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1 NUMEROS COMPLEJOS

1.1 Definición y origen de los números complejos. Todo número complejo (o imaginario) es una expresión de la forma a+bi donde a es la parte real y bi es la parte imaginaria. Tanto a como b son reales, e i=√−1 . Los números complejos aparecen al tratar de resolver ecuaciones del tipo x2+1=0. Despejando a x se obtiene x=√−1 , que se escribe x=i . El origen de los números complejos se remonta al siglo XVI en que Cardano llamó raíz ficticia a las raíces negativas de una ecuación. Otros matemáticos posteriormente las llamaron raíces falsas o raíces sordas. En 1572 Rafael Bombelli señaló que eran necesarias las cantidades imaginarias para resolver ecuaciones algebraicas que tuvieran la forma x2+c=0., donde c es cualquier número positivo.

El brillante matemático Leonhard Euler designó por ia √−1 . El símbolo i expresa en forma precisa una idea abstracta, ya que se puede preguntar ¿Existe algún número que se multiplique por sí mismo y de −1?

Los números complejos se pueden graficar en el plano complejo creado por el gran matemático Gauss, quien colocó en el eje x la parte a, y en el eje y la parte bi , es decir, el eje x o eje real (Re) representa la parte real de un número complejo y el eje y o eje imaginario (Im) la parte imaginaria bi del número complejo. Otra forma de representar un número complejo es el par real (a ,b ) . ℑ

b .(a ,b )

(0 ,0 ) a ℜ

Gráfica 1: Representación del número complejo (a+bi) . De acuerdo a la gráfica anterior los números reales están contenidos en los números complejos, ya que en el plano R2 el número complejo (a ,0 ) coincide con el número real a,

2

donde a∈R . En el caso de los números complejos de la forma (0 , b )son llamados imaginarios puros.

1.2 Operaciones fundamentales con números complejos. Los números complejos cumplen las reglas del álgebra ya que se pueden sumar, restar, multiplicar, dividir (excepto la división por 0+0i ¿ . Antes de ver la suma de números complejos escribiremos en función de i diferentes expresiones:

1.√−9=√ (9 ) (−1 )=√9√−1=3 i , recordar que √−1=i

2.√−4−4=√−8=√ (8 )(−1)=√ (4 )(2)(−1)=√4 √2√−1=2√2i Es√2i NO√2i

3.√−104+23=√−81=√ (81 )(−1)=√81√−1=9 i

4.5√−16=5√ (16 ) (−1 )=5√16√−1=5 ∙4 ∙ i=20 i

5.√−36+9√−49=√ (36 ) (−1 )+9√(49 ) (−1 )=√36√−1+9√49√−1=6 ∙i+9 ∙7 ∙i√−36+9√−49=6 i+63 i=69 i

6.−3√−32=−3√(16 )(2) (−1 )=−3√16√2√−1=−3 ∙4 ∙√2 i=−12√2 i Es√2i NO√2i

7.4 √−50=4 √(50 ) (−1 )=4√ (25 )(2) (−1 )=4 √25√2√−1=4 ∙5√2i=20 √2 i Es√2i NO√2i

8.6√−18=6 √(18 ) (−1 )=6 √(9 )(2) (−1 )=6√9√2√−1=6 ∙3√2 i=18√2i Es√2i NO√2i

9.−9√−128=−9√ (128 ) (−1 )=−9√(64 )(2)(−1 )=−9√64√2√−1=−9 ∙8√2 i=−72√2 i

Conlos resultadosde los ejercicios7 ,8 y 9 resuelvael ejercicio 10.

10.4 √−50+6 √−18−9√−128=20√2i+18√2i−72√2 i=(20+18−72 )√2 i=−34√2i

COMPRUEBE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS.

11.√−125=5√5 i

12.− 310

√−200=−3√2i

13.√−12

=√22i

14.8√−49100

−9√−1625

=−165

i

3

15. √−8+ 3√−82

=√2 i−1

Suma de un número complejo

Para sumar dos números complejos se suma primero la parte real del primer número con la parte real del segundo. Luego se suma la parte imaginaria del primer número con la parte imaginaria del segundo. En forma de ecuación queda como sigue:

(a+bi )+ (c+di )=(a+c )+ (bi+di )(a+bi )+ (c+di )=(a+c )+ (b+d ) i

Por ejemplo: 16. (3+7 i )+ (2+4 i )= (3+2 )+ (7 i+4 i )=5+ (7+4 ) i=5+11 i

La suma anterior se realizó en tres pasos, se recomienda al principio practicar los tres pasos, con un poco de práctica podemos realizar solo los dos últimos pasos, cuando tengamos varios ejercicios resueltos podremos aplicar directamente el último paso. Veamos otros ejemplos con dos pasos:

17. (8−11 i )+(13+2 i )=(8+13 )+ (−11+2 ) i=21−9i

18. (−6+9 i )+(5−3 i )= (−6+5 )+(9−3 ) i=−1+6 i

19. (−4−6 i )+(−7+8i )= (−4−7 )+ (−6+8 ) i=−11+2i

20. (−10−4 i )+(−1−9 i )= (−10−1 )+(−4−9 ) i=−11−13 i

21.( 23+ 67 i)+(−13 − 47i)=( 23−13 )+( 67−47 ) i=13 + 2

7i

22.( 67 + 58i)+( 23−49 i)=( 67+ 23 )+( 58−49 ) i

Al resolver fracciones es posible hacerlo con la calculadora, en este ejercicio lo haremos paso a paso en forma manual, y así obtenemos un resultado exacto.

67+ 23=18+14

21=3221 ( 58−49 )i=( 45−3272 ) i=1372 i

22.( 67 + 58i)+( 23−49 i)=3221+ 1372 i

Observe que el resultado anterior está en fracciones por lo que es exacto, si usamos decimales el resultado NO es exacto. Veamos el caso de:

4

3221

=1.523809523809523809….

En el caso anterior se puede reportar el resultado como: 1.5238095 ó 1.5238 ó 1.52 los cuales no son iguales y NO son exactos. Es por esto que debemos siempre tratar de dar resultados en fracciones (quebrados) y no en decimales. Resolvamos otro ejercicio. RESUELVA EL SIGUIENTE EJERCICIO.

23.( 310−14 i)+(−67 − 811

i)=¿

24. (4 a+7bi )+(−4 a−5bi )=(4 a−4a )+ (7 b−5b )i=2bi 25. (−10a+3bi )+(4 a−3bi )=(−10a+4a )+(3b−3b )i=−6 a

26. (7+√−20 )+(−11−√−125 )=(7+√(4 ) (5 )(−1))+(−11−√(25 ) (5 )(−1))(7+√−20 )+ (−11−√−125 )=(7+√4√5√−1 )+(−11−√25√5√−1 ) (7+√−20 )+ (−11−√−125 )=(7+2√5 i )+ (−11−5√5 i )26. (7+√−20 )+(−11−√−125 )=(7−11 )+(2−5 )√5 i=−4−3√5 i

Resta de un número complejo Para restar dos números complejos hay dos formas para hacerlo: La primera es que se le resta a la parte real del primer número la parte real del segundo. Luego se resta a la parte imaginaria del primer número la parte imaginaria del segundo. En forma de ecuación queda como sigue:

(a+bi )−(c+di )= (a−c )+(bi−di )(a+bi )−(c+di )= (a−c )+(b−d ) i

Resolvamos varios ejemplos: 27. (4+7 i )−(6+3 i )=(4−6 )+(7 i−3 i )=−2+(7−3 ) i=−2+4 i

28. (15+4 i )−(9−i )=(15−9 )+ [4−(−1)] i=6+5 i

Para resolver el ejercicio anterior se aplicó la ley de los signos ¿

29. (−11+2 i )−(4−14 i)=(−11−4 )+ [2−(−14)] i=−15+16 i

30. (−9−8i )−(−13+i )=[−9−(−13) ]+(−8−1 ) i=4−9 i

31. (−17−15 i )−(−12−19 i)=[−17−(−12)]+ [−15−(−19)] i=−5+4 i

5

32.(4+ 35 i)−( 67−2i)=(4−67 )+[ 35− (−2 )]iResolvamos las fracciones de este ejercicio paso a paso en forma manual:

4−67=41−67=28−6

7=227 [ 35− (−2 )]i=( 35+ 21 ) i=(3+105 ) i=135 i

32.(4+ 35 i)−( 67−2i)=227 + 135i

33.( 32+ 57 i)−( 25−49 i)=( 32−25 )+[ 57−(−49 )]i=( 32−25 )+( 57 + 49 ) i

Al resolver fracciones es posible hacerlo con la calculadora, en este ejercicio lo haremos paso a paso en forma manual, y así obtenemos un resultado exacto.

32−25=15−4

10=1110 ( 57 + 4

9 )i=( 45+2863 )i=7363 i

33.( 32+ 57 i)−( 25−49 i)= 1110 +7363

i

RESUELVA EL SIGUIENTE EJERCICIO.

34.(−89 +1011

i)−(−34 −56i)=¿

La segunda forma de restar números complejos es usar las leyes de los signos para cambiar el signo a la parte real e imaginaria del segundo número complejo con lo que la ecuación se transforma en una suma de números complejos, esto es muy útil, en especial cuando hay signos negativos en el segundo número complejo. En forma de ecuación queda así:

(a+bi )−(c+di )= (a+bi )+(−c−di )(a+bi )−(c+di )= (a−c )+(b−d ) i

Resolveremos con la segunda forma algunos de los ejercicios que hicimos con la primera forma, observe que se requiere de un paso adicional para hacer el cambio de signo en el segundo número complejo quedando la ecuación como suma de dos números complejos en vez de resta: 35. (4+7 i )−(6+3 i )=(4+7 i )+(−6−3 i )=(4−6)+(7−3 ) i=−2+4 i

36. (15+6 i )−(9−i )=(15+6 i )+(−9+i )=(15−9 )+ (6+1 ) i=6+7 i

6

37. (−11+2 i )−(4−14 i )=(−11+2 i )+ (−4+14¿ ) i=(−11−4 )+(2+14 )i=−15+16 i

RESUELVA LOS SIGUIENTES EJERCICIOS.

38. (−2−8 i )−(−15+4 i )=¿ 39. (−12−17 i )−(6−9 i)=¿

40. (5+ 27 i)−( 913−4 i)=¿

41. (−14 −67i)−(−1316 − 5

11i)=¿

Si comparamos las dos formas de restar números complejos aunque la segunda tiene un paso adicional (que es transformar una resta en suma a través del cambio de signo del segundo número complejo) puede ser más útil que la primera forma, por no tener que estar al pendiente de los signos.

Multiplicación de números complejos

Para multiplicar dos números complejos se procede a multiplicar como si se tratase del producto de dos binomios. Uno de los términos tendrá i2 , donde i2 es equivalente a:

i2=(i ) (i )=√−1√−1=(−1 )12 (−1 )

12=(−1 )

12+12=(−1 )

22=−1.

En forma de ecuación: (a+bi ) (c+di )=ac+adi+bci+bd i2

(a+bi ) (c+di )=ac+bd (−1 )+adi+bci=(ac−bd )+ (ad+bc ) i

Resolvamos algunos ejemplos:

42. (1+2 i ) (5+4 i )=5+4 i+10i+8 i2=5+8 (−1 )+4 i+10 i(1+2 i ) (5+4 i )=5−8+(4+10) i=−3+14 i

Observe que i2 se sustituyó en la ecuación por −1. Siempre se debe hacer así.43. (3+4 i ) (6−5 i )=18−15i+24 i−20i2=18−20 (−1 )−15 i+24 i(3+4 i ) (6−5 i )=18+20+(−15+24 )i=38+9i

Para resolver el ejercicio anterior se aplicó la ley de los signos ¿

44. (2−7i ) (−1+4 i )=−2+8 i+7 i−28 i2=−2−28 (−1 )+8 i+7 i(2−7 i ) (−1+4 i)=−2+28+(8+7) i=26+15 i

COMPRUEBE LAS SIGUIENTESMULTIPLICACIONES

7

45. (−4−8 i) (−3+9i )=84−12i

46. (−5−3 i) (−4−7 i )=−1+47 i

47. (−1−4 i ) (−3+5 i ) (2+3 i )=(3−5 i+12 i−20 i2 ) (2+3 i )(−1−4 i ) (−3+5 i ) (2+3 i )=[3−20 (−1 )−5 i+12 i ] (2+3 i )(−1−4 i ) (−3+5 i ) (2+3 i )=[3+20+(−5+12)i ] (2+3 i)=(23+7 i ) (2+3 i )(−1−4 i ) (−3+5 i ) (2+3 i )=46+69 i+14 i+21 i2=46+21 (−1 )+69i+14 i(−1−4 i ) (−3+5 i ) (2+3 i )=46−21+(69+14 ) i=25+83 i

Observe que en el ejercicio anterior se inicia multiplicando los primeros dos binomios, luego se simplificó el resultado hasta tener un binomio a+bi=23+7 i, enseguida se multiplicaron el nuevo binomio (23+7 i ) por el último binomio y se simplificó. Resolvamos otros ejercicios.

COMPRUEBE LAS SIGUIENTESMULTIPLICACIONES

48. (−2−i ) (9−2i ) (6−5i )=−145+70 i

49. (1−i ) (2+2 i) (−3+4 i ) (−4−6 i )=144+8 i

Resolvamos ahora una multiplicación de fracciones de números complejos

50.( 38 + 47i)( 23−12 i)=( 38 )( 23 )+( 38 )(−12 i)+( 47 i)( 23 )+( 47 i)(−12 i)

( 38 + 47i)( 23−12 i)= 6

24− 316

i+ 821

i− 414

i2= 624

− 414

(−1)− 316

i+ 821

i

Al aplicar ley de los signos ¿y simplificando las fracciones queda:

( 38 + 47i)( 23−12 i)=14 + 2

7− 316

i+ 821

i=( 14 + 27 )+(−316 + 8

21 ) iResolvamos las fracciones de este ejercicio paso a paso en forma manual:

14+ 27=7+828

=1528 (−316 + 8

21 ) i=(−63+128336 ) i= 65336

i

50.( 38 + 47i)( 23−12 i)=1528 + 65

336i

COMPRUEBE LA SIGUIENTEMULTIPLICACION

8

51.(−23 + 45i)(−67 + 8

9i)=−44

315−1,208945

i

División de dos números complejos

Antes de tratar la división de dos números complejos es necesario definir:

El conjugado de un número complejo Z=a+bi es Z=a−bi , es decir, se cambia el signo de la parte imaginaria del número complejo. Por ejemplo Z=7−9 i y Z=7+9 i son conjugados. También son conjugados W=−5+14 i y W=−5−14 i, observe que el signo de la parte real a no cambia.

Demuestre que son válidas las proposiciones siguientes, para los números complejos:

Z=7−9 i , Z=7+9 i ,W=−5+14 i y W=−5−14 i 52.Z+W=Z+W Primero calculamos el ladoizquierdo y luegoel lado derecho .

Z+W=(7−9 i )+(−5+14 i )= (7−5 )+(−9i+14 i )2+5 i=2−5 i

Z+W=(7+9 i)+(−5−14 i )=(7−5 )+(9 i−14 i)=2−5 i∴Z+W=Z+W=2−5 i

53.Z−W=Z−W Primero calculamos ellado izquierdo y luego el ladoderecho .

Z−W= (7−9i )− (−5+14 i )=(7−9 i )+ (5−14 i )= (7+5 )+(−9 i−14 i )=12−23 i

Z−W=12+23i

Z−W= (7+9 i )−(−5−14 i )=(7+9i )+(5+14 i)=(7+5 )+(9 i+14 i )=12+23 i

∴Z−W=Z−W=12+23 i

54.ZW=Z ∙W Primero calculamos el ladoizquierdo y luego ellado derecho .

