Nmero ureoEste artculo trata sobre un nmero algebraico. Para otros usos de este trmino, vaseureo (desambiguacin).Elnmero ureo(tambin llamadonmero de oro,razn extrema y media,1razn urea,razn dorada,media urea,proporcin ureaydivina proporcin2) es unnmero irracional,3representado por laletra griega (phi)(en minscula) o (Phi)(en mayscula) en honor al escultor griegoFidias.La ecuacin se expresa de la siguiente manera:

El nmero ureo surge de la divisin en dos de un segmento guardando las siguientes proporciones: La longitud totala+bes al segmento ms largoa, comoaes al segmento ms cortob.Tambin se representa con la letra griegaTau( ),4por ser la primera letra de la raz griega, que significaacortar, aunque es ms comn encontrarlo representado con la letrafi (phi)(,). Tambin se representa con la letra griega alpha minscula.5Se trata de unnmeroalgebraicoirracional (su representacin decimal no tiene perodo) que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la antigedad, no como una expresin aritmtica, sino como relacin o proporcin entre dos segmentos de una recta, o sea, una construccin geomtrica. Esta proporcin se encuentra tanto en algunas figuras geomtricas como en la naturaleza: en las nervaduras de las hojas de algunos rboles, en el grosor de las ramas, en el caparazn de un caracol, en los flsculos de los girasoles, etc. Una de sus propiedades aritmticas ms curiosas es que su cuadrado (2= 2,61803398874989...) y su inverso (1/ = 0,61803398874989...) tienen las mismas infinitas cifras decimales.Asimismo, se atribuye un carcter esttico a los objetos cuyas medidas guardan la proporcin urea. Algunos incluso creen que posee una importanciamstica. A lo largo de la historia, se ha atribuido su inclusin en el diseo de diversas obras dearquitecturay otrasartes, aunque algunos de estos casos han sido cuestionados por los estudiosos de las matemticas y el arte.ndice[ocultar] 1Definicin 1.1Clculo del valor del nmero ureo 2Historia del nmero ureo 2.1Antigedad 2.2Edad Moderna 3El nmero ureo en las matemticas 3.1Propiedades y representaciones 3.1.1ngulo de oro 3.1.2Propiedades aritmticas 3.1.3Representacin mediante fracciones continuas 3.1.4Representacin mediante ecuaciones algebraicas 3.1.5Inecuacin algebraica 3.1.6Representacin trigonomtrica 3.1.7Representacin mediante races anidadas 3.1.8Relacin con la sucesin de Fibonacci 3.2El nmero ureo en la geometra 3.2.1El rectngulo ureo de Euclides 3.2.2En el pentagrama 3.2.3El teorema de Ptolomeo y el pentgono 3.2.4Pentgono estrellado 3.2.5Trigonometra 3.2.6Relacin con los slidos platnicos 3.3Teora de nmeros 4El nmero ureo en la Naturaleza 5El nmero ureo en el arte y en la cultura 6Vase tambin 7Referencias 8Bibliografa 9Enlaces externosDefinicin[editar]El nmero ureo es el valor numrico de la proporcin que guardan entre s dossegmentosde rectaayb(ams largo queb), que cumplen la siguiente relacin: La longitud total, suma de los dos segmentosayb, es al segmento mayora, lo que este segmentoaes al menorb. Escrito comoecuacin algebraica:

Siendo el valor del nmero ureo el cociente:Surge al plantear el problema geomtrico siguiente: partir un segmento en otros dos, de forma que, al dividir la longitud total entre la del segmento mayor, obtengamos el mismo resultado que al dividir la longitud del segmento mayor entre la del menor.Clculo del valor del nmero ureo[editar]Dos nmerosaybestn en proporcin urea si se cumple:

Sientonces la ecuacin queda:

La solucin positiva de laecuacin de segundo gradoes:

que es el valor del nmero ureo, equivalente a la relacin.Historia del nmero ureo[editar]Algunos autores sugieren que el nmero ureo se encuentra como proporcin en varias estelas deBabiloniayAsiriade alrededor de2000a.C.Sin embargo, no existe documentacin histrica que indique que el nmero ureo fuera utilizado conscientemente por dichos artistas en la elaboracin de las estelas. Cuando se mide una estructura compleja, es fcil obtener resultados curiosos si se tienen muchas medidas disponibles. Adems, para que se pueda afirmar que el nmero ureo est presente, las medidas deben tomarse desde puntos significativos del objeto, pero este no es el caso de muchas hiptesis que defienden la presencia del nmero ureo. Por todas estas razones Mario Livio concluye que es muy improbable que los babilonios hayan descubierto el nmero ureo.6Antigedad[editar]El primero en hacer un estudio formal del nmero ureo fueEuclides(c.300-265a.C.), quien lodefinide la siguiente manera:"Se dice que una recta ha sido cortada en extrema y media razn cuando la recta entera es al segmento mayor como el segmento mayor es al segmento menor".EuclidesLos ElementosDefinicin 3 del Libro Sexto.Euclides demostr tambin que este nmero no puede ser descrito como la razn de dos nmeros enteros; es decir, es unnmero irracional.Platn(c.428-347a.C.) vivi antes de que Euclides estudiara el nmero ureo. Sin embargo, a veces se le atribuye el desarrollo de teoremas relacionados con el nmero ureo debido a que el historiador griegoProcloescribi:"Eudoxo... multiplic el nmero de teoremas relativos a la seccin a los que Platn dio origen".ProcloenUn comentario sobre el Primer Libro de los Elementos de Euclides.Aqu a menudo se interpret la palabra seccin () como la seccin urea. Sin embargo a partir del siglo XIX esta interpretacin ha sido motivo de gran controversia y muchos investigadores han llegado a la conclusin de que la palabraseccinno tuvo nada que ver con el nmero ureo. No obstante, Platn consider que los nmeros irracionales, descubiertos por lospitagricos, eran de particular importancia y la llave de la fsica del cosmos. Esta opinin tuvo una gran influencia en muchos filsofos y matemticos posteriores, en particular losneoplatnicos.A pesar de lo discutible de su conocimiento sobre el nmero ureo, Platn se ocup de estudiar el origen y la estructura del cosmos, cosa que intent usando los cincoslidos platnicos, construidos y estudiados porTeeteto. En particular, combin la idea deEmpdoclessobre la existencia de cuatro elementos bsicos de la materia, con la teora atmica deDemcrito. Para Platn, cada uno de los slidos corresponda a una de las partculas que conformaban cada uno de los elementos: la tierra estaba asociada alcubo, el fuego altetraedro, el aire aloctaedro, el agua alicosaedro, y finalmente el Universo como un todo, estaba asociado con eldodecaedro.Edad Moderna[editar]En1509el matemtico ytelogoitalianoLuca PaciolipublicDe Divina Proportione(La Divina Proporcin), donde plantea cinco razones por las que estima apropiado considerar divino al nmero ureo:1. Launicidad; Pacioli compara el valor nico del nmero ureo con launicidad de Dios.2. El hecho de que est definido por tres segmentos de recta, Pacioli lo asocia con laTrinidad.3. Lainconmensurabilidad; para Pacioli la inconmensurabilidad del nmero ureo y la inconmensurabilidad de Dios son equivalentes.4. Laautosimilaridadasociada al nmero ureo; Pacioli la compara con laomnipresenciae invariabilidad de Dios.5. Segn Pacioli, de la misma manera en que Dios dio ser al Universo a travs de la quinta esencia, representada por eldodecaedro, el nmero ureo dio ser al dodecaedro.En1525,Alberto DureropublicInstruccin sobre la medida con regla y comps de figuras planas y slidas, donde describe cmo trazar conregla y compslaespiral ureabasada en la seccin urea, que se conoce como espiral de Durero.El astrnomoJohannes Kepler(1571-1630) desarroll un modelo platnico delSistema Solarutilizando los slidos platnicos, y se refiri al nmero ureo en trminos grandiosos:La geometra tiene dos grandes tesoros: uno es elteorema de Pitgoras; el otro, la divisin de una lnea entre el extremo y su proporcional. El primero lo podemos comparar a una medida de oro; el segundo lo debemos denominar una joya preciosa.Johannes KeplerenMysterium Cosmographicum(El misterio csmico).El primer uso conocido del adjetivo ureo, dorado, o de oro, para referirse a este nmero lo hace el matemtico alemnMartin Ohm, hermano del clebre fsicoGeorg Simon Ohm, en la segunda edicin de 1835 de su libroDie Reine Elementar Matematik(Las matemticas puras elementales). Ohm escribe en una nota al pie:"Uno tambin acostumbra llamar a esta divisin de una lnea arbitraria en dos partes como stas la seccin dorada".Martin OhmenDie Reine Elementar Matematik(Las matemticas puras elementales).A pesar de que la forma de escribir sugiere que el trmino ya era de uso comn para la fecha, el hecho de que no lo incluyera en su primera edicin sugiere que el trmino pudo ganar popularidad alrededor de 1830.En los textos de matemticas que trataban el tema, el smbolo habitual para representar el nmero ureo fue, del griego, que significa corte o seccin. Sin embargo, la moderna denominacinola efectu en1900el matemticoMark Barren honor aFidias, ya que sta era la primera letra de su nombre escrito en griego (). Este honor se le concedi a Fidias por el mximo valor esttico atribuido a sus esculturas, propiedad que ya por entonces se le atribua tambin al nmero ureo. Mark Barr y Schooling fueron responsables de los apndices matemticos del libroThe Curves of Life, de sir Theodore Cook.El nmero ureo en las matemticas[editar]Propiedades y representaciones[editar]ngulo de oro[editar]razn nmero ureoPropiedades aritmticas[editar] es el niconmero realpositivo tal que:

posee adems las siguientes propiedades:

Las potencias del nmero ureo pueden expresarse en funcin de una suma de potencias de grados inferiores del mismo nmero, establecida una verdaderasucesin recurrentede potencias.El caso ms simple es:, cualquiera seanun nmero entero. Este caso es una sucesin recurrente de ordenk= 2, pues se recurre a dos potencias anteriores.Una ecuacin recurrente de ordenktiene la forma:,dondees cualquiernmero realocomplejoykes unnmero naturalmenor o igual a n y mayor o igual a 1. En el caso anterior es,y.Pero podemos saltar la potencia inmediatamente anterior y escribir:. Aqu,,,y.Si anulamos las dos potencias inmediatamente anteriores, tambin hay una frmula recurrente de orden 6:

En general:.En resumen: cualquier potencia del nmero ureo puede ser considerada como el elemento de una sucesin recurrente de rdenes 2, 4, 6, 8,..., 2k; donde k es un nmero natural. En la frmula recurrente es posible que aparezcan potencias negativas de, hecho totalmente correcto. Adems, una potencia negativa decorresponde a una potencia positiva de su inverso, la seccin urea.Este curioso conjunto de propiedades y el hecho de que los coeficientes significativos sean los del binomio, parecieran indicar que entre el nmero ureo y elnmero ehay un parentesco. El nmero ureoes la unidad fundamental delcuerpo de nmeros algebraicosy la seccin ureaes su inversa, . En esta extensin el emblemtico nmero irracionalcumple las siguientes igualdades:.Representacin mediante fracciones continuas[editar]La expresin mediantefracciones continuases:

Esta iteracin es la nica donde sumar es multiplicar y restar es dividir. Es tambin la ms simple de todas las fracciones continuas y la que tiene la convergencia ms lenta. Esa propiedad hace que adems el nmero ureo sea un nmero mal aproximable mediante racionales que de hecho alcanza el peor grado posible de aproximabilidad mediante racionales.7Por ello se dice quees el nmero ms alejado de lo racional o el nmero ms irracional. Este es el motivo por el cual aparece en elteorema de Kolmogrov-Arnold-Moser.Representacin mediante ecuaciones algebraicas[editar], que surge de la ecuacin definitoria de un trmino cualquiera en la sucesin de Fibonacci, a partir del tercero8El nmero ureoy la seccin ureason soluciones de las siguientes ecuaciones:

que da el valor de sen 18 e mplcitamente al nmero areo9Inecuacin algebraica[editar]/2 >(4 -2)1/2/10Representacin trigonomtrica[editar]

stas corresponden al hecho de que el dimetro de un pentgono regular (distancia entre dos vrtices no consecutivos) es veces la longitud de su lado, y de otras relaciones similares en elpentagrama.Representacin mediante races anidadas[editar]

