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UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO FÍSICA ELÉCTRICA

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO

FACULTAD DE INGENIERÍA

ESCUELA DE INGENIERÍA DE SISTEMAS

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ALUMNO:

ROJAS LÓPEZ, JOSÉ YERSON

CURSO:

FÍSICA ELELÉCTRICA

DOCENTE:

ARISTIDES TAVARA APONTE

CICLO:

V

2015


ÍNDICE

INTRODUCCIÓN.......................................................................................................3

NÚMEROS COMPLEJOS........................................................................................4

1. ORÍGEN........................................................................................................4

2. DEFINICIÓN......................................................................................................4

3. APLICACIÓN A LA FÍSICA..................................................................................5

4. REPRESENTACIONES DE UN NÚMERO COMPLEJO...................5

4.1. NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR................................................5

4.2. NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA TRIGONOMÉTRICA.............................7

4.3. NÉMEROS COMPLEJOS EN FORMA EXPONENCIAL............8

4.4. NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA BINÓMICA....................9

Representación gráfica de números complejos......................................9

OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS EN LA FORMA BINÓMICA..........................10

Suma y diferencia de números complejos......................................................10

Multiplicación de números complejos.....................................................................10

5. EJERCICIOS...............................................................................................11

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INTRODUCCIÓN

Podemos pensar en las progresivas ampliaciones de los conjuntos numéricos como el método necesario para resolver ecuaciones algebraicas progresivamente complicadas. Así, el paso de N a Z se justificaría por la necesidad de dar solución a una ecuación como x + 5 = 0, y el paso de Z a Q por la necesidad de dar solución a ecuaciones de la forma 5x = 1. El paso de Q a R es más complicado de explicar en este momento, puesto que es más topológico que algebraico, pero permite además dar solución a ecuaciones como x 2 − 2 = 0. El paso de R a C viene motivado históricamente por la necesidad de trabajar con las soluciones de ecuaciones como x 2 + 1 = 0, es decir, con raíces cuadradas de números negativos. Inicialmente, se trabajaba con dichas raíces, llamadas números imaginarios por Descartes, como paso intermedio hasta llegar a un número real (típicamente elevando el número imaginario al cuadrado en algún momento de los razonamientos). Posteriormente, en los siglos XVIII y XIX, se formaliza la noción de número complejo, lo que convierte a estas entidades algebraicas en “miembros de pleno derecho” de las familias numéricas.

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NÚMEROS COMPLEJOS1. ORÍGEN

El primero en usar los números complejos fue el matemático italiano Girolamo Cardano (1501–1576) quien los usó en la fórmula para resolver las ecuaciones cúbicas. El término “número complejo” fue introducido por el gran matemático alemán Carl Friedrich Gauss (1777–1855) cuyo trabajo fue de importancia básica en álgebra, teoría de los números, ecuaciones diferenciales, geometría diferencial, geometría no euclídea, análisis complejo, análisis numérico y mecánica teórica, también abrió el camino para el uso general y sistemático de los números complejos.

2. DEFINICIÓN

Se puede considerar C como el conjunto de los pares ordenados de números reales z=(x,y) con las siguientes operaciones:

Con estas operaciones C tiene la estructura de cuerpo conmutativo

Elemento neutro:

Elemento opuesto:

Elemento unidad:

Elemento inverso:

siempre que

Nótese que el complejo (0,1) verifica , es decir, (link a explicación de extensión de R añadiendo raíces de ecuaciones algebraicas

El cuerpo de los complejos es lo que se denomina un cuerpo algebraicamente cerrado, es decir, toda ecuación algebraica (polinómica) con coeficientes complejos tiene siempre al menos una raíz compleja (y por tanto las tiene todas).

El cuerpo de los complejos no es un cuerpo ordenado. No puede darse en C

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una relación de orden total que respete las operaciones de suma y producto. No tiene por tanto sentido comparar dos números complejos en la manera en que estamos acostumbrados a hacer con los reales.

3. APLICACIÓN A LA FÍSICA

Los números complejos se usan en ingeniería electrónica y en otros campos para una descripción adecuada de las señales periódicas variables (en el Análisis de Fourier). En una expresión del tipo podemos pensar en como la amplitud y en como la fase de una onda sinusoidal de una frecuencia dada. Cuando representamos una corriente o un voltaje de corriente alterna (y por tanto con comportamiento sinusoidal) como la parte real de una función de variable compleja de la

forma donde ω representa la frecuencia angular y el número complejo z nos da la fase y la amplitud, el tratamiento de todas las fórmulas que rigen las resistencias, capacidades e inductores pueden ser unificadas introduciendo resistencias imaginarias para las dos últimas (ver redes eléctricas). Ingenieros eléctricos y físicos usan la letra j para la unidad imaginaria en vez de i que está típicamente destinada a la intensidad de corriente.

El campo complejo es igualmente importante en mecánica cuántica cuya matemática subyacente utiliza Espacios de Hilbertde dimensión infinita sobre C (ℂ).

En la relatividad especial y la relatividad general, algunas fórmulas para la métrica del espacio-tiempo son mucho más simples si tomamos el tiempo como una variable imaginaria.