ZW=(7−9 i ) (−5+14 i )=−35+98i+45i−126 i2=−35−126 (−1 )+143 i

ZW=−35+126+143 i=91+143 i=91−143i

Z ∙W= (7+9 i ) (−5−14 i )=−35−98 i−45i−126 i2=−35−126 (−1 )−143 i

Z ∙W=−35+126−143 i=91−143 i∴ZW=Z ∙W=91−143i

COMPRUEBE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS:

Si Z=2+3 i , Z=2−3 i ,W=4−8i y W=4+8 i

55.Z−W=Z−W=12+23i

9

56.ZW=Z ∙W=32+4 i

Para dividir dos números complejos se multiplican el numerador y el denominador por el conjugado del denominador y se sustituye i2 por −1. Recordemos que:

(a+b ) (a−b )=a2−ab+ab−b2=a2−b2 para nuestro caso:

(a+bi ) (a−bi )=a2−abi+abi−b2 i2=a2−b2i2=a2−b2 (−1 )=a2+b2

Veamos varios ejemplos de división de números complejos:

57.10 i2

=5i

58.62 i

= 62 i

∙−2 i−2 i

=−12 i−4 i2

= −12i−4(−1)

=−12i4

=−3 i

59.−43−5 i

= −43−5 i

∙3+5i3+5i

=−12−20 i9−25 i2

= −12−20 i9−25(−1)

=−12−20 i9+25

=−12−20 i34

59.−43−5 i

=−1234

−2034

i=−617

−1017

i

60.2

1+6 i= 21+6 i

∙1−6 i1−6 i

= 2−12i1−36 i2

= 2−12i1−36 (−1)

=2−12i1+36

=2−12i37

= 237

−1237

i

61.−43−5 i

+ 21+6 i

=se vió que−43−5 i

=−617

−1017

i y2

1+6 i= 237

−1237

i∴

−43−5 i

+ 21+6 i

=(−617 −1017

i)+( 237−1237 i)=(−617 + 237 )+(−1017 i−12

37i)

Resolveremos manualmente las fracciones anteriores

−617

+ 237

=−222+34629

=−222+34629

=−188629

−1017

i−1237

i=(−1017 −1237 ) i=(−370−204629 )i=−574

629i

61.−43−5 i

+ 21+6 i

=−188629

−574629

i

62.3+4 i2+5 i

=3+4 i2+5 i

∙2−5 i2−5 i

=6−15 i+8i−20i2

4−25 i2=6−20 (−1)−15 i+8i

4−25(−1)=26+(−15+8)i

4+25

10

62.3+4 i2+5 i

=26−7 i29

=2629

− 729

i

63.8−i6+7 i

= 8−i6+7 i

∙6−7 i6−7 i

=48−56 i−6 i+7 i2

36−49 i2=48+7 (−1)−56 i−6 i

36−49(−1)=41+(−56−6) i

36+49

63.8−i6+7 i

=41−62 i85

=4185

−6285

i

64. √−642+√−81

= √ (64 ) (−1 )2+√ (81 ) (−1 )

= √64 √−12+√81√−1

= 8 i2+9 i

∙2−9 i2−9 i

=16 i−72 i2

4−81 i2=16 i−72 (−1 )4−81 (−1 )

64. √−642+√−81

=72+16 i4+81

=72+16 i85

=7285

+ 1685

i

65.3√2−2√3 i3 √2+2√3i

=3√2−2√3 i3√2+2√3 i

∙3√2−2√3 i3√2−2√3 i

=(3√2−2√3 i )(3√2−2√3 i)

(3√2 )2− (2√3 )2 i2

65.3√2−2√3 i3 √2+2√3i

=9√4−6√6 i−6√6 i+4 √9 i29 ∙2−(4 ∙3)i2

=9∙2−12√6 i+ (4 ∙3 )(−1)

18−12(−1)

65.3√2−2√3 i3 √2+2√3i

=18−12√6 i−1218+12

=6−12√6 i30

= 630

−12√6 i30

i= 210

−6√6 i15

i

66.( ZW )= ZW

Si Z=7−9 i , Z=7+9 i ,W=−5+14 i yW=−5−14 i

Como hay que resolver dos divisiones se harán por separado.

( ZW )=( 7−9 i−5+14 i )=( 7−9 i−5+14 i ) ∙−5−14 i−5−14 i=−35−98 i+45 i+126 i2

25−196 i2=

−35−53i+126 (−1)25−196 (−1)

( ZW )=−35−126−53 i25+196

=−161−53 i221

=−161221

− 53 i221

=−161221

+ 53221

i

ZW

= 7−9 i−5+14 i

= 7+9 i−5−14 i

∙−5+14 i−5+14 i

=−35+98i−45 i+126i2

25−196i2=

−35+53 i+126 (−1 )25−196 (−1 )

ZW

= 7+9 i−5−14 i

=−35−126+53i25+196

=−161+53 i221

=−161221

+ 53 i221

∴

66.∴( ZW )= ZW

=−161221

+ 53i221

11

COMPRUEBE LAS SIGUIENTES DIVISIONES.67.

12−3 i

=4 i

68.−3i4−7 i

=2165

−1265

i

69.−4+2 i3−9 i

=−13

−13i

70.5+i

−7−6 i=−4185

+ 2385

i

71.2−8 i

−9−4 i=1497

+ 8097

i

72.−7−4 i−10−3 i

= 82109

+ 19109

i

73. √−1003+√−49

=3529

+ 1529

i

74.( ZW )= ZW

=−2341

+ 241

i Si Z=2+3i , Z=2−3 i ,W=−4−5 i yW=−4+5 i

Inverso multiplicativo de un número complejo.

a+bi ∙ 1a+bi

=1 Interesa encontrar el valor de 1a+bi

1a+bi

= 1a+bi

∙a−bia−bi

= a−bi

a2−(bi )2= a−bi

a2−b2 i2= a−bi

a2−b2 (−1 )= a−bi

a2+b2

1a+bi

= a

a2+b2− bi

a2+b2

75. Calcule el inverso multiplicativo de 1+2 i

11+2i

= 1

12+22− 2 i

12+22= 11+4

− 2 i1+4

=15−2 i5

Para comprobar el resultado multiplicamos el inverso multiplicativo por el valor 1+2 i

12

(1+2 i ) ∙( 15−2i5 )=15−2 i5 + 2i5

−4 i2

5=15−4 (−1 )5

=15−(−45 )=15 + 4

5=55=1

76. Calcule el inverso multiplicativo de 2−3 i

12−3 i

= 2

22+(−3 )2− −3 i22+ (−3 )2

= 24+9

−−3 i4+9

= 213

+ 3 i13

Para comprobar el resultado multiplicamos el inverso multiplicativo por el valor 2−3 i

(2−3 i ) ∙( 213 + 3i13 )= 4

13+ 6 i13

−6 i13

−9 i2

13= 413

−9 (−1 )13

= 413

−−913

= 413

+ 913

=1313

=1

77.COMPRUEBEQUE EL INVERSOMULTIPLICATIVODE−4+5i ES− 441

− 5 i41

,OBTENGA1.

78.COMPRUEBEQUE EL INVERSOMULTIPLICATIVODE−3−i ES− 310

+ i10

,OBTENGA 1.

79. Calcule el inverso multiplicativo de 1+√3 i

11+√3 i

= 1

12+(√3 )2− √3 i12+ (√3 )2

= 11+3

− √3 i1+3

=14−√3 i4

Para comprobar el resultado multiplicamos el inverso multiplicativo por el valor 1+√3 i

(1+√3 i )∙( 14−√3 i4 )= 14−√3 i

4+ √3 i4

−3 i2

4= 14−3 (−1 )4

= 14+ 34=44=1

80.COMPRUEBEQUE EL INVERSOMULTIPLICATIVO DE−√3+√2i

ES−√35

−√2i5

,OBTENGA1.

1.3 Potencias de “i ”, módulo o valor absoluto de un número complejo. Para calcular las potencias de i se puede emplear la ecuación: i=√−1

i2=i ∙ i=√−1 ∙√−1=(−1)12 ∙(−1)

12=(−1)

1+12 =(−1)

22=−1

i3=i ∙ i ∙ i=i2 ∙ i=(−1) ∙ i=−i

i4=i ∙ i ∙ i ∙i=i2 ∙i2= (−1 ) ∙ (−1 )=1i5=i ∙ i ∙ i ∙ i ∙ i=i4 ∙ i=(1 ) ∙ i=ii6=i ∙i ∙i ∙i ∙ i ∙ i=i4 ∙ i2=(1 ) ∙ (−1 )=−1i7=i ∙i ∙ i ∙ i ∙ i ∙ i ∙ i=i4 ∙ i2 ∙i= (1 ) ∙ (−1 ) ∙ i=−ii8=i ∙i ∙i ∙i ∙ i ∙ i ∙ i ∙ i=i4 ∙ i4=(1 ) ∙ (1 )=1

13

i9=i ∙i ∙i ∙i ∙ i ∙ i ∙ i ∙ i ∙ i=i4 ∙ i4 ∙ i=(1 ) ∙ (1 ) ∙i=i

Si revisamos los valores anteriores podemos ver que:

i=¿ i5=i9 ; i2=i6=−1 ; i3=i7=−i ; i4=i8=1

De acuerdo a lo anterior los valores de las potencias de i tienen valores cíclicos de 4 en 4 de acuerdo a la siguiente tabla:

i=i5=i9=i13=i17=i21=i25=i29=i33=i37=i41=i45=i49=ii2=i6=i10=i14=i18=i22=i26=i30=i34=i38=i 42=i46=i50=−1i3=i7=i11=i15=i19=i23=i27=i31=i35=i39=i43=i47=i51=−ii4=i8=i12=i16=i20=i24=i28=i32=i36=i40=i44=i48=i52=1

Aunque la tabla anterior puede resultar práctica para potencias menores a 20, para valores como i89 ó i552 ó i1,789 ó i58,127 resulta insuficiente. Como los valores son cíclicos de 4 en 4, dividamos las potencias entre 4. Iniciemos con valores del primer renglón, usemos los valores de potencias de i1 ,5 ,9 ,13 ,17 ,37 ,49

14=0.25 ; 5

4=1.25 ; 9

4=2.25; 13

4=3.25 ; 17

4=4.25 ; 37

4=10.25 ; 49

4=12.25

Si observamos los resultados anteriores vemos que el valor después del punto decimal es .25 en todos los casos, con lo que podemos concluir que cualquier potencia de i que se divida entre 4 y de decimales de .25 tendrá un valor de:

i=i5=i9=i13=i17=i37=i49=i

Dividiendo entre 4 potencias de i del segundo renglón como 2 ,6 ,10 ,14 ,18 ,30 ,42.

24=0.50 ; 6

4=1.50 ; 10

4=2.50 ; 14

4=3.50 ; 18

4=4.50 ; 30

4=7.50 ; 42

4=10.50

Ahora podemos ver que el valor después del punto decimal es .50 en todos los casos, con lo que podemos concluir que cualquier potencia de i que se divida entre 4 y de decimales de .50 tendrá un valor de:

i2=i6=i10=i14=i18=i30=i42=−1

Si repetimos lo anterior con potencias de i del tercer renglón como 3 ,7 ,11 ,15 ,31 ,43 , veremos que el valor después del punto decimal es .75 en todos los casos, con lo que podemos concluir que cualquier potencia de i que se divida entre 4 y de una fracción de .75 tendrá un valor de:

i3=i7=i11=i15=i31=i43=−i

14

En el caso de potencias de i del cuarto renglón como 4 ,8 ,12 ,16 ,32, 44 ,52 veremos que el valor después del punto decimal es .00 en todos los casos, con lo que podemos concluir que cualquier potencia de i que se divida entre 4 y de una fracción de .00 tendrá un valor de:

i4=i8=i12=i16=i32=i44=i52=1

Como síntesis podemos decir: si la división de una potencia de i entre 4 tiene como fracción .25 el valor de in=i . En el caso de que la división de una potencia de i entre 4 tenga como fracción .50 el valor de im=−1 . Cuando la división de una potencia de i entre 4 tiene como fracción .75 el valor de i p=−i . Por último si la división de una potencia de i entre 4 tiene como fracción .00 el valor de iq=1 . Veamos varios ejemplos:

1. i1771774

=44.25∴ i177=i

2. i8988984

=224.50∴ i898=−1 3. i7,683

7,6834

=1,920.75∴i7,683=−i

4. i11,54411,5444

=2,886.00∴i11,544=1

COMPRUEBE LAS SIGUIENTES POTENCIAS DE i .5. i349=i

6. i3,466=−1

7. i39,263=−i

8. i123,736=1

Como último punto es útil saber que todas y cada una de las siguientes potencias de i :11 ,111 ,211 ,311 ,411 ,511 ,611 ,711 ,811 ,911 ,1,011 ,1,111 ,1,211 ,1,311 ,1,411 ,1,511 al ser divididas entre 4 tienen como fracción .75 , la importancia de lo anterior es que cuando deseamos calcular la potencia dei de cualquier valor de 2, 3, 4, 5 ó más dígitos, solo ocupamos al dividir entre 4 tener en cuenta los últimos 2 dígitos. En todas las potencias de i arriba señaladas el valor es −i . NOTA: Lo anterior no se cumple para un solo dígito, por ejemplo si i es 1 al dividir entre 4 se obtiene .25 y no .75 . Si aplicamos lo escrito en el párrafo anterior a los ocho ejercicios anteriores veremos que la fracción obtenida es la misma, con lo que el valor de la potencia de i no cambia.

9. i177774

=19.25∴i177=i

15

10. i898984

=24.50∴ i898=−1 11. i7,683

834

=20.75∴i7,683=−i

12. i11,544444

=11.00∴ i11,544=1

COMPRUEBE LAS SIGUIENTES POTENCIAS DE i , DIVIDIENDO SOLO LOS ÚLTIMOS DOS DIGITOS.13. i349=i

14. i3,466=−1

15. i39,263=−i

16. i123,736=1

Calcule: 17.5i899+i7,681−2 i177+4 i11,546=5 (−i )+i−2 (i )+4 (−1 )=−4−6 i

18. (2i )23=234

=5.75∴ (2 i )23=223 (i23 )=223 (−i )=8,388,608 (−i )=−8,388,608 i

19.2i23=2 (i23 )=2 (−i )=−2 i

COMPRUEBE LAS SIGUIENTES EXPRESIONES.20.4 i250−5 i795+3 i181+2 i11,538=−6+8i

21. (3i )14=−4,782,969

22.3i14=−2

Con lo que tenemos visto ya estamos en condiciones de abordar ejercicios más complicados de multiplicación y división de números complejos. Vamos a resolver binomios elevados a potencias como (−1+5 i )3 por tres métodos distintos.

Primer Método: Se inicia multiplicando dos binomios, luego simplificamos el resultado hasta a+bi, enseguida multiplicamos el nuevo binomio por el tercero, llevando otra vez el resultado a que quede a+bi.

23. (−1+5 i)3=(−1+5i ) (−1+5 i ) (−1+5 i )=(1−5i−5i+25 i2 ) (−1+5 i )

16

(−1+5 i )3=(1+25(−1)−10 i ) (−1+5 i )=(−24−10 i)(−1+5 i )23. (−1+5 i)3=24−120i+10 i−50 i2=24−50 (−1 )−110 i=74−110 i

El binomio de Newton y el triángulo de Pascal se usan para resolver binomios elevados a cualquier potencia. Los primeros 5 renglones de cada uno de ellos son:

Triángulo de Pascal Binomio de Newton(a+b )0=1 (a+b )0=1(a+b )1=11 (a+b )1=a+b(a+b )2=121 (a+b )2=a2+2ab+b2

(a+b )3=1331 (a+b )3=a3+3a2b+3 ab2+b3

(a+b )4=146 41 (a+b )4=a4+4a3b+6a2b2+4 ab3+b4 24. Construya el triángulo de Pascal y el Binomio de Newton para las potencias 5, 6, 7 y 8.

