8/18/2019 Modul 1. Pengetahuan Dasar Teori Graf (1x Pert)
1/33
Pengetahuan Dasar Teori Graf
Prof. Dr. H. Didi Suryadi, M.Ed.Prof. Dr. H. Nanang Priatna, M.Pd.
ada bagian ini Anda akan mempelajari sejarah singkat perkembangan
teori graf serta beberapa pengertian dasar teori graf mencakup definisi
teori graf; graf hingga dan graf tak hingga; insidensi dan ajasensi; titik
(simpul) terisolasi, titik anting, serta derajat suatu titik. Setelah Anda
mengenal beberapa pengertian teori graf, selanjutnya akan disajikan materi
graf sebagai model matematika dan aplikasinya yang mencakup graf sebagai
model matematika, graf berarah sebagai model matematika, jaringan kerja,
silsilah keluarga, sistem komunikasi, jaringan transportasi, desain arsitektur,dan ikatan kimia.
P
Mengingat materi yang akan Anda pelajari ini merupakan landasan
utama dalam mempelajari modul-modul berikutnya, maka pemahaman yang
baik tentang materi yang disajikan merupakan langkah yang tepat dalam
upaya memahami materi setiap modul secara keseluruhan.
Setelah mempelajari modul ini Anda diharapkan mengenal sejarah
singkat munculnya teori graf, beberapa pengertian dasar teori graf, serta
aplikasi teori graf.
Setelah mempelajari modul ini, secara khusus Anda diharapkan mampu
!. menjelaskan sejarah perkembangan teori graf;
". menjelaskan beberapa pengertian dasar teori graf;
#. menggambar graf sebagai model matematika.
PENDAHULUAN
8/18/2019 Modul 1. Pengetahuan Dasar Teori Graf (1x Pert)
2/33
Kegiatan Belajar 1
Sejarah Singkat dan BeberapaPengertian Dasar Teori Graf
A. SEJARAH SINGKAT TEORI GRAF
$eori graf lahir pada $ahun !%#& melalui tulisan 'uler yang berisi
tentang upaya pemecahan masalah jembatan Konigsberg yang sangat terkenal
di 'ropa. urang lebih seratus tahun setelah lahirnya tulisan 'uler tersebuttidak ada perkembangan yang berarti berkenaan dengan teori graf.
$ahun !*%, +.. irchoff (!"* !%) berhasil mengembangkan teori
pohon (Theory of trees) yang digunakan dalam persoalan jaringan listrik.
Sepuluh tahun kemudian, A. oyley (!"! !/0) juga menggunakan
konsep pohon untuk menjelaskan permasalahan kimia yaitu hidrokarbon.
1ada masa irchoff dan oyley juga telah lahir dua hal penting dalam
teori graf. Salah satunya berkenaan dengan konjektur empat warna, yang
menyatakan bah2a untuk me2arnai sebuah atlas cukup denganmenggunakan empat macam 2arna sedemikian hingga tiap negara yang
berbatasan akan memiliki 2arna yang berbeda.
1ara ahli teori graf berkeyakinan bah2a orang yang pertama kali
mengemukakan masalah empat 2arna adalah A.3. Mobius (!%/4 !&)
dalam salah satu kuliahnya di $ahun !*4. Sepuluh tahun kemudian, A. 5e
Morgan (!4& !%!) kembali membahas masalah ini bersama ahli-ahli
matematika lainnya di kota 6ondon. 5engan demikian tulisan 5e Morgan
dianggap sebagai referensi pertama berkenaan dengan masalah empat 2arna.Masalah empat 2arna ini menjadi sangat terkenal setelah oyley
mempublikasikannya $ahun !%/ dalam Proceedings of the Royal
Geographic Society 7olume pertama.
8al lain yang penting untuk dibicarakan sehubungan dengan
perkembangan teori graf adalah apa yang dikemukakan oleh Sir 9..
8amilton (!40 !&0). 1ada $ahun !0/ dia berhasil menemukan suatu
permainan yang kemudian dijualnya ke sebuah pabrik mainan di 5ublin.
