4300376 - Física Moderna 2 Aula 2
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z
i
(Parênteses eletromagnético) Modelo de Bohr: e– circulando em torno do núcleo, produzindo uma corrente.
re
Te
dtdqi
π2v
===Uma espira de corrente produz um campo magnético, a grandes distâncias, igual ao de um dipolo magnético localizado no seu centro e orientado perpendicularmente:
a
Biot-Savart:
( )( )
( ) ( )⇒
++
+=
=+
+−×=∴
+
+−==⇒+−=
=×
=
2/3222/322
2
2/322
22
2
π4
ˆφπ4
ˆφ
π4ˆˆφ̂φ
ˆˆˆ ˆˆ
e φ̂φ mas , π4
ˆ
zaρiazd
zazdiaza
zzρaiadHd
zazzρa
rrrzzρar
addrridHd
dℓ
r
dH
z
Momentos de dipolo magnético
π4
ˆ2rridHd ×
=
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2
( )( )
( ) 32/322 π2π2 zzH
zazH az µµ
=⎯⎯→⎯
+= >>
No limite de grandes distâncias da espira:
e– em órbita também tem momento angular: rmLL v= ;
me
rmre
Lrer
reiA
222π
π2 Mas 2 ==⇒===
vvvv
µµ Só constantes
universais!
Lme
me
LL
me
mL
TA
TAeiA
2 :nteVetorialme .
22
2
:Kepler de Lei pela mas, :forma Outra
==⇒=⇒
⇒===
µµ
µ
µ
Fim do parênteses
( ) ( ) ( ) 2/3222/3222/322
2
π2π2π4ˆπ2
zazaAi
zaziaH
+=
+=
+=⇒
µ
Relação não depende da geometria da órbita
Sonda eletromagnética para perceber momento angular!
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Podemos definir uma unidade microscópica de momento magnético, o magneton de Bohr, como:
µb =e
2me
= 9, 274×10−23 (A m2 ≡ J/T) = 5,788×10−9 eV/Gauss
Assim, podemos escrever o momento magnético do átomo como:
( ) ( )112
+=+===
bbb ggLgL
me
µµµ
µ
( ) ( ) 122
1 :nteQuanticame +==⇒+=meL
meL µ
mgmgLgb
bz
bz µ
µµµ −=−=−=
no caso do elétron paralelos-anti são e L
µ
(Parênteses eletromagnético) Dipolo magnético submetido a um campo magnético externo sofre um torque:
B
×= µτ
A proporcionalidade entre µ e L é uma propriedade geral de cargas em rotação. Os momentos magnético e angular de um corpo qualquer, de massa M e carga Q, em rotação, sempre satisfazem a relação L
MQg
2=µ
Os detalhes da distribuição determinam o valor do fator g. No caso, gℓ = 1, fator g orbital. Componente z
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B µ
d/2 i
Consideremos uma espira quadrada, de lado d, com corrente i, submetida a um campo magnético externo B.
BidFd
×=
1
2
3
4 0
sen42
31
=
==
==
∑n
nF
iBdFFiBdFF
θ
Mas F1 e F3 produzem torque:
( )
θτ
θθθθτ
τ
sen
sen2
2sen2
sen2
sen22
3131
Bid
didBdFFFdFdFr
=⇒
⇒=+=+=⇒
⇒×=
BBid
×=⇒=⇒= µτθµτµ sen Mas 2
∫=ângulo
:Trabalho θτdW Convencionando que E(θ = 90o) = 0, temos:
BBBdBE oo
⋅−=−=−==Δ ∫ µθµθµθθµ
θθcoscossen
9090
–µB
µB E
θπ/2 π 0
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Eisberg, pág. 348
Caso não existam formas de dissipar a energia, µℓ não pode mudar sua orientação em relação a B. Nesse caso, µℓ precessiona em torno da direção de B, mantendo o ângulo entre eles constante.
dtLd
BLgB b
=
×−=×=
τ
µµτ
Mas
BLgdtLd b
×−=⇒µ
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BmeBg
LBgLdtdL
dtdL
b
b
2
sensensen
==⇒
⇒−====
µω
θµ
τθωφ
θ
Frequência de Larmor
Tratamento quântico: mesmos resultados, só que para os valores esperados das grandezas. O módulo de L permanece constante:
022 =⋅=⋅= LdtdLLL
dtdL
dtd
BLgdtLd b
×−=µ
ωθθω
θφ
θφ ===⇒=
sensen
sen1
sen LL
dtdL
Ldtd
LdLd
meBv
meB
π4π22==⇒=
ωω Lorentz
clássico
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Voltando ao efeito Zeeman: suponhamos um átomo monoeletrônico em um estado estacionário descrito por uma autofunção Ψnℓm na ausência de campo magnético. Então:
22 )1( +=L O momento magnético tem amplitude:
)1(22 +== bb gLg
µµ
µ A componente z de L é dada por:
mgLgmL bzb
zz µµ
µ −=−=⇒=
Se aplicamos um campo magnético constante, ele passa a definir uma direção privilegiada no espaço, que podemos escolher como o eixo z. A energia de interação com o campo é dada por: BmgBVBV bzMzM µµµ =−=⇒−=
A quantidade 〈VM〉 representa a energia adicional adquirida pelo átomo no estado Ψnℓm devido à presença do campo aplicado. Essa energia depende do valor de m e da intensidade do campo.