Segundo Método: Usamos el Binomio de Newton.

25. (−1+5 i)3=(−1 )3+3 (−1 )2 (5 i )+3 (−1 ) (5 i )2+ (5 i )3 (−1+5 i )3=−1+3 (1 ) (5 i )−3 (25 i2 )+125 i3 pero i3=−i porque

34=.75

25. (−1+5 i)3=−1+15i−75 (−1 )−125 i=−1+75+(15−125 )i=74−110 i

Observe que al desarrollar el binomio de Newton si sumamos las potencias de cada término se obtiene la potencia a resolver, en este caso 3.

Tercer Método: Lo hacemos usando la ley de las potencias y el binomio de Newton.

26. (−1+5 i)3=(−1+5i )2 (−1+5 i)=[ (−1 )2+2 (−1 ) (5 i )+ (5i )2 ] (−1+5 i )(−1+5 i )3=[1−2 (5 ) i+25i2 ] (−1+5 i )=[1−10 i+25(−1)] (−1+5 i )(−1+5 i )3=(−24−10 i ) (−1+5 i )=24−120 i+10 i−50 i2

26. (−1+5 i)3=24−50 (−1 )−110 i=74−110 i

27. COMPRUEBE QUE (2−i )4=−7−24 i USANDO EL Primer Método.

28. COMPRUEBE QUE (2−i )4=−7−24 i USANDO EL Segundo Método.

29. COMPRUEBE QUE (2−i )4=−7−24 i USANDO EL Tercer Método. Resolver (1−2 i )5 por los tres métodos ya vistos.

Primer Método: Se inicia multiplicando dos binomios, luego simplificamos el resultado hasta a+bi, enseguida multiplicamos el nuevo binomio por el tercero, llevando otra vez el resultado a que quede a+bi, y así continuamos hasta terminar.

30. (1−2 i )5=(1−2 i ) (1−2i ) (1−2 i ) (1−2 i ) (1−2i )(1−2 i )5=(1−2i−2i+4 i2 ) (1−2 i ) (1−2i ) (1−2 i )

17

(1−2 i )5=[1−4 i+4 (−1)] (1−2i ) (1−2 i ) (1−2 i )=(−3−4 i ) (1−2 i ) (1−2i ) (1−2 i )(1−2 i )5=(−3+6 i−4 i+8 i2 ) (1−2 i ) (1−2 i )=[−3+2 i+8(−1)] (1−2 i ) (1−2 i )(1−2 i )5=(−11+2i ) (1−2 i ) (1−2 i )=(−11+22i+2 i−4 i2) (1−2i )(1−2 i )5=[−11+24 i−4 (−1)] (1−2i )= (−7+24 i ) (1−2 i )=(−7+14 i+24 i−48 i2 )30. (1−2 i )5=(−7+14 i+24 i−48 i2 )=[−7+38i−48(−1)]=41+38 i

Segundo Método: Resolvamos ahora usando el método del Binomio de Newton. Podemos observar que:−i=−1 i, i2=−1 , i3=−i , i4=1 , i5=i

31. (1−2 i )5=(1 )5+5 (1 )4 (−2i )+10 (1 )3 (−2 i )2+10 (1 )2 (−2 i )3+5 (1 ) (−2 i)4+(−2 i)5

(1−2 i )5=1+5 (−2 i )+10 (4 i2 )+10 (−8 i3 )+5 (16 i4 )−32 i5(1−2 i )5=1−10 i+40 (−1 )−80 (−i )+80 (1 )−32 i=1−40+80−10i+80 i−32 i31. (1−2 i )5=41+38 i

Tercer Método: Lo hacemos usando la ley de las potencias y el binomio de Newton.

32. (1−2 i )5={[ (1−2 i )2 ]2} (1−2 i )=[ (1 )2+2 (1 ) (−2 i )+ (−2i )2 ]2 (1−2i )

(1−2 i )5=[ (1−4 i+4 i2 )2 ] (1−2i )={[1−4 i+4 (−1)]2} (1−2 i )(1−2 i )5=[ (1−4−4 i )2 ] (1−2 i )=[ (−3−4 i )2 ] (1−2 i )(1−2 i )5=[ (−3 )2+2 (−3 ) (−4 i )+ (−4 i )2 ] (1−2 i )=(9+24 i+16 i2 ) (1−2 i )(1−2 i )5=[9+24 i+16 (−1)] (1−2i )=(9−16+24 i ) (1−2 i )(1−2 i )5=(−7+24 i ) (1−2i )=(−7+14 i+24 i−48 i2 )32. (1−2 i )5=[−7+38 i−48 (−1 ) ]=(−7+48+38 i )=41+38 i

Nuevamente el resultado es el mismo por los tres métodos. En este último ejercicio es más sencillo resolver por el método de Newton y por la ley de las potencias que multiplicando cada binomio.

33. COMPRUEBE QUE (1−3 i )8=−8432+5376 i USANDO EL Tercer Método.

(1−3 i )8={[ (1−3i )2 ]2}2

Vamos a ver divisiones un poco más complicadas.

34.Calcule3+i77

−2−6 i125,774

=19.25∴i77=i ,254

=6.25∴i25=i

3+i77

−2−6 i125= 3+i

−2−6 i∙−2+6 i−2+6 i

=−6+18 i−2i+6 i2

4−36 i2=

−6+6(−1)+16 i4−36 (−1)

34.3+ i

−2−6 i=−12+16 i

4+36=−12+16 i

40=−310

+ 25i

18

35.Calcule( 5+i−7−6 i )

3

Ya se calculóenel ejercicio70 del subtema1.25+ i

−7−6 i=−4185

+ 2385

i

( 5+i−7−6 i )

3

=(−4185 + 2385

i)3

=(−4185 )3

+3(−4185 )2

( 2385 i)+3(−4185 )( 2385 i)2

+( 2385 i)3

( 5+i−7−6 i )

3

=−68,921614,125

+ 115,989614,125

i− 65,067614,125

i2+ 12,167614,125

i3

( 5+i−7−6 i )

3

=−68,921614,125

+ 115,989614,125

i− 65,067614,125

(−1 )+ 12,167614,125

(−i )

( 5+i−7−6 i )

3

=−68,921614,125

+ 65,067614,125

+ 115,989614,125

i− 12,167614,125

i= −3,854614,125

+ 103,822614,125

i

36.DEMUESTREQUE8−i653

6+7 i1,781= 4185

−6285

i

37.DEMUESTREQUE ( −4+2i3−9 i521)

2

=29i

38.DEMUESTREQUE(4−2i )2

6 i (3+5 i )=−6481224

+ 2641224

i

Resuelva primeroel binomio al cuadrado y resuelvael denominador . Simplifique yresuelva ladivisión .

1.4 Forma polar y Exponencial de un número complejo.

19

Forma polar de los Números Complejos. En la gráfica que está enseguida se tiene: y

cosθ=CAH

= xr

x=r ∙cosθ=rcosθ

senθ=COH

= yr

y=r ∙ sen θ=rsenθ x+ yi

La forma rectangular (binómica) de un r y número complejo es: Z=a+bi=x+ yi, pero θ x+ yi=rcosθ+risenθ (0 ,0 ) x x x+ yi=r (cosθ+isenθ )=rcisθ Gráfica 1: Representación de la forma polar rcisθ

de un número complejo. Donde r (cosθ+isenθ) es la forma polar de un número complejo. En la expresión anterior r representa la longitud, la cual es siempre positiva y se conoce como módulo o valor absoluto del número complejo.

Con el teorema de Pitágoras se obtiene |z|=r=√ x2+ y2

El ángulo θ se denomina amplitud o argumento, se puede dar su valor en forma positiva si está en los primeros dos cuadrantes y en forma negativa si está en los cuadrantes tres y cuatro, sin embargo podemos equivocarnos al omitir el signo. Para obtenerlo siempre con valor positivo

se usan dos ecuaciones la primera es α=tan−1|y||x| , donde |y| es el valor absoluto de y sin el

término i, |x| es el valor absoluto de x. El ángulo α está entre los valores x y r para los cuatro

cuadrantes. El ángulo θ inicia en el eje x del lado positivo con el valor 00 (está en el número 3 de un reloj), y aumenta en sentido contrario a las manecillas del reloj. Veamos las gráficas de ángulos en los cuatro cuadrantes.

θ=1800+α θ=3600−α α α

α=θ α θ=1800−α

(b) (c) (d)

Gráfica 2. Muestra los ángulos α y θ, así como la relación entre ellos en cada cuadrante.

20

(a) Primer cuadrante, (b) segundo cuadrante, (c) tercer cuadrante, (d) cuarto cuadrante.

Para la segunda ecuación que relaciona a α y θ se tiene la siguiente tabla.

Signo de x Signo de y Cuadrante ecuación ángulo θ +¿ +¿ Primero ¿ a 900¿ θ=α −¿ +¿ Segundo ¿ a 1800 ¿ θ=1800−α=π−α −¿ −¿ Tercero ¿ a 2700¿ θ=1800+α=π+α

+¿ −¿ Cuarto ¿ a 3600 ¿ θ=3600−α=2π−α Demos ejemplos de argumentos en los diferentes cuadrantes en forma positiva y negativa:

Primero θ=600=−3000, Segundo θ=1100=−2500, Tercero θ=2250=−1350, Cuarto

θ=3100=−500. Encuentre el lector los ángulos anteriores en hoja cuadriculada con ayuda de un transportador de preferencia de 3600. Los números complejos no se pueden sumar o restar en forma polar, por lo que en este caso se deben pasar de forma polar a forma binómica. Vamos a ver como pasar un número complejo de forma binómica a forma polar. Serán cuatro ejemplos, uno por cada cuadrante. Luego habrá cuatro ejemplos, que coincidan con los ejes x, o y, después veremos ejemplos de números complejos que pasan de forma polar a forma binómica.

1. Encontremos la forma polar en grados y en radianes del número complejo: 1.Z1=3+3 i

Z1 está en el primer cuadrante, primero determinamos la amplitud (argumento) en grados

con la expresión α=tan−1|3||3| teniendo la calculadora en DEG (D).

α=tan−1|3||3|

=tan−11=450

Como α está en el primer cuadrante (ver la tabla) α=θ

θ=α=450

El argumento en radianes se calcula con α=tan−1|3||3| teniendo la calculadora en RAD (R).

α=tan−1|3||3|

=tan−11=0.785398163=0.785398163 ππ=0.25π=1

4π=π

4rad

Observe que el valor 0.785398163 está en radianes pero no contiene a π. Para introducir a π, se multiplicó y dividió por π el número 0.785398163, pero solo se hizo la división en la

21

calculadora, por lo que π, quedó escrito en el numerador y 0.25 es exacto. Como α está en el primer cuadrante (ver la tabla) α=θ.

θ=α=π4rad

Calculemos el módulo o valor absoluto:

r=√x2+ y2=√32+32=√9+9=√18=√ (9 )(2)=√9 ∙√2=3√2

Como x+ yi=r (cosθ+isenθ) ¿ rcisθ se tiene que

1.Z1=3+3 i=3√2 (cos 450+isen450 )=3√2(cos π4 +isen π4 )

ó1. Z1=3+3 i=3√2 (cis450 )=3√2(cis π4 ) 2. Demuestre que la forma polar en grados y en radianes del número complejo:

2.Z2=−1+√3 i=2 (cos1200+ isen1200 )=2(cos 2π3 +isen 2 π3 )

ó 2.Z2=−1+√3i=2 (cis1200 )=2(cis 2π3 )3. Encontremos la forma polar en grados y en radianes del número complejo:

3.Z3=−12

√3−12i

Z3 está en el tercer cuadrante, primero determinamos la amplitud (argumento) α en grados

con la expresión α=tan−1|−12 |

|−12 √3| teniendo la calculadora en DEG (D).

α=tan−1|−12 |

|−12 √3|=tan−10.577350269=300

Como α está en el tercer cuadrante (ver la tabla) θ=1800+α

θ=1800+α=¿ 1800+300=2100

22

El argumento en radianes se calcula con α=tan−1|−12 |

|−12 √3| teniendo la calculadora en RAD (R).

α=tan−1|−12 |

|−12 √3|=tan−10.577350269=0.523598775=0.523598775 π

π

α=tan−1|−12 |

|−12 √3|=0.166666666 π=1

6π=π

6rad


calculadora, por lo que π quedó escrito en el numerador y 16

es exacto. Como α está en el

tercer cuadrante (ver la tabla) θ=1800+α=¿ π+α pues 1800=π .

θ=π+α=π+ π6=6π6

+ π6=7 π6

rad

Otra forma de obtener θ en radianes a partir de θ en grados es con 1800=π .

θ=2100( π1800 )=( 21001800 ) π=7 π6 rad

Enseguida obtenemos el módulo o valor absoluto:

r=√(−12 √3)2

+(−12 )2

=√ 34 + 14=√ 44=√1=1

Como x+ yi=r (cosθ+isenθ)=rcisθ se tiene que:

3.Z3=−12

√3−12i=1 (cos2100+isen2100 )=1(cos 7π6 +isen 7 π

6 )ó 3.Z3=

−12

√3−12i=1 (cis2100 )=1(cis 7 π6 )

4. Demuestre que la forma polar en grados y en radianes del número complejo:

23

4. Z4=4−3 i=5 (cos323.130+isen323.130 )=5 (cos1.7952π+isen1.7952π )

ó 4.Z4=4−3 i=5 (cis323.130 )=5 (cis1.7952π )

5. Encontremos la forma polar en grados y en radianes del número complejo.

5.Z5=8

Z5 está en el eje x (en el número 3 de un reloj), para este caso la amplitud θ es:

θ=00θ=00( π1800 )=( 001800 )π=0 rad


x=8 , y=0 ,r=√ x2+ y2=√82+02=√64=8


5.Z5=8=8 (cos 00+isen00 )=8 (cos0+isen0 )

ó5. Z5=8=8 (cis00 )=8 (cis0 )

6. Demuestre que la forma polar en grados y en radianes del número complejo:

6.Z6=7 i=7 (cos900+ isen900 )=7 (cos π2 +isen π2 )

ó 6.Z6=7 i=7 (cos 900+isen900 )=7(cos π2 + isen π2 )

7. Encontremos la forma polar en grados y en radianes del número complejo:

7.Z7=−4

Z7 está en el eje x (en el número 9 de un reloj), para este caso la amplitud θ es:

θ=1800θ=1800( π1800 )=( 18001800 )π=(1 )π=π rad


x=−4 , y=0 , r=√x2+ y2=√(−4)2+02=√16=4


24

7.Z7=−4=4 (cos1800+isen1800 )=4 ( cosπ+isenπ )

ó7. Z7=−4=4 (cis1800 )=4 (cisπ )

8. Demuestre que la forma polar en grados y en radianes del número complejo.

8.Z8=−5√3 i=5√3 (cos2700+isen2700 )=5√3 (cos 3π2 +isen 3 π2 )

ó 8.Z8=−5√3 i=5√3 (cis2700 )=5√3(cis 3π2 ) Para escribir un número complejo en forma binómica (rectangular) a partir de la forma polar, solo es necesario calcular el coseno y el seno del argumento θ y multiplicarlo por el módulo r. Calculemos 8 ejercicios en grados y luego 8 ejercicios en radianes.

9. Encontremos la forma binómica del número complejo:

9.Z9=4 (cos300+isen300 )

Al calcular cos300 la calculadora debe estar en DEG (D).