1ermainan tersebut terbuat dari kayu berbentuk dodecahedron beraturanyakni berupa sebuah polihedron dengan !" muka dan "4 pojok. $iap muka
berbentuk sebuah pentagon beraturan dan tiap pojoknya dibentuk oleh tiga
8/18/2019 Modul 1. Pengetahuan Dasar Teori Graf (1x Pert)
3/33
sisi berbeda. $iap pojok dari dodecahedron tersebut dipasangkan dengan
sebuah kota terkenal seperti 6ondon, :e2 ork, 1aris, dan lain-lain. Masalah
dalam permainan ini adalah, kita diminta untuk mencari suatu rute melaluisisi-sisi dari dodecahedron sehingga tiap kota dari "4 kota yang ada dapat
dilalui tepat satu kali. 9alaupun saat ini masalah tersebut dapat dikategorikan
mudah, akan tetapi pada saat itu tidak ada seorang pun yang bisa menemukan
syarat perlu dan cukup dari eksistensi rute yang dicari.
urang lebih setengah abad setelah masa 8amilton, akti7itas dalam
bidang teori graf dapat dikatakan relatif kecil. 1ada $ahun !/"4-an kegiatan
tersebut muncul kembali yang dipelopori oleh 5. onig. onig berupaya
mengumpulkan hasil-hasil pemikiran para ahli matematika tentang teori graf termasuk hasil pemikirannya sendiri, kemudian dikemasnya dalam bentuk
buku yang diterbitkan pada $ahun !/#&. @7!, 7
", ... yang disebut himpunan titik, dan
sebuah himpunan lain ' > @e!, e
", ... yang merupakan himpunan sisi
sedemikian hingga tiap sisi ek dikaitkan dengan suatu pasangan tak terurut(7
i, 7
j). $itik 7
i, 7
j yang berkaitan dengan e
k disebut titik-titik ujung sisi e
k .
ara merepresentasikan sebuah graf yang paling umum adalah berupa
diagram. 5alam diagram tersebut, titik-titik dinyatakan sebagai noktah dan
tiap sisi dinyatakan sebagai segmen garis yang menghubungkan tiap dua titik.
Bntuk lebih jelasnya perhatikan contoh graf pada +ambar !.! di ba2ah ini.
8/18/2019 Modul 1. Pengetahuan Dasar Teori Graf (1x Pert)
4/33
Gabar !.!.Graf dengan "ia titik dan tujuh sisi
5alam sebuah graf, seperti terlihat pada contoh di atas, dimungkinkan
adanya suatu sisi yang dikaitkan dengan pasangan (7!, 7
"). Sisi yang dua titik
ujungnya sama disebut loop. 5alam graf pada +ambar !.!, e! merupakan
sebuah loop. 5ari contoh di atas juga perlu dicatat bah2a dalam sebuah graf
dimungkinkan adanya lebih dari satu sisi yang dikaitkan dengan sepasang
titik. Sebagai contoh, e* dan e
0 pada graf di atas dikaitkan dengan pasangan
titik (7!, 7
#). 1asangan sisi semacam ini disebut sisi-sisi paralel atau sejajar .
Sebuah graf yang tidak memiliki loop dan sisi paralel disebut graf
sederhana. 5alam beberapa literatur teori graf, pembahasan hanya dibatasi
pada graf sederhana, akan tetapi dalam banyak aplikasi teknik, penggunaan
loop dan sisi paralel sangat diperlukan. Bntuk membedakan antara graf yang
memuat loop dan sisi paralel dengan graf yang tidak memuat kedua hal
tersebut, sebagian penulis menggunakan istilah graf sederhana untuk graf
yang tidak memuat loop dan sisi paralel, serta graf umum untuk yang lainnya.
5alam sebuah graf mungkin terdapat dua sisi atau lebih yang
menghubungkan dua titik yang berlainan. edua sisi tersebut dinamakan sisi
rangkap atau sisi ganda. +raf yang mengandung loop atau sisi rangkap
dinamakan graf ganda.
ontoh
5alam menggambar sebuah graf, bentuk sisi dapat berupa garis lurus
atau garis lengkung. 5emikian pula ukurannya, dalam penggambaran sebuah
Graf Sederhana Graf Tak SederhanaGabar !.#
8/18/2019 Modul 1. Pengetahuan Dasar Teori Graf (1x Pert)
5/33
graf tidaklah diperhatikan. 8al yang penting untuk diperhatikan dalam
sebuah graf adalah insidensi antara titik-titik dengan sisi-sisinya. Sebagai
contoh, dua graf yang disajikan pada +ambar !.# di ba2ah inimenggambarkan graf yang sama, karena insidensi antara sisi-sisi dan titik-
titik pada graf tersebut adalah sama.