4. REPRESENTACIONES DE UN NÚMERO COMPLEJO 4.1. NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR Módulo de un número complejo

El módulo de un número complejo es el módulo del vector determinado por el origen de coordenadas y su afijo. Se designa por |z|.

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http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio-tiempo

http://es.wikipedia.org/wiki/Relatividad_general

http://es.wikipedia.org/wiki/Relatividad_especial

http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_de_Hilbert

http://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_cu%C3%A1ntica

http://es.wikipedia.org/wiki/Redes_el%C3%A9ctricas

http://es.wikipedia.org/wiki/Inductor

http://es.wikipedia.org/wiki/Condensador_(el%C3%A9ctrico)

http://es.wikipedia.org/wiki/Resistencia_el%C3%A9ctrica

http://es.wikipedia.org/wiki/Frecuencia_angular

http://es.wikipedia.org/wiki/Frecuencia

http://es.wikipedia.org/wiki/Onda_sinusoidal

http://es.wikipedia.org/wiki/Fase_(onda)

http://es.wikipedia.org/wiki/Amplitud

http://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_de_Fourier

http://es.wikipedia.org/wiki/Ingenier%C3%ADa_electr%C3%B3nica


Argumento de un número complejo

El argumento de un número complejo es el ángulo que forma el vector con el eje real. Se designa por arg(z).

.

Expresión de un número complejo en forma polar. z = rα

4.2. NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA TRIGONOMÉTRICA

A partir de la forma polar es muy fácil pasar a una nueva forma denominada trigonométrica.

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a + bi = rα = r (cos α + i sen α)

Ejemplos: Pasar a la forma polar y trigonométrica:

z = 260º = 2(cos 60º + i sen 60º)

z = 2120º

=2(cos 120º + i sen 120º)

z = 2240º

=2(cos 240º + i sen 240º)

z = 2300º

=2(cos 300º + i sen 300º)

z = 2 z = −2

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Binómica z = a + bi

Polar z = rα

trigonométrica z = r (cos α + i sen α)


z = 20º

=2(cos 0º + i sen 0º)

z = 2180º

=2(cos 180º + i sen 180º)z = 2i

z = 290º

=2(cos 90º + i sen 90º)

z = −2i

z = 2270º

=2(cos 270º + i sen 270º)

4.3. NÉMEROS COMPLEJOS EN FORMA EXPONENCIAL

Una variante de la forma polar se obtiene al tener en cuenta la conocida como fórmula de Euler:

e iθ=cosθ+i sinθ

Para. θ∈R

Esto nos permite escribir un número complejo en la forma siguiente, denominada forma exponencial:

Z=¿Z∨eiθ

Esta nueva forma es especialmente cómoda para expresar productos y cocientes ya que sólo hay que tener en cuenta las propiedades de la función exponencial (para multiplicar se suman exponentes y para dividir se restan). En particular, para potencias con exponentes enteros se tiene.

Zn=¿Z∨¿n einθ¿

Esto nos permite dar una nueva expresión para el inverso de un complejo no nulo en la forma.

4.4. NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA BINÓMICA Al número a + bi le llamamos número complejo en forma binómica.

El número a se llama parte real del número complejo.

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El número b se llama parte imaginaria del número complejo.

Si b = 0 el número complejo se reduce a un número real ya que a + 0i = a.

Si a = 0 el número complejo se reduce a bi, y se dice que es un número imaginario puro.

El conjunto de todos números complejos se designa por .

Los números complejos a + bi y −a − bi se llaman opuestos.

Los números complejos z = a + bi y z = a − bi se llaman conjugados.

Dos números complejos son iguales cuando tienen la misma componente real y la misma componente imaginaria.

Representación gráfica de números complejos

Los números complejos se representan en unos ejes cartesianos. El eje X se llama eje real y el Y, eje imaginario. El número complejo a + bi se representa:

Por el punto (a,b), que se llama su afijo,

z

Los afijos de los números reales se sitúan sobre el eje real, X. Y los imaginarios sobre el eje imaginario, Y.

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OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS EN LA FORMA BINÓMICA

Suma y diferencia de números complejos

La suma y diferencia de números complejos se realiza sumando y restando partes reales entre sí y partes imaginarias entre sí.

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i

(5 + 2i) + ( − 8 + 3i) − (4 − 2i) = (5 − 8 − 4) + (2 + 3 + 2)i = −7 + 7i

Multiplicación de números complejos

El producto de los números complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que i2 = −1.

(a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i

(5 + 2i) · (2 − 3i) =10 − 15i + 4i − 6 i2 = 10 − 11i + 6 = 16 − 11i

División de números complejos

El cociente de números complejos se hace racionalizando el denominador; esto es, multiplicando numerador y denominador por el conjugado de éste.

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5. EJERCICIOS 5.1. calcular todas las raíces de la ecuación X6+1=0

5.2. Realiza las siguientes operaciones:

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5.3. Calcula la siguiente operación dando el resultado en forma polar

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5.4. Calcula el valor de cociente, y representa los afi jos de sus

raíces cúbicas.

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5.5. Escribe en las formas polar y trigonométrica, los conjugados y los opuestos de

1

2

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Solución

5.6. Expresa en forma polar y binómica un complejo cuyo cubo

sea:

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