Z9=4 (cos300+isen300 )=4 (0.866025403+0.5 i )=4 (√ (0.866025403 )2+0.5 i )

9.Z9=4 (√0.75+ 12 i)=4 (√ 34 + 12i)=4 (√3√4 +1

2i)=4 (√32 + 1

2i)=2√3+2 i

Observe que 0.866025403 no es un valor exacto, para tratar de hacerlo un valor exacto se elevó al cuadrado y sacó raíz cuadrada al número 0.866025403, pero solo se desarrolló el cuadrado con la calculadora y entonces se escribió la raíz cuadrada √0.75 que es un valor exacto.

9.Z9=4 (cos300+isen300 )=2√3+2 i

10. Demuestre que la forma binómica del número complejo:

10.Z10=8 (cos 1350+isen1350 )=−4√2+4 √2 i


11. Z11=10 (cos2500+ isen2500 )


Z11=10 (cos2500+ isen2500 )=10 (−0.342020143−0.93969262i )

25

Z11=−3.42020143−9.3969262 i=−3.4202−9.3969 i

11. Z11=10 (cos2500+ isen2500 )=−3.4202−9.3969i

Los valores −0.342020143 y −0.93969262 i no son exactos, y no es posible hacerlos exactos elevando al cuadrado o al cubo, por lo que se dejan con todas sus cifras significativas en los cálculos y solo al último se redondean a 5 cifras significativas.


12.Z12=2 (cos3150+isen3150 )=√2−√2i


13.Z13=17 (cos 00+isen00 )

Al calcular cos 00 la calculadora debe estar en DEG (D).

13.Z13=17 (cos 00+isen00 )=17 (1+0i )=17


14.Z14=√2 (cos 900+isen900 )=√2 i


15.Z15=(57 ) (cos1800+isen1800 )


15.Z15=(57 ) (cos1800+isen1800 )=( 57 ) (−1+0 i )=−57


16.Z16=2√3 (cos2700+isen2700 )=−2√3 i

Los últimos 8 números estaban en grados, vamos a pasar de forma Polar a forma binómica, cuando están en radianes.


17.Z17=14 (cos π6 +isen π6 )

26

Alcalcularπ6lacalculadora debeestar en RAD (R).

Z17=14(cos π6 +isen π6 )=14 (0.866025403+0.5 i )=14 (√ (0.866025403 )2+0.5 i )

Z17=14(√0.75+ 12 i)=14 (√ 34 + 12i)=14( √3

√4+ 12i)=14 (√32 + 1

2i)=7√3+7 i

Observe que 0.866025403 no es un valor exacto, para tratar de hacerlo un valor exacto se elevó al cuadrado y sacó raíz cuadrada, pero sólo se desarrolló el cuadrado con la calculadora y entonces se escribió la raíz cuadrada √0.75 que es un valor exacto.

17.Z17=14 (cos π6 +isen π6 )=7√3+7 i


18.Z18=√2(cos 3 π4 +isen 3π4 )=−1+i


19.Z19=20(cos 9π8 +isen 9 π8 )

Alcalcular cos9 π8la calculadoradebe estar en RAD (R) .

Z19=20(cos 9 π8 +isen 9π8 )=20 (−0.923879532−0.382683432i )

Z19=−18.47759064−7.65366864 i=−18.478−7.6537 i

19.Z19=20(cos 9π8 +isen 9 π8 )=−18.478−7.6537 i

Los valores −0.923879532 y −0.382683432 no son exactos, y no es posible hacerlos exactos elevando al cuadrado o al cubo, por lo que se dejan con todas sus cifras significativas en los cálculos y solo al último se redondean a 5 cifras significativas.


20.Z20=4√2(cos 11 π6 +isen 11 π6 )=2√6−2√2i

27


21.Z21=3 (cos0+ isen0 )

Al calcular cos 0 la calculadora debe estar en RAD (R).

Z21=3 (cos 0+isen0 )=3 (1+0 i )=3


22.Z22=√5(cos π2 +isen π2i)=√5 i


23.Z23=( 38 ) (cosπ+isenπ )

Al calcular cos π la calculadora debe estar en RAD (R).

23.Z23=( 38 ) (cosπ+isenπ )=( 38 )(−1+0 i )=−38


Z24=7√11(cos 3 π2 +isen 3π2i)=−7 √11 i

Ya sabemos pasar de forma binómica a forma polar y viceversa. Se mencionó que los números complejos no se pueden sumar ni restar en forma polar, en este caso se pasan de forma polar a forma binómica, se realiza la suma y se regresan a forma polar.

Realizaremos una suma y una resta usando algunos de los números complejos con los que ya trabajamos. Calcule: 25.Z10+Z12=Z25 y 26.Z9−Z11=Z26

Z10+Z12=8 (cos1350+isen1350 )+2 (cos3150+ isen3150 )

Al calcular la forma binómica de Z10 y Z12 se obtuvo

Z10=−4 √2+4√2i Z12=√2−√2 i al sumar se obtiene

Z25=Z10+Z12=(−4√2+4 √2 i )+ (√2−√2i )=(−4 √2+√2 )+(4√2i−√2 i )

25.Z25=Z10+Z12=(−4+1 ) √2+(4−1 ) √2 i=−3√2+3√2 i

25. (a) Encontremos la forma polar del número complejo en grados y radianes:

28

25.(a)Z25=−3√2+3√2i

Z25 está en el segundo cuadrante, primero determinamos la amplitud (argumento) α en grados

con la expresión tan−1|3√2|

|−3√2|teniendo la calculadoraen DEG(D) .

α=tan−1|3√2|

|−3√2|=tan−11=450

Como α está en el segundo cuadrante (ver la tabla) θ=1800−α

θ=1800−α=¿ 1800−450=1350

El argumento enradianes se calculacon α=tan−1 |3 √2||−3√2|

teniendo la calculadoraen RAD .

α=tan−1|3√2|

|−3√2|=tan−11=0.785398163=0.785398163 π

π=0.25 π=1

4π= π

4rad


calculadora, por lo que π quedó escrito en el numerador y 14

es exacto. Como α está en el

segundo cuadrante (ver la tabla) θ=1800−α=¿ π−α pues 1800=π .

θ=π−α=π− π4=4 π4

−π4=3 π4rad


( π1800 )1350=( 13501800 )π=(0.75 )π=( 34 )π=3 π

4rad

Calculemos el módulo o valor absoluto:

r=√x2+ y2=√(−3√2)2+(3√2)2=√9∙2+9 ∙2=√18+18=√36=6

Como x+ yi=r (cosθ+isenθ) ¿ rcisθ se tiene que

Z25=Z10+Z12=−3√2+3√2 i

25. (a )Z25=6 (cos1350+isen1350 )=6 (cis1350 )

25. (a )Z25=6 (cos 3 π4 +isen 3 π4 )=6(cis 3 π4 )

29

26. Demuestre que la resta

26.Z26=Z9−Z11=6.8843+11.397

26. (a) Demuestre que la forma polar del número complejo en grados y radianes:

Z26=6.884303045+11.3969262 i es

26. (a )Z26=13.315 (cos58.8660+isen58.8660 )=13.315 (cis58.8660 )

26. (a )Z26=13.315 (cos 0.32703π+ isen0.32703 π )=13.315 (cis0.32703 π )

La multiplicación de números complejos en forma polar es relativamente sencilla. Los módulos se multiplican y los argumentos se suman.

[r1(cos θ1+ isenθ1)] [r2(cosθ2+isen θ2) ]=r1 r2 [cos (θ1+θ2)] [ isen(θ1+θ2)]

Veamos algunas multiplicaciones.

27.Z1 ∙ Z2=Z27 . Se tiene que

Z1=3√2 (cos 450+isen450 )=3√2(cos π4 +isen π4 )

Z2=2 (cos1200+isen1200 )=2(cos 2π3 +isen 2π3 )

Vamos a multiplicar primero en grados y luego en radianes.

Z27=Z1 ∙ Z2=[3√2 (cos 450+isen450 ) ] [2 (cos1200+isen1200 ) ]

Z27=Z1 ∙ Z2=(3√2 ) (2 ) [cos (450+1200 )+isen (450+1200 ) ]

27.Z27=Z1 ∙ Z2=6√2 (cos1650+ i sen1650 )=6√2 (cis1650 )

Z27=Z1 ∙ Z2=[3√2(cos π4 +isen π4 )][2(cos 2π3 +isen 2 π

3 )]Z27=Z1∙ Z2=(3√2 ) (2 ) [cos ( π4 + 2π

3 )+isen( π4 + 2π3 )]

Vamos a resolver paso a paso la suma de fracciones:

π4+ 2π3

=( 14 + 23 ) π=( 3+812 ) π=11 π12 rad

30

27.Z27=Z1 ∙ Z2=6√2[cos ( 11π12 )+isen( 11π12 )]=6 √2[cis( 11 π12 )]28.Demuestre que

28.Z28=Z3 ∙ Z 4=5 (cos533.130+ i sen533.130 )=5 (cis533.130 )

28.Z28=Z3 ∙ Z 4=5 [cos (2.9618π )+isen(2.9618 π )]=5 [cis(2.9618 π) ]

29. Calcule Z29=Z5 ∙ Z6 . Se tiene que

Z5=8 (cos00+ isen00 )=8 (cos 0+isen0 )

Z6=7 (cos 900+isen900 )=7 (cos π2 +isen π2 )

Vamos a resolver primero en grados y luego en radianes.

Z29=Z5 ∙ Z6=[8 (cos 00+isen00 ) ] [7 (cos 900+isen900 ) ]

Z29=Z5 ∙ Z6=(8 ) (7 ) [cos (00+900 )+ isen (00+900 ) ]

29.Z29=Z5 ∙ Z6=56 (cos900+isen900 )=56(cis900)

Z29=Z5 ∙ Z6=[8 (cos0+ isen0 ) ] [7 (cos π2 +isen π2 )]

Z29=Z5∙ Z6=(8 ) (7 ) [cos (0+ π2 )+isen(0+ π2 )]=56 [cos ( π2 )+isen( π2 )]

29.Z29=Z5 ∙ Z6=56[cos ( π2 )+isen( π2 )]=56 [cis ( π2 )]30.Demuestre que

30.Z30=Z7 ∙ Z8=20√3 (cos4500+i sen4500)=20 √3(cis4500)

30.Z30=Z7 ∙ Z8=20√3 [cos( 5π2 )+isen( 5π2 )]=20√3[cis( 5π2 )] La división de números complejos en forma polar es relativamente sencilla. Los módulos se dividen y los argumentos se restan.

31

r1(cosθ1+isen θ1)r2(cosθ2+isen θ2)

=r1r2

[ cos (θ1−θ2 )+isen(θ1−θ2)]

Resolvamos algunas divisiones

31.Z1Z2

=Z31

Se tiene que

Z1=3√2 (cos 450+isen450 )=3√2(cos π4 +isen π4 )

Z2=2 (cos1200+isen1200 )=2(cos 2π3 +isen 2π3 )


Z31=Z1Z2

=3√2 (cos 450+isen450 )2 (cos1200+isen1200 )

=3√22

¿

Z31=Z1Z2

=32√2 [cos (−750)+isen(−750)]

En el caso de argumentos negativos se pueden expresar en forma positiva si les sumamos 3600

. −750+3600=2850

31.Z31=Z1Z2

=32√2 (cos 2850+isen2850 )=3

2√2 (cis 2850 )

Z31=Z1Z2

=3√2(cos π4 +isen π

4 )2(cos 2 π3 +isen 2 π

3 )=3√2

2 [cos ( π4−2π3 )+isen( π4−2π

3 )]Vamos a resolver paso a paso la resta en radianes

π4−2π3

=( 14−23 )π=( 3−812 )π=−5π

12rad

Z31=Z1Z2

=32√2[cos (−5π12 )+isen(−5 π12 )]

En el caso de argumentos negativos se pueden expresar en forma positiva si les sumamos 2π .

32

−5π12

+2π=(−512 +2)π=(−512 + 2412 )π=19π

12

31.Z31=Z1Z2

=32√2[cos (19 π12 )+isen( 19π12 )]=32 √2[c i s (19 π12 )]

32.Demuestre que

32.Z32=Z3Z4

=15¿

32.Z32=Z3Z4

=15

[ cos (−0.62850 π )+isen (−0.62850π ) ]=15

[cis (−0.62850 π ) ]

33.Z5Z6

=Z33

Se tiene que

Z5=8 (cos00+ isen00 )=8 (cos 0+isen0 )

Z6=7 (cos 900+isen900 )=7 (cos π2 +isen π2 )


Z33=Z5Z6

=8 (cos 00+isen00 )7 (cos 900+isen900 )

Z33=Z5Z6

=87

¿

Z33=Z5Z6

=87

[cos (−900)+isen(−900)]

En el caso de argumentos negativos se pueden expresar en forma positiva si les sumamos 3600

. −900+3600=2700

33.Z33=Z5Z6

=87

(cos2700+isen2700 )=87

(cis2700 )

Z33=Z5Z6

=8 (cos0+isen0 )

7(cos π2 +isen π2 )

33

Z33=Z5Z6

=87 [cos (0−π

2 )+isen(0− π2 )]

Z33=Z5Z6

=87 [cos(−π

2 )+isen(−π2 )]

En el caso de argumentos negativos se pueden expresar en forma positiva si les sumamos 2π . La suma en radianes paso a paso es:

−π2

+2 π=(−12 +2)π=(−12 + 42 ) π=32 π

33.Z33=Z5Z6

=87 [cos( 32 π )+isen( 32 π )]=87 [cis( 32 π )]

34.Demuestre que

34.Z34=Z7Z8

=4 √315

(cos2700+ isen2700 )=4 √315

(cis2700 )

34.Z34=Z7Z8

=4 √315 [cos( 32 π )+ isen(32 π )]=4√315 [cis( 32 π )]

Forma Exponencial de un número complejo

Con las leyes de los exponentes tenemos que: an ∙ am=an+m yan

am=an−m en particular si en

lugar de a tomamos el valor e ,entonces ex ∙ ey=ex+ y yex

e y =ex− y con x, y ∈R .

Se tiene que Z∈⊄ , Z=a+bi .¿Qué pasa con eZ=ea+bi ?

Sabemos que ea+bi=eaebi como a∈R conocemos el valor de ea, pero con ebi tenemos el

problema de la i, ya que no sabemos cuánto vale e porque ebi=(e i )b ó también ebi=(eb )i.

La fórmula de Euler nos dice que el desarrollo de e iθ=(cosθ+isen θ), de acuerdo con esto un

número complejo Z=a+bi se podrá escribir con la notación de Euler como

Z=es+iθ=ese iθ=es(cos θ+isenθ), donde es=r∴Z=r eiθ=r (cosθ+isen θ).

La ecuación Z=r e iθ es la forma Exponencial de los números complejos.

Los números complejos no se pueden sumar o restar en forma Exponencial, por lo que en este caso primero se pasan a forma Polar, luego se pasan a forma rectangular, se hace la suma o resta y se regresa el resultado primero a forma Polar y luego a forma binómica.