Gabar !.$.Graf yang saa
Sekarang perhatikan +ambar !.* di ba2ah ini. 1ada gambar tersebut
sisi e dan f nampaknya seperti berpotongan, akan tetapi perpotongannya tidak
berupa titik. edua sisi seperti itu harus dipandang sebagai dua ruas garis
yang terletak pada dua bidang berbeda, sehingga kedua sisi itu tidak
berpotongan.
Gabar !.%.Sisi e dan f tidak berpotongan
C. GRAF HINGGA DAN GRAF TAK HINGGA
8/18/2019 Modul 1. Pengetahuan Dasar Teori Graf (1x Pert)
6/33
9alaupun dalam definisi graf tidak disebutkan secara eksplisit bah2a
himpunan titik ? dan himpunan sisi ' tidak perlu merupakan sebuah
himpunan hingga, akan tetapi dalam kebanyakan aplikasi teori graf keduahimpunannya tersebut kebanyakan merupakan himpunan hingga. Sebuah graf
+ > (?, ') dengan ? dan ' hingga disebut graf hingga atau graf terhingga
dan jika sebaliknya yakni jika ? dan ' tak hingga, maka + disebut graf tak
hingga. ontoh graf hingga dapat dilihat pada +ambar !.!, +ambar !.",
+ambar !.# dan +ambar !.*. Sedangkan +ambar !.0 di ba2ah ini merupakan
contoh dari bagian graf tak hingga.
Gabar !.&.Bagian dari graf tak hingga
Bntuk pembahasan selanjutnya, yang dimaksud dengan graf dalam
modul ini adalah graf hingga.
D. INSIDENSI DAN AJASENSI
Cika sebuah titik 7! merupakan titik ujung dari suatu sisi e
j , maka 7
! dan
e j disebut saling berinsidensi atau titik 7
! insiden dengan sisi e
j. Sebagai
contoh, pada +ambar !.! di atas sisi e", e
&, dan e
% adalah sisi-sisi yang insiden
dengan titik 7*. 5ua sisi yang tidak paralel disebut ajasen, bila kedua sisi
tersebut insiden dengan titik yang sama. Sebagai contoh, e"
dan e%
dalam
+ambar !.! merupakan dua sisi yang ajasen. Selain itu, dua buah titik disebut
ajasen jika kedua titik tersebut merupakan titik-titik ujung dari sisi yang
8/18/2019 Modul 1. Pengetahuan Dasar Teori Graf (1x Pert)
7/33
sama. 5alam +ambar !.!, 7* dan 7
0 adalah dua titik yang saling ajasen,
sedangkan titik 7! dan 7
* merupakan dua titik yang tidak saling ajasen.
Cumlah atau banyaknya sisi yang insiden dengan suatu titik 7 i (loop
dihitung dua kali), disebut derajat (degree) dari titik tersebut, dinotasikan
d(7i). Sebagai contoh, dalam +ambar !.!, d (7
!) > d (7
*) > #, d (7
") > *, dan
d (70 ) > !. 5erajat suatu titik sering juga disebut valensi dari titik tersebut.
Selanjutnya pandang sebuah graf + dengan e sisi dan n titik 7!,
7", ..., 7
n. arena tiap sisi menyumbangkan dua derajat, maka jumlah derajat
dari semua titik dalam + sama dengan dua kali jumlah sisi dalam +.
5engan demikian,
( ) "id v e= (!)
Sebagai contoh, pada +ambar !.!
d (7!) D d (7
") D d (7
#) D d (7
*) D d (7
0) > # D * D # D # D ! > !*
> dua kali jumlah sisi
8/18/2019 Modul 1. Pengetahuan Dasar Teori Graf (1x Pert)
8/33
( )k d vå > sebuah bilangan genap. (#)
arena dalam persamaan (#) tiap d (vk ) adalah bilangan ganjil, maka jumlah
keseluruhannya pastilah genap. (terbukti)
Sebuah graf dengan semua titiknya berderajat sama disebut graf reguler .
Selanjutnya akan dibahas bagaimana graf dapat digunakan untuk
menunjukkan hubungan tertentu antara objek-objek sembarang. Bntuk
mempelajari keterhubungan objek-objek itu secara lebih mendalam, maka
kita perlu mempelajari teori graf secara lebih mendetil. ita memerlukan
istilah tertentu untuk menunjukkan bagaimana kedudukan titik dan garisdalam graf itu. Estilah ini berlaku untuk semua graf.
