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Unidad imaginaria

La unidad imaginaria es el número y se designa por la

letra i. 

Números imaginarios

Un número imaginario se denota por bi , donde :

b es un número real

i es la unidad imaginaria

Con los números imaginarios podemos calcular raíces con índice

par y radicando negativo. x2 + 9 = 0

Potencias de la unidad imaginaria

i 0 = 1 

i 1 = i  

i 2 = 1 

i 3 = i  

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i 4 = 1 

Los valores se repiten de cuatro en cuatro, por eso, para saber

cuánto vale una determinada potencia de i , se divide el exponente entre

4, y el resto es el exponente de la potencia equivalente a la dada.

i 22 

i 22 = (i 4)5 · i 2 = 1

i 27 = i  

Números complejos en forma binómica

Al número a + bi  le llamamos número complejo en forma

binómica.

El número a se llama parte real de l número complejo.

El número b se llama parte imaginaria de l número complejo.

Si b = 0 el número complejo se reduce a un número real ya que

a + 0i = a.  Si a = 0 el número complejo se reduce a bi , y se dice que es

un número imaginario puro.

El conjunto de todos números complejos se designa por .

Los números complejos a + bi y a bi se llaman opuestos .

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Los números complejos z = a + b i y z = a bi se

llaman conjugados .

Dos números complejos son iguales cuando tienen la misma

componente real y la misma componente imaginaria.  

Representación gráfica de números complejos

Los números complejos se representan en unos ejes cartesianos.

El eje X se llama eje real y el Y, eje imaginario. El número complejo

a + bi se representa:

1Por el punto (a,b), que se llama su afijo,

z

2 Mediante un vector de origen (0, 0) y extremo (a, b). 

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Los afijos de los números reales se sitúan sobre el eje real, X.

Y los imaginarios sobre el eje imaginario, Y.

Operaciones de números complejos en la forma binómica

Suma y diferencia de números complejos

La suma y diferencia de números complejos se realiza sumando y

restando partes reales entre sí y partes imaginarias entre sí.  

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(a + bi ) + (c + d i ) = (a + c) + (b + d) i  

(a + bi ) (c + di ) = (a c) + (b d)i  

(5 + 2 i ) + ( 8 + 3 i ) (4 2 i ) =

= (5 8 4) + (2 + 3 + 2) i = 7 + 7i  

Multiplicación de números complejos El producto de los números complejos se realiza aplicando la

propiedad distributiva del producto respecto de la suma y teniendo en

cuenta que i 2 = 1.

(a + bi ) · (c + d i ) = (ac bd) + (ad + bc) i  

(5 + 2 i ) · (2 3 i ) =

= 10 15 i + 4 i   6 i 2 = 10 11 i + 6 = 16 11 i  

División de números complejos El cociente de números complejos se hace racionalizando el

denominador ; esto es, multiplicando numerador y denominador por el

conjugado de éste.

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Números complejos en forma polar

Módulo de un número complejo

El módulo de un número complejo es el módulo del vector

determinado por el origen de coordenadas y su afijo . Se designa

por |z| .

Argumento de un número complejo

El argumento de un número complejo es el ángulo que forma

el vector con el eje real . Se designa por arg(z).

.

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Expresión de un número complejo en forma polar.

z = r 

|z| = r r es el módulo.

arg(z) = es el argumento.

Ejemplos

Pasar a la forma polar:

z = 260 º 

z = 2120º 

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z = 2240º 

z = 2300º 

z = 2 

z = 20º  

z = 2 

z = 2180º 

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z = 2i  

z = 290 º 

z = 2i  

z = 2270º 

Pasar a la forma binómica: z = 2120º 

Para pasar de la forma polar a la binómica, tenemos que pasar en

primer lugar a la forma trigonométrica:

r = r (cos + i sen ) 

z = 2 · (cos 120º + i sen 120º) 

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z =1 0º = 1 z =1 180º = 1 

z =1 90º = i  

z =1 270º = i  

Números complejos iguales, conjugados, opuestos e

inversos

Números complejos

iguales

Dos números complejos son iguales si tienen el mismo módulo y

el mismo argumento.

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Números complejos conjugados

Dos números complejos son conjugados si tienen el mismo

módulo y el opuestos sus argumento.

Números complejos opuestos

Dos números complejos son opuestos si tienen el mismo

módulo y sus argumentos se diferencian en radianes.

Números complejos inversos

El inverso de un número complejo no nulo, tiene por módulo el

inverso del módulo y por argumento su opuesto .

Producto y cociente de complejos en forma polar

Multiplicación de complejos en forma polar

La multiplicación de dos números complejos es otro número

complejo tal que:

Su módulo es el producto de los módulos. 