34

Pasar de forma Exponencial a forma Polar es muy sencillo ya que

Z=r e iθ=r (cosθ+ isenθ)

35. Determinemos la forma polar en grados y radianes de

35.Z35=4ei1500

35.Z35=4 r ei1500=4(cos 1500+isen1500)=4 (cis1500)

π=1800∴(150¿¿0)( π1800 )=(π )(15001800 )=56 π=5 π

6¿

35.Z35=4 r ei1500=4[cos ( 5π6 )+isen1500( 5 π6 )]=4 [cis( 5π6 )]

36. Determinemos la forma polar en grados y radianes de

36. Z36=4 ei2400

36. Z36=4 ei2400=4 (cos24 00+isen2400)=4(cis24 00)

π=1800∴(240¿¿0)( π1800 )=(π )( 24001800 )=43 π= 4π3 ¿

36.Z36=4ei2400=4 [cos( 4 π3 )+ isen1500( 4 π3 )]=4 [cis( 4 π3 )]

Es igual de sencillo pasar de forma Polar a forma Exponencial

37. Determinemos la forma Exponencial en grados y radianes de

37.Z37=√3e i1200

37.Z37=√3e i1200

=√3(cos1200+isen1200)=√3 (cis1200)

π=1800∴(120¿¿0)( π1800 )=(π )(12001800 )=23 π=2 π3 ¿

37.Z37=√3ei2 π3 =√3 [cos ( 2π3 )+ isen(2 π3 )]=√3[cis( 2π3 )]

38. Determinemos la forma Exponencial en grados y radianes de

35

38.Z38=6√3e i3000

38.Z38=6√3e i3000

=6 √3(cos3000+isen3000)=6√3(cis3000)

π=1800∴(300¿¿0)( π1800 )=(π )( 30001800 )=53 π=5 π

3¿

38.Z38=6√3ei3000=6 √3 [cos ( 5π3 )+ isen(5 π3 )]=6√3[cis( 5π3 )]

Ya se mencionó que los números complejos no se pueden sumar o restar en forma Exponencial. En este caso se pasan a forma Polar, luego a forma rectangular, se hace la operación de suma o resta y luego se pasa el resultado a forma polar y finalmente a forma Exponencial.

Vamos a resolver una suma y una resta de números complejos en forma Exponencial.

39. Suma en forma Exponencial Z39=Z35+Z36. Ya se vió que:

Z35=4ei1500=4 (cos1500+isen1500)

Z35=4 [ (−0.866025403 )+ (0.5 ) i ]=4 [−√ (0.866025403 )2+ 12i]=4 [−√0.75+ 1

2i ]

Z35=−4 (√3√4 )+ 42 i=−4 (√32 )+2i=−2√3+2 i

Z36=4 ei2400=4 (cos24 00+isen2400)=4 [ (−0.5 )+(−0.866025403 )i ]

Z36=4 [(−12 )−√0.75 i ]=−2−(4 √3√4 ) i=−2−2√3i

Z39=Z35+Z36=(−2√3+2 i )+ (−2−2√3i )=(−2√3−2 )+(2 i−2√3 i )

39.Z39=Z35+Z36=(−2√3−2 )+(2−2√3 ) i=−5.464101615−1.464101615 i

El valor Z39=Z35+Z36 es en forma rectangular, pasemos a forma Polar y Exponencial.

Z39=−5.464101615−1.464101615 i

Z39 está en el tercer cuadrante, primero determinamos la amplitud (argumento) α en grados con

la expresiónα=tan−1|−1.464101615||−5.464101615|

teniendo lacalculadora en DEG.

36

α=tan−1|−1.464101615||−5.464101615|

=tan−10.267949192=150

El valor 150 es exacto, como α está en el tercer cuadrante (ver la tabla) θ=1800+α .

θ=1800+α=1800+150=1950

El argumento enradianes se calculacon α=tan−1|−1.464101615||−5.464101615|

con la calculadoraen RAD

α=tan−1|−1.464101615||−5.464101615|

=tan−10.267949192=0.261799387 ππ=0.083333333 π rad

α= 112

π= π12

rad

Como α está en el tercer cuadrante (ver la tabla) θ=1800+α=¿ π+α pues 1800=π .

θ=π+ π12

=12π12

+ π12

=13π12

rad


θ=1950( π1800 )=( 19501800 ) π=13π12 rad


r=√(−5.464101615)2+(−1.464101615)2=√29.85640646+2.143593539=√32

r=√16 ∙2=√16√2=4√2

Como x+ yi=r (cosθ+isenθ )=rcisθ=r eiθ se tiene que:

39.Z39=Z35+Z36=−5.464101615−1.464101615 i

39.Z39=4√2 (cos1950+isen1950 )=4√2 (cis1950 )

39.Z39=4√2[cos( 13 π12 )+isen( 13π12 )]=4√2[cis( 13π12 )]39.Z39=4√2e i150

0

=4 √2ei13π12

40. Demuestre que la resta en forma Exponencial

37

40. Z40=Z37−Z38=−7√32

+ 212i dondeZ37=√3e i120

0

y Z38=6√3ei3000

40. Z40=7√3 (cos1200+isen1200 )=7 √3 (cis1200 )

40. Z40=7√3[cos( 2 π3 )+isen1500( 2π3 )]=7√3[cis( 2π3 )]40. Z40=7√3ei120

0

=7√3ei 2π3

La multiplicación de números complejos en forma Exponencial es relativamente sencilla. Los módulos se multiplican y los argumentos se suman.

(r1e i θ1 ) (r2 e iθ2 )=r1 r2 [ ei (θ1+θ2) ]

Multipliquemos

41. Z39 ∙ Z40=Z41

Se tieneque :Z39=4 √2e i1950

=4√2ei 13π12 y Z40=7√3ei120

0

=7√3ei 2π3

Z41=Z39 ∙ Z40=4 √2e i1950

∙7√3e i1200

=(4 ∙7 ) (√2√3 )e i(195¿¿ 0+1200)=28√2∙ 3ei 315

0

¿

41. Z41=Z39 ∙ Z40=28√6ei3150

Z41=Z39 ∙ Z40=4 √2ei13π12 ∙7√3e

i2 π3 =(4 ∙7 ) (√2√3 )e

i( 13π12 +2π3 )

=28√2∙3ei 21π12

41. Z41=Z39 ∙ Z40=28√6ei 21 π12

42. Demuestre que si Z42 ¿5e i450

=5ei π4 y Z43=

43ei2400

=43ei 4 π3

42. Z44=Z42 ∙ Z43=( 203 )ei2850

42. Z44=Z42 ∙ Z43=( 203 )ei2850

La división de números complejos en forma Exponencial es relativamente sencilla. Los módulos se dividen y los argumentos se restan

r1 ei θ1

r2 ei θ2

=r 1r 2

[e i(θ1−θ2) ]

38

Dividamos

43.Z39Z40

=Z45

Se tieneque :Z39=4 √2e i1950

=4√2ei 13 π12 y Z40=7√3ei120

0

=7√3ei 2π3

43. Z45=Z39Z40

=4√2ei1950

7√3e i1200=( 4 √2

7√3 ) [e i (1950−1200 ) ]=( 4√27√3 )ei750

43. Z45=Z39Z40

=4√2e

i 13π12

7√3ei 2π3

=( 4 √27√3 ) [e

i( 13π12 −2π3 ) ]=( 4√27 √3 )[ei (

13π−8π12 )]=( 4 √2

7√3 ) [ei( 5π12 )]

44. Demuestre que si Z42 ¿5e i450

=5ei π4 y Z43=

43ei2400

=43ei 4 π3

44. Z46=Z42Z43

=154

[e i (1650) ]

44. Z46=Z42Z43

=154

[e i( 11π12 )]1.5 Teorema de Moivre, potencias y extracción de raíces de un número complejo.

El Teorema de De Moivre dice que cuando se eleva a la n un número complejo en forma Exponencial se obtiene una ecuación que recibe el nombre de Fórmula de De Moivre.

SeaZ=r e i θ .Entonces

Zn=(r e iθ )n=rn (e i θ )n=rn e¿θ=rn (cos nθ+isen nθ )

Fórmulade De Moivre rn (cos θ+isenθ )n=rn (cos nθ+ isennθ )

Potencias de un número complejo en forma Polar.

1. Calcule Z18 ya se vió que:

Z1=3+3 i=3√2 (cos 450+isen450 )=3√2(cos π4 +isen π4 )

Z18=(3+3 i )8=[3√2 (cos450+isen450 ) ]8=[3√2(cos π4 +isen π

4 )]8

39

Resolvamos primero en grados y luego en radianes usando la Fórmula de De Moivre

rn (cosθ+isen θ )n=rn (cosnθ+isen nθ )

Z18=[3√2 (cos 450+isen450 ) ]8=(3√2 )8 [ (cos 450+isen450 ) ]8

Z18=(3 )8 (√2 )8 [ cos (8 ∙450 )+isen (8 ∙450 ) ]=(6,561 ) (16 ) (cos3600+isen3600 )

Con la calculadora en DEG ó D se calcula cos3600

1.Z18=104,976 (cos3600+isen3600 )=104,976 (1+0 )=104,976

Z18=[3√2(cos π4 +isen π

4 )]8

=(3√2 )8[(cos π4 +isen π4 )]

8

Z18=(3 )8 (√2 )8[cos(8∙ π4 )+isen(8 ∙ π4 )]=(6,561 ) (16 ) (cos2π+isen2π )

Con la calculadora en RAD ó R se calcula cos2 π

1.Z18=104,976 (cos 2π+isen2π )=104,976 (1+0 )=104,976

2. Demuestre que si Z2=−1+√3i

2.Z211=−1,024−1,024 (√3 ) i

3. Calcule Z315 ya se vió que

Z3=−12

√3−12i=1 (cos2100+isen2100 )=1(cos 7 π6 +isen 7 π

6 )Z315=(−12 √3−1

2i)15

= [1 (cos2100+isen2100 ) ]15=[1(cos 7π6 +isen 7 π6 )]

15

Resolvamos primero en grados y luego en radianes usando la Fórmula de De Moivre

rn (cosθ+isen θ )n=rn (cosnθ+isen nθ )

Z315=[−12 √3−1

2i]15

=(1 )15 [ (cos2100+isen2100 ) ]15

Z315=1 [cos (15∙2100 )+ isen (15 ∙2100 ) ]=1 (cos3,1500+isen3,1500 )

40

Con la calculadora en DEG ó D se calcula cos3,1500

3.Z315=1 (cos3,1500+isen3,1500 )=1 (0−i )=−i

Z315=[1(cos 7 π6 +isen 7 π

6 )]15

=(1 )15 [(cos 7 π6 +isen 7 π6 )]

15

Z315=1 [cos (15 ∙ 7 π6 )+isen(15 ∙ 7 π6 )]=1(cos 105 π6 + isen 105π

6 )=1(cos 35 π2 + ise n 35 π2 )

Con la calculadora en RAD ó R se calcula cos35 π2

3.Z315=1(cos 35 π2 + isen 35π

2 )=1 (0−i )=−i

4. Demuestre que si Z4=4−3i

4. Z420=9.10045 X 1013−2.85155 X1013 i

5. Calcule (Z35)13

ya se vió que Z35=4ei1500

5. (Z35 )13=(4e i1500 )13=(4 )13e i (13)1500=67,108,864e i1,950

0

π=1800∴(150¿¿0)( π

1800 )=(π )(1500

1800 )=56 π=5 π6

Z35=4 ei (5 π6 )

¿

5. (Z35 )13=[4e i( 5π6 )]13

=(4 )13 ei (13 )( 5π6 )

=67,108,864 ei (65π6 )

6. Demuestre que si Z36=4 ei2400

6. (Z36 )11=4,194,304 ei2,6400

6. (Z36 )11=4,194,304 ei ( 44π3 )

7. Calcule (Z37)14 ya se vió que Z37=√3e i120

0

7. (Z37 )14=(√3ei1200 )14=(√3 )14 e i (14)1200=2,187e i1,680

0

41

π=1800∴(120¿¿0)( π1800 )=(π )(12001800 )=23 π=2 π3 ¿

Z37=√3ei( 2π3 )

7. (Z37 )14=[√3e i( 2π3 )]14

=(√3 )14 ei(14)(2 π3 )

=2,187ei( 28π3 )

Raíces de un número complejo en forma Polar.

Si k es un entero con valores sucesivos k=0 ,1 ,2 ,3 ,…,n−1,

cosθ=cos (θ+k ∙3600 ) y senθ=sen (θ+k ∙3600 )

Luego ( x+ yi )1n=[r (cosθ+ isenθ ) ]

1n ó n√ x+ yi=n√r (cosθ+isenθ)

( x+ yi )1n={r [cos (θ+k ∙3600 )+ isen (θ+k ∙3600 ) ]}

1n

( x+ yi )1n=r

1n [cos ( θ+k ∙3600n )+isen( θ+k ∙3600n )]

En el caso de radianes se tiene lo siguiente para 3600=2π

( x+ yi )1n={r [cos (θ+k ∙2π )+isen (θ+k ∙2π ) ]}

1n

( x+ yi )1n=r

1n [cos ( θ+k ∙2πn )+isen( θ+k ∙2πn )]

Las ecuaciones en letras negritas nos indican que un número cualquiera tanto real como complejo, tiene n raíces enésimas distintas, donde la primera raíz será para k=0, la segunda raíz será para k=1, la tercera raíz será para k=2, y así hasta llegar a la raíz n que será para k=n−1.

Aunque todas las operaciones con números complejos son importantes es necesario que la solución de raíces con números complejos quede bien comprendida, ya que al resolver ecuaciones polinómicas con números complejos se tendrá que resolver raíces. Es debido a esto que antes de resolver una raíz con números complejos vamos a desarrollar las ecuaciones para raíz cuadrada, para raíz cúbica y para raíz cuarta.Raíz cuadrada de un número complejo.

Se resuelven dos raíces Z1 y Z2 pero ya hemos usado Z1 y Z2 como los dos primeros números complejos para pasar de forma binómica a forma Polar, por lo cual usaremos en lugar de Z1 y Z2, para las dos raíces; Z (1) y Z (2).

( x+ yi )12=2√ x+ yi=2√r (cosθ+ isenθ)=√x+ yi=√r (cosθ+isen θ)

42

( x+ yi )12=r

12 [cos (θ+k ∙36002 )+isen(θ+k ∙3600

2 )]Para raíz cuadrada n=2, k=0 para la raíz Z (1) y k=1 para la raíz Z (2)

En grados las dos raíces son:

Z (1) (k=0 )=√r [cos ( θ+0 ∙36002 )+isen( θ+0 ∙36002 )]Z (2) (k=1 )=√r [cos( θ+1 ∙36002 )+isen( θ+1 ∙36002 )]En radianes las dos raíces son:

Z (1) (k=0 )=√r [cos ( θ+0 ∙2 π2 )+isen( θ+0 ∙2π2 )]Z (2) (k=1 )=√r [cos( θ+1 ∙2π2 )+isen( θ+1 ∙2π2 ) ]Raíz cúbica de un número complejo.

Se resuelven tres raíces Z1, Z2 y Z3 pero ya hemos usado Z1, Z2 y Z3 como los tres primeros números complejos para pasar de forma binómica a forma Polar, por lo cual usaremos en lugar de Z1, Z2 y Z3, para las tres raíces; Z (1), Z (2) y Z (3).

( x+ yi )13=3√ x+ yi=3√r (cosθ+isenθ)

( x+ yi )13=r

13 [cos (θ+k 3600

3 )+isen( θ+k36003 )]Para raíz cúbica n=3, k=0 para la raíz Z (1), k=1 para la raíz Z (2) y k=2 para la raíz Z (3)

En grados las tres raíces son:

Z (1) (k=0 )=3√r [cos ( θ+0 ∙36003 )+isen( θ+0 ∙36003 )]Z (2) (k=1 )=3√r [cos( θ+1 ∙36003 )+isen( θ+1 ∙36003 )]

43

Z (3) (k=2 )=3√r [cos (θ+2∙36003 )+isen( θ+2 ∙36003 )]En radianes las tres raíces son:

Z (1) (k=0 )=3√r [cos ( θ+0 ∙2 π3 )+isen( θ+0 ∙2π3 )]Z (2) (k=1 )=3√r [cos( θ+1 ∙2π3 )+isen( θ+1 ∙2π3 ) ]Z (3) (k=2 )=3√r [cos (θ+2∙2π3 )+isen(θ+2∙2π

3 )]Raíz cuarta de un número complejo.

Se resuelven cuatro raíces Z1, Z2, Z3y Z4 pero ya hemos usado Z1, Z2, Z3y Z4 como los cuatro primeros números complejos para pasar de forma binómica a forma Polar, por lo cual usaremos en lugar de Z1, Z2, Z3y Z4 para las cuatro raíces; Z (1), Z (2), Z (3)y Z4.