Esta frmula como caso particular de una identidad general publicada porNathan Altshiller-Court, de la Universidad de Oklahoma, en la revistaAmerican Mathematical Monthly,1917.El teorema general dice:La expresin(donde), es igual a la mayor de las races de la ecuacin:o sea,.Relacin con la sucesin de Fibonacci[editar]Si se denota el ensimonmero de Fibonaccicomo Fn, y al siguiente nmero de Fibonacci, como Fn + 1, descubrimos que, a medida que n aumenta, esta razn oscila, y es alternativamente menor y mayor que la razn urea. Podemos tambin notar que la fraccin continua que describe al nmero ureo produce siempre nmeros de Fibonacci a medida que aumenta el nmero de unos en la fraccin. Por ejemplo:;; y, lo que se acerca considerablemente al nmero ureo. Entonces se tiene que:

Esta propiedad fue descubierta por el astrnomo alemnJohannes Kepler, pero pasaron ms de cien aos antes de que fuera demostrada por el matemtico inglsRobert Simson.Con posterioridad se encontr que cualquier sucesin aditiva recurrente de orden 2 tiende al mismo lmite. Por ejemplo, si tomamos dos nmeros naturales arbitrarios, por ejemplo 3 y 7, la sucesin recurrente resulta: 3 - 7 - 10 - 17 - 27 - 44 - 71 - 115 - 186 - 301... Los cocientes de trminos sucesivos producen aproximaciones racionales que se acercanasintticamentepor exceso y por defecto al mismo lmite: 44/27 = 1,6296296...; 71/44 = 1,613636...; 301/186 = 1,6182795.11A mediados del siglo XIX, el matemtico francsJacques Philippe Marie Binetredescubri una frmula que aparentemente ya era conocida porLeonhard Euler, y por otro matemtico francs,Abraham de Moivre. La frmula permite encontrar el ensimo nmero de Fibonacci sin la necesidad de producir todos los nmeros anteriores. La frmula de Binet depende exclusivamente del nmero ureo:

El nmero ureo en la geometra[editar]

El trangulo de Kepler:

El nmero ureo y la seccin urea estn presentes en todos los objetos geomtricos regulares o semiregulares en los que haya simetra pentagonal, que sean pentgonos o que aparezca de alguna manera la raz cuadrada de cinco. Relaciones entre las partes del pentgono. Relaciones entre las partes del pentgono estrellado, pentculo o pentagrama. Relaciones entre las partes del decgono. Relaciones entre las partes del dodecaedro y del icosaedro.El rectngulo ureo de Euclides[editar]

Euclidesobtiene elrectngulo ureoAEFD a partir del cuadrado ABCD. El rectngulo BEFC es asimismo ureo.ElrectnguloAEFDes ureo porque sus lados AE y AD estn en la proporcin del nmero ureo.Euclides, en su proposicin 2.11 deLos elementos, obtiene su construccin:

Con centro en G se obtiene el punto E, y por lo tanto:

con lo que resulta evidente que

de donde, finalmente,

Por otra parte, los rectngulos AEFD y BEFC son semejantes, de modo que este ltimo es asimismo unrectngulo ureo.

Generacin de un rectngulo ureo a partir de otro.En el pentagrama[editar]

Lossegmentoscoloreados delpentagramaposeen proporciones ureas.El nmero ureo tiene un papel muy importante en lospentgonosregulares y en lospentagramas. Cada interseccin de partes de un segmento se interseca con otro segmento en una razn urea.El pentagrama incluye diez tringulosisceles: cincoacutngulosy cincoobtusngulos. En ambos, la razn de lado mayor y el menor es . Estos tringulos se conocen como lostringulos ureos.Teniendo en cuenta la gransimetrade este smbolo, se observa que dentro del pentgono interior es posible dibujar una nueva estrella, con unarecursividadhasta elinfinito. Del mismo modo, es posible dibujar un pentgono por el exterior, que sera a su vez el pentgono interior de una estrella ms grande. Al medir la longitud total de una de las cinco lneas del pentculo interior, resulta igual a la longitud de cualquiera de los brazos de la estrella mayor, o sea . Por lo tanto, el nmero de veces en que aparece el nmero ureo en el pentagrama es infinito al aadir infinitos pentagramas.El teorema de Ptolomeo y el pentgono[editar]

Se puede calcular el nmero ureo usando elteorema de Ptolomeoen un pentgono regular.Claudio Ptolomeodesarroll un teorema conocido como elteorema de Ptolomeo, el cual permite trazar un pentgono regular mediantereglaycomps. Aplicando este teorema, se forma uncuadrilteroal quitar uno de los vrtices del pentgono, Si las diagonales y la base mayor midenb, y los lados y la base menor midena, resulta queb2=a2+ablo que implica:

Pentgono estrellado[editar]Aparece el nmero de la justa razn entre los segmentos parciales de los lados de un pentgono estrellado.12Trigonometra[editar]El seno de 18 es la mitad del inverso del nmero de la justa razn.13 cos 36 es la mitad del nmero areo.14 De igual modo 2cos 36 - 2 sen 18 = phi - 1/phi.Relacin con los slidos platnicos[editar]El nmero ureo est relacionado con los slidos platnicos, en particular con elicosaedroy eldodecaedro, cuyas dimensiones estn dadas en trminos del nmero ureo.Los 12 vrtices de un icosaedro con aristas de longitud 2 pueden expresarse encoordenadas cartesianaspor los siguientes puntos:(0, 1, ), (1, , 0), (, 0, 1)Los 20 vrtices de un dodecaedro con aristas de longitud 2/=51 tambin se pueden dar en trminos similares:(1, 1, 1), (0, 1/, ), (1/, , 0), (, 0, 1/)