5ua titik P dan Q yang dihubungkan dengan sebuah garis e dikatakan
ajasen. $itik P dan Q yang terletak pada garis e atau titik P dan Q merupakan
titik ujung garis e dikatakan insiden pada garis e atau garis e insiden pada
titik P dan Q. 1ada graf berikut, titik a ajasen dengan titik b, tetapi titik a
dan c tidak ajasen, demikian pula titik b dan c tidak ajasen. $itik a insiden
pada sisi e, titik c tidak insiden pada sisi e. 1ada graf ! tidak ada pasangan
titik yang ajasen.
Gabar !.'.
E. TITIK TERISOLASI DAN TITIK ANTING/JNG
Sebuah titik yang tidak memiliki sisi insiden disebut titik terisolasi.
5engan kata lain, titik terisolasi adalah titik yang berderajat nol. $itik 7* dan
7% dalam +ambar !.% di ba2ah ini adalah dua contoh titik terisolasi. Sebuah
titik berderajat satu disebut titik anting"ujung . $itik 7# dalam +ambar !.%
merupakan contoh titik anting. 5ua sisi yang saling berajasensi atau
8/18/2019 Modul 1. Pengetahuan Dasar Teori Graf (1x Pert)
9/33
berbatasan disebut seri jika titik sekutunya berderajat dua. 5alam +ambar
!.%, dua sisi yang insiden dengan 7! adalah seri.
Gabar !.(.Graf yang euat titik teriso"asi, sisi seri, dan titik anting
!) $eori graf lahir pada $ahun !%#& melalui tulisan 'uler yang mengupas
masalah ....
") +.. irchoff berhasil mengembangkan salah satu cabangFbagian teori
graf yang disebut teori ....
#) 1ara ahli teori graf berkeyakinan bah2a yang pertama kali
mengembangkan atau membahas masalah empat 2arna adalah ....
*) 1ada +ambar !.!, sebutkan sebuah sisi yang dua titik ujungnya samaG
0) 1erhatikan kembali graf pada +ambar !.!. Apakah graf tersebut
memiliki sisi sejajarH
&) Apa yang dimaksud dengan graf sederhanaG
%) 1erhatikan kembali graf pada +ambar !.!. Sebutkan sisi-sisi yang
insiden dengan titik 7#G
) Cika dua buah sisi yang tidak paralel insiden di sebuah titik yang sama,
maka kedua sisi itu disebut .....
LATIHAN
Bntuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas,
kerjakanlah latihan berikutG
8/18/2019 Modul 1. Pengetahuan Dasar Teori Graf (1x Pert)
10/33
/) (?, '), himpunan mana yang dimungkinkan
merupakan sebuah himpunan kosongH
Petunjuk #awaban $atihan
!)Cembatan onigsberg
")$eori pohon
#)Mobius
*)Sisi e
!
0)a, yaitu e
* dan e
0
&)+raf sederhana adalah graf yang tidak memuat loop dan sisi paralel
%)Sisi-sisi yang insiden dengan 7
# adalah e
*, e
0, dan e
&
)Ajasen
/)+enap
!4)8impunan sisi '
8/18/2019 Modul 1. Pengetahuan Dasar Teori Graf (1x Pert)
11/33
. +raf sederhana adalah sebuah graf yang tidak memuat loop dan sisi
paralel.
/. Sebuah graf + > (?, ') dengan ? dan ' berupa himpunan hingga
disebut graf hingga, dan jika sebaliknya disebut graf tak hingga.
!4. 5ua sisi yang tidak paralel disebut ajasen, jika kedua sisi tersebut
insiden dengan titik yang sama.
!!. 5ua buah titik disebut ajasen, jika kedua titik tersebut merupakan
titik-titik ujung dari sisi yang sama.
!".
8/18/2019 Modul 1. Pengetahuan Dasar Teori Graf (1x Pert)
12/33
(?, ') disebut graf hingga jika ....
A. ? dan ' merupakan himpunan hingga
(?, ') disebut graf tak hingga jika ....
A. ? dan ' merupakan himpunan hingga
8/18/2019 Modul 1. Pengetahuan Dasar Teori Graf (1x Pert)
13/33
A. seri
cukup
J %4I > kurang
Apabila mencapai tingkat penguasaan 4I atau lebih, Anda dapat
meneruskan dengan egiatan
8/18/2019 Modul 1. Pengetahuan Dasar Teori Graf (1x Pert)
14/33
Kegiatan Belajar #Graf sebagai Mode" Mateatika
dan )p"ikasinya
A. GRAF SEBAGAI $ODEL $ATE$ATIKA
onstruksi model matematika dapat dibuat dalam berbagai cara dengan
permasalahan matematika yang berbeda-beda. Salah satu model matematika
yang sudah cukup dikenal dan bisa mencakup berbagai permasalahan adalah
teori graf. 1ada bagian ini akan disajikan contoh permasalahan yang dapatdibuat model matematikanya dalam bentuk graf.
