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Unidad imaginaria
La unidad imaginaria es el número y se designa por la
letra i.
Números imaginarios
Un número imaginario se denota por bi , donde :
b es un número real
i es la unidad imaginaria
Con los números imaginarios podemos calcular raíces con índice
par y radicando negativo. x2 + 9 = 0
Potencias de la unidad imaginaria
i 0 = 1
i 1 = i
i 2 = 1
i 3 = i
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i 4 = 1
Los valores se repiten de cuatro en cuatro, por eso, para saber
cuánto vale una determinada potencia de i , se divide el exponente entre
4, y el resto es el exponente de la potencia equivalente a la dada.
i 22
i 22 = (i 4)5 · i 2 = 1
i 27 = i
Números complejos en forma binómica
Al número a + bi le llamamos número complejo en forma
binómica.
El número a se llama parte real de l número complejo.
El número b se llama parte imaginaria de l número complejo.
Si b = 0 el número complejo se reduce a un número real ya que
a + 0i = a. Si a = 0 el número complejo se reduce a bi , y se dice que es
un número imaginario puro.
El conjunto de todos números complejos se designa por .
Los números complejos a + bi y a bi se llaman opuestos .
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Los números complejos z = a + b i y z = a bi se
llaman conjugados .
Dos números complejos son iguales cuando tienen la misma
componente real y la misma componente imaginaria.
Representación gráfica de números complejos
Los números complejos se representan en unos ejes cartesianos.
El eje X se llama eje real y el Y, eje imaginario. El número complejo
a + bi se representa:
1Por el punto (a,b), que se llama su afijo,
z
2 Mediante un vector de origen (0, 0) y extremo (a, b).
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Los afijos de los números reales se sitúan sobre el eje real, X.
Y los imaginarios sobre el eje imaginario, Y.
Operaciones de números complejos en la forma binómica
Suma y diferencia de números complejos
La suma y diferencia de números complejos se realiza sumando y
restando partes reales entre sí y partes imaginarias entre sí.
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(a + bi ) + (c + d i ) = (a + c) + (b + d) i
(a + bi ) (c + di ) = (a c) + (b d)i
(5 + 2 i ) + ( 8 + 3 i ) (4 2 i ) =
= (5 8 4) + (2 + 3 + 2) i = 7 + 7i
Multiplicación de números complejos El producto de los números complejos se realiza aplicando la
propiedad distributiva del producto respecto de la suma y teniendo en
cuenta que i 2 = 1.
(a + bi ) · (c + d i ) = (ac bd) + (ad + bc) i
(5 + 2 i ) · (2 3 i ) =
= 10 15 i + 4 i 6 i 2 = 10 11 i + 6 = 16 11 i
División de números complejos El cociente de números complejos se hace racionalizando el
denominador ; esto es, multiplicando numerador y denominador por el
conjugado de éste.
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Números complejos en forma polar
Módulo de un número complejo
El módulo de un número complejo es el módulo del vector
determinado por el origen de coordenadas y su afijo . Se designa
por |z| .
Argumento de un número complejo
El argumento de un número complejo es el ángulo que forma
el vector con el eje real . Se designa por arg(z).
.
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Expresión de un número complejo en forma polar.
z = r
|z| = r r es el módulo.
arg(z) = es el argumento.
Ejemplos
Pasar a la forma polar:
z = 260 º
z = 2120º
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z = 2240º
z = 2300º
z = 2
z = 20º
z = 2
z = 2180º
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z = 2i
z = 290 º
z = 2i
z = 2270º
Pasar a la forma binómica: z = 2120º
Para pasar de la forma polar a la binómica, tenemos que pasar en
primer lugar a la forma trigonométrica:
r = r (cos + i sen )
z = 2 · (cos 120º + i sen 120º)
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z =1 0º = 1 z =1 180º = 1
z =1 90º = i
z =1 270º = i
Números complejos iguales, conjugados, opuestos e
inversos
Números complejos
iguales
Dos números complejos son iguales si tienen el mismo módulo y
el mismo argumento.
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Números complejos conjugados
Dos números complejos son conjugados si tienen el mismo
módulo y el opuestos sus argumento.
Números complejos opuestos
Dos números complejos son opuestos si tienen el mismo
módulo y sus argumentos se diferencian en radianes.
Números complejos inversos
El inverso de un número complejo no nulo, tiene por módulo el
inverso del módulo y por argumento su opuesto .