Los 12 vrtices de los tres rectngulos ureos coinciden con los centros de las caras de un dodecaedro.Para un dodecaedro con aristas de longitud a, su volumen y su rea total se pueden expresar tambin en trminos del nmero ureo:

Si tres rectngulos ureos se solapan paralelamente en sus centros, los 12 vrtices de los tres rectngulos ureos coinciden exactamente con los vrtices de un icosaedro, y con los centros de las caras de un dodecaedro.El punto que los rectngulos tienen en comn es el centro tanto del dodecaedro como del icosaedro.Teora de nmeros[editar]El nmero ureo en la Naturaleza[editar]

Concha denautilusenespiral logartmica.15En la naturaleza, hay muchos elementos relacionados con la seccin urea y/o losnmeros de Fibonacci: Leonardo de Pisa (Fibonacci), en suLibro de los bacos(Liber abacci, 1202, 1228), usa la sucesin que lleva su nombre para calcular el nmero de pares de conejosnmeses despus de que una primera pareja comienza a reproducirse (suponiendo que los conejos estn aislados por muros, se empiezan a reproducir cuando tienen dos meses de edad, tardan un mes desde la fecundacin hasta la aparicin y cada camada es de dos conejos). Este es un problema matemtico puramente independiente de que sean conejos los involucrados. En realidad, el conejo comn europeo tiene camadas de 4 a 12 individuos y varias veces al ao, aunque no cada mes, pese a que la preez dura 32 das. El problema se halla en las pginas 123 y 124 del manuscrito de 1228, que fue el que lleg hasta nosotros, y parece que el planteamiento recurri a conejos como pudiera haber sido a otros seres; es un soporte para hacer comprensible una incgnita, un acertijo matemtico. El cociente de dos trminos consecutivos de lasucesin de Fibonaccitiende a la seccin urea o al nmero ureo si la fraccin resultante es propia o impropia, respectivamente. Lo mismo sucede con todasucesin recurrentede orden dos, segn demostraron Barr y Schooling en la revistaThe Fielddel 14 de diciembre de 1912.16 La disposicin de losptalosde las flores (el papel del nmero ureo en labotnicarecibe el nombre deLey de Ludwig).1718 La distribucin de las hojas en un tallo. Ver:Sucesin de Fibonacci.17 La relacin entre las nervaduras de las hojas de los rboles.19 La relacin entre el grosor de las ramas principales y el tronco, o entre las ramas principales y las secundarias (el grosor de una equivale a tomando como unidad la rama superior).19 La cantidad de espirales de unapia(ocho y trece espirales), flores o inflorescencias. Estos nmeros son elementos de la sucesin de Fibonacci y el cociente de dos elementos consecutivos tiende al nmero ureo.2021 La distancia entre el ombligo y la planta de los pies de una persona, respecto a su altura total.22 La cantidad de ptalos en las flores. Existen flores con 3, 5 y 8 ptalos y tambin con 13, 21, 34, 55, 89 y 144.20 La distribucin de las hojas de la yuca y la disposicin de las hojas de las alcachofas.20 La relacin entre la distancia entre las espiras del interior espiralado de cualquiercaracolo de cefalpodos como elnautilus. Hay por lo menos tres espirales logartmicas ms o menos asimilables a proporciones areas. La primera de ellas se caracteriza por la relacin constante igual al nmero ureo entre los radiovectores de puntos situados en dos evolutas consecutivas en una misma direccin y sentido. Las conchas delFusus antiquus, del Murex, deScalaria pretiosa, deFacelariay deSolarium trochleare, entre otras, siguen este tipo de espiral de crecimiento.2324Se debe entender que en toda consideracin natural, aunque involucre a las ciencias consideradas ms matemticamente desarrolladas, como la Fsica, ninguna relacin o constante que tenga un nmero infinito de decimales puede llegar hasta el lmite matemtico, porque en esa escala no existira ningn objeto fsico. La partcula elemental ms diminuta que se pueda imaginar es infinitamente ms grande que un punto en una recta. Las leyes observadas y descriptas matemticamente en los organismos las cumplen transgredindolas orgnicamente.25 Para que las hojas esparcidas de una planta (VerFilotaxis) o las ramas alrededor del tronco tengan el mximo deinsolacincon la mnima interferencia entre ellas, stas deben crecer separadas en hlice ascendente segn un ngulo constante y tericamente igual a 360 (2 - ) 137 30' 27,950 580 136 276 726 855 462 662 132 999..." En la naturaleza se medir un ngulo prctico de 137 30' o de 137 30' 28" en el mejor de los casos.17Para el clculo se considera iluminacin vertical y el criterio matemtico es que las proyecciones horizontales de unas sobre otras no se recubran exactamente. Aunque la iluminacin del Sol no es, en general, vertical y vara con lalatitudy las estaciones, esto garantiza el mximo aprovechamiento de laluz solar. Este hecho fue descubierto empricamente por Church17y confirmado matemticamente por Weisner en1875. En la prctica no puede medirse con tanta precisin el ngulo y las plantas lo reproducen "orgnicamente"; o sea, con una pequea desviacin respecto al valor terico. No todas las plantas se benefician con un mximo de exposicin solar o a la lluvia, por lo que se observan otros ngulos constantes diferentes del ideal de 137. 30'. Puede encontrar una tabla en la pgina 26 del documento completo accesible en el enlace de la referencia.21 En la cantidad de elementos constituyentes de lasespiraleso dobles espirales de las inflorescencias, como en el caso del girasol, y en otros objetos orgnicos como las pias de los pinos se encuentran nmeros pertenecientes a la sucesin de Fibonacci. El cociente de dos nmeros sucesivos de esta sucesin tiende al nmero ureo. Existen cristales de pirita dodecadricos pentagonales (piritoedros) cuyas caras son pentgonos irregulares. Sin embargo, las proporciones de dicho poliedro irregularnoinvolucran el nmero ureo. En el mundo inorgnico no existe el pentgono regular. ste aparece (haciendo la salvedad de que con un error orgnico; no podemos pretender exactitud matemtica al lmite26) exclusivamente en los organismos vivos.27El nmero ureo en el arte y en la cultura[editar]