%ontoh &
Seorang guru bermaksud membuat suatu diagram tentang hubungan
antar sis2a dari kelas yang diajarnya. 5iagram tersebut harus berisikan
informasi apakah antara satu sis2a dengan sis2a lainnya berteman atau tidak
berteman. 8al semacam itu dapat dinyatakan dalam bentuk diagram yang
disebut graf. 5alam graf tersebut, seorang sis2a dinyatakan sebagai sebuahtitik dan hubungan berteman antara dua sis2a, dinyatakan dengan sebuah sisi
yang menghubungkan titik-titik yang me2akili dua sis2a tersebut.
%ontoh '
5alam suatu persiapan untuk menghadapi perang, beberapa peleton
tentara ditempatkan di beberapa lokasi yang berbeda. omunikasi antara
peleton dilakukan dengan menggunakan radio telepon yang kemampuannya
terbatas pada jarak tertentu.Cika jarak antara dua peleton masih terjangkau, maka komunikasi dapat
dilakukan. eadaan seperti ini dapat dinyatakan dalam suatu model
matematika berbentuk graf. 5alam graf tersebut, titik menyatakan peleton
dan sisi antara dua titik menyatakan komunikasi antara dua peleton yang
di2akili oleh dua titik tersebut.
%ontoh (
Misalkan kita ingin menempuh perjalanan dari Cakarta menuju Surabaya.
Mungkin kita ingin mengetahui rute terpendek yang dapat dipilih. 5alam permasalahan ini kota direpresentasikan sebagai titik, sedangkan rute atau
jalan direpresentasikan sebagai segmen garis atau kur7a.
8/18/2019 Modul 1. Pengetahuan Dasar Teori Graf (1x Pert)
15/33
%ontoh )
Misalnya terdapat satuan tugas dalam kepolisian yang bertugasmengungkap jaringan pengedar obat terlarang. 8al tersebut dapat kita
gambarkan ke dalam sebuah graf. 5alam graf tersebut, tiap-tiap anggota
komisi dinyatakan dengan sebuah titik, dan hubungan di antara anggota
dinyatakan dengan sisi atau kur7a. 5alam permasalahan ini kita mungkin
ingin tahu seberapa rapuhkah jaringan komunikasi ini, dan seberapa
mudahkah kita bisa menghancurkan jaringan tersebut. 5engan menggunakan
teori graf desain jaringan komunikasi yang handal dapat diciptakan.
%ontoh *$eori graf juga biasanya digunakan dalam bidang elektronika, misalnya
untuk mendesain sirkuit cetakan.
8/18/2019 Modul 1. Pengetahuan Dasar Teori Graf (1x Pert)
16/33
Gabar !.*.
Misalkan 5! adalah sebuah graf berarah dengan ? > @7
!, 7
", 7
#, 7
* dan '
> @(7!, 7
"), (7
", 7
#), (7
#, 7
"). +raf berarah 5
!, dapat dibuat seperti gambar di
ba2ah ini (+ambar !./)
Gabar !.+.
Mungkin juga terjadi bah2a relasi yang mendefinisikan sebuah graf
berarah 5 merupakan sebuah relasi simetris. +raf semacam ini disebut Graf
berarah simetris. +ambar di ba2ah ini adalah contoh sebuah graf simetris.
Gabar !.!.
%ontoh +
8/18/2019 Modul 1. Pengetahuan Dasar Teori Graf (1x Pert)
17/33
5iketahui sebuah graf berarah 5 dengan himpunan ? > @7!, 7
", 7
#, 7
*, 7
0,
7& dan himpunan arah ' > @(7
!, 7
#), (7
", 7
#), (7
#, 7
*), (7
*, 7
!), (7
*, 7
#), (7
0,
7&) . +ambarlah diagram dari graf 5.
Penyelesaian
+ambar di ba2ah ini merupakan diagram dari graf 5.
Gabar !.!!.
C. JARINGAN KERJA SEBAGAI $ODEL $ATE$ATIKA
Sebuah jaringan kerja adalah sebuah graf berarah dengan suatu fungsi
yang memetakan himpunan sisi ke himpunan bilangan real. Caringan kerja
yang merupakan sebuah graf disebut jaringan kerja tidak berarah sedangkan
jaringan kerja yang merupakan graf berarah disebut jaringan kerja berarah.