Su argumento es la suma de los argumentos.  

645° · 315° = 1860 ° 

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Producto por un complejo de módulo 1

Al multiplicar un número complejo z = r por 1 se gira z un

ángulo alrededor del origen. 

r · 1 = r +  

División de complejos en forma polar

La división de dos números complejos es otro número

complejo tal que:

Su módulo es el cociente de los módulos. 

Su argumento es la diferencia de los argumentos.  

645° : 315 ° = 230 ° 

Potencia de número complejo

La potencia enésima de número complejo es otro número

complejo tal que:

Su módulo es la potencia n-ésima del módulo. 

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Su argumento es n veces el argumento dado.  

(230 °)4 = 16120° 

Raíz de números complejos

La raíz enésima de número complejo es otro número

complejo tal que:

Su módulo es la en raíz enésima del módulo. 

Su argumento es:

k = 0,1 ,2 ,3, (n-1)

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Conversión de coordenadas polares a cartesianas

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x = r · cos  

y = r · sen  

Ejemplos

2120º 

10º = (1, 0) 

1180º = (1, 0) 

190º = (0, 1) 

1270º = (0 , 1)  

Conversión de coordenadas cartesianas a polares

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Ejemplos

260 º 

2120º 

2240º 

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2300º 

(2, 0) 

20º  

(2, 0) 

2180º 

(0, 2) 

290 º 

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(0, 2 ) 

2270º 

Números complejos en forma trigonométrica

a + bi = r = r (cos + i sen ) 

Binómica z = a + bi 

Polar z = r  

trigonométrica z = r (cos + i sen ) 

Pasar a la forma polar y trigonométrica: 

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z = 260 º 

z = 2 · (cos 60º + i sen 60º)  

z = 2120º 

z = 2 · (cos 120º + i sen 120º)  

z = 2240º 

z = 2 · (cos 240º + i sen 240º)  

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z = 2300º 

z = 2 · (cos 300º + i sen 300º)  

z = 2 

z = 20º  

z = 2 · (cos 0º + i sen 0º)  

z = 2 

z = 2180º 

z = 2 · (cos 180º + i sen 180º)  

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z = 2i  

z = 290 º 

z = 2 · (cos 90º + i sen 90º)  

z = 2i  

z = 2270º 

z = 2 · (cos 270º + i sen 270º)  

Escribe en forma binómica: z = 2120º 

z = 2 · (cos 120º + i sen 120º) 

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z =1 0º = 1 z =1 180º = 1 

z =1 90º = i  

z =1 270º = i  

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Ejercicios de números complejos

1 Calcular todas las raíces de la ecuación: x6 + 1 = 0

2 Realiza las siguientes operaciones:

1  

2  

3  

4  

3 Resuelve la siguiente raíz, expresando los resultados en forma

polar.

4Escribe una ecuación de segundo grado que tenga por soluciones 1

+ 2i y su conjugado.

5Calcula , dando el resultado en forma polar.

6 Calcula el valor de , y representa los afijos de sus raíces

cúbicas.

7 Expresa en forma polar y binómica un complejo cuyo cubo sea:

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8 Expresa en función de cos y sen :

cos 5 y sen 5 

9 Escribe en las formas polar y trigonométrica, los conjugados y los

opuestos de:

14 + 4i  

22 + 2i  

10 Calcular todas las raíces de la ecuación: x5 + 32 = 0

11 Expresa en función de cos y sen :

cos 3 y sen 3 

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SOLUCIÓN EJERCICIOS NÚMEROS COMPLEJOS 

1

Calcular todas las raíces de la ecuación: x6 + 1 = 0

2

Realiza las siguientes operaciones:

1  

2  

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3  

4  

3

Resuelve la siguiente raíz, expresando los resultados en forma polar.

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4

Escribe una ecuación de segundo grado que tenga por soluciones 1 +

2i y su conjugado.

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Calcula , dando el resultado en forma polar.

6

Calcula el valor de , y representa los afijos de sus raíces

cúbicas.

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Expresa en forma polar y binómica un complejo cuyo cubo sea:

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8

Expresa en función de cos y sen :

cos 5 y sen 5 

Binomio de Newton 

Fórmula de Moivre 

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9

Escribe en las formas polar y trigonométrica, los conjugados y los

opuestos de:

14 + 4i  

22 + 2i  

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10

Calcular todas las raíces de la ecuación: x5 + 32 = 0

11

Expresa en función de cos y sen :

cos 3 y sen 3 

Binomio de Newton 

Fórmula de Moivre 

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