En la representacin delHombre de VitruvioLeonardo da Vincino utiliza el nmero ureo, sino el sistema fraccionario propuesto porVitruvio Relaciones en la forma de laGran PirmidedeGizeh. La afirmacin de Herdoto de que el cuadrado de la altura es igual a la superficie de una cara es posible nicamente si la semi-seccin meridiana de la pirmide es proporcional al tringulo rectngulo, donde 1 representa proporcionalmente a la mitad de la base, la raz cuadrada del nmero ureo a la altura hasta el vrtice (inexistente en la actualidad) y el nmero ureo o hipotenusa del tringulo a la apotema de la Gran Pirmide. Esta tesis ha sido defendida por los matemticos Jarolimek, K. Kleppisch y W. A. Price (verreferencias), se apoya en la interpretacin de un pasaje deHerdoto(Historiae, libro II, cap. 124) y resulta tericamente con sentido, aunque una construccin de semejante tamao deba contener errores inevitables a toda obra arquitectnica y a la misma naturaleza de la tecnologa humana, que en la prctica puede manejar nicamente nmeros racionales.Otros investigadores famosos se inclinan por la hiptesis de que los constructores intentaron una cuadratura del crculo, pues la raz cuadrada del nmero ureo se aproxima mucho al cociente de 4 sobre . Pero una construccin tal, aunque se conociera con una aproximacin grande, carecera completamente de inters geomtrico.28No obstante, con base en mediciones no es posible elegir entre una u otra pues la diferencia sobre el monumento real no es mayor a 14,2 cm y esta pequea variacin queda enmascarada por las incertidumbres de las medidas, los errores constructivos y, principalmente, porque la pirmide perdi el revestimiento en manos de los primeros constructores de El Cairo. Para que esto quede ms claro, una precisin del 1 por mil en una base de 230 metros equivale a 23 centmetros y en la altura est en el orden de la diferencia real que debera existir entre ambas posibilidades. La relacin entre las partes, el techo y las columnas delPartenn, enAtenas(s.Va.C.).Durante el primer cuarto del siglo XX, Jay Hambidge, de la Universidad de Yale, se inspir en un pasaje delTeetetodePlatnpara estudiar las proporciones relativas de las superficies, algo muy natural cuando se trata de obras arquitectnicas. Dos rectngulos no semejantes se distinguen entre s por el cociente de su lado mayor por el menor, nmero que basta para caracterizar a estas figuras y que denomin mdulo del rectngulo. Un cuadrado tiene mdulo 1 y el doble cuadrado mdulo 2. Aquellos rectngulos cuyos mdulos son nmeros enteros o racionales fueron denominados "estticos" y los que poseen mdulos irracionales euclidianos, o sea, expresables algebraicamente como races de ecuaciones cuadrticas o reducibles a ellas, "dinmicos". El doble cuadrado es a la vez esttico y dinmico, pues 2 es la raz cuadrada de 4. Un ejemplo de rectngulo dinmico elemental es aquel que tiene por lado mayor a laraz cuadrada de 5y por lado menor a la unidad, siendo su mdulo la raz cuadrada de 5.29Posteriormente Hambidge estudi a los monumentos y templos griegos y lleg a encuadrar el frontn del Partenn en un rectngulo de mdulo. Por medio de cuatro diagonales suministra las principales proporciones verticales y horizontales. Este rectngulo es descompuesto en seis de mduloy cuatro cuadrados.30Como dato adicional para indicar la complejidad del tratamiento del edificio se tiene que en 1837 fueron descubiertas correcciones pticas en el Partenn. El templo tiene tres vistas principales y si sus columnas estuvieran efectivamente a plomo, todas sus lneas fuesen paralelas y perfectamente rectas y los ngulos rectos fueran exactos, por las propiedades de la visin humana el conjunto se vera ms ancho arriba que en la base, sus columnas se percibiran inclinadas hacia afuera y la lnea que fundamenta el techo sobre las columnas se vera como una especie decatenaria, con los extremos del edificio aparentemente ms altos que el centro. Los constructores hicieron la construccin compensando estos efectos de ilusin ptica inclinando o curvando en sentido inverso a los elementos involucrados. As las columnas exteriores, en ambos lados del frente, estn inclinadas hacia adentro en un ngulo de 2,65 segundos de arco, mientras que las que estn en el medio tienen una inclinacin de 2,61 segundos de arco. La lnea que formaran los dinteles entre columnas y que constituye la base del tringulo que corona el edificio, en realidad es un ngulo de 2,64 segundos de arco con el vrtice ms elevado que los extremos. De esta forma, y con otras correcciones que no se mencionan aqu, se logra que cualquier observador que se site en los tres puntos principales de vista vea todo el conjunto paralelo, uniforme y recto.31 Estudios como los del dr.Fechnerhan demostrado que la percepcin de la belleza radica en la proporcin urea. Por ende, aquello que matemticamente ms se aproxime a fi, se percibir como ms bello y perfecto. sta nocin de belleza y perfeccin es aplicable a estructuras arquitectnicas, pinturas, partituras musicales, fractales y personas.32 En el cuadroLeda atmica, deSalvador Dal, hecho en colaboracin con el matemtico rumanoMatila Ghyka.333435 En las estructuras y tiempos de las pelculas "El acorazado Potemkin" e"Ivn el Terrible"deSergui Eisenstein.3635 En losviolines, la ubicacin de las efes o eses (los odos u orificios en la tapa) se relaciona con el nmero ureo.