+ambar di ba2ah ini merupakan contoh diagram dari dua jenis jaringan kerja
tersebut.
Gabar !.!#.
Graf bertanda S adalah suatu jaringan kerja tidak berarah yang nilai
fungsinya D! atau -!. arena tanda positif atau negatif dipasangkan pada tiap
8/18/2019 Modul 1. Pengetahuan Dasar Teori Graf (1x Pert)
18/33
sisi dari S, maka dapat dipahami bila tiap sisi dari S disebut sisi positif atau
sisi negatif. Sebagai contoh, jika
? > @ 7!, 7
", 7
#
' > @ 7!7
", 7
!7
#, 7
"7
#
dan
f > @ (7!7
", D!), (7
!7
#, -!), (7
"7
#, -!)
maka graf bertanda seperti ini dapat dinyatakan dalam dua cara yaitu seperti
diperlihatkan pada gambar di ba2ah ini.
Gabar !.!$.
%ontoh , 8ubungan bertetangga dapat dinyatakan dalam bentuk graf bertanda.
5ua keluarga yang saling berhubungan dengan baik dapat di2akili oleh sisi
positif, dua keluarga yang berhubungan kurang baik dapat dinyatakan dengan
sisi negatif dan dua keluarga yang tidak saling berhubungan atau tidak saling
kenal dapat dinyatakan dengan tidak ada sisi antar dua titik yang me2akili
dua tetangga tersebut.
Caringan kerja tidak berarah yang nilai fungsinya bulat positif sering kali
digunakan sebagai model matematika. Ada dua cara yang sering digunakanuntuk menyatakan jaringan kerja tidak berarah seperti ini. Sebagai contoh,
jika
? > @ 7!, 7
", 7
#
' > @ 7!7
", 7
!7
#, 7
"7
#
dan
f > @ (7! 7
", "), (7
!7
#, !), (7
"7
#, #)
maka jaringan kerjanya dapat dibuat seperti terlihat pada gambar di ba2ahini.
8/18/2019 Modul 1. Pengetahuan Dasar Teori Graf (1x Pert)
19/33
Gabar !.!%.
Caringan kerja tak berarah yang dinyatakan seperti +ambar !.!* disebutmultigraf . Misalnya M adalah sebuah multigraf dengan himpunan sisi ' dan
fungsi f. Cika u7 ' dan f(u7) > n (n adalah bilangan bulat positif), maka u
dan 7 dihubungkan oleh n sisi. Sisi-sisi seperti ini disebut sisi multipel .
%ontoh -
Misalkan 7!, 7
", dan 7
# adalah tiga buah kota. $iap dua kota dihubungkan
oleh satu jalan yang jaraknya tidak sama. Cika antara salah satu kota dengan
kota lain ditempuh dengan jalan kaki, maka lama perjalanannya adalahsebagai berikut
antara 7! dan 7
", dua hari;
antara 7! dan 7
#, satu hari;
antara 7" dan 7
#, tiga hari.
Situasi seperti ini dapat dinyatakan dalam bentuk graf seperti pada
+ambar !.!* (a).
%ontoh .Misalkan 7
!, 7
", dan 7
# adalah tiga buah kota. Antara 7
! dan 7
" terdapat
dua jalan, antara 7! dan 7
# terdapat satu jalan, sedangkan antara 7
" dan 7
#
terdapat tiga jalan. Situasi ini dapat dinyatakan dengan graf seperti +ambar
!.!* (b).
8/18/2019 Modul 1. Pengetahuan Dasar Teori Graf (1x Pert)
20/33
Misalkan
? > @7!, 7
", 7
#, 7
* , dan
' > @ (7!, 7"), (7", 7#), (7#, 7"), (7#, 7#), (7*, 7*) .
arena relasi ' memuat (7#, 7
#) dan (7
*, 7
*), maka graf berarah dengan loop
ini dapat digambar seperti di ba2ah ini.
Gabar !.!&.
D. SILSILAH KELARGA
Silsilah keluarga merupakan contoh masalah sederhana yang bisa
dinyatakan dalam bentuk graf. +raf yang terbentuk dari silsilah keluarga biasanya berupa pohon atau tree. +ambar !.!& di ba2ah ini adalah contoh
silsilah keluarga Andri yang dapat diubah menjadi sebuah pohon.
Gabar !.!'.