Producto y cociente de complejos en forma polar
Multiplicación de complejos en forma polar
La multiplicación de dos números complejos es otro número
complejo tal que:
Su módulo es el producto de los módulos.
Su argumento es la suma de los argumentos.
645° · 315° = 1860 °
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Producto por un complejo de módulo 1
Al multiplicar un número complejo z = r por 1 se gira z un
ángulo alrededor del origen.
r · 1 = r +
División de complejos en forma polar
La división de dos números complejos es otro número
complejo tal que:
Su módulo es el cociente de los módulos.
Su argumento es la diferencia de los argumentos.
645° : 315 ° = 230 °
Potencia de número complejo
La potencia enésima de número complejo es otro número
complejo tal que:
Su módulo es la potencia n-ésima del módulo.
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Su argumento es n veces el argumento dado.
(230 °)4 = 16120°
Raíz de números complejos
La raíz enésima de número complejo es otro número
complejo tal que:
Su módulo es la en raíz enésima del módulo.
Su argumento es:
k = 0,1 ,2 ,3, (n-1)
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Conversión de coordenadas polares a cartesianas
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x = r · cos
y = r · sen
Ejemplos
2120º
10º = (1, 0)
1180º = (1, 0)
190º = (0, 1)
1270º = (0 , 1)
Conversión de coordenadas cartesianas a polares
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Ejemplos
260 º
2120º
2240º
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2300º
(2, 0)
20º
(2, 0)
2180º
(0, 2)
290 º
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(0, 2 )
2270º
Números complejos en forma trigonométrica
a + bi = r = r (cos + i sen )
Binómica z = a + bi
Polar z = r
trigonométrica z = r (cos + i sen )
Pasar a la forma polar y trigonométrica:
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z = 260 º
z = 2 · (cos 60º + i sen 60º)
z = 2120º
z = 2 · (cos 120º + i sen 120º)
z = 2240º
z = 2 · (cos 240º + i sen 240º)
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z = 2300º
z = 2 · (cos 300º + i sen 300º)
z = 2
z = 20º
z = 2 · (cos 0º + i sen 0º)
z = 2
z = 2180º
z = 2 · (cos 180º + i sen 180º)
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z = 2i
z = 290 º
z = 2 · (cos 90º + i sen 90º)
z = 2i
z = 2270º
z = 2 · (cos 270º + i sen 270º)
Escribe en forma binómica: z = 2120º
z = 2 · (cos 120º + i sen 120º)
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z =1 0º = 1 z =1 180º = 1
z =1 90º = i
z =1 270º = i
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Ejercicios de números complejos
1 Calcular todas las raíces de la ecuación: x6 + 1 = 0
2 Realiza las siguientes operaciones:
1
2
3
4
3 Resuelve la siguiente raíz, expresando los resultados en forma
polar.
4Escribe una ecuación de segundo grado que tenga por soluciones 1
+ 2i y su conjugado.
5Calcula , dando el resultado en forma polar.
6 Calcula el valor de , y representa los afijos de sus raíces
cúbicas.
7 Expresa en forma polar y binómica un complejo cuyo cubo sea:
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8 Expresa en función de cos y sen :
cos 5 y sen 5
9 Escribe en las formas polar y trigonométrica, los conjugados y los
opuestos de:
14 + 4i
22 + 2i
10 Calcular todas las raíces de la ecuación: x5 + 32 = 0
11 Expresa en función de cos y sen :
cos 3 y sen 3
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SOLUCIÓN EJERCICIOS NÚMEROS COMPLEJOS
1
Calcular todas las raíces de la ecuación: x6 + 1 = 0
2
Realiza las siguientes operaciones:
1
2
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3
4
3
Resuelve la siguiente raíz, expresando los resultados en forma polar.
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4
Escribe una ecuación de segundo grado que tenga por soluciones 1 +
2i y su conjugado.
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5
Calcula , dando el resultado en forma polar.
6
Calcula el valor de , y representa los afijos de sus raíces
cúbicas.
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7
Expresa en forma polar y binómica un complejo cuyo cubo sea:
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8
Expresa en función de cos y sen :
cos 5 y sen 5
Binomio de Newton
Fórmula de Moivre
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9
Escribe en las formas polar y trigonométrica, los conjugados y los
opuestos de:
14 + 4i
22 + 2i
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10
Calcular todas las raíces de la ecuación: x5 + 32 = 0
11
Expresa en función de cos y sen :
cos 3 y sen 3
Binomio de Newton
Fórmula de Moivre