[citarequerida] El nmero ureo aparece en las relaciones entre altura y ancho de los objetos y personas que aparecen en las obras deMiguel ngel,DureroyLeonardo Da Vinci, entre otros. Es necesario desmentir la expandida aseveracin de que el nmero ureo aparece en la conocida representacin delhombre de VitruviodeLeonardo da Vinci. En este dibujoLeonardo da Vincisigue estrictamente las proporciones fraccionarias del cuerpo humano queVitruviodescribe en su libroDe architectura; concretamente en el Captulo I del Libro Tercero, El origen de las medidas del Templo. En las estructuras formales de las sonatas deWolfgang Amadeus Mozart, en laQuinta SinfonadeLudwig van Beethoven[citarequerida], en obras deFranz Schubert[citarequerida]yClaude Debussy[citarequerida](estos compositores probablemente compusieron estas relaciones de manera inconsciente, basndose en equilibrios demasas sonoras).37 En la pg. 56 de la novela deDan BrownEl cdigo Da Vinciaparece una versin desordenada de los primeros ocho nmeros deFibonacci(13, 3, 2, 21, 1, 1, 8, 5), que funcionan como una pista dejada por el curador del museo del Louvre, Jacques Saunire. En las pp. 121 a 123 explica algunas de las apariciones del nmerophi(1,618) en la naturaleza y el ser humano. Menciona que las distancias entre nuestro cuerpo son proporcionales entre si, como las de la pierna al muslo, el brazo al antebrazo, etc. En el episodio Sabotaje de la serie de televisinNUMB3RS(primera temporada, 2005), el genio de la matemtica Charlie Eppes menciona que el nmerofise encuentra en la estructura de los cristales, en la espiral de las galaxias y en la concha del Nautilus. En el episodio deMentes Criminales"Obra maestra" (Cuarta temporada, episodio 8), los crmenes del profesor Rothschild siguen una sucesin de Fibonacci; en la primera zona, mat a una vctima; en la segunda, a otra; en la tercera, a dos; en la cuarta, a tres; y en la quinta, a cinco: doce en total. Las localizaciones tambin se disponen segn una espiral urea, de fuera hacia dentro: el sitio donde estaban secuestrados los nios estaba justo en el centro. Hasta eligi a sus doce primeras vctimas segn cunto se acercaran las relaciones entre sus rasgos faciales al nmero ureo: buscaba que fueran los "especmenes ms perfectos de ser humano". Elarte Pverafue un movimiento artstico italiano de los aos 1960, muchas de cuyas obras se basan en esta sucesin.[citarequerida] En la cinta deDarren AronofskyPi, fe en el caos/Pi, el orden del caos, el personaje central, el matemtico Max Cohen, explica la relacin que hay entre los nmeros deFibonacciy la seccin urea, aunque denominndola incorrectamente Theta () en vez de Phi (). El nmero phi aparece en la pelcula de Disney"Donald en el pas de las matemticas".38Vase tambin[editar] Tringulo de Kepler Nmero Espiral logartmica Estrella mgica Sucesin de Fibonacci Composicin urea Pitgoras Luca Pacioli Matila Ghyka Roger Penrose Decgono regular Rectngulo cordobsReferencias[editar]1. Volver arribaFernando Corbaln (2010).La proporcin urea. RBA Coleccionables S. A.ISBN 978-84-473-6623-1.2. Volver arribaLuca Pacioli,De Divina Proportione(De la divina proporcin, escrito entre 1496 y 1498.3. Volver arribaEste nmero es irracional, aunque esalgebraicode segundo grado por ser raz de una ecuacin cuadrtica y tambin constructible mediante regla y comps, y existen numerosas aproximaciones racionales con mayor o menor error. En el ao 2008 se obtuvieron cien mil millones decifrasdecimales correctas. (Ver:http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/Records.html) Al igual que ocurre con la raz cuadrada de dos, es posible construir un segmento idealmente exacto con regla no graduada de un solo borde y longitud indefinida y un comps de abertura variable.4. Volver arribaProporcin ureaen WolframMathWorld5. Volver arribaN.N. Vorobiov:Lecciones de matemticas populares. Nmeros de Fibonnacci, Editorial Mir, Mosc (1974)6. Volver arribaMario Livio (2002).The Golden Ratio. Broadway Books.ISBN 0-7679-0816-3.Mario Livio (2009).La Proporcin urea. La historia de phi, el nmero ms sorprendente del mundo. Editorial Ariel S. A.ISBN 978-84-394-4495-X.7. Volver arribaBad approximable numbers inWolframMathWorld8. Volver arribaVorobiov: Op. cit.9. Volver arribaVavilov: Problemas de matemtica. editorial mir, mosc10. Volver arribaAdaptacin de un problema inserto en "Problemas Matemticos" de Litvinenko y Mordkvich.Editorial Mir, Mosc ( 1984)11. Volver arribaTrabajo presentado por Mark Barr y Shooling en la revistaThe Fielddel 14 de diciembre de 1912.12. Volver arribaBruo: Geometra superior13. Volver arribaSe calcula partiendo de seno y coseno de 3614. Volver arribaSe halla usando los respectivos valores de los dos datos15. Volver arribaSirTheodore Andrea Cook(1914).The Curves of Life. Constable and Company Ltd, Londres, Captulo IV: "Flat Spirals in Shells".16. Volver arribaN. N. Vorobiov; traduccin de Carlos vega (1974).Nmeros de Fibonacci. Editorial Mir, Mosc, rstica, 112 pginas.17. Saltar a:abcdSirTheodore Andrea Cook(1914).The Curves of Life. Constable and Company Ltd, Londres, Captulo V: "Botany: The Meaning of Spiral Leaf Arrangements", pgina 81 en adelante.18. Volver arribahttp://www.archive.org/stream/cu31924028937179#page/n10/mode/1up(Libro on line, Biblioteca del Congreso de Estados Unidos de Amrica)19. Saltar a:abArtculo publicado por Astroseti: Las espirales de Fibonacci podran estar relacionadas con la tensin 26/04/2007 (Probablemente, tambin con elprincipio de mnima accin): "Zexian Cao y sus colegas de la Academia de Ciencias China usaron la ingeniera de tensin para crear microestructuras de distintas formas de slo 12 m de longitud con un