( x+ yi )14= 4√x+ yi=4√r (cosθ+isen θ)

( x+ yi )14=r

14 [cos (θ+k 3600

4 )+isen( θ+k36004 )]Para raíz cuarta n=4, k=0 para la raíz Z (1), k=1 para la raíz Z (2), k=2 para la raíz Z (3) y k=3

para la raíz Z (4 ).

En grados las cuatro raíces son:

Z (1) (k=0 )=4√r [cos ( θ+0 ∙36004 )+isen( θ+0 ∙36004 )]Z (2) (k=1 )=4√r [cos( θ+1 ∙36004 )+isen( θ+1 ∙36004 )]Z (3) (k=2 )=4√r [cos (θ+2∙36004 )+isen( θ+2 ∙36004 )]Z (4 ) (k=3 )=4√r [cos( θ+3 ∙36004 )+isen( θ+3 ∙36004 )]

44

En radianes las cuatro raíces son:

Z (1) (k=0 )=4√r [cos ( θ+0 ∙2 π4 )+isen( θ+0 ∙2π4 )]Z (2) (k=1 )=4√r [cos( θ+1 ∙2π4 )+isen( θ+1 ∙2π4 ) ]Z (3) (k=2 )=4√r [cos (θ+2∙2π4 )+isen(θ+2∙2π

4 )]Z (4 ) (k=3 )=4√r [cos( θ+3 ∙2π4 )+ isen( θ+3∙2π4 )]Todas las raíces serán resueltas paso a paso, con la práctica será posible omitir varios pasos.

8. Vamos a resolver la raíz cuadrada de: 4 (cos300+isen300 )

Z47=√4 (cos300+isen300 )=√4[cos ( 300+k ∙36002 )+isen( 300+k ∙36002 )]Z47 (1) (k=0 )=√4 [cos (300+0 ∙36002 )+ isen(300+0 ∙36002 )]=2(cos150+isen150)Z47 (1) (k=0 )=2 (0.965925826+0.258819045i )=1.931851653+0.51763809 i

8.Z 47(1) ( k=0 )=2(cos 150+isen150)=1.9319+0.51764 i

Solo hasta el final se redondea a 5 cifras significativas.

Z47 (2) (k=1 )=√4 [cos( 300+1 ∙36002 )+isen( 300+1 ∙36002 )]Z47 (2) (k=1 )=2 (cos1950+isen1950 )=2 (−0.965925826−0.258819045 i )

Z47 (2) (k=1 )=−1.931851653−0.51763809i

8.Z 47(2) (k=1 )=2 (cos1950+isen1950 )=−1.9319−0.51764 i

Solo hasta el final se redondea a 5 cifras significativas.

Las dos raíces son:

45

8.Z 47(1) ( k=0 )=2 (cos150+isen150 )=1.9319+0.51764 i primer cuadrante

8.Z 47(2) (k=1 )=2 (cos1950+isen1950 )=−1.9319−0.51764 i tercer cuadrante

Al graficar las raíces quedan como línea que pasa por el origen, 1950−150=1800

9. Demuestre que si Z48=√64 (cos600+ isen600 ) al calcular la raíz cuadrada se obtiene:

9.Z 48(1) ( k=0 )=8 (cos300+ isen300 )=4 √3+4 i

9.Z 48(2) (k=1 )=8 (cos2100+isen2100 )=−4 √3−4 i

10. Vamos a resolver la raíz cuadrada de:

Z6 donde Z6=7 i

se tieneque Z6=7 i=7 (cos900+ isen900 )=7(cos π2 +isen π2 )∴

Z49=√Z6=√7 i=√7 (cos 900+isen900 )=√7 (cos π2 +isen π2 )

Resolvamos primero en grados las dos raíces y después en radianes:

Z49=√7 (cos900+isen900 )=√7[cos ( 900+k ∙36002 )+isen( 900+k ∙36002 ) ]Z49(1) (k=0 )=√7[cos ( 900+0 ∙36002 )+isen( 900+0 ∙36002 )]10.Z49 (1 ) (k=0 )=√7 (cos450+ isen450 )=√7 (0.707106781+0.707106781 i)

cos 450=0.707106781=√ (0.707106781 )2=√0.5=√ 12=√1√2

= 1√2

y

sen450=0.707106781= 1

√2∴

Z49(1) (k=0 )=√7( 1√2+ 1

√2i)=√7

√2+ √7

√2i

Veamos la simplificaciónde √7√2

46

√7√2

=√2√2

∙ √7√2

=√2√7√2√2

=√2 ∙7√2 ∙2

=√14√4

=√142

10.Z49 (1 ) (k=0 )=√142

+ √142

i

Z49(2) (k=1 )=√7 [cos( 900+1∙36002 )+isen( 900+1∙36002 )]Z49(2) (k=1 )=√7 (cos2250+isen2250 )

cos2250=−0.707106781=−√ (0.707106781 )2=−√0.5=−√ 12=−√1√2

=−1√2

y

sen2250=−0.707106781=−1√2

∴

10.Z49 (2 ) (k=1 )=√7(−1√2− 1

√2i)=−√7

√2−√7

√2i=−√14

2−√142

i


10.Z49 (1 ) (k=0 )=√7 (cos450+ isen450 )=√142

+ √142

i primer cuadrante

10.Z49 (2 ) (k=1 )=√7 (cos 2250+isen2250 )=−√142

−√142

i tercer cuadrante


Resolvamos en radianes las dos raíces:

Z49=√Z6=√7 i=√7(cos π2 +isen π2 )

Z49=√7(cos π2 + isenπ2 )=√7[cos ( π2 +k ∙2π

2 )+isen( π2 +k ∙2π

2 )]Z49(1) (k=0 )=√7[cos ( π2 +0 ∙2 π

2 )+isen( π2 +0 ∙2 π

2 )]10.Z49 (1 ) (k=0 )=√7 (cos π4 +isen π

4 ) primer cuadrante

47

Z49(2) (k=1 )=√7 [cos( π2 +1 ∙2π

2 )+isen( π2 +1 ∙2 π

2 )]Nota : 22 ∙2 π=4 π2Z49(2) (k=1 )=√7 [cos( π2 +

4 π22 )+isen( π2 +

4 π22 )]=√7 [cos( 5π22 )+isen( 5π22 )]

10.Z49 (2 ) (k=1 )=√7(cos 5π4 +isen 5π4 ) tercer cuadrante

Al graficar las raíces quedan como línea que pasa por el origen, 5π4

− π4=π

Podemos observar que las raíces son las mismas tanto al resolver en grados como en radianes.Es posible que en lugar de resolver en radianes solo multipliquemos cada una de las raíces obtenidas en grados por:

π1800

∴450 ∙ π1800

=450 ∙ π1800

= π4,2250 ∙

π1800

=2250 ∙ π

1800=5π4

11. Demuestre que si Z7=−4 al calcular la raíz cuadrada se obtiene:

11. Z50 (1 ) ( k=0 )=2 (cos900+isen900 )=2 i=2(cos π2 + isen π2 )

11. Z50 (2 ) ( k=1 )=2 (cos 2700+isen2700 )=−2 i=2[cos ( 3π2 )+ isen(3 π2 )]12. Vamos a resolver la raíz cuadrada de: Z2 donde Z2=−1+√3i

se tieneque Z2=−1+√3 i=2 (cos1200+isen1200 )=2(cos 2π3 +isen 2 π3 )∴

Z51=√Z2=√−1+√3 i=√2 (cos1200+isen1200 )=√2(cos 2π3 +isen 2π3 )


Z51=√2[cos ( 1200+k ∙36002 )+isen( 1200+k ∙36002 )]Z51 (1 ) (k=0 )=√2 [cos( 1200+0 ∙36002 )+isen( 1200+0 ∙36002 )]

48

12.Z51 (1) (k=0 )=√2 (cos600+isen600 )=√2 (0.5+0.866025404 i )

cos600=0.5=12y

sen600=0.866025404=√(0.866025404 )2=√0.75=√ 34=√3√4

=√32

∴

Z51 (1 ) (k=0 )=√2 (12 + √32i)=√2

2+ √2√3

2i=√22

+ √2 ∙32

i=√22

+ √62i

Veamos la simplificaciónde6

√2

6√2

=3 ∙2√2

=3 ∙√22

√2=3∙√2∙2

√2=3∙√2√2

√2=3√2

12.Z51 (1) (k=0 )=√22

+ √62i=√2

2+3√2 i

Z51 (2 ) (k=1 )=√2[cos ( 1200+1∙36002 )+isen( 1200+1 ∙36002 )]12.Z51 (2) (k=1 )=√2 (cos2400+isen2400 )=√2 (−0.5−0.866025404 i )

cos2400=−0.5=−12

y

sen2400=−0.866025404=−√ (0.866025404 )2=−√0.75=−√ 34=−√3√4

=−√32

∴

Z51 (2 ) (k=1 )=√2(−12 −√32i)=−√2

2−√2√3

2i=−√2

2−√2 ∙3

2i=−√2

2−√62i

Sevió que6

√2=3√2


12.Z51 (1) (k=0 )=√2 (cos600+isen600 )=√22

+3√2i primer cuadrante

12.Z51 (2) (k=1 )=√2 (cos2400+isen2400 )=−√22

−3√2i tercer cuadrante


49


Z51=√Z2=√2(cos 2π3 +isen 2π3 )

Z51=√2[cos ( 2 π3 +k ∙2π

2 )+isen( 2 π3 +k ∙2π

2 )]Z51 (1 ) (k=0 )=√2 [cos( 2π3 +0 ∙2 π

2 )+isen( 2 π3 +0∙2π

2 )]Nota : 2π32 =2π6

=π3

12.Z51 (1) (k=0 )=√2(cos π3 +isen π3 )=√2 (0.5+0.866025404 i )

Sevió que :Z51 (1) (k=0 )=√2 (cos600+isen600 )=√2 (0.5+0.866025404 i )

12.Z51 (1) (k=0 )=√2( 12+ √32i)=√2

2+3√2i

Z51 (2 ) (k=1 )=√2[cos ( 2 π3 +1 ∙2π

2 )+isen( 2π3 +1∙2π

2 )]Nota: 33 ∙2π=6π3

Z51 (2 ) (k=1 )=√2[cos ( 2 π3 +6 π3

2 )+ isen( 2π3 +6 π3

2 )]=√2[cos ( 8 π32 )+ isen( 8 π32 )]12.Z51 (2) (k=1 )=√2(cos 8 π6 +isen 8π

6 )=√2(cos 4 π3 +isen 4 π3 )

Z51 (2 ) (k=1 )=√2(−0.5−0.866025404 i)

Sevió que :Z51 (2) (k=1 )=√2 (cos2400+isen2400 )=√2(−0.5−0.866025404 i)

Z51 (2 ) (k=1 )=√2(−12 −√32i)=−√2

2−3√2i


12.Z51 (1) (k=0 )=√2(cos π3 +isen π3 )=√2

2+3√2 i primer cuadrante

50

12.Z51 (2) (k=1 )=√2(cos 4 π3 +isen 4 π3 )=−√2

2−3√2 i tercer cuadrante

Al graficar lasraíces quedancomolínea que pasa por el origen ,4π3

−π3=π

Podemos observar que las raíces son las mismas tanto al resolver en grados como en radianes. Es posible que en lugar de resolver en radianes solo multipliquemos cada una de las raíces obtenidas en grados por:

π1800

∴600 ∙ π1800

=600∙ π1800

=π3,2400 ∙

π1800

=2400 ∙ π

1800=4 π3

13. Demuestre que si Z5=8 al calcular la raíz cuadrada se obtiene:

13.Z52 (1) (k=0 )=2√2 (cos00+isen00 )=2√2=2√2 (cos0+isen0 )

13.Z52 (2) (k=1 )=2√2 (cos1800+isen1800 )=−2√2=2√2 (cos π+isen π )

14. Vamos a resolver la raíz cuadrada de: −36 i

el valor−36i está en2700 , r=36∴−36 i=36 (cos2700+isen2700)

−36 i=36 (cos 3π2 +isen 3 π2 )

Z53=√−36 i=√36 (cos2700+isen2700 )=√36 (cos 3π2 +isen 3 π2 )


Z53=√36 [cos( 2700+k ∙36002 )+ isen( 2700+k ∙36002 )]Z53 (1 ) ( k=0 )=√36[cos (2700+0 ∙36002 )+ isen(2700+0 ∙36002 )]14.Z53 (1) (k=0 )=6 (cos1350+isen1350 )=6(−0.707106781+0.707106781 i)

cos1350=−0.707106781=−√ (0.707106781 )2=−√0.5=−√ 12=−√1√2

=−1√2

y

sen1350=0.707106781= 1

√2∴

51

Z53 (1 ) ( k=0 )=6(−1√2+ 1√2

i)=−6√2

+ 6√2

i

Se vió que:

6

√2=3√2∴14.Z53 (1) (k=0 )=−3√2+3√2i

Z53 (2 ) ( k=1 )=√36 [cos( 2700+1 ∙36002 )+isen( 2700+1 ∙36002 )]14.Z53 (2) (k=1 )=6 (cos 3150+isen3150 )=6 (0.707106781−0.707106781i)

cos3150=0.707106781=√(0.707106781 )2=√0.5=√ 12=√1√2

= 1√2

y

sen3150=−0.707106781=−1√2

∴

Z53 (2 ) ( k=1 )=6( 1√2− 1

√2i)= 6

√2− 6

√2i

6

√2=3√2∴14.Z53 (2) (k=1 )=3√2−3√2i


14.Z53 (1) (k=0 )=6 (cos1350+isen1350 )=−3√2+3√2i segundo cuadrante

14.Z53 (2) (k=1 )=6 (cos 3150+isen3150 )=3√2−3√2i cuarto cuadrante



Z53=√36 (cos 3π2 +isen 3 π2 )

Z53=√36 [cos( 3π2 +k ∙2π

2 )+isen( 3π2 +k ∙2π

2 )]

52

Z53 (1 ) ( k=0 )=√36[cos ( 3π2 +0 ∙2π

2 )+ isen( 3π2 +0 ∙2π

2 )]14.Z53 (1) (k=0 )=6 (cos 3 π4 +isen 3 π

4 )=6(−0.707106781+0.707106781i)Sevió que :Z53 (1) (k=0 )=6 (cos1350+isen1350 )=6 (−0.707106781+0.707106781i )

Z53 (1 ) ( k=0 )=6(−1√2+ 1√2

i)=−6√2

+ 6√2

i=−3√2+3√2i∴

Z53 (2 ) ( k=1 )=√36 [cos( 3π2 +1∙2π

2 )+isen( 3 π2 +1∙2π

2 )]Z53 (2 ) ( k=1 )=6[cos ( 3π2 +

4 π2

2 )+isen( 3π2 +4 π2

2 )]=6 [cos( 7 π22 )+isen( 7 π22 )]14.Z53 (2) (k=1 )=6(cos 7π4 +isen 7 π

4 )=6(0.707106781−0.707106781 i)Sevió que :Z53 (2) (k=1 )=6 (cos 3150+isen3150 )=6 (0.707106781−0.707106781i )

Z53 (2 ) ( k=1 )=6( 1√2− 1

√2i)= 6

√2− 6

√2i=3√2−3√2i∴


14.Z53 (2) (k=0 )=6 (cos 3 π4 +isen 3 π4 )=−3√2+3√2 i segundocuadrante

14.Z53 (2) (k=1 )=6(cos 7π4 +isen 7 π4 )=3√2−3√2 i cuarto cuadrante

Al graficar lasraíces quedancomolínea que pasa por el origen ,7 π4

−3π4

=π

Podemos observar que las raíces son las mismas tanto al resolver en grados como en radianes.Es posible que en lugar de resolver en radianes solo multipliquemos cada una de las raíces obtenidas en grados por:

53

π1800

∴1350 ∙ π1800

=1350 ∙ π

1800=3 π4,3150 ∙

π1800

=3150 ∙ π

1800=7π4

15. Vamos a resolver la raíz cúbica de: 8

el valor 8está en00 , r=8∴8=8 (cos00+isen00 )=8 (cos0+isen0 )

Z54=3√8= 3√8 (cos 00+isen00 )= 3√8 (cos 0+isen0 )

Resolvamos primero en grados las tres raíces y después en radianes:

Z54=3√8 (cos00+isen00 )=3√8[cos ( 00+k ∙36003 )+isen( 00+k ∙36003 )]

Z54 (1) (k=0 )=3√8[cos ( 00+0 ∙36003 )+isen( 00+0 ∙36003 )]15.Z54 (1 ) (k=0 )=2 (cos00+isen00 )=2 (1+0 i )=2

Z54 (2) (k=1 )=3√8[cos( 00+1∙36003 )+isen( 00+1 ∙36003 )]15.Z54 (2 ) (k=1 )=2 (cos1200+ isen1200)=2 (−0.5+0.866025404 i )


Z51 (1 ) (k=0 )=√2 (12 + √32i)∴

15.Z54 (2 ) (k=1 )=2(−12 + √32i)=−2

2+ 2√32

i=−1+√3 i

Z54 (3) (k=2 )=3√8[cos ( 00+2∙36003 )+ isen( 00+2∙36003 )]15.Z54 (3 ) (k=2 )=2 (cos 2400+isen2400 )=2 (−0.5−0.866025404 i )

Sevió que :Z51 (2) (k=1 )=√2 (cos2400+isen2400 )=√2 (−0.5−0.866025404 i )

Z51 (2 ) (k=1 )=√2(−12 −√32i)∴

54

15.Z54 (3 ) (k=2 )=2 (−12 −√32i)=−2

2−2√32

i=−1−√3 i

Las tres raíces son:

15.Z54 (1 ) (k=0 )=2 (cos00+isen00 )=2est á enel eje x positivo

15.Z54 (2 ) (k=1 )=2 (cos1200+ isen1200)=−1+√3 i segundocuadrante

15.Z54 (3 ) (k=2 )=2 (cos 2400+isen2400 )=−1−√3i tercer cuadrante

Al graficar las raíces quedan como un círculo dividido en tres secciones iguales con:1200 entre cada raíz.

Resolvamos en radianes las tres raíces:

Z54=3√8 (cos0+isen0 )= 3√8 [cos( 0+k ∙2π3 )+isen( 0+k ∙2π3 )]

Z54 (1) (k=0 )=3√8[cos ( 0+0 ∙2π3 )+isen( 0+0∙2π3 )]15.Z54 (1 ) (k=0 )=2 (cos 0+isen0 )=2 (1+0 i )=2

Z54 (2) (k=1 )=3√8[cos( 0+1∙2π3 )+ isen( 0+1∙2π2 )]15.Z54 (2 ) (k=1 )=2 [cos ( 2π3 )+ isen(2 π3 )]=2 (−0.5+0.866025404 i )


Z51 (1 ) (k=0 )=√2 (12 + √32i)=√2

2+ √62i∴

Z54 (2) (k=1 )=2(−12 + √32i)=−2

2+ 2√32

i=−1+√3 i

Z54 (3) (k=2 )=3√8[cos ( 0+2∙2π3 )+isen( 0+2 ∙2 π3 )]15.Z54 (3 ) (k=2 )=2 [cos( 4 π3 )+isen( 4 π3 )]=2 (−0.5−0.866025404 i )

55

Sevió que :Z51 (2) (k=1 )=√2 (cos2400+isen2400 )=√2 (−0.5−0.866025404 i )

Z51 (2 ) (k=1 )=√2(−12 −√32i)∴

Z54 (3) (k=2 )=2(−12 −√32i)=−2

2−2√32

i=−1−√3 i


15.Z54 (1 ) (k=0 )=2 (cos 0+isen0 )=2est áen el eje x positivo

15.Z54 (2 ) (k=1 )=2 [cos ( 2π3 )+ isen(2 π3 )]=−1+√3i segundo cuadrante

15.Z54 (3 ) (k=2 )=2 [cos( 4 π3 )+isen( 4 π3 )]=−1−√3 i tercer cuadrante

Al graficar las raíces quedan como un círculo dividido en tres secciones iguales con:1200 entre cada raíz.Podemos observar que las raíces son las mismas tanto al resolver en grados como en radianes.Es posible que en lugar de resolver en radianes solo multipliquemos cada una de las raíces obtenidas en grados por:

π1800

∴00 ∙ π1800

=00 ∙ π1800

=0 ,1200∙ π1800

=1200 ∙ π

1800=2 π3,2400 ∙

π1800

=2400 ∙ π

1800=4 π3

16.Demuestre que laraíz cúbicade 27i es

16.Z55 (1) (k=0 )=3 (cos300+isen300 )=3√32

+ 32i=3 (cos π6 +isen π

6 )16.Z55 (2) (k=1 )=3 (cos1500+ isen1500 )=−3√3

2+ 32i=3[cos( 5π6 )+ isen(5 π6 )]

16.Z55 (3 ) (k=2 )=3 (cos 2700+isen2700 )=−3 i=3 [cos ( 9 π6 )+isen( 9π6 )]17. Vamos a resolver la raíz cúbica de: −64

el valor−64está en1800 , r=64∴−64=64 (cos1800+isen1800 )=64 (cosπ+ isenπ )

56

Z56=3√−64= 3√64 (cos1800+isen1800 )= 3√64 (cosπ+isenπ )

Resolvamos primero en grados las tres raíces y después en radianes:

Z56=3√64 (cos1800+isen1800 )=3√64[cos ( 1800+k ∙36003 )+isen( 1800+k ∙36003 )]

Z56 (1) ( k=0 )=3√64 [cos ( 1800+0 ∙36003 )+isen( 1800+0 ∙36003 )]17.Z56 (1 ) (k=0 )=4 (cos 600+isen600 )=4(0.5+0.866025404 i)


Z51 (1 ) (k=0 )=√2 (12 + √32i)∴

17.Z56 (1 ) (k=0 )=4 (12 + √32i)= 42 + 4√3

2i=2+2√3 i

Z56 (2) ( k=1 )= 3√64 [cos (1800+1∙36003 )+isen( 1800+1 ∙36003 )]17.Z56 (2 ) (k=1 )=4 (cos1800+isen1800 )=4 (−1+0 i)=−4

Z56 (3) (k=2 )=3√64[cos ( 1800+2∙36003 )+ isen( 1800+2∙36003 )]17.Z56 (3 ) (k=2 )=4 (cos3000+isen3000 )=4 (0.5−0.866025404 i )


Z51 (1 ) (k=0 )=√2 (12 + √32i)∴

17.Z56 (3 ) (k=2 )=4( 12−√32i)=42−4 √3

2i=2−2√3 i


17.Z56 (1 ) (k=0 )=4 (cos 600+isen600 )=2+2√3 i primer cuadrante

57

17.Z56 (2 ) (k=1 )=4 (cos1800+isen1800 )=−4 est áenel eje xnegativo

17.Z56 (3 ) (k=2 )=4 (cos3000+isen3000 )=2−2√3 i cuarto cuadrante



Z56=3√64 (cosπ+isenπ )=3√64[cos ( π+k ∙2 π

3 )+isen( π+k ∙2 π3 )]

Z56 (1) ( k=0 )=3√64 [cos ( π+0 ∙2 π3 )+isen( π+0 ∙2 π

3 )]17.Z56 (1 ) (k=0 )=4 (cos π3 +isen π

3 )=4 (0.5+0.866025404 i)Sevió que :Z51 (1) (k=0 )=√2 (cos600+isen600 )=√2 (0.5+0.866025404 i )

Z51 (1 ) (k=0 )=√2 (12 + √32i)∴

17.Z56 (1 ) (k=0 )=4 (12 + √32i)= 42 + 4√3

2i=2+2√3 i

Z56 (2) ( k=1 )= 3√64 [cos( π+1 ∙2π3 )+isen( π+1 ∙2 π

3 )]17.Z56 (2 ) (k=1 )=4[cos ( 3π3 )+ isen( 3 π3 )]=4 (cos π+isenπ )=4 (−1+0 i )=−4

Z56 (3) (k=2 )=3√64[cos ( π+2∙2π3 )+ isen( π+2 ∙2 π

3 )]17.Z56 (3 ) (k=2 )=4 [cos ( 5π3 )+ isen(5 π3 )]=4 (0.5−0.866025404 i )


Z51 (1 ) (k=0 )=√2 (12 + √32i)∴

58

17.Z56 (3 ) (k=2 )=4( 12−√32i)=42−4 √3

2i=2−2√3 i


17.Z56 (1 ) (k=0 )=4 [cos( π3 )+isen( π3 )]=2+2√3 i primer cuadrante17.Z56 (2 ) (k=1 )=4 (cos π+isen π )=−4 est áenel eje x negativo

17.Z56 (3 ) (k=2 )=4 [cos ( 5π3 )+ isen(5 π3 )]=2−2√3 icuarto cuadranteAl graficar las raíces quedan como un círculo dividido en tres secciones iguales con:1200 entre cada raíz.Podemos observar que las raíces son las mismas tanto al resolver en grados como en radianes.Es posible que en lugar de resolver en radianes solo multipliquemos cada una de las raíces obtenidas en grados por:

π1800

∴600 ∙ π1800

=600∙ π

1800=π3,1800 ∙

π1800

=1800 ∙ π

1800=π ,3000 ∙

π1800

=5π3

18.Demuestre que laraíz cúbicade−125 i es

18.Z57 (1 ) (k=0 )=5 (cos900+isen900 )=5 i=5(cos π2 + isen π2 )

18.Z57 (2 ) (k=1 )=5 (cos2100+isen2100 )=−5√32

−52i=5[cos( 7 π6 )+isen( 7 π6 )]

18.Z57 (3 ) (k=2 )=5 (cos 3300+isen3300 )=5√32

−52i=5[cos( 11π6 )+isen( 11π6 )]

19. Vamos a resolver la raíz cúbica de: −1+i

−1+i tiene comoargumento1350 ,r=√2∴−1+i=√2 (cos1350+ isen1350 )

−1+i=√2(cos 3 π4 +isen 3π4 )

Z58=3√−1+i= 3√√2 (cos1350+isen1350 )=3√√2(cos 3 π4 +isen 3π

4 )Resolvamos primero en grados las tres raíces y después en radianes:

59

Z58=3√√2 (cos1350+isen1350 )

Z58=3√√2[cos ( 1350+k ∙36003 )+isen( 1350+k ∙36003 )]

3√√2=[ (2 )12 ]13=(2 )(

12 )( 13 )=(2 )

16= 6√2

Z58 (1 ) ( k=0 )=6√2[cos( 1350+0 ∙36003 )+isen( 1350+0 ∙36003 )]19.Z58 (1) (k=0 )= 6√2 (cos 450+isen450 )=6√2 (0.707106781+0.707106781i )

Sevió que :Z49 (1 ) (k=0 )=√7 (cos450+isen450 )=√7(0.707106781+0.707106781i)

Z49(1) (k=0 )=√7( 1√2+ 1

√2i)∴

Z58 (1 ) ( k=0 )=6√2( 1√2 + 1√2

i)=6√2√2

+6√2√2

i

Vamosasimplificar6√2√2

6√2√2

=(2 )

16

(2 )12

=(2 )16−12=(2 )

2−612 =(2 )

−412=(2 )

−13 = 1

(2 )13

= 13√2

=3√23√2

∙3√23√2

∙13√2

=3√2 ∙2

3√2∙2∙2

6√2√2

=3√43√8

=3√42

∴

19.Z58 (1) (k=0 )=3√42

+3√42i

Z58 (2) ( k=1 )= 6√2 [cos ( 1350+1 ∙36003 )+ isen(1350+1∙36003 )]19.Z58 (2 ) (k=1 )=6√2 (cos1650+isen1650 )= 6√2 (−0.965925826+0.258819045 i)

No es posible simplificar elevando al cuadrado o al cubo, el cos1650ósen1650

Z58 (2) ( k=1 )=1.122462048 (−0.965925826+0.258819045 i )

19.Z58 (2 ) (k=1 )=−1.084215081+0.290514555 i=−1.0842+0.29051 i

60

Se redondeó a 5 cifras significativas solo hasta el final de los cálculos.

Z58 (3 ) ( k=2 )=6√2 [cos ( 1350+2 ∙36003 )+isen( 1350+2∙36003 )]19.Z58 (3 ) (k=2 )=6√2 (cos2850+isen2850 )=6√2 (0.258819045−0.965925826 i )

No es posible simplificar elevando al cuadrado o al cubo, el cos2850ósen 2850

Z58 (3 ) ( k=2 )=1.122462048 (0.258819045−0.965925826 i )

19.Z58 (3 ) (k=2 )=0.290514555−1.084215081 i=0.29051−1.0842 i



19.Z58 (1) (k=0 )= 6√2 (cos 450+isen450 )=3√42


19.Z58 (2 ) (k=1 )=6√2 (cos1650+isen1650 )=−1.0842+0.29051i segundo cuadrante

19.Z58 (3 ) (k=2 )=6√2 (cos2850+isen2850 )=0.29051−1.0842 i cuarto cuadrante



Z58=3√√2(cos 3 π4 + isen

3π4 )=6√2[cos( 3π4 +k ∙2π

3 )+ isen( 3 π4 +k ∙2π

3 )]Z58 (1 ) ( k=0 )=6√2[cos( 3π4 +0 ∙2π

3 )+isen( 3π4 +0 ∙2π

3 )]19.Z58 (1) (k=0 )= 6√2(cos 3 π12 +isen 3π

12 )=6√2(cos π4 + isen π4 )

Z58 (1 ) ( k=0 )=6√2(0.707106781+0.707106781 i)

Sevió que :Z49 (1 ) (k=0 )=√7 (cos450+isen450 )=√7(0.707106781+0.707106781i)

61

Z49(1) (k=0 )=√7( 1√2+ 1

√2i)∴

Z58 (1 ) ( k=0 )=6√2( 1√2 + 1√2

i)=6√2√2

+6√2√2

i

Sevió que :Z58 (1) (k=0 )= 6√2 (cos 450+isen450 )=6√2(0.707106781+0.707106781 i)

Z58 (1 ) ( k=0 )=6√2( 1√2 + 1√2

i)=6√2√2

+6√2√2

i=3√42

+3√42i∴

19.Z58 (1) (k=0 )=3√42

+3√42i

Z58 (2) ( k=1 )= 6√2 [cos ( 3 π4 +1∙2π

3 )+ isen( 3π4 +1 ∙2π

3 )]Z58 (2) ( k=1 )= 6√2 [cos ( 3 π4 +

8 π4

3 )+isen( 3 π4 +8 π4

3 )]= 6√2[cos ( 11 π43 )+isen( 11 π43 )]19.Z58 (2 ) (k=1 )=6√2[cos(11π12 )+isen( 11π12 )]=6√2 (−0.965925826+0.258819045 i )

Noes posible simplificar elevandoal cuadradooal cubo ,el cos ( 11π12 )ósen ( 11π12 )Z58 (2) ( k=1 )=1.122462048 (−0.965925826+0.258819045 i )

19.Z58 (2 ) (k=1 )=−1.084215081+0.290514555 i=−1.0842+0.29051 i


Z58 (3 ) ( k=2 )=6√2 [cos ( 3 π4 +2∙2π

3 )+isen( 3 π4 +2∙2π

3 )]Z58 (3 ) ( k=2 )=6√2 [cos ( 3 π4 +

16 π4

3 )+isen( 3 π4 +16 π4

3 )]

