Física I
Inércia
Rotacional
Profs.: Camilla Codeço e Marcello Barbosa
Coordenação: Malena Hor-Meyll e Thereza Paiva
Objetivos da aula
• Inércia translacional e a massa – recordação
• Inércia rotacional e o momento de inércia
• Definição matemática do momento de inércia
• Cálculo de para alguns objetos conhecidos
• Teorema dos eixos paralelos
𝐼
𝐼
Inércia translacional e a massa inercial 𝑚
A massa é uma medida da capacidade de resistir à (dificuldade de promover) alterações no estado de movimento translacional de corpos e objetos
𝑚
𝑚
𝑚
𝑚
Inércia rotacional e o momento de inércia 𝐼
A momento de inércia é uma medida da capacidade de resistir à (dificuldade de promover) alterações no estado de movimento rotacional de corpos e objetos
𝐼
Energia cinética de rotação e o momento de inércia
Definimos o momento de inércia
𝐾 =12
𝐼𝜔2𝐼 = ∑𝑖
𝑚𝑖𝑟2𝑖 O momento de inércia faz, para rotações, o
mesmo papel da massa para translações !!!𝐼𝒎
Para o elemento de massa em P
𝐾𝑃 =12
𝑚𝑃𝑣2𝑃
Somando sobre todos os possíveis P’s
𝐾 = ∑𝑖
12
𝑚𝑖𝑣2𝑖
Como a velocidade angular é a MESMA
𝐾 = ∑𝑖
12
𝑚𝑖𝑟2𝑖 𝜔2 =
12 (∑
𝑖
𝑚𝑖𝑟2𝑖 )𝜔2
𝑣𝑖 = 𝜔 𝑟𝑖com
Dividir para conquistar – Julius Caesar
Definição matemática do momento de inércia
O momento de inércia como uma soma
• Identificar o eixo de rotação
• Calcular as distâncias de cada massa
• Calcular o produto
• Efetuar o somatório
𝑟𝑖 𝑚𝑖
𝑚𝑖𝑟𝑖2
Caso discreto
O momento de inércia como uma soma – exemplo
• Identificar o eixo de rotação • Calcular as distâncias de cada massa
• Calcular o produto • Efetuar o somatório
𝑟𝑖 𝑚𝑖
𝑚𝑖𝑟𝑖2
𝑚1 = 1 𝑘𝑔𝑚2 = 2 𝑘𝑔𝑚3 = 1 𝑘𝑔𝑚4 = 1 𝑘𝑔
𝑟1 = 0.75 𝑚𝑟2 = 0.75 𝑚𝑟3 = 1.0 𝑚𝑟4 = 1 . 5 𝑚
𝐼 =4
∑𝑖=1
𝑚𝑖𝑟𝑖2 = 1𝑘𝑔 × (0.75 𝑚)2 + 2𝑘𝑔 × (0.75 𝑚)2 + 1𝑘𝑔 × (1 . 0 𝑚)2 + 1𝑘𝑔 × (1 . 5 𝑚)2 = 𝟒 . 𝟗𝟑𝟕𝟓 𝒌𝒈 𝒎𝟐
Eixo de rotação – eixo y – vertical
O momento de inércia como uma soma – exemplo
• Identificar o eixo de rotação • Calcular as distâncias de cada massa
• Calcular o produto • Efetuar o somatório
𝑟𝑖 𝑚𝑖
𝑚𝑖𝑟𝑖2
𝑚1 = 1 𝑘𝑔𝑚2 = 2 𝑘𝑔𝑚3 = 1 𝑘𝑔𝑚4 = 1 𝑘𝑔
𝑟1 = 0.5 𝑚𝑟2 = 0.5 𝑚𝑟3 = 0 . 5 𝑚𝑟4 = 0 . 5 𝑚
𝐼 =4
∑𝑖=1
𝑚𝑖𝑟𝑖2 = 1𝑘𝑔 × (0.5 𝑚)2 + 2𝑘𝑔 × (0.5 𝑚)2 + 1𝑘𝑔 × (0 . 5 𝑚)2 + 1𝑘𝑔 × (0 . 5 𝑚)2 = 𝟏 . 𝟐𝟓 𝒌𝒈 𝒎𝟐
Eixo de rotação – eixo x – horizontal
O momento de inércia como uma integral
• Identificar o eixo de rotação
• Escrever o elemento de massa à uma distância ao eixo
• Calcular o produto • Efetuar a integral
𝑑𝑚𝑟
𝑚𝑟2
Caso contínuo
𝐼 = ∫ 𝑟2𝑑𝑚
Tipos de elementos de massa – 1D, 2D e 3D
𝐼 = ∫ 𝑟2𝑑𝑚𝐼 = ∑𝑖
𝑚𝑖𝑟𝑖2
Em todos os casos neste curso precisaremos apenas resolver uma integral SIMPLES !!!!