ncleo de plata y una cscara de SiO2. Descubrieron que si se establecan las cscaras en formas esfricas durante el enfriamiento, se formaban en ellas patrones de tensin triangulares. Por otra parte, si se establecan en formas cnicas, aparecan patrones de tensin en espiral. Estos patrones espirales eran espirales de Fibonacci" esto es, espirales que tienen sus dimensiones gobernadas por las series de Fibonacci." "El equipo de Cao no cree que las espirales de Fibonacci se formen por accidente, sin embargo creen que su causa puede estar relacionada con un delicado problema planteado por el fsico J. J. Thomson en 1904. Thomson pregunt cmo un conjunto de cargas se organizara a s mismo en una esfera conductora para minimizar su energa. Los fsicos han calculado ya que las cargas tomaran patrones triangulares similares a las microestructuras esfricas de Cao. Debido a esto, el equipo de Cao piensa que las espirales de Fibonacci en las microestructuras cnicas debe ser la configuracin equivalente de energa mnima (y por tanto tensin mnima) para un cono, aunque no han llevado a cabo clculos por s mismos." "Los bilogos han sospechado desde hace tiempo que las ramas de los rboles y otras ocurrencias de la serie de Fibonacci en la naturaleza son simples reacciones para la minimizacin de la tensin, pero hasta ahora no se haba encontrado ninguna prueba concreta. Nuestro experimento usando materiales puramente inorgnicos proporciona la prueba para este principio, comenta Cao a Physics Web."Error en la cita: Etiquetano vlida; el nombre "m.C3.ADnima_tensi.C3.B3n" est definido varias veces con contenidos diferentes20. Saltar a:abc"[...] la flor de un girasol est formada por pequeas estructuras que se encuentran alineadas de tal forma que producen hileras dispuestas en espiral, algunas de ellas abren sus brazos en el sentido de las agujas del reloj y las restantes en la direccin contraria. Si las contamos veremos que siempre habr 13 espirales que se abren hacia la derecha por 21 que se abren a la izquierda (13/21). Este hecho puede parecer banal, pero adquiere relevancia cuando se repite esta cuenta con girasoles de diferentes tamaos y con otras flores como las margaritas y los mirasoles; pues encontramos que algunas tienen 21/34, otras 34/55 y que incluso las hay de 55/89. [...]"Miramontes, Pedro (abril-junio 1996)."La geometra de las formas vivas".E Journal, Universidad Autnoma de Mxico(42).21. Saltar a:ab"Los nmeros de Fibonacci en Botnica ocurren con gran regularidad. En 1968, Brousseau us 4290 pias de diez especies de pinos encontrados en California, de las cuales solo 74 pias (1.7 por ciento) se desvi de los nmeros de Fibonacci. En 1992, Jean R.V. en su artculo Model texting in phyllotaxis public que de 12.750 observaciones en 650 especies encontradas en la literatura de Botnica de los ltimos 150 aos, la sucesin de Fibonaci apareca en ms del 92 por ciento de todos los posibles casos de plantas con disposicin espiral de sus elementos. Entre los 12.750 casos, la sucesin de Lucas (Edouard A. Lucas, 1842- 1891) se encontr en un dos por ciento. Coxeter llama a la apariencia de los nmeros de Fibonacci: Fascinante tendencia. Otros se refieren a la prevalencia de Fibonacci como: El misterio de la Filotaxis o La obsesin o pesadilla de los botnicos. La disposicin de las escamas de las pias, frutos de diferentes especies de pinos, se organiza en torno a dos espirales de escamas: una dextrgira y otra levgira. Se ha constatado empricamente que en un nmero muy elevado de estas especies, son nmeros consecutivos de la sucesin de Fibonacci. Otros ejemplos son las tortas de girasol, las cabezuelas de las margaritas, etc. Las hojas de la mayor parte de plantas de tallo alto, estn colocadas alrededor del mismo pudiendo ser recorridas siguiendo una espiral (figura 13). Mas concretamente, en Filotaxis se verifica la llamada ley de divergencia: para cada especie de plantas el ngulo que forman dos hojas consecutivas, llamado ngulo de divergencia, es constante." (Pgina 23 en adelante)Reyes Iglesias, Encarnacin (2009)."Arte y Naturaleza en clave geomtrica".Universidad de Valladolid.22. Volver arribaLA RAZN AUREA- Ministerio de Educacin de Espaa23. Volver arribaMatila Ghyka(1953).Esttica de las Proporciones en la Naturaleza y en las Artes. Editorial Poseidn, Buenos Aires, Captulo V: "Del Crecimiento Armonioso", pginas 118 a 144.24. Volver arribaD'Arcy Wentworth Thompson(1917)."On Growth and Form". Cambridge University Press.D'Arcy Wentworth Thompson (1992)."On Growth and Form". Dover edition, 1116 pginas.D'Arcy Thompson (1980)."Sobre el Crecimiento y la Forma. Editorial Hermann Blume, Madrid.Existen ediciones de unas 300 pginas, una reciente de Cambridge.25. Volver arribaEs una parfrasis de un pensamiento de Ruskin mencionado en la pgina 139 del libro citado de Matila Ghyka.26. Volver arribaEn cualquier ser orgnico o inorgnico sus partes constituyentes (molculas, tomos, clulas) son objetos que tienen dimensiones; el punto geomtrico no. Por esa razn, cuando se sostiene que se verifica una proporcin esta no ser jams un nmero iracional con infinitos decimales, pues ello implicara que las partes que forman al objeto en cuestin no tuvieran dimensiones como los puntos geomtricos. Tendremos forzosamente un intervalo de incertidumbre, del que podremos indicar por lo menos dos racionales que lo limitan. Explicado de otra forma: si una clula est en el borde de un ser y decimos que otra parte est situada en proporcin urea con ese borde, Desde dnde tenemos que medir para que haya infinitos decimales exactos? Esa clula no es un cuerpo rgido, se deforma, los bordes no son lneas perfectas. En la prctica la mayora de los decimales infinitos del nmero ureo no tendrn razn de aparecer debido a la incertidumbre de la medida.27. Volver arribaGhyka, Matila. "Esttica de las Proporciones en la Naturaleza y en las Artes", Captulo V: "Del Crecimiento Armonioso"; obra citada.28. Volver arriba"Lgicamente, la tesis de la seccin urea parecera ms probable, porque de ella emana una construccin rigurosa, elegante y sencilla del tringulo meridiano, mientras que en la otra hiptesis, an suponiendo conocido con una aproximacin muy grande el valor de , la construccin sera puramente emprica y desprovista de verdadero inters geomtrico" [Es notable, adems, que aunque los antiguos no saban de la trascendencia de , estaban completamente conscientes de la carencia de exactitud de algunos intentos de cuadratura del crculo]Matila Ghyka(1953).Esttica de las Proporciones en la Naturaleza y en las Artes. Editorial Poseidn, Buenos Aires, Captulo VIII: "La Pirmide de Keops", pgina 222.29. Volver arribaJay Hambidge(1920; 1930; 1931)."Dynamic Symmetry The Greek Vase". Yale University Press, New Haven.Jay Hambidge (22 de agosto de 2007).Dynamic Symmetry The greek vase. Rough Draf Printing.ISBN 978-1-60386-037-6.30. Volver arribaJay Hambidge (1924)."The Parthenon and Other Greek temples, their Dynamic Symmetry". Yale University Press, New haven. Hay todava disponibles ejemplares de esa edicin, tanto nuevos como usados y a la venta a aproximadamente $ (USA) 250.31. Volver arribaBanister; Fletcher."A History of Architecture". B. T. Basford, Londres.32. Volver arribaThe golden ratio and aesthetics, by Mario Livio.33. Volver arribahttp://www.educacion.gob.es/exterior/ad/es/publicaciones/Aula_Abierta2_Belleza.pdf, pgina 86.34. Volver arribaJ. L. Ferrier, Dal, Leda atmica, Pars: Denel, Gonthier, 1980.35. Saltar a:abUniversidad Complutense de Madrid, Facultad de Filosofa. "Aspectos Estticos de la Divina proporcin. Memoria para optar al grado de Doctor", Araceli Casans Arteaga, Madrid, 2001, ISBN: 84-669-1867-1.http://eprints.ucm.es/tesis/fsl/ucm-t25388.pdf36. Volver arribaS. M. Eisenstein, La nueva etapa del contrapunto del montaje, en contracampo, nro. 29, ao IV, abril-junio 1982, pgina 42.37. Volver arribaPor ejemplo, la sonata N 1 de Mozart para piano subdivide su primer movimiento en 38 y 62 compases. El cociente, 62/38 = 1,6315, difiere en menos de un 1% de la proporcin urea. Lo mismo puede decirse de su segundo movimiento, que con 28 y 46 compases en sus dos secciones principales arrojan una proporcin 46/28 = 1,6428, tambin muy cercana a . La sonata N 2 subdivide el primer movimiento en 56 y 88 compases, cuyo cociente es 88/56 = 1,5714, tambin bastante prximo a la relacin urea. Aunque desde luego no toda la msica se secciona de esta manera, es uno de los posibles principios para la organizacin del tiempo en la msica. Otro es la simetra, segn el cual las secciones tienen igual duracin. Curiosamente, la simetra funciona mejor en el corto plazo (a nivel de frases o motivos), mientras que la relacin urea domina las grandes extensiones. Se ha argumentado que en tiempos considerables el ser humano es incapaz de percibir objetivamente la duracin, pero es posible que s exista una percepcin inconsciente de la estructura general. "La msica de las esferas: de Pitgoras a Xenakis... y ms ac", Apuntes para el coloquio del Departamento de Matemtica,Federico Miyara, pginas 14 y 15.http://www.sectormatematica.cl/musica/esferas.pdf38. Volver arribahttp://www.youtube.com/watch?v=jZjYLbZh_mo&feature=relatedBibliografa[editar]En orden cronolgico: Jarolimek (Viena, 1890).Der Mathematischen Schlssel zu der Pyramide des Cheops. Kleppisch, K. (1921).Die Cheops-Pyramide: Ein Denkmal Mathematischer Erkenntnis. Mnich: Oldenburg. Cook, Theodore Andrea (1979; obra original: 1914).The Curves of Live. Nueva York: Dover.ISBN 0-486-23701-X;ISBN 978-0-486-23701-5. Pacioli, Luca (1991).La Divina Proporcin. Tres Cantos: Ediciones Akal, S. A.ISBN 978-84-7600-787-7. Ghyka, Matila (1992).El Nmero de Oro. Barcelona: Poseidn, S.L.ISBN 978-84-85083-11-4. Ghyka, Matila (2006).El Nmero de Oro. I Los ritmos. II Los Ritos. Madrid: Ediciones Apstrofe, S. L.ISBN 978-84-455-0275-4. Corbaln, Fernando (2010).La proporcin urea. RBA Coleccionables S. A.ISBN 978-84-473-6623-1.Enlaces externos[editar] Wikimedia Commonsalberga contenido multimedia sobreNmero ureo. Weisstein, Eric W.GoldenRatio. En Weisstein, Eric W.MathWorld(en ingls).Wolfram Research. Matematicasvisuales.com.La proporcin urea(enespaol). Consultado el16 de abrilde2015. Langarita Felipe, Ignacio A.El nmero de oro(enespaol). Consultado el16 de abrilde2015. Paniagua Snchez, Juan ngel.El nmero ureo o Phi(enespaol). Castor.es. Consultado el16 de abrilde2015. De Castro P., Carlos Armando.Sucesiones ureas: Parte I.(enespaol). Consultado el16 de abrilde2015. De Castro P., Carlos Armando.Sucesiones ureas: Parte II.(enespaol). Consultado el16 de abrilde2015. Tomasini, Mara Cecilia.El nmero y lo sagrado en el arte(enespaol). Consultado el16 de abrilde2015. Knott, Ron (9 de diciembrede2011).The Golden section ratio: Phi(eningls). Consultado el16 de abrilde2015.Categoras: Constantes matemticas Espirales Nmeros irracionalesMen de navegacin Crear una cuenta Acceder Artculo Discusin Leer Editar Ver historialPrincipio del formulario

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