E. SISTE$ KO$NIKASI
1erhatikan +ambar !.!% di ba2ah ini. +ambar tersebut merupakan suatu
jaringan komunikasi dengan menggunakan komputer. 1ada gambar tersebut,
8/18/2019 Modul 1. Pengetahuan Dasar Teori Graf (1x Pert)
21/33
bulatan kecil menyatakan komputer mikro dan bulatan ber2arna hitam kecil
menyatakan komputer mini.
Gabar !.!(.
omputer mini digunakan untuk mengubah signal dari suatu sirkuit ke
sirkuit lainnya serta untuk memproses data. Sedangkan lambang diamond
menyatakan komputer mainframe yang merupakan pusat dari seluruh jaringan. Seseorang yang bermaksud mengakses jaringan tersebut harus
melalui salah satu dari komputer mini yang ada dengan menggunakan
komputer mikro miliknya. Sistem tersebut dapat digunakan untuk mengirim
pesan antarkomputer mikro, atau untuk melakukan proses pengolahan data
dengan menggunakan salah satu komputer yang lebih besar. Melalui diagram
atau graf di atas dapat diajukan berbagai pertanyaan antara lain sebagai
berikut
!. 5apatkah komputer mikro di Seattle mengirimkan pesan melaluikomputer mikro di MiamiH
".
8/18/2019 Modul 1. Pengetahuan Dasar Teori Graf (1x Pert)
22/33
F. JARINGAN TRANSPORTASI
Masalah transportasi sebenarnya merupakan hal yang sangat klasik dalam teori graf, karena kelahiran teori graf itu dia2ali oleh masalah
transportasi yang terkenal yaitu Cembatan onigsberg. Elustrasi jembatan
tersebut dapat dilihat pada +ambar !.! di ba2ah ini.
Gabar !.!*.
1ada gambar tersebut A,
8/18/2019 Modul 1. Pengetahuan Dasar Teori Graf (1x Pert)
23/33
G. DESAIN ARSITEKTR
1erhatikan desain sebuah bangunan pada +ambar !."4 di ba2ah ini.1ada gambar tersebut A,
8/18/2019 Modul 1. Pengetahuan Dasar Teori Graf (1x Pert)
24/33
H. IKATAN KI$IA
5alam bidang kimia pun teori graf mempunyai kegunaan yang amat penting. ita mengenal ikatan-ikatan kimia seperti 8"S=*, 8"=, =", dan
8*. $iap molekul kimia mengandung sejumlah atom yang dikaitkan dengan
ikatan kimia. Sebagai contoh, karbon dioksida mempunyai sebuah atom
karbon yang dikaitkan terhadap " atom oksigen. 5emikian pula dalam
"80=8 (ethanol), sebuah atom karbon dikaitkan pada # atom hidrogen,
sedangkan atom karbon lainnya dikaitkan dengan atom karbon pertama, "
atom hidrogen dan sebuah atom oksigen. Atom oksigennya dikaitkan dengan
sebuah atom hidrogen, selain dengan sebuah atom karbon. 1erhatikan+ambar !."".
Gabar !.##
onstruksi "80=8 seperti pada gambar di atas termasuk ikatan kimia
yang cukup rumit. 5alam teori graf ikatan kimia ini dapat dinyatakan dengan
graf pada +ambar !."#. 5alam graf tersebut banyaknya sisi yang
menghubungkan sebuah titik menyatakan 7alensi dari tiap-tiap atom yang
berkorespondensi.
Gabar !.#$
5iagram pada +ambar !."# pertama kali digunakan tahun !&* untuk
menggambarkan bagaimana susunan atom-atom dalam sebuah molekul. Ede pertama diketengahkan oleh AleLander rum
8/18/2019 Modul 1. Pengetahuan Dasar Teori Graf (1x Pert)
25/33
isomer-isomer. Esomer menyatakan molekul-molekul yang mempunyai rumus
kimia yang sama tapi mempunyai sifat kimia2i yang berlainan.
5iagram ini menunjukkan bagaimana sebuah atom dihubungkan denganatom lainnya. Enformasi ini sangat diperlukan dalam mempelajari perilaku
kimia2i sebuah molekul. Masalah dokumentasi kimia berhubungan dengan
isomorfisme dan masalah pengkodean. Eni menunjukkan bah2a penyelesaian
bagi masalah isomorfisme graf bagian memberikan penyelesaian bagi
masalah penelitian struktur kimia.