A barra delgada – rotação relativa ao centro
• Identificar o eixo de rotação • Escrever o elemento de massa
à uma distância ao eixo • Calcular o produto • Efetuar a integral
𝑑𝑚𝑟
𝑚𝑟2
Eixo de rotação – eixo y – no CM
𝑑𝑚 = 𝜆 𝑑𝑙 = ( 𝑚𝐿 ) 𝑑𝑥
𝐼 = ∫ 𝑟2𝑑𝑚 =𝐿/2
∫−𝐿/2
𝑥2( 𝑚𝐿 ) 𝑑𝑥 = ( 𝑚
𝐿 )𝐿/2
∫−𝐿/2
𝑥2 𝑑𝑥 = ( 𝑚𝐿 ) 𝑥3
3
𝐿/2
−𝐿/2
= ( 𝑚𝐿 ) ((𝐿/2)3 − (−𝐿/2)3)
3=
112
𝑚𝐿2
𝑟 = 𝑥
𝑥
𝑦
A barra delgada – rotação relativa à extremidade
• Identificar o eixo de rotação • Escrever o elemento de massa
à uma distância ao eixo • Calcular o produto • Efetuar a integral
𝑑𝑚𝑟
𝑚𝑟2
Eixo de rotação – eixo y – na extremidade
𝑑𝑚 = 𝜆 𝑑𝑙 = ( 𝑚𝐿 ) 𝑑𝑥
𝐼 = ∫ 𝑟2𝑑𝑚 =𝐿
∫0
𝑥2( 𝑚𝐿 ) 𝑑𝑥 = ( 𝑚
𝐿 )𝐿
∫0
𝑥2 𝑑𝑥 = ( 𝑚𝐿 ) 𝑥3
3
𝐿
0
= ( 𝑚𝐿 ) (𝐿3 − 03)
3=
13
𝑚𝐿2
𝑟 = 𝑥
• Identificar o eixo de rotação • Escrever o • Calcular o produto • Efetuar a integral
𝑑𝑚
𝑚𝑟2
Eixo de rotação – eixo y – passando pelo CM
𝑑𝑚 = 𝜎 𝑑𝐴 = ( 𝑚𝑎𝑏 )𝑏 𝑑𝑥
𝐼 = ∫ 𝑟2𝑑𝑚 =𝑎/2
∫−𝑎/2
𝑥2( 𝑚𝑎𝑏 )𝑏 𝑑𝑥 = ( 𝑚
𝑎 )𝑎/2
∫−𝑎/2
𝑥2 𝑑𝑥 = ( 𝑚𝑎 ) 𝑥3
3
𝑎/2
−𝑎/2
= ( 𝑚𝑎 ) ((𝑎 /2)3 − (−𝑎 /2)3)
3=
112
𝑚𝑎2
𝑟 = 𝑥
Placa retangular delgada – eixo longitudinal
-a/2 a/2
b
Placa retangular delgada – eixo na aresta• Identificar o eixo de rotação • Escrever o • Calcular o produto • Efetuar a integral
𝑑𝑚
𝑚𝑟2
Eixo de rotação – eixo y – ao longo da aresta
𝑑𝑚 = 𝜎 𝑑𝐴 = ( 𝑚𝑎𝑏 )𝑏 𝑑𝑥
𝐼 = ∫ 𝑟2𝑑𝑚 =𝑎
∫0
𝑥2( 𝑚𝑎𝑏 )𝑏 𝑑𝑥 = ( 𝑚
𝑎 )𝑎
∫0
𝑥2 𝑑𝑥 = ( 𝑚𝑎 ) 𝑥3
3
𝑎
0
= ( 𝑚𝑎 ) (𝑎3 − 03)
3=
13
𝑚𝑎2
𝑟 = 𝑥
Eixos paralelos
Simplificando o cálculo de 𝐼
O teorema dos eixos paralelos – caso geral
Dado: momento de inércia em relação a um eixo passando CM
Pede-se: momento de inércia em relação a algum outro eixo
Solução: teorema dos eixos paralelos
Exemplos do teorema dos eixos paralelos
𝐼(𝑏) = 𝐼(𝑎) + 𝑀( 𝐿2 )
2
=112
𝑀𝐿2 +14
𝑀𝐿2 =13
𝑀𝐿2
𝐼(𝑏) = 𝐼(𝑎) + 𝑀( 𝑎2 )
2
=1
12𝑀𝑎2 +
14
𝑀𝑎2 =13
𝑀𝑎2
(a) (b)
-a/2 a/2
b
Cilindros e esferas
Casos mais simples – integral SIMPLES
Momento de inércia – cilindro
• Identificar o eixo de rotação • Escrever o • Calcular o produto • Efetuar a integral
𝑑𝑚
𝑚𝑟2
Eixo de rotação – eixo z – de simetria do cilindro
𝑟 = 𝑟
𝜌 =𝑀𝑉
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Volte ao slide “Objetivos da aula” e avalie se você compreendeu os conceitos. Por exemplo, pense se você é capaz de falar sobre eles ou explicá-los para uma outra pessoa.
Pense em perguntas sobre esses conceitos e as tragam para a aula
Não entendeu algo ou tudo? Calma! Assista o vídeo novamente, leia o livro texto e traga suas dúvidas para a aula.
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