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Camada K, 1 estado
Camada L, 4 estados
Camada M, 9 estados
Camada N, 16 estados
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Estados com diferentes m têm suas degenerescências quebradas por causa da presença do campo magnético. Estados (nℓ) com valores sucessivos de m apresentam energias com diferenças de: BgE bM µ=δO sinal da variação de energia é o mesmo de m, e os estados com m = 0 não são afetados pela presença do campo. Cada um dos níveis representados na figura corresponde a um estado de precessão diferente do átomo, com energia dada por: na presença do campo B. Por essa razão, o número quântico azimutal, m, é também conhecido como número quântico magnético.
BmgE bn µ+
Quebra da degenerescência em m ⇒ quebra da simetria rotacional
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Resultado clássico!
Lyman α
Balmer α
A separação dos níveis provocada pelo efeito Zeeman produz mudanças na frequência da radiação emitida pelo átomo nas transições ⇒ regras de seleção: Δℓ = ± 1 e Δm = 0 ou ± 1. Todas as transições indicadas envolvem apenas 3 diferentes energias de fótons emitidos: ΔE – δEM ; ΔE ; e ΔE + δEM onde ΔE representa a energia de transição sem o campo aplicado. Aparece então um tripleto, com variação de frequência dada por:
e
bM
meBBg
hEv
π4π2δδ ===
µ
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1922: experiência de Stern&Gerlach Vamos imaginar que temos um feixe de pequenos ímãs, que atravessam uma região com campo magnético, como ilustrado na figura abaixo:
A componente z do campo, na posição dos pólos N e S, pode ser escrita, em 1ª ordem, como:
e
onde Bz0 e ∂Bz/∂z são, respectivamente, os valores do campo e de seu gradiente sobre o eixo do dipolo. Se considerarmos que os pólos (hipotéticos) têm intensidades ±g0, a força pode ser escrita como:
Em 1920 já se sabia que havia separação das linhas espectrais mesmo sem a presença de campos magnéticos externos (estrutura fina). Fenômeno então atribuído a processos internos ao átomo: “caroço magnético” responsável por produzir campo e interagir com os elétrons mais externos.
Força depende de µz!
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feixe de ímãs
imagem Resultados muito diferentes são obtidos se substituímos o feixe de ímãs por um feixe de átomos, pois, nesse caso, cada átomo tem uma
Assim, o momento de dipolo magnético, µz, pode ter apenas alguns valores. No caso de um feixe de átomos de H:
Essa é a força responsável pela deflexão vertical do feixe, dependendo do sinal de µz. Classicamente, µz varia continuamente, por conta da orientação aleatória dos ímãs. Isso deve resultar numa imagem contínua, conforme a figura:
certa probabilidade de ser encontrado com uma certa orientação, definida pelo valor da projeção de seu momento angular sobre o eixo z.
com
Assim, diferentes valores de µz vão sofrer forças distintas e deflexões diferentes, conforme ilustrado na figura abaixo:
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(2ℓ+1) manchas 2 manchas
momento magnético orbital observado
O experimento original de Stern&Gerlach usou um feixe de átomos neutros de Ag, obtidos por evaporação em um forno. Depois de atravessarem o campo eles eram depositados em uma placa de vidro. (Episódio do charuto, PT56v12(2003)53). Resultado observado concordava com o que se esperava pelo modelo do “caroço magnético” para a Ag. No entanto, um experimento análogo feito com átomos de H – para os quais não era esperada deflexão – obteve os mesmos resultados. O “caroço magnético” não podia explicar esses resultados, pois, no H, o “caroço” é só o núcleo, cujo momento magnético é 3 ordens de grandeza menor que o do elétron.
eb m
e2
=µ ⇒ me ↔ mp ⇒ µe >> µp
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Resultados de Stern & Gerlach
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1924: Pauli sugere que as estruturas dos multipletos e as anomalias no efeito Zeeman poderiam ser explicadas se um novo grau de liberdade, formal, com 2 valores, fosse associado ao elétron. Goudsmit e Uhlenbeck (estudantes de pós, ver Eisberg, pág. 356) propõem uma variável, quantizada, com 2 valores, com propriedades de momento angular. Eles supuseram um movimento de rotação do elétron em torno de seu próprio eixo (como a Terra: gira em torno do Sol e de seu próprio eixo).
Analogia com o momento angular orbital ⇒ e e
com e foram observadas 2 manchas ⇒ 2 valores de ms . Como Δms = 1 ⇒ ms = ± ½. Assim, o momento angular de spin é dado:
( ) 222
431 e
2
=+=±== ssSmS sz
incerto
Temos também o aparecimento de um momento de dipolo magnético devido ao momento angular de spin:
sbssbs
s mgSgz
µµµ
µ −=−= e
com gs = 2
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Um estado estacionário de um átomo monoeletrônico é descrito por um conjunto de 4 números quânticos:
ou
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Spin – um efeito quântico-relativístico
trajetória da esfera
observador
vistas observadas
2 1
1 2
3
3
4
4
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