!) Suatu sekolah bermaksud membentuk sepuluh macam kepanitiaan yang
anggota-anggotanya diambil dari !0 orang sis2a terpilih.
8/18/2019 Modul 1. Pengetahuan Dasar Teori Graf (1x Pert)
26/33
Petunjuk #awaban $atihan
!) Bntuk graf +!, misalkan ? (+
!) menyatakan sis2a terpilih yang
jumlahnya !0 orang. 5ua titik dari +! dihubungkan dengan sebuah sisi,
jika dan hanya jika dua sis2a yang di2akili oleh titik-titik tersebut
menjadi anggota kepanitiaan yang sama. Bntuk graf +", misalkan ?
(+") menyatakan !4 kepanitiaan yang dibentuk. 5ua titik dari +
"
dihubungkan jika dan hanya jika dua kepanitiaan yang di2akili oleh
titik-titik tersebut memuat anggota yang sama.
")
#)
*) $ree atau pohon.
0) Sistem komunikasi, jaringan transportasi, dan desain arsitektur.
!. 5i antara beberapa model matematika yang sudah dikenal, graf
merupakan salah satu contoh model matematika yang banyak
kegunaannya.
". $erdapat beberapa jenis graf yaitu graf tak berarah, graf berarah, dan
jaringan kerja.
RANGKUMAN
8/18/2019 Modul 1. Pengetahuan Dasar Teori Graf (1x Pert)
27/33
#. Sebuah graf + adalah suatu himpunan hingga ? yang tidak kosong
yang memenuhi sifat tidak refleksif dan simetris dari suatu relasi
pada ?.*. Sebuah graf berarah 5 adalah suatu himpunan ? yang tidak kosong
dengan sebuah relasi pada ? yang tidak refleksif.
0. Caringan kerja adalah sebuah graf atau graf berarah dengan suatu
fungsi yang memetakan himpunan sisi ke himpunan bilangan real.
&. +raf dapat diterapkan dalam beberapa permasalahan antara lain
masalah silsilah keluarga, sistem komunikasi, jaringan transportasi,
dan desain arsitektur.
!)
8/18/2019 Modul 1. Pengetahuan Dasar Teori Graf (1x Pert)
28/33
8/18/2019 Modul 1. Pengetahuan Dasar Teori Graf (1x Pert)
29/33
. onigsberg
5. 8amilton
ocokkanlah ja2aban Anda dengan unci Ca2aban $es 3ormatif " yang
terdapat di bagian akhir modul ini. 8itunglah ja2aban yang benar.
emudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan
Anda terhadap materi egiatan
8/18/2019 Modul 1. Pengetahuan Dasar Teori Graf (1x Pert)
30/33
")
8/18/2019 Modul 1. Pengetahuan Dasar Teori Graf (1x Pert)
31/33
Daftar Pustaka
8/18/2019 Modul 1. Pengetahuan Dasar Teori Graf (1x Pert)
32/33
G"osariu
A%a"e&"i
edudukan dua titik (misal P dan Q) yang dihubungkan dengan sebuah
sisi e.
Dera%at Titik
(/ , 6 ) dengan 6 > 4.
Gra' Se)er(a&a
Sebuah graf yang tidak memiliki loop dan sisi paralel.
Gra' Tak Hi&!!a
Sebuah graf G (/ , 6 ) dengan / dan 6 tak hingga.
I&"i)e&"i
8/18/2019 Modul 1. Pengetahuan Dasar Teori Graf (1x Pert)
33/33
edudukan dua titik (misal P dan Q) yang terletak pada sisi e atau titik
P dan Q merupakan titik ujung sisi e.
Jari&!a& Ker%a
Sebuah graf berarah dengan suatu fungsi yang memetakan himpunan sisi
ke himpunan bilangan real.
Jari&!a& Ker%a Berara(
Caringan kerja yang merupakan graf berarah.
Jari&!a& Ker%a Ti)ak Berara(Caringan kerja yang merupakan sebuah graf.
Loo+
Sisi yang dua titik ujungnya sama.
Seri
5ua sisi yang saling berajasensi atau berbatasan jika titik sekutunya
berderajat satu.
Si"i Para*e*
5ua titik yang berlainan dihubungkan oleh dua sisi atau lebih.
Titik A&ti&!/%u&!
Sebuah titik yang berderajat satu.
Titik Teri"o*a"i
Sebuah titik yang tidak memiliki sisi insiden atau titik yang berderajat
nol.
,a*e&"i
5erajat suatu titik.
Top Related