
Računski dobivena vrijednost (38) 0,050
Relativna pogreška [%] 47,05
Tablica 17. Standardna devijacija i rezultat mjerenja
- CT o281 CT o341 CT o5,361
Standardna devijacija,
[Pa s] 0,008 0,003 0,001
Rezultat mjerenja,
[Pa s] 10)008,0079,0( 10)003,0055,0( 10)001,0049,0(
Računski su određene konstante A i B: A=0,066 Pa s B=67,233 oC
Jednadžba krivulje: Te
311,60
009,0 (38)
45
Graf 5. Ovisnost η-T za bademovo ulje
46
5. Zaključak
Ovaj diplomski rad sastoji se od dva dijela. Prvi dio sve do četvrtog poglavlja odnosi
se isključivo na teoriju te tumačenje nekih osnovnih fizikalnih zakona koji su potrebni za
razumijevanje pojave viskoznosti u tekućinama. Drugi je dio eksperimentalni, odnosno
istraživački. U tom dijelu težište je na što preciznijem objašnjavanju pokusa koji se izvodio te
obradi dobivenih podataka. Također, bilo je potrebno izvesti pokus te je izvršeno mnogo
mjerenja za pet različitih tekućina. Ukupno 150 mjerenja izvršeno je samo za padanje kuglice,
a mjereni su još mase i volumeni tekućina te volumen i masa kuglice. Izvođenje pokusa vrlo
je jednostavno i zanimljivo te je potrebno naglasiti da pokus može izvoditi jedna osoba.
Hopplerov viskozimetar koji je korišten za mjerenja nema dobar sustav za zagrijavanje
jer je gotovo nemoguće postići točno željenu temperaturu pa su mjerenja vršena na različitim
temperaturama i težište eksperimenta stavljeno je na određivanje i dokazivanje zakona po
kojemu koeficijent viskoznosti opada s temperaturom. Taj je zakon eksperimentom i dokazan
i to za svaku od pet različitih tekućina (jednadžba 33). Krivulje se na grafovima razlikuju po
tome koja brže ili sporije opada pa je tako vidljivo da sporije opadaju funkcije koje opisuju
INA Delta motorno ulje i jestivo suncokretovo ulje, a brže one koje opisuju glicerol,
bademovo i ricinusovo ulje. To ovisi o konstanti B koja je različita za svaku tekućinu. Sporije
padajuće funkcije imaju manju konstantu B od tekućina čija funkcija brže opada.
Za glicerol je napravljena usporedba eksperimentalnih vrijednosti s poznatim tabličnim
vrijednostima i najveća je pogreška na sobnoj temperaturi (17,90%), na temperaturi od 37 oC
pogreška je 5,71%, a na 41oC pogreška je samo 0,38%. Dakle, porastom temperature sve je
manje odstupanje od prave vrijednosti, što me osobno iznenadilo, jer kuglica puno brže pada
na većim temperaturama pa je veća mogućnost pogreške pri mjerenju. Efekt viskoznosti je na
višim temperaturama manji pa je možda i to razlog manje pogreške. Tablične vrijednosti za
glicerol su vrijednosti koje su na temperaturi na kojima je izvođen i eksperiment, stoga su
odstupanja mala, što nije slučaj i za ostala ulja gdje je metoda uspoređivanja drugačija pa su
odstupanja veća.
Za ostala ulja relativna pogreška je veća nego za glicerol, čak do 47,05 % za bademovo
ulje, ricinusovo ulje ima pogrešku od 21,53 %, jestivo suncokretovo ulje 30,61 % i INA
Delta SAE 15W-40 ima pogrešku 46,07 %. Razlog tome je način na koji je rađena usporedba
47
sa tabličnom vrijednošću. Podatke za dinamički koeficijent viskoznosti teško je pronaći za
ova ulja. Podaci su pronađeni samo za određene temperature na kojima se nije izravno mjerila
viskoznost u eksperimentu. Te vrijednosti uvrštavane su u jednadžbe za svako ulje te je
izračunata vrijednost za dinamički koeficijent viskoznosti. Vrijednosti koje se tako dobiju
nešto više odstupaju nego što bi odstupale da su izravno mjerene na toj određenoj temperaturi.
To se dogodilo jer jednadžba koja opisuje opadanje koeficijenta viskoznosti sa temperaturom
ne može na tako točan način opisati koeficijent viskoznosti za bilo koju temperaturu. Ta
jednadžba krivulje je ona koja na najbolji mogući način odgovara izmjerenim podacima, što
ne znači da su oni idealni, tako da je zbog toga relativna pogreška za ova ostala ulja nešto
veća nego za glicerol.
Dodatnim računom za glicerol pokazano je da je relativna pogreška nešto veća kada se
računa metodom da se uspoređuje tablična vrijednost sa onom dobivenom iz jednadžbe
krivulje računski. Kada je i za glicerol korištena ta metoda relativna pogreška na 27oC iznosila
je 20,55 %. Dakle, pogreška je veća nego kada su se uspoređivale direktno tablične vrijednosti
i mjerene vrijednosti.
Zbog ovoga se može zaključiti da regresijska krivulja ne opisuje idealno smanjivanje
koeficijenta viskoznosti sa porastom temperature.
Smatram da su mjerenja izvršena precizno što pokazuje i standardna devijacija.
Odstupanja su vrlo mala, a to se može uočiti u rezultatima mjerenja dinamičkog koeficijenta
viskoznosti za svaku tekućinu.
Pokus ne zahtijeva mnogo opreme i jednostavan je za izvođenje. Mogao bi se izvoditi i
u školama kako bi se pokazalo da viskoznost ovisi o temperaturi, odnosno da koeficijent
viskoznosti opada porastom temperature i to se jednostavno vidi kada kuglica brže pada na
većoj temperaturi, odnosno tekućina pruža manji otpor.
48
6. Literatura
[1] Brookfield Engineering Laboratories, Inc.; Operation instructions manual, Falling ball
viscometer .pdf
[2] Đurić, B., Ćulum, Ž.; Fizika 1, Mehanika čvrstih, tečnih i gasovitih tela, Naučna
knjiga Beograd, 1967.
[3] http://www.met.reading.ac.uk/~sws04cdw/viscosity_calc.html [pristupljeno 15.05.
2014.]
[4] http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/pfric.html [pristupljeno 02.03.2014.]
[5] http://wiki.xtronics.com/index.php/Viscosity [pristupljeno 12.02.2014.]
[6] http://en.wikipedia.org/wiki/Viscosity [pristupljeno 15.01.2014.]
[7] http://acta.chem-soc.si/45/45-1-69.pdf (str. 4) [pristupljeno 12.06.2014.]
[8] Fasina, O.O., Colley, Z. ; Viscosity and specific heat of vegetable oils as a function of
temperature: 35oC to 180
oC, International Journal of Food Properties, 2008.
[9] http://www.engineeringtoolbox.com/absolute-viscosity-liquids-d_1259.html
[10] http://www.widman.biz/English/Calculators/Graph.html [pristupljeno 12.06.2014.]
[11] http://www.cactus2000.de/uk/unit/massvis.shtml [pristupljeno 12.06.2014.]
[12] Krauskopf, K.B., Beiser, A.; The Physical Universe (eleventh edition), McGraw-Hill
New York, 2006.
[13] Lončar, G., Andročec, V.; Mehanika tekućina . pdf
[14] Prieve, D.C.; A Course in Fluid Mechanics with Vector Field Theory (electoronic
version .pdf)
[15] Sorić, I.; Dinamika fluida .pdf , Kemijsko-tehnološki fakultet Sveučilišta u Splitu
[16] Voronjec, K., Obradović, N.; Mehanika fluida, Građevinska knjiga Beograd, 1973.
[17] Vuković, B.; Osnove fizike dinamika fluida .ppt
[18] Vuković, B.; Skripta za praktikum iz osnova fizike I .pdf
49
7. Životopis
Mario Jerbić rođen je 23. listopada 1988. godine u Našicama. Osnovnu školu Antuna
Gustava Matoša pohađao je u Čačincima. Nakon završetka osnovne škole, 2003. godine
upisao je opću gimnaziju u Srednjoj školi Marka Marulića u Slatini. Srednju školu završio je
2006. godine i iste godine upisao studij fizike na Odjelu za fiziku u Osijeku, a 2009. završio je
preddiplomski studij fizike i stekao zvanje prvostupnika fizike. Odmah nakon toga upisao je i
diplomski studij fizike i informatike, također na Odjelu za fiziku u Osijeku. Trenutno je
apsolvent na diplomskom studiju fizike i informatike na Odjelu za fiziku te je odabrao temu
„Viskoznost tekućina“ za diplomski rad kod mentora prof. dr. sc. Branka Vukovića i
sumentorice dr. sc. Marine Poje.
Top Related