62

Z58 (3 ) ( k=2 )=6√2 [cos ( 19 π43 )+isen( 19 π43 )]19.Z58 (3 ) (k=2 )=6√2[cos (19 π12 )+isen( 19 π6 )]= 6√2 (0.258819045−0.965925826 i )

Z58 (2) ( k=1 )=1.122462048 (0.258819045−0.965925826 i )

19.Z58 (2 ) (k=1 )=0.290514555−1.084215081i=0.29051−1.0842 i



19.Z58 (1) (k=0 )= 6√2(cos π4 +isen π4 )=

3√42


19.Z58 (2 ) (k=1 )=6√2[cos (11π12 )+isen( 11π12 )]=−1.0842+0.29051 i2o .cuadrante

19.Z58 (3 ) (k=2 )=6√2[cos(19 π12 )+isen( 19 π6 )]=0.29051−1.0842 icuarto cuadranteAl graficar las raíces quedan como un círculo dividido en tres secciones iguales con:1200 entre cada raíz.Podemos observar que las raíces son las mismas tanto al resolver en grados como en radianes.Es posible que en lugar de resolver en radianes solo multipliquemos cada una de las raíces obtenidas en grados por:

π1800

∴450 ∙ π1800

=450 ∙ π1800

= π4,1650 ∙

π1800

=1650 ∙ π

1800=11π12

,2850 ∙π1800

=19 π12

20. Vamos a resolver la raíz cuarta de: −16

−16 tiene comoargumento 1800 , r=16∴−16=16 (cos 1800+isen1800 )

−16=16 (cos π+isen π )

Z59=4√−16=4√16 (cos1800+isen1800 )=4√16 (cos π+isen π )

Resolvamos primero en grados las cuatro raíces y después en radianes:

Z59=4√16 (cos1800+isen1800 )

63

Z59=4√16 [cos( 1800+k ∙36004 )+isen( 1800+k ∙36004 )]

Z59 (1 ) ( k=0 )=4√16[cos (1800+0∙36004 )+ isen( 1800+0∙36004 )]20.Z59 (1 ) (k=0 )=2 (cos 450+isen450 )=2(0.707106781+0.707106781i)

Sevió que :Z49 (1 ) (k=0 )=√7 (cos450+isen450 )=√7 (0.707106781+0.707106781 i )

Z49(1) (k=0 )=√7( 1√2+ 1

√2i)∴

Z59 (1 ) ( k=0 )=2( 1√2 + 1

√2i)= 2

√2+ 2

√2i

Veamos la simplificaciónde2

√2

2√2

= 2√2

∙ √2√2

= 2√2√2√2

= 2√2√2 ∙2

=2√2√4

=2√22

=√2

20.Z59 (1 ) (k=0 )=√2+√2 i

Z59 (2 ) ( k=1 )=4√16 [cos( 1800+1 ∙36004 )+isen( 1800+1∙36004 )]20.Z59 (2 ) (k=1 )=2 (cos1350+isen1350 )=2 (−0.707106781+0.707106781 i)

Sevió que :Z53 (1) (k=0 )=6 (cos1350+isen1350 )=6 (−0.707106781+0.707106781i )

Z53 (1 ) ( k=0 )=6(−1√2+ 1√2

i)∴

Z59 (2 ) ( k=1 )=2 (−1√2 + 1√2

i)=−2√2

+ 2

√2i

Sevió que :Z59 (1) (k=0 )=2 (cos 450+isen450 )=2 (0.707106781+0.707106781 i )

Z59 (1 ) ( k=0 )=2( 1√2 + 1

√2i)= 2

√2+ 2

√2i=√2+√2i∴

64

20.Z59 (2 ) (k=1 )=−√2+√2i

Z59 (3 ) ( k=2 )=2[cos( 1800+2 ∙36004 )+isen( 1800+2 ∙36004 )]20.Z59 (3 ) (k=2 )=2 (cos2250+isen2250 )=2 (−0.707106781−0.707106781i )

Sevió que :Z49 (2 ) (k=1 )=√7 (cos 2250+isen2250 )=√7 (−0.707106781−0.707106781i )

Z49(2) (k=1 )=√7 (−1√2− 1

√2i)∴

Z59 (3 ) ( k=2 )=2(−1√2− 1

√2i)=−2

√2− 2

√2i

Veamos la simplificaciónde− 2

√2

−2√2

=(−2√2 ) ∙ √2√2=−2√2√2√2

=−2√2√2∙2

=−2√2√4

=−2√22

=−√2∴

20.Z59 (3 ) (k=2 )=−√2−√2 i

Z59 (4) (k=3 )=2 [cos ( 1800+3 ∙36004 )+isen( 1800+3 ∙36004 )]20.Z59 (4 ) (k=3 )=2 (cos3150+isen3150 )=2 (0.707106781−0.707106781 i )

Sevió que :Z53 (2) (k=1 )=6 (cos 3150+isen3150 )=6 (0.707106781−0.707106781i )

Z49(2) (k=1 )=6( 1√2− 1

√2i)∴Se vió que :

20.Z59 (4 ) (k=3 )=2( 1√2− 1

√2i)= 2

√2− 2

√2i=√2−√2 i

yaque Z49 (2 ) (k=1 )=2( 1√2− 1

√2i)= 2

√2+ 2

√2i=√2−√2 i∴

Las cuatro raíces son:

65

20.Z59 (1 ) (k=0 )=2 (cos 450+isen450 )=√2+√2i primer cuadrante

20.Z59 (2 ) (k=1 )=2 (cos1350+isen1350 )=−√2+√2i segundo cuadrante

20.Z59 (3 ) (k=2 )=2 (cos2250+isen2250 )=−√2−√2 i tercer cuadrante

20.Z59 (4 ) (k=3 )=2 (cos3150+isen3150 )=√2−√2i cuarto cuadrante

Al graficar las raíces quedan como un círculo dividido en cuatro secciones iguales con:900 entre cada raíz.

Resolvamos en radianes las cuatro raíces:

Z59=4√16 (cos π+isen π )=4√16 [cos ( π+k ∙2 π

4 )+isen( π+k ∙2π4 )]

Z59 (1 ) ( k=0 )=4√16[cos ( π+0 ∙2π4 )+ isen( π+0 ∙2π

4 )]20.Z59 (1 ) (k=0 )=2 [cos( π4 )+isen( π4 )]=2 (0.707106781+0.707106781i )

Sevió que :Z49 (1 ) (k=0 )=√7 (cos450+isen450 )=√7 (0.707106781+0.707106781 i )

Z53 (1 ) ( k=0 )=√7( 1√2 + 1

√2i)∴

20.Z59 (1 ) (k=0 )=2 ( 1√2 + 1√2

i)= 2

√2+ 2

√2i=√2+√2 i

Z59 (2 ) ( k=1 )=4√16 [cos( π+1∙2π4 )+isen( π+1 ∙2π

4 )]20.Z59 (2 ) (k=1 )=2[cos ( 3π4 )+ isen( 3 π4 )]=2 (−0.707106781+0.707106781 i)

Sevió que :Z53 (1) (k=0 )=6 (cos1350+isen1350 )=6 (−0.707106781+0.707106781i )

Z53 (1 ) ( k=0 )=6(−1√2+ 1√2

i)∴

66

20.Z59 (2 ) (k=1 )=2(−1√2+ 1

√2i)=−2

√2+ 2

√2i=−√2+√2i

Z59 (3 ) ( k=2 )=4√16 [cos( π+2 ∙2 π4 )+isen( π+2∙2π

4 )]20.Z59 (3 ) (k=2 )=2 [cos ( 5π4 )+ isen(5 π4 )]=2 (−0.707106781−0.707106781 i )

Sevió que :Z49 (2 ) (k=1 )=√7 (cos 2250+isen2250 )=√7 (−0.707106781−0.707106781i )

Z49(2) (k=1 )=√7 (−1√2− 1

√2i)∴

20.Z59 (3 ) (k=2 )=2(−1√2− 1

√2i)=−2

√2− 2

√2i=−√2−√2 i

Z59 (4) (k=3 )=4√16 [cos ( π+3∙2π4 )+isen( π+3∙2π

4 )]20.Z59 (4 ) (k=3 )=2[cos (7 π4 )+isen( 7 π4 )]=2 (0.707106781−0.707106781 i )

20.Z59 (4 ) (k=3 )=2( 1√2− 1

√2i)= 2

√2− 2

√2i=√2−√2 i

Las cuatro raíces son:

20.Z59 (1 ) (k=0 )=2 [cos( π4 )+isen( π4 )]=√2+√2 i primer cuadrante

20.Z59 (2 ) (k=1 )=2[cos ( 3π4 )+ isen( 3 π4 )]=−√2+√2i segundo cuadrante

20.Z59 (3 ) (k=2 )=2 [cos ( 5π4 )+ isen(5 π4 )]=−√2−√2 i tercer cuadrante

20.Z59 (4 ) (k=3 )=2[cos (7 π4 )+isen( 7 π4 )]=√2−√2 icuarto cuadrante

Al graficar las raíces quedan como un círculo dividido en cuatro secciones iguales con:

67

900 entre cada raíz.Podemos observar que las raíces son las mismas tanto al resolver en grados como en radianes.Es posible que en lugar de resolver en radianes solo multipliquemos cada una de las raíces obtenidas en grados por:

π

1800∴450 ∙ π

1800=π4,1350 ∙

π

1800=3 π4

,2250 ∙π

1800=5 π4,3150 ∙

π

1800=7π4

21.Demuestre que laraíz cuarta de81 (cos3200+isen3200 )es

21.Z60 (1 ) (k=0 )=3 (cos800+isen800 )=3[cos ( 4 π9 )+isen( 4 π9 )]=0.52094+2.9544 i21.Z60 (2 ) (k=1 )=3 (cos1700+isen1700 )=3[cos ( 17π18 )+isen(17 π18 )]21.Z60 (2 ) (k=1 )=−2.9544+0.52094 i

21.Z60 (3 ) (k=2 )=3 (cos 2600+isen2600 )=3 [cos( 13π9 )+isen( 13π9 )]21.Z60 (3 ) (k=2 )=−0.52094−2.9544 i

21.Z60 (4 ) (k=3 )=3 (cos3500+ isen3500 )=3[cos ( 35π18 )+isen( 35 π18 )]21.Z60 (4 ) (k=3 )=2.9544−0.52094 i

22.Demuestre que laraíz cuarta de−4−3 ies

22.Z61 (1) (k=0 )=4√5 (cos54.2170+isen54.2170 )=0.87435+1.2131i

22.Z61 (1) (k=0 )=4√5 [cos (0.30121 π )+isen (0.30121π ) ]

22.Z61 (2) (k=1 )=4√5 (cos144.220+isen144.220 )=−1.2131+0.87435 i

22.Z61 (2) (k=1 )=4√5 [cos (0.80121π )+ isen (0.80121 π ) ]

22.Z61 (3 ) (k=2 )=4√5 (cos234.220+isen234.220 )=−0.87435−1.2131 i

22.Z61 (3 ) (k=2 )=4√5 [cos (1.30121π )+ isen (1.30121π ) ]

22.Z61 (4 ) (k=3 )=4√5 (cos324.220+isen324.220)=1.2131−0.87435 i

68

22.Z61 (4 ) (k=3 )=4√5 [cos (1.80121π )+isen (1.80121π ) ]

1.6 Ecuaciones polinómicas.

Las ecuaciones polinómicas con números complejos aparecen con relativa frecuencia en algunas áreas de la ciencia, es por ello que se hace necesario el estudiar este tema.1. Resolvamos la siguiente ecuación polinómica.

Z2+(2 i−3 ) Z+5−i=0 en esta ecuación a=1 , b=2 i−3 , c=5−i

Z=−b±√b2−4 ac2a

∴Z=− (2i−3 )±√ (2i−3 )2−4 (1 ) (5−i )

2 (1 )

Z=3−2 i±√ (4 i2−12 i+9 )−4 (5−i )

2=3−2i ±√[ 4 (−1 )−12 i+9 ]−20+4 i

2

Z=3−2 i±√ (−4−12 i+9 )−20+4 i

2=3−2 i±√5−12 i−20+4 i

2

Z=3−2 i±√−15−8 i2

Calculemos la raíz cuadrada de −15−8 i. Con la calculadora en DEG (D)

α=tan−1|−8||−15|

=28.072486940

Como α está en el tercer cuadrante θ=1800+α θ

θ=1800+α=1800+28.072486940=208.072486940 α

Enseguida obtenemos el módulo o valor absoluto: −15−8 ir=√(−15)2+(−8)2=√225+64=√289=17 Como x+ yi=r (cosθ+isenθ) se tiene que:

−15−8 i=17 (cos208.072486940+isen208.072486940 )

Z=√−15−8 i=√17 (cos 208.072486940+isen208.072486940)

Z (1) (k=0 )=√17[cos ( 208.072486940+0∙36002 )+isen( 208.072486940+0 ∙36002 )]

69

Z (1) (k=0 )=√17 (cos104.03624350+ isen104.03624350 )

Z (1) (k=0 )=4.123105626 (−0.242535625+0.9701425 i )

Z (1) (k=0 )=−1+4 i

Podemos ver que al usar todas las cifras significativas a+bi fueron enteros.

Z (2) (k=1 )=17[cos ( 208.072486940+1 ∙36002 )+isen( 208.072486940+1 ∙36002 )]Z (2) (k=1 )=17 (cos284.03624350+ isen284.03624350 )

Z (2) (k=1 )=17 (0.242535624−0.9701425 i )

Z (2) (k=1 )=1−4 i=−(−1+4 i )∴

Podemos ver que al usar todas las cifras significativas a+bi fueron enteros.

Z=3−2 i±√−15−8 i2

=3−2 i±(−1+4 i)

2

Lo anterior da como resultado dos valores de Z.

Z (1)=3−2i+(−1+4 i)

2=¿ 3−2i−1+4 i

2=¿ 2+2 i

2=1+i

Z (2)=3−2i−(−1+4 i)

2=3−2 i+1−4 i

2=4−6 i

2=2−3 i∴

Z (1)=1+i y Z (2)=2−3 i son las dos raíces de la ecuación polinómica.

Para comprobar basta con sustituir las raíces en la ecuación.

Z2+(2 i−3 ) Z+5−i=0. Iniciamos con Z (1)=1+i

(1+i )2+ (2i−3 ) (1+i )+5−i=0

(1+2 i+ i2 )+(2i+2 i2−3−3 i )+5−i=0

1+2 i+ (−1 )+2i+2 (−1 )−3−3i+5−i=0

1+2 i−1+2i−2−3−3i+5−i=0

1−1−2−3+5+2i+2 i−3 i−i=0

70

1−1−2−3+5=0 y 2 i+2i−3 i−i=0∴0+0=0

Si Z (2)=2−3 i

(2−3 i )2+(2 i−3 ) (2−3 i )+5−i=0

(4−12i+9 i2 )+(4 i−6 i2−6+9 i )+5−i=0

4−12 i+9 (−1 )+4 i−6 (−1 )−6+9 i+5−i=0

4−12 i−9+4 i+6−6+9 i+5−i=0

4−9+6−6+5−12i+4 i+9i−i=0

4−9+6−6+5=0 y −12 i+4 i+9 i−i=0∴0+0=0

2. Demuestre que Z (1)=3+2i y Z (2)=4+i

son las dos raíces de la ecuación polinómica

Z2−(7+3 i )Z+(10+11 i)=0

EJERCICIOS PROPUESTOS. Resuelva las siguientes ecuaciones polinómicas.

3. x2−4 x+8=0 4. Z2−(i−2 )Z+3−i=0 5. x2+2 x+5=0

6.7 x2−6 x+2=0 7.Z2+(3+2 i )Z−4+i=0 8.3 x